3.1. Số trung bình cộng

a) Khái niệm và ý nghĩa:

Một tổng thể thống kê thường bao gồm nhiều đơn vị. Các đơn vị này có bản chất giống nhau nhưng biểu hiện về lượng theo từng tiêu thức ở các đơn vị tổng thể thường khác nhau.

Thí dụ: Tổng dân số Việt Nam, có cùng quốc tịch là Việt Nam nhưng độ tuổi của từng người dân khác nhau. Muốn biết độ tuổi trung bình của tổng thể dân số ở một thời gian nào đó ta dùng số bình quân cộng.

Do đó, khi muốn biểu hiện đặc tính chung của tổng thể theo tiêu thức số lượng nào

đó, ta dùng số bình quân cộng.

Số bình quân trong thống kê biểu hiện mức độ đại biểu theo một tiêu thức số lượng nào đó của tổng thể đồng chất bao gồm nhiều đơn vị cùng loại.

Số bình quân cộng trong thống kê thường dùng nhằm:

- Phản ánh mức độ trung bình của hiện tượng;

- So sánh hai tổng thể hiện tượng nghiên cứu cùng loại, không có cùng quy mô;

- Sử dụng trong công tác kế hoạch hoá.

Chú ý: Vì số bình quân mang tính chất đại diện cho tổng thể, nên để số bình quân có tính đại biểu cao thì cần đảm bảo sao cho số đơn vị tổng thể dùng để tính số bình quân phải đủ lớn...

b) Các loại số bình quân:

Số trung bình cộng được tính theo công thức chung là:

Tổng trị số lượng biến tiêu thức

Số bình quân cộng = --------------------------------------

Tổng số đơn vị tổng thể

Căn cứ vào nguồn tài liệu có các công thức tính toán số bình quân sau:

* Số bình quân cộng giản đơn: Áp dụng khi lượng biến Xi có các tần số fi bằng nhau hoặc bằng 1.

Công thức tổng quát:

xi

Σx =  ----------

n

Trong đó:

- ⎯x : Số bình quân

-  Xi  là trị số của đơn vị thứ i (i = 1,2,... n);

-n là số đơn vị tổng thể

* Số bình quân cộng gia quyền: Áp dụng khi mỗi lượng biến Xi được gặp nhiều lần, nghĩa là có tần số fi.

 Công thức tổng quát:

Trong đó:

Σxi fi

⎯x =  ------

Σfi

⎯x : Số bình quân

xi  : Lượng biến bình quân của tổ thứ i;

fi   : Số đơn vị của tổ thứ i (fi còn gọi là tần số hay quyền số).

- Lượng biến Xi  không phải là một trị số xác định mà một khoảng trị số có 2 giới hạn (trên, dưới):

* Số bình quân cộng điều hoà: Áp dụng khi không có tài liệu về số đơn vị tổng thể

của mỗi tổ (fi), mà chỉ có tài liệu về các lượng biến Xi và Mi = Xi.fi.

Cách tính như sau:

- Lấy lượng biến toàn tổ chia cho lượng biến trung bình của tổ, được số đơn vị mỗi

tổ.

- Cộng số đơn vị mỗi tổ ta được tổng số đơn vị tổng thể.

- Tổng lượng biến các tổ chia cho tổng số đơn vị tổng thể.

Công thức tổng quát:

_ΣMi

x=   -------

Mi

Σ ---------

xi

Trong đó:

Mi  là tổng trị số lượng biến của tổ thứ i xi  là lượng biến bình quân của tổ thứ i.

- Chú ý: Khi tổng lượng biến của các tổ bằng nhau tức là M1  = M2  = ... = Mn  = M

thì quá trình tính toán sẽ đơn giản hơn như sau:

n

⎯x=  -----------

1

Σ --------

xi

Trong đó:

n là số tổ (lượng biến);

xi  là lượng biến bình quân tổ thứ i.

Số bình quân tính theo công thức này gọi là số bình quân điều hoà giản đơn.

c) Đặc điểm và nguyên tắc sử dụng số bình quân:

Khi tính các số bình quân trong thống kê, chúng ta san bằng mọi chênh lệch lượng biến theo một tiêu thức số lượng nào đó của các đơn vị tổng thể (đơn vị cá biệt) làm cho tổng thể từ phức tạp trở nên khái quát chung. Vì vậy, để sử dụng số bình quân một cách khoa học và chính xác cần phải đảm bảo một số nguyên tắc sau đây:

* Số bình quân chỉ được tính trong một tổng thể đồng chất

Tổng thể đồng chất là một tổng thể bao gồm những đơn vị tổng thể có chung tính chất, thuộc cùng một loại hình kinh tế xã hội xét theo một tiêu thức nào đó.

Trong một tổng thể đồng chất thì  tính chất của các đơn vị tổng thể là giống nhau chỉ khác nhau về lượng cụ thể giữa các đơn vị. Vì vậy, khi tính số bình quân, tức là ta san bằng lượng biến theo tiêu thức số lượng nào đó thì các yếu tố ngẫu nhiên sẽ bù trừ cho nhau và số bình quân sẽ đại diện cho tất cả các mức độ khác nhau trong tổng thể.

Nếu tính trong một tổng thể không đồng chất (tức là các đơn vị tổng thể không những khác nhau về lượng cụ thể mà còn khác nhau về tính chất hay loại hình) ta không thể san bằng lượng biến theo một tiêu thức số lượng nào đó của các đơn vị khác nhau về tính chất được. Khi đó ta chỉ tính được một số bình quân hình thức, giả tạo, không đại biểu cho các mức độ khác nhau của các đơn vị.

Thí dụ: Không thể tính năng suất của lúa + ngô/1 ha gieo trồng được vì đây là tổng thể không đồng chất. Ta chỉ có thể tính năng suất lúa hoặc ngô cho 1 ha gieo trồng lúa hoặc ngô.

* Cần kết hợp giữa số bình quân chung với số bình quân tổ

Số bình quân chung (tổng thể) che lấp sự chênh lệch lượng biến của các bộ phận cấu thành tổng thể. Vì vậy, nếu chỉ sử dụng số bình quân chung của tổng thể để nghiên cứu sẽ không thấy được đầy đủ tình hình phát triển giữa các bộ phận của tổng thể hiện tượng đó.

Nếu dựa vào điểm trung bình các môn thi để so sánh kết quả học tập của 2 người thì ta có nhận xét sinh viên B có kết quả học tập tốt hơn. Nhưng nếu căn cứ vào điểm thi từng môn thì rõ ràng kết quả học tập của sinh viên A tốt hơn, vì không có môn nào dưới điểm 5, trong đó sinh viên B lại có.

Như vậy, khi so sánh 2 tổng thể cùng loại, cùng quy mô thì phải dùng số bình quân tổ bổ sung cho số bình quân chung.

* Dùng dãy số phân phối bổ sung cho số bình quân chung

Tổng thể hiện tượng cấu thành bởi các đơn vị tổng thể có lượng biến khác nhau. Có một số đơn vị có lượng biến lớn hơn hoặc nhỏ hơn mức độ điển hình của hiện tượng. Số đơn vị có lượng biến lớn hơn hay nhỏ hơn giữa các tổng thể hiện tượng cùng loại cũng khác nhau. Khi so sánh 2 hiện tượng cùng loại nhưng có kết cấu tổng thể khác nhau, phải dùng dãy số phân phối để giải thích cho mức độ đại biểu của số bình quân chung.

Thí dụ trên: Câu hỏi đặt ra tại sao điểm thi từng môn của sinh viên B thấp hơn sinh viên A mà điểm trung bình của sinh viên B lại cao hơn sinh viên A?

Trả lời câu hỏi này, chúng ta dựa vào kết cấu các học trình theo điểm thi. Sinh viên A có điểm trung bình thấp hơn sinh viên B vì tỷ trọng số đơn vị học trình có điểm cao (điểm 6 và 8) của sinh viên A (41,18%) thấp hơn sinh viên B (58,82%).

Số đơn vị học trình và điểm thi tạo thành 1 dãy số phân phối.

3.2. Số trung vị (Me-Median)

a) Khái niệm:

Số trung vị là lượng biến của đơn vị tổng thể đứng ở vị trí giữa trong dãy số lượng biến đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.  Số trung vị phân chia dãy số lượng biến làm hai phần (phần trên và phần dưới số trung bình) mỗi phần có số đơn vị tổng thể bằng nhau.

b) Phương pháp xác định số trung vị:

+ Tài liệu không phân tổ: Trước hết cần sắp xếp lượng biến theo thứ tự từ nhỏ đến

lớn.

Nếu số lượng biến (n) lẻ thì số trung vị là lượng biến đứng  ở vị trí thứ giữa dãy số,

Nếu n chẵn lẻ thì số trung vị là trung bình cộng lượng biến đứng ở vị trí thứ

+ Tài liệu phân tổ

•Không có khoảng cách tổ

* Tính chất của số trung vị

Tổng độ lệch tuyệt đối giữa các lượng biến với số trung vị là một trị số nhỏ nhất.

Σ | Xi – Me |= min (không phân tổ)

Σ | Xi  -Me | fi  = min (phân tổ)

Tính chất này được áp dụng nhiều trong công tác kỹ thuật và phục vụ công cộng

như xây dựng mạng lưới điện, đường ống dẫn nước, bố trí các trạm đỗ xe công cộng ởvị trí thuận lợi để có thể đạt được hiệu quả cao trong công tác phục vụ.

Trung vị có ưu điểm là không chịu ảnh hưởng của các lượng biến đầu mút trong dãy số lượng biến, dễ hiểu, dễ tính. Song có nhược điểm là không thể dùng để dự đoán vì không chính xác bằng số trung bình. Nó thường được dùng để thay thế hoặc để bổ sung cho trung bình khi cần thiết.

* Chú ý: Khi phân tích các hiện tượng kinh tế - xã hội có nhiều đơn vị quan sát , đôi lúc ta phải xét đến thứ bậc của các đơn vị của tổng thể nghiên cứu trong dãy số phân phối thành các phần bằng nhau: 3 phần, 4 phần, 10 phần. Tuỳ theo vị trí của các đơn vị trong dãy số mà có các tên gọi khác nhau.

- Nếu tổng thể chia thành ba phần đều nhau ta có tam phân vị;

- Nếu tổng thể chia thành bốn phần đều nhau ta có tứ phân vị;

- Nếu tổng thể chia thành 10 phần bằng nhau ta có thập phân vị.

* Ý nghĩa của tứ phân vị, thập phân vị:

- Tứ phân vị, thập phân vị giúp ta xác định trị số lượng biến của các đơn vị đứng ở các vị trí nhất định trong một dãy số phân phối. Ngoài ra các chỉ tiêu trên còn giúp ta đo lường độ phân tán về lượng biến giữa các đơn vị đó.

3.3. Mốt (Mod- chúng số, kiểu số)

a) Khái niệm:

Mốt là biểu hiện của một lượng biến về tiêu thức nghiên cứu được gặp nhiều nhất trong tổng thể.

Nếu xác định trên đồ thị với trục tung là tần số, trục hoành là lượng biến thì ta có thể nói mốt là hoành độ của điểm có tung độ cao nhất.

b) Phương pháp xác định:

* Trường hợp 1: Đối với dãy số lượng biến không có khoảng cách tổ thì mốt là lượng biến được gặp nhiều nhất trong dãy số lượng biến.

c) Ý nghĩa của việc dùng mốt trong thống kê:

- Trong thống kê, mốt là chỉ tiêu có tác dụng bổ sung hoặc thay thế cho việc tính số bình quân số học trong trường hợp việc xác định số trung bình số học gặp khó khăn. Mốt cho ta thấy mức độ phát triển nhất của hiện tượng, mặt khác chỉ tiêu này không chịu ảnh hưởng của các lượng biến giữa các đơn vị tổng thể như số trung bình số học. Chẳng hạn khi nghiên cứu giá cả một mặt hàng nào đó trên thị trường, thông thường người ta không có đủ tài liệu để xác định giá trị trung bình và có thể không cần tính giá trị trung bình mà ta chỉ cần biết giá trị phổ biến nhất của mặt hàng nào đó.

- Mốt còn có tác dụng giúp cho các tổ chức sản xuất và thương nghiệp trong công tác nghiên cứu xem các mặt hàng nào được tiêu thụ nhiều nhất, như cỡ giầy dép, cỡ kiểu quần áo...

- Mốt không phụ thuộc vào giá trị ở hai đầu mút, thậm chí trong trường hợp giá trị ở đầu mút nhỏ và giá trị ở cuối dãy số rất lớn thì giá trị của mốt cũng không bị ảnh hưởng. Mốt có thể tính trong trường hợp lượng biến biến động trong phạm vi rất rộng hoặc rất hẹp.

Tuy mốt có nhiều ưu điểm song mốt cũng không dùng nhiều như trung vị và trung bình, có trường  hợp không có mốt và không có giá trị xuất hiện nhiều nhất hoặc có trường hợp có hai hoặc ba mốt ta không thể xác định được giá trị trung tâm chính xác.

3.4. Mối quan hệ giữa số trung bình cộng, số trung vị và mốt

Dựa vào số trung bình, số trung vị và mốt người ta có thể biết được hình dáng phân phối của lượng biến trong tổng thể. Cụ thể là:

- Khi X b/q = Me = Mo thì phân phối đối xứng (phân phối chuẩn);

- Khi X b/q > Me > Mo thì phân phối lệch phải;

- Khi X b/q < Me < Mo thì phân phối lệch trái .

Điều này được thể hiện qua các đồ thị sau:

4. CÁC ĐẶC TRƯNG ĐO LƯỜNG ĐỘ PHÂN TÁN

4.1. Khái niệm

Thí dụ: Ta quan sát độ tuổi của 2 nhóm công nhân, mỗi nhóm gồm 5 người như sau:

Nhóm 1:   20   30  40  50   60⎯x1 = 40 tuổi

Nhóm 2:  38   39   40   41   42  ⎯x2 = 40 tuổi

Độ tuổi trung bình của 2 nhóm bằng nhau đều bằng 40 tuổi, nhưng ta chưa thể đánh

giá chính xác rằng mức độ đồng đều về tuổi tác của 2 nhóm này như thế nào.

Nếu ta quan sát từng lượng biến trong mỗi nhóm ta thấy nhóm 2 lượng biến biến động ít và đồng đều hơn nhóm 1. Có thể nhận định rằng độ tuổi bình quân nhóm 2 đại diện cao hơn nhóm 1. Do đó sự biến động lượng biến tiêu thức có liên quan rất lớn đến mức độ đại biểu của số bình quân.

Sự biến động về lượng biến của các đơn vị tổng thể theo một tiêu thức nào đó gọi là độ phân tán của hiện tượng.

Để đo mức độ phân tán hay mức độ đại biểu của số bình quân người ta đã tính ra một loạt các đặc trưng gọi là các chỉ tiêu đo độ biến động tiêu thức.

4.2. Các chỉ tiêu đo độ biến động tiêu thức

a) Khoảng biến thiên (R) (còn gọi là toàn cự):

Khoảng biến thiên là độ lệch giữa lượng biến lớn nhất và lượng biến nhỏ nhất của tiêu thức nghiên cứu trong tổng thể:

R = Xmax – Xmin.

Trong đó: Xmax là lượng biến lớn nhất; Xmin là lượng biến nhỏ nhất.

Ý nghĩa: R càng lớn độ biến động tiêu thức càng lớn, tính chất đại biểu của số bình quân càng nhỏ và ngược lại.

Thí dụ:  R1 = 60 - 20 = 40R2 = 42 - 38 = 4

R1 > R2 ⎯x1 đại diện  thấp hơn⎯x2

- Ưu điểm: Đơn giản, biểu hiện rõ và cụ thể phạm vi biến động.

- Nhược điểm: Do không xét đến các lượng biến ở giữa nên tính chất phản ánh không đầy đủ, nhiều khi không nêu được tính biến động của tiêu thức.

b) Độ lệch tuyệt đối bình quân⎯d :

Độ lệch tuyệt đối bình quân là mức chênh lệch bình quân giữa các lượng biến và số

bình quân cộng của các lượng biến đó. Vì tổng độ lệch bằng không, nên khi tính toán người ta phải lấy giá trị tuyệt đối của từng độ lệch.

Công thức tính như sau:

Σ|xi  - ⎯x|Σ|xi  - ⎯x| fi

⎯d =  ---------hay  ⎯d = -------------

nΣfi

Trong đó:

xi  là lượng biến thứ i x  là số bình quân

n (Σfi) là số đơn vị tổng thể

Ý nghĩa: Độ lệch tuyệt đối bình quân càng nhỏ, độ biến thiên lượng biến càng ít, tính đại biểu của số bình quân càng lớn và ngược lại.

Thí dụ trên:

⎯d1 = 60/5 = 12⎯d2 = 6/5 = 1,2

⎯d1    >⎯d2nên ⎯x1 đại diện  <⎯x2

- Ưu điểm: Thể hiện biến thiên của lượng biến chặt chẽ, đầy đủ hơn vì nó xét tới sự

chênh lệch của tất cả các lượng biến so với số bình quân.

- Nhược điểm: Bỏ qua sự khác nhau thực tế về dấu.

c) Phương sai (δ2):

Phương sai là số bình quân cộng của bình phương các độ lệch giữa các lượng biến

với số bình quân của các hiện tượng đó.

Công thức tính như sau:

Trong đó:

Σ(xi  - ⎯x)2Σ(xi  - ⎯x)2 fi

δ2 = ------------hayδ2 = -------------

nΣfi

xi  là lượng biến thứ i

⎯x là số bình quân

n (Σfi) là số đơn vị tổng thể

Ý nghĩa: Phương sai càng bé thì mức độ biến động tiêu thức ít, tính chất đại biểu số

bình quân càng cao và ngược lại.

Phương sai được dùng nhiều nhất trong thực tế vì nó giải quyết được vấn đề về dấu của các độ lệch tuyệt đối.

d) Độ lệch chuẩn (δ):

Là căn bậc 2 của phương sai

Ý nghĩa của độ lệch chuẩn: Dựa vào độ lệch chuẩn chúng ta biết được độ phân tán của tổng thể. Ngoài ra, nó còn được sử dụng để nhận biết sự phân phối của các lượngbiến trong một tổng thể dựa trên quy tắc 3δ (quy tắc thực nghiệm) sau:

Trong một tổng thể, lượng biến của các đơn vị tổng thể có phân phối chuẩn thì:

- Có khoảng 68% giá trị rơi vào khoảng  ± δ so với số trung bình;

- Có khoảng 95% giá trị rơi vào khoảng  ± 2δ so với số trung bình;

- Có khoảng 99,73% giá trị rơi vào khoảng  ± 3δ so với số trung bình;

e) Hệ số biến động tiêu thức (V- hệ số biến thiên):

Hệ số biến thiên là tỷ số so sánh giữa độ lệch tiêu chuẩn (hoặc độ lệch tuyệt đối bình quân) với số bình quân cộng của các lượng biến.

Công thức:

⎯dδ

V = ----- x 100hayV =   -----  x 100

⎯x⎯x

Hệ số biến thiên càng cao, thì độ phân tán của lượng biến càng lớn, tính chất đại

diện của số bình quân càng thấp và ngược lại.

Chú ý:

- Hệ số biến động của tiêu thức là số tương đối, được dùng để so sánh độ phân tán giữa các hiện tượng có đơn vị tính khác nhau, hoặc giữa các hiện tượng cùng loại nhưng có số trung bình không bằng nhau.

- Trong thực tế, thống kê thực nghiệm đã cho rằng nếu V > 40% tính chất đại biểu của số bình quân thấp.