Put your story text here...SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP

TOÁN CAO CẤP (A2)

(Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa)

Lưu hành nội bộ

HÀ NỘI - 2006

=====􀀉= ====

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

Giới thiệu môn học

5

0. GIỚI THIỆU MÔN HỌC

1. GIỚI THIỆU CHUNG:

Toán cao cấp A1, A2, A3 là chương trình toán đại cương dành cho sinh viên

các nhóm ngành toán và nhóm ngành thuộc khối kỹ thuật. Nội dung của toán cao

cấp A1, A3 chủ yếu là phép tính vi tích phân của hàm một hoặc nhiều biến, còn

toán cao cấp A2 là các cấu trúc đại số và đại số tuyến tính. Có khá nhiều sách giáo

khoa và tài liệu tham khảo viết về các chủ đề này. Tuy nhiên với phương thức đào

tạo từ xa có những đặc thù riêng, đòi hỏi học viên làm việc độc lập nhiều hơn, do

đó cần phải có tài liệu hướng dẫn học tập thích hợp cho từng môn học. Tập tài liệu

hướng dẫn học môn toán cao cấp A2 này được biên soạn cũng nhằm mục đích

trên.

Tập tài liệu này được biên soạn theo chương trình qui định năm 2001 của Học

viện Công nghệ Bưu Chính Viễn Thông. Nội dung của cuốn sách bám sát các giáo

trình của các trường đại học kỹ thuật, giáo trình dành cho hệ chính qui của Học

viện Công nghệ Bưu Chính Viễn Thông biên soạn năm 2001 và theo kinh nghiệm

giảng dạy nhiều năm của tác giả. Chính vì thế, giáo trình này cũng có thể dùng làm

tài liệu học tập,tài liệu tham khảo cho sinh viên của các trường, các ngành đại học

và cao đẳng.

Giáo trình được trình bày theo cách thích hợp đối với người tự học, đặc biệt

phục vụ đắc lực cho công tác đào tạo từ xa. Trước khi nghiên cứu các nội dung chi

tiết, người đọc nên xem phần giới thiệu của mỗi chương để thấy được mục đích ý

nghĩa, yêu cầu chính của chương đó. Trong mỗi chương, mỗi nội dung, người đọc

có thể tự đọc và hiểu được cặn kẽ thông qua cách diễn đạt và chứng minh rõ ràng.

Đặc biệt bạn đọc nên chú ý đến các nhận xét, bình luận để hiểu sâu hơn hoặc mở

rộng tổng quát hơn các kết quả. Hầu hết các bài toán được xây dựng theo lược đồ:

đặt bài toán, chứng minh sự tồn tại lời giải bằng lý thuyết và cuối cùng nêu thuật

toán giải quyết bài toán này. Các ví dụ là để minh hoạ trực tiếp khái niệm, định lý

hoặc các thuật toán, vì vậy sẽ giúp người đọc dễ dàng hơn khi tiếp thu bài học. Sau

các chương có phần tóm tắt các nội dung chính và cuối cùng là các câu hỏi luyện

tập. Có khoảng từ 30 đến 40 bài tập cho mỗi chương, tương ứng vói 3 -5 câu hỏi

cho mỗi tiết lý thuyết. Hệ thống câu hỏi này bao trùm toàn bộ nội dung vừa được

học. Có những câu kiểm tra trực tiếp các kiến thức vừa được học nhưng cũng có

những câu đòi hỏi học viên phải vận dụng một cách tổng hợp và sáng tạo các kiến

Giới thiệu môn học

6

thức để giải quyết. Vì vậy việc giải các bài tập này giúp học viên nắm chắc hơn lý

thuyết và kiểm tra được mức độ tiếp thu lý thuyết của mình.

Các bài tập được cho dưới dạng trắc nghiệm khách quan, đây là một phương

pháp rất phù hợp với hình thức đào tạo từ xa. Học viên có thể tự kiểm tra và đối

chiếu với đáp án ở cuối sách. Tuy nhiên phương pháp trắc nghiệm cũng có những

mặt hạn chế của nó, chẳng hạn phương pháp này không thể hiện được khả năng

trình bày kết quả, khả năng lập luận, mà đây là một trong những yêu cầu chính của

việc học toán. Một bài toán có thể giải cho đúng kết quả nhưng cách giải sai thậm

chí sai cả về bản chất. Hai lần sai dấu trừ biến thành dấu cộng và cho kết quả đúng

nhưng thực chất là sai. Mặt khác có thể giải bài toán trắc nghiệm bằng cách thử các

trường hợp và loại trừ, nhưng cách làm này khá tiêu cực. Để khắc phục những hạn

chế của phương pháp kiểm tra trắc nghiệm chúng tôi khuyên người đọc nên tự giải

quyết các bài toán theo phương pháp tự luận, sau đó mới đối chiếu với các trường

hợp a, b, c, d để chọn phương án đúng.

Giáo trình gồm 7 chương tương ứng với 4 đơn vị học trình (60 tiết):

Chương I: Lô gích toán học, lý thuyết tập hợp, ánh xạ và các cấu trúc đại số.

Chương II: Không gian véc tơ.

Chương III: Ma trận.

Chương IV: Định thức.

Chương V: Hệ phương trình tuyến tính

Chương VI: Ánh xạ tuyến tính.

Chương VII: Không gian véc tơ Euclide và dạng toàn phương.

Ngoài vai trò là công cụ cho các ngành khoa học khác, toán học còn được

xem là một ngành khoa học có phương pháp tư duy lập luận chính xác chặt chẽ. Vì

vậy việc học toán cũng giúp ta rèn luyện phương pháp tư duy. Các phương pháp

này đã được giảng dạy và cung cấp từng bước trong quá trình học tập ở phổ thông,

nhưng trong chương I các vấn đề này được hệ thống hoá lại. Nội dung của chương

I được xem là cơ sở, ngôn ngữ của toán học hiện đại. Một vài nội dung trong

chương này đã được học ở phổ thông nhưng chỉ với mức độ đơn giản. Các cấu trúc

đại số thì hoàn toàn mới và khá trừu tượng vì vậy đòi hỏi học viên phải đọc lại

nhiều lần mới tiếp thu được.

Các chương còn lại của giáo trình là đại số tuyến tính. Kiến thức của các

chương liên hệ chặt chẽ với nhau, kết quả của chương này là công cụ của chương

khác. Vì vậy học viên cần thấy được mối liên hệ này. Đặc điểm của môn học này

Giới thiệu môn học

7

là tính khái quát hoá và trừu tượng cao. Các khái niệm thường được khái quát hoá

từ những kết quả của hình học giải tích ở phổ thông. Khi học ta nên liên hệ đến các

kết quả đó.

2. MỤC ĐÍCH MÔN HỌC

Cung cấp cho sinh viên các kiến thức cơ bản về đại số : Mệnh đề, tập hợp,

ánh xạ , cấu trúc đại số và đại số tuyến tính bao gồm các khái niệm về không gian

vecto, ma trận, định thức, ánh xạ tuyến tính, dạng song tuyến tính, dạng toàn

phương..., làm cơ sở để tiếp thu các môn kỹ thuật điện và điện tử.

3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU MÔN HỌC

Để học tốt môn học này, sinh viên cần lưu ý những vấn đề sau :

1- Thu thập đầy đủ các tài liệu :

◊ Bài giảng: Toán cao cấp A2. Lê Bá Long, Nguyễn Phi Nga, Học viện

Công nghệ BCVT, 2005.

◊ Sách hướng dẫn học tập và bài tập: Toán cao cấp A2. Lê Bá Long,

Nguyễn Phi Nga, Học viện Công nghệ BCVT, 2005.

Nếu có điều kiện, sinh viên nên tham khảo thêm: Các tài liệu tham khảo trong

mục Tài liệu tham khảo ở cuối cuốn sách này.

2- Đặt ra mục tiêu, thời hạn cho bản thân:

􀀹 Đặt ra mục các mục tiêu tạm thời và thời hạn cho bản thân, và cố gắng

thực hiện chúng

Cùng với lịch học, lịch hướng dẫn của Học viện của môn học cũng như các

môn học khác, sinh viên nên tự đặt ra cho mình một kế hoạch học tập cho riêng

mình. Lịch học này mô tả về các tuần học (tự học) trong một kỳ học và đánh dấu

số lượng công việc cần làm. Đánh dấu các ngày khi sinh viên phải thi sát hạch, nộp

các bài luận, bài kiểm tra, liên hệ với giảng viên.

􀀹 Xây dựng các mục tiêu trong chương trình nghiên cứu

Biết rõ thời gian nghiên cứu khi mới bắt đầu nghiên cứu và thử thực hiện, cố

định những thời gian đó hàng tuần. Suy nghĩ về thời lượng thời gian nghiên cứu để

"Tiết kiệm thời gian". "Nếu bạn mất quá nhiều thì giờ nghiên cứu", bạn nên xem

lại kế hoạch thời gian của mình.

3- Nghiên cứu và nắm những kiến thức đề cốt lõi:

Giới thiệu môn học

8

Sinh viên nên đọc qua sách hướng dẫn học tập trước khi nghiên cứu bài giảng

môn học và các tài liệu tham khảo khác. Nên nhớ rằng việc học thông qua đọc tài

liệu là một việc đơn giản nhất so với việc truy cập mạng Internet hay sử dụng các

hình thức học tập khác.

Hãy sử dụng thói quen sử dụng bút đánh dấu dòng (highline maker) để đánh

dấu các đề mục và những nội dung, công thức quan trọng trong tài liệu.

4- Tham gia đầy đủ các buổi hướng dẫn học tập:

Thông qua các buổi hướng dẫn học tập này, giảng viên sẽ giúp sinh viên nắm

được những nội dung tổng thể của môn học và giải đáp thắc mắc; đồng thời sinh

viên cũng có thể trao đổi, thảo luận của những sinh viên khác cùng lớp. Thời gian

bố trí cho các buổi hướng dẫn không nhiều, do đó đừng bỏ qua những buổi hướng

dẫn đã được lên kế hoạch.

5- Chủ động liên hệ với bạn học và giảng viên:

Cách đơn giản nhất là tham dự các diễn đàn học tập trên mạng Internet. Hệ

thống quản lý học tập (LMS) cung cấp môi trường học tập trong suốt 24 giờ/ngày

và 7 ngày/tuần. Nếu không có điều kiện truy nhập Internet, sinh viên cần chủ động

sử dụng hãy sử dụng dịch vụ bưu chính và các phương thức truyền thông khác

(điện thoại, fax,...) để trao đổi thông tin học tập.

6- Tự ghi chép lại những ý chính:

Nếu chỉ đọc không thì rất khó cho việc ghi nhớ. Việc ghi chép lại chính là

một hoạt động tái hiện kiến thức, kinh nghiệm cho thấy nó giúp ích rất nhiều cho

việc hình thành thói quen tự học và tư duy nghiên cứu.

7 -Trả lời các câu hỏi ôn tập sau mỗi chương, bài.

Cuối mỗi chương, sinh viên cần tự trả lời tất cả các câu hỏi. Hãy cố gắng vạch

ra những ý trả lời chính, từng bước phát triển thành câu trả lời hoàn thiện.

Đối với các bài tập, sinh viên nên tự giải trước khi tham khảo hướng dẫn, đáp

án. Đừng ngại ngần trong việc liên hệ với các bạn học và giảng viên để nhận được

sự trợ giúp.

Nên nhớ thói quen đọc và ghi chép là chìa khoá cho sự thành công của việc tự học!

Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

9

1. CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU VỀ LÔGÍCH MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP

ÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

1.1 MỤC TIÊU, YÊU CẦU, Ý NGHĨA

Đây là chương mở đầu làm cơ sở, làm ngôn ngữ và công cụ không những cho

toán học mà còn cho các ngành khoa học khác.

Ta biết rằng toán học là một ngành khoa học lý thuyết được phát triển trên cơ

sở tuân thủ nghiêm ngặt các qui luật lập luận của tư duy lôgich hình thức. Các qui

luật cơ bản của lôgich hình thức đã được phát triển từ thời Aristote (Arít-xtốt ) (thế

kỷ thứ 3 trước công nguyên) cùng với sự phát triển rực rỡ của văn minh cổ Hy

Lạp. Tuy nhiên mãi đến thế kỷ 17 với những công trình của De Morgan (Đờ

Mocgan), Boole ... thì lôgích hình thức mới có một cấu trúc đại số đẹp đẽ và cùng

với lý thuyết tập hợp giúp làm chính xác hoá các khái niệm toán học và thúc đẩy

toán học phát triển mạnh mẽ. Việc nắm vững lôgich hình thức giúp học viên không

những học tốt môn toán mà còn có thể vận dụng trong thực tế và biết lập luận

chính xác. Học tốt môn lôgich là cơ sở để học tốt đại số Boole, vận dụng để giải

các bài toán về sơ đồ công tắc rơle, các sơ đồ điện và công nghệ thông tin. Yêu cầu

của phần này là phải nắm vững khái niệm mệnh đề toán học, các phép toán liên kết

mệnh đề và các tính chất của chúng.

Khái niệm tập hợp, ánh xạ và các cấu trúc đại số là các khái niệm cơ bản: vừa

là công cụ vừa ngôn ngữ của toán học hiện đại. Vì vai trò nền tảng của nó nên khái

niệm tập hợp được đưa rất sớm vào chương trình toán phổ thông (lớp 6). Khái

niệm tập hợp được Cantor đưa ra vào cuối thế kỷ 19. Sau đó được chính xác hoá

bằng hệ tiên đề về tập hợp. Có thể tiếp thu lý thuyết tập hợp theo nhiều mức độ

khác nhau. Chúng ta chỉ tiếp cận lý thuyết tập hợp ở mức độ trực quan kết hợp với

các phép toán lôgich hình thức như "và", "hoặc", phép kéo theo, phép tương

đương, lượng từ phổ biến, lượng từ tồn tại. Với các phép toán lôgích này ta có

tương ứng các phép toán giao, hợp, hiệu các tập hợp con của các tập hợp.

Trên cơ sở tích Descartes (Đề-các) của hai tập hợp ta có khái niệm quan hệ

hai ngôi mà hai trường hợp đặc biệt là quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự.

Quan hệ tương đương được dùng để phân một tập nào đó thành các lớp không giao

nhau, gọi là phân hoạch của tập đó. Quan hệ đồng dư môđulô p (modulo) là một

quan hệ tương đương trong tập các số nguyên. Tập thương của nó là tập 􀀜p các

Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

10

số nguyên môđulô p. Tập 􀀜p có nhiều ứng dụng trong lý thuyết mật mã, an toàn

mạng. Quan hệ thứ tự được dùng để sắp xếp các đối tượng cần xét theo một thứ tự

dựa trên tiêu chuẩn nào đó. Quan hệ ≤ trong các tập hợp số là các quan hệ thứ tự.

Khái niệm ánh xạ là sự mở rộng khái niệm hàm số đã được biết. Khái niệm

này giúp ta mô tả các phép tương ứng từ một tập này đến tập kia thoả mãn điều

kiện rằng mỗi phần tử của tập nguồn chỉ cho ứng với một phần tử duy nhất của tập

đích và mọi phần tử của tập nguồn đều được cho ứng với phần tử của tập đích. Ở

đâu có tương ứng thì ta có thể mô tả được dưới ngôn ngữ ánh xạ.

Sử dụng khái niệm ánh xạ và tập hợp ta khảo sát các vấn đề của giải tích tổ

hợp, đó là các phương pháp đếm số phần tử. Giải tích tổ hợp được sử dụng để giải

quyết các bài toán xác suất thống kê và toán học rời rạc.

Ta có thể thực hiện các phép toán cộng các số, hàm số, đa thức, véc tơ hoặc

nhân các số, hàm số, đa thức... Như vậy ta có thể thực hiện các phép toán này trên

các đối tượng khác nhau. Cái chung cho mỗi phép toán cộng hay nhân ở trên là các

tính chất giao hoán, kết hợp, phân bố... Một tập hợp có phép toán thoả mãn điều

kiện nào đó được gọi là có cấu trúc đại số tương ứng. Các cấu trúc đại số quan

trọng thường gặp là nhóm, vành, trường, không gian véc tơ. Đại số học là một

ngành của toán học nghiên cứu các cấu trúc đại số. Lý thuyết Nhóm được Evarist

Galois (Galoa) đưa ra vào đầu thế kỉ 19 trong công trình "Trong những điều kiện

nào thì một phương trình đại số có thể giải được?", trong đó Galoa vận dụng lý

thuyết nhóm để giải quyết. Trên cơ sở lý thuyết nhóm người ta phát triển các cấu

trúc đại số khác.

Việc nghiên cứu các cấu trúc đại số giúp ta tách ra khỏi các đối tượng cụ thể

mà thấy được cái chung của từng cấu trúc để khảo sát các tính chất, các đặc trưng

của chúng. Chẳng hạn, tập các ma trận vuông cùng cấp, các tự đồng cấu tuyến tính,

các đa thức ... có cấu trúc vành không nguyên nên có những tính chất chung nào

đó.

Các cấu trúc đại số có tính khái quát hoá và trừu tượng cao vì vậy người ta

nghĩ rằng khó áp dụng vào thực tiễn. Tuy nhiên thực tế cho thấy đại số Boole được

ứng dụng rất hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán về sơ đồ mạch điện, vào

máy tính. Lý thuyết nhóm được ứng dụng vào cơ học lượng tử. Lý thuyết vị nhóm

và vành được ứng dụng trong lý thuyết mật mã, lý thuyết Ôtômát.

1.2 TÓM TẮT NỘI DUNG

1.2.1 Lôgíc mệnh đề

a. Mệnh đề

Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

11

b. Liên kết mệnh đề:

􀀹 Phép phủ định: p đọc không p

􀀹 Phép hội: p ∧ q đọc p và q

􀀹 Phép tuyển: p ∨ q đọc p hoặc q

􀀹 Phép kéo theo: p⇒q đọc p kéo theo q, p suy ra q

􀀹 Phép tương đương: p⇔q đọc p tương đương q

􀀹 Lượng từ phổ biến: ∀ đọc với mọi

􀀹 Lượng từ tồn tại: ∃ đọc tồn tại.

1.2.2 Tập hợp và phần tử

a. Tập hợp

􀀹 a là phần tử của A ký hiệu a∈ A, đọc a thuộc A

􀀹 a không phải là phần tử của A ký hiệu a∉ A, đọc a không thuộc A.

􀀹 Tập rỗng φ

􀀹 Tập con: A⊂ B⇔(x∈ A⇒ x∈B)

􀀹 Tập bằng nhau A = B⇔((A⊂ B) ∧ (B ⊂ A))

b. Các phép toán trên tập hợp

􀀹 Hợp x∈ A∪ B⇔(x∈ A ∨ x∈B)

􀀹 Giao x∈ A∩ B⇔(x∈ A ∧ x∈B)

􀀹 Hiệu x∈ A \ B⇔(x∈ A ∧ x∉B)

􀀹 Phần bù A⊂ X , A = X \ A

􀀹 Tập tất cả các tập con của X : P (X )= {A A⊂ X }

􀀹 Tích đề các A× B = {(a,b) a∈ A,b∈B}

A× B ×C = {(a,b,c) a∈ A, b∈B,c∈C}

c. Quan hệ

􀀹 Quan hệ hai ngôi R trên X là tập con R ⊂ X × X , gọi là có tính:

o phản xạ nếu xR x, ∀x∈ X

Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

12

o đối xứng nếu xR y ⇒yR x

o bắc cầu nếu xR y∧ yR z⇒xR z

o phản đối xứng nếu xR y∧ yR x ⇒x = y

􀀹 Quan hệ hai ngôi R trên X được gọi là quan hệ tương đương nếu nó

có tính phản xạ đối xứng bắc cầu, ký hiệu ~.

􀀹 Lớp tương đương của y, ký hiệu y = {x∈ X x ~ y }

􀀹 Quan hệ hai ngôi R trên X được gọi là quan hệ thứ tự nếu nó có tính

phản xạ phản đối xứng và bắc cầu, ký hiệu ≤.

􀀹 Quan hệ thứ tự ≤ trên X được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần nếu hai

phần tử bất kỳ x, y của X đều có thể so sánh được với nhau, nghĩa là

x ≤ y hoặc y ≤ x . Quan hệ thứ tự không toàn phần được gọi là quan

hệ thứ tự bộ phận.

1.2.3 Ánh xạ

a. Ánh xạ: Ánh xạ từ tập X vào tập Y là một quy luật cho ứng mỗi x∈ X với

một và chỉ một y∈Y , ký hiệu f : X →Y ,

b. Phân loại: y = f (x) hoặc xa y = f (x) được gọi là công thức xác định

ảnh.

􀀹 f là một đơn ánh nếu f (x) = f ( y) ⇒ x = y .

􀀹 f là một toàn ánh nếu f (X ) = Y .

􀀹 f là một song ánh nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh.

􀀹 Nếu f là một song ánh thì có ánh xạ ngược f −1 :Y → X xác định

bởi: y = f (x)⇔ x = f −1( y) cũng là một song ánh.

c. Các phép toán

􀀹 Hợp của hai ánh xạ f : X →Y và g :Y →Z là ánh xạ

g o f : X →Z xác định bởi g o f (x) = g( f (x)).

􀀹 Lực lượng của tập hợp : Hai tập hợp gọi là cùng lực lượng nếu có một

song ánh từ tập này lên tập kia. Tập có cùng lực lượng với {1,2,..., n }

Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

13

được gọi là tập hữu hạn có n phần tử. Tập rỗng là tập hữu hạn có 0

phần tử. Tập không hữu han được gọi là tập vô hạn.

􀀹 Tập cùng lực lượng với tập số tự nhiên 􀂲 được gọi là tập vô hạn đếm

được. Tập số thực 􀀖 không đếm được.

1.2.4 Giải tích tổ hợp

􀀹 Số các hoán vị n phần tử là Pn = n!

􀀹 Số các chỉnh hợp lặp chập p của n phần tử là n p

􀀹 Số các chỉnh hợp không lặp chập p của n phần tử là

( )!

( 1)...( 1) !

Ap n n n p n

n −

= − − + =

􀀹 Số các tổ hợp chập p của n phần tử là

( )! !

!

! n p p

C A

n −

= =

􀀹 Nhị thức Niu-tơn

Σ= −

−

−

=

+

+

+

=

+

a b n C a C a b C b C a b

0

( ) 1 1 ... 0 .

􀀹 Sơ lược về phép đếm

o Công thức cộng: A∪ B + A∩ B = A + B ,

o Công thức nhân: A Ak A Ak 1 ×...× = 1 ⋅...⋅ ,

o Chỉnh hợp có lặp: {f : A→ B} = A B ,

P (A) = 2 A .

o Nếu f : A→B song ánh thì A = B .

1.2.5 Các cấu trúc đại số

Luật hợp thành trong, hay còn gọi là phép toán hai ngôi, trên tập X là một

ánh xạ từ X × X vào X , ký hiệu *: X × X → X (x, y)a x * y

Luật hợp thành trong * của tập X được gọi là:

􀀹 Có tính kết hợp nếu ∀x, y, z∈ X : x ∗ ( y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z

􀀹 Có tính giao hoán nếu ∀x, y∈ X : x ∗ y = y ∗ x

Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

14

􀀹 Có phần tử trung hoà (hay có phần tử đơn vị) là e∈ X nếu

∀x∈ X : x ∗ e = e ∗ x = x

􀀹 Giả sử * có phần tử trung hoà e∈ X . Phần tử x'∈ X được gọi là

phần tử đối xứng của x∈ X nếu x ∗ x'= x ' ∗ x = e .

Tập khác trống G với luật hợp thành * được gọi là một vị nhóm nếu * có tính

kết hợp và có phần tử trung hoà.

􀀹 Vị nhóm là một nhóm nếu mọi phần tử của G đều có phần tử đối.

􀀹 Nếu * có tính giao hoán thì nhóm (G,*) được gọi là nhóm giao hoán

hay nhóm Abel.

Vành (A,+,⋅) , trong đó "+,⋅" là hai luật hợp thành trong của A ≠φ thoả mãn:

􀀹 (A,+) là một nhóm Abel,

􀀹 Luật nhân có tính kết hợp,

􀀹 Luật nhân có tính phân phối hai phía đối với luật cộng, nghĩa là:

∀x, y, z∈ A: x ⋅ ( y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z phân phối bên trái

∀x, y, z∈ A: (x + y) ⋅ z = x ⋅ z + y ⋅ z phân phối bên phải

􀀹 Nếu thoả mãn thêm điều kiện:

Luật nhân có tính giao hoán thì (A,+,⋅) là vành giao hoán.

Luật nhân có phần tử đơn vị là 1 thì (A,+,⋅) là vành có đơn vị.

􀀹 Vành không có ước của 0 được gọi là vành nguyên.

Trường là một vành giao hoán có đơn vị (K,+,⋅) sao cho mọi phần tử x ≠ 0

của K đều khả nghịch (có phần tử đối của luật nhân).

􀀹 (􀀴,+,⋅), (􀀖,+,⋅) , (􀀅,+,⋅) là trường.

􀀹 (􀀜n,+,⋅) là trường khi và chỉ khi n là số nguyên tố.

1.2.6 Đại số Bool:

Đại số Boole (B,∨,∧, ') là một tập khác trống B với hai phép toán hai ngôi

∨,∧ : B× B→B và phép toán một ngôi ': B→ B thoả mãn các tiên đề sau:

􀀹 B1: ∨,∧ có tính kết hợp, nghĩa là với mọi a,b,c∈B

a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c, a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c

Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

15

􀀹 B2: ∨,∧ có tính giao hoán, nghĩa là với mọi a,b∈B

a ∨ b = b ∨ a, a ∧ b = b ∧ a

􀀹 B3: Tồn tại các phần tử không và phần tử đơn vị 0,1∈B sao cho

0 ≠1 và với mọi a∈B a ∨ 0 = a, a ∧1 = a

􀀹 B4: Với mọi a∈B thì a'∈B là phần tử đối theo nghĩa là:

a ∨ a'=1, a ∧ a'= 0

􀀹 B5: Luật ∨ phân phối đối với luật ∧ và luật ∧ phân phối đối với luật

∨, nghĩa là với mọi a,b,c∈B

a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c), a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) .

Hai công thức Boole trong đại số Boole (B,∨,∧, ') được gọi là đối ngẫu nếu

trong một công thức ta thay ∨,∧,0,1, bằng ∧,∨,1,0 thì ta được công thức hai.

Nguyên lý đối ngẫu: Nếu một công thức của đại số Boole được chứng minh là

đúng dựa trên cơ sở hệ tiên đề B1-B5 thì công thức đối ngẫu của chúng cũng đúng.

Có thể áp dụng đại số Boole để giải quyết các bài toán về mạch điện, thiết kế

một mạng thoả mãn những yêu cầu nào đó, rút gọn mạng điện...

1.3 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Câu 1: Hãy chọn câu trả lời đúng nhất;

a) "Mọi số nguyên tố đều là số lẻ có phải không?" là một mệnh đề lôgich

toán học.

b) "Trái đất quay xung quanh mặt trời" không phải là một mệnh đề

lôgich toán học.

c) Mệnh đề p ∨ p luôn đúng.

d) Tất cả các ý trên đều sai.

Câu 2: Hãy chọn câu trả lời đúng nhất

a) (p ∧ ( p⇒q)) ≡ q . b) ( p⇒q) ≡ (p ∧ q ).

c) (( p ⇒q) ∧ ( q⇒r)) ≡ (p⇒r). d) Tất cả các ý trên đều đúng.

Câu 3: Cho tập A và phần tử x của A. Điều nào sau đây sai

a) x∈ A. b) x ⊂ A. c) φ ∈P (A). d) φ ⊂ P(A).

Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

16

Câu 4: Giả sử A, B,C,D là tập con của E . Trường hợp nào sau đây là

sai:

a) A \ B =φ khi và chỉ khi A ⊂ B .

b) Nếu A ⊂ B,C ⊂ D thì A∪C ⊂ B ∪ D, A∩C ⊂ B ∩ D.

c) A∪ A ≠ A.

d) Nếu A∪C ⊂ A∪ B, A∩C ⊂ A∩ B thì C ⊂ B .

Câu 5: Cho A,B là hai tập con của E . Hãy chọn câu trả lời đúng nhất:

a) A ⊂ B⇔ B ⊂ A.

b) A ⊂ B ⇔ A∪ B = B⇔ A∪ B = E .

c) A ⊂ B⇔ A∩ B = A⇔ B ∪ A =φ .

d) Tất cả các ý trên đều đúng.

Câu 6: Cho A,B là hai tập con của E . Hãy chọn câu trả lời đúng nhất:

a) A \ (A \ B) = A∩ B .

b) A∩(B \ C) = (A∩ B) \ (A∩C) .

c) A∪(B \ A) = A∪ B.

d) Tất cả các ý trên đều đúng.

Câu 7: Giả sử A, B,C,D là tập con của E . Trường hợp nào sau đây là

sai:

a) A∩ B ≠φ ⇔(A× B)∩(B× A) ≠φ .

b) (A×C) ∪(B × D) = (A∪ B) × (C ∪ D) .

c) (A×C)∩(B× D) = (A∩ B)× (C ∩ D) .

d) Nếu A ⊂ B,C ⊂ D thì A×C ⊂ B × D .

Câu 8: Trong các trường hợp sau đây trường hợp nào thì hai tập hợp A

và B không bằng nhau

a) A = {x∈􀀖 x2 + 2x >1} , B = {x∈􀀖 x > 2 −1}.

b) A là tập mọi số thực ≥ 0, B là tập mọi số thực ≥ trị tuyệt đối của

chính nó.

Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

17

c)

⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨ ⎧

= ∈ − = − =

3

A x 􀀖 x3 a3 x a; a 1 , B = {a,− 2a }.

d) A là tập các số tự nhiên nguyên tố nhỏ hơn 15, B = {2,3,5,7,11,13}.

Câu 9: Quan hệ nào trong các trường hợp sau đây là quan hệ tương

đương trong tập các số nguyên 􀀜 .

a) aRb⇔a chia hết cho b.

b) aRb⇔ a không nguyên tố với b.

c) aRb⇔(a,b) =1 (a và b nguyên tố cùng nhau)

d) aRb⇔a − bMm, trong đó m ≥ 2 là một số tự nhiên cho trước.

Câu 10: Trong 􀀖, xét quan hệ tương đương R xác định bởi:

aRb⇔ a3 − b3 = a − b .

Tìm lớp tương đương a của a trong các trường hợp sau:

a) Trị tuyệt đối của a thoả mãn: a > 2 3 .

b) Trị tuyệt đối của a thoả mãn: a =1 3 .

c) Trị tuyệt đối của a thoả mãn: a < 2 3 vμ a ≠1 3 .

d) Trị tuyệt đối của a thoả mãn: a = 2 3 .

Câu 11: Quan hệ R nào trong các trường hợp sau đây là quan hệ thứ tự

trong tập tương ứng

a) aRb⇔b − a ≥ 0, ∀a,b∈􀀜.

b) aRb⇔bMa, ∀a,b∈􀀜*+, *

􀀜+ là tập các số nguyên dương.

c) ARB⇔A⊂ B, ∀A,B∈P(X ), trong đó X ≠φ là một tập cho trước

d) Tất cả các trường hợp trên đều là quan hệ thứ tự.

Câu 12: Tìm các ví dụ về tập được sắp (E,≤) và hai tập con A,B ⊂ E

thoả mãn:

a) Tồn tại sup A nhưng không tồn tại sup B .

b) Tồn tại sup B nhưng không tồn tại sup A.

c) Tồn tại sup A∉ Anhưng tồn tại max B.

Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

18

d) Tồn tại inf A nhưng không tồn tại sup A.

Câu 13: Các ánh xạ f :􀀖→􀀖 nào sau đây là đơn ánh:

a) f (x) = 2 x + 5. b) f (x) = x3 + x2 − 5x .

c) f (x) = 3x − 2 x . d) f (x) = x2 + bx + c; b,c∈􀀖.

Câu 14: Cho hai ánh xạ f , g : 􀂲→􀂲 xác định bởi:

⎩ ⎨ ⎧

−

= =

nÕu lÎ

nÕu ch½n

f n n g n

( 1) 2

2

( ) 2 , ( )

Hãy xác định:

a) f o g . b) g o f . c) f o f . d) f o g o f .

Câu 15: Giả sử A, B,C,D là tập con của X .

Đặt

⎩ ⎨ ⎧

=

x A

x A

I A x nÕu

nÕu

0

1

( ) và gọi là hàm đặc trưng của tập A.

Hãy chọn câu trả lời đúng nhất:

a) I A ⋅ I A = I A ; I X \ A =1− I A .

b) I A∩B = I A ⋅ IB ; I A∪B = I A + IB − I A ⋅ IB .

c) A⊂ B ⇔ I A ≤ IB .

d) Tất cả các ý trên đều đúng.

Câu 16: Cho ánh xạ f : X →Y và A,B ⊂ X . Điều nào sau đây luôn luôn

đúng:

a) A⊂ B⇔ f (A) ⊂ f (B) . b) f (A∪ B) = f (A)∪ f (B) .

c) f (A∩ B) = f (A)∩ f (B) . d) f (B \ A) = f (B) \ f (A) .

Câu 17: Cho ánh xạ f : X →Y và C,D ⊂Y . Điều nào sau đây không luôn

luôn đúng:

a) f −1(C ∩ D) = f −1(C)∩ f −1(D) .

b) C ⊂ D⇔ f −1(C) ⊂ f −1(D) .

c) f −1(C ∪ D) = f −1(C)∪ f −1(D) .

Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

19

d) f −1(C \ D) = f −1(C) \ f −1(D) .

Câu 18: Ký hiệu h = g o f là hợp của hai ánh xạ f : X →Y, g :Y →Z .

Điều nào sau đây không luôn luôn đúng:

a) f , g đơn ánh thì h đơn ánh. b) f , g toàn ánh thì h toàn ánh.

c) h đơn ánh thì g đơn ánh. d) h toàn ánh thì g toàn ánh.

Câu 19: Ký hiệu h = g o f là hợp của hai ánh xạ f : X →Y, g :Y →Z .

Điều nào sau đây không luôn luôn đúng:

a) h đơn ánh thì f đơn ánh.

b) h toàn ánh thì f toàn ánh.

c) h đơn ánh và f toàn ánh thì g đơn ánh.

d) h toàn ánh và g đơn ánh thì f toàn ánh.

Câu 20: Cho hai phép thế của tập {1,2,3,4}:

⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

3 4 1 2

1 2 3 4

σ , ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

4 2 1 3

1 2 3 4

μ . Tìm:

a) σ o μ . b) μ oσ . c) σ −1. d) μ −1.

Câu 21: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số:

a) Gồm 4 chữ số khác nhau.

b) Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau.

c) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau.

d) Số chẵn gồm chữ số bất kỳ.

Câu 22: Tính giá trị ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛ −

2!7!

9!

3!5!

8!

10!

A 7!4!

a)

5

A = 4 . b)

4

A = 5 . c)

3

A = 2 . d)

7

6 A = .

Câu 23: Tìm tất cả các số tự nhiên dương m ≥1 thoả mãn

6

1

( 1)!

! ( 1)! =

+

− −

a) m = 4. b) m =1, m = 4 . c) m = 3, m = 4. d) m = 2, m = 3.

Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

20

Câu 24: Mười người bạn đi xem phim, cùng ngồi một hàng ghế, chơi trò

đổi chỗ cho nhau. Cho rằng một lần đổi chỗ mất hết một phút, hỏi thời gian

họ đổi chỗ cho nhau là bao nhiêu?

a) Hết 10 ngày đêm. b) Hết 100 ngày đêm.

c) Hết 1670 ngày đêm. d) Hết 2520 ngày đêm.

Câu 25: Một hợp tác xã có 225 xã viên. Họ muốn bầu một người làm chủ

nhiệm, một thư ký, một thủ quỹ mà không kiêm nhiệm. Giả sử mọi xã viên

đều có khả năng được chọn như nhau, hỏi có bao nhiêu cách chọn?

a) Có 12600 cách. b) Có 13800 cách.

c) Có 14580 cách. d) Có 13680 cách.

Câu 26: Một hợp tác xã có 225 xã viên. Họ muốn bầu một hội đồng quản

trị gồm một chủ nhiệm, một thư ký, một thủ quỹ mà không kiêm nhiệm. Giả

sử mọi xã viên đều có khả năng được chọn như nhau, hỏi có bao nhiêu cách

chọn?

a) Có 2100 cách. b) Có 2300 cách.

c) Có 4860 cách. d) Có 2280 cách.

Câu 27: Một cái hộp đựng 10 quả cầu trong đó có 7 quả cầu trắng và 3

quả cầu đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách:

a) Lấy ra 4 quả cầu từ hộp.

b) Lấy ra 4 quả cầu, trong đó có đúng 2 quả cầu đỏ.

c) Lấy ra 4 quả cầu, trong đó có nhiều nhất 2 quả cầu đỏ.

d) Lấy ra 4 quả cầu, trong đó có ít nhất 2 quả cầu đỏ.

Câu 28: Hãy chọn câu trả lời đúng nhất:

a) k

k

k

Cn + C = C −

− −

1

1 1 .

Cn Cn Cn ... Cn 2 0 + 1 + 2 + + = .

c) n

C n C n C n C n C C C C2

2

4

2

2

2

0

2

2 1

2

5

2

3

2

1

2 + + + ... + = + + + ... + − .

d) Tất cả các ý trên đều đúng.

Câu 29: Tìm số hạng lớn nhất trong khai triển của nhị thức (37 +19)31.

a) 10 21 10

C3137 .19 . c) 12 12 19

C3137 .19 .

Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

21

b) 10 10 21

C3137 .19 . d) 12 19 12

C3137 .19 .

Câu 30: Phép toán nào sau đây không phải là một luật hợp thành trong:

a) Phép cộng hai véc tơ. b) Tích vô hướng hai véc tơ.

c) Phép cộng hai đa thức. d) Phép nhân hai hàm số.

Câu 31: Phép hợp thành trong nào sau đây không có tính giao hoán:

a) Phép cộng các số thực.

b) Phép nhân các số tự nhiên.

c) Phép hợp các ánh xạ từ tập E ≠φ vào chính tập E .

d) Phép cộng các hàm số.

Câu 32: Trường hợp nào sau đây không có cấu trúc nhóm

a) Tập các số tự nhiên 􀂲 với phép cộng.

b) Tập các số tự nhiên 􀀜 với phép cộng.

c) Tập các số hữu tỉ khác không 􀀴* với phép nhân.

d) Tập các số hữu tỉ dương khác không *

􀀴+ với phép nhân.

Câu 33: Giả sử (G,*) là một nhóm. Điều nào sau đây không đúng:

a) Phần tử trung hoà e là duy nhất.

b) Với mỗi phần tử x , phần tử đối x' của nó là duy nhất.

c) Phần tử trung hoà e không có phần tử đối.

d) Thoả mãn luật giản ước, nghĩa là nếu x * y = x * z thì y = z .

Câu 34: Trong mỗi tập số sau đây với phép cộng số và phép nhân số,

trường hợp nào không phải là một vành:

a) Tập các số nguyên chẵn.

b) Tập các số hữu tỉ dương 􀀴+ .

c) Tập các số có dạng a + b 2 , a và b nguyên.

d) Tập các số nguyên môđulô p .

Câu 35: Cho A là một vành. Phần tử x∈ A được gọi là luỹ linh nếu tồn

tại một số tự nhiên n ≠ 0 sao cho xn = 0 . Điều nào sau đây không đúng:

Chương 1: Mở đầu về logic mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

22

a) Nếu x, y luỹ linh và xy = yx thì x + y cũng lũy linh.

b) Nếu x luỹ linh và xy = yx thì xy cũng lũy linh.

c) Nếu x∈ A luỹ linh thì tồn tại x−1.

d) Nếu x∈ A luỹ linh thì tồn tại (1− x)−1.

Câu 36: Hãy xác định các công thức đại số Boole nào sau đây là tương

đương:

a) (x ∧ z)∨ (x'∧y). b) (x ∧ y')∨ z .

c) (x ∨ y)∧ (x'∨z)∧ (y ∨ z). d) [y ∨ (x ∧ z)]∧ [z ∨ (x'∧y)].

Câu 37: Công thức [x ∨ ( y'∧z) ∨ (x ∧ z')]∨ ( y ∧ z) có công thức rút gọn là

công thức nào sau đây:

a) y ∨ z . c) (x ∧ y') ∨ z .

b) x ∨ z . d) (x ∧ z') ∨ y .

Câu 38: Trường hợp nào sau đây là công thức rút gọn của mạng

• •

a) x ∧ (y ∨ z). b) x ∨ (y ∧ z).

c) z ∧ (y ∨ x). d) y ∨ (x ∧ z).

Chương 2: Không gian véc tơ

23

2. CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

2.1 MỤC TIÊU, YÊU CẦU, Ý NGHĨA

Khái niệm không gian véc tơ có nguồn gốc từ vật lý. Ban đầu các véc tơ là

những đoạn thẳng có định hướng, với khái niệm này người ta đã sử dụng để biểu

diễn các đại lượng vật lý như: véc tơ vận tốc, lực tác động, lực điện từ... . Các nhà

vật lý còn sử dụng phương pháp véc tơ Fresnel để tổng hợp các dao động điều hoà.

Cuối thế kỷ 17 Descartes đã đề xuất phương pháp toạ độ để giải quyết các bài

toán hình học. Với phương pháp này mỗi véc tơ trong mặt phẳng được đồng nhất

với một cặp số là hoành độ và tung độ còn véc tơ trong không gian được đồng nhất

với bộ ba số. Các phép toán của véc tơ (cộng véc tơ, nhân 1 số với véc tơ) có thể

chuyển tương ứng bằng phép toán trên các bộ số và thoả mãn một số tính chất nào

đó. Trong nhiều lĩnh vực khác chúng ta cũng thấy những đối tượng khác như các

đa thức, hàm số, v.v... có các phép toán thoả mãn các tính chất tương tự các véc tơ.

Điều này dẫn đến việc khái quát hoá khái niệm véc tơ.

Trong các công trình về số quaternion từ năm 1843 của nhà toán học Anh

Hamilton, người ta có thể tìm thấy một dạng thô sơ của khái niệm không gian vec

tơ 3 và 4 chiều. Hamilton dùng các số quaternion để nghiên cứu các vấn đề toán lý.

Sau đó các nhà vật lý như Maxwell và Gibbs đã phát triển dần lý thuyết không gian

véc tơ 3 chiều. Khái niệm không gian véc tơ 4 chiều được Einstein (Anh-xtanh) sử

dụng trong thuyết tương đối. Ngày nay lý thuyết không gian véc tơ nhiều chiều

được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học và các ngành

khoa học khác.

Chúng ta thấy khái niệm không gian véc tơ được hình thành qua một quá trình

lâu dài trên cơ sở các thành tựu về lý thuyết cũng như ứng dụng thực tế và khái

quát hoá cao. Vì vậy để học tốt chương này đồi hỏi người học phải nắm vững khái

niệm không gian véc tơ vói mức độ trừu tượng cao, còn các mô hình cụ thể là các

không gian 2 chiều, 3 chiều ta đã biết. Đối tượng của ta ở đây là các không gian

véc tơ hữu hạn chiều. Đó là các không gian có hệ sinh hữu hạn. Trong không gian

này mọi véc tơ đều có thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các véc tơ của hệ

sinh. Muốn cho biểu diễn này là duy nhất thì hệ sinh phải độc lập tuyến tính, lúc đó

ta gọi là một cơ sở của không gian véc tơ. Các hệ số trong biểu diễn ở trên được

gọi là toạ độ của véc tơ.

Chương 2: Không gian véc tơ

24

Học viên cần luyện tập tìm toạ độ của một véc tơ trong các cơ sở khác nhau.

Tìm hệ con độc lập tuyến tính tối đại của một hệ véc tơ cho trước. Tìm hạng của

một hệ véc tơ, tìm chiều của không gian con. Công thức chiều của tổng hai không

gian véc tơ con, chiều của giao của hai không gian véc tơ con. Thấy được mối liên

hệ giữa hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ sinh và cơ sở, liên hệ giữa hạng

của hệ sinh và chiều của không gian sinh bởi hệ sinh này (định lý 2.17). Liên hệ

với những phép toán và tính chất véc tơ đã biết ở phổ thông.

2.2 TÓM TẮT NỘI DUNG

2.2.1 Khái niệm không gian vectơ

Không gian véc tơ trên trường K là tập V khác φ với hai phép toán:

* Phép toán trong * Phép toán ngoài

u u

K V V

(α , ) aα

× →

thoả mãn các tiên đề sau với mọi u,v,w∈V và α ,β ∈K

􀀹 (u + v) + w = u + (v + w)

􀀹 Có 0 ∈V sao cho u + 0 = 0 + u = u

􀀹 Với mỗi u∈V có − u∈V sao cho u + (−u) = (−u) + u = 0

􀀹 u + v = v + u

􀀹 (α + β )u =αu + βu

􀀹 α (u + v) =αu +αv

􀀹 (αβ )u =α (βu)

􀀹 1u = u , trong đó 1 là phần tử đơn vị của K .

Khi K = 􀀖 thì V được gọi là không gian véc tơ thực.

Khi K = 􀀅 thì V thì được gọi là không gian véc tơ phức.

Các phần tử của V được gọi là các véc tơ, các phần tử của K được gọi là các

phần tử vô hướng.

Vì (V,+) là một nhóm Abel nên véc tơ 0 và véc tơ đối − u của u là duy nhất

với mọi u∈V .

􀀹 Có luật giản ước: u + v = u + w⇒v = w.

􀀹 Với mọi u∈V , 0u = 0 , (−1)u = −u .

u v u

V ×V →V

( , )a

Chương 2: Không gian véc tơ

25

􀀹 Với mọi α ∈K , α 0 = 0 .

􀀹 Nếu αu = 0 thì α = 0 hoặc u = 0 .

Ta định nghĩa u − v := u + (−v) , khi đó u + v = w⇔u = w − v .

Với các véc tơ u1,u2,...,un ∈V và với mọi α1,α2,..,αn ∈K , do tính kết hợp

của phép cộng nên ta có thể định nghĩa theo qui nạp:

u u nun u n un nun V

k

k k = + + = + + − − + ∈

= Σ

α α1 1 ... α (α1 1 ... α 1 1) α

1

biểu thức này được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ u1,...,un .

Trong giáo trình này ta chỉ xét K =􀀖, nghĩa là chỉ xét các không gian véc tơ

thực.

2.2.2 Không gian vectơ con

a. Không gian véc tơ con:

Tập con W ≠φ của V sao cho hai phép toán từ V thu hẹp vào W trở thành

không gian véc tơ (thoả mãn các tiên đề V1-V8) thì W được gọi là không gian véc

tơ con của V (hay nói tắt: không gian con của V ).

b. Không gian con W bé nhất chứa hệ véc tơ S được gọi là không gian sinh

bởi hệ S ký hiệu W = span S và S được gọi là hệ sinh của W .

W = span S bằng tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của S .

Nếu V = span S , S = {v1,...,vn} hữu hạn thì V được gọi là không gian hữu

hạn sinh. Lúc đó, với mọi u∈V ; u = x1v1 + ... + xnvn , x1,..., xn ∈􀀖.

c. Tổng của một họ không gian véc tơ con: Giả sử W1,...,Wn là n không gian

con của V . Ta ký hiệu W1 + ... +Wn là tổng của các không gian con W1,...,Wn và

định nghĩa như sau:

u∈W1 + ... +Wn ⇔u = u1 + ... + un , ui ∈Wi ; i =1,...,n.

Tuy nhiên, nói chung cách viết trên không duy nhất.

Khi với mỗi u∈W1 + ... +Wn cách viết trên duy nhất thì tổng các không gian

con này được gọi là tổng trực tiếp. Lúc đó ta ký hiệu: W1 ⊕...⊕Wn .

Tổng W1 +W2 là tổng trực tiếp khi và chỉ khi W1 ∩W2 = {0}.

Ta có thể chứng minh được W1 + ... +Wn = span(W1 ∪...∪Wn )

Chương 2: Không gian véc tơ

26

Một cách tổng quát ta định nghĩa và ký hiệu tổng của một họ các không gian

véc tơ con ( ) I i i W ∈ là ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

=

Σ

UI

i I

Wi span W .

Vậy { ... , , 1,..., ; 1,2,...} 1 = = ∈ ∈ + + = Σ∈

W ui ui ui Wi i j I j k k

i I

i k j j .

2.2.3 Độc lập tuyến tính

Hệ n véc tơ S = {u1,...,un} của V được gọi là độc lập tuyến tính nếu:

α1u1 + ...+α nun = 0,α1,...,α n ∈􀀖 thì α1 = ... =αn = 0.

Hệ không độc lập tuyến tính được gọi là phụ thuộc tuyến tính.

Hệ con {v1,..., vn} của hệ S được gọi là độc lập tuyến tính tối đại của S nếu

nó là hệ độc lập tuyến tính và nếu thêm bất kỳ véc tơ nào của S thì ta có hệ phụ

thuộc tuyến tính.

Mọi hệ véc tơ S đều có hệ con độc lập tuyến tính tối đại, số véc tơ của các hệ

con độc lập tuyến tính tối đại của S đều bằng nhau và ta gọi là hạng của S , ký

hiệu r(S) .

Mỗi hệ sinh độc lập tuyến tính của V được gọi là một cơ sở của V .

Nếu B = {e1,...,en} là một cơ sở của V . Lúc đó, với mọi u∈V ; tồn tại duy

nhất x1,..., xn ∈􀀖 sao cho u = x1v1 + ... + xnvn .

[ ]x xn u B ( 1,..., ) = được gọi là toạ độ của véc tơ u trong cơ sở B.

Mọi không gian hữu hạn sinh V đều tồn tại cơ sở. Số phần tử của mọi cơ sở

của V đều bằng nhau và được gọi là số chiều của V , ký hiệu dimV .

dim(spanS )= r(S ).

2.3 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Câu 1: Trường hợp nào sau đây tập 􀀖3 với các phép toán được định

nghĩa là không gian véc tơ

a)

⎩ ⎨ ⎧

= ∈

+ = + + +

α ( , , ) (α , , ) ; α 􀀖

( , , ) ( ', ', ') ( ', ', )

x y z x y z

x y z x y z x x y y z z

⎩ ⎨ ⎧

= ∈

+ = + + +

α ( , , ) (2α ,2α ,2α ) ; α 􀀖

( , , ) ( ', ', ') ( ', ', ')

x y z x y z

x y z x y z x x y y z z

Chương 2: Không gian véc tơ

27

c)

⎩ ⎨ ⎧

= ∈

+ = + + + + + +

α ( , , ) (0,0,0) ; α 􀀖

( , , ) ( ', ', ') ( ' 1, ' 1, ' 1)

x y z

x y z x y z x x y y z z

d)

⎩ ⎨ ⎧

= ∈

+ = + + +

α ( , , ) (α ,α ,α ) ; α 􀀖

( , , ) ( ', ', ') ( ', ', ')

x y z x y z

x y z x y z x x y y z z

.

Câu 2: Với các phép cộng hai hàm số và phép nhân hàm số với số thực,

tập các hàm số nào sau đây là không gian véc tơ.

a) Tập các hàm số không âm trên [a,b].

b) Tập các hàm số bị chặn trên [a,b].

c) Tập các hàm số khả vi trên [a,b] ( có đạo hàm tại mọi điểm).

d) Tập các hàm số trên [a,b] sao cho f (b) =1.

Câu 3: Tập hợp các véc tơ có dạng nào sau đây không là không gian con

của 􀀖3

a) Các véc tơ có dạng (x,0, z) .

b) Các véc tơ có dạng (x, y,1) .

c) Các véc tơ có dạng (x, y, z) thoả mãn x + y + z = 0.

d) Các véc tơ có dạng (x, y, z) , 2x − y + z = 0, x + y − 4z = 0.

Câu 4: Tập hợp các véc tơ có dạng nào sau đây không là không gian con

của 􀀖3

a) Các véc tơ (x, y, z) thoả mãn x ≤ y ≤ z .

b) Các véc tơ (x, y, z) thoả mãn xy = 0 .

c) Các véc tơ (x, y, z) thoả mãn 3x + 2y − 4z = 0.

d) Các véc tơ (x, y, z) thoả mãn x = y2 .

Câu 5: Tìm véc tơ u sau của không gian 􀀖4 thoả mãn phương trình:

3(v1 − u) + 2(v2 + u) = 5(v3 + u)

trong đó v1 = (2,5,1,3) ; v2 = (10,1,5,10) ; v3 = (4,1,−1,1)

a) u = (6,12,18,24) . b) u = (7,−2,3,0) .

c) u = (1,2,3,4) . d) u = (−2,3,7,0) .

Chương 2: Không gian véc tơ

28

Câu 6: Hãy biểu diễn véc tơ u thành tổ hợp tuyến tính của v1,v2,v3 :

a) u = (7,−2,15) ; v1 = (2,3,5) , v2 = (3,7,8) , v3 = (1,−6,1) .

b) u = (1,4,−7,7) ; v1 = (4,1,3,−2) ,v2 = (1,2,−3,2) , v3 = (16,9,1,−3) .

c) u = (6,9,14) ; v1 = (1,1,1) , v2 = (1,1,2) , v3 = (1,2,3) .

d) u = (6,2,−7) ; v1 = (2,1,−3) , v2 = (3,2,−5) , v3 = (1,−1,1) .

Câu 7: Hãy xác định λ sao cho x là tổ hợp tuyến tính của u,v,w:

x = (7,−2,λ ) ; u = (2,3,5) , v = (3,7,8) , w = (1,−6,1) .

a) λ =10. c) λ = −11.

b) λ =12. d) λ =11.

Câu 8: Hệ véc tơ nào sau đây sinh ra 􀀖3

a) u = (2,1,−3) , v = (3,2,−5) , w = (1,−1,1) .

b) u = (2,−1,3) , v = (4,1,2) , w = (8,−1,8) .

c) u = (3,1,4) , v = (2,−3,5) , w = (5,−2,9) , s = (1,4,−1) .

d) u = (3,0,13) , v = (2,7,4) , w = (1,−10,11) .

Câu 9: Hệ véc tơ nào sau đây của 􀀖3 là độc lập tuyến tính

a) u = (1,−2,1), v = (2,1,−1) , w = (7,−4,1) .

b) u = (1,−3,7) , v = (2,0,8) , w = (8,−1,8) , x = (3,−9,7) .

c) u = (1,2,−3) , v = (1,−3,2) , w = (2,−1,5) .

d) u = (2,−3,13) , v = (0,0,0) , w = (1,−10,11) .

Câu 10: Hệ véc tơ nào dưới đây là độc lập tuyến tính.

a) u = (4,−2,6) , v = (6,−3,9) trong 􀀖3 .

b) u = (2,−3,1) , v = (3,−1,5) , w = (1,−4,3) trong 􀀖3 .

c) u = (5,4,3) , v = (3,3,2) , w = (8,1,3) trong 􀀖3 .

d) u = (4,−5,2,6),v = (2,−2,1,3),w = (6,−3,3,9) , s = (4,−1,5,6)

trong 􀀖4 .

Câu 11: Tìm λ để hệ véc tơ sau phụ thuộc tuyến tính:

Chương 2: Không gian véc tơ

29

2

, 1

2

( , 1

− −

u = λ , )

2

, , 1

2

( 1

− −

v = λ , , )

2

, 1

2

( 1 λ

− −

w = .

a) λ =1. c) λ =1, λ =1/ 2 .

b) λ = 2, λ =1/ 2 . d) λ = −3.

Câu 12: Xác định hệ véc tơ nào sau đây là một cơ sở của không gian 􀀖3

a) u = (1,−2,1), v = (2,1,−1) .

b) u = (2,−3,13) , v = (2,0,8) , w = (8,−1,8) , x = (3,−9,7) .

c) u = (1,1,1) , v = (1,2,3) , w = (2,−1,1) .

d) u = (1,1,2) , v = (1,2,5) , w = (5,3,4) .

Câu 13: Xác định toạ độ của véc tơ v = (4,−3,2) viết trong cơ sở

B = {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) }của không gian 􀀖3 .

a) [ ] = (2,−3,8) v B . b) [ ] = (2,−5,7) v B .

c) [ ] = (−2,−3,8) v B . d) [ ] = (2,−3,−8) v B .

Câu 14: Tìm chiều của các không gian con của 􀀖4

a) Các véc tơ có dạng (x, y,0,t) .

b) Các véc tơ có dạng (x, y, z,t) với z = x − y và t = x + y .

c) Các véc tơ có dạng (x, y, z,t) với x = y = z = t .

d) Các véc tơ có dạng (x, y, z,t) với x = 2y + z − 3t .

Câu 15: Tìm hạng r của hệ véc tơ sau của không gian 􀀖4 :

1 (1,2,3,4) v = ; 2 (2,3,4,5) v = ; 3 (3,4,5,6) v = ; 4 (4,5,6,7) v = .

a) r = 4 . c) r = 2.

b) r = 3 . d) r =1.

Câu 16: Tìm chiều của không gian con sinh bởi hệ các véc tơ sau:

a) v1 = (2,4,1) , v2 = (3,6,−2) , v3 = (−1,2,−1 2) .

b) v1 = (2,4,1,−3) , v2 = (1,2,1,−2), v3 = (1,2,2,−3).

c) v1 = (1,0,0,−1) , v2 = (2,1,1,0) , v3 = (1,1,1,1) , v4 = (1,2,3,4) ,

Chương 2: Không gian véc tơ

30

v5 = (0,1,2,3) .

d) v1 = (1,1,1,1,0) , v2 = (1,1,−1,−1,−1) , v3 = (2,2,0,0 −1) ,

v4 = (1,1,5,5,2) , v5 = (1,−1,−1,0,0) .

Câu 17: Trong không gian 􀀖4 xét các véc tơ:

v1 = (2,4,1,−3) ; v2 = (1,2,1,−2); v3 = (1,2,2,−3);

u1 = (2,8,3,−7) ; u2 = (1,0,1,−1); u3 = (3,8,4,−8) .

Đặt V1 = span{v1,v2,v3}, V2 = span{u1,u2,u3}

Hãy tìm số chiều của các không gian con V1 , V2 , V1+ V2 , V1∩ V2 .

a) ( ) ( ) ( ) ( )1 dim V1 = 3, dim V2 = 2, dim V1 +V2 = 4, dim V1 ∩V2 = .

b) ( ) ( ) ( ) ( )1 dim V1 = 3, dim V2 = 2, dim V1 +V2 = 5, dim V1 ∩V2 = .

c) ( ) ( ) ( ) ( )1 dim V1 = 2, dim V2 = 2, dim V1 +V2 = 3, dim V1 ∩V2 = .

d) ( ) ( ) ( ) ( )1 dim V1 = 2, dim V2 = 3, dim V1 +V2 = 4, dim V1 ∩V2 = .

Câu 18: Trong không gian 􀀖4 xét các véc tơ:

v1 =(2,1,2,1) ; v2 =(3,4,2,3); v3 =(1,1,1,1);

u1 =(−1,−1,1,3) ; u2 = (1,1,0,−1) ; u3 = (2,2,2,2) .

Đặt V1 = span{v1,v2,v3}, V2 = span{u1,u2,u3}

Hãy tìm số chiều của các không gian con V1 , V2 , V1+ V2 , V1∩ V2 .

a) ( ) ( ) ( ) ( )1 dim V1 = 3, dim V2 = 2, dim V1 +V2 = 4, dim V1 ∩V2 = .

b) ( ) ( ) ( ) ( )1 dim V1 = 3, dim V2 = 2, dim V1 +V2 = 5, dim V1 ∩V2 = .

c) ( ) ( ) ( ) ( )1 dim V1 = 2, dim V2 = 2, dim V1 +V2 = 3, dim V1 ∩V2 = .

d) ( ) ( ) ( ) ( )1 dim V1 = 2, dim V2 = 3, dim V1 +V2 = 4, dim V1 ∩V2 = .

Câu 19: Cho hai hệ véc tơ:

v1 = (1,1,1,1), v2 = (1,−1,1,−1), v3 = (1,3,1,3) và

u1 = (1,2,0,2),u2 = (1,2,1,2),u3 = (3,1,3,1) .

Đặt V1 = span{v1,v2,v3}, V2 = span{u1,u2,u3}

Chương 2: Không gian véc tơ

31

Hãy tìm số chiều của các không gian con V1 , V2 , V1+ V2 , V1∩ V2 .

a) ( ) ( ) ( ) ( )1 dim V1 = 3, dim V2 = 2, dim V1 +V2 = 4, dim V1 ∩V2 = .

b) ( ) ( ) ( ) ( )1 dim V1 = 3, dim V2 = 2, dim V1 +V2 = 5, dim V1 ∩V2 = .

c) ( ) ( ) ( ) ( )1 dim V1 = 2, dim V2 = 2, dim V1 +V2 = 3, dim V1 ∩V2 = .

d) ( ) ( ) ( ) ( )1 dim V1 = 2, dim V2 = 3, dim V1 +V2 = 4, dim V1 ∩V2 = .

Câu 20: Cho 3 véc tơ v1,v2 ,v3 của không gian véc tơ V . Khẳng định nào

sau đây là sai:

a) Nếu {v1, v2}độc lập thì {v1 + v2, v1 − v2} cũng độc lập.

b) Nếu {v1, v2, v3}độc lập thì {v1 + v2,v2 + v3,v3 + v1} cũng độc lập.

c) Nếu {v1, v2, v3}độc lập thì

{2v1 + v2 + v3,v1 + 2v2 + v3,v3 − 2v2 + 5v1} cũng độc lập.

d) Nếu {v1, v2, v3}độc lập thì {v1 + 3v2,v1 + 2v2 − v3,v3 + v1} cũng độc

lập.

Câu 21: Giả sử W1,W2 là hai không gian con của không gian véc tơ V .

Phát biểu nào sau đây không đúng:

a) W1,W2 là hai không gian con của W1 +W2 .

b) W1 ∪W2 là không gian con của W1 +W2 .

c) W1 +W2 là không gian véc tơ nhỏ nhất chứa W1 ∪W2 .

d) Tổng W1 +W2 là tổng trực tiếp W1 ⊕W2 khi và chỉ khi W1 ∩W2 =φ .

Câu 22: Phát biểu nào sau đây không đúng:

a) Nếu W1,W2 là hai không gian con của 􀀖3 , dimW1 = dimW2 = 2 thì

W1 ∩W2 ≠ {0}.

b) dimW1 ⊕W2 = dimW1 + dimW2.

c) Tồn tại W1,W2 là hai không gian con của không gian véc tơ V thoả

mãn dimW1 = 4, dimW2 = 5, dimV = 7 và dimW1 ∩W2 =1.

d) Nếu W1,W2 là hai không gian con của 􀀖3 , dimW1 =1, dimW2 = 2 và

W1 ⊄W2 thì 1 2

􀀖3 = W ⊕W .

Chương 2: Không gian véc tơ

32

Câu 23: Cho u = (1,−3,2) và v = (2,−1,1) là hai véc tơ của 􀀖3 . Với giá trị

k nào thì (1,k,5)∈span{u,v}.

a) k = 9. c) k = −4.

b) k = 4 . d) k = −8.

Câu 24: Cho u = (1,−3,2) và v = (2,−1,1) là hai véc tơ của 􀀖3 . Véc tơ nào

sau đây thuộc không gian span{u,v}.

a) (2,−5,4) . c) (2,−5,−4) .

b) (1,7,−4) . d) (3,−5,8) .

Câu 25: Cho W1 = {(x, y,0) x, y∈􀀖}, W2 = span{(1,2,3);(1,−1,1)} là hai

không gian véc tơ con của 􀀖3 . Véc tơ nào sau đây thuộc vào không gian con

W1 ∩W2 .

a) (1,−6,2) . c) (2,−5,0) .

b) (1,−6,0) . d) (5,−6,0) .

Câu 26: Cho W1, W2 , W3 là ba không gian véc tơ con của 􀀖3 xác định

như sau:W1 = {(x, y, z) x + y + z = 0}, W2 = {(x, y, z) x = z}, W3 = {(0,0, z) z∈􀀖}.

Hãy tìm câu trả lời đúng nhất

a) 1 2

􀀖3 =W +W .

b) 1 3

􀀖3 =W ⊕W .

c) 2 3

􀀖3 =W ⊕W .

d) Tất cả các trường hợp trên đều dúng.

Chương 3: Ma trận

33

3. CHƯƠNG 3: MA TRẬN

3.1 MỤC TIÊU, YÊU CẦU, Ý NGHĨA

Lý thuyết ma trận có mặt khắp nơi, trong toán học cũng như trong các ngành

khoa học khác. Vì vậy chúng ta dễ lầm tưởng rằng lý thuyết ma trận ra đời đã lâu

lắm nhưng thực tế lý thuyết này mới ra đời từ đầu thế kỷ 19, mặc dù nhiều loại

bảng số có tính chất đặc biệt đã được biết đến từ hàng trăm năm nay. Các ma trận

vuông xuất hiện đầu tiên ở đầu thế kỷ 19 trong các công trình về dạng toàn phương

hay về các phép thế tuyến tính. Phép nhân hai ma trận vuông cấp 3 được Gauss

(Gau-xơ) đưa ra vào năm 1801. Tên gọi ma trận được nhà toán học Anh Sylvester

(Synvét) đưa ra năm 1850. Cayley (Kê-li) là người đầu tiên mô tả một cách tổng

quát các phép tính với các ma trận bất kỳ và ma trận nghịch đảo (1858). Peano là

người đầu tiên đưa ra cách biểu diễn một ánh xạ tuyến tính qua các ma trận. Còn

Gauss là người đầu tiên sử dụng ma trận để nghiên cứu các dạng toàn phương.

Ký hiệu ma trận cô đọng, rất có ích và thuận tiện trong khi thực hiện các phép

biến đổi tuyến tính (chương 6) và cho phép ta phát triển một phương pháp hoàn

chỉnh để giải các hệ phương trình vi phân tuyến tính. Sự quan tâm của các nhà vật

lý đối với lý thuyết ma trận, đặc biệt tăng lên sau khi Heisenberg, Born, Jordan vào

năm 1925 đã dùng nó trong các bài toán của cơ học lượng tử. Sự phát triển của

máy tính hiện đại thực hiện dễ dàng những phép tính ma trận cơ bản càng thúc đẩy

thêm sự ứng dụng rộng rãi ma trận vào những lĩnh vực khác.

Có người ví ma trận như là số học của toán cao cấp. Cách ví von này hoàn

toàn hợp lý vì ma trận được sử dụng rộng rãi trong các chuyên ngành khác nhau

của toán học. Với tư cách là sự biểu diễn của các phép biến đổi tuyến tính, ma trận

được sử dụng trong các bài toán cực trị của hàm nhiều biến, đạo hàm hàm hợp, ma

trận Jacobi trong phép đổi biến số, giải các hệ phương trình vi phân tuyến tích. Các

ma trận dương dùng để mô tả các đặc trưng của véc tơ ngẫu nhiên, mô tả xác suất

chuyển của chuỗi Markov trong lý thuyết xác suất. Giải các bài toán quy hoạch

tuyến tính. Phân loại các đường, mặt bậc 2... Chương trình phần mềm MATLAB

(Matrix laboratory) hỗ trợ cho việc tính toán, đồ hoạ và mô phỏng cũng được thực

hiện trong môi trường ma trận.

Nắm vững khái niệm ma trận giúp học viên học tốt các chương 4,5,6,7.

Trong chương này ta chỉ xét khái niệm ma trận cùng với các phép toán cộng

ma trận, nhân một số với ma trận, nhân hai ma trận và ma trận chuyển vị.

Chương 3: Ma trận

34

Cộng hai ma trận cùng cỡ được thực hiện bằng cách cộng các phần tử nằm

trên các hàng các cột tương ứng với nhau. Nhân một số với ma trận là nhân số này

với mọi phần tử của ma trận. Hai phép toán này được thực hiện một cách dễ dàng.

Phép nhân hai ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận trước bằng số

hàng của ma trận sau. Khi đó phần tử ở hàng i cột j của ma trận tích có được bằng

cách lấy các phần tử trên hàng thứ i của ma trận trước nhân tương ứng với các

phần tử trên cột thứ j của ma trận sau rồi cộng lại. Như vậy phép nhân ma trận

được thực hiện khó hơn nhiều. Học viên cần luyện tập nhiều về phép nhân ma trận.

Tập hợp các ma trận cùng cỡ với phép cộng ma trận và phép nhân một số với

ma trận là một không gian véc tơ. Tập hợp các ma trận vuông cùng cấp với phép

cộng ma trận và phép nhân ma trận với ma trận là một vành có đơn vị, không giao

hoán và không nguyên.

Ma trận của một hệ véc tơ trong một cơ sở B nào đó là ma trận có các cột là

toạ độ của hệ véc tơ này trong cơ sở B. Ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B' là

ma trận của hệ véc tơ B' viết trong cơ sở B. Hạng của ma trận là hạng của hệ véc tơ

cột.

Ma trận nghịch đảo được xét trong chương 4 khi ta đã học định thức của ma

trận. Bài toán chéo hoá ma trận được xét trong chương 6 cùng với bài toán chéo

hoá tự đồng cấu tuyến tính. Ma trận trực giao và bài toán chéo hoá trực giao của

một ma trận được xét trong chương 7 bằng cách sử dụng tích vô hướng.

3.2 TÓM TẮT NỘI DUNG

3.2.1 Khái niệm ma trận

Một bảng số có m hàng n cột

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

=

a a a

a a a

a a a

A

...

...

...

1 2

21 22 2

11 12 1

M M O M

được gọi là một ma trận cỡ m× n . aij là phần tử ở hàng thứ i và cột j .

Viết tắt dạng [ ]i m

A aij j n 1,

1,

=

=

= hay [ ] A aij m n ×

=

Tuỳ theo các phần tử aij là số nguyên, thực hay phức mà ta nói A là ma trận

nguyên, thực hay là ma trận phức.

􀀹 Khi m = n ta nói A là ma trận vuông cấp n .

Chương 3: Ma trận

35

􀀹 Tập hợp tất cả các ma trận cỡ m× n được ký hiệu Mm×n .

􀀹 Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được ký hiệu Mn .

Ma trận không

0 = [o]m×n (các phần tử đều bằng 0)

Hai ma trận cùng cỡ bằng nhau

[ ] A aij m n ×

= = [ ] B bij m n ×

= ⇔ aij= bij với mọi i =1,m ; j =1,n .

3.2.2 Các phép toán ma trận

a. Cộng hai ma trận cùng cỡ: [ ] [ ] [ ] aij m n bij m n aij bij m n × × × + = +

b. Nhân ma trận với một số: [ ] [ ] k aij m n kaij m n × × =

Nhân ma trận với ma trận: Tích hai ma trận [ ] A aij m p × = và [ ] B bij p n × = là

ma trận cỡ m×n [ ] AB cij m n ×

= trong đó Σ=

=

k

cij aikbkj

1

với mọi i =1,m ; j =1,n .

c. Ma trận đơn vị cấp n: Ma trận In vuông cấp n có các phần tử trên đường

chéo bằng 1 và các phần tử ở vị trí khác đều bằng 0. Với mọi ma trận A cỡ m× n

ta có ImA = A = AIn .

d. Ma trận chuyển vị: Ma trận chuyển vị của ma trận [ ] A aij m n ×

= là

A [cij ]n m cij a ji i n j m

t = ; = =1, =1, ×

3.2.3 Ma trận của một hệ véc tơ trong một cơ sở nào đó

Giả sử V là không gian n chiều với một cơ sở B = {e1,.....en}.

{v1,...,vm} là một hệ véc tơ của V có toạ độ trong cơ sở B:

Nếu Σ=

= =

v j aijei j m

1

, 1, thì [ ] A aij n m ×

= được gọi là ma trận của hệ

véc tơ {v1,...,vm} trong cơ sở B.

Ma trận chuyển cơ sở : Ma trận của hệ véc tơ B' trong cơ sở B được gọi là

ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B'.

Chương 3: Ma trận

36

Giả sử B = {e1,.....en}, B'= {e'1 ,.....e'n} là hai cơ sở của V .

Nếu Σ=

= =

e j tijei j n

1

' , 1, ...

thì [ ] P = tij là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B'.

∀u∈V ; Σ Σ

= =

= =

u xiei x e

1 1

' ' , công thức đổi tọa độ

[ ] [ ] [ ] 1 ' 1 × = × ×

xi n tij n n x j n

Nếu A, A' lần lượt là ma trận của {v1,...,vm} trong cơ sở B, B' thì A = PA'.

3.2.4 Hạng của ma trận

Ta gọi hạng của ma trận A, ký hiệu r(A) , là hạng của các véc tơ cột của A.

3.3 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Câu 1: Phép toán nào sau đây không thực hiện được

a) ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

− −

− −

+ ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −

2 8 4 2

5 1 3 0

5 0 7 9

1 2 3 6

. b) ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+ ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

2 9

4 3

3 4 7

1 2 5

.

c) ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡ −

−

5 0 7 9

1 2 3 6

3 . d) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

− −

− −

2 8 4 2

5 1 3 0

0 .

Câu 2: Cho

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−

=

3 0 4

2 5 1

A , ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

− −

=

0 1 5

1 2 3

B , ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

− −

−

=

1 1 1

0 1 2

C .

Tìm 3A + 4B − 2C .

a) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −

4 9 21

12 7 5

. b) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

3 4 7

1 2 5

.

c) ⎥⎦

⎤

⎢⎣ ⎡

−

− −

7 2 10

10 25 5

. d) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−

24 9 21

12 17 25

.

Câu 3: Tìm w z y x , , , nếu ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

+

+ ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

= ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

3

4

1 2

6

3

z w

x y

w

x

z w

x y

a) x = 2, y = 4, z =1,w = 3. b) x = 3, y = 5, z =1,w = 6.

Chương 3: Ma trận

37

c) x = −2, y = 5, z = 3,w = −1. d) x = −3, y = 5, z = 2,w = 7 .

Câu 4: Cho A,B,C là 3 ma trận vuông cấp n. Điều nào sau đây không

luôn đúng.

a) ( ) ( )C A BC = AB . b) A(B + C)= AB + AC .

c) A(kB)= (kA)B = k(AB). d) AB = BA.

Câu 5: Cho ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−

=

3 0 4

2 5 1

A , ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

=

0 2 7 5

3 1 6 4

B . Phép toán nào sau

đây thực hiện được

a) A + B. b) AB. c) AtB . d) ABt .

Câu 6: Cho

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

=

3 4

1 0

2 1

A , ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡ − −

=

3 4 0

1 2 3

B . Tính AB.

a)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

− − −

9 22 15

1 2 5

1 8 10

. b) ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

10 3

15 21

.

c)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

7 9 15

10 21 3

11 8 9

. d)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

−

14 27 18

7 0 10

8 5 9

.

Câu 7: Cho ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

=

3 1 4

1 2 0

A . Tính At A.

a)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

− − −

9 22 15

1 2 5

1 8 10

. b)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

− −

−

12 4 16

1 5 4

10 1 12

.

c) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

1 26

5 1

. d)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

9 22 15

11 2 5

1 18 10

.

Câu 8: Cho ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

=

4 3

1 2

A . Tìm 2A3 − 4B + 5I .

Chương 3: Ma trận

38

a) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−

8 17

9 4

. b) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−

60 67

7 30

.

c) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−

120 134

14 60

. d) ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

104 117

11 52

.

Câu 9: Tìm y x, nếu ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

= ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

y

x

y

x

6

5 3

1 3

a) x = 3, y = 5. b) x = −6, y = −10.

c) x =12, y = 20. d) Các trường hợp trên đều đúng.

Câu 10: Tìm w z y x , , , thoả mãn ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

z w

x y

z w

x y

0 1

1 1

0 1

1 1

.

a) x = y = 4, z =w = 3. b) x = w, z = 0 ; x, y tuỳ ý.

c) x = y, z =w; x, z tuỳ ý. d) x = z,w = 0; x, y tuỳ ý. Câu

11: Cho ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

0 1

1 2

A . Tìm An .

a) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

0 1

1 2n

. b)

⎥ ⎥⎦

⎤

⎢ ⎢⎣

⎡

0 1

1 2n

.

c)

⎥ ⎥⎦

⎤

⎢ ⎢⎣

⎡

1 1

1 2n

. d) ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

− 2 1

1 0

.

Câu 12: Tính

2003

1 0

0 1

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

a) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −

1 0

0 1

. b) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−1 0

0 1

.

c) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−1 0

1 1

. d) ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

1 −1

1 2003

.

Câu 13: Cho ma trận [ ] A = aij vuông cấp n. Ta gọi

TrA = a11 + a22 + ... + ann (tổng các phần tử trên đường chéo chính) là vết của

A. Khẳng định nào sau đây không đúng:

a) Tr(A + B) = TrA + TrB .

Chương 3: Ma trận

39

b) TrAB = TrBA (mặc dù AB ≠ BA).

c) Tồn tại ma trận A, B sao cho AB − BA = I .

d) Nếu B = P−1AP thì TrA = TrB .

Câu 14: Tìm tất cả các ma trận ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

z

x y

A

0

sao cho An = I , với số tự

nhiên n > 0 nào đó.

a) A có dạng ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡−

⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

− ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

0 1

1

,

0 1

1

,

0 1

1 0

,

0 1

1 0 y y

; với y tuỳ ý.

b) A có dạng ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

− ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

0 1

1

,

0 1

1

,

0 1

1 0 y y

; với y tuỳ ý.

c) A có dạng ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

− ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

x

x y

x

x y

0

, ,

0 1

1 0

,

0 1

1 0

; với x, y tuỳ ý.

d) A có dạng ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

0 1

1 0

,

0 1

1 0

.

Câu 15: Tập con W nào sau đây là không gian véc tơ con của không gian

véc tơ M2 các ma trận vuông cấp 2.

a) W tập các ma trận ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

c d

a b

A thoả mãn ad − bc = 0.

b) W tập các ma trận ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

b d

a b

A .

c) W tập các ma trận ⎥⎦

⎤

⎢⎣ ⎡ =

c d

a b

A thoả mãn A2 = A.

d) W tập các ma trận ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

c 1

a b

A a,b,c tuỳ ý.

Câu 16: Tìm z y x , , sao cho ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+ ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+ ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

= ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

− 0 1

0 2

1 1

0 0

1 0

1 1

1 1

3 1

x y z

(biểu diễn một ma trận thành tổ hợp tuyến tính của 3 ma trận khác).

a) x = −4, y = 5, z = −1. b) x = 4, y = −5, z = 2 .

c) x = −3, y = 4, z =1. d) x = 3, y = −2, z = −1.

Chương 3: Ma trận

40

Câu 17: Viết ma trận A của hệ véc tơ {v1,v2,v3,v4},

v1 = (1,−2,5), v2 = (3,−4,0), v3 = (7,3,−5), v4 = (11,3,−12)

trong cơ sở chính tắc của không gian véc tơ 􀀖3 .

a)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

11 3 12

7 3 5

3 4 0

1 2 5

A . b)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

12 3 11

5 3 7

0 4 3

5 2 1

A .

c)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

= − −

5 0 5 12

2 4 3 3

1 3 7 11

A . d)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

− −

=

1 3 7 11

2 4 3 3

5 0 5 12

A .

Câu 18: Giả sử

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

= −

1 5 1

3 1 6

1 3 4

T là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B'

của không gian 􀀖3 . Cho B = {(−1,2,4), (2,1,−2),(3,0,−5) } tìm B'.

a) B'= {(8,5,−7),(−20,5,39),(5,14,9) }.

b) B'= {(21,19,15),(−3,−7,1),(17,21,8) }.

c) B'= {(2,5,3),(10,5,−11),(11,14,−1) }.

d) B'= {(−12,24,−8),(−5,8,−1),(27,−11,−7) }.

Câu 19: Trong không gian 􀀖3 . Cho hai cơ sở

B = {(1,2,1), (2,3,3),(3,7,1) }, B'= {(3,1,4), (5,2,1),(1,1,−6) }. Tìm công thức

liên hệ giữa toạ độ của một véc tơ trong hai cơ sở trên, [u]B = (x, y, z) và

[u]B' = (x', y', z')

a) x = −27x'−71y'−41z', y = 9x'+20y'+9z', z = 4x'+12y'+8z' .

b) x = 9x'+17 y'−41z', y = 9x'−41y'+12z', z =14x'+23y'−8z' .

c) x = −9x'+27y'−41z', y =19x'+41y'+12z', z =14x'+23y'−8z' .

d) x = 9x'+17 y'+41z', y = 9x'−41y'+12z', z = 4x'−43y'+18z'.

Chương 3: Ma trận

41

Câu 20: Tìm hạng của ma trận

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− − − −

=

1 0 1 2 3

0 3 3 2 2

1 2 3 2 3

1 1 2 1 2

A

a) r(A) = 4 . b) r(A) = 3.

c) r(A) = 2 . d) r(A) =1.

Chương 4: Định thức

42

4. CHƯƠNG 4: ĐỊNH THỨC

4.1 MỤC TIÊU, YÊU CẦU, Ý NGHĨA

Ma trận và định thức ngày nay luôn đi liền với nhau và ai cũng nghĩ là khái

niệm định thức phải ra đời sau khái niệm ma trận, nhưng sự thực ngược lại. Định

thức hình thành là nhằm để giải các hệ phương trình tuyến tính mà việc làm này đã

có một lịch sử lâu đời trước đó.

Khái niệm định thức lần đầu tiên được Leibniz (Lépnít) đưa ra vào năm 1693

khi bàn đến việc giải hệ phương trình tuyến tính. Định thức được tiếp tục phát triển

và nghiên cứu qua các công trình của Cramer (Cờrame) (Thụy sĩ), Vandermonde

(Vănđécmông) (Hà Lan), Laplace (Pháp), Jacobi (ia-cô-bi) (Đức)... Người đầu tiên

nghiên cứu khái niệm định thức một cách hệ thống là Cauchy (Cô-si) (Pháp).

Ngoài ứng dụng để giải hệ phương trình tuyến tính, định thức còn được sử

dụng để nghiên cứu những vấn đề của ma trận như: ma trận nghịch đảo, hạng của

ma trận, tìm giá trị riêng... Khảo sát tính chất độc lập của một hệ véc tơ. Định thức

Jacobi được sử dụng trong phép đổi biến số của tích phân nhiều lớp. Định thức

Wronsky (vrông-xki) dùng để kiểm tra tính chất độc lập tuyến tính của các nghiệm

của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất.

Định thức của một ma trận vuông được định nghĩa bằng tổng của các số hạng

gồm tích của các phần tử trên tất cả các hàng nằm trên các cột khác nhau và dấu

của hoán vị tương ứng. Tuy nhiên khi tính định thức ta thường sử dụng các tính

chất của nó và phương pháp khai triển theo hàng, theo cột hoặc nhiều hàng, nhiều

cột (Định lý Laplace).

Để định nghĩa định thức ta sử dụng khái niệm phép thế đó là một song ánh từ

một tập có n phần tử vào chính nó, ảnh của phép thế là hoán vị. Khái niệm phép

thế, hoán vị ta đã gặp trong chương 1, trong mục giải tích tổ hợp.

Trong chương này ta xét đến hai ứng dụng của định thức là tìm ma trận

nghịch đảo và tìm hạng của ma trận. Trong chương 5 ta sẽ ứng dụng định thức để

giải hệ phương trình tuyến tính. Trong chương 6 ta sẽ ứng dụng định thức để tìm

giá trị riêng của ma trận hoặc tự đồng cấu tuyến tính.

Chương 4: Định thức

43

Trong chương 3, ta đã chỉ ra rằng tập các ma trận vuông cùng cấp với phép

cộng ma trận và phép nhân ma trận là một vành có đơn vị nhưng không nguyên, do

đó nó không phải là một trường. Vì vậy tồn tại những ma trận vuông khác ma trận

không và không khả nghịch. Sử dụng tính chất định thức của tích hai ma trận bằng

tích hai định thức của hai ma trận này, ta chứng minh được điều kiện cần và đủ để

một ma trận khả nghịch là định thức của nó khác 0. Đồng thời ta có công thức tính

ma trận nghịch đảo bằng nghịch đảo của định thức nhân với chuyển vị của ma trận

phụ hợp.

Hạng của một ma trận bằng cấp cao nhất của định thức con khác 0 chứa trong

ma trận.

Vì vậy yêu cầu của chương này là phải nắm vững được định nghĩa định thức

của một ma trận vuông, các tính chất của định thức, các phương pháp tính định

thức. Từ đó có thể tính toán thành thạo định thức của các ma trận thông thường,

vận dụng để giải các bài toán về ma trận nghịch đảo và hạng của ma trận và làm

công cụ để học tiếp các chương sau.

Ngoài phương pháp sử dụng định thức ta có thể sử dụng phương pháp Gauss-

Jordan để tìm ma trận nghịch đảo, thực chất của phương pháp này là sử dụng phép

biến đổi sơ cấp lên các hàng của ma trận.

4.2 TÓM TẮT NỘI DUNG

4.2.1 Hoán vị và phép thế

Mỗi song ánh σ :{1,2,..., n}→{1,2,...,n} được gọi là một phép thế bậc n.

Ảnh của một phép thế được gọi là hoán vị.

Nếu có cặp i < j mà σ (i) >σ ( j) thì ta nói có một nghịch thế của σ .

Giả sử k là số các nghịch thế của σ , ta định nghĩa và ký hiệu dấu của phép

thế σ :

sgnσ = (−1)k

Tập các phép thế bậc n ký hiệu Sn . Tập Sn có đúng n! phần tử.

4.2.2 Định thức của ma trận vuông

Định thức của ma trận vuông [ ] A aij n n ×

= được ký hiệu là det A hay A và

định nghĩa bởi biểu thức:

Chương 4: Định thức

44

Σ∈

= ⋅

Sn

A a an n

σ

det sgnσ 1σ (1)... σ ( )

Tính chất

􀀹 Nếu đổi chỗ hai hàng của ma trận thì định thức đổi dấu. (1)

􀀹 Định thức có tính chất tuyến tính đối với mỗi hàng. (2)

􀀹 Từ 1) và 2) suy ra rằng trong một ma trận có hai hàng tỷ lệ thì định

thức bằng 0. (3)

􀀹 Nếu ta cộng vào một hàng một tổ hợp tuyến tính các hàng khác thì

định thức không thay đổi. (4)

􀀹 Định thức của ma trận chuyển vị bằng định thức của ma trận đó:

det At = det A (5)

􀀹 Từ 5) suy ra rằng các tính chất của định thức đúng với hàng thì cũng

đúng với cột và ngược lại. Vì vậy ta chỉ cần chứng minh các định lý

về định thức đúng với hàng. Chẳng hạn, từ 4) suy ra nếu ta cộng vào

một cột một tổ hợp tuyến tính các cột khác thì định thức không thay

đổi.

􀀹 Định thức của mọi hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính đều bằng 0.

􀀹 Với mọi ma trận cùng cấp A,B luôn có det AB = det Adet B.

􀀹

S

a a

a a

A p a a

n ...

...

det( )(mod ) sgn ...

1

11 1

) ( ) 1 ( 1 M O M = = Σσ ∈

σ σ σ

4.2.3 Các cách tính định thức

a. Khai triển theo cột

det A = a1 j A1 j + ... + anj Anj

gọi là công thức khai triển của A theo cột thứ j. Trong đó ij

i j

Aij M = (−1) + ,

Mij là định thức của ma trận cấp n-1 có được bằng cách xoá hàng i cột j của ma

trận A. Aij được gọi là phần bù đại số của aij .

b. Khai triển theo hàng

Chương 4: Định thức

45

det A = ai1Ai1 + ... + ainAin

gọi là công thức khai triển của A theo hàng thứ i.

Khai triển k cột j1,..., jk (Định lý Laplace)

Σ

≤ < < ≤

=

j j

j j

k

k

k

k

k

A M A

1 ...

,...,

,...,

,...,

,...,

1

1

1

1

1

det

trong đó k

k

j j

Mi i ,...,

,...,

1

1

là định thức của ma trận có được bằng cách lấy các phần

tử trên k hàng: i1,...,ik và k cột: j1,..., jk của ma trận [ ] A aij n n ×

= , còn k

k

j j

Mi i ,...,

,...,

1

1

là định thức của ma trận ta xoá đi k hàng i1,...,ik và k cột j1,..., jk của ma trận

[ ] A aij n n × = và k

k

k k k

k

j j

j j i i j j

Ai i M ,...,

,...,

,..., ... ...

,...,

1

1

1 1 1

1

= (−1) + + + + + được gọi là phần

bù đại số của k

k

j j

Mi i ,...,

,...,

1

1

.

c. Khai triển k hàng i1,...,ik (Định lý Laplace)

Σ

≤ < < ≤

=

j j n

j j

j j

k

k

k

k

k

A M A

1 ...

,...,

,...,

,...,

,...,

1

1

1

1

1

det

4.2.4 Ma trận nghịch đảo

Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông cùng

cấp B sao cho AB = BA = I . Vì phép nhân ma trận có tính kết hợp nên B nếu tồn

tại thì duy nhất và ta gọi là ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu A−1.

A khả nghịch khi và chỉ khi det A ≠ 0 và Bt

A

A

det

−1 = 1 , với [ ] B Aij n n ×

= ,

trong đó Aij là phần bù đại số của phần tử aij của ma trận [ ] A aij n n × = , được gọi

là ma trận phụ hợp của A.

a. Tìm ma trận nghịch đảo theo phương pháp Gauss-Jordan: Để tìm ma trận

A−1 ta thực hiện các bước sau:

􀀹 Viết ma trận đơn vị I bên phải ma trận A: A I

Chương 4: Định thức

46

􀀹 Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp đồng thời lên các hàng của A I để

đưa ma trận A ở vế trái về ma trận đơn vị.

􀀹 Khi vế trái trở thành ma trận đơn vị thì vế phải là ma trận A−1.

AI →..........→ I A−1 .

b. Tìm hạng của ma trận bằng định thức

Giả sử [ ] A = aij là một ma trận cỡ m× n. Nếu có định thức con cấp p khác

0 và mọi định thức con cấp p +1 bao quanh nó đều bằng 0 thì r(A) = p .

4.3 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Câu 1: Trường hợp nào sau đây đúng

a) 25

4 5

3 2

=

−

. b) b2

a a b

a b a

= −

+

−

.

c) 23

1 5

4 3

= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

. d) 3 2 1

3 4

1 2 4 3 = − + −

+ +

+ +

k k k

k k

k k

Câu 2: Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n ≥ 2.Trường hợp nào sau đây

luôn đúng

a) det(kA) = k det(A) . b) det(A + B) = det(A) + det(B) .

c) det(AB) = det(A)det(B) . d) det(−A) = −det(A) .

Câu 3: Trường hợp nào sau đây không đúng

a) 0

2 0 3

5 0 4

=

−

.

b) Nếu A là ma trận vuông cấp n có det(A) = −9 thì det(AAt )= 81.

c) det(Am )= (det(A))m, A là ma trận vuông cấp n.

Chương 4: Định thức

47

d) 0

3 8 9

2 5 6

1 7 3

=

−

− −

−

.

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của k sao cho 0

4 2

=

k

k k

a) k = 0. b) k = 0, k = 4 . c) k = 2, k = 4 . d) k = 0, k = 2 .

Câu 5: Trường hợp nào sau đây không đúng

a) Định thức của ma trận vuông có một hàng là các số 0 thì bằng không.

b) Định thức của ma trận vuông có hai hàng tỉ lệ thì bằng không.

c) Định thức của ma trận vuông có một hàng tỉ lệ với một cột thì bằng

không.

d) Nếu thay đổi vị trí hai hàng của định thức thì định thứcđổi dấu.

Câu 6: Trường hợp nào sau đây không đúng

a)

3 3 3

2 2 2

1 1 1

3 3 3 3 3

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

2

a b c

a b c

a b c

x

a b x a b x c

a b x a b x c

a b x a b x c

= −

+ −

+ −

+ −

.

3 3 3

2 2 2

1 1 1

3 3 3 3 3

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

a b c

a b c

a b c

xy

a b a x b y c

a b a x b y c

a b a x b y c

=

+ +

+ +

+ +

.

c)

2

2

2

1

1

1

1

1

1

c c

a a

c ab

b ca

a bc

= .

d) 0

1

1

1

=

+

+

+

c a b

b c a

a b c

.

Chương 4: Định thức

48

Câu 7: Tính định thức

4 6 1 2

5 9 2 7

3 7 1 4

2 5 1 2

−

−

− −

− −

D = .

a) D = −69 . b) D = −78 . c) D = 82 . d) D = 68 .

Câu 8: Tính định thức

2

2

2 3 1 9

2 3 1 5

1 2 2 3

1 1 2 3

x

x

D

−

−

= .

a) D = (x2 − 2)(x2 − 9) . b) D = (x2 −1)(x2 − 4) .

c) D = (x2 − 3)(x2 − 9) . d) D = (x2 −1)(x2 − 3) .

Câu 9: Tính định thức

6 4 2 5 1

12 7 4 2 3

5 9 1 2 3

1 3 0 0 0

2 4 0 0 0

− −

−

−

−

D = .

a) D = −87 . b) D = −170 .

c) D = 59 . d) D = 790 .

Câu 10: Tính định thức

1 2 3

1 4 16 64

1 2 4 8

1 1 1 1

x x x

D

− −

=

a) D = −82(x −1)(x − 2)(x − 3) .

b) D =15(x −1)(x − 2)(x − 4) .

c) D = 30(x +1)(x − 2)(x − 4) .

d) D = 82(x −1)2 (x − 3) .

Chương 4: Định thức

49

Câu 11: Tính định thức

6 4 1 3 5

4 5 0 0 0

3 2 0 0 0

1 3 3 2 3

2 4 2 0 1

− − −

−

−

−

D = .

a) D =125. b) D = −115 . c) D = −125 . d) D = 75 .

Câu 12: Tính định thức

0

1 1 0

1 0 1

0 1 1

a b c

c

a

D = .

a) D = a2 + b2 + c2 − 2ab − 2bc − 2ca .

b) D = (a − b − c)2 .

c) D = (a + b + c)2 .

d) D = a2 + b2 + c2 + 4abc .

Câu 13: Cho ma trận

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

+

−

=

3 1 3

1 1 3

3 1 5

A ; m∈􀀖. Với giá trị

nào của m thì tồn tại ma trận nghịch đảo A−1 .

a) m ≠1, m ≠ 2. b) m ≠1, m ≠ 2, m ≠ 5 .

c) m ≠ −2, m ≠ 3, m ≠ 5. d) m ≠ −3, m ≠ 2, m ≠ 4 .

Câu 14: Cho ma trận

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

=

1 4

4 1

3 2

A ; m∈􀀖. Với giá trị nào của m

thì tồn tại ma trận nghịch đảo A−1 .

a) m ≠1, m ≠ 2. b) m ≠ 2, m ≠ 5.

c) m ≠ −5, m ≠1, m ≠ 4 . d) m ≠ −3, m ≠1, m ≠ 2.

Chương 4: Định thức

50

Câu 15: Tìm ma trận phụ hợp B của ma trận

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

=

1 5 7

2 3 4

1 2 3

A

a)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

−

=

4 7 1

2 4 3

5 8 7

B . b)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

−

=

1 2 1

1 4 3

1 10 7

B .

c)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

−

=

12 0 1

11 23 3

8 6 7

B . d)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

−

=

21 4 7

9 0 1

2 8 5

B .

Câu 16: Cho ma trận

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

=

0 0 1

0 1 1

1 1 1

A . Tìm ma trận nghịch đảo A−1 .

a)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

− =

0 0 1

0 1 2

1 2 1

A 1 . b)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

− −

− =

0 0 1

0 1 1

1 1 1

A 1 .

c)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

− = −

1 1 1

1 1 0

1 0 0

A 1 . d)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

− =

0 0 1

0 1 1

1 1 0

A 1 .

Câu 17: Cho ma trận

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

7 4 2

1 4 3

4 1 1

A . Tìm ma trận nghịch đảo A−1 .

a)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

− −

− =

9 23 15

3 12 24

8 2 1

A 1 . c)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

− −

− =

9 23 26

3 14 11

8 2 1

6

A 1 1 .

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

− −

− −

− =

32 23 15

23 15 11

4 2 1

7

A 1 1 . d)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

−

− =

21 41 31

15 17 15

7 3 6

13

A 1 1 .

Chương 4: Định thức

51

Câu 18: Cho ma trận

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

=

2 1 5

1 3 2

4 3 2

A . Tìm ma trận nghịch đảo A−1 .

a)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

− −

− −

− =

7 10 9

9 16 10

13 17 12

11

A 1 1 . c)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

− −

− =

5 17 3

8 21 18

11 13 14

12

A 1 1

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− = − −

14 11 9

9 16 12

7 23 25

21

A 1 1 . d)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

− −

− −

− =

9 20 7

10 19 21

13 11 32

21

A 1 1

.

Câu 19: Cho A, B, C là hai ma trân vuông cùng cấp. Điều nào sau đây

không đúng.

a) Nếu Am = 0 thì tồn tại (I − A)−1 = I + A + ... + Am−1.

b) Nếu A2 − 3A + I = 0 thì tồn tại A−1 = 3I − A.

c) Nếu AB = 0 thì không tồn tại A−1.

d) Nếu det A ≠ 0 và BA = CA thì B = C.

Câu 20: Tìm hạng r(A) của ma trận

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− − −

=

1 6 9 20

2 3 6 8

4 1 4

3 2 5 4

A

a)

⎩ ⎨ ⎧

=

=

3 khi 1

2 khi 1

r A . b)

⎩ ⎨ ⎧

=

=

3 khi 0

2 khi 0

r A .

c)

⎩ ⎨ ⎧

≠ −

= −

=

4 khi 1

3 khi 1

r A . d)

⎩ ⎨ ⎧

=

=

4 khi 2

3 khi 2

r A .

Câu 21: Tìm hạng r(A) của ma trận

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

+

− −

− +

=

3 0 0 0

5 1 0 0

4 2 0

2 3 2 2 1

A

Chương 4: Định thức

52

a)

⎩ ⎨ ⎧

≠ ≠ − ≠

= = − =

=

4 khi 0, 1, 2

3 khi 0, 1, 2

r A .

⎩ ⎨ ⎧

≠ ≠ ≠ −

= = = −

=

4 khi 0, 1, 2

3 khi 0, 1, 2

r A .

c)

⎩ ⎨ ⎧

= = =

=

3 khi 1, 2, 3

2 khi 1, 2, 3

r A .

d)

⎩ ⎨ ⎧

≠ − ≠ ≠

= − = =

=

3 khi 1, 1, 2

2 khi 1, 1, 2

r A .

Câu 22: Tìm hạng r(A) của ma trận

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

=

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

A

a)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠ − ≠

=

= −

=

4 khi 1, 3

3 khi 3

1 khi 1

r A . b)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

4 khi 2, 3

3 khi 3

2 khi 2

r A

c)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠ − ≠

=

= −

=

4 khi 1, 2

2 khi 2

1 khi 1

r A . d)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠ ≠ −

= −

=

=

4 khi 1, 3

3 khi 3

1 khi 1

r A .

Câu 23: Tính định thức cấp n

1 1 1 ... 0

1 1 0 ... 1

1 0 1 ... 1

1 1 1 ... 1

M M M O M

Dn = .

a) D = 2n−1. b) D = 2(n −1)n .

c) D = (−1)n−1. d) D = nn−1.

Câu 24: Giải phương trình 0

12 24 13

10 19 10

7 12 6

=

− −

− −

− −

x

x

x

Chương 4: Định thức

53

a) x = 0, x = −2, x = 3. b) x = −1, x =1.

c) x =1, x = −2, x = 3. d) x = −2, x =1.

Câu 25: Giải phương trình 0

2 8 3

0 4 1

5 7 5

=

− −

− −

− −

x

x

x

a) x = −1, x = −2, x = 3. b) x = −1, x = 3.

c) x =1, x = 2, x = 3 . d) x = −2, x =1, x = 3.

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

54

5. CHƯƠNG 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

5.1 MỤC TIÊU, YÊU CẦU, Ý NGHĨA

Khi khảo sát các hệ tuyến tính thường dẫn đến bài toán giải hệ phương trình

tuyến tính. Đối với hệ phi tuyến người ta thường giải quyết bằng cách xấp xỉ tuyến

tính. Vì vậy hệ phương trình tuyến tính có rất nhiều ứng dụng trong thực tế. Cùng

với sự phát triển của công nghệ thông tin, nhiều bài toán ứng dụng giải tích toán

học ngày càng được mở rộng. Nhiều bài toán trong các lĩnh vực khác nhau có thể

đưa về cùng một vấn đề là giải hệ phương trình tuyến tính. Có thể chỉ ra đây một

vài bài toán dạng này:

- Sự phân phối dòng điện trong những sơ đồ có nhiều ghép nối.

- Giải gần đúng những bài toán của lý thuyết thế vị.

- Giải gần đúng một vài bài toán trong các vấn đề bức xạ điện từ.

- Sự phân phối vận tốc các dòng nước trong các hệ thuỷ lực học phức tạp.

- Ứng dụng giải tích thống kê vào tâm lý học, xã hội học và kinh tế học ...

Hệ phương trình tuyến tính đã được biết đến rất sớm. Ở Trung Quốc người ta

tìm thấy một cuốn sách có khoảng từ năm 500 trước công nguyên, trong đó có

những chỉ dẫn về việc dùng một bàn tính để giải các hệ phương trình tuyến tính

qua các ví dụ cụ thể. Phương pháp giải này chính là thuật toán khử Gauss. Ở châu

Âu thuật toán này đã được mô tả trong công trình của Buteo (Pháp) năm 1550,

trước Gauss hơn hai thế kỷ. Một phương pháp khác để giải hệ phương trình tuyến

tính là sử dụng định thức của Cramer.

Thoạt tiên ta có thể thấy rằng hình như vấn đề giải hệ phương trình tuyến tính

đã cũ rồi và có thể giải quyết bằng những phương tiện tính toán sơ cấp quen biết.

Tuy nhiên để giải các bài toán nêu ra ở trên ta thường phải khảo sát khoảng từ 150

đến 200 phương trình đồng thời. Tình trạng ấy trong thực hành đã gây ra nhiều khó

khăn lớn đến nổi hầu như không thể giải quyết nổi nếu chỉ dùng phương pháp sơ

cấp. Với sự hỗ trợ của máy tính và các thuật toán mới đã khiến cho hệ phương

trình tuyến tính được ứng dụng hiệu quả để giải quyết các bài toán thực tế.

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

55

Một hệ phương trình tuyến tính có thể viết dưới dạng ma trận, dưới dạng một

véc tơ là một tổ hợp tuyến tính của một hệ các véc tơ khác hoặc biểu thức toạ độ

của một ánh xạ tuyến tính (chương 6).

Nếu ta ký hiệu các hệ số của hệ m phương trình có n ẩn thành một ma trận cỡ

m×n, các ẩn thành ma trận cột n×1, các hệ số vế sau thành ma trận cột m×1 thì hệ

phương trình đã cho có thể biểu diễn dưới dạng ma trận. Với cách biểu diễn này ta

thấy nếu ma trận các hệ số khả nghịch thì hệ phương trình có duy nhất nghiệm (hệ

Cramer).

Nếu ta xét n+1 véc tơ có m thành phần trong đó n véc tơ đầu là các hệ số ứng

với các ẩn còn véc tơ thứ n+1 là hệ số của vế sau của hệ phương trình. Khi đó hệ

phương trình được biểu diễn dưới dạng véc tơ, vế sau là một tổ hợp tuyến tính của

n véc tơ các hệ số. Với cách biểu diễn này thì hệ phương trình có nghiệm khi và

chỉ khi véc tơ vế sau thuộc vào không gian con sinh bởi n véc tơ của các hệ số.

Điều này cho thấy ta có thể giải quyết một bài toán hệ phương trình tuyến tính

bằng ma trận, tổ hợp tuyến tính, hạng của hệ véc tơ, ánh xạ tuyến tính ... và ngược

lại. Vì vậy khi học chương này đòi hỏi học viên thấy được mối liên hệ giữa các

khái niệm trên để giải quyết bài toán một cách linh hoạt. Học viên cần nắm vững

và vận dụng thành thạo hai phương pháp: Cramer và phép khử Gauss để giải hệ

phương trình tuyến tính.

Phương pháp Cramer là sử dụng định thức để giải hệ phương trình, khi

Cramer đưa ra quy tắc này thì nó trở thành "mốt" trong các công trình về toán ứng

dụng trong một thời gian dài. Tuy nhiên phương pháp khử của Gauss đôi khi tỏ ra

đơn giản hơn. Giải bài toán theo phương pháp khử của Gauss là sử dụng các phép

biến đổi tương đương lên các phương trình của hệ để đưa hệ phương trình cần giải

về hệ tương đương đơn giản hơn mà ta dễ dàng tìm được nghiệm. Thực chất của

phương pháp này là sử dụng các phép biến đổi sơ cấp lên các hàng của ma trận hệ

số của hệ phương trình.

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên quan đến nhân của ánh xạ tuyến

tính được khảo sát trong chương 6.

5.2 TÓM TẮT NỘI DUNG

5.2.1 Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính

Hệ m phương trình tuyến tính n ẩn có dạng tổng quát:

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

56

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ + + =

+ + + =

+ + + =

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

...

..............................................

...

...

1 1 2 2

21 1 22 2 2 2

11 1 12 2 1 1

Hay i

j

j ij b x a = Σ=1

, i = 1, ..., m

trong đó x1, x2,..., xn là n ẩn,

aij là hệ số của ẩn thứ j trong phương trình i,

bi là vế phải của phương trình thứ i; i = 1,..., n; j = 1,..., m.

Khi các vế phải bi = 0 thì hệ phương trình được gọi là thuần nhất.

Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

=

a a a

a a a

a a a

A

...

...

...

1 2

21 22 2

11 12 1

M M O M

,

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

=

B

M

2

1

,

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

=

xn

x

x

X

M

2

1

AX = B

5.2.2 Dạng véc tơ của hệ phương trình tuyến tính

Nếu ta ký hiệu véc tơ cột thứ i của ma trận A là m

vi = (a1i ,..., ami )∈􀀖 và

véc tơ vế sau m

b = (b1,...,bm)∈􀀖 , thì hệ (5.1) được viết dưới dạng véc tơ:

x1v1 + x2v2 + ... + xnvn = b

5.2.3 Hệ Cramer

Hệ n phương trình tuyến tính n ẩn có ma trận hệ số A không suy biến được

gọi là hệ Cramer. Mọi hệ Cramer đều tồn tại duy nhất nghiệm.

Cụ thể hệ i

j

j ij b x a = Σ=1

, i = 1, ..., n có nghiệm xi = Di D, i = 1,..., n;

Trong đó D = det A = DB{v1,..., vi−1, vi , vi+1,..., vn}

Di = DB{v1,..., vi−1,b, vi+1,..., vn}

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

57

Di là định thức của hệ các véc tơ cột là các hệ số của hệ phương trình nhưng

véc tơ cột thứ i được thay bởi véc tơ cột vế sau.

5.2.4 Định lý tồn tại nghiệm (Kronecker-Kapelli)

Hệ phương trình (5.1) có nghiệm khi và chỉ khi ) ~ ( ) ( A r A r = trong đó A ~ là

ma trận có được bằng cách bổ sung thêm vào ma trận hệ số A một cột cuối là vế

phải của hệ phương trình.

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

=

a a b

a a b

A

...

...

~

1

11 1 1

M O M M

5.2.5 Cách giải (Cramer)

Giả sử hệ phương trình đã cho tương đương với p phương trình đầu

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ + + =

+ + + =

+ + + =

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

...

..............................................

...

...

1 1 2 2

21 1 22 2 2 2

11 1 12 2 1 1

Giả sử 0

...

...

1

11 1

a a

a a

M O M (trường hợp khác cách giải hoàn toàn tương tự)

Hệ phương trình trên được viết lại:

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ + + = − − −

+ + + = − − −

+ + + = − − −

+ +

+ +

+ +

a x a x a x b a x a x

a x a x a x b a x a x

a x a x a x b a x a x

... ...

.................................................................................

... ...

... ...

1 1 2 2 1 1

21 1 22 2 2 2 2 1 1 2

11 1 12 2 1 1 1 1 1 1

đây là hệ Cramer có vế sau phụ thuộc vào các ẩn x p+1,..., xn . Vậy hệ có vô số

nghiệm phụ thuộc x p+1,..., xn .

5.2.6 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Gauss

Thực hiện các biến đổi sơ cấp sau lên các phương trình:

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

58

􀀹 Đổi chỗ hai phương trình;

􀀹 Nhân, chia một số khác 0 vào cả 2 vế của một phương trình;

􀀹 Cộng vào một phương trình một tổ hợp tuyến tính các phương trình

khác.

Để đưa hệ phương trình đã cho về hệ tương đương mà ma trận bổ sung của hệ

mới có dạng

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

+

a b

a b

'

'

' '

' '

1

11 1

5.3 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Câu 1:

Cho hệ phương trình tuyến tính i

j

j ij b x a = Σ=1

, i = 1, ..., m , có ma trận hệ số

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

=

a a

a a

A

....

....

1

11 1

M O M và ma trận bổ sung

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

=

a a b

a a b

A

...

...

~

1

11 1 1

M O M M ,

các véc tơ hệ số tương ứng v a a m i n

i = ( 1i ,..., mi )∈􀀖 , =1,..., và véc tơ vế sau

b = (b1,...,bm)∈􀀖 . Điều nào sau đây không đúng.

a) Hệ phương trình có duy nhất nghiệm khi và chỉ khi n = m,det A ≠ 0.

b) Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi r(A) = r(A~) .

c) Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi b∈span{v1 ,...,vn}.

d) Nếu r(A) = p thì không gian nghiệm có chiều là n − p .

Câu 2: Phép biến đổi nào sau đây không phải là phép biến đổi tương

đương của hệ phương trình.

a) Thay đổi vị trí của hai phương trình của hệ.

b) Nhân một số bất kỳ vào cả 2 vế của một phương trình của hệ.

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

59

c) Cộng một phương trình vào một phương trình khác của hệ (vế với vế).

d) Trừ một phương trình vào một phương trình khác của hệ.

Câu 3: Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có duy

nhất nghiệm

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ + + − =

+ + − + =

+ − + + =

− + + + =

( 1) 4

( 1) 3

( 1) 2

( 1) 1

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x m x

x x m x x

x m x x x

m x x x x

a) m ≠ ±2.

b) m ≠1; m ≠ 3.

c) m ≠ −3; m ≠1.

d) m ≠ −2; m ≠ 3 .

Câu 4: Tìm các điều kiện của a, b, c, d thì hệ phương trình sau có duy

nhất nghiệm

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+ + =

+ + =

+ + =

2 2 2 2

1

a x b y c z d

ax by cz d

x y z

a) a, b, c, d khác nhau từng đôi một.

b) a, b, c khác nhau từng đôi một và d tuỳ ý.

c) a, b, c khác nhau từng đôi một và d =1.

d) a, b, c khác nhau từng đôi một và khác 1, d tuỳ ý.

Câu 5: Cho hệ phương trình tuyến tính phụ thuộc tham số m

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+ + =

+ + =

+ + =

2

1

x y mz m

x my z m

mx y z

Điều nào sau đây không đúng

a) Nếu m ≠1 và m ≠ −2 thì hệ có duy nhất nghiệm.

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

60

b) Nếu m = 0 thì hệ có vô số nghiệm.

c) Nếu m =1 thì hệ có vô số nghiệm.

d) Nếu m = −2 thì hệ vô nghiệm.

Câu 6: Cho hệ phương trình tuyến tính:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+ + =

+ + =

+ + =

7 6 7

2 2 3 5

9 4 1

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x x

Tính các định thức D, D1, D2, D3

a) D = 22, D1 =16, D2 = −6, D3 =19.

b) D =13, D1 = −16, D2 =14, D3 =19.

c) D = 42, D1 = −36, D2 = 6, D3 = 90 .

d) D = 45, D1 =17, D2 = −13, D3 = 35 .

Câu 7: Giải hệ phương trình tuyến tính

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ + − = −

− + = −

− − − =

− + + =

2 3 2 8 7

3 2 1

2 2 3 3

4 3 5 7

1 2 3 4

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

x x x

x x x x

x x x x

a) x1 = 2, x2 =1, x3 = −3, x4 =1.

b) x1 = −3, x2 =1, x3 = 2, x4 = −1.

c) x1 = −3, x2 = −1, x3 = 2, x4 = −1.

d) x1 = 4, x2 = −5, x3 = 7, x4 = 3.

Câu 8: Giải hệ phương trình tuyến tính

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ + + =

+ + + =

+ + + =

+ + + =

4 2 1

6 4 8 13 9

6 2 4 5 3

2 2 3 2

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

a) x1 = −1− 8x4, x3 = 0, x2 =1+ 2x4 .

b) x1 = −1− 8x4, x3 =1, x2 =1+ 2x4 .

c) x2 = −1− 8x1, x3 = 0, x4 =1+ 2x1.

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

61

d) x3 = −1− 8x1 + 2x2, x4 =1+ 2x1 − 5x2 .

Câu 9: Giải hệ phương trình tuyến tính

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

− + + =

− + + =

− + + =

− + + =

3 4 9 10 11

6 3 7 8 9

4 2 5 6 7

2 3 4 5

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

a) x1 =1, x2 = 3 − 2x4, x3 = 4 − 2x4.

b) x1 = 0, x2 = 4 − 2x4, x3 = 3 − 2x4 .

c) x1 =1, x2 = 3 − 2x3, x4 = 4 + 2x3 .

d) x1 = 3 + 5x4 , x2 = 4, x3 = 3 − x4 .

Câu 10: Cho hệ phương trình tuyến tính

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ + + =

+ + + =

+ + + =

+ − + =

2 3 4 2 5

2 2 2 3 2

3 2 5 2 3

4 5 9 1

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

Tìm câu trả lời đúng nhất

a) x1 = 2, x2 = 3, x3 = −1, x4 = −2 là một nghiệm của hệ.

b) x1 =1/ 7, x2 =15/ 7, x3 = 0, x4 = −6/ 7 là một nghiệm của hệ.

c) x1 = −11, x2 = −3, x3 = 6, x4 = 6 là một nghiệm của hệ.

d) Các trường hợp trên đều là nghiệm của hệ.

Câu 11: Giải hệ phương trình tuyến tính

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ + + =

+ − + =

+ + − =

+ + + =

5 18 4 5 12

5 9 8 1

3 5 2 3

2 7 3 5

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

a) x1 = 2 + x3 + 7x4, x2 = −1+ 5x3 − x4 .

b) x1 = 6 − 26x3 +17x4, x2 = −1+ 7x3 − 5x4 .

c) x1 = 2 + 6x3 − 7x4, x2 = −1+ 4x3 − 2x4 .

d) x1 = 4 +11x4, x2 = −1− 6x4 , x3=2 .

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

62

Câu 12: Giải hệ phương trình tuyến tính

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

− − + =

− + − =

− − + =

− + − =

2 3 4 5

2 5 6 1

4 2 2 3 2

2 3

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

a) x1 =1+ 2x4, x2 = 3 − 2x4, x3 = 4 − 2x4 .

b) x1 = 0, x2 =1+ 7x4, x3 = −2 − 5x4 .

c) x1 = −4, x2 = −6 + 3x3, x4 = 7 − 9x3.

d) Hệ vô nghiệm

Câu 13: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ − + =

+ + − =

+ + − =

+ + + =

2 3 1

2 3 9 7 3

4 6 3 2 3

8 12 8 3

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

x x x x

x x x x

x x mx x

a)

⎩ ⎨ ⎧

≠ − ⇒ = − = = −

= − ⇒ = − − = +

3 5/ 2 3/ 2 ; 0; 1/ 4.

3 3/ 2 3/ 2 1/ 2 ; 1/5 4/5

1 2 3 4

1 2 4 3 4

m x x x x

m x x x x x

⎩ ⎨ ⎧

≠ − ⇒ = − = = −

= − ⇒ = − − = +

9 8/5 3/ 2 ; 0; 1/ 4.

9 3/5 3/ 2 1/10 ; 1/5 4/5

1 2 3 4

1 2 4 3 4

m x x x x

m x x x x x

c)

⎩ ⎨ ⎧

≠ − ⇒ = − = = −

= − ⇒ = − − = +

1 5 3 ; 0; 1.

1 3 2 10 ; 5 7

1 2 3 4

1 2 4 3 4

m x x x x

m x x x x x

d) Hệ vô nghiệm

Câu 14: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

− + + =

− + + =

− + + =

− + + =

5 2 4 6 7

7 3 6 8 9

9 4 10 11

3 2 4 5

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

x x x x

x x mx x

x x x x

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

63

a)

⎩ ⎨ ⎧

≠ ⇒ = − = − =

= ⇒ = − = + −

8 3 2 ; 4 2 ; 0.

8 3 2 ; 4 2 2

1 4 2 4 3

1 4 2 3 4

m x x x x x

m x x x x x

⎩ ⎨ ⎧

≠ ⇒ = + = + =

= ⇒

6 5 3 ; 4 ; 0.

6

m x1 x4 x2 x4 x3

m hÖ v« nghiÖm

c)

⎩ ⎨ ⎧

≠ ⇒

= ⇒ = + = + −

6 hÖ v« nghiÖm.

6 1 5 3 4 ; 2 4 2 3 2 4

m x x x x x

d)

⎩ ⎨ ⎧

≠ − ⇒ = + = − − =

= − ⇒ = + = − + −

4 7 2 ; 2 2 ; 0.

4 7 2 ; 2 2

1 4 2 4 3

1 4 2 3 4

m x x x x x

m x x x x x

Câu 15: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ + + =

+ + + =

+ + + =

+ + + =

4 6 3 4 5

m 9 5 6 7

2 3 2 3

8 12 7 9

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

a)

⎩ ⎨ ⎧

≠ − ⇒ = = = − =

= − ⇒ = − = − =

8 0; 2/3; 5; 0.

8 2 3 ; 5; 0

1 2 3 4

1 2 3 4

m x x x x

m x x x x

⎩ ⎨ ⎧

≠ ⇒

= ⇒ = − = − =

8 hÖ v« nghiÖm.

8 1 2 3 2 ; 3 1; 4 0

m x x x x

c)

⎩ ⎨ ⎧

≠ ⇒ = = = − =

= ⇒ = − = − =

6 0; 4/3; 1; 0.

6 2 3/ 2 ; 1; 0

1 2 3 4

1 2 3 4

m x x x x

m x x x x

d)

⎩ ⎨ ⎧

≠ ⇒ = = = =

= ⇒ = − = =

4 21/ 2; 0; 0; 3.

4 7 2/3 ; 0; 3

1 2 3 4

2 1 3 4

m x x x x

m x x x x

Câu 16: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ − + =

+ + − =

+ + + =

+ + + =

5 9 8 1

3 5 2 3

5 4 5 13

2 7 3 5

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

x x x x

x mx x x

x x x x

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

64

a) Hệ vô nghiệm.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

= = − −

−

=

−

≠ ⇒ = −

=

.

5( 18)

1

5

; 0; 1

18

; 1

5( 18)

17

5

18 13

18

1 2 3 4 m

x x

x

m x

m hÖ v« nghiÖm

c)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

= = −

−

=

−

≠ ⇒ = −

=

.

( 7)

; 0; 3 1

7

; 1

( 7)

7 4 11

7

1 2 3 4 m

x x

x

m x

m hÖ v« nghiÖm

d)

⎪ ⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

= = −

−

=

−

≠ ⇒ = −

−

= = −

−

+ =

−

= ⇒ = −

.

5

; 0; 1 1

5

; 1

5

5 3 2

5

; 0; 1 1

5

; 1

5

5 3 2

1 2 3 4

1 3 2 3 4

x x

x

m x

x x

x x

m x

Câu 17: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ + + =

+ + + =

− + + =

+ + + =

4 14 7 4

4 6 3 5 4

2 3 3 7

2 5 3 2

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

x x x x

x x x mx

x x x x

a)

⎪ ⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

=

−

= =

−

≠ ⇒ = −

−

=

−

= +

−

= ⇒ = − −

.

7

; 2

7

; 0; 5

7

7 3 4

7

; 2

7

; 3 5

7

7 3 4

1 2 3 4

1 2 3 2 4

x

x x

m x

x

x x

m x x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

−

= +

−

= ⇒ = − −

hÖ v« nghiÖm.

3

3

; 3

3

; 4 3

3

3 1 3 5 1 2 3 2 4

x

x x

m x x

c)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

=

+

= +

+

≠ − ⇒ = − −

= −

.

1

; 3

1

; 4 3

1

1 1 3 5

1

1 2 3 2 4 m

x

x x

m x x

m hÖ v« nghiÖm

d)

⎪⎩ ⎪⎨

⎧

−

=

−

= +

−

≠ ⇒ = − −

=

.

1

; 5

1

; 4 5

1

10

2

1 1 9

1

1 2 3 2 4 m

x

x x

m x x

m hÖ v« nghiÖm

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

65

Câu 18: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

− − − =

− + + =

− + + =

− + + =

8 6 5 9

4 2 3 7 1

7 3 7 17

5 3 2 4 3

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

x x x x

x x x x m

x x x x

a) Hệ vô nghiệm.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

− − −

=

− − −

= ⇒ =

.

2

; 7 19 7

2

0 5 13 3

0

3 4

2

3 4

1

m x x x x x x

m hÖ v« nghiÖm

c)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

− + −

=

+ −

≠ ⇒ =

=

.

2

; 5 21 7

2

9 2 11 3

9

1 2

4

1 2

3

m x x x x x x

m hÖ v« nghiÖm

d)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

− + +

=

+ −

= ⇒ =

.

2

; 7 13 5

2

4 3 5 3

4

3 4

2

3 4

1

m x x x x x x

m hÖ v« nghiÖm

Câu 19: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ + + =

+ + + =

+ − + =

+ + + =

2 4 3 5 3

3 8 2 6 5

6 20 9 12

4 4 2

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

x x x x

x x x x

x mx x x

a) Hệ vô nghiệm với mọi m.

⎩ ⎨ ⎧

≠ ⇒

= ⇒ = − = − =

8 hÖ v« nghiÖm.

8 1 2 3 2 ; 3 1; 4 0

m x x x x

c)

⎩ ⎨ ⎧

≠ ⇒ = = = − =

= ⇒ = − = − =

6 0; 4/3; 1; 0.

6 2 3/ 2 ; 1; 0

1 2 3 4

1 2 3 4

m x x x x

m x x x x

d)

⎩ ⎨ ⎧

≠ ⇒ = = = =

= ⇒ = − = =

4 21/ 2; 0; 0; 3.

4 7 2/3 ; 0; 3

1 2 3 4

2 1 3 4

m x x x x

m x x x x

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

66

Câu 20: Tìm x, y, z sao cho có thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính sau

(2,−5,3) = x(1,−3,2) + y(2,−4,−1) + z(1,−5,7) .

a) x = −2, y =1, z = −5.

b) x = −1, y = 4, z = −6 .

c) Không tồn tại x, y, z .

d) x = 3, y =11, z = −4 .

Câu 21: Tìm tất cả các giá trị m sao cho có thể biểu diễn thành tổ hợp

tuyến tính sau

(7,−2,m) = x(2,3,5) + y(3,7,8) + z(1,−6,1) .

a) m =11.

b) m =15 .

c) m ≠11.

d) m = −21.

Câu 22: Tìm tất cả các giá trị m sao cho có thể biểu diễn thành tổ hợp

tuyến tính sau

(1,3,5) = x(3,2,5) + y(2,4,7) + z(5,6,m) .

a) m = −10.

b) m = 25.

c) m ≠11.

d) m ≠10.

Câu 23: Tìm các điều kiện của a, b, c để hệ phương trình sau có nghiệm

⎪⎩

⎪⎨

⎧

− + =

+ − =

+ − =

x y z c

x y z b

x y z a

2 7

2 6 11

2 3

a) 5b = 2a + c .

b) 5a = 2b + c .

c) a = 5b + 2c .

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

67

d) a = 2b − 7c .

Câu 24: Tìm các điều kiện của a, b, c để (a,b,c)∈􀀖3 thuộc vào không

gian con của 􀀖3 sinh bởi các véc tơ v1 = (2,1,0), v2 = (1,−1,2), v3 = (0,3,−4) .

a) 2a = 4b + 3c .

b) a = 2b − 3c .

c) a = 5b + 7c .

d) b = 3a − 5c .

Câu 25: Tìm một cơ sở của không gian nghiệm của hệ phương trình

tuyến tính thuần nhất sau

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ + − =

+ − + =

+ + − =

+ + − =

3 8 24 19 0

4 5 2 3 0

3 5 6 4 0

2 4 3 0

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

a) {(7,−5,1,1); (4,2,0,1) }

b) {(3,−2,1,0); (−1,3,0,1) }

c) {(8,−6,1,0); (−7,5,0,1) }

d) {(7,−5,3,5); (2,1,0,−7) }

Câu 26: Đặt V1, V2 lần lượt là hai không gian véc tơ con của 􀀖4 gồm các

véc tơ v = (x1, x2 , x3 , x4 ) thoả mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình

(II):

⎪⎩

⎪⎨

⎧

− − − =

− − − =

− − − =

2 2 0

3 5 4 4 0

2 3 3 2 0

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

x x x x

x x x x

I ,

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+ + − =

+ + − =

+ − + =

3 5 6 4 0

2 4 3 0

2 10 9 0

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

x x x x

x x x x

I

Hãy tìm số chiều của các không gian con V1 , V2 , V1+ V2 , V1∩ V2 .

a) dimV1 = 2, dimV2 =1, dimV1 ∩V2 = 2, dimV1 +V2 = 4.

b) dimV1 = 2, dimV2 = 2, dimV1 ∩V2 =1, dimV1 +V2 = 3.

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

68

c) dimV1 = 2, dimV2 = 2, dimV1 ∩V2 = 2, dimV1 +V2 = 2 .

d) dimV1 = 2, dimV2 = 2, dimV1 ∩V2 =1, dimV1 +V2 = 4.

Câu 27: Đặt V1 , V2 lần lượt là hai không gian véc tơ con của 􀀖4 gồm các

véc tơ v = (x1, x2 , x3 , x4 ) thoả mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình

(II):

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+ + − =

+ + − =

+ − + =

2 4 3 0

3 5 6 4 0

4 5 2 3 0

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

x x x x

x x x x

I ,

⎪⎩

⎪⎨

⎧

− − − =

− − − =

− − − =

2 2 0

4 7 5 6 0

2 3 3 2 0

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

x x x x

x x x x

II

Hãy tìm số chiều của các không gian con V1 , V2 , V1+ V2 , V1∩ V2 .

a) dimV1 = 2, dimV2 =1, dimV1 ∩V2 = 2, dimV1 +V2 = 4.

b) dimV1 = 2, dimV2 =1, dimV1 ∩V2 =1, dimV1 +V2 = 3.

c) dimV1 = 2, dimV2 = 2, dimV1 ∩V2 = 2, dimV1 +V2 = 4 .

d) dimV1 = 2, dimV2 = 2, dimV1 ∩V2 =1, dimV1 +V2 = 3.

Câu 28: Giải phương trình : ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

5 9

3 5

3 4

1 2

X

a) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡− −

=

2 3

1 1

X .

b) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

7 1

3 1

X .

c) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

7 1

5 2

X .

d) ⎥⎦ ⎤

⎢⎣

⎡

=

5 1

3 3

X .

Câu 29: Giải phương trình : ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−

= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−

5 6

1 2

5 4

3 2

X

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

69

a) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

=

3 1

5 2

X .

b) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

− −

=

2 4

3 5

X .

c) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−

=

5 4

3 2

X .

d) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−

=

3 4

5 2

X .

Câu 30: Giải phương trình AX = B với ẩn là ma trận X , trong đó:

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

2 3 1

1 2 1

1 1 1

A ,

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

=

1 2 2 0

1 0 2 2

1 1 1 1

B .

a)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

=

3 1 1 1

7 3 1 0

9 5 1 0

X .

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

=

1 1 1 3

0 3 1 7

0 5 1 9

X .

c)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

=

3 1 1 1

5 8 1 0

4 7 1 0

X .

d)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

=

3 8 1 1

5 3 3 0

4 6 1 2

X .

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

70

6. CHƯƠNG 6: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

6.1 MỤC TIÊU, YÊU CẦU, Ý NGHĨA

Ánh xạ tuyến tính (biến đổi tuyến tính) từ một không gian véc tơ này vào

không gian véc tơ kia là ánh xạ bảo toàn phép cộng véc tơ và phép nhân một số với

véc tơ. Ánh xạ tuyến tính là một nội dung chính của đại số tuyến tính. Một ánh xạ

tuyến tính từ một không gian véc tơ vào chính không gian đó được gọi là tự đồng

cấu tuyến tính (gọi tắt là tự đồng cấu) hay toán tử tuyến tính. Nhà toán học Peano

(Italia) là người đầu tiên đưa ra khái niệm ánh xạ tuyến tính (1888).

Ánh xạ tuyến tính còn bảo toàn các không gian con qua các tập ảnh và ảnh

ngược. Nghĩa là ảnh qua ánh xạ tuyến tính của một không gian con là một không

gian con, ảnh ngược của không gian con cũng là không gian con. Đặc biệt ảnh

f (V ) của ánh xạ tuyến tính f :V →W là không gian con của W được gọi là ảnh

của f . Còn ảnh ngược f −1{0} là không gian véc tơ con của V được gọi là nhân

của f . Chiều của không gian véc tơ ảnh f (V ) được gọi là hạng của f .

Ánh xạ tuyến tính và đơn ánh được gọi là đơn cấu, toàn ánh được gọi là toàn

cấu, song ánh được gọi là đẳng cấu. Nếu tồn tại một đẳng cấu từ không gian này

lên không gian kia thì ta nói hai không gian đó đẳng cấu. Có những tiêu chuẩn

riêng để nhận biết một ánh xạ tuyến tính là toàn cấu, đơn cấu hay đẳng cấu. Một

ánh xạ tuyến tính là toàn cấu khi và chỉ khi hạng của nó bằng chiều của không gian

đích. Một ánh xạ tuyến tính là đơn cấu khi và chỉ khi nhân của nó chỉ gồm véc tơ

không. Ánh xạ tuyến tính từ một không gian véc tơ vào một không gian véc tơ

cùng chiều là toàn cấu khi và chỉ khi là đơn cấu (do đó là đẳng cấu), điều này cũng

giống như ánh xạ giữa hai tập hữu hạn có cùng số phần tử.

Một ánh xạ tuyến tính hoàn toàn được xác định bởi ảnh của cở sở bất kỳ qua

ánh xạ này. Vì vậy khi đã cho cơ sở B = {e1,...,en} của V và cơ sở B' của W thì

ánh xạ tuyến tính f :V →W hoàn toàn được xác định bởi ma trận của hệ véc tơ

{f (e1),..., f (en )} viết trong cơ sở B' . Điều này giải thích tại sao đại số tuyến tính

thường được xem là lý thuyết ma trận. Ma trận của tổng hai ánh xạ tuyến tính bằng

tổng hai ma trận, ma trận của tích một số với một ánh xạ tuyến tính bằng tích của

số này với ma trận xác định ánh xạ tuyến tính, ma trận của hợp hai ánh xạ tuyến

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

71

tính bằng tích hai ma trận của chúng. Nói cách khác tương ứng giữa ánh xạ tuyến

tính và ma trận của nó là một đẳng cấu bảo toàn phép cộng, phép nhân một số với

ma trận và phép nhân hai ma trận. Hạng của ánh xạ tuyến tính bằng hạng của ma

trận của nó. Ma trận của một tự đồng cấu trong hai cơ sở khác nhau là đồng dạng.

Chính vì lý do này nên một bài toán về ma trận có thể giải quyết bằng phương

pháp ánh xạ tuyến tính và ngược lại.

Công thức xác định ảnh của một ánh xạ tuyến tính có biểu thức toạ độ là một

hệ phương trình tuyến tính. Tìm véc tơ thuộc không gian ảnh tương ứng với tìm

điều kiện của vế sau để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm. Nhân của ánh xạ

tuyến tính là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất xác

định ánh xạ này.

Một vấn đề quan trọng của lý thuyết ma trận là chéo hoá ma trận, đó là tìm

một ma trận đồng dạng của ma trận cho trước mà ma trận đồng dạng này có dạng

chéo. Vấn đề này tương đương với việc tìm một cơ sở gồm các véc tơ riêng của tự

đồng cấu xác định bởi ma trận đã cho. Thuật toán chéo hoá ở cuối chương sẽ giúp

học viên giải quyết được bài toán dạng này. Bài toán chéo hóa ma trận có rất nhiều

ứng dụng. Bài toàn chéo hóa trực giao ma trận được xét trong chương 7.

6.2 TÓM TẮT NỘI DUNG

6.2.1 Ánh xạ tuyến tính

Ánh xạ f từ không gian véc tơ V vào không gian W thoả mãn:

(i) với mọi u,v∈V ; f (u + v) = f (u) + f (v)

(ii) với mọi u, v∈V , α ∈􀀖; f (αu) =αf (u)

được gọi là ánh xạ tuyến tính

Khi V =W thì f được gọi là tự đồng cấu hay toán tử tuyến tính.

Tập các ánh xạ tuyến tính từ V vào W được ký hiệu là Hom(V,W)

hay L(V,W) . Ta xác định hai phép toán "+,⋅" trên tập các ánh xạ tuyến tính từ

V vào W . Với hai phép toán này thì (Hom(V,W),+,⋅) có cấu trúc không gian véc

tơ và dimHom(V,W) = dimV ⋅ dimW .

Tập các tự đồng cấu của V , ký hiệu EndV , với hai phép toán cộng và hợp

ánh xạ thì (EndV,+,o) là một vành không giao hoán, có đơn vị , không nguyên.

Ngoài ra với hai phép toán "+,⋅" thì (EndV,+,⋅) còn là một không gian véc tơ.

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

72

6.2.2 Nhân và ảnh

Với ánh xạ tuyến tính f :V →W ta ký hiệu và định nghĩa Kerf = f −1{0} là

hạt nhân và Im f = f (V ) là ảnh của f . Chiều của Im f được gọi là hạng của ánh

xạ f , ký hiệu r( f ) .

dimV = r( f ) + dimKerf

6.2.3 Toàn cấu, đơn cấu, đẳng cấu

Ánh xạ tuyến tính mà toàn ánh được gọi là toàn cấu.

Ánh xạ tuyến tính mà đơn ánh được gọi là đơn cấu.

Ánh xạ tuyến tính và song ánh được gọi là đẳng cấu.

Hai không gian V,W được gọi là đẳng cấu nếu có ánh xạ tuyến tính đẳng

cấu f :V →W .

6.2.4 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Cho ánh xạ tuyến tính f :V →W .

Giả sử B = {e1,...,en} là một cơ sở của V .B'= {ω1,...,ωm} là một cơ sở của

W . Ma trận [ ] A aij m n × = của hệ véc tơ {f (e1),..., f (en )} trong cơ sở B' được gọi

là ma trận của ánh xạ tuyến tính f ứng hai cơ sở B, B'.

Nếu (x1,..., xn ) là toạ độ của v∈V trong cơ sở B.

( y1,..., ym) là toạ độ của f (v)∈W trong cơ sở B' thì

[ ]

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

=

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

ij m n

m x

x

a

y

y

M M

1 1

hay

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

= + +

y a x a x

y a x a x

...

....................................

...

1 1

1 11 1 1

được gọi là biểu thức toạ độ của ánh xạ tuyến tính f .

Tương ứng Hom(V,W) → Mm×n

f a A

là một đẳng cấu tuyến tính và r( f ) = r(A).

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

73

6.2.5 Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau

Giả sử f :V →W là ánh xạ tuyến tính.

Gọi T là ma trận chuyển cơ sở B1 = {e1,..., en} sang cơ sở B'1 = {e'1 ,..., e'n}

của không gian V .

Gọi P là ma trận chuyển cơ sở B2 = {ω1,...,ωm} sang cơ sở

B'2 = {ω'1 ,...,ω'm} của W .

A là ma trận của f trong cơ sở B1,B2 , A' là ma trận của f trong cơ sở

B'1 ,B'2

Thì A'= P−1AT

Đặc biệt nếu f là tự đồng cấu của không gian véc tơ V . Gọi A, A' là ma trận

của f trong hai cơ sở B,B' và T là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B' thì:

A'= T −1AT

6.2.6 Không gian riêng, giá trị riêng, véc tơ riêng

Véc tơ v∈V , v ≠ 0 sao cho f (v) = λv được gọi là véc tơ riêng ứng với giá

trị riêng λ của tự đồng cấu f .

Nếu λ là giá trị riêng thì Vλ = {v∈V f (v) =λ v}= Ker ( f −λidV ) được

gọi là không gian riêng ứng với giá trị riêng λ.

λ0 là giá trị riêng của f khi và chỉ khi λ0 là nghiệm của đa thức đặc trưng

P(λ ) := det( f −λidV )= det(A −λI )

Tự đồng cấu f trong không gian véc tơ V chéo hoá được nếu tồn tại một cơ

sở của V để ma trận của f trong cơ sở này có dạng chéo.

Nếu đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f trong không gian n chiều V có

đúng n nghiệm thực phân biệt thì f chéo hoá được.

Giả sử đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f chỉ có các nghiệm thực:

mk

k

P( ) ( 1)n ( )m1 ...( ) λ = − λ −λ1 λ −λ với m1 + ... + mk = n và các λ1,...,λk khác

nhau từng đôi một. Khi đó f chéo hoá được khi và chỉ khi với mọi i =1,..., k :

V mi i dim λ = .

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

74

Vậy chéo hoá ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình đặc trưng:

P(λ ) := det( f −λidV )= det(A −λI ) = 0

mk

k

P( ) ( 1)n ( )m1 ...( ) ⇒ λ = − λ −λ1 λ −λ .

Bước 2: Với mỗi giá trị riêng i

λ ta tìm các véc tơ riêng v = x1e1 + ...+ xnen có

(x1 ,..., xn ) là nghiệm của hệ phương trình

[ ]

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

=

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

0

1 0

M M

x

x

A λ I .

Tập hợp nghiệm là không gian con di chiều; di = n − r(A −λi I ).

Nếu di < mi với i nào đó, 1≤ i ≤ k thì f không hoá chéo được.

Nếu i i m d = thì ta chọn i m véc tơ độc lập tuyến tính ứng với giá trị riêng i λ ,

với mọi i =1,..., k . Hệ gồm m1 + ... + mk = n các véc tơ riêng này là cơ sở B' cần

tìm.

6.3 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Câu 1: Ánh xạ f :􀀖2 →􀀖2 nào dưới đây là ánh xạ tuyến tính:

a) f (x, y) = (x2, y) .

b) f (x, y) = ( y, x).

c) f (x, y) = (x, y +1) .

d) f (x, y) = (3 x,3 y ) .

Câu 2: ánh xạ f :􀀖2 →􀀖3 nào dưới đây không phải là ánh xạ tuyến

tính:

a) f (x, y) = (−2x, x + y, x − 3y) .

b) f (x, y) = ( y,0,−x) .

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

75

c) f (x, y) = (x, y, xy) .

d) f (x, y) = (a1x + b1y,a2x + b2 y,a3x + b3 y) .

Câu 3: ánh xạ f :M2 →􀀖 nào dưới đây là ánh xạ tuyến tính:

a) a d

c d

a b

f + = ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

.

c d

a b

c d

a b

f = ⎟

⎟⎠

⎞

⎜ ⎜⎝

⎛

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

.

c) 1 3 2 + − + + = ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

a b c d

c d

a b

f .

d) a2 d 2

c d

a b

f + = ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

.

Câu 4: ánh xạ f : P2 → P2 nào dưới đây là ánh xạ tuyến tính:

a) ( ) 2

0 1 2 0 1

2

f a0 + a1x + a2x = a + (a + a )x + (2a − 3a )x .

b) ( ) 2

0 1 2

2

f a0 + a1x + a2x = a + a (x +1) + a (x +1) .

c) f (a a x a x ) a2 a0x

2

0 + 1 + 2 = + .

d) ( ) 2

0 1 2

2

f a0 + a1x + a2x = (a +1) + a x + a x .

Câu 5: Cho ánh xạ tuyến tính f :􀀖3 →􀀖2 sao cho f (1,0,0) = (1,1) ,

f (0,1,0) = (3,0), f (0,0,1) = (4,−7). Điều nào sau đây đúng:

a) Ma trận chính tắc của f là

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

=

4 7

3 0

1 1

A .

b) f (1,3,2) = (−13,18) .

c) f (x, y, z) = (x + 3y + 4z, x − 7z) .

d) Với mọi (x, y, z)∈􀀖3 , f (x, y, z) ≠ (0,0) .

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

76

Câu 6: Cho ánh xạ tuyến tính f :􀀖2 →􀀖2 có ma trận chính tắc

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−

8 4

2 1

. Véc tơ nào sau đây thuộc Im f :

a) (1,4) .

b) (−3,12) .

c) (4,−1) .

d) (14,−2) .

Câu 7: Cho ánh xạ tuyến tính f :􀀖3 →􀀖2 có ma trận chính tắc

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

6 2 3

4 1 2

. Véc tơ nào sau đây thuộc Kerf :

a) (1,4,0) .

b) (1,1,−2) .

c) (6,4,3) .

d) (2,0,−4) .

Câu 8: Xét ánh xạ tuyến tính D: P2 → P2 xác định bởi công thức

D( p) = p' , cho tương ứng đa thức p với đạo hàm p' của nó. Điều nào sau đây

không đúng:

a) Ma trận chính tắc của D là ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

0 0 2

0 1 0

A .

b) D là một toàn cấu.

c) Hạng của D là r(D) = 2.

d) dimKerD =1.

Câu 9: Cho ánh xạ tuyến tính f :􀀖4 →􀀖3 có công thức xác định ảnh

f (x, y, z,t) = (x − y + z + t, x + 2z − t, x + y + 3z − 3t)

Hệ véc tơ nào sau đây không là một cơ sở của Im f .

a) v1 = (1,0,1), v2 = (0,1,2) .

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

77

b) v1 = (1,0,−1), v2 = (0,1,2) .

c) v1 = (1,1,1), v2 = (0,1,2) .

d) v1 = (1,1,1), v2 = (1,2,3) .

Câu 10: Cho ánh xạ tuyến tính f :􀀖4 →􀀖4 có công thức xác định ảnh

f (x, y, z,t) = (x + 3y − z + 2t,11y − 5z + 3t,2x − 5y + 3z + t,4x + y + z + 5t)

Tìm hạng r( f ) và dimKerf .

a) r( f ) = 3 và dimKerf = 2 .

b) r( f ) = 2 và dimKerf = 2 .

c) r( f ) = 3 và dimKerf =1.

d) r( f ) = 2 và dimKerf =1.

Câu 11: Cho ánh xạ tuyến tính f :􀀖4 →􀀖3 có công thức xác định ảnh

f (x, y, z,t) = (x − y + z + t, x + 2z − t, x + y + 3z − 3t)

Hệ véc tơ nào sau đây là một cơ sở của Kerf .

a) u1 = (3,1,−1,4), u2 = (1,−2,5,1) .

b) u1 = (−3,1,−1,5), u2 = (1,−2,6,1) .

c) u1 = (2,1,−1,0), u2 = (1,2,0,1) .

d) u1 = (−3,1,−1,5), u2 = (1,−2,6,1), u3 = (1,2,0,1) .

Câu 12: Xét ánh xạ tuyến tính T : P2 → P3 xác định bởi công thức

T(p(x))= xp(x) . Điều nào sau đây không đúng

a) T đơn cấu.

b) T toàn cấu.

c) x + 2x2 + 3x3 thuộc ImT .

d) Ma trận của T trong cơ sở chính tắc là

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

=

0 0 1

0 1 0

1 0 0

0 0 0

A .

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

78

Câu 13: Ánh xạ f :􀀖3 →􀀖4 nào sau đây là ánh xạ tuyến tính có không

gian ảnh sinh bởi hai véc tơ v1 = (1,2,0,−4), v2 = (2,0,−1,−3) .

a) f (x, y, z) = (x + 2y, 2x, − y, − 4x − 3y) .

b) f (x, y, z) = (x + 2y + z, 2x + y − z, x − y, 4x − y + 3z) .

c) f (x, y, z) = (x + z, y − z, x − y, 4x − 3z) .

d) f (x, y, z) = (3x + 2y + z, x + 2y − z, x − 3y, 4x) .

Câu 14: Cho ma trận vuông cấp hai 2 0 3

1 2 M ∈ ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

M = , f :M2 → M2 là

ánh xạ tuyến tính xác định bởi f (A)= AM − MA. Tìm một cơ sở của nhân của

f .

a)

⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨ ⎧

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −

0 1

1 0

,

1 0

1 1

.

⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨ ⎧

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −

1 1

1 0

,

0 2

1 1

.

c)

⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨ ⎧

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −

0 1

1 0

,

0 0

1 1

.

d)

⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨ ⎧

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −

1 1

1 1

,

1 1

1 0

,

0 2

1 1

.

Câu 15: Cho ánh xạ tuyến tính f :􀀖7 →􀀖5 có hạng r( f ) = 4. Điều nào

sau đây đúng.

a) Không gian nghiệm của phương trình f (x) = 0 có chiều bằng 1.

b) Không gian nghiệm của phương trình f (x) = 0 có chiều bằng 3.

c) Với mọi y∈􀀖5 , phương trình f (x) = y luôn có nghiệm.

d) Các điều trên đều sai.

Câu 16: Cho hai ánh xạ tuyến tính f , g :􀀖3 →􀀖2 có công thức xác định

ảnh

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

79

f (x, y, z) = (2x, y + z) , g(x, y, z) = (x − z, y) . Tìm công thức xác định

2 f − 5g

a) (2 f − 5g)(x, y, z) = (−x + 5z,−3y + 2z) .

b) (2 f − 5g)(x, y, z) = (2x − y + 5z,5x + 4y + 2z) .

c) (2 f − 5g)(x, y, z) = (5x + y − 3z,2x − 3y + 2z) .

d) (2 f − 5g)(x, y, z) = (2x + y + 5z,−3x − y + 2z) .

Câu 17: Cho hai ánh xạ tuyến tính f , g :􀀖3 →􀀖3 có công thức xác định

ảnh

f (x, y, z) = (x + y + z, y,−z), g(x, y, z) = (0, x − y, x − z) . Tìm công thức xác

định g o f (x, y, y) .

a) g o f (x, y, y) = (x + 2y − z, y + 2z,2x − y + 3z) .

b) g o f (x, y, y) = (x + z, x + y, y + z) .

c) g o f (x, y, y) = (2x + 4z,2z,2y − 6z) .

d) g o f (x, y, y) = (3x + 2y − 5z, y + 6z,2x − y − 7z) .

Câu 18: Ánh xạ f :􀀖3 →􀀖3 có công thức xác định ảnh nào sau đây

không là một đẳng cấu.

a) f (x, y, z) = (x + z, y + z, x + y + z) .

b) f (x, y, z) = (−x + y + z, x − y + z, x + y − z) .

c) f (x, y, z) = (3x + 2y + 8z,3x + y + 4z, x + 3y) .

d) f (x, y, z) = ( y − z, z − x, x − y) .

Câu 19: ánh xạ f :􀀖3 →􀀖3 có công thức xác định ảnh

f (x, y, z) = (2x,4x − y,2x + 3y − z) là một đẳng cấu. Tìm công thức xác định

ảnh của ánh xạ ngược f −1(x, y, z) .

a) f −1(x, y, z) = (2x,2x − 7 y + 3z,7x − 3y + z).

b) f −1(x, y, z) = (x,2x − 4y − z,7x − 3y + 2z).

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

80

c) f −1(x, y, z) = (x / 2,2x − y,7x − 3y − z).

d) f −1(x, y, z) = (2x,4x − 2y,5x − 3y − z).

Câu 20: Tự đồng cấu tuyến tính f có ma trận trong cơ sở {e1, e2, e3, e4}

là

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

=

1 2 1 3

2 5 3 1

3 0 1 2

1 2 0 1

A .

Tìm ma trận của f trong cơ sở {e1,e1 + e2,e1 + e2 + e3,e1 + e2 + e3 + e4}.

a)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

= − =

1 1 2 3

3 1 0 2

2 3 5 1

1 0 2 1

A' T 1AT .

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− − −

−

= − =

1 3 4 7

1 4 6 4

1 4 8 7

2 0 1 0

A' T 1AT .

c)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

= − =

1 2 1 3

2 5 3 1

3 0 1 2

1 2 0 1

A' T 1AT .

d)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎡

−

− − −

−

= − =

1 5 6 9

3 1 8 2

2 6 5 7

3 0 2 1

A' T 1AT .

Câu 21: Cho ánh xạ tuyến tính f : P2 → P3 xác định bởi

f ( p) = (ax + b) p . Tìm ma trận của f trong cơ sở B = {x2, x,1} của P2 và

B'= {x3, x2, x,1} của P3.

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

81

a)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

a b

a b

a b

0 0

0 0

0 0

.

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

−

a b

a b

a b

0 0

0 0

0 0

.

c)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

−

b a

b a

a

0 0

0

0

0 0

.

d)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

b a

b a

a

0 0

0

0

0 0

.

Câu 22: Cho ánh xạ tuyến tính f :􀀖3 →􀀖3 có ma trận trong cơ sở chính

tắc là

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

= −

3 0 0

1 4 0

0 2 1

A . Tìm ma trận của f trong cơ sở {v1, v2, v3};

v1 = (1,1,1) , v2 = (1,1,0) , v3 = (1,0,0) .

a)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

= − = − − −

6 5 1

6 6 2

3 3 3

A' T 1AT .

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

= − =

7 4 2

5 6 4

1 1 3

A' T 1AT .

c)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

= − =

3 5 1

2 3 5

1 0 2

A' T 1AT .

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

82

d)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

− − −

= − =

6 5 1

4 6 4

4 8 7

A' T 1AT .

Câu 23: Cho ánh xạ tuyến tính f :􀀖3 →􀀖2 xác định bởi

f ((1,2,3))= (1,0) , f ((2,5,3))= (1,0) , f ((1,0,10))= (0,1) . Tìm công thức xác định

ảnh f (x, y, z).

a) f (x, y, z) = (6x − 20y + 5z,−9x + 3y + z) .

b) f (x, y, z) = (6x −10y + 5z,19x + 3y + 23z) .

c) f (x, y, z) = (30x −10y − 3z,−9x + 3y + z) .

d) f (x, y, z) = (13x + 8y − 3z,9x −13y + 7z) .

Câu 24: Cho ánh xạ tuyến tính f : P2 → P2 có ma trận

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎡

−

−

=

6 2 4

2 0 5

1 3 1

A

trong cơ sở B = {v1, v2, v3};

2

v1 = 3x + 3x , 2

v2 = −1+ 3x + 2x , 2

v3 = 3 + 7x + 2x . Tìm (1 ) f + x2 .

a) f (1+ x2 ) = 9 + x + 8x2 .

b) f (1+ x2 ) = 22 + 56x +14x2 .

c) f (1+ x2 ) =13 + 25x − 4x2 .

d) f (1+ x2 ) = −14 +19x +11x2.

Câu 25: Cho ánh xạ tuyến tính f :􀀖3 →􀀖2 có ma trận trong cơ sở

B = {(0,1,1),(1,0,1),((1,1,0)} của 􀀖3 và B'= {(1,1),(1,−1) } của 􀀖2 là

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

3 1 4

3 2 8

A . Tìm công thức xác định ảnh f (x, y, z).

a) (9 15 3 ,5 3 3 )

2

f (x, y, z) = 1 x + y − z x + y − z .

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

83

b) (6 10 5 ,19 3 23 )

3

f (x, y, z) = 1 x − y + z x + y + z .

c) f (x, y, z) = 2(13x + 8y − 3z,9x −13y + 7z) .

d) f (x, y, z) = (30x −10y − 3z,−9x + 3y + z) .

Câu 26: Cho ánh xạ tuyến tính f :􀀖2 →􀀖3 có công thức xác định ảnh

f (x, y) = (x,2y,0) . Tìm ma trận của f trong cơ sở B = {(1,1),(1,−1) } của

􀀖2 và B'= {(0,1,1),(1,0,1),((1,1,0)} của 􀀖3 .

a)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

−

3 4

1 1

3 3

3

1 .

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

−

3 4

1 1

3 3

.

c)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

−

3 1

1 3

1 3

2

1 .

d)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

−

3 5

4 3

2 2

3

1 .

Câu 27: Cho ánh xạ tuyến tính f :􀀖3 →􀀖2 có công thức xác định ảnh

f (x, y, z) = (x + y + z, x + y − z) . Tìm ma trận A của f trong cơ sở

B1 = {(0,1,1),(1,0,1),((1,1,0)}, B'1 = {(1,1),(0,1) } và ma trận B của f trong

cơ sở B2 = {(1,0,0),(0,0,1),(1,−1,0)}, B'2 = {(1,1),(1,−1) }.

a) ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

= ⎥⎦

⎤

⎢⎣ ⎡

− −

=

0 1 0

1 0 1

,

2 1 0

2 1 2

A B .

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

84

b) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

− −

=

0 1 0

1 0 0

,

2 2 0

2 2 2

A B .

c) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡− −

=

0 1 1

1 0 0

,

2 1 2

2 1 0

A B .

d) ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡ −

= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

− −

=

2 1 0

1 1 3

,

4 2 5

3 2 1

A B .

Câu 28: Cho ma trận

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

=

4 2 3

2 0 2

3 2 4

A . Tìm đa thức đặc trưng

P(λ )= det(A −λI )

a) P(λ ) = (8 −λ )(1+ λ )2 .

b) P(λ ) = −(8 −λ )2 (1+ λ ) .

c) P(λ ) = (8 + λ )2 (1−λ ) .

d) P(λ ) = (6 −λ )(1−λ )2.

Câu 29: Cho ánh xạ tuyến tính f :􀀖3 →􀀖3 có công thức xác định ảnh

f (x, y, z) = (x − 3y + 4z,4x − 7y + 8z,6x − 7 y + 7z). Tìm đa thức đặc trưng

( ) ( ) det 3 􀀖 P λ = f −λId .

a) P(λ ) = (8 −λ )(1+ λ )(3 −λ ) .

b) P(λ ) = −(3 −λ )2 (1+ λ ) .

c) P(λ ) = (3 −λ )(1+ λ )2 .

d) P(λ ) = (6 −λ )(1−λ )2.

Câu 30: Cho ánh xạ tuyến tính f :􀀖3 →􀀖3 có công thức xác định ảnh

f (x, y, z) = (x − 3y + 4z,4x − 7y + 8z,6x − 7 y + 7z) . Tìm một cơ sở của

không gian riêng ứng với giá trị riêng λ = −1.

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

85

a) {(1,2,1) }.

b) {(1,2,1),(2,−1,3) }.

c) {(2,−1,3),(1,1,0) }.

d) {(2,−1,3),(0,−1,1) }.

Câu 31: Cho ma trận

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

= −

1 2 3

2 0 2

1 2 1

A .

Tìm đa thức đặc trưng P(λ )= det(A −λI )

a) P(λ ) = (4 −λ )(1+ λ )2 .

b) P(λ ) = (4 −λ )2 (2 −λ ) .

c) P(λ ) = −λ (2 −λ )2.

d) P(λ ) = (6 −λ )(1−λ )(2 −λ ) .

Câu 32: Cho ma trận

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

= −

1 2 3

2 0 2

1 2 1

A . Tìm một cơ sở của không gian

riêng ứng với giá trị riêng λ = 2 .

a) { (2,−1,3) }.

b) {(1,0,1) }.

c) {(2,−1,3),(1,1,0) }.

d) {(2,−1,3),(0,−1,1) }.

Câu 33: Cho ma trận

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

2 8 3

0 4 1

5 7 5

A . Tìm ma trận P sao cho P−1AP

có dạng chéo.

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

86

a)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

= −

3 2 1

2 1 0

1 0 1

P ,

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− =

0 0 3

0 2 0

1 0 0

P 1AP .

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

= −

3 2 1

2 1 0

1 0 1

P ,

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− =

0 0 3

0 1 0

1 0 0

P 1AP .

c)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

= −

3 2 1

2 0 1

2 1 1

P ,

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− =

0 0 2

0 2 0

1 0 0

P 1AP .

d)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

= −

3 2 1

1 1 1

2 1 1

P ,

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− =

0 0 3

0 2 0

1 0 0

P 1AP .

Câu 34: Cho ma trận

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

12 24 13

10 19 10

7 12 6

A . Tìm ma trận P sao cho

P−1AP có dạng chéo.

a)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

= −

3 2 1

2 1 0

1 0 1

P ,

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

− =

0 0 1

0 1 0

1 0 0

P 1AP .

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

= −

3 2 1

2 1 0

1 0 1

P ,

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− =

0 0 3

0 1 0

1 0 0

P 1AP .

c)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡ −

=

0 1 6

1 0 5

2 1 3

P ,

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

− =

0 0 1

0 1 0

1 0 0

P 1AP .

d)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

= −

3 2 5

0 1 1

2 1 1

P ,

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

− = −

0 0 1

0 1 0

1 0 0

P 1AP .

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

87

Câu 35: Cho ma trận

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

1 2 6

1 1 5

2 6 15

A . Tìm ma trận P sao cho P−1AP

có dạng chéo.

a)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

= −

3 2 1

2 1 5

1 2 1

P ,

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− =

0 0 3

0 3 0

1 0 0

P 1AP .

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

= −

3 2 2

1 1 0

2 1 1

P ,

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− =

0 0 3

0 1 0

1 0 0

P 1AP .

c)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡ −

=

0 1 6

1 0 5

1 1 3

P ,

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− =

0 0 3

0 2 0

1 0 0

P 1AP .

d) Không tồn tại ma trận P .

Câu 36: Cho ánh xạ tuyến tính f : P2 → P2 có công thức xác định ảnh

( ) 2

0 1 2 0 1 2 0 1 2

2

f a0 + a1x + a2x = (a − 3a + a ) + (3a − 5a + a )x + (3a − 3a + a )x

. Tìm đa thức đặc trưng ( ) ( ) 2 P λ = det f −λIdP .

a) P(λ ) = (8 −λ )(1+ λ )(3 −λ ) .

b) P(λ ) = −(3 −λ )2 (1+ λ ) .

c) P(λ ) = (1−λ )(2 + λ )2 .

d) P(λ ) = (2 −λ )(1−λ )2 .

Câu 37: Cho ánh xạ tuyến tính f :􀀖3 →􀀖3 có công thức xác định ảnh

f (x, y, z) = (x + 2y + 2z, x + 2y − z,−x + y + 4z) . Tìm một cơ sở của 􀀖3 gồm

các véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính f :

a) v1 = (2,−1,2),v2 = (1,1,1),v3 = (1,0,1) ;

f (v1) = v1 , f (v2 ) = 3v2 , f (v3) = 3v3.

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

88

b) v1 = (2,−1,1) , v2 = (1,1,0) , v3 = (1,0,1) ;

f (v1) = v1 , f (v2 ) = 3v2 , f (v3) = 3v3 .

c) v1 = (−2,1,−1),v2 = (2,1,1),v3 = (1,0,1) ;

f (v1) = v1 , f (v2 ) = −3v2 , f (v3) = −3v3 .

d) v1 = (2,−1,3),v2 = (0,1,−1),v3 = (1,0,1) ;

f (v1) = v1 , f (v2 ) = v2 , f (v3) = 3v3 .

Câu 38: Cho ánh xạ tuyến tính f :􀀖3 →􀀖3 có công thức xác định ảnh

f (x, y, z) = (3x + y + z,2x + 4y + 2z, x + y + 3z) . Tìm một cơ sở của 􀀖3 để

ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở này có dạng chéo:

a) {(1,2,1),(1,0,−1),(0,1,−1) }, ma trận của f

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

0 0 2

0 2 0

6 0 0

.

b) {(1,0,−1),(1,2,1),(0,1,−1) }, ma trận của f

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

0 0 2

0 6 0

2 0 0

.

c) {(1,0,−1),(1,2,1),(1,1,−2) }, ma trận của f

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

0 0 2

0 6 0

2 0 0

.

d) Cả ba trường hợp trên đều đúng.

Câu 39: Cho ánh xạ tuyến tính f :􀀖3 →􀀖3 có công thức xác định ảnh

f (x, y, z) = (4x − 5y + 2z,5x − 7y + 3z,6x − 9y + 4z) . Tìm một cơ sở của 􀀖3

gồm các véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính f :

a) v1 = (1,0,−1) , v2 = (−2,2,1) , v3 = (1,−2,−1)

f (v1) = v1 , f (v2) = 2v2 , f (v3) = 3v3 .

b) v1 = (1,2,1) , v2 = (1,0,−1) , v3 = (0,1,−,1)

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

89

f (v1) = 6v1 , f (v2 ) = 2v2 , f (v3) = 2v3 .

c) Không tồn tại cơ sở gồm các véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính f .

d) v1 = (1,1,2) , v2 = (1,0,0) , v3 = (0,1,−1)

f (v1) = 4v1 , f (v2) = v2 , f (v3) = v3 .

Câu 40: Cho ánh xạ tuyến tính f : P2 → P2 có công thức xác định ảnh

( ) 2

0 1 2 1 2 1 2

2

f a0 + a1x + a2x = (a + a + a ) + (2a + a )x + (2a + 3a )x .

Tìm một cơ sở B của P2 gồm các véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính f :

a) B = {v1,v2,v3}; 2

v1 =1+ x + 2x , v2 =1, 2

v3 = x − x .

f (v1) = 4v1 , f (v2) = v2 , f (v3) = v3 .

b) B = {v1, v2, v3}; 2

v1 =1− x + x , 2

v2 =1+ x + 2x , 2

v3 = x − x .

f (v1) = v1 , f (v2 ) = 4v2 , f (v3) = v3 .

c) B = {v1, v2, v3}; 2

v1 = x − x , 2

v2 =1+ x − x , 2

v3 = 2 + 2x + 4x .

f (v1) = v1 , f (v2 ) = v2 , f (v3) = 4v3 .

d) Cả ba trường hợp trên đều đúng.

Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương

90

7. CHƯƠNG 7: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE DẠNG TOÀN

PHƯƠNG

7.1 MỤC TIÊU, YÊU CẦU, Ý NGHĨA

Euclide là người đầu tiên đã trình bày toán học một cách hệ thống trong bộ

sách "Cơ sở", trong đó Euclide đã xây dựng môn hình học chỉ dựa trên năm tiên

đề. Cuốn sách này được dùng làm sách giáo khoa cho đến tận thế kỷ 19. Không

gian Euclide ban đầu được hiểu như là không gian thực 3 chiều với hệ tiên đề

Euclide. Sự mở rộng sang không gian nhiều chiều xuất phát từ những công trình

của Banach (1892-1945), nhà toán học Ba Lan.

Không gian afin được xây dựng trên cơ sở không gian véc tơ, trong đó ta chỉ

khảo sát các phẳng và quan hệ song song. Không gian Euclide được xây dựng trên

cơ sở không gian véc tơ Euclide, trong đó ta có thể tính được độ dài, quan hệ trực

giao, khái niệm góc.... Mặt phẳng và không gian ta gặp trong chương trình phổ

thông là các không gian Euclide.

Không gian véc tơ Euclide là một không gian véc tơ với tích vô hướng. Tích

vô hướng là một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương. Khái niệm tích vô

hướng được khái quát hoá từ khái niệm tích vô hướng đã gặp ở phổ thông, trong đó

tích vô hướng của hai véc tơ u , v là số thực u ⋅ v = u ⋅ v cos(u , v ).

Hai véc tơ được gọi là trực giao nhau nếu tích vô hướng của chúng bằng 0. Hệ

véc tơ gồm các véc tơ trực giao nhau được gọi là một hệ trực giao. Véc tơ có tích

vô hướng với chính nó bằng 1 được gọi là véc tơ đơn vị. Một hệ trực giao gồm các

véc tơ đơn vị được gọi là hệ trực chuẩn. Cho một hệ véc tơ độc lập tuyến tính thì ta

có thể tìm được một hệ trực chuẩn sao cho không gian sinh bởi hai hệ này là trùng

nhau. Để tìm hệ trực chuẩn này ta sử dụng lược đồ trực chuẩn hoá Gram-Shmidt.

Trong viễn thông người ta hay dùng phương pháp này trong lý thuyết truyền

dẫn tín hiệu, trong đó mỗi tín hiệu được biểu diễn dưới dạng một hàm số theo thời

gian t. Tích vô hướng của hai tín hiệu f (t), g(t) là = ∫

a

f (t), g(t) f (t)g(t)dt . Lúc

đó người ta tìm một hệ các tín hiệu chuẩn là một hệ trực chuẩn (bằng cách trực

Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương

91

chuẩn hoá Gram-Shmidt), còn các tín hiệu khác được biểu diễn dưới dạng tổ hợp

tuyến tính của các tín hiệu chuẩn này.

Ma trận trực giao là ma trận vuông có các véc tơ cột là một hệ trực chuẩn. Ma

trận chuyển cơ sở của hai cơ sở trực chuẩn là ma trận trực giao. Ma trận của ánh xạ

trực giao trong cơ sở trực chuẩn là ma trận trực giao. Ma trận trực giao khả nghịch

và ma trận nghịch đảo bằng ma trận chuyển vị của nó.

Bài toán chéo hoá trực giao ma trận vuông A là tìm ma trận trực giao T sao

cho T t AT là ma trận chéo. Ma trận vuông chéo hoá trực giao được khi và chỉ khi

nó là ma trận đối xứng. Để chứng minh điều này ta sử dụng tự đồng cấu đối xứng.

Khái niệm dạng toàn phương có rất nhiều ứng dụng.

Một dạng toàn phương được xác định bởi duy nhất một dạng song tuyến tính

đối xứng được gọi là dạng cực của dạng toàn phương đó. Ma trận của dạng cực

cũng còn gọi là ma trận của dạng toàn phương. Vậy ma trận của một dạng toàn

phương là ma trận đối xứng, do đó có thể chéo hoá trực giao được. Bằng phương

pháp này ta có thể đưa biểu thức toạ độ của một dạng toàn phương về dạng chính

tắc (chỉ chứa các thành phần bình phương, ma trận của nó có dạng chéo). Ngoài ra

ta có thể đưa về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange và phương pháp

Jacobi, thuật biến đổi ma trận.... Khi đưa biểu thức toạ độ của một dạng toàn

phương về dạng chính tắc bằng những phương pháp khác nhau thì các hệ số trên

đường chéo của ma trận chéo có thể khác nhau, nhưng số các hệ số dương và hệ số

âm luôn bằng nhau, được gọi là chỉ số quán tính của dạng toàn phương. Định lý

Sylvester cho ta một tiêu chuẩn để nhận biết một dạng toàn phương là xác định

dương hay xác định âm dựa vào các định thức con chính góc bên trái.

Dựa vào tính bất biến của chỉ số quán tính của dạng toàn phương ta có thể

ứng dụng để phân loại các đường bậc 2 trong mặt phẳng (các đường cô níc: đường

êlíp, hyperbol, parabol. Đây là 3 đường cong cơ bản đã được khảo sát ở phổ thông

dưới dạng phương trình chính tắc) và các mặt bậc 2 trong không gian. Thực hiện

phép đổi trục toạ độ để đưa đường bậc 2 trong mặt phẳng và mặt bậc 2 trong không

gian về dạng chính tắc.

Hàm số chỉ đạt cực trị tại những điểm tới hạn (đạo hàm bậc nhất bằng 0 hoặc

không tồn tại đạo hàm). Khi hàm một biến số có đạo hàm bậc 1 triệt tiêu tại một

điểm nào đó thì số gia của hàm phụ thuộc vào dấu của đạo hàm bậc 2 tại điểm này.

Khi hàm nhiều biến có các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0 tại điểm tới hạn tại một

điểm nào đó thì số gia của hàm tại điểm này phụ thuộc vào vi phân bậc 2, đó là

một dạng toàn phương. Tuỳ theo tính chất xác định dương, xác định âm hay không

xác định của dạng toàn phương này ta có thể kết luận hàm số đạt cực tiểu, cực đại

Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương

92

hay không đạt cực trị tại điểm đã xét. Khi vi phân bậc 2 bằng 0 thì bài toán sẽ phức

tạp hơn nhiều, nhưng rất may là trường hợp này ít gặp trong thực tế.

Dạng toàn phương còn được sử dụng trong bài toán bình phương cực tiểu,

trong quy hoạch động, phân loại các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2

...

Học viên nên áp dụng thành thạo lược đồ trực chuẩn hóa Gram-Shmidt. Đổi

cơ sở để đưa biểu thức toạ độ của một dạng toàn phương về dạng chính tắc, đặc

biệt chú trọng phương pháp chéo hóa trực giao.

7.2 TÓM TẮT NỘI DUNG

7.2.1 Dạng song tuyến tính

Một dạng song tuyến tính trên không gian véc tơ V là một ánh xạ

η :V ×V → 􀀖

(u,v) a η(u,v)

sao cho khi cố định mỗi biến thì nó trở thành ánh xạ tuyến tính đối với biến

kia.

Dạng song tuyến tính η được gọi là có tính:

i) Đối xứng: Nếu η(u,v) =η(v,u) với mọi u,v∈V ;

ii) Không âm: Nếu η(u,u) ≥ 0 với mọi u∈V ;

iii) Không dương: Nếu η(u,u) ≤ 0 với mọi u∈V ;

iv) Xác định: Nếu η(u,u) = 0 khi và chỉ khi u = 0 .

Một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương được gọi là tích vô

hướng. Ta thường ký hiệu tích vô hướng của u và v là u,v thay cho η(u,v) .

7.2.2 Không gian Euclide

Một không gian véc tơ V với một tích vô hướng <,> được gọi là không gian

véc tơ Euclide.

7.2.3 Chuẩn của véc tơ

Với mỗi véc tơ v∈V ta định nghĩa và ký hiệu chuẩn hay mô đun của véc tơ v

qua biểu thức: v := v, v .

Nếu v =1 thì v được gọi là véc tơ đơn vị.

Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương

93

7.2.4 Trực giao, trực chuẩn

Hai véc tơ u,v∈V gọi là trực giao nhau, ký hiệu u ⊥ v , nếu u,v = 0.

Hệ các véc tơ S = {v1,..., vn} của V được gọi là hệ trực giao nếu hai véc tơ bất

kỳ của hệ S đều trực giao nhau.

Hệ trực giao các véc tơ đơn vị được gọi là hệ trực chuẩn.

7.2.5 Trực chuẩn hoá Gram-Shmidt

Giả sử S = {u1,...,un} là một hệ độc lập tuyến tính các véc tơ của không gian

Euclide V. Khi đó ta có thể tìm được hệ trực chuẩn S'= {v1,..., vn} sao cho

span{v1,...,vk }= span{u1,...,uk };k =1,...,n .

􀀹 k =1: Vì hệ S độc lập nên u1 ≠ 0. Đặt

1

1

1 u

v = u .

􀀹 k = 2: Xét v2 = − u2, v1 v1 + u2, ta có v2 ≠ 0 . Đặt

2

2

2 v

v = v , hệ

{v1, v2} trực chuẩn và span{v1,v2}= span{u1,u2}.

􀀹 Giả sử đã xây dựng được đến k −1. Tức có {v1,...,vk −1}trực chuẩn sao

cho span{v1,...,vk −1}= span{u1,...,uk −1}.

Tương tự trên ta xét Σ

−

=

= − +

1

1

,

k

vk uk vi vi uk ta cũng có vk ≠ 0

Đặt

k

k

k v

v = v thì v ⊥ v ; i =1,..., k −1 k i . Vậy hệ {v1,..., vk } trực chuẩn và

span{v1,...,vk }= span{v1,...,vk −1,vk }= span{u1,...,uk −1,uk }.

7.2.6 Cơ sở trực chuẩn

Một cơ sở của không gian véc tơ V mà là hệ trực chuẩn được gọi là một cơ sở

trực chuẩn.

Mọi hệ trực chuẩn của V đều có thể bổ sung thêm để trở thành cơ sở trực

chuẩn.

Giả sử {e1,..., en} là một cơ sở trực chuẩn của V thì với mọi u,v∈V , ta có

Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương

94

2 2

1

2

1 1

1 1

, ... ,

, , , ... , ,

, ... ,

v v e v e

u v u e v e u e v e

v v e e v e e

= + +

= + +

= + +

7.2.7 Không gian con trực giao, phần bù trực giao

Véc tơ v∈V được gọi là trực giao với tập con S ⊂V , ký hiệu v ⊥ S , nếu

v ⊥ u với mọi u∈S .

Tập con S1 trực giao với tập con S2 , ký hiệu S1 ⊥ S2 , nếu v ⊥ u với mọi

v∈S1,u∈S2 .

Nếu v ⊥ S thì v ⊥ spanS .

Giả sử {e1,..., ek } là một cơ sở của W thì v ⊥W khi và chỉ khi v ⊥ ei , với mọi

i =1,..., k .

Với mọi tập con S ⊂V . Ta ký hiệu S ⊥ = {v∈V v ⊥ u,∀u∈S}.

Tập S⊥ là không gian véc tơ con của V .

Với mọi không gian con W của V . Ta có ⊥

⊥⊕

V =W W , (W ) =W

Hai không gian con W,W⊥ được gọi là phần bù trực giao của nhau.

7.2.8 Ma trận trực giao

Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao nếu At A = I .

Như vậy ma trận trực giao A là khả nghịch và có A−1 = At .

Ma trận A trực giao khi và chỉ khi các véc tơ cột và các véc tơ hàng của A

tạo thành hai hệ trực chuẩn.

Ta có At A = I =1 ⇒ A = ±1.

Mọi ma trận vuông cấp 2 trực giao đều có dạng

⎥⎦

⎤

⎢⎣ ⎡

−

=

ϕ ϕ

ϕ ϕ

sin cos

cos sin

A hay ⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

ϕ ϕ

ϕ ϕ

sin cos

cos sin

A .

Ma trận của một hệ trực chuẩn viết trong cơ sở trực chuẩn là một ma trận trực

giao. Đặc biệt mọi ma trận chuyển từ cơ sở trực chuẩn sang cơ sở trực chuẩn là ma

trận trực giao.

Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương

95

7.2.9 Ánh xạ tuyến tính trực giao

Giả sử (V, , V ) và ( ) V ', , V ' là hai không gian véc tơ Euclide. ánh xạ

tuyến tính f :V →V' được gọi là ánh xạ trực giao nếu với mọi u,v∈V :

f (u), f (v) V ' = u, v V

Tự đẳng cấu f là trực giao khi và chỉ khi ma trận của tự đẳng cấu f trong

một cơ sở trực chuẩn là một ma trận trực giao.

7.2.10 Bài toán chéo hoá trực giao

Cho ma trận A tìm ma trận trực giao T sao cho T t AT là ma trận chéo.

A chéo hoá trực giao được khi và chỉ khi A là ma trận đối xứng.

7.2.11 Thuật toán chéo hoá trực giao

Muốn chéo hoá trực giao một ma trận đối xứng A, nghĩa là tìm ma trận trực

giao T sao cho T t AT có dạng chéo, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm các giá trị riêng của ma trân đối xứng A (nghiệm của đa thức

đặc trưng).

Bước 2: Trong mỗi không gian riêng tìm một cơ sở và trực chuẩn hoá Gram-

Shmidt cơ sở này.

Bước 3: Gộp các cơ sở đã được trực chuẩn hoá ở bước 2 ta có một cơ sở trực

chuẩn của V . Ma trận các véc tơ của cơ sở này là ma trận trực giao T cần tìm.

7.2.12 Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương

Giả sử η :V ×V →􀀖 là một dạng song tuyến tính trên không gian véc tơ V .

B = {e1,..., en} là một cơ sở của V

Ma trận [ ] A = aij , aij =η(ei , e j )

được gọi là ma trận của dạng song tuyến tính η trong cơ sở B.

∀u, v∈V; u = x1e1 + ...+ xnen và v = y1e1 + ... + ynen

Σ Σ

= =

= =

= + + + +

i j

ij i j

i j

i j i j

e e x y a x y

u v x e x e y e y e

, 1 , 1

1 1 1 1

( , )

( , ) ( ... , ... )

η

η η

được gọi là biểu thức toạ độ trong cơ sở B.

Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương

96

Ngược lại ánh xạ η :V ×V →􀀖 xác định bởi Σ

=

=

i j

u v aij xi y j

, 1

η( , ) là một

dạng song tuyến tính có ma trận [ ] A = aij , aij =η(ei , e j ) .

Giả sử η :V ×V →􀀖 là dạng song tuyến tính trên không gian véc tơ V .

Ánh xạ Q: V → 􀀖

v a Q(v) =η(v,v)

được gọi là một dạng toàn phương trên V . Do đó

Σ

=

=

i j

Q v aij xi x j

, 1

) ( , với Σ=

=

v xiei

1

là biểu thức toạ độ trong cơ sở B.

Một dạng toàn phương Q: V → 􀀖 là một hàm số xác định trong không gian

véc tơ V có công thức xác định ảnh Q(v) là một đa thức thuần nhất bậc hai đối

với các toạ độ của véc tơ v trong cơ sở bất kỳ.

Mỗi dạng toàn phương Q chỉ có duy nhất một dạng song tuyến tính đối xứng

η , được gọi là dạng cực của Q, sao cho Q(v) =η(v,v) .

Nếu A là ma trận của dạng cực η của Q thì A cũng còn được gọi là ma trận

của dạng toàn phương Q .

7.2.13 Biểu thức toạ độ của dạng toàn phương trong các cơ sở khác nhau

Giả sử Q là dạng toàn phương trong không gian véc tơ V . [ ] A = aij ,

[ ] A'= a'ij là hai ma trận của Q trong hai cơ sở B = {e1,..., en}. B'= {e'1 ,..., e'n}

của V . Gọi [ ] T = tij là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B' thì A T AT '= t .

7.2.14 Biểu thức toạ độ dạng chính tắc của một dạng toàn phương

Ta cần tìm một cơ sở của V để trong cơ sở này ma trận của dạng toàn phương

là ma trận chéo, nghĩa là biểu thức toạ độ có dạng chính tắc:

2 2

22 2

2

Q(v) = a11x1 + a x + ... + ann xn

Đưa về chính tắc bằng chéo hoá trực giao:

Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương

97

Giả sử Q là dạng toàn phương trong không gian Euclide V với cơ sở trực

chuẩn B = {e1,..., en} có ma trận [ ] A = aij (ma trận đối xứng). Chéo hoá trực

giao ma trận [ ] A = aij , nghĩa là ta tìm được ma trận trực giao T để T AT t là ma

trận chéo. T là ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở trực chuẩn B' gồm các

véc tơ riêng của A. Vì vậy biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở B' có dạng chính

tắc.

Đưa về dạng chính tắc theo phương pháp Lagrange:

Giả sử trong cơ sở B = {e1,..., en} của không gian véc tơ V (không giả thiết

không gian Euclide) biểu thức toạ độ của dạng toàn phương Q có dạng:

Σ

=

=

i j

Q v aij xi x j

, 1

) ( , ji ij a a = , Σ=

=

v xiei

1

.

Ta thực hiện các phép đổi toạ độ sau:

♦ Trường hợp 1: Giả sử có aii ≠ 0, chẳng hạn a11 ≠ 0 thì ta có thể sắp xếp

lại:

Σ Σ

= =

+

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

= +

i j

ij i j

i x a x x

a

Q v a x x a

2 11 , 2

1

1

2

( ) 11 1 2

Σ Σ

= =

+

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

= +

i j

ij i j

i x a x x

a

a x a

, 2

2

2 11

1

11 1 '

Đặt

⎪ ⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

= =

+ = Σ=

y x j n

x

a

y x a

j j

; 2,...,

2 11

1

1 1 thì Σ

=

= +

i j

Q v a y a ij yi y j

, 2

2

( ) 11 1 '

Tiếp tục quá trình này với biểu thức Σ

=

i j

a ij yi y j

, 2

' .

♦ Trường hợp 2: Nếu mọi aii = 0 thì tồn tại aij ≠ 0 , chẳng hạn a12 ≠ 0.

Đặt

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= =

= −

= +

x y j n

x y y

x y y

j j ; 3,...,

2 1 2

1 1 2

thì Σ Σ

= =

= =

i j

ij i j

i j

Q v aij xi x j a y y

, 1 , 1

( ) '

Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương

98

có a'11 = a12 ≠ 0 , vì vậy ta có thể đưa về trường hợp 1.

Đưa về dạng chính tắc theo phương pháp Jacobi:

Cho dạng toàn phương Q trong không gian véc tơ V (không giả thiết không

gian Euclide) với dạng cực tương ứng η và có ma trận trong cơ sở B = {e1,..., en}

là [ ] A = aij : aij =η(ei , e j ) ; i, j =1,..., n.

Nếu các định thức con chính của A đều khác không:

D1 = a11 ≠ 0, 0

21 22

11 12

2 = ≠

a a

a a

D , ... , 0

...

...

1

11 1

= ≠

a a

a a

D M O M

thì với mỗi j =1,...,n các hệ phương trình Cramer sau

... 1

.............................................

... 0

... 0

1 1 2 2

21 1 22 2 2

11 1 12 2 1

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

+ + + =

+ + + =

+ + + =

j j jj j

j j

j j

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

luôn có nghiệm duy nhất ký hiệu là ( ) α1 j ,α 2 j ,....,α jj .

Xét hệ véc tơ

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

= + + +

= +

=

fn ne ne nnen

f e e

f e

α α α

α α

α

....

.........................................

1 1 2 2

2 12 1 22 2

1 11 1

thì biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở B'= {f1,..., fn} có dạng chính tắc:

v = y1 f1 + ... + yn fn ⇒ 2 1 2

2

2

2 1

1

1

( ) 1 ... n

n y

D

y D

D

y D

D

Q v = + + + − .

7.2.15 Luật quán tính

Số các hệ số dương và số các hệ số âm trong dạng chính tắc của một dạng

toàn phương Q là những bất biến của dạng đó (tức là không phụ thuộc vào việc

lựa chọn cơ sở). Số các hệ số dương được gọi là chỉ số quán tính dương và số các

hệ số âm được gọi là chỉ số quán tính âm.

Giả sử ( p,q) là cặp chỉ số quán tính dương và âm của dạng toàn phương Q

trong không gian n chiều V thì p + q = r (hạng của Q ).

Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương

99

Nếu r = n thì Q được gọi là không suy biến;

p = n thì Q được gọi là xác định dương;

q = n thì Q được gọi là xác định âm.

Định lý Sylvester: Giả sử dạng toàn phương Q có ma trận là A trong một cơ

sở nào đó của V . Khi đó:

(i) Q xác định dương khi và chỉ khi các định thức con góc trái của A luôn

dương.

(ii) Q xác định âm khi và chỉ khi các định thức con góc trái cấp chẵn là

dương và cấp lẻ là âm.

7.3 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Câu 1: 2

∀(x1, y1),(x2, y2 )∈􀀖 , biểu thức nào sau đây của η xác định một

dạng song tuyến tính của không gian véc tơ 􀀖2 .

a) ( ) 2

2 2

2

η (x1, y1),(x2, y2 ) = (x1 − y1) +(x + y ) .

b) ( ) 2

1 2

2

η (x1, y1),(x2, y2 ) = (x1 − x2 ) +( y − y ) .

c) η((x1, y1),(x2, y2 ))= 2x1x2 +13x1y2 − 5y1y2 .

d) η((x1, y1),(x2, y2 ))= 2x1 + x2 − 3x1y2 + 5y1y2 .

Câu 2: 2

∀(x1, y1),(x2, y2 )∈􀀖 , dạng song tuyến tính η nào sau đây của

không gian véc tơ 􀀖2 có tính xác định.

a) η((x1, y1),(x2, y2 ))= 2x1x2 +13x1y2 − 5y1y2 .

b) η((x1, y1),(x2, y2 ))= 3x1x2 − 6x1y2 + 2x2 y1 − 4y1y2.

c) η((x1, y1),(x2, y2 ))= 2x1x2 + 5x1y2 + 4x2 y1 +10y1y2 .

d) η((x1, y1),(x2, y2 ))= x1y2 + 8x2 y1 + 5y1y2 .

Câu 3: 2

∀(x1, y1),(x2, y2 )∈􀀖 , dạng song tuyến tính η nào sau đây của

không gian véc tơ 􀀖2 có tính đối xứng.

a) η((x1, y1),(x2, y2 ))= 2x1x2 + x1y2 + 6y1y2.

b) η((x1, y1),(x2, y2 ))= 3x1x2 + x1y2 + 2x2 y1 + 3y1y2 .

Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương

100

c) η((x1, y1),(x2, y2 ))= 2x1x2 − 4x1y2 + 4x2 y1 − 2y1y2 .

d) η((x1, y1),(x2, y2 ))= x1y2 + x2 y1 − 3y1y2 .

Câu 4: 2

∀(x1, y1),(x2, y2 )∈􀀖 , dạng song tuyến tính η nào sau đây của

không gian véc tơ 􀀖2 là một tích vô hướng.

a) η((x1, y1),(x2, y2 ))= 2x1x2 + 8x1y2 − y1y2 .

b) η((x1, y1),(x2, y2 ))= 3x1x2 + 5x1y2 + 2x2 y1 + y1y2 .

c) η((x1, y1),(x2, y2 ))= 2x1x2 + x1y2 − 3x2 y1 + y1y2.

d) η((x1, y1),(x2, y2 ))= x1y2 + 2x2 y1 + 3y1y2 .

Câu 5: Giả sử , là một tích vô hướng của không gian véc tơ V . Điều

nào sau đây không đúng.

a) Nếu u,v = 0 với mọi v∈V thì u = 0.

b) u + v,u + v = u,u + v,v .

c) u,u > 0 với mọi u∈V và u ≠ 0.

d) ∀u,v∈V, ∀k ∈􀀖; ku,kv = k 2 u,v .

Câu 6: 2

∀(x1, y1),(x2, y2 )∈􀀖 ,

η((x1, y1),(x2, y2 ))= x1x2 − x1y2 − x2 y1 + 3y1y2 xác định một tích vô hướng

của không gian véc tơ 􀀖2 . Tìm mô đun v , v = (3,4) .

a) v = 33 .

b) v = 5.

c) v = 12 .

d) v =1.

Câu 7: Trong không gian véc tơ 􀀖3 xét tích vô hướng thông thường. Tìm

véc tơ u trực chuẩn hoá của véc tơ ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛−

5

,1, 1

5

v 2 .

a) ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛−

5

,1, 1

5

u 2 .

Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương

101

b) ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛−

5

, 5, 1

5

u 2 .

c) ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛−

30

, 1

30

, 5

30

u 2 .

d) ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛−

30

, 30, 1

30

u 2 .

Câu 8: Ký hiệu v = v,v là mô đun của véc tơ v trong không gian véc

tơ Euclide V . Điều nào sau đây không đúng.

a) v ≥ 0; và v = 0 khi và chỉ khi v = 0.

b) kv = k v .

c) v + u ≤ v + u .

d) v − u ≤ v − u .

Câu 9: Cho không gian véc tơ Euclide V với tích vô hướng , . Điều nào

sau đây không đúng.

a) u = v khi và chỉ khi u + v,u − v = 0 .

b) 2 2

2

1

2

u,v = 1 u + v − u − v .

c) u + v 2 = u 2 + v 2 khi và chỉ khi u ⊥ v .

d) 2 2

4

1

4

u,v = 1 u + v − u − v .

Câu 10: Ta gọi d(u,v) = u − v là hàm khoảng cách trong không gian véc

tơ Euclide V . Điều nào sau đây không đúng.

a) d(u,v) ≥ 0; và d(u,v) = 0 khi và chỉ khi u = v .

b) d(ku,kv) = k 2d(u,v) .

c) d(u,v) ≤ d(u,w) + d(w,v) .

d) d(u,v) = d(v,u) .

Câu 11: Trong không gian véc tơ 􀀖3 xét tích vô hướng thông thường.

Tìm một véc tơ đơn vị w trực giao với hai véc tơ u1 = (1,2,3), u2 = ( 0,1,3).

Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương

102

a) ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

=

11

, 1

11

, 3

11

w 1 .

b) ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

=

10

, 1

10

w 0, 3 .

c) ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ − −

=

11

, 1

11

, 3

11

w 1 .

d) w = (−1,3 −1).

Câu 12: Trong không gian véc tơ 􀀖2 xét tích vô hướng thông thường.

Trực chuẩn hoá Gram-Shmidt của hệ véc tơ u1 = (1,−2), u2 = ( 2,0).

a) , (1,0)

5

, 2

5

1

2 1 = ⎟⎠

⎞

⎜⎝

v = ⎛ − v .

b) ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛ ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛ −

5

, 1

5

, 2

5

, 2

5

1

v1 v2 .

c) ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛ ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛ − ,0

5

, 2

5

, 2

5

1

v1 v2 .

d) , ( 2,1)

5

, 2

5

1

2 1 = ⎟⎠

⎞

⎜⎝

v = ⎛ − v .

Câu 13: Trong không gian véc tơ 􀀖3 xét tích vô hướng thông thường.

Trực chuẩn hoá Gram-Shmidt của hệ véc tơ

u1 = (1,1,1), u2 = ( 0,1,1), u3 = ( 0,0,1).

a) , ( 0,0,1)

2

, 1

2

, 0, 1

3

, 1

3

, 1

3

1

3 2 1 = ⎟⎠

⎞

⎜⎝= ⎛

⎟⎠

⎞

⎜⎝

v = ⎛ v v .

b) ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

= ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

= ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛

2

, 1

2

, 0, 1

6

, 2

6

, 1

6

, 1

3

, 1

3

, 1

3

1

v1 v2 v3 .

c) ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

= ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

= ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛

2

,0, 1

2

, 1

6

, 1

6

, 1

6

, 2

3

, 1

3

, 1

3

1

v1 v2 v3 .

d) ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

= ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

= ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛

2

, 1

2

, 0, 1

6

, 1

6

, 1

6

, 2

3

, 1

3

, 1

3

1

v1 v2 v3 .

Câu 14:

Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương

103

2

∀(x1, y1),(x2, y2 )∈􀀖 , η((x1, y1),(x2, y2 ))= x1x2 − 2x1y2 − 2x2 y1 + 5y1y2

xác định một tích vô hướng của không gian véc tơ 􀀖2 . Trực chuẩn hoá Gram-

Schmidt cơ sở {e1 = (1,0), e2 = (0,1)} của 􀀖2 .

a) v1 = e1 = (1,0), v2 = e2 = (0,1) .

b) v1 = e1 = (1,0), v2 = (2,1) .

c) v1 = (1,2), v2 = e2 = (0,1) .

d) ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

= ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛

5

, 1

5

, 2

5

, 2

5

1

v1 v2 .

Câu 15: Trong không gian véc tơ 􀀖4 xét tích vô hướng thông thường.

Tìm một cơ sở của không gian W gồm các véc tơ trực giao với hai véc tơ

u1 = (1,−2,3,4), u2 = (3,−5,7,8).

a) v1 = (3,1,0,−4), v2 = (1,−3,5,4) .

b) v1 = (4,1,0,6), v2 = (2,−1,3,0), v3 = (1,−1,3,2) .

c) v1 = (1,2,1,0), v2 = (4,4,0,1) .

d) v1 = (2,4,2,0), v2 = (5,6,1,2) .

Câu 16: Trong không gian véc tơ 􀀖5 xét tích vô hướng thông thường.

Tìm một cơ sở của phần bù trực giao W⊥ của không gian

W = span{u1 = (1,2,3,−1,2), u2 = ( 2,4,7,2,−1)}.

a) {v1 = ( 2,−1,0,0,0), v2 = ( −17,0,5,0,1), v3 = (13,0,−4,1,0)}.

b) {v1 = ( 2,−1,0,0,0), v2 = ( −17,0,5,0,1)}.

c) {v1 = ( 2,−1,0,0,0), v2 = (7,0,5,0,1), v3 = (13,0,−4,1,0)}.

d) {v1 = ( 2,−1,0,0,0), v2 = ( −17,0,5,0,1), v3 = (15,1,−5,0,−1)}.

Câu 17: Giả sử W1,W2 là hai không gian véc tơ con của không gian véc tơ

Euclide V . Điều nào sau đây không đúng.

a) (W1 +W2 )⊥ =W1⊥ ∩W2⊥ .

b) (W1 ∩W2 )⊥ =W1⊥ +W2⊥ .

c) (W1 ∩W2 )⊥ =W1⊥ ∪W2⊥.

Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương

104

d) W1 ⊂W2 ⇒W1⊥ ⊃W2⊥.

Câu 18: Xác định xem cơ sở nào sau đây là cơ sở trực chuẩn của không

gian véc tơ 􀀖3 .

a) {(1,−1,1), (0,1,1), (2,0,1)}.

b) {(1,2,2), (2,0,1), (−1,0,1)}.

c)

⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨ ⎧

⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

3

, 2

3

, 2

3

, 1

3

, 2

3

,1

3

, 2

3

,1

3

, 2

3

2 .

d)

⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨ ⎧

⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ − −

2

, 1

6

, 1

3

, 1

2

, 1

6

, 1

3

, 1

2

, 1

6

, 1

3

1 .

Câu 19: Ma trận nào sau đây không phải là ma trận trực giao

a)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

0 0 1

sin cos 0

cos sin 0

ϕ ϕ

ϕ ϕ

.

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

5

3

5

4

5

4

5

3

.

c)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

3

2

3

2

3

1

3

1

3

2

3

2

3

2

3

1

3

2

.

d)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡ −

0

2

1

2

1

2

0 1

2

1

2

1

2

0 1

.

Câu 20: Cho ma trận trực giao A. Điều nào sau đây không đúng

a) Hệ các véc tơ cột của A là một hệ trực chuẩn.

b) Hệ các véc tơ hàng của A là một hệ trực chuẩn.

Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương

105

c) Định thức của A luôn bằng 1.

d) Tồn tại ma trận nghịch đảo A−1 = At .

Câu 21: Điều nào sau đây không đúng.

a) Ma trận của một hệ trực chuẩn trong cơ sở bất kỳ là một ma trận trực

giao.

b) Nếu A là ma trận trực giao thì At cũng là ma trận trực giao.

c) Ma trận trực giao chỉ nhận các giá trị riêng là 1 hoặc −1.

d) Nếu A, B là hai ma trận trực giao thì AB cũng là ma trận trực giao.

Câu 22: Tìm x, y, z sao cho ma trận

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

=

2

1

2

0 1

3

2

3

2

3

1

A x y z là ma trận trực

giao và det A =1.

a)

3

, 1

3

, 1

3

2 =

−

x = y = z .

3 2

, 1

3 2

, 1

3 2

4 −

=

−

x = y = z .

c)

3 2

, 1

3 2

, 1

3 2

4 = =

−

x = y z .

d) x = −4 2, y = 2, z = 2 .

Câu 23: Điều nào sau đây không đúng

a) Tự đồng cấu f là tự đồng cấu trực giao khi và chỉ khi ma trận của f

một trong cơ sở trực chuẩn là ma trận trực giao.

b) Tự đồng cấu f là tự đồng cấu đối xứng khi và chỉ khi ma trận của f

một trong cơ sở trực chuẩn là ma trận đối xứng.

c) Mọi ma trận đối xứng đều chéo hoá trực giao được.

d) Ma trận đối xứng chỉ nhận các giá trị riêng khác 0.

Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương

106

Câu 24: Cho

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

= −

2 1 3

2 3 1

0 2 2

A . Tìm ma trận trực giao P sao cho Pt AP

có dạng chéo.

a)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

= −

1 3 1 2 1 6

1 3 1 2 1 6

1 3 0 2 6

P ,

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− =

0 0 9

0 5 0

3 0 0

P 1AP .

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

=

1 6 1 2 1 3

1 6 1 2 1 3

2 6 0 1 3

P ,

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡−

− =

0 0 4

0 4 0

2 0 0

P 1AP .

c)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

= −

1 3 0 2 6

1 3 1 2 1 6

1 3 1 2 1 6

P ,

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− =

0 0 3

0 3 0

0 0 0

P 1AP .

d)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

= −

2 6 0 1 3

1 6 1 2 1 3

1 6 1 2 1 3

P ,

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎡

− =

0 0 6

0 6 0

0 0 0

P 1AP .

Câu 25: Cho

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

=

2 2 2

1 5 2

5 1 2

A . Tìm ma trận trực giao P sao cho Pt AP

có dạng chéo.

a)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

= −

1 3 1 2 1 6

1 3 1 2 1 6

1 3 0 2 6

P ,

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− =

0 0 9

0 5 0

3 0 0

P 1AP .

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

=

1 6 1 2 1 3

1 6 1 2 1 3

2 6 0 1 3

P ,

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡−

− =

0 0 4

0 4 0

2 0 0

P 1AP .

c)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

= −

1 3 0 2 6

1 3 1 2 1 6

1 3 1 2 1 6

P ,

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− =

0 0 3

0 3 0

0 0 0

P 1AP .

Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương

107

d)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

= −

2 6 0 1 3

1 6 1 2 1 3

1 6 1 2 1 3

P ,

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− =

0 0 6

0 6 0

0 0 0

P 1AP .

Câu 26: Viết ma trận của dạng toàn phương Q trong cơ sở chính tắc:

1 2 1 3 2 3

2

3

2

2

2

Q(x1, x2, x3) = 3x1 + 2x − x + 2x x − 4x x + 2x x

a)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

=

4 2 1

2 2 2

3 2 4

A .

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

=

0 0 1

0 2 2

3 2 4

A .

c)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

−

=

2 1 1

1 2 1

3 1 2

A .

d)

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

− −

=

4 2 1

2 2 2

3 2 4

A .

Câu 27: Cho dạng toàn phương Q: 􀀖2 → 􀀖 xác định bởi

Q(x, y) = 2x2 − 6xy + y2 . Tìm ma trận của Q trong cơ sở

{v1 = (1,0), v2 = (1,1) }

a) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−

3 1

2 3

.

b) ⎥⎦ ⎤

⎢⎣

⎡

− −

−

1 3

2 1

.

c) ⎥⎦

⎤

⎢⎣ ⎡

−

−

6 1

2 6

.

d) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −

0 1

2 6

.

Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương

108

Câu 28: Cho dạng toàn phương Q: 􀀖3 → 􀀖 xác định bởi

Q(x, y, z) = xy + xz + yz . Tìm chỉ số quán tính dương p và chỉ số quán

tính âm q .

a) p =1, q = 2 .

b) p = 2, q =1.

c) p =1, q =1.

d) p = 0, q = 2.

Câu 29: Cho dạng toàn phương Q: 􀀖4 → 􀀖 xác định bởi

Q(x, y, z,t) = 3x2 + 2y2 − z2 − 2t 2 + 2xy − 4yz + 2yt . Tìm chỉ số quán tính

dương p và chỉ số quán tính âm q .

a) p =1, q = 3.

b) p = 3, q =1.

c) p = 2, q = 2 .

d) p =1, q = 2 .

Câu 30: Cho dạng toàn phương Q: 􀀖3 → 􀀖 xác định bởi

Q(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 4xy + 4xz + 4yz . Tìm một cơ sở {v1,v2,v3} của

􀀖3 sao cho biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở này có dạng chính tắc.

(x, y, z) = Xv1 + Yv2 + Zv3 ; Q(x, y, z) =α X 2 + β Y 2 +γ Z 2

a) ;

6

, 2

6

, 1

6

,0 , 1

2

, 1

2

, 1

3

, 1

3

, 1

3

1

3 2 1 ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

= ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛ ⎟⎠⎞

⎜⎝

⎛ −

v = v v

α = −5,β =1,γ =1.

6

, 2

6

, 1

6

,0 , 1

2

, 1

2

, 1

3

, 1

3

, 1

3

1

3 2 1 ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

= ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

= ⎟⎠

⎞

⎜⎝v =

⎛

v

v

α = 5,β = −1,γ = −1.

c) ;

3

, 2

3

,1

3

, 2

3

, 2

3

, 2

3

, 1

3

, 1

3

, 2

3

2

3 2 1 ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛ ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ − −

= ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

v = v v

α = 3,β = −1,γ = −1.

Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương

109

d) ;

3

, 2

3

,1

3

, 2

3

, 2

3

, 2

3

, 1

3

, 1

3

, 2

3

2

3 2 1 ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛ ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ − −

= ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

v = v v

α = 5,β = 5,γ = −1.

Câu 31: Cho dạng toàn phương Q: 􀀖3 → 􀀖 có ma trận trong cơ sở chính

tắc

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

− −

− −

=

2 4 14

2 14 4

17 2 2

A . Tìm một cơ sở {v1,v2,v3} của 􀀖3 sao cho biểu thức

toạ độ của Q trong cơ sở này có dạng chính tắc. (x, y, z) = Xv1 + Yv2 + Zv3 ;

Q(x, y, z) =α X 2 + β Y 2 +γ Z 2 .

a) ;

18

, 1

18

, 1

18

, 4

2

, 1

2

, 0, 1

3

, 2

3

, 2

3

1

3 2 1 ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

= ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

= ⎟⎠

⎞

⎜⎝

v = ⎛ v v

α = 9,β =18,γ =18 .

6

, 2

6

, 1

6

,0 , 1

2

, 1

2

, 1

3

, 1

3

, 1

3

1

3 2 1 ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

= ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

= ⎟⎠

⎞

⎜⎝

v = ⎛ v v

α = 5,β =10,γ =10 .

c) ;

3

, 2

3

,1

3

, 2

3

, 2

3

, 2

3

, 1

3

, 1

3

, 2

3

2

3 2 1 ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛ ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ − −

= ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

v = v v

α = 3,β = 5,γ = −1.

d) ;

3

, 2

3

,1

3

, 2

3

, 2

3

, 2

3

, 1

3

, 1

3

, 2

3

2

3 2 1 ⎟⎠

⎞

⎜⎝

= ⎛ ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ − −

= ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

v = v v

α =1,β =1,γ = 2.

Câu 32: Với giá trị nào của tham số m thì dạng toàn phương

Q: 􀀖3 → 􀀖, Q(x, y, z) = 2x2 + y2 + 3z2 + 2mxy + 2xz xác định dương.

a) m =1.

b) 3

m < 5 .

c) m ≠ 0.

d) m > 0.

Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương

110

Câu 33: Cho dạng toàn phương Q: 􀀖3 → 􀀖 có ma trận trong cơ sở chính

tắc

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

=

1 2 5

1 2

1 1

A . Với giá trị nào của tham số m thì dạng toàn phương Q ,

xác định dương.

a) m >1.

3

m < 1 .

c) m ≠ 0 .

d) 0

5

4 < <

− m .

Câu 34: Với giá trị nào của tham số m thì dạng toàn phương

Q: 􀀖3 → 􀀖, Q(x, y, z) = −4x2 − y2 + 4mz2 + 2mxy − 4mxz + 4yz xác định âm.

a) m > −1.

b) m < 2 .

c) − 2 < m < −1.

d) m ≥ −2 .

Câu 35: Tìm k để dạng song tuyến tính xác định như sau

2

∀(x1, y1),(x2, y2 )∈􀀖 , η((x1, y1),(x2, y2 ))= x1x2 − 3x1y2 − 3x2 y1 + ky1y2

là một tích vô hướng của không gian véc tơ 􀀖2 .

a) k > 9.

b) k > 0.

c) 0 < k < 9.

d) k ≠ 0 .

Câu 36: Tìm điều kiện a,b,c,d để dạng song tuyến tính xác định như sau

2

∀(x1, y1),(x2, y2 )∈􀀖 , η((x1, y1),(x2, y2 ))= ax1x2 + bx1y2 + cx2 y1 + dy1y2

là một tích vô hướng của không gian véc tơ 􀀖2 .

a) a > 0, b > 0, c > 0, d > 0.

b) a > 0, d > 0, ad − bc > 0.

Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương

111

c) a > 0, b = c, ad − bc > 0 .

d) a > 0, d > 0, ad − bc < 0 .

Câu 37: Hãy đưa các đường bậc hai có phương trình sau về dạng chính

tắc và viết tên chúng 3x2 + 8xy − 3y2 +180 = 0.

Câu 38: Hãy đưa các đường bậc hai có phương trình sau về dạng chính

tắc và viết tên chúng 4x2 + 9xy +12y2 − 4x + 6y +1 = 0 .

Câu 39: Hãy đưa các mặt bậc hai có phương trình sau về dạng chính tắc

và viết tên chúng 7x2 + 7y2 +10z2 − 2xy − 4xz + 4yz −12x +12y + 60z = 24 .

Câu 40: Hãy đưa các mặt bậc hai có phương trình sau về dạng chính tắc

và viết tên chúng 2xy + 2xz + 2yz − 6x − 6y −12z = 0 .

Đáp án và hướng dẫn giải bài tập

112

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

CHƯƠNG 1

Câu Đáp án Câu Đáp án

1 c 21 a) 120, b) 48, c) 72, d) 250

2 d 22 c

3 b 23 d

4 c 24 d

5 d 25 b

6 d 26 b

7 b 27 a) 210, b) 62, c) 203, d) 70

8 a 28 d

9 d 29 a

10 30 b

11 d 31 c

12 32 a

13 c 33 c

14 34 b

15 d 35 c

16 c 36 a,c,d tương đương

17 b 37 b

18 c 38 b

19 b

20

Câu 3, 4, 5, 6, 7: Sử dụng lôgích mệnh đề.

Câu 9: a) Không đối xứng. b), c) Không bắc cầu.

Đáp án và hướng dẫn giải bài tập

113

Câu 10: Lớp tương đương của a là a = {x∈􀀖(a − x)(a2 + x2 + ax −1) = 0}

{ }

{ }

{ } ⎪

⎪

⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪

⎨

⎧

− =

< ≠

⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨ ⎧

⎟⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

− ± −

− =

=

, 2 2 3

, 4 3 2 2 3 1 3

, 2 1 3

2 3

2

a a a

a a a a a

a a a

a a

a

nÕu

nÕu vμ

nÕu

nÕu

a) {a} b) {a,−2a} c)

⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨ ⎧

⎟⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

a, − a ± 4 − 3a2 2 d) {a,−a 2}

Câu 12:

a) A = {x∈􀀴 x ≤1}, B = {x∈􀀴 x2 < 2}.

b) A = {x∈􀀴 x2 < 2}, B = {x∈􀀴 x < 2}.

c) A = {x∈􀀴 x < 2}, B = {x∈􀀴 x ≤ 2}.

d) A = {x∈􀀴 0 < x, x2 < 2}

Câu 13: Giải phương trình f (x) = y .

Câu 14: a)

⎩ ⎨ ⎧

−

=

nÕu lÎ

nÕu ch½n

f g n

1

o ( ) ,

b) g o f (n) = g(2n) = n ; với mọi số nguyên n .

c) f o f (n) = 4n

d) f o g o f = f

Câu 20: a) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

2 4 3 1

1 2 3 4

σ o μ ,

b) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

1 3 4 2

1 2 3 4

μ oσ

c) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

− =

3 4 1 2

1 1 2 3 4 σ

d) ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

− =

3 2 4 1

1 1 2 3 4 μ .

Đáp án và hướng dẫn giải bài tập

114

Câu 15, 16, 17, 18, 19: Sử dụng lôgích mệnh đề, định nghĩa và các tính chất

của ánh xạ.

Câu 29: Σ=

+ = −

31

0

31

31

(37 19)31 37 19

k

Ck k k ; Đặt k k k

ak C = 31−

3137 19

Xét 20,14

56

1 1128

37

19

31

1

37 19

37 19

1 1 31 1

31

31

31

1

⋅ < ⇔ < =

−

+

= = + + − −

−

+

k

k

k

C

C

a

a

k k k

k k k

k

k

⇒ ∀k ≤ 20 ta có: ak < ak +1⇒ak < a21

∀k ≥ 21 ta có: ak > ak +1⇒ak ≤ a21

Vậy 10 21 10

31

21 21 10

aMax = a21 = C31 37 .19 = C 37 .19 .

Câu 30, 31, 32, 33, 34: Sử dụng trực tiếp định nghĩa phép hợp thành, nhóm,

vành và trường.

Câu 35:

a) Nếu yx xy = thì ( ) Σ=

+ = −

k

k m k km

x y m C x y

0

. Giả sử xn1 = 0, yn2 = 0 thì

(x + y)n1+n2 = 0 .

b) Nếu xy = yx thì (xy)m = xmym.

Giả sử xn1 = 0, yn2 = 0 thì (xy)n1+n2 = 0.

d) Nếu xn = 0 thì (1− x)(1+ x + .... + xn−1)=1 .

⇒ (1− x)−1 =1+ x + .... + xn−1.

Câu 37: Từ x ∨ (x ∧ z') = x và ( y'∧z) ∨ ( y ∧ z) = z

⇒ mạng tương đương đơn giản hơn có dạng x ∨ z .

Câu 38: Công thức Boole tương ứng của mạng

A = (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ [( y'∧z) ∨ ( y ∧ z')])

= x ∧ [( y ∧ z) ∨ ( y'∧z) ∨ ( y ∧ z')]= x ∧ ( y ∨ z)

⇒ mạng tương đương đơn giản hơn có dạng x ∧ ( y ∨ z) .

Đáp án và hướng dẫn giải bài tập

115

CHƯƠNG 2

Câu Đáp án Câu Đáp án

1 d 16 a) 3 ; b) 2 ; c) 3 ; d) 3

2 c 17 c

3 b 18 a

4 c 19 c

5 c 20 c

6 21 b

7 b 22 c

8 a 23 d

9 c 24 a

10 b 25 c

11 c 26 d

12 c 27

13 b 28

14 a) 3 ; b) 2 ; c) 1 ; d) 3 29

15 c 30

Câu 1, 2, 3, 4, 5: Sử dụng trực tiếp định nghĩa không gian véc tơ và không

gian véc tơ con.

Câu 6: a) Giải hệ phương trình

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+ + =

+ − = −

+ + =

5 8 15

3 7 6 2

2 3 7

α β γ

α β γ

α β γ

⇒ α =11; β = −5; γ = 0 ⇒ u =11v1 + (−5)v2 + 0v3 .

Giải các hệ phương trình tương tự ta có các kết quả sau

b) u = 3v1 + 5v2 + (−1)v3 c) u = v1 + 2v2 + 3v3 .

d) u = v1 + v2 + v3 .

Đáp án và hướng dẫn giải bài tập

116

Câu 7: Bài toán tương đương với việc tìm giá trị của λ để hệ phương trình

sau có nghiệm

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+ + =

+ − = −

+ + =

α β γ λ

α β γ

α β γ

5 8

3 7 6 2

2 3 7

⇒ λ = 12.

Câu 8: Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp và áp dụng định lý 2.17 suy ra:

a) là một hệ sinh của 􀀖3 ; b) c) d) không phải là hệ sinh của 􀀖3 .

Hoặc hệ phương trình

⎪⎩

⎪⎨

⎧

− − + =

+ − =

+ + =

c

a

3 5

2

2 3

α β γ

α β γ

α β γ

luôn có nghiện với mọi (a,b,c)∈􀀖3 còn hệ phương trình tương ứng với

trường hợp b) c) d) không phải luôn có nghiện với mọi (a,b,c)∈􀀖3.

Câu 10: a) Hai véc tơ u,v tỷ lệ với nhau nên phụ thuộc tuyến tính;

Bằng hai phương pháp như câu 8) suy ra:

b) độc lập tuyến tính; c) d) phụ thuộc tuyến tính.

Câu 11: Áp dụng định lý 2.17

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− +

− +

− − − −

↔

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

− −

− −

− −

1 2 0 1 2

1 2 1 2 0

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

λ

λ

λ λ λ

λ

λ

λ

(nếu λ ≠ −1 2 )

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎡

+

+

− − − − −

↔

0 0 1 2

0 1 2 0

1 1 2 1 2

λ

λ

λ λ λ

Vậy hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính khi λ =1 hay λ = −1 2.

Câu 17: Bằng phương pháp tương tự ví dụ 2.14, thực hiện các phép biến đổi

sơ cấp và áp dụng định lý 2.17, nhận xét 2.18 suy ra:

dimV1 = r{v1 ,v2 ,v3}= 2 , dimV2 = r{u1 ,u2 ,u3}= 2 ,

dim(V1 +V2 )= r{v1 ,v2 ,v3 ,u1 ,u2 ,u3}= 3 ⇒ dim(V1 ∩V2 )= 2 + 2 − 3 =1.

Câu 18, 19: được giải tương tự.

Đáp án và hướng dẫn giải bài tập

117

CHƯƠNG 3

Câu Đáp án Câu Đáp án

1 b 11 a

2 c 12 a

3 a 13 c

4 d 14 a

5 c 15 b

6 a 16 d

7 b 17 c

8 d 18 c

9 d 19 a

10 b 20 b

Câu 11: Quy nạp theo n .

Câu 12: I = ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

4

1 0

0 1

⇒ ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −

= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

⋅ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

= ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

− 1 0

3 0 1

1 0

4 0 1

1 0

0 1

1 0

0 1

2003 500

.

Câu 13: Nếu tồn tại A, B sao cho AB − BA = I thì Tr(AB − BA) = 0 nhưng

TrI = n vô lý.

Câu 14:

⎥ ⎥⎦

⎤

⎢ ⎢⎣

⎡

= n

z

A x

0

*

An = I ⇒ xn = zn =1 ⇒ x = ±1, z = ±1.

♦ 1 ± = = z x ⇒ ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ ±

=

0 1

1 ny

An ⇒ y = 0.

♦ 1 ± = − = z x ⇒ ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

0 1

2 1 0 A ⇒ y tùy ý.

Đáp án và hướng dẫn giải bài tập

118

CHƯƠNG 4

Câu Đáp án Câu Đáp án

1 b 14 c

2 c 15 b

3 a 16 d

4 d 17 b

5 c 18 a

6 c 19 c

7 a 20 b

8 b 21 a

9 d 22 d

10 c 23 c

11 b 24 b

12 a 25 c

13 a

Câu 9: Khai triển Laplace theo 2 hàng đầu ta được

( ) 790

2 5 1

4 2 3

1 2 3

1

1 3

2 4 1 2 1 2 =

−

− −

−

D = + + + .

Câu 10: Áp dụng định thức Vandermond có các phần tử tương ứng −1,2,4, x

ta có

D = 30(x +1)(x − 2)(x − 4) .

Câu 11: Khai triển Laplace theo hàng thứ ba và thứ tư ta được

( ) 115

1 3 5

3 2 3

2 0 1

1

4 5

3 2 3 4 1 2 = −

− −

− −

−

D = + + + .

Đáp án và hướng dẫn giải bài tập

119

Câu 14: ( 4)( 5)( 1)

1 4

4 1

3 2

det = = m − m + m −

A .

Vậy A khả nghịch khi m ≠ −5,4,1.

Câu 17: Áp dụng cônh thức 4.19

⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

7 4 2

1 4 3

4 1 1

A có det A = −7.

4