7
Mô hình các hệ cơ điện
Francis C. Moon Cornell University
7.1..... Mở đầu. 7-1
7.2..... Các mô hình đối với các hệ cơ điện. 7-2
7.3..... Các mô hình vật rắn. 7-2
7.4..... Các phương trình cơ bản của động lực học các vật thể rắn. 7-4
7.5..... Các mô hình động lực học đơn giản. 7-6
7.6..... Mô hình hệ đàn hồi7-8
7.7..... Lực điện từ. 7-10
7.8..... Các nguyên lý động lực đối với các mạch điện và từ. 7-14
7.9..... Định lý Earnshaw và ổn định cơ điện. 7-18
7.1 Mở đầu
Cơ điện tử mô tả sự tích hợp của các yếu tố cơ khí, điện từ, và máy tính để sản xuất các thiết bị và các hệ thống giám sát và điều khiển các hệ máy và kết cấu. Những ví dụ bao gồm các máy khách hàng quen thuộc như VCRs, camera tự động, các túi đệm khí của ô tô, các thiết bị tuần tra trên biển. Đặc điểm phân biệt của các thiết bị cơ điện tử hiện đại so với các máy điều khiển trước đây là sự thu nhỏ thiết bị xử lý thông tin điện tử. Máy tính, các cảm biến điện tử, và cơ cấu chấp hành được nhúng nhiều hơn trong kết cấu và máy. Điều đó dẫn đến sự cần thiết đối với việc tích hợp thiết kế cơ khí và điện. Điều đó không chỉ đúng đối với cảm biến và xử lý tín hiệu mà còn đối với thiết kế cơ cấu chấp hành. Trong các thiết bị thông minh (human size) các vật liệu từ, các chất siêu dẫn mạnh hơn đã đưa đến việc thay thế các cơ cấu chấp hành thủy lực và khí nén bằng mô tơ servo, mô tơ tuyến tính, và các cơ cấu chấp hành điện từ khác. Ở thang bậc vật liệu và trong những hệ vi cơ điện (MEMS), các cơ cấu chấp hành lực tích điện, áp điện và sắt điện (ferroelectric) đã đạt được bước tiến lớn.
Trong khi các vật liệu dùng trong thiết kế cơ điện thường đổi mới thì các nguyên lý đông lực học cơ bản của Newton và Maxwell vẫn còn áp dụng. Trong các hệ mở rộng không gian người ta phải giải các bài toán continuum khi dùng lý thuyết đàn hồi và các phương trình vi phân đạo hàm riêng của lý thuyết trường điện từ. Tuy nhiên, đối với nhiều ứng dụng chỉ cần dùng mô hình tham số tập trung dựa trên i) động lực học vật thể rắn đối với các thành phần quán tính, ii) Các định luật mạch Kirchhoff đối với các thành phần điện tích-dòng, iii) Các định luật mạch từ đối với các thiết bị thông lượng từ.
Trong chương này, chúng ta sẽ kiểm tra những giả thiết mô hình cơ bản về quán tính, các mạch điện và từ, đó là các vấn đề điển hình của các hệ cơ điện tử, và sẽ tóm tắt các nguyên lý động lực học và sự tương tác giữa chuyển động cơ học, các biến trạng thái từ và mạch. Chúng ta cũng sẽ minh họa các nguyên lý này với một số ví dụ cũng như cung cấp một ít về lịch sử dẫn đến các tài liệu tham khảo nâng cao trong cơ điện tử.
7.2 Các mô hình đối với các hệ cơ điện
Các phương trình chuyển động cơ bản của môi trường liên tục vật lý là các phương trình đạo hàm riêng (PDEs), mô tả sự đối sử động lực học theo cả thời gian và không gian. Chẳng hạn, chuyển động của dây đàn, dầm và bản đàn hồi, dòng chất lỏng bao quanh và chẩy qua các vật thể, cũng như các trường điện và từ đòi hỏi các thông tin cả về không gian và thời gian. Các phương trình này gồm các phương trình đàn hồi, động lực học đàn hồi, các phương trình Navier-stokes trong cơ học chất lỏng, các phương trình Maxwell-Faraday của điện từ. Các vấn đề trường điện từ có thể tìm thấy trong Jackson (1968). Các vấn đề về trường kép trong các trường điện và chất lỏng có thể tìm trong Melcher (1980) các vấn đề trong các trường từ và kết cấu đàn hồi có thể tìm trong sách chuyên khảo của Moon (1984). Bài ngắn này chỉ đề cập đến các hệ rắn.
Nhiều thiết bị cơ điện thực tế có thể được mô hình bởi các yếu tố vật lý tập trung như khối lượng hoặc bộ tự cảm. Khi đó, các phương trình chuyển động là các dạng tích phân của PDEs cơ bản và kết quả là các phương trình vi phân thường liên kết (ODEs). Phương pháp luận này sẽ được xem xét trong chương này. Khi các bài toán vật lý có phân bố không gian, người ta thường có thể tách bài toán thành phần không gian và phần thời gian gọi là tách biến. Mô tả không gian được biểu diễn bởi một số hữu hạn các dạng riêng hoặc dạng không gian, mỗi dạng có biên độ dạng. Phương pháp này cũng cho kết quả dưới dạng tập ODEs. Thông thường các phương trình liên kết này có thể được hiểu trong phạm vi của các khối lượng cơ học tập trung đơn giản và các mạch điện và từ.
7.3 Các mô hình vật rắn
Động học của các vật thể rắn
Động học là sự mô tả chuyển động thông qua các vectơ vị trí r, vận tốc v, gia tốc a, vectơ vận tốc quay và các tọa độ suy rộng {qk(t)}như các vị trí góc tương đối của bộ phận này đối với bộ phận khác của máy (Hình 7.1). Trong vật thể rắn nói chung người ta chỉ rõ vectơ vị trí của một điểm như tâm khối rc và vận tốc của điểm này vc. Vị trí góc của vật rắn được xác định bởi một bộ các góc gọi là các góc Euler. Ví dụ, trong phương tiện giao thông là góc gật đầu (pitch), lắc ngang (roll) và góc xoay (yaw) (xem Moon,1999). Vectơ vận tốc góc của vật thể rắn được ký hiệu bởi . Vận tốc của một điểm trong vật thể rắn khác với tâm khối, rp=rc+, được cho bởi:
(7.1)
trong đó thành phần thứ hai là tích vectơ. Vectơ vận tốc góc là một tính chất của vật thể rắn hoàn toàn. Nói chung, một vật thể rắn, như một vệ tinh, có sáu bậc tự do. Nhưng khi các chi tiết máy được mô hình như một vật thể rắn, liên kết đông học thường giới hạn số bậc tự do.
Các liên kết và các tọa độ suy rộng
Máy thường là một tập hợp chi tiết dạng vật thể rắn, trong đó mỗi bộ phận được liên kết để có một bậc tự do đối với bộ phận bên cạnh nó. Ví dụ, trong một tay máy robot nhiều khâu cho trên hình 7.2, mỗi khâu cứng có một bậc quay tự do. Các bậc tự do của mỗi khâu cứng bị liên kết bởi các ổ trục, thanh dẫn và bánh răng để có một loại chuyển động tương đối. Như vậy, để thuận tiện cho việc mô tả động học của chuyển động ta dùng các toạ độ suy rộng.{qk;k=1,…,k}
HÌNH 7.1 Phác họa vật thể rắn với vectơ vị trí, vận tốc và vectơ vận tốc góc
HÌNH 7.2 Tay máy robot nhiều khâu
Đôi khi, cách thuận lợi là xác định một vectơ hoặc ma trận, J(qk), được gọi là Jacobian, có quan hệ với vận tốc của các điểm vật lý trong máy với các vận tốc suy rộng {}. Nếu vectơ vị trí đối với một điểm trong máy là rp(qk) và được xác định bởi các liên kết hình học cho bởi sự phụ thuộc hàm số của {qk(t)}, thì vận tốc điểm này được cho bởi:
(7.2)
trong đó tổng lấy theo số bậc tự do K. Ma trân J bậc 3xK được gọi là Jacobian và là vectơ Kx1 của tọa độ suy rộng. Biểu thức này có thể được dùng để tính động năng của các bộ phận liên kết của máy, và dùng các phương trình Lagrange được đề cập sau đây để rút ra phương trình chuyển động ( xem Moon 1999).
HÌNH 7.3 Một ví dụ về động học cơ cấu
Những vấn đề động học và động lực học
Một số máy được kết cấu dưới dạng chuỗi động học kín sao cho chuyển động của một khâu xác định chuyển động các khâu còn lại của các vật thể rắn trong chuỗi, như liên kết bốn khâu trên hình 7.3. Trong những bài toán này người thiết kế không phải giải các phương trình vi phân chuyển động. Các định luật Newton được dùng để xác định các lực trong máy, nhưng chuyển động là động học được xác định qua các liên kết hình học.
Trong những bài toán liên kết hở, như thiết bị robot (hình 7.2), chuyển động của một khâu không xác định động lực học các khâu còn lại. Chuyển động của thiết bị này về bản chất là động lực học. Người kỹ sư phải dùng cả liên kết động học (7.2) cũng như phương trình vi phân chuyển động Newton-Euler hoặc các dạng tương đương như phương trình Lagrange được bàn đến sau.
7.4 Các phương trình cơ bản của động lực học các vật thể rắn
Trong mục này chúng ta hệ thống lại các phương trình chuyển động cho cơ học phẳng trong hệ cơ điện tử. Mặt phẳng này có thể là hệ các vật thể rắn như trong tay máy robot chuỗi (Hình 7.2) hoặc phương tiện giao thông đệm từ (Hình 7.4), hoặc kết cấu mềm trong gia tốc kế MEMS. Động lực học của hệ kết cấu mềm được mô tả bởi các phương trình chuyển động PDEs. Phương trình đối với các vật thể rắn tuân theo các định luật chuyển động Newton của tâm khối và mở rộng Euler của các định luật Newton đối với mô men động lượng góc của vật thể rắn. Các phương trình này có thể phát biểu theo nhiều cách (xem Moon, 1999):
1. Phương trình Newton - Euler (phương pháp vectơ)
2. Phương trình Lagrange (phương pháp năng lượng vô hướng)
3. Nguyên lý D’Alambert (phương pháp công ảo)
4. Nguyên lý công khả dĩ (phương trình Kane, hoặc nguyên lý Jourdan)
Phương trình Newton – Euler
Khảo sát vật thể rắn trong hình 7.1 tâm khối của nó được cho bởi vectơ rc trong hệ tọa độ cố định nào đó. Vận tốc và gia tốc tâm khối được cho bởi
(7.3)
Dấu chấm là đạo hàm toàn phần theo thời gian. Chúng ta biểu diễn tổng toàn phần các lực vectơ trên vật thể từ cả nguồn gốc cơ học và điện từ là F.
HÌNH 7.4 Vật rắn đệm từ (Phương tiện vận tải mẫu Maglev,1998, Nagoya, Japan
Định luật Newton đối với chuyển động của tâm khối của vật thể có khối lượng m được cho bởi
(7.4)
Nếu r là một vectơ cho một điểm nào đó trong vật thể rắn, chúng ta xác định vectơ vị trí địa phương r bởi rp = rc + r. Nếu một lực Fi tác động tại điểm ri trong vật thể rắn thì chúng ta xác định mômen của lực m đối với gốc cố định bởi
(7.5)
Mômen tổng bằng tổng tất cả các mômen do các lực tác dụng lên vật gây ra
(7.6)
Chúng ta cũng xác định mômen động lượng góc của vật thể rắn bởi tích của ma trận đối xứng các mômen bậc 2 của khối lượng gọi là ma trận quán tính Ic. Vectơ mômen động lượng góc đối với tâm khối được xác định bởi
(7.7)
Vì Ic là ma trận đối xứng, nó có thể được chéo hóa với các quán tính chính (hoặc giá trị riêng){Iik} đối với các phương chính (vectơ riêng) {e1, e2, e3}. Trong các toạ độ này, gắn với vật thể, mômen động lượng góc đối với tâm khối sẽ trở thành
(7.8)
Trong đó vectơ vận tốc góc được viết thông qua các vectơ riêng chính {e1, e2, e3}, gắn với vật thể rắn.
Sự mở rộng của Euler cho định luật Newton đối với vật thể rắn khi đó cho bởi
(7.9)
Phương trình này chỉ ra rằng sự thay đổi mômen động lượng góc đối với tâm khối bằng mômen tổng của tất cả các lực đối với tâm khối. Phương trình này cũng có thể áp dụng đối với một điểm quay cố định, không nhất thiết là tâm khối như trong ví dụ con lắc tổ hợp được cho dưới đây.
Các phương trình (7.4) và (7.9) được biết như là các phương trình chuyển động Newton – Euler. Không có các liên kết chúng biểu diễn 6 phương trình vi phân bậc 2 liên kết đối với vị trí của tâm khối và định hướng góc của vật thể rắn.
Động lực học nhiểu vật
Trong một chuỗi các khâu của cánh tay robot, như cho trên hình 7.2, chúng ta có một tập hợp các vật thể rắn liên kết, mỗi vật thể chịu tác dụng của cả lực liên kết và mômen liên kết. Các phương trình động lực học của chuyển động bao gồm nghiệm của các phương trình Newton – Euler đối với mỗi khâu rắn chịu liên kết hình học và động học giữa các vật thể như trong (7.2). Các lực trên mỗi vật thể được ký hiệu bởi Fa, từ các cơ cấu chấp hành hoặc nguồn gốc cơ học bên ngoài và lực liên kết bên trong Fc. Khi ma sát không tồn tại, công được thực hiện bởi các lực liên kết bằng 0. Tính chất này có thể được dùng để viết các phương trình chuyển động qua các hàm năng lượng vô hướng, được biết như các phương trình Lagrange (xem dưới đây)
Chừng nào phương pháp này được dùng để rút ra phương trình chuyển động, thì các phương trình động lực học của chuyển động đối với các hệ nhiều vật thông qua các tọa độ suy rộng {qk(t)} có dạng
(7.10)
Thành phần thứ nhất ở vế trái chứa ma trận khối lượng đối xứng suy rộng mij = mji. Thành phần thứ 2 bao gồm gia tốc Coriolis và hướng tâm. Vế phải chứa tất cả các lực và các thành phần điều khiển. Phương trình này có tính phi tuyến bậc 2 đối với vận tốc suy rộng. Các số hạng bình phương này thường bỏ đi đối với các bài toán vật thể rắn với trục quay đơn. Tuy nhiên, các số hạng quán tính phi tuyến nói chung xuất hiện trong các bài toán với sự quay đồng thời quanh 2 hoặc 3 trục như trong tay máy rôbốt nhiều khâu (7.2), các bài toán con quay (gyroscope), và các bánh xe động lượng xoắn trong vệ tinh.
Trong phần mềm mô phỏng động lực học hiện đại, được gọi là mã nhiều vật, các phương trình này được rút ra một cách tự động và được tích phân mỗi khi người sử dụng xác định hình học, lực và điều khiển. Một số mã này được gọi là ADAMS, DADS, Working Model, và NEWEUL. Tuy nhiên người thiết kế phải lưu ý vì các mã này đôi khi thiếu mô hình ma sát và va chạm giữa các vật.
7.5 Các mô hình động lực học đơn giản
Hai ví dụ ứng dụng đơn giản của định luật mômen động lượng góc được cho sau đây. Đầu tiên là sự quay của vật thể rắn quanh trục đơn, và thứ hai có hai trục quay.
Con lắc tổ hợp
Khi một vật chịu liên kết quay 1 bậc tự do và chịu tác dụng bởi lực trọng trường như trên hình 7.5, phương trình chuyển động có dạng, trong đó q là góc đối với trục thẳng đứng
(7.11)
trong đó T(t) là mômen tác dụng, I = m1L12 + m2L22 là mômen quán tính (còn được gọi mômen bậc 2 của khối lượng). Phương trình trên là phi tuyến theo hàm sin của góc. Trong trường hợp chuyển động nhỏ quanh q = 0 thì phương trình trở thành phương trình vi phân tuyến tính và ta có thể tìm nghiệm dưới dạng q = Acos(wt), khi T(t) = 0., Đối với trường hợp này chuyển động của con lắc có dạng hình sin với tần số riêng
(7.12)
HÌNH 7.5 Con lắc kép chịu mômen lực trọng trường
HÌNH 7.6 Bánh xe tầu đệm từ trên các ổ đỡ siêu dẫn nhiệt độ cao
Đối với con lắc đơn m1 = 0 và chúng ta có quan hệ con lắc cổ điển trong đó tần số riêng phụ thuộc ngược vào căn bậc hai của độ dài.
(7.13)
Các chuyển động Gyroscop
Thiết bị quay như các động cơ tốc độ cao trong tay máy rôbot hoặc tuốc bin trong động cơ máy bay hay bánh xe của tầu đệm từ (H.7.6) mang mô men động lượng góc, ký hiệu bởi vectơ H. Mở rộng Euler của các định luật Newton nói rằng sự biến thiên mô men động lượng góc phải phù hợp với mô men lực M
(7.14)
Trong các bài toán 3 chiều người ta thường có các thành phần mô men động lượng góc quanh 2 trục khác nhau. Điều đó dẫn đến gia tốc Coriolis sinh ra momen gyroscop ngay cả khi 2 chuyển động quay dừng. Xét động cơ quay góc f quanh một trục với vec tơ đơn vị e1 và ta hãy tưởng tượng một chuyển động quay của trục e1 , góc đối với trục trực giao e2 được gọi là trục tiến động theo cách nói gyroscop. Khi đó người ta có thể chỉ ra rằng mô men động lượng góc cho bởi:
(7.15)
và tốc độ biến thiên của mô men động lượng đối với sự quay không đổi và tốc độ tiến động được cho bởi:
(7.16)
HÌNH 7.7 Mômen gyroscope trên vật thể rắn quay và tiến động
Khi đó phải tồn tại mômen gyroscope thường đựoc sinh ra bởi các lực trên các ổ đỡ của trục 1 (hình 7.7). Mômen này vuông góc với mặt phẳng tạo bởi e1 và e2 và tỉ lệ với tích của các tốc độ quay
(7.17)
Phương trình này có cùng dạng như phương trình (7.10), khi lực suy rộng q được đồng nhất với mômen M, tức là mômen là tích của các vận tốc suy rộng khi các số hạng gia tốc đạo hàm bậc 2 bằng không.
7.6 Mô hình hệ đàn hồi
Các kết cấu đàn hồi có dạng cáp, dầm, bản, vỏ, và khung. Đối với những bài toán tuyến tính người ta có thể dùng phương pháp dạng riêng để biểu diễn động lực học với một tập hữu hạn các biên độ dãn đối với bậc tự do suy rộng. Các dạng riêng này tìm được như là nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng (PDEs) của kết cấu đàn hồi (chẳng hạn xem Yu, 1996).
Kết cấu đàn hồi đơn giản nhất sau dây cáp là dầm 1 chiều trên hình 7.8. Đối với những chuyển động nhỏ ta giả thiết chỉ có dịch chuyển ngang w(x,t), trong đó x là tọa độ không gian dọc theo dầm. Người ta thường giả thiết rằng ứng suất trên tiết diện ngang của dầm được tổng hợp để nhận được vectơ tổng ứng suất trượt V, mômen uốn M và lực dọc trục T. Dầm này có thể chịu tải với lực tập trung, các lực và mômen tại mút hoặc các lực phân bố như trong trường hợp lực trọng trường, lực chất lỏng, lực điện từ. Đối với tải trọng phân bố ngang, f(x,t), phương trình chuyển động được cho bởi
(7.18)
HÌNH 7.8 Phác họa dầm đàn hồi bị ngàm
trong đó D là độ cứng chống uốn, A là diện tích tiết diện ngang của dầm và r là mật độ khối lượng. Đối với dầm có môđun Young Y, tiết diện ngang chữ nhật với chiều rộng b chiều cao h, D = Ybh3/12. Khi D=0 ta có dây cáp hoặc dây đàn chịu sức căng T, và phương trình có dạng phương trình sóng thông thường. Khi một dầm chịu lực kéo T, thì các tần số riêng tăng lên do thêm vào số hạng thứ 2 trong phương trình này. Khi tức là có lực nén ở mút của dầm thì số hạng độ cong dẫn đến làm giảm tần số riêng khi tăng lực nén P. Nếu tần số riêng thấp nhất tiến tới không khi tăng P thì cấu hình thẳng của dầm trở nên mất ổn định hoặc chịu mất ổn định cong. Việc dùng T hoặc (-P) tăng hoặc giảm độ cứng của kết cấu dầm có thể dùng trong thiết kế sensor để tạo nên một sensor với sự công hưởng biến thiên. Ý tưởng này đã được dùng trong việc thiết kế gia tốc kế NEMs (phần sau).
Đặc điểm khác của động lực học kết cấu dầm là khác với dây đàn và dây cáp các tần số của dạng riêng không phải là tương xứng do sự có mặt của số hạng của đạo hàm bậc 4 trong phương trình. Trong các bài toán sóng đó là sự phân tán sóng. Điều đó có nghĩa là các sóng ở độ dài sóng khác nhau chuyển động với vận tốc khác nhau sao cho dạng xung của sóng biến đổi như sóng chuyển động theo kết cấu.
Để giải các bài toán động lực học trong kết cấu dầm độ dài hữu hạn người ta phải xác định các điều kiện biên ở các mút. Các ví dụ về điều kiện biên như sau:
(7.19)
Dầm áp đàn hồi (piezo-elastic)
Các vật liệu áp đàn hồi thể hiện sự liên kết giữa biến dạng và trường điện hoặc điện thế. Như vậy các vật liệu này có thể dùng làm sensors hoặc cơ cấu chấp hành. Chúng được dùng để thu nhỏ dao động tác dụng trong kết cấu đàn hồi, chúng cũng được phát hiện đối với ứng dụng không gian tác dụng quang học. Nhiều vật liệu tự nhiên thể hiện tính áp đàn hồi như quartz, cũng như các vật liệu được chế tạo như barium, titan đưa đến zirconate titan (PZT), và polyvinylidene flouride (PVDF). Không giống như lực trong điện tích và dòng (xem ở dưới), hiệu ứng điện xảy ra theo sự biến đổi dạng của vật liệu. Mô hình của thiết bị này có thể thực hiện bởi biến đổi các phương trình đối với kết cấu đàn hồi.
Công trình sau đây về uốn áp điện dựa trên công trình của Lee và Moon (1989) cũng như tóm tắt trong Miu (1993). Một trong những cấu hình phổ biến của senxơ-cơ cấu chấp hành piezo là uốn piezo được chỉ ra trên hình 7.9. Dầm đàn hồi tiết diện chữ nhật như là một phần tử piezo. Phần tử piezo này co thể liên quan đến 1 hoặc 2 cạnh của dầm trên toàn bề mặt hay một phần của bộ phận kết cấu không piezo.
HÌNH 7.9 Dầm đàn hồi với hai lớp áp điện ( Lee and Moon, 1989)
Nói chung trường hai cực điện địa phương phụ thuộc vào 6 thành phần biến dạng độc lập sinh ra bởi các ứng suất tiếp và pháp. Tuy nhiên chúng ta sẽ giả thiết rằng điện thế ngang hoặc sự phân cực liên kết với biến dạng trục trong các lớp piezo dạng tấm. Các quan hệ cấu thành của ứng suất trục và biến dạng,T, S, trường điện và dịch chuyển điện E3, D3, (Không được nhầm với độ cứng chống uốn D), được cho bởi:
(7.20)
Các hằng số tương ứng là các mô đun độ cứng đàn hồi, hằng liên kết áp điện và hằng số điện môi.
Nếu các lớp piezo được đặt trong các hướng ngược nhau như trên hình 7.9 điện thế tác dụng sẽ sinh ra biến dạng kéo trong một lớp và biến dạng co trong lớp kia và chúng có tác dụng của mômen trên dầm. Các điện cực đặt vào lớp đỉnh và lớp đáy của các lớp piezo có thể có dạng sao cho có radien theo điện thế trung bình ngang qua bề rộng dầm đối với trường hợp này các phương trình chuyển động của dầm composite có thể viết dưới dạng
(7.21)
trong đó
số hạng z là trung bình của tấm piezo và độ dầy của bán kết cấu. Khi điện thế đều thì số hạng vế phải là kết quả tác dụng mômen tại mút của dầm tỉ lệ với điện thế ngang.
7.7 Lực điện từ
Một trong những chìa khóa để mô hình hóa hệ cơ điện tử là sự đồng nhất hóa các lực điện và từ. Các lực điện tác dụng trên điện tích và phân cực điện (lưỡng cực điện). Các lực từ tác dụng trên dòng điện và phân cực từ. Điện tích và dòng điện có thể sinh ra một lực trong trường từ hoặc trường điện đều; tuy nhiên lưỡng cực điện và từ chỉ sinh ra một lực trong gradien trường từ hoặc lực.
Các lực điện và từ cũng có thể tính được khi dùng cả phương pháp vectơ trực tiếp cũng như nguyên lý năng lượng. Một trong các phương pháp phổ biến hơn cả là phương trình Lagrange với các hệ cơ điện được mô tả dưới đây.
HÌNH 7.10 Các lực tĩnh điện trên hai điện tích (trên), lực điện từ tác động lên một đoạn dây có dòng điện chạy qua
Các hệ điện từ có thể được mô hình như các đại lượng trường phân bố như trường điện E, hoặc mật độ thông lượng từ B hoặc như các dòng từ và điện của phần tử tập trung. Lực này trên điện tích điểm Q được cho bởi phương trình vectơ (hình 7.10).
(7.22)
Khi E được sinh ra bởi điện tích đơn lực giữa điện tích Q1 và Q2 được cho bởi
(7.23)
và được đặt hướng dọc theo đường nối hai điện tích. Giống như các điện tích đẩy nhau và các điện tích trái dấu hút nhau.
Các lực từ trên một đơn vị dài trên phần tử dòng I được cho bởi tích vectơ
(7.24)
trong đó lực từ vuông góc với mặt phẳng của phần tử dòng và vectơ trường từ. Lực tổng hợp trên mạch đóng trong trường đều sẽ bằng không. Các lực lưới trên mạch đóng được sinh ra bởi gradien trường do các mạch dòng khác hoặc trường nguồn.
Các lực sinh ra bởi phân bố trường bao quanh một điện tích chứa trong một thể tích hoặc dòng có thể tính được khi dùng các đại lượng trường của E và B dùng trực tiếp hái niệm ứng suất từ và điện được phát triển bởi Faraday và Maxwell. Các ứng suất điện từ này phải được tích phân trên diện tích bao quanh điện tích hoặc phân bố dòng. Ví dụ, một vật rắn chứa một phân bố dòng có thể sinh ra áp lực từ P = Bt2/2m0, trên yếu tố bề mặt và sức căng từ, tn = Bn2/2m0, trong đó các thành phần trường từ được viết qua các đại lượng tiếp tuyến và pháp tuyến với bề mặt. Như vậy trường từ 1 tesla phía ngoài của vật rắn sẽ sinh ra áp suất 40N/cm2 nếu trường này tiếp tuyến với bề mặt.
Nói chung có 4 phương pháp chính để tính các lực điện và từ
1. các vectơ lực trực tiếp và các mômen giữa các điện tích, các dòng và các lưỡng cực
2. các vectơ lực trường điện tích và trường dòng từ
3. tenxơ điện từ, tích phân của sức căng điện, áp suất từ trên bề mặt của vật thể
4. các phương pháp năng lượng dựa trên gradien của năng lượng điện và từ
Các ví dụ về phương pháp trực tiếp và phương pháp tenxơ ứng suất được cho dưới đây. Phương pháp năng lượng được mô tả trong mục phương trình Lagrange.
Ví dụ 1. Các lực điện tích-điện tích
Giả sử hai dầm đàn hồi trong một thiết bị MEMS có các điện tích Q1, Q2 coulombs, mỗi một điện tích tập trung ở điểm đầu của nó (hình 7.11)
HÌNH 7.11 Hai dầm đàn hồi với các điện tích ở đầu
Lực điện tích giữa các điện tích được cho bởi vectơ
(7.25)
Trong đó ¼pe0 = 8.99x109 Nm2/C2.
Nếu khoảng cách ban đầu giữa các dầm là d0, chúng ta tìm khoảng cách mới do lực điện. Để đơn giản ta lấy Q1 = -Q2 = Q, trong đó điện tích trái dấu tạo nên lực hút giữa các mút của dầm. Sự dịch chuyển của các dầm này được cho bởi
(7.26)
trong đó L là độ dài, Y là môđun Young, I là mômen bậc hai của diện tích và k là hằng số đàn hồi hiệu dụng. Do lực điện khoảng cách mới là d = d0 – 2d
(7.27)
Đối với d << d0 thì chúng ta có đến bậc nhất là
(7.28)
Bài toán này chỉ ra thế năng đối với bất ổn định cong trường điện vì khi các mút dầm chuyển động gần hơn cùng với nhau thì lực hút giữa chúng tăng lên. Biểu thức không thứ nguyên trong mẫu số
(7.29)
là tỉ số độ cứng điện âm đối với độ cứng đàn hồi k của các dầm.
Hình 7.12 Lực trên thanh sắt từ gần một điện từ
Ví dụ 2. Lực từ trên điện từ.
Hãy tưởng tượng một khung sắt từ được giữ bằng lò xo đàn hồi độ cứng k, như chỉ ra trên hình 7.12. Dưới khung nam châm từ mềm, ta đặt một nam châm điện sinh ra N vòng của dòng điện I bao quanh lõi sắt từ mềm. Dòng điện được sinh ra bởi điện thế trong mạch với điện trở R.
Lực từ sẽ tính được khi dùng tensor ứng suất từ được phát triển bởi Maxwell và Faraday (xem Moon 1984, 1994). Bên ngoài một vật thể sắt từ, tensor ứng suất được cho bởi t và vectơ ứng suất trên bề mặt xác định bởi pháp tuyến n được cho bởi t = t.n :
(7.30)
Đối với độ thẩm từ cao như trong vật sắt từ, thành phần tiếp tuyến của trường từ ngoài bề mặt gần bằng không. Như vậy lực gần vuông góc với bề mặt và tìm được từ tích phân của sức căng từ trên toàn bề mặt:
(7.31)
và Bn2/ 2m0 biểu diễn ứng suất căng từ. Như vậy, nếu diện tích của các mảnh cực là A (bỏ qua phần lề của trường) thì lực là:
(7.32)
trong đó Br là trường có khe hở. Trường khe hở này được xác định từ luật Amper
(7.33)
trong đó từ trở được cho xấp xỉ bởi:
(7.34)
Khi đó việc cân bằng lực từ và lực đàn hồi được cho bởi:
(7.35)
hay
(chú ý rằng biểu thức m0 N2I2 có đơn vị là lực). Một lần nữa khi dòng điện tăng, thì độ cứng đàn hồi và độ cứng điện tiến tới không và người ta có thế năng mất ổn định cong.
7.8 Các nguyên lý động lực đối với các mạch điện và từ
Các phương trình cơ bản của điện từ xuất phát từ công trình của các nhà khoa học thế kỷ 19 như Faraday, Henry, và Maxwell. Họ lấy dạng phương trình đạo hàm riêng qua các đại lượng về trường của trường điện E và mật độ dòng từ B, và chứa các phép đo về lượng của mật độ điện tích, và mật độ dòng J ( xem Jackson,1968). Tuy nhiên hầu hết các thiết bị thực tế có thể mô hình hóa bởi mạch từ và mạch điện tập trung. Điện trở điện dung và mạch tự cảm tiêu chuẩn chỉ ra trên hình 7.13 dùng các dòng điện I (ampe), điện tích Q (coulomb), từ thông f (weber), và điện thế V (volt) như là các biến động lực. Điện thế là tích phân của trường điện theo một đường.
(7.36)
điện tích Q là tích phân của mật độ điện tích q trên toàn bộ thể tích, và dòng điện I là tích phân của thành phần pháp tuyến của J trên toàn bộ tiết diện. Từ thông f được cho như là tích phân mặt của luồng từ.
(7.37)
HÌNH 7.13 Mạch điện với điện dung tự cảm và điện trở tập trung
Khi không có các thành phần cơ trong hệ các phương trình động lực học nhận dạng bảo toàn điện tích và định luật Faraday-Henry về biến đổi dòng.
(7.38)
(7.39)
trong đó f=nf được gọi là số liên kết dòng, và n là số nguyên. Trong mạch điện từ sự tương tự của các tính chất cơ bản của cơ học là độ tự cảm L và điện dung C. Chẳng hạn từ thông trong bộ tự cảm thường phụ thuộc vào dòng I
(7.40)
đối với bộ tự cảm tuyến tính người ta có định nghĩa về độ tự cảm L tức là f=LI. Nếu hệ có biến trạng thái cơ học như chuyển vị x, khi trong cơ cấu chấp hành nhiễm từ, thì L có thể có chức năng của x.
Trong các phần tử mạch tích lũy điện tích điện dung C được định nghĩa là
(7.41)
trong các thiết bị MEMS và trong microphone điện dung cũng có thể có chức năng của biến dịch chuyển cơ học tổng quát nào đó.
Các điện thế ngang qua các phần tử mạch khác nhau có thể là chủ động hoặc bị động. Một nguồn điện thế thuần túy có thể duy trì một điện thế đã cho nhưng dòng phụ thuộc vào điện thế bị động ngang qua phần tử mạch khác nhau và được tóm tắt trong định luât mạch của Kirchoff
(7.42)
Các phương trình chuyển động Lagrange đối với các hệ cơ điện
Rõ ràng rằng các phương trình chuyển động Newton-Euler đối với các hệ cơ học có thể rút ra khi dùng nguyên lý năng lượng được gọi là phương trình Lagrange. Trong phương pháp này người ta đồng nhất các tọa độ suy rộng {qk}, không nhầm lẫn với điện tích, và viết động năng của hệ T theo các vận tốc và tọa độ suy rộng, T(,qk). Tiếp theo các lực cơ học được tách ra thành lực bào toàn và có thể rút ra từ hàm thế năng W(qk) và phần còn lạic của các lực được biểu diễn bởi lực suy rộng Qk tương ứng với công sinh ra bởi tọa độ suy rộng thứ k. Các phương trình Lagrange trong các hệ cơ học khi đó nhận dạng
(7.43)
Ví dụ trong hệ lò xo khối lượng giảm chấn tuyến tính với khối lượng m hằng số đàn hồi k, hằng số giảm chấn nhớt c, và một tọa độ suy rộng q1=x, phương trình chuyển động có thể rút ra khi dùng trong phương trình Lagrange ở trên. Điều có thể nhận xét về các công thức này là nó có thể mở rộng cho cả mạch điện từ và các bài toán điện cơ liên kết. Như một ví dụ về ứng dụng phương trình Lagrange cho bài toán điện cơ liên kết, hãy xét một thiết bị cơ một chiều, trên hình 7.14, với cơ cấu chấp hành từ và điện dung điều khiển bởi mạch điện thế tác dụng V(t). Ta có thể mở rộng phương trình Lagrange cho các mạch bởi xác định điện tích trên điện dung, Q như tọa độ suy rộng nữa cùng với x, tức là trong công thức Lagrange, q1=x, q2=Q.
HÌNH 7.14 Hệ cơ điện tham số tập trung liên kêt với chuyển động cơ học một bậc tự do x(t)
Khi đó ta thêm vào hàm động năng một hàm năng lượng từ Wm(), và thêm vào thế năng hàm năng lượng điện trường We(Q,x). Các phương trình này của cả khối lượng và mạch có thể suy ra từ
(7.44)
Lực suy rộng phải được thay đổi để phù hợp với hao tán năng lượng trong bộ điện trở và năng lượng đầu vào của điện thế tác dụng V(t), tức là . Trong ví dụ này năng lượng từ tỉ lệ với độ tự cảm R(x), và hàm năng lượng điện tỉ lệ nghịch với điện dung C(x). Áp dụng các phương trình Lagrange ta thu được các biểu thức đối với các lực điện và từ như là các đạo hàm của các hàm năng lượng điện và từ tương ứng, tức là
(7.45)
(7.46)
Các công thức đáng chú ý này rất có lợi vì người ta có thể tính toán các lực điện từ khi biết sự phụ thuộc của độ tự cảm và điện dung vào dịch chuyển x. Các hàm này thường có thể tìm được từ các phép đo điện của L và C.
Ví dụ: Lực điện trên cơ cấu chấp hành MEMS điều khiển răng lược
Hãy xét chuyển động của tấm liên kết đàn hồi giữa hai tấm cố định làm nền như trong cơ cấu chấp hành điều khiển răng lược MEMS trên hình 7.15. Khi tấm có thể chuyển động có điện thế V tác dụng có sự tích lũy năng lượng điện trường trong hai khe hở được cho bởi
(7.47)
trong biểu thức này hàm năng lượng điện được viết thông qua điện thế V thay cho điện tích trên các tấm Q như trong các phương trình 7.45 và 7.46. Khe hở ban đầu là d0, và diện tích của tấm là A.
HÌNH 7.15 Ví dụ về lực điện trên các phần tử cơ cấu chấp hành điều khiển răng lược
HÌNH 7.16 Sự suy giảm tần số riêng của thiết bị MEMS với điện thế tác dụng như là
một ví dụ về độ cứng điện âm (từ Adams 1996)
Khi dùng các biểu thức về lực suy ra từ các phương trình Lagrange 7.44, lực điện tích trên tấm được cho bởi
(7.48)
Biểu thức này chỉ ra rằng độ cứng điện là âm đối với x, điều đó có nghĩa là điện thế sẽ làm giảm tần số riêng của tấm. Ý tưởng này đã được ứng dụng vào cơ cấu chấp hành điều khiển răng lược MEMS bởi Adams (1996) trong đó điện thế được dùng để điều chỉnh tần số riêng của gia tốc kế MEMS như chỉ ra trên hình 7.16
7.9 Định lý Earnshaw và ổn định cơ điện
Người ta vẫn chưa biết rằng các lực điện và từ trong các hệ cơ học có thể sinh ra mất ổn định tĩnh như người ta đã biết về mất ổn định cong đàn hồi. Đó là hệ quả của tính chất bình phương ngược của các lực điện và từ. Ta biết rằng thế năng điện từ trường f thỏa mãn phương trình Laplace, Ñ2f=0. Có một định lý cơ bản trong lý thuyết thế năng về sự không có thể của các giá trị cực tiểu tương đối của thế năng f(r) đối với các nghiệm của phương trình Laplace trừ trên biên. Điều đó được phát biểu trong định lý Earnshaw (1829) rằng đối với một hệ tĩnh các điện tích, các lưỡng cực điện từ, các dòng không đổi không thể có trạng thái ổn định của trạng thái cân bằng mà không có các lực động, các lực cơ học và các lực phản hồi (chẳng hạn xem Moon 1984, 1994).
Một ví dụ của định lý Earnshaw là sự không ổn định của lưỡng cực từ (từ tình không đổi) gần bề mặt sắt từ (hình 7.17). Chẳng hạn các ổ đỡ từ dựa trên các lực sắt từ cần có điều khiển phản hồi. Định lý Earnshaw cũng suy ra rằng nếu có một bậc tự do của lực đàn hồi ổn định thì phải có một bậc tự do nữa không ổn định. Như vậy các vị trí cân bằng đối với hệ điện từ thuần túy của điện tích và lưỡng cực phải là những điểm yên ngựa. Sự liên quan của các thế năng lực là ở chỗ ma trận đạo hàm bậc hai không xác định dương. Chẳng hạn giả sử có 3 tọa độ vị trí suy rộng {su} đối với tập các điệntích. Khi đó nếu lực suy rộng tỉ lệ với gradien thế năng, Ñf, thì ma trận độ cứng điện suy rộng Kij , cho bởi
sẽ không là xác định dương. Từ đó có nghĩa là ít nhất một giá trị riêng sẽ có độ cứng âm. Ví dụ khác về mất ổn định cong điện tích là một dầm trong trường điện tích với điện tích sinh ra bởi trường điện tích trên hai tấm cố định gần nhau như trên hình 7.15. Điện tích trên dầm sẽ bị hút vào hai tấm nhưng bị cản lại bởi độ cứng đàn hồi của dầm. Khi điện thế tăng độ cứng đàn hồi và điện tổ hợp sẽ giảm cho đến khi dầm bị mất ổn định cong về phía này hoặc phía kia. Tuy nhiên trước khi mất ổn định cong tần số riêng của dầm đã tích điện sẽ giảm (hình 7.16). Tính chất này đã được quan sát bằng thực nghiệm trong một thiết bị MEMS. Mất ổn định đàn hồi từ tương tự được quan sát đối với dầm đàn hồi sắt từ mỏng trong trường từ tĩnh (xem Moon 1984). Cả hai mất ổn định đàn-từ và đàn-điện được suy ra từ cùng nguyên lý của đinh lý Earnshaw.
HÌNH 7.17 Lực từ trên một nam châm lưỡng cực gần bán không gian sắt từ
vơi thể hiện lưỡng cực ảo
Có những sự ngoại lệ kịch tính đối với định lý ổn định Earnshaw. Một điều chắc chắn là sự nâng lên của phương tiện vận tải 50 tấn trong trường từ, được biết như là MagLev, hoặc sự treo của các động cơ đường ống khí khi dùng các ổ đỡ từ điều khiển phản hồi (xem Moon 1994). Ở đây hoặc là thiết bị dùng lực phản hồi tức là các trường không phải là tĩnh hoặc là nguồn của một trong các trường từ là siêu dẫn. Các lực nghịch từ là ngoại lệ đối với định lý Earnshaw, và các vật liệu siêu dẫn có các tính chất giống như các vật liệu nghịch từ. Các vật liệu mới có tính chất siêu dẫn nhiệt độ cao, như YBaCuO, thể hiện các lực quay từ thông, điều đó có thể được dùng cho sự nâng ổn định trong ổ đỡ từ không có phản hồi (xem Moon 1994).
Tài liệu tham khảo
[1] Adams, S. G. (1996), Design of Electrostatic Actuators to Tune the Effective Stiffness of Micro-Mechanical Systems, Ph.D. Dissertation, Cornell Unversity, Ithaca, New York.
[2] Goldstein, H. (1980), Classical Mechanics, Addison-Wesley, Reading, MA.
[3] Jackson, J. D. (1968), Classical Electrodynamics, J. Wiley & Sons, New York.
[4] Lee, C. K. and Moon, F. C. (1989), “Laminated piezopolymer plates for bending sensors and actuators,” J. Acoust. Soc. Am., 85(6), June 1989.
[5] Melcher, J. R. (1981), Continuum Electrodynamics, MIT Press, Cambridge, MA.
[6] Miu, D. K. (1993), Mechatronics, Springer-Verlag, New York.
[7] Moon, F. C. (1984), Magneto-Solid Mechanics, J. Wiley & Sons, New York.
[8] Moon, F. C. (1994), Superconducting Levitation, J. Wiley & Sons, New York.
[9] Moon, F. C. (1999), Applied Dynamics, J. Wiley & Sons, New York.
[10] Yu, Y.-Y. (1996), Vibrations of Elastic Plates, Springer-Verlag, New York.
8
Kết cấu và vật liệu
Eniko T. Enikov University of Arizona
8.1..... Các định luật cơ bản của Cơ học. 8-1
8.2..... Các cấu trúc chung trong các hệ cơ điện tử. 8-4
8.3..... Dao động và phân tích dạng riêng. 8-6
8.4..... Phân tích mất ổn định cong. 8-7
8.5..... Các bộ chuyển đổi8-8
8.6..... Khuynh hướng phát triển. 8-12
Thuật ngữ Cơ điện tử (mechatronics) lần đầu tiên được dùng bởi các kỹ sư Nhật bản để xác định hệ cơ học với điện tử nhúng có khả năng tạo ra sự thông minh và chức năng điều khiển. Từ đó quá trình tiếp theo trong việc tích hợp đã dẫn đến sự phát triển của các hệ vi cơ-điện tử (MEMS) trong đó bản thân kết cấu cơ học là một bộ phận của hệ điện con. Sự phát triển và thiết kế các hệ cơ điện tử đòi hỏi kiến thức liên ngành trong nhiều lĩnh vực – điện tử, cơ học, vật liệu và hóa học. Mục này giới thiệutổng quan về các kết cấu cơ học chính, các vật liệu tạo ra chúng và các định luật chi phối mô tả tương tác giữa các quá trình cơ và điện. Dự kiến dùng trong giai đoạn đầu của thiết kế, khi các ước lượng nhanh là cần thiết để chấp nhận hoặc từ chối một khái niệm riêng biệt. Sự chú ý đặc biệt đã giành cho các vật liệu thông minh mới xuất hiện – cơ cấu chấp hành polime tác dụng điện. Nhiều bảng hằng số vật liệu cũng được cung cấp để tham khảo.
8.1 Các định luật cơ bản của Cơ học
Tĩnh học và động học của các hệ Cơ điện tử
Các địng luật cơ bản của Cơ học là cân bằng của mô men động lượng góc và dài.Đối với các hệ lý tưởng chứa một điểm có khối lượng m chuyển động với vận tốc v, mô men động lượng dài được xác định là tích của khối lượng và vận tốc:
(8.1)
Tính bảo toàn của mô men động lượng dài đối với phần tử đơn thừa nhận rằng tốc độ biến đổi của mô men động lượng dài bằng tổng tất cả các lực tác dụng lên phần tử đó:
(8.2)
Hình 8.1 Định nghĩa các vectơ vận tốc và vị trí của phần tử đơn (a) và của vật thể rắn (b)
trong đó ta đã giả thiết rằng khối lượng không thay đổi theo thời gian.
Mô men động lượng góc của phần tử đối với điểm tham chiếu bất kỳ O được xác định như sau:
(8.3)
trong đó rop là vectơ vị trí giữa các điểm O và P ( xem hình 8.1 (a)). Sự cân bằng mômen động lượng góc đối với phần tử đơn nhỏ vô hạn tự thỏa mãn như một hệ quả của (8.1). Trong trường hợp nhiều phần tử (một vật thể rắn chứa vô số các phần tử), mô men động lượng dài và góc được xác định là tổng (tích phân) của các mô men động lượng của các phần tử riêng biệt (Hình 8.1(b)):
(8.4)
Định luật thứ hai của cơ học cổ điển nói rằng, tốc độ biến thiên của mô men động lượng góc bằng tổng các mô men tác dụng lên vật thể:
(8.5)
Trong đó Mi là các ngẫu lực ngoài tác dụng cùng với các lực Fi . Nếu điểm tham chiếu O được chọn là tâm khối của vật thể G thì định luật cân bằng mô men động lượng dài và góc có công thứcđơn giản hơn:
(8.6)
(8.7)
trong đó w là vectơ vân tốc góc tức thời và IG là mô men quán tính đối với tâm khối. Các phương trình (8.6) và (8.7) được gọi là các phương trình chuyển động và đóng vai trò trung tâm trong động lực học của vật thể rắn. Nếu không có chuyển động ( vận tốc góc và vận tốc dài bằng không), ta sẽ gặp bài toán tĩnh. Ngược lại, khi các gia tốc lớn ta cần phải giải hệ đầy đủ các phương trình (8.6) và (8.7) chứa các điều kiện đầu. Trong các hệ cơ điện tử nói chungđáp ứng cơ học chậm hơn đáp ứng điện và do đó xác định đáp ứng tổng thể.Nếu thời gian đáp ứng là tới hạn đối với ứng dụng thì cần phải xét các thành phần quán tính trong các phương trình (8.6) và (8.7).
Các phương trình chuyển động của vật thể biến dạng
Các vật thể rắn không thay đổi dạng và kích thước trong chuyển động của chúng, tức là, khoảng cách giữa các phần tử là hằng. Trong thực tế, tất cả các vật thể đều biến dạng ở mức độ nào đó khi chịu tác dụng của ngoại lực. Một vật thể được coi là rắn hoặc biến dang phụ thuộc vào các ứng dụng riêng biệt. Trong mục này, chúng ta sẽ tóm lược lại các phương trình cơ bản mô tả chuyển động của vật thể biến dạng. Các phương trình này cũng rút ra từ sự cân bằng của mô men động lượng dài và góc ứng dụng cho phần tử vô cùng bé của thể tích vật liệu dV. Mỗi phần tửthể tích dV không chỉ chịu ngoại lực thể tích f, mà còn chịu các nội lực bắt nguồn từ trạng thái nghỉ của vật thể. Các nội lực này được mô tả bởi tensor bậc hai T gọi là tensơ ứng suất. Khi đó sự cân bằng mô men động lượng dài được thiết lập dưới dạng tích phân đối với một phần tùy ý của vật thể chiếm thể tích V như sau:
(8.8)
trong đó r là mật độ khối lượng, v vận tốc của phân tố dV, f là ngoại lực tác dụng lên một đơn vị thể tích dV. Quy luật cân bằng ở trên nói lên rằng, tốc độ biến thiên của mô men động lượng dài bằng tổng của thông lượng nội lực tác động trên biên của V và ngoại lực được phân bố bên trong V. Biến đổi (8.8) với định luật bảo toàn khối lượng ta có:
(8.9)
Vì (8.9) đúng cho một thể tích bất kỳ nên suy ra rằng, biểu thức dưới dấu tích phân cũng bằng nhau. Như vậy dạng vi phân của cân bằng mô men động lượng là
(8.10)
hoặc với ký hiệu chỉ số:
Nếu dùng quy trình tương tự, việc cân bằng mô men động lượng góc sẽ đưa đến điều kiện đối xứng đơn giản của tensor ứng suất:
(8.11)
điều đó đúng cho các vật liệu không có ngẫu lực thể tích ngoài. Cần chú ý rằng, trong các vậtliệu dị hướng nào đó các vectơ phân cực hoặc vectơ từ trường có thể làm tăng ngẫu lực thể tích, ví dụ khi ExP ¹ 0. Trong những trường hợp này tensơ ứng suất là không đối xứng và bất biến vectơ của nó bằng ngẫu lực thể tích. Phương trình (8.10) thường được dùng ở một trong 3 hệ tọa độ thông dụng. Chẳng hạn dùng tọa độ vuông góc ta có:
(8.12)
và trong tọa độ trụ:
(8.13)
trong đó (x,y,z) và (r,q,z) là 3 tọa độ, f’s là mật độ lực thể tích tương ứng, và a’s là các gia tốc. Thêm vào các phương trình (8.12) và (8.13),mối liên hệ giữa ứng suất và chuyển vị là cần thiết để xác định biến dạng. Vì sự dịch chuyển và quay của vật thể rắn không gây ra biến dạng của vật thể, nên chúng cũng không ảnh hưởng đến trường ứng suất bên trong. Thực ra, trường ứng suất là hàm của gradient chuyển vị, được gọi là gradient biến dạng. Khi gradient này nhỏ, có thể dùng mối quan hệ tuyến tính giữa chuyển vị và biến dạng:
(8.14)
Sự bảo toàn mô men động lượng và các quan hệ động học không chứa bất kỳ thông tin nào về vật liệu. Các định luật cơ bản sẽ cung cấp các thông tin thêm này. Định luật chung nhất mô tả vật liệu đàn hồi tuyến tính và có thể biểu diễn thuận lợi khi dùng ma trận đối xứng ci j , gọi là ma trận độ cứng:
(8.15)
Trong trường hợp tổng quát nhất, ma trận ci j có 21 phần tử độc lập. Khi vật liệu có đối xứng tinh thể, thì số hằng số độc lập sẽ giảm đi. Ví dụ, tinh thể đơn Si là vật liệu kết cấu thông dụng trong MEMS với tính đối xứng lập phương. Trong trường hợp này, chỉ có 3 hằng số độc lập:
(8.16)
Nếu vật liệu là đẳng hướng ( không định hình hoặc đa tinh thể), thì số các hằng số đàn hồi độc lập được giảm xuống còn 2 bởi quan hệ c44=(c11-c12)/2. Các hằng số đàn hồi của nhiều vật liệu thông dụng nhất được liệt kê trong bảng 8.1 (theo [Kittel 1996]). Thông tin bổ sung trên các lớp đối xứng khác có thể tìm trong [Nye 1960]
BẢNG 8.1 Hằng số co giãn của tinh thể lập phương thông thường
Các hiện tượng điện
Trong mục trước các định luật chi phối chuyển động của các vật thể rắn và biến dạng đã được tóm tắt lại. Các lực tham gia vào các phương trình này thường có nguồn gốc điện từ: như vậy người ta phải biết sự phân bố của các trường điện và từ. Trường điện từ được chi phối bởi hệ 4 phương trình liên kết với nhau như các phương trình Maxwell. Tương tự đối với các phương trình mô men động lượng, chúng cũng có thể biểu diễn dưới dạng tích phân
(8.17)
trong đó E là trường điện, D là dịch chuyển điện, B là cảm ứng từ, H là cường độ trường từ, i là mật độ dòng điện, và qf mật độ thể tích điện tích tự do. Các phương trình (8.17) cần đến các định luật cơ bản xác định mật độ dòng, dịch chuyển điện, và trường từ qua trường điện và các véc tơ cảm ứng từ. Dạng tuyến tính của các định luật này cho bởi:
(8.18)
trong đó ri là điện trở. Sự liên kết giữa các trường cơ và điện có thể là tuyến tính hoặc phi tuyến. Ví dụ, áp điện là hiện tượng tuyến tính mô tả sự sản sinh của trường điện như là kết quả áp dụng của ứng suất cơ học. Mặt khác các điện tích gần nhau là hiệu ứng bậc hai, sinh ra biến dạng cơ học tỷ lệ với bình phương trường điện. Các hiệu ứng khác chứa áp trở, tức là, sự biến đổi của điện trở do ứng suất cơ học. Thêm vào các tính chất vật liệu này, sự liên kết cơ điện có thể đạt được qua việc sử dụng trực tiếp các lực điện từ (lực Lorentz) như được làm thông thường trong các máy điện thông dụng. Lực Lorentz trên một đơn vị thể tích được cho bởi:
(8.19)
trong đó qf là mật độ tích điện thể tích. Phương trình (8.19) tính đến các lực tác dụng chỉ trên điện tích tự do. Nếu các trường có gradient mạnh, biểu thức trên phải được biến đổi để chứa các thành phần phân cực và nhiễm từ [Maugin 1988]
(8.20)
Phương trình (8.19) hoặc (8.20) có thể được dùng trong phương trình mômen động lượng (8.10) ở vị trí của lực thể tích f.
Như đã đề cập trước đây, áp điện và áp trở là các hiệu ứng được dùng thông dụng trong các hệ cơ điện. Hiệu ứng áp điện chỉ xẩy ra trong các vật liệu với cấu trúc tinh thể nào đó. Các ví dụ thông dụng chứa BaTiO3 và titan zirconia dẫn suất (PZT). Trong xấp xỉ á tĩnh điện ( khi hiệu ứng từ được bỏ qua ) có 4 biến mô tả trạng thái cơ điện của vật thể - trường điện E và dịch chuyển D, ứng suất cơ học T và biến dạng cơ học e. Các định luật cơ bản của áp điện được cho như là hệ 2 phương trình ma trận giữa 4 biến trường, liên hệ một biến cơ và một biến điện với 2 biến khác trong hệ
(8.21)
trong đó si jkl là tensơ hiệp biến đàn hồi, di jk là ten sơ piezo-đàn hồi, Xi j là ten sơ điện cho phép.Nếu trường điện và véc tơ phân cực là cùng tuyến tính, thì ten sơ ứng suất và biến dạng là đối xứng và số các hệ số độc lập trong si jkl được rút lại từ 81 xuống 21 và đối với tensơ piezo-đàn hồi di jk từ 27 xuống 18. Nếu hơn nữa, điện áp phân cực chỉ theo một hướng ( ví dụ chỉ số 3) các phần tử khác không là
Các giá trị bằng số đối với các hệ số trong (8.22) đối với nhiều tinh thể BaTiO3 có thể tìm trong [ Zgonik et al. 1994].
8.2 Các cấu trúc chung trong các hệ cơ điện tử
Các hệ vi cơ điên tử (MEMS) thường dùng công nghệ phát triển cho chế tạo các mạch tích hợp. Như là một kết quả, kết cấu cơ học thường được dùng là các thiết bị 2 chiều- lò xo, cuộn dây, cầu hoặc dầm côngxôn (cantilever) chịu uốn và xoắn phẳng hoặc không phẳng. Khi dùng tỷ số công nghệ cao như khắc ion kết hợp với dạng chẩy dẻo của silicon, cũng có thể thực hiện kết cấu 3 chiều. Ví dụ hình 8.2 chỉ ra một vi hình ảnh SEM của sen sơ lực điện dung phức tạp được thiết kế để thu nhận được các sợi thủy tinh trong rãnh chữ v được trạm khắc. Trong mục này, ta sẽ tóm lược các quan hệ cơ bản dùng trong thiết kế ban đầu của các hệ cơ điện.
Dầm
Vi côngxôn được dùng trong bề mặt vi gia công bộ chuyển mạch tĩnh điện, vì đầu côngxôn cho phân hình kính hiển vi ống (SPM) và rất nhiều sensor dựa trên côngxôn dao động . Đa số các dầm vi gia công bề mặt rơi vào 2 trường hợp – dầm côngxôn và cầu. Hình 8.3 minh họa dầm côngxôn 2 lớp (Hình 8.39(b)). Lực đàn hồi cần thiết để tạo ra chuyển dịch d ở đầu dầm con-sơn, hoặc ở tâm của cầu, được cho bởi:
(8.22)
trong đó
(8.23)
là hằng số đàn hồi hiệu dụng của các dầm tổng hợp đối với các dầm côngxôn và dầm cầu tương ứng.
Độ cứng hiệu dụng của dầm trong cả 2 trường hợp có thể tính từ:
(8.24)
Hình 8.2 Sen sơ lực điện dung dùng vi gia công 3D
Hình 8.3 Dầm vi gia công bề mặt (a) Dầm composit 2 lớp với nguyên lý tĩnh điện,
(b) Cầu composit 2 lớp với nguyên lý tĩnh điện,
Trong đó w là chiều rộng của dầm, t1 là chiều dầy của đỉnh dầm, t2 là chiều dầy của lớp cách điện (oxid silicon hoặc nitrit silicon), l là chiều dài của dầm, le là chiều dài của điện cực cố định, E1 là mô dun Young của lớp đỉnh, E2 là mô đun Young của lớp cách điện.
Lò xo xoắn
Sự xoắn của dầm mới đầu được sử dụng trong các kết cấu quay như các gương vi mô trong máy quét quang học hoặc hiển thị của máy chiếu. Mảng gương vi mô được phát triển bởi các thiết bị Texat, chẳng hạn, dùng dầm silicon đa tinh thể như các khớp bản lề của tấm các gương vi mô.
Các bài toán xoắn có thể giải quyết trong dạng đóng cho các dầm với các thiết diện ngang tam giác hoặc elip [ Mendleson 1968]. Trong trường hợp thiết diện ngang elip, mô men phải sinh ra độ xoắn góc ( góc xoắn trên một đơn vị dài của dâm) a [rad/m] bằng
(8.25)
trong đó G là mô đun trượt đàn hồi, a và b là độ dài của 2 bán trục elip. Trong trường hợp này ứng suất trượt cực đại là
(8.26)
Độ cứng chống xoắn của dầm thiết diện chữ nhật có thể nhận được bằng chuỗi lũy thừa vô hạn [ Hopkins 1987]. Nếu thiết diện ngang có kích thước axb, a< b, 3 số hạng đầu của chuỗi này cho trong phương trình tương tự như (8.25)
(8.27)
Tấm mỏng
Ten sơ áp lực là một trong các bộ chuyển đổi cơ điện phổ thông nhất. Cấu trúc cơ bản dùng để chuyển đổi áp lực cơ học thành tín hiệu điện là tấm mỏng chịu áp lực vi phân. Các lá áp trở được dùng để chuyển đổi biến dạng trong màng thanh sự thay đổi điện trở, điều đó được đọc ra khi dùng mạch cầu điện trở thông dụng.
Bảng 8.2 Chuyển vị và mô men uốn của tấm ngàm dưới tải đều q [Evans 1939]
Hình 8.4 Tấm mỏng chịu áp lực dương q
Các sen sơ áp lực ban đầu được chế tạo qua việc trạm khắc dị hướng silicon, điều đó thu được trong giản đồ vuông góc. Hình 8.4 là tấm mỏng chịu áp lực vuông góc q, dẫn đến dịch chuyển không phẳng w(x,y). Điều kiện cân bằng đối với w(x,y) được cho bởi lý thuyết tấm mỏng [Timoshenko 1959]:
(8.28)
trong đó D=Eh3/12(1-n2) là độ rắn, E là mo đun Young, n là hệ số Poisson, và h là độ dầy của tấm. Các mô men biên ( mô men trên đơn vị dài trên biên) và các biến dạng nhỏ là
(8.29)
Dùng (8.29) người ta có thể tính biến dạng cực đại xẩy ra ở đỉnh và đáy củ tấm qua các mô men biên:
(8.30)
Trong trường hợp của sen sơ áp lực với màng chịu áp lực đều, các điều kiện biên được xây dựng trên các cạnh: w=0, ¶w/¶x=0 tại x=± a/2 và w=0, ¶w/¶y = 0 tại y =± b/2, trong đó màng có kích thước phẳng là axb. Nghiệm của bài toán này đã nhận được bởi [Evans 1939], chỉ ra rằng các biến dạng cực đại tại điểm giữa các cạnh. Các giá trị của mô men biên và dịch chuyển tại tâm của tấm được liệt kê trong bảng 8.2.
8.3 Dao động và phân tích dạng riêng
Như đã chú ý trước đây, đáp ứng theo thời gian của cấu trúc môi trường liên tục đòi hỏi giải phương trình (8.10) với sự hiện diện của các số hạng gia tốc. Đối với những hệ tuyến tính phương trình này có thể biểu diễn bởi sự chồng chất vô hạn các hàm đặc trưng (hàm dạng). Phù hợp với mỗi dạng là số đặc trưng (giá trị riêng) xác địng đáp ứng thời gian của dạng riêng. Việc phân tích các dạng riêng này được gọi là phân tích dạng riêng và có vai trò trung tâm trong thiết kế sensor côngxôn công hưởng, làm vỡ cánh máy bay vi mô (MAVs) và gương vi mô dùng trong máy quét laser và máy chiếu. Trong trường hợp một dầm côngxôn, các dịch chuyển mềm được mô tả bởi phương trình vi phân bậc 4
(8.31)
trong đó I là mô men quán tính, E là mô đun Young, r là mật độ, và A la diện tích thiết diện ngang. Khi độ dầycủa dầm con-sơn nhỏ hơn nhiều so với chiều rộng, E nên được thay thế bởi mô đun Young thu gọn E1 = E/(1-n2). Đối với thiết diện ngang chữ nhật, (8.31) được thu về:
(8.32)
trong đó h là độ dầy của dầm. Nghiệm của (8.32) có thể viết qua chuỗi vô hạn các hàm đặc trưng biểu diễn các dạng dao động riêng
(8.33)
trong đó các hàm đặc trưng fi được biểu diễn với 4 hàm Rayleigh S,T,U và V
(8.34)
Các hệ số ai, bi , ci , di ,wi , di được xác định từ các điều kiện biên và điều kiện đầu của (8.34). Đối với dầm con-sơn với mút cố định tại x = 0 và một mút tự do tại x = l, các điều kiện biên là
(8.35)
Vì (8.35) được thỏa mãn bởi mỗi hàm fi nên suy ra rằng ai = 0, bi = 0 và
(8.36)
Hình 8.5 4 dạng dao động đầu tiên của dầm con-sơn
Từ phương trình siêu việt các li và các tần số vòng wi được xác định [ Butt et al. 1995]
(8.37)
Hình 8.5 đưa ra 4 dạng dao động riêng của dầm con-sơn. Một kết quả quan trọng của phân tích dạng riêng là tính biên độ dao động nhiệt của con-sơn. Khi kích thước của con-sơn thu về cỡ na-nô-mét, năng lượng của kích động nhiệt ngẫu nhiên trở thành so sánh được với năng lượng của các dạng dao động riêng. Hiệu ứng này dẫn đến nhiễu nhiệt trong na-nô con-sơn. Dùng định lý phân phối đều [ Butt et al. 1995] đã chỉ ra rằng căn bình phương trung bình của biên độ đỉnh con-sơn này là
(8.38)
Phân tích tương tự có thể thực hiện với dao động của tấm mỏng như các gương vi mô. Dao động phẳng tự do của tấm này được mô tả bởi
(8.39)
Độc giả quan tâm có thể xem [Timoshenko 1959] đẻ biết chi tiết hơn về dao động của tấm.
8.4 Phân tích mất ổn định cong
Mất ổn định kết cấu có thể xẩy ra do sự hư hỏng của vật liệu, tức là, luồng dẻo hoặc phá hủy hoặc nó cũng có thể xẩy ra do biến đổi lớn về hình học của kết cấu ( t.l. mất ổn định cong, oằn, gẫy). Đó chính là nội dung của mục này. Khi những cột ngắn chịu tải nén, ứng suất trong các thiết diện ngang được coi là đều. Như vậy đối với cột ngắn sự phá hỏng xẩy ra khi vật liệu đạt đến ứng suất dẻo. Trong trường hợp dầm dài và mảnh hơn chịu nén, do sự không hoàn hảo trong chế tạo, tải tác dụng hoặc cột có sự lệch tâm nào đó. Kết quả là lực này sinh ra mô men uốn tỷ lệ với độ lệch tâm, tạo ra sự uốn phẳng bổ sung. Trong khi đối với các tải nhỏ dịch chuyển phẳng sẽ đạt đến cân bằng, thì với tải trọng tới hạn nào đó ở trên dầm không thể chịu được mô men uốn và sẽ gẫy. Xét dầm trên hình 8.5,chịu lực F với lệch tâm e, sẽ sinh ra dịch chuyển phẳng tại đỉnh d. Theophương trình uốn của dầm
(8.40)
trong đó điều kiện biên là w(0) = 0, ¶w/¶x½x=o = 0. Nghiệm tương ứng là
(8.41)
Từ w(L) = d người ta có d = e(1/coskL-1), trong đó k = . Nghiệm này mất ổn định khi d vượt ra ngoài biên, t.l. khi coskL = 0, hoặc kL = (2n+1)p/2. Từ điều kiện này tải trọng tới hạn nhỏ nhất là:
(8.42)
Sự phân tích trên và phương trình (8.42) được phát triển bởi Euler. Các điều kiện tương tự có thể rút ra đối với các dạng gối đỡ khác của dầm. Công thức chung đối với tải trọng tới hạn có thể viết như sau:
(8.43)
trong đó nhiều giá trị của hệ số K được cho trong bảng 8.3.
Bảng 8.3 Các hệ số tải trọng tới hạn
Các điều kiên biên
Hệ số K
Một đầu ngàm một đầu tự do Cả hai đầu ngàm Cả hai đầu khớp
1/4 4 1
8.5 Các bộ chuyển đổi
Các bộ chuyển đổi là các thiết bị có thể biến đổi một loại năng lượng này thành loại khác. Nếu năng lượng ra là công cơ học thì bộ chuyển đổi được gọi là cơ cấu chấp hành. Các bộ chuyển đổi khác gọi là sen sơ., mặc dầu trong nhiều trường hợp, bộ chuyển đổi cơ học cũng gọi là sen sơ và ngược lại. Ví dụ bô chuyển đổi điện dung có thể dùng như là cơ cấu chấp hành hoặc sen sơ vị trí. Trong mục này các cơ cấu chấp hành chung nhất được dùng trong vi cơ điện tử sẽ được hệ thống lại.
Bô chuyển đổi tĩnh điện
Bô chuyển đổi tĩnh điện rơi vào hai loại chính – các điện cực tấm song song, các điện cực răng lược đan nhau. Trong ứng dụng ở đâu có sự biến đổi điện dung hoặc lực tương đối lớn thì cấu hình tấm song song được ưa chuộng. Trái lại, những dịch chuyển lớn hơn với các đặc trưng lực/dịch chuyển tuyến tính có thể dùng loại răng lược đổi lấy giảm lực. Các cơ cấu chấp hành tấm song song được dùng trong vi công tắc tĩnh điện được minh họa trong hình 8.1. Trong trường hợp này các điện cực tạo thành điện dung tấm song song và lực được mô tả bởi
(8.44)
trong đó A là diện tích phủ nhau của 2 điện cực; t2 là độ dầy của lớp cách điện (dioxid silicon hoặc nitride silicon); le là độ dài của điện cực cố định, ee là hằng số điên môi tương đối của lớp cách điện, V là điện thế tác dụng; do là khoảng cách ban đầu giữa các tấm diện dung; và d là độ võng của dầm.
Hình 8.6 Các bộ chuyển đổi răng lược phẳng (a) các kích thước (b) hai răng lược Si trực giao
Điện thế cực tiểu đòi hỏi đóng lại khe hở của cơ cấu chấp hành con sơn được hiểu như điện thế ngưỡng [Petersen 1978], và được xấp xỉ
(8.45)
trong đó (IE)eff được cho bởi (8.24).
Các bộ chuyển đổi răng lược cũng rơi vào 2 loại: đối xứng và không đối xứng. Loại đối xứng cho trên hình 8.6(a). Trong cấu hình này các khe hở giữa các răng riêng biệt bằng nhau. Hình 8.6(b) đưa ra một cặp các điện dung răng lược đối xứng, được dùng trong sen sơ lực chỉ ra trong hình 8.2[Enikov 2000a]. Trong trường hợp nào đó, lực sinh ra giữa các răng bằng đạo hàm của năng lượng tĩnh điện toàn phần đối với dịch chuyển
(8.46)
trong đó n là số răng. Nhiều tác giả đã cho các biểu thức xấp xỉ đối với (8.46). Một trong các tính toán chính xác nhất của lực giữa cặp các răng chỉ ra trong hình 8.6(a) được cho bởi [Johnson et al. 1995] dùng các phép biến đổi Schwartz
(8.47)
Trong vùng biến đổi xÎ[-D-; D+], D+,- =2g, lực có thể được xấp xỉ với đường tiếp tuyến giữa 2 nhánh mô tả bởi (8.47).
Các bộ chuyển đổi điện từ
Lực điện từ cũng được dùng nhiều. Nó có thể được sinh ra qua cuộn dây phẳng như minh họa trên hình 8.7. Dầm con sơn và các cuộn dây thường làm bằng vật liệu sắt từ mềm. Khi dùng mô hình mạch từ tương đương lực từ tác dụng tại đỉnh dầm con sơn có thể được ước lượng như sau
(8.48)
trong đó
(8.49)
là các từ trở; h1 và h2 là các độ dài đường dòng bên trong các lớp hợp kim pecmansi ở đáy và đỉnh.
Hình 8.7 Bộ chuyển đổi điện từ
Hình 8.8 Cơ cấu chấp hành nhiệt
Cơ cấu chấp hành nhiệt
Các cơ cấu chấp hành nhiệt đã được khảo sát cho định vị gương vi mo[Liew et al. 2000], và cơ cấu chấp hành vi công tắc[Wood et al.1998]. Cơ cấu chấp hành bao gồm 2 cánh tay với các thiết diện ngang khác nhau(xem hình 8.8). Khi dòng đi qua 2 cánh tay, thì mật đọ dòng cao hơn sẽ xẩy ra ở dầm có thiết diện ngang nhỏ hơn và như vậy sinh ra nhiều nhiệt hơn trên đơn vị thể tích. Sự chuyển dịch là kết quả của nhiệt độ khác nhau sinh ra trong 2 cánh tay. Đối vơi cơ cấu chấp hành chỉ ra trên hình 8.8 một mô hình xấp xỉ cho độ lệch của đỉnh d có thể được phát triển khi dùng lý thuyết đẳng nhiệt[Faupel 1981]
(8.50)
trong đó Thot và Tcold là nhiệt độ trung bình của tay nóng và tay lạnh và a(T) nhiệt độ phụ thuộc hệ số truyền nhiệt. Phân tích chi tiết hơn chứa phân bố nhiệt độ trong các cánh tay có thể tìm trong [Huang et al. 1999].
Cơ cấu chấp hành polimer tích cực điện
Các composit polimer-kim loại tích cực điện (EAPs) là vật liệu đa chức năng đầy hứa hẹn với rất giầu tính vật lý. Sự quan tâm hiện nay đối với vật liệu này được suy ra từ khả năng duy nhất của chúng để vượt qua biến dạng lớn chịu điện thế rất thấp cũng như khối lượng nhr, độ bền cao. Để so sánh, bảng 8.4 liệt kê nhiều tính chất đặc trưng của EAPs và các gốm áp điện khác.
EAPs đang được thử nghiêm để dùng trong vi xe đệm khí cánh bị đập (MAVs) [Rohani 1999], các rô bốt bơi dưới nước [Laurent 2001], và các ứng dụng thuốc sinh học [Oguro 2000]. Một cơ cấu chấp hành EAP bao gồm màng trao đổi ion phủ bởi lớp dẫn điện như minh họa trên hình 8.9(a).
Bảng 8.4 Các tính chất so sánh của EAPs, Hợp kim nhớ mẫu và gốm áp điện
Tính chất đặc trưng EAP Hợp kim nhớ mẫu Gốm áp điện
Biến dạng đạt được hơn 10% dưới 8% dưới 0.3%
Mô đun Young (GPa) 0.114(wet) 75 89
Độ bền chịu kéo(MPa) 34(wet) 850 76
Thời gian đáp ứng msec-min sec-min m sec-sec
Mật đọ khối lượng(g/cm3) 2.0 6.5 7.5
Điện thế khởi động 1-10v N/A 50-1000v
Hình 8.9 Cơ cấu chấp hành composit kim loại polimer
Hình 8.10 Quá trình mạ Pt hai bước
Dựa vào ứng dụng của sự khác nhau về điện thế tại các điểm A và B composit bị cong về phía anốt như chỉ ra trên hình 8.9(b). Trong nhiều polimer trao đổi ion, a-xít perfluorinate sulfonic (Nafion Du Pont,USA), và a-xít perfluorinate carboxylic (Flemion, Asahi, Japan) là được dùng thông dụng nhất trong các ứng dụng cơ cấu chấp hành.Công thức hóa học của chuỗi đơn vị của Nafion là
(8.51)
trong đó M+ là số đếm ion (H+, Na+, Li+ ...). Chùm ion được gắn vào các chuỗi bên, tương ứng với những nghiên cứu kính hiển vi điện tử chuyển giao, chúng tách trong các chùm nanô thấm nước với đường kính trong khoảng từ 10 đến 50 A [Xue 1989]. Vào năm 1982, Gireke đã đề nghị một mô hình kết cấu [Gireke 1982], theo đó các chùm này là liên kết với nhau qua các kênh hẹp. Kích thước và phân bố của các kênh này xác định các tính chất vận chuyển của màng và do đó là đáp ứng cơ học. Composit polimer-kim loại có thể sản xuất được bởi hơi nước hoặc sự lắng đọng điện hóa của kim loại qua bề mặt của màng. Phương pháp mạ platin điện hóa [Fedkiw 1992], dùng bởi tác giả và dựa trên các tính chất trao đổi ion của Nafion. Phương pháp này bao gồm 2 bước: Bước một là trao đổi ion của proton H+ với cation kim loại (tức là Pt2+); bước hai là rút gọn hóa học của ion Pt2+ trong màng tới kim loại Pt dùng chất hòa tan NaBH4. Các bước này được chỉ ra trên hình 8.10 và một vi ảnh SEM của composit kết quả được chỉ ra trong hình 8.11. Các bề mặt điện cực dầy xấp xỉ 0.8 mm chất lắng đọng Pt. Lặp lại các bước trên nhiều lần sinh ra trong sự phát triển hình cây của các điện cực trong matrix polimer [Oguro 1999] và đã được chỉ ra để hoàn thiện hiệu quả khởi động.
Hình 8.11 Màng Nafion với điện cực Pt
Hình 8.12 Vận chuyển ion trong nafion
Biến dạng của composit kim loại-polimer có thể tham gia vào nhiều hiện tượng, một hiện tượng nổi trội là sự căng phồng vi phân của màng do gradient áp lực thấm bên trong [Eikerling 1998]. Một biểu diễn sơ đồ của quá trình ion hóa xẩy ra bên trong polimer được chỉ ra trong hình 8.12. Dưới tác dụng của trường điện bên ngoài một luồng cation và ion hydroxonium được sinh ra chạy về phía ca- tốt. Tại ca-tốt ion thu nhận electron và sinh ra hydrogen và các phân tử nước tự do. Bên phía a-nốt các phân tử nước phân ly tạo thành các ion oxygen và hydroxonium. Sự phân bố lại này của nước trong màng tạo ra sự dãn/co của ma trận polimer. Về mặt toán học, sự biến dạng có thể được mô tả bởi đưa vào số hạng biến dạng bổ sung ( biến dạng riêng) trong biểu thức biến dạng tổng thể. Như vậy biến dạng tổng thể có 2 phần cộng lại: biến dạng đàn hồi của lưới polimer do ngoại lực (cơ, điện) và biến dạng hóa học tỷ lệ với các biến tổ hợp
(8.52)
trong đó c’ là những phần khối lượng,'V’ là thể tích phân tử gam từng phần, M’ là khối lượng phân tử gam, và chỉ số 0 là giá trị ban đầu của biến. Mô tả toán học đầy đủ của cơ cấu chấp hành polimer đòi hỏi phải giải phương trình vận chuyển(khuếch tán) khối lượng, cân bằng mô men động lượng, và phương trình Poisson cho phân bố thế năng, việc thảo luận vấn đề này nằm ngoài phạm vi của cuốn sách này. Một hệ quả lý thú của việc bổ sung biến dạng hóa học trong (8.46) là dạng hiển của số hạng áp lực trong thế năng điện hóa chi phối khuếch tán. Luồng khuếch tán khối lượng tổng thể sẽ có một thành phần tỷ lệ với gradient âm của áp lực, điều đó đối với trường hợp nước, sẽ sinh ra hiện tượng phục hồi quan sát được bằng thực nghiệm. Khi đó luồng tổng thể của thành phần s được cho bởi:
(8.53)
trong đó W’ là độ linh hoạt của thành phần s, z’ là hóa trị của s, p là áp lực, f’ là hệ số haọt động, và f là điện thế. Chúng ta đã bỏ qua các số hạng liên quan chéo mà có thể xuất hiện trong công thức loại Onsager liên kết đầy đủ. Các độc giả cần quan tâm có thể xem [Enikov 2000b] và các tài liệu tham khảo để biết chi tiết.
8.6 Khuynh hướng phát triển
Hệ vi cơ điện (MEMS) tương lai có lẽ sẽ có nhiều tính không đồng nhất trong các thành phần vật liệu và kết cấu. Chẳng hạn, hệ MEMS sinh học đòi hỏi dùng các vật liệu không bị ăn mòn và không độc, không liên quan chặt chẽ trong các thành phần IC tiêu chuẩn. Khởi đầu từ MEMS dựa trên Si truyền thống đã được thấy trong lĩnh vực MEMS quang học dùng các vật liệu có khe hở dải rộng, các polimer quang điện phi tuyến, và gốm. Như đã lưu ý trước đây, kích cỡ bán vi mô của các sen sơ con-sơn cho sản phẩm nhiễu nhiệt trong kết cấu cơ học. Hơn nữa sự thu gọn về kích thước mô tả thống kê phân tử của các lực tương tác. Ví dụ, ống nanô cac-bon đặt trên than chì nhiệt phân định hướng cao (HOPG) tìm thấy các lực kết dính tăng khi được sắp hàng với lưới than chì bên dưới [Falvo et al. 2000]. Các hệ cơ điện tử tương lai có lẽ trở thành giao diện giữa lĩnh vực nanô và vĩ mô.
Tài liệu tham khảo
[1] Butt, H., Jaschke, M., “Calculation of thermal noise in atomic force microscopy,” Nanotechnology, 6, pp. 1–7, 1995.
[2] Eikerling, M., Kharkats, Y.I., Kornyshev, A.A., Volfkovich, Y.M., “Phenomenological theory of electroosmotic effect and water management in polymer proton-conducting membranes,” Journal of the Electrochemical Society, 145(8), pp. 2684–2698, 1998.
[3] Evans, T.H., Journal of Applied Mechanics, 6, p. A-7, 1939.
[4] Enikov, E.T., Nelson, B., “Three dimensional microfabrication for multi-degree of freedom capacitive force sensor using fiber chip coupling,” J. Micromech. Microeng., 10, pp. 492–497, 2000.
[5] Enikov, E.T., Nelson, B.J., “Electrotransport and deformation model of ion exhcange membrane based actuators,” in Smart Structures and Materials 2000, Newport Beach, CA, SPIE vol. 3987, March, 2000.
[6] Falvo, M.R., Steele, J., Taylor, R.M., Superfine, R., “Gearlike rolling motion mediated by commensurate contact: carbon nanotubes on HOPG,” Physical Review B, 62(6), pp. 665–667, 2000.
[7] Faupel, J.H., Fisher, F.E., Engineering Design: A Synthesis of Stress Analysis and Materials Engineering, 2nd Ed., Wiley & Sons, New York, 1981.
[8] Liu, R., Her, W.H., Fedkiw, P.S., “In situ electrode formation on a nafion membrane by chemical platinization,” Journal of the Electrochemical Society, 139(1), pp. 15–23, 1990.
[9] Gierke, T.D., Hsu, W.S., “The cluster-network model of ion clusturing in perfluorosulfonated membranes,” in Perfluorinated Ionomer Membranes, A. Eisenberg and H.L. Yeager, Eds., vol. 180, American Chemical Society, 1982.
[10] Johnson et al., “Electrophysics of micromechanical comb actuators,” Journal of Microelectromechanical Systems, 4(1), pp. 49–59, 1995.
[11] Hopkins, Design Analysis of Shafts and Beams, 2nd Ed., Malabar, FL: RE Kreiger, 1987. Huang, Q.A., Lee, N.K.S., “Analysis and design of polysilcon thermal flexture actuator,” Journal of Micromechanics and Microengineering, 9, pp. 64–70, 1999.
[12] Kittel, Ch., Introduction to Solid State Physics, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1996. Laurent, G., Piat, E., “High efficiency swimming microrobot using ionic polymer metal composite actuators,” to appear in 2001.
[13] Liew, L. et al., “Modeling of thermal actuator in a bulk micromachined CMOS micromirror,” Microelectronics Journal, 31(9–10), pp. 791–790, 2000.
[14] Maugin, G., Continuum Mechanics of Electromagnetic Solids, Elsevier, Amsterdam, The Netherlands, 1988.
[15] Mendelson, Plasticity: Theory and Application, Macmillan, New York, 1968.
[16] Nye, J.F., Physical Properties of Crystals, Oxford University Press, London, 1960.
[17] Onishi, K., Sewa, Sh., Asaka, K., Fujiwara, N., Oguro, K., “Bending response of polymer electrolyte actuator,” in Smart Structures and Materials 2000, Newport Beach, CA, SPIE vol. 3987, March, 2000.
[18] Peterson, “Dynamic micromechanics on silicon: techniques and devices,” IEEE, 1978. Rohani, M.R., Hicks, G.R., “Multidisciplinary design and prototype of a micro air vehicle,” Journal of Aircraft, 36(1), p. 237, 1999.
[19] Timoshenko, S., Woinowsky-Krieger, S., Theory of Plates and Shells, McGraw-Hill, New York, 1959. Wood, R. et al., “MEMS microrelays,” Mechatronics, 8, pp. 535–547, 1998. Xue, T., Trent, Y.S., Osseo-Asare, K., “Characterization of nafion membranes by transmision electron microscopy,” Journal of Membrane Science, 45, p. 261, 1989.
[20] Zgonik et al., ‘‘Dielectric, elastic, piezoelectric, electro-optic and elasto-optic tensors of BaTiO3 crystals,” Physical Review B, 50(9), p. 5841, 1994.
9
Mô hình hóa của các hệ cơ học cho các ứng dụng cơ điện tử
Raul G. Longoria
The University of Texas at Austin
9.1..... Mở đầu. 9-1
9.2..... Mô hình hóa hệ cơ học trong các hệ cơ điện tử. 9-2
9.3..... Mô tả các thành phần mô hình cơ học cơ bản. 9-8
9.4..... Các định luật vật lý cho tạo lập mô hình. 9-21
9.5..... Phương pháp năng lượng cho mô hình hoá hệ cơ học.9-30
9.6..... Động lực học vật rắn nhiều chiều. 9-33
9.7..... Hệ phương trình Lagrange. 9-50
9.1 Mở đầu
Các ứng dụng cơ điện tử được phân biệt bởi chuyển động được điều khiển của các hệ cơ học liên kết với các cơ cấu chấp hành và các đầu đo. Mô hình hóa đóng vai trò để hiểu xem các tính chất và sự thể hiện của các thành phần cơ học và các hệ ảnh hưởng đến toàn bộ thiết kế hệ cơ điện tử như thế nào. Chương này điểm lại các phương pháp dùng cho mô hình hóa các hệ của các thành phần cơ học kết cấu, đầu tiên hạn chế việc ứng dụng cho các phần tử cơ bản quay và tịnh tiến, đặc trưng cho một lớp khá rộng của ứng dụng cơ điện tử. Phần cơ sở của chuyển động cơ học (động học) được xem như đã biết và không nhắc lại ở đây, việc thảo luận và nhấn mạnh nhiều hơn giành cho vấn đề động lực học của hệ. Những ứng dụng nâng cao hơn phụ thuộc vào các chuyển động hai, ba chiều được trình bầy trong mục 9.6.
Các hệ cơ học có thể khái quát như vật thể rắn hoặc vật thể đàn hồi có thể chuyển động tương đối với nhau, phụ thuộc vào sự kết nối như thế nào của các thành phần trong hệ như khớp nối, giảm chấn và các thiết bị thụ động khác. Chương này tập trung vào những hệ có thể biểu diễn được khi dùng mô tả tham số tập trung, ở đó các vật thể được xem là vật thể rắn, không đòi hỏi phải xét đến hiệu ứng đàn hồi. Việc mô hình hóa các hệ cơ học,nói chung, đã đạt đến trình độ khá cao về sự thuần thục, dựa trên các phương pháp kinh điển bắt nguồn từ các định luật chuyển động Newton. Lợi ích này có được từ nền kiến thức to lớn và mạnh mẽ được phát triển cho các vấn đề trong phạm vi từ những hệ khối lượng-lò xo cơ bản đến các hệ nhiều vật phức tạp. Trong khi vật lý cơ sở đã được hiểu khá tốt, thì còn tồn tại nhiều phương pháp và đường lối khác nhau để đi đến kết quả cuối cùng. Điều đó có thể đặc biệt đúng khi nẩy sinh nhu cầu lập mô hình hệ nhiều vật, trong đó đòi hỏi phải đầu tư đáng kể về các phương pháp cho việc tạo lập và giải các phương trình chuyển động. Các áp dụng ấy không nằm trong khuôn khổ của chương này, và tập trung ngay vào việc mô hìmh hóa các hệ cơ bản và tương đối phức tạp, đó có thể là sự quan tâm đầu tiên cho các nhà thiết kế và nhà phân tich hệ cơ điện tử.
9.2 Mô hình hóa hệ cơ học trong các hệ cơ điện tử
Các bước đầu tiên trong mô hình hóa một hệ vật lý nào đó bao gồm xác định biên giới của hệ, và nhận dạng các bộ phận nào có thể tách ra và sau đó kết hợp lại. Trong các hệ cơ học, các phân tích này thường được trang bị bởi nhận dạng các điểm trong một hệ có vận tốc phân biệt. Vì mục đích phân tích, các lực và các mô men chủ động sẽ đặt tại các điểm này, chúng có thể thể hiện tương tác năng lượng ở biên giới của hệ. Các lực và các mô men này được tác dụng điển hình bởi cơ cấu chấp hành nhưng phải biểu diễn các tải trọng khác được tác dụng bởi môi trường.
Một bộ phận cơ học được mô hình hóa như một khối lượng điểm hoặc một vật thể rắn được dễ dàng nhận dạng bởi vận tốc của nó, và phụ thuộc vào số lượng các vật thể và tính phức tạp của chuyển động mà cần phải đưa vào một hệ tọa độ để mô tả động học một cách hình thức ( chẳng hạn xem [12] hoặc [15]). Qua phân tích động học, các vận tốc bổ sung ( liên quan) có thể được nhận dạng để chỉ ra sự liên kết và chuyển động của các thành phần cơ học bổ sung như lò xo, giảm chấn và/hoặc cơ cấu chấp hành. Sự tương tác của các bộ phận cơ học nói chung phụ thuôc vào dạng hình học. Thật vậy, sự phụ thuộc của các hệ cơ học vào hình học, trong nhiều trường hợp làm phức tạp sự phân tích và đòi hỏi sự khảo sát đặc biệt nhất là khi điều khiển các hệ phức tạp.
Mô tả sơ bộ của một hệ cơ học cũng nên tính đến những liên kết nào đó trên trạng thái chuyển động, chúng có thể là hàm của thời gian hoặc của bản thân trạng thái. Trong nhiều trường hợp thực tế, động lực học của các hệ cơ học phụ thuộc vào tác dụng của các liên kết. Việc định lượng và tính toán đối với liên kết là quan trọng bậc nhất, đặc biệt trong động lực học hệ nhiều vật, và có các trường phái suy nghĩ khác nhau về sự phát triển mô hình như thế nào. Cuối cùng, việc quyết định phương pháp riêng phụ thuộc vào mục tiêu ứng dụng và sở thích con người.
Thành ra một lớp hệ tương đối lớn có thể được hiểu và được mô hình hoá bằng việc nắm vững đầu tiên chuyển động quay quanh trục cố định và chuyển động tịnh tiến một chiều. Các hệ này có thể được mô hình hoá khi dùng các phương pháp phù hợp với các phương pháp đã dùng để nghiên cứu các hệ khác, như các hệ thuỷ lực và hệ điện. Hơn nữa việc xây dựng các mô hình hệ cơ điện tử kết nối sẽ được thuận lợi và thường dễ dàng hơn đối với người phân tích hệ để nhận thức và phân tích các mô hình này.
Tóm lại một khi đã hiểu được (a) các thành phần của hệ và sự kết nối chúng (kể cả sự phụ thuộc vào hình học), (b) các lực và các mô men tác dụng và (c) vai trò của liên kết, được phát triển, các phương trình động lực học bản dựa theo Newton có thể được thiết lập. Phần còn lại của mục này sẽ giới thiệu sự lựa chọn các biến vật lý phù hợp với một dòng lực và phương pháp dựa vào năng lượng để mô hình hoá các hệ cơ học quay và tịnh tiến. Để làm việc đó phương pháp đồ thị kết nối [28,3,17] được giới thiệu để phát triển các mô hình của các hệ cơ học. Điều đó cung cấp cơ sở cho việc giới thiệu các khái niệm nhân quả, sẽ đạt được quan hệ vào – ra giữa các biến chuyền lực trong một hệ. Phương pháp đồ thị kết nối cung cấp một phương thức để hiểu và lập mô hình toán học cơ bản cũng như những hệ cơ học phức tạp phù hợp với các miền năng lượng khác (điện, cơ điện, nhiệt, chất lỏng, hoá học, ...).
Các biến vật lý và các kết nối công suất
Cơ sở năng lượng và công suất
Một cách để tách ra và kết nối hợp lý các mô hình hệ con là dùng các biến năng lượng và công suất để định lượng tương tác của hệ, như đã được minh hoạ đối với hệ cơ học trong hình 9.1(a). Trong hình này một cổng được chỉ ra ở đó dòng công suất được cho bởi tích của lực và vận tốc, F.V, và cổng khác công suất là tích của mô men và vận tốc góc, T.w. Các biến liên kết công suất này (tức là tích của chúng sinh công suất dọc theo chúng có thể dùng cho miền năng lượng thuỷ lực và điện được tóm tắt trong bảng 9.1. Tương tự các biến lực (e) và dòng (f) được nhận dạng đối với lĩnh vực năng lượng tương tự các biến lực và dòng có thể được nhận dạng đối với các miền năng lượng được quan tâm khác (nhiệt, từ, hoá,...). Cơ sở này đảm bảo cho các mô hình chính xác về năng lượng và cung cấp phương pháp phù hợp để hiệu chỉnh đồng thời các phần tử của hệ.
Trong việc mô hình hoá các hệ năng lượng, tính liên tục về năng lượng được dùng như cơ sở để phân loại và định lượng các hệ. PAYNTER [28] chỉ ra phương trình liên tục năng lượng như thế nào cùng với khái niệm cổng được xác định thận trọng, cung cấp một cơ sở cho khung mô hình hoá tổng quát đẫn đến phương pháp đồ thị kết nối. Phương trình lưới paynter về tính liên tục năng lượng.
(9.1)
nhận dạng nhanh chóng l dòng công suất phân biệt, Pi, m tầng năng lượng phân biệt Ej, và n gọi là bộ giảm năng lượng phân biệt, Pd. Việc mô hình hoá tìm kiếm sự chính xác của việc mô tả từ điểm này. Ví dụ trong hệ khối lượng – lò xo - giảm chấn đơn giản, khối lượng và lò xo tích trữ năng lượng, giảm chấn hao tán năng lượng và sự kết nối các phần tử này có thể mô tả các dòng công suất giữa chúng như thế nào.
Một vài chi tiết hoàn thiện các bước mô hình hóa này được trình bầy trong mục sau.
Bảng 9.1 Các biến công suất và năng lượng cho các hệ cơ học
Miền năng lượng Lực, e Dòng, f Công suất, P
Tổng quát e f e.f [W]
Tĩnh tiến Lực, F[N] Vận tốc,V[m/sec] F.V [Nm/sec,W]
Quay Mô men, T Vận tốc góc, T.w [Nm/sec,W]
hoặc t[Nm] w[rad/sec]
Điện Điện thế, v[V] Cường độ dòng, i[A] v.i [W]
Thủy lực Áp suất, P[Pa] Tốc độ dòng P.Q[W]
Q[m3/sec]
Hình 9.1 Sự kết nối cơ bản của các hệ khi dùng các biến công suất
Một phương pháp thực hiện là xác định và phân loại các phần tử của hệ dựa trên phương trình liên tục năng lượng đã chia lưới (9.1). Ví dụ, xét một hệ chỉ bao gồm các vật thể rắn như các kho trữ năng lượng (đặc biệt là động năng), khi đó Pd=0 (ta có thể thêm vào sau), nói chung, có l cổng có thể mang năng lượng vào hệ trữ năng lượng (cả động năng) thuần túy này, hệ này có m đường riêng biệt để đưa năng lượng vào các vật thể rắn. Đó là một khái niệm rất tổng quát, phù hợp với nhiều cách khác để lập mô hình các hệ vật lý. Tuy nhiên, đó là cơ sở cung cấp con đường tổng quát để lập mô hình và tích phân các loại khác nhau của các hệ năng lượng.
Sơ đồ của động cơ một chiều nam châm vĩnh cửu (PMDC) cho trên hình 9.1(b) minh họa các biến công suất có thể dùng như thế nào để nhận dạng các điểm kết nối. Ví dụ này cũng dùng để nhận dạng những cái cần thiết cho mô hình hóa các cơ cấu, như tương tác cơ điện (EM), có thể biểu diễn sự trao đổi năng lượng giữa 2 phần của một hệ. Mô hình này biểu diễn mối quan hệ được đơn giản hóa giữa dòng năng lượng điện, v.i, và dòng năng lượng cơ, T.w, nó tạo nên cơ sở cho một mô hình động cơ. Hơn nữa, đó là mối quan hệ bảo toàn công suất lý tưởng, chỉ chứa các dòng công suất trong phương trình liên tục năng lượng, không có tích trữ hoặc hao tán. Các hiệu ứng vật lý bổ sung có thể đưa vào sau.
Dòng tín hiệu và công suất
Trong sự tạo lập đồ thị kết nối của động cơ PMDC, sự kết nối công suất được dùng để nhận dạng dòng công suất. Những kết nối công suất định lượng dòng công suất qua cặp dòng lực, có thể ghi nhãn các kết nối như trên hình 9.2(a) ( quy ước gọi là lực nhận vị trí bên trên đối với định hướng của kết nối). Đó là mô hình đồ thị kết nối bằng lời, một dạng được dùng để nhận dạng các phần tử chính trong mô hình hệ phức tạp. Ở giai đoạn này của mô hình, chỉ có những tương tác của các hệ đa cổng được thể hiện trong hình dáng chung. Việc thêm các nửa mũi tên vào kết nối công suất xác định hướng dòng công suất giữa 2 hệ (dương theo chiều mũi tên). Các kết nối tín hiệu được dùng trong các giản đồ hệ điều khiển, có các mũi tên đầy đủvà có thể được dùng trong các mô hình đồ thị kết nối để chỉ ra những tương tác chỉ truyền đạt thông tin (hoặc công suất có thể bỏ qua) giữa các đa cổng. Ví dụ, đồ thị kết nối bằng lời trên hình 9.2(b) chỉ ra một tín hiệu từ khối cơ học thể hiện phép đo lý tưởng được truyền đến một bộ điều khiển như là một tín hiệu thuần túy. Bộ điều khiển này có cả tín hiệu này và các tín hiệu dòng công suất, khi đóng kín bằng phương diện điện của mô hình. Các giản đồ khái niệm này tiện dụng cho việc hiểu và truyền qua các khâu nối của hệ, nhưng không dầy đủ và thích ứng để định lượng sự thể hiện của hệ.
Hình 9.2 Mô hình đồ thị kết nối theo công suất (a) Đồ thị kết nối bằng chữ động cơ PMDC, (b) Đồ thị kết nối bằng chữ động cơ PMDC với bộ điều khiển
Trong khi việc dùng công suất và năng lượng thuận lợi trong việc tạo lập các mô hình hệ thống đối với các hệ cơ học, thì nền chuyển động được là tới hạn cho việc nhận dạng các khâu nối và khi tạo lập các mô hình toán học định lương được. Đối với nhiều hệ quay và tĩnh tiến cơ học chỉ cần dựa trên các khái niệm chuyển động 1 chiều cơ bản và chuyển động tương đối để nhận dạng sự tương quan giữa nhiều loại thành phần thực tế. Sự nhận dạng kết cấu dạng lưới trong các hệ này đã là cơ sở cho việc xây dựng tương tự điện trong một thời gian nào đó. Các phương pháp này, cũng như phương pháp phân tích dòng tín hiệu, không được trình bầy ở đây nhưng là phương pháp được chọn trong một số cách tiếp cận đến động lực học hệ. Các mô hình đồ thị kết nối đã được trình bầy, và sẽ được chỉ ra trong các mục sau sự nhất quán như thế nào với việc tạo lập hệ cơ học phức tạp của động lực học 3 chiều cũng như việc dùng các mô hình Lagrange.
Sự cần thiết đối với cơ sở chuyển động
Trong mô hình hóa các hệ quay và tĩnh tiến cơ học, quan trọng là nhận dạng cấu hình thay đổi thế nào, và một hệ tọa độ phải được xác định và hiệu ứng của sự thay đổi hình học phải được nhận dạng. Giả thiết rằng, độc giả đã quen với các khái niệm cơ bản này[12]. Thông thường một cấu hình gốc được xác định thì các tọa độ dựa vào nó. Đó là chính yếu ngay cả đối với sự chuyển động tĩnh tiến một chiều đơn giản hay chuyển động quay quanh trục cố định. Số tối thiểu các tọa độ độc lập hình học cần thiết để mô tả cấu hình của hệ được xác định một cách truyền thống như là bậc tự do. Các liên kết cần được nhận dạng và có thể được dùng để chọn một tập tọa độ thuận lợi nhất để mô tả hệ. Chúng ta phân biệt giữa bậc tự do và số tối thiểu của biến trạng thái động cần thiết để mô tả hệ. Chúng có thể liên hệ với nhau, nhưng không nhất thiết trùng nhau ngay cả về số lượng (ví dụ, một hệ bậc hai có 2 biến trạng thái, nhưng chỉ là hệ một bậc tự do).
Một minh họa hoàn hảo về lợi ích của bậc tự do, liên kết và vai trò của những khái niệm này trong mô hình hóa và hiện thực hóa hệ thực như chỉ ra trên hình 93. Minh họa này (theo Matschinsky [22]) chỉ ra bốn phương pháp khác nhau để cấu hình sự treo của bánh xe. Trường hợp (a), nó tạo nên một cơ sở cho mô hình ¼ - xe ôtô rõ ràng chỉ có một bậc tự do. Cũng đúng như vậy cho các trường hợp (b) và (c) mặc dù có những liên kết rút bớt số tọa độ xuống còn 1 cho mỗi trường hợp này. Cuối cùng trục xe dạng dầm cứng chỉ ra nó phải có hai bậc tự do như thế nào trong chuyển động đứng và quay của dầm để đạt được ít nhất mỗi bậc tự do ở mỗi bánh.
Hình 9.3 Các loại treo bánh xe: (a) chỉ chuyển động đứng, 1 DOF (bậc tự do); (b) trục xe đảo với các chuyển vị đứng và ngang, 1 DOF; (c) thiết kế nối 4 thanh, chuyển động liên kết, 1 DOF; (d) trục xe dạng dầm cứng, 2 bánh chuyển động quay và đứng, 2 DOF
Sự kết nối của các thành phần
Trong chương này chúng ta sẽ dùng các đồ thị kết nối để mô hình các hệ cơ học. Giống như trình bày các đồ thị khác dùng trong các hệ động lực [33] và phân tích hệ nhiều vật [30, 39], các đồ thị kết nối đòi hỏi sự am hiểu về các thành phần mô hình cơ bản dùng đề biểu diễn một hệ. Tuy nhiên mỗi lần hiểu được các phương pháp đồ thị sẽ cung cấp 1 phương pháp hệ thống để biểu diễn kết nối của các yếu tố của hệ đa năng lượng. Thêm vào đó, các đồ thị kết nối là duy nhất sao cho chúng không là những dạng đồ thị tuyến tính : các kết nối công suất thay thế các nhánh, các cổng thay thế các nút [28]. Hơn nữa, chúng bao gồm cách tiếp cận hệ thống đối với nhân quả tính toán.
Nhắc lại rằng 1 đường đơn giản biểu diễn dòng công suất, và một nửa mũi tên để xác định hướng dòng công suất dương. Các nút trong đồ thị tuyến tính biểu diễn các biến chéo (ví dụ vận tốc, điện thế, tốc độ dòng); Tuy nhiên đa cổng trong đồ thị kết nối biểu diễn một yếu tố của hệ có chức năng vật lý xác định bởi một cơ sở năng lượng. Các yếu tố mô hình của hệ biểu diễn các khối lượng, lò xo, và các thành phần khác sẽ được thảo luận trong mục sau. Hai yếu tố mô hình đóng vai trò cốt yếu trong mô tả các yếu tố mô hình như thế nào được liên kết bởi khớp-1 và khớp-0. Đó là các yếu tố cổng lý tưởng hóa (bảo toàn công suất), có thể biểu diễn quan hệ vật lý đặc biệt trong một hệ, tiện dụng trong nối kết những phần tử mô hình khác nhau.
Một điểm trong hệ cơ học có vận tốc phân biệt được thể hiện bởi khớp-1. Khi một hoặc nhiều yếu tố mô hình (như khối lượng) có cùng vận tốc như khớp-1 đã cho, điều đó đã được chỉ ra bởi sự kết nối chúng ở khớp-1 với liên kết công suất. bởi vì khớp-1 được liên kết để bảo toàn công suất, nó có thể chứng tỏ rằng các lực (lực, mômen) trên tất cả các chỗ kết nối phải có tổng bằng 0, tức là . Điều đó được minh họa trên hình 9.4 (a). Khớp-1 tạo lực cho sự phù hợp động học và đưa vào một phương pháp để biểu diễn bằng đồ thị tổng hợp lực! Ví dụ trên hình 9.4 (b) chỉ ra ba hệ (các khối được đánh nhãn 1,2,3) liên quan đến một điểm của vận tốc chung. Trong đồ thị kết nối, ba hệ phải được liên kết bởi khớp-1. Chú ý rằng quy ước này được liên kết theo nghĩa mũi tên công suất.
Với mục đích tương tự cho các hệ điện khớp-1 có thể được coi như một chuỗi các liên kết điện. Bằng cách ấy các yếu tố liên kết vào khớp-1 đề có cùng dòng (biến dòng) và hợp lực suy ra trong khớp-1 tuân theo định luật về điện thế Kirchhoff. Trong các hệ cơ học các khớp-1 có thể biểu diễn các điểm trong một hệ, thể hiện vận tốc của một khối lượng, và tổng hợp lực được phát biểu bởi định luật Newton (trong dạng D’Alembert) .
Hình 9.4 minh họa các thành phần với vận tốc chung được kết nối như thế nào. Nhiều thành phần vật lý có thể được kết nối bởi hình ảnh của lực chung (lực hoặc mômen) hoặc khớp-0. Ví dụ hai lò xo kết nối biến dạng liên tiếp và các mút đầu của chúng có các vận tốc kéo, nén khác nhau; tuy nhiên chúng có cùng lực chuyền qua các đầu mút (các lò xo lý tưởng không khối lượng). Các thành phần của hệ, có loại quan hệ này, được biểu diễn bằng đồ thị dùng khớp-0. Định nghĩa khớp-0 cơ bản được chỉ ra trong hình 9.5 (a). Các khớp-0 đặc biệt tiện lợi trong mô hình hóa hệ cơ học vì chúng cũng có thể được dùng để mô hình sự kết nối của các thành phần có chuyển động tương đối. Ví dụ thiết bị trong hình 9.5 (b), giống như một lò xo có các đầu mút chuyển động tương đối với nhau nhưng trên mỗi một đầu mút là như nhau (chú ý giả thiết bỏ qua khối lượng).
Hình 9.4 Khớp-1 cơ học: (a) định nghĩa cơ bản, (b) ví dụ sử dụng khớp không khối lượng
Hình 9.5 Khớp-0 cơ học: (a) định nghĩa cơ bản, (b) ví dụ sử dụng khớp không khối lượng
Hình 9.6 (a) Lực đặc biệt từ S1 vào S2, (b) dòng đặc biệt từ S1 vào S2, (c) một ví dụ được sắp xếp chỉ ra liên kết trên cơ sở nhân quả đặt ra trong các định nghĩa vật lý của khớp-0 và khớp-1
Định nghĩa của khớp-0 suy ra rằng tất cả sự kết nối có các vận tốc khác nhau, nên một sự khác dòng có thể được tạo ra để lập nên vận tốc tương đối V3. Tất cả các kết nối này có cùng lực, tuy nhiên lực này phải được tác dụng ở các khớp-1, để nhận dạng 3 vận tốc khác nhau trong ví dụ này. Chẳng hạn, một lò xo phải được kết nối trên một bộ kết nối với khớp V3, như chỉ ra trên hình 9.5(b), và .
Các phần tử khớp-0 và khớp-1 biểu diễn bằng đồ thị cấu trúc đại số trong một mô hình, với những sự tham gia về vật lý khác nhau từ sự phù hợp động học (khớp-1) và lực hoặc mô men (khớp-0). Đồ thị này có thể phản ánh, điều gì có thể hiểu được về sự tương quan của các thiết bị vật lý với đồ thị kết nối. Có sự ưu việt trong sự tạo dựng đồ thị kết nối, vì khi đó có thể dùng tính nhân quả để xây dựng các mô hình toán học. Chẳng hạn có thể xem công trình của Karnopp, Margolis, và Rosenberg [17]. Có một mối quan hệ cho các biến trực tiếp và biến chéo, được dùng trong các phương pháp đồ thị tuyến tính [33].
Nhân quả
Mô hình hóa đồ thị kết nối đã diễn đạt được phương pháp luận về thuật toán và sự gắn bó đối với nhận định nhân quả (xem Paynter[28], trang 126). Trong phạm vi mô hình hóa đồ thị kết nối, nhân quả đưa đến mối quan hệ vào-ra giữa các biến trên kết nối công suất, và phụ thuộc vào các hệ liên kết với mỗi đầu mút của bộ kết nối. Paynter đã đồng nhất sự cần thiết của khái niệm này khi bị lôi cuốn mạnh mẽ vào tính toán tương tự, trong đó những lời giải dựa trên những quan hệ xác định rõ giữa các tín hiệu. Ví dụ, nếu hệ S1 trong hình 9.6(a) là một nguồn lực đã biết, thì khi kết nối với hệ S2, nó phải xác định lực trong S2 và đến lượt mình S2 phải trở lại biến dòng, f, trên bộ kết nối liên kết 2 hệ. Trong đồ thị kết nối, quan hệ nhân quả này được thể hiện bởi nét vẽ đứng trên bộ kết nối, như chỉ ra trong hình 9.6(a). Nét vẽ đứng ở một đầu mút của bộ kết nối chỉ ra rằng lực được xác định trong phần tử đa cổng liên kết ở đầu mút này. Trong hình 9.6(b), tính nhân quả được đảo lại từ những điều thể hiện trong (a). Ví dụ trong hình 9.6(c) minh họa, tính nhân quả truyền như thế nào qua đồ thị kết nối của các bộ kết nối liên kết và các hệ. Chú ý rằng một khớp-1 với các đa cổng chỉ có thể có một bộ kết nối xác định dòng ở khớp này, nên những bộ kết nối khác xác định lực trong khớp-1. Một khớp-0 đòi hỏi một bộ kết nối để xác định lực, trong khi đó tất cả các bộ kết nối khác xác định dòng. Cũng lưu ý rằng, một hướng đối với dòng công suất dương đã không được phân định trên các bộ kết nối này. Ở đây muốn nhấn mạnh ý nghĩa công suất và xác định nhân quả trên một kết nối là độc lập với nhau.
Xác định nhân quả trong các mô hình hệ sẽ được áp dụng trong các ví dụ sau đây. Một sự thảo luận sôi nổi về quy trình xác định nhân quả kế tiếp (xem SCAP) có thể tìm trong Rosenberg và Karnopp[32] hoặc Karnopp, Margolis và Rosenberg[17]. Bằng cách dùng các phần tử đồ thị kết nối xác định, việc phân định nhân quả được làm một cách hệ thống. Qui trình này đã được lập trình trong nhiều gói phần mềm có giá trị thương mại, dùng đồ thị kết nối như mô tả hình thức các mô hình hệ vật lý.
Vì có thể phát hiện quan hệ vào-ra của các biến trên tất cả các bộ kết nối trong mô hình hệ, nên tính nhân quả có thể đoán nhận khả năng giải bằng máy tính của mô hình đồ thị kết nối.Các kết quả được dùng để chỉ ra số trạng thái động lực đòi hỏi trong một hệ, và đồ thị nhân quả rất tiện lợi trong việc đưa ra chính xác mô hình cơ học. Ngay cả nếu không rút ra được các phương trình, tính nhân quả cũng có thể dùng để đưa ra cách nhìn vật lý xem hệ làm việc thế nào.
9.3 Mô tả các thành phần mô hình cơ học cơ bản
Các thành phần cơ học trong các hệ cơ điện tử biểu thị sự hiện diện của chúng thông qua đáp ứng chuyển động và bởi phản ứng lực và mô men đáng kể trên kết cấu đỡ, các cơ cấu chấp hành, và các sen sơ. Khi hiểu và đoán nhận các thuộc tính đáp ứng này, xẩy ra do kết hợp với các hiệu ứng ma sát, đàn hồi và quán tính, có thể thu nhận được bản chất tích lũy năng lương và hao tán bằng nhận dạng. Sự nhấn mạnh này đến sự hao tán và tích lũy năng lượng dẫn đến một định nghĩa hệ thống của các quan hệ được thiết lập đối với các phần tử mô hình hóa hệ cơ học cơ bản.Các phần tử mô hình này tạo thành cơ sở cho việc xây dựng các mô hình hệ phi tuyến phức tạp và cho việc xác định các quan hệ trở kháng tiện lợi trong việc tạo lập hàm truyền.
Người ta coi rằng quyết định mô hình hóa được thực hiện sao cho các phần tử hao tán và tích lũy năng lượng (động và thế năng) có thể được nhận dạng để biểu diễn trung thực một hệ được quan tâm. Hình mắt lưới là một phần cơ bản của quá trình mô hình hóa, nhưng đôi khi việc định nghĩa và liên kết các phần tử không phải dễ dàng hoặc trực giác. Trong mục này, đầu tiên là xem lại các phần tử mô hình vào và ra của hệ cơ học, và sau đó xem xét các phần tử hao tán thụ động và các phần tử tích lũy năng lượng. Mục này cũng bàn về các phần tử kết nối dùng cho mô hình hóa các bánh răng, đòn bẩy và các loại phần tử truyền năng lượng khác. Chương này kết thúc bằng việc đưa vào các quan hệ trở kháng cho tất cả các phần tử này.
Định nghĩa các phần tử mô hình cơ học đầu vào và đầu ra
Trong mô hình hóa hệ động lực, yêu cầu trước tiên là xác định biên của hệ, một khái niệm được mượn từ nhiệt động học cơ bản. Trong những hệ cơ học cô lập, biên của hệ đồng nhất với các cổng, ở đó tín hiệu và công suất có thể đi qua. mỗi cổng được mô tả bằng cặp liên hợp công suất vận tốc-lực hoặc vận tốc góc-mô men. Thật là thuận lợi, khi tập trung vào mô hình hóa hệ cơ học, để làm cơ sở cho tính nhân quả ở mỗi cổng. Ví dụ, nếu một động cơ gắn với một cổng thì phải có thể xác định mô men như biến đầu vào và vận tốc góc như đầu ra (sau động cơ).
Điều quan trọng là nhận ra rằng đó là những giả thiết mô hình. Ta xác định các phần tử đặc biệt như nguồn lực, hoặc dòng có thể gắn vào biên của hệ được quan tâm. Các đầu vào này phải được biết và hoặc lý tưởng hóa, hoặc chúng có thể là “đạo diện” mà sau này ta sẽ gắn cho mô hình một cơ cấu chấp hành hoặc sen sơ. Trong trường hợp này tính nhân quả xác định tại cổng được cố định sao cho mô hình hệ (bên trong) sẽ không thay đổi. Nếu tính nhân quả thay đổi thì cần thiết phải tạo lập lại mô hình mới.
Trong thuật ngữ đồ thị kết nối, thuật ngữ effort source được sử dụng để định nghĩa một thành phần chỉ rõ sự tác động nên vật như lực hoặc momen . Biểu trưng Se hoặc E có thể được dùng để thể hiện một nguồn lực trên đồ thị kết nối.
Hình 9.7 Hai trường hợp nguồn lực và nguồn dòng được chỉ ra trong đồ thị kết nối chữ
Hình 9.8 (a) Quan hệ cấu thành điện trở (b) Ví dụ mô hình điện trở giảm chấn
Một nguồn dòng là một phần tử định rõ một dòng trên một bộ kết nối, như vận tốc tịnh tiến, vận tốc quay hoặc vận tốc góc, ký hiệu trên đồ thị kết nối là Sf hoặc F. Hai ví dụ nguồn cơ bản được chỉ ra trên hình 9.7. Chú ý rằng mỗi bộ kết nối có lực hoặc dòng xác định, phụ thuộc vào loại nguồn. Tính nhân quả trên các phần tử mô hình này luôn luôn được biết, như đã chỉ ra. Hơn nữa, mỗi bộ kết nối mang cả hai mẩu thông tin: (1) biến lực hoặc dòng định rõ bởi nguồn, và (2) phản ứng ngược được chỉ ra bởi tính nhân quả. Ví dụ, tại chỗ kết nối với nền trong hình 9.7(b) nguồn định rõ liên kết vận tốc 0 trong hệ, và hệ này, đến lượt nó, lại xác định lực phản hồi tới nền. Sự trình bầy mang tính chất biểu trưng này nhấn mạnh bản chất nhân quả của các mô hình đồ thị kết nối và nhấn mạnh các biến nào có giá trị cho việc kiểm tra. Trong trường hợp này lực tác dụng lại nền phải là biến đầu ra tới hạn.
Hiệu ứng hao tán trong các hệ cơ học
Các hệ cơ học sẽ hao tán năng lượng do ma sát khi tiếp xúc trượt, các bộ giảm chấn (thụ động hay tích cực), và thông qua tương tác với các miền năng lượng khác nhau( như tải thủy lưc, cản dòng xoáy). Các hiệu ứng không thuận nghịch này được mô hình hóa bởi các hàm cơ bản giữa lực và vận tốc hoặc mô men và vận tốc góc. Trong mỗi trường hợp tích của các biến lực-dòng biểu diễn công suất bị hao tán, , và năng lượng tổng thể bị hao tán là . Năng lượng này có thể xác định được khi cho hàm cơ bản, , được chỉ ra bằng đồ thị trên hình 9.8(a). Chúng ta coi nó như là quan hệ thiết lập trở kháng cơ bản, chứa đựng những hạn chế quy định bởi định luật thứ hai của nhiệt động lực học; chính là . Một giảm chấn cơ học điển hình, đi theo mô tả mô hình loại trở kháng, được tóm tắt trong hình 9.8(b).
Trong mô hình đồ thị kết nối, các phần tử trở kháng được ký hiệu bởi phần tử R, và một mô hình phần tử-R đa cổng, tổng quát hóa được chỉ ra trên hình 9.9(a). Chú ý rằng phần tử R được phân biệt bởi khả năng biểu diễn tích en-trô-pi trong một hệ. Trên phần tử R, cổng nhiệt và bộ kết nối được chỉ ra, và hướng công suất đi ra từ R luôn luôn dương. Trong các hệ nhiệt, nhiệt độ, T, là biến lực và tốc độ dòng en-trô-pi , fs, là biến dòng. Để tính toán nhiệt sinh ra bởi phần tử R, hãy kết hợp tính toán khi Q (nhiệt trong điện năng watt) = T.fs =Siei.fi trên n cổng.
Hình 9.9 (a) Phần tử đồ thị kết nối trở kháng (b) Tính nhân quả trở kháng và dẫn suất
Hình 9.10 (a) 2 mặt tiếp xúc trượt (b) Mô hình đồ thị kết nối với nhân quả suy ra các vận tốc như đầu vào đã biết
Hệ gắn với phần tử trở kháng qua bộ kết nối công suất nói chung sẽ xác định nhân quả trên bộ kết nối này, vì các phần tử trở kháng nói chung không có dạng nhân quả gốc.[1] Hai trường hợp có thể trên phần tử cổng R đã cho được chỉ ra trên hình 9.9(b). Sơ đồ khối nhấn mạnh phương diện tính toán của tính nhân quả. Ví dụ, trong trường hợp trở kháng, dòng (hoặc vận tốc) là đầu vào đã biết , nên công suất bị hao tán là . Đối với cản tuyến tính, , nên .
Trong các hệ cơ học, nhiều hiệu ứng ma sát được rút ra bởi chuyển động tương đối. Do đó, việc nhận dạng hiệu ứng hao tán được cấu hình như thế nào trong một hệ cơ học đòi hỏi nhận dạng các biến chuyển động tới hạn. Hãy xét ví dụ về 2 mặt phẳng trượt lên nhau với các vận tốc khác nhau được nhận dạng bởi khớp-1, như chỉ ra trên hình 9.10(a). Khi nhận dạng một mặt với vận tốc V1, và mặt kia với vận tốc V2 cấu trúc đơn giản trên hình 9.10(b) chỉ ra một phần tử R có thể được kết nối ở vận tốc tương đối V3. Điều đó ghi nhận tính hợp lý của thuyết nhân quả. Hai vận tốc kết nối tại khớp-0 tạo thành vận tốc tương đối, đó là đầu vào cho R. Còn đầu ra là lực F3, tính được từ quan hệ cơ bản . Khớp-1 được tạo lập để biểu diễn V3 có thể bị loại ra khi chỉ có phần tử đơn được gắn vào như đã chỉ ra. Trong trường hợp này, R có thể thay thế khớp-1.
Khi mối quan hệ dòng-lực là tuyến tính, hằng số tỷ lệ là trở kháng, trong các hệ cơ học các đại lượng này thường là các hằng số cản (giảm chấn). Cản tuyến tính có thể xuất hiện trong các trường hợp khi hai mặt phân cách bởi chất lỏng trượt tương đối với nhau và sinh ra dòng nhớt thành lớp. Trong trường hợp này có thể chỉ ra rằng lực và vận tốc tương đối có quan hệ tuyến tính, và tính chất hình học và vật liệu của bài toán sẽ định lượng hằng số cản tuyến tính. Bảng 9.2 tổng kết các phần tử cản quay và tịnh tiến, bao gồm các trường hợp tuyến tính. Các thành phần này được chuyển cho các bộ giảm chấn, và loại giảm chấn được mô tả ở đây dẫn đến ma sát nhớt trong các ứng dụng cơ học, thuận lợi trong nhiều ứng dụng có chứa các mặt bôi trơn. Nếu vận tốc tương đối khá cao, dòng có thể trở thành dòng xoáy và dẫn đến sự thể hiện của bộ giảm chấn phi tuyến. Khi đó quan hệ cơ bản này là hàm phi tuyến, nhưng cấu trúc hoặc sự kết nối của mô hình này trong hệ không thay đổi. Các bộ giảm chấn cũng được cấu tạo dùng thiết kế piston/ chất lỏng và chẳng hạn, chung cho các bộ hấp thụ va chạm. Trong những trường hợp này, các đặc trưng vận tốc lực thường hợp với tính phi tuyến.
Bảng 9.2 Các phần tử hao tán cơ học
Hệ vật lý
Các quan hệ cơ bản
Đồ thị kết nối
Phần tử hao tán tổng quát
- Phần tử trở kháng
- Điện trở R
Sự hao tán:
Luật trở kháng:
Luật điện dẫn:
Hàm lượng:
Đồng hàm lượng:
Phần tử R đa cổng tổng quát
Tĩnh tiến cơ học
Cơ sở:
Hàm lượng:
Đồng năng lượng:
Sự hao tán:
Tuyến tính
Hao tán
Quay cơ học
Cơ sở:
Hàm lượng:
Đồng năng lượng:
Hao tán:
Tuyến tính
Hao tán
Bảng 9.3 Các hệ số ma sát điển hình Chú ý: các giá trị này thay đổi phụ thuộc nhiều vào các điều kiện
Các mặt tiếp xúc Tĩnh, ms Trượt hoặc động, mk
Thepe trên thép (khô) 0.6 0.4
Thép trên thép (nhờn) 0.1 0.05
Teflon trên thép 0.04 0.04
Teflon trên teflon 0.04 -
Đồng trên thép (khô) 0.5 0.4
Lót phanh trên sắt đúc 0.4 0.3
Cao su trên nhựa đường - 0.5
Cao su trên bê tông - 0.6
Lốp cao su trên đường lát nhẵn (khô) 0.9 0.8
Cáp kim loại trên pu ly sắt (khô) 0.2 0.15
Dây gai trên kim loại 0.3 0.2
Kim loai trên băng - 0.02
Mô hình nhớt sẽ không là mô hình ma sát hữu hiệu giữa các vật thể rắn khô, là quá trình phức tạp hơn nhiều và dẫn đến thể hiện sự giới hạn đặc biệt ở các tốc độ tương đối thấp hơn. Một cách thể hiện loại ma sát này là mô hình Coulomb kinh điển, phụ thuộc vào tải trọng pháp tuyến giữa các mặt, và vào hệ số ma sát, thường ký hiệu bởi m (xem bảng 9.3). Mô hình Coulomb định lượng lực ma sát là, trong đó N là lực pháp tuyến. Hàm này được vẽ trên hình 9.11(a) để minh họa lực ma sát luôn luôn ngược với chuyển động như thế nào. Mô hình này đủ khả năng như một hàm trở kháng cơ bản liên hệ với lực ma sát và vận tốc tương đối của các mặt. Tuy nhiên, trong trường hợp này, vận tốc chỉ có tác dụng xác định dấu của lực, tức là,, trong đó sgn là hàm signum (lấy giá trị 1 khi V> 0, lấy giá trị -1 khi V< 0).
Hình 9.11 (a) Ma sát Coulomb kinh điển cho các mặt trượt. (b) Đồ thị kết nối chỉ ra tác dụng của lực pháp tuyến như sự điều biến của luật phần tử -R
Mô hình này đòi hỏi điều kiện đặc biệt khi V® 0. Ma sát khô có thể dẫn đến hiện tượng trượt-dính, đặc biệt phổ biến khi vận tốc tương đối giữa các mặt tiếp xúc tiến đến giá trị thấp. Lực ma sát trượt-dính được phân biệt theo cách chúng thay đổi như hậu quả các biến khác, như lực pháp tuyến hoặc tải trọng tác dụng khác. Trượt-dính là một loại đáp ứng của hệ xẩy ra do hiệu ứng ma sát. Trên đồ thị kết nối, một kết nối tín hiệu có thể được dùng để chỉ rằng lực pháp tuyến được xác định bởi yếu tố bên ngoài (chẳng hạn, trọng lượng, tải trọng tác dụng, v.v...). Điều đó được minh họa trên hình 9.11(b). Khi các tính chất cơ bản của phần tử vật lý bị thay đổi bởi các kết nối tín hiệu trong cách này, chúng được coi là bị điều biến. Đó là một phương pháp mô hình hóa rất tiện dụng, nhưng cần lưu ý, không áp dụng được khi vi phạm nguyên lý năng lượng cơ bản.
Khó khăn nữa với mô hình ma sát khô tiêu chuẩn là nó có tính nhân quả ưu đãi. Nói cách khác, nếu đầu vào là vận tốc thì quan hệ chủ yếu này tính ra lực. Tuy nhiên, nếu đầu vào là lực thì không có đầu ra vận tốc duy nhất. Hàm này là đa trị. Những khó khăn loại này thường chứng tỏ rằng các hiệu ứng vật lý chưa được kể hết khi mô hình hóa. Trong khi quan hệ cơ bản dòng lực được dùng, thì dạng của quan hệ cơ bản này cần thiết cho tham số hóa bởi các biến tới hạn khác (nhiệt độ, độ ẩm, v.v...). Các mô hình chi tiết hơn nằm ngoài phạm vi của chương này, nhưng độc giả có thể tham khảo Rabinowicz (1995) và Armstrong-Helouvry (1991), các tác giả này đã trình bầy kỹ trong mô hình hóa ma sát và tác dụng của chúng. Ma sát thường là nguồn bất định trội trong nhiều lực mô hình hóa dự đoán (đó là sự thật trong nhiều miền năng lượng).
Các phần tử tích lũy thế năng
Một phần năng lượng làm biến dạng phần tử cơ học nào đó có thể tham gia vào việc dự trữ thế năng thuần túy. Thông thường, quyết định mô hình hóa một phần tử cơ học theo cách này được nhận dạng thông qua mối liên hệ cấu tạo cơ bản giữa biến lực e (lực, mô men), và biến dịch chuyển q (dịch chuyển tịnh tiến, dịch chuyển góc). Mối quan hệ này có thể rút ra từ cơ học cơ sở [29] hoặc qua đo đạc trực tiếp. Một ví dụ là lò xo dài, trong đó dịch chuyển của các điểm mút x liên hệ với lực tác dụng F như sau: .
Trong mô hình tham số tập trung dựa vào năng lượng, biến dịch chuyển suy rộng q được dùng để xác định hàm thế năng trạng thái nhất định,
Năng lượng này gắn với quan hệ cấu tạo bởi
Nói chung phương pháp này là thuận lợi và nhận thấy rằng các thiết bị thực tế được quan tâm có ít nhất một chỗ kết nối (cổng) trong đó công suất có thể tích lũy thế năng. Tại cổng này biến dịch chuyển được quan tâm là dịch chuyển tịnh tiến x hoặc dịch chuyển góc q, và vận tốc phù hợp là và . Phần tử tích lũy thế năng mở rộng được tóm tắt trong bảng 9.4, trong đó các ví dụ được cho đối với một cổng tịnh tiến hoặc quay.
Lò xo dài tuyến tính là một phần tử trong đó , trong đó k là độ cứng, là độ mềm của lò xo. Như chỉ ra trong bảng 9.4 thế năng được tích lũy trong lò xo tuyến tính là , và đồng năng lượng là . Vì lò xo là tuyến tính, có thể chỉ ra rằng . Nếu lò xo là phi tuyến do biến dạng dẻo hoặc cứng hóa công thì điều đó không đúng.
Thế năng đàn hồi có thể được tích lũy trong một thiết bị qua nhiều cổng và qua các miền năng lượng khác nhau. Một ví dụ về loại này là dầm công xôn có tại mút cả lực và mô men. Dầm này có thể tích lũy năng lượng bởi cả dịch chuyển tịnh tiến và dịch chuyển quay tai mút. Quan hệ cơ bản cho phần tử C hai cổng liên hệ lực và mô men với dịch chuyển thẳng và dịch chuyển quay, như chỉ ra trên hình 9.12. Ma trân độ cứng (hoặc độ mềm) đối với độ lệch nhỏ được rút ra bởi sự chồng chất tuyến tính.
Bảng 9.4. Các phần tử tích lũy thế năng cơ học (dạng tích phân)
Hệ vật lý
Các quan hệ cơ bản
Đồ thị kết nối
Phần tử tích lũy năng lượng
Trạng thái:
Tốc độ:
Cơ sở:
Năng lượng:
Đồng năng lượng:
Phần tử đa cổng C tổng quát
Tĩnh tiến cơ học
-Lò xo
-Độ cưng k, độ mềm C
Trạng thái:
Tốc độ:
Cơ sở:
Năng lượng:
Đồng năng lượng:
Tuyến tính:
Năng lượng:
Đồng năng lượng:
Quay cơ học
-Lò xo mô men
- Độ cưng k, độ mềm C
Trạng thái:
Tốc độ
Cơ sở:
Năng lượng:
Đồng năng lượng:
Tuyến tính:
Năng lượng:
Đồng năng lượng:
Hình 9.12 Ví dụ phần tử tích lũy năng lượng 2 cổng: (a) Dầm công xôn với các kết nối mút quay và tĩnh tiến, (b) Phần tử C và mô hình 2-cổng
Tích lũy động năng
Tất cả các thành phần cấu tạo nên các hệ cơ học đều có khối lượng, nhưng trong phân tích một hệ, trong đó sự liên quan là thể hiện động lực học, thì chỉ cần tập trung vào các thành phần có thể tích lũy lượng động năng thích hợp thông qua chuyển động của chúng. Điều đó dự đoán rằng một cơ sở năng lượng được dùng cho mô hình hóa, và sự theo rõi động năng sẽ cung cấp cái nhìn bên trong động lực học hệ. Đó là tâm điểm của sự thảo luận, liên quan đến khoảnh khắc chuyển động tịnh tiến một chiều và chuyển động quay quanh một trục cố định. Sau đó sẽ được chỉ ra cách diễn đạt được trình bầy ở đây có lợi như thế nào để hiểu các hệ phức tạp hơn.
Khái niệm về khối lượng và sử dụng nó như phần tử mô hình được thuận lợi bởi quan hệ Newton giữa tốc độ thay đổi của mô men động lượng của khối lượng đối với các lực thực tế ảnh hưởng đến nó, , trong đó là mô men động lượng. Năng lượng tích lũy trong hệ do chuyển động tĩnh tiến với vận tốc V là động năng. Khi dùng quan hệ từ định luật Newton, , năng lượng này là . Nếu vận tốc được biểu diễn chỉ như hàm mô men động lượng p, thì hệ này là khối lượng tịnh tiến thuần túy, . Nếu vận tốc tỷ lệ thuận với mô men động lượng, thì, trong đó m là khối lượng. Các định nghĩa cơ bản tương tự được làm cho vật thể quay quanh một trục và các phần tử này được tóm tắt trong bảng 9.5.
Bảng 9.5 Các thành phần tích lũy động năng cơ học
Hệ vật lý
Các quan hệ cơ bản
Đồ thị kết nối
Thành phần tích lũy động năng tổng quát
Trạng thái:
Tốc độ:
Cơ sở:
Năng lượng:
Đồng năng lượng:
Phần tử đa cổng I tổng quát
Chuyển động tĩnh tiến cơ học
Trạng thái:
Tốc độ:
Cấu tạo:
Năng lượng:
Đồng năng lượng:
Chuyển động quay cơ học
Trạng thái:
Tốc độ:
Cấu tạo:
Năng lượng:
Đồng năng lượng:
Đối với nhiều ứng dụng thực tiễn trong kỹ thuật, quan hệ vận tốc mô men động lượng, V=V(p) (quan hệ cấu tạo) là tuyến tính. Chỉ trong trường hợp tương đối có thể có quan hệ phi tuyến trong luật cấu tạo đối với khối lượng. Tuy nhiên, điều đó chỉ ra rằng, trong trường hợp tích lũy động năng tổng quát, quan hệ cấu tạo được thiết lập giữa biến dòng và biến mô men động lượng, f = f(p). Điều đó giúp cho việc đánh giá sự tương tự cho miền năng lượng khác, đặc biệt trong các hệ điện trong đó các bộ cảm ứng (tương tự như khối lượng) có thể có quan hệ phi tuyến giữa luồng (dòng) và sự kết nối luồng (mô men động lượng).
Chuyển động quay của vật rắn được xét ở đây bị hạn chế cho trường hợp đơn giản quay phẳng quanh trục cố định. Mô men quán tính của khối lượng của một vật đối với một trục được xác định như là tổng của các tích các phần tử khối lượng và bình phương khoảng cách của chúng tính đến trục này. Đối với trường hợp rời rạc, , còn đối với trường hợp liên tục trở thành (đơn vị kgm2). Một số dạng thông dụng và mô men quán tính khối lượng của chúng được cho trên hình 9.13. Các vật thể rắn tổng quát được bàn tới trong mục “các tính chất quán tính”.
Hình 9.13 Các mô men quán tính khối lượng đối với một số vật thể thông dụng
Có nhiều khái niệm và định lý thuận lợi liên quan đến các tính chất của vật thể rắn mà sẽ hữu ích trong mục này. Đầu tiên, nếu mô men quán tính khối lương được biết đối với một trục đi qua tâm khối (IG), thì định lý Steiner (định lý trục song song) liên hệ mô men quán tính này với mô men quán tính đối với trục khác ở khoảng cách d cho bởi I = IG + md2, trong đó m là khối lượng của vật thể. Cũng có thể thiết lập mô men quán tính của các vất thể tổ hợp, khi đó bỏ qua chuyển động riêng của mỗi vật thể. Một khái niệm tiện dụng là bán kính quay, k, là bán kính của một xi lanh tưởng tượng có thành mỏng vô hạn, có khối lương m và có cùng mô men quán tính I như vật thể khảo sát, thì. Bán kính quay có thể dùng để tìm khối lượng tương đương đối với vật thể lăn, dùng .
Các cơ cấu nối
Nhiều loại thiết bị dùng như các bộ nối ghép hoặc các cơ cấu truyền năng lượng, thông dụng nhất là đòn bẩy, truyền động bánh răng, pu li, ròng rọc, tời và cần cẩu. Một cách lý tưởng, các thiết bị này và tương tự của chúng trong miền năng lượng khác là bảo toàn công suất và biểu diễn chúng một cách thuận lợi khi sử dụng mô hình 2 cổng. Trong phần tử mô hình này, công suất vào bằng công suất ra, hoặc qua cặp dòng-lực, . Suy ra rằng có 2 loại thiết bị cơ bản được trình bầy theo cách này dựa trên mối quan hệ giữa các biến công suất trên 2 cổng. Đối với cả hai loại mối quan hệ giữa 2 biến thường có thể được nhận dạng từ hình học hoặc tính chất vật lý cơ bản của thiết bị. Bởi việc đưa vào hạn chế là có sự truyền bảo toàn công suất vốn có trong thiết bị, một quan hệ thứ hai được rút ra. Một khi mối quan hệ được thiết lập thì thiết bị thường có thể được phân loại như bộ chuyển đổi hoặc hồi chuyển. Nhấn mạnh rằng, các phần tử mô hình này được dùng để biểu diễn các phương diện bảo toàn công suất lý tưởng của thiết bị. Những tổn thất hoặc hiệu ứng đông lực học được thêm vào để mô hình các thiết bị thực.
Một thiết bị có thể được mô hình như bộ chuyển đổi khi và . Trong quan hệ này, m là mô đun của bộ chuyển đổi được xác định bởi tính chất vật lý của thiết bị sẽ là hằng số hoặc trong một số trường hợp là một hàm của trạng thái của hệ. Ví dụ, trong truyền động bánh răng đơn giản, vận tốc góc có thể được liên hệ lý tưởng bởi tỷ số của các bán kính cơ sở của các bánh răng, và trong tay quay con trượt có thể tạo lập được mối quan hệ giữa chuyển động của con trượt và góc tay quay. Do đó, hai mô men liên hệ với nhau, và truyền động bánh răng là một bộ chuyển đổi. Một thiết bị có thể được mô hình hóa như bộ hồi chuyển nếu và , trong đó r là mô đun bộ hồi chuyển. Chú ý rằng, mô hình này có thể biểu diễn sự chuyển đổi bảo toàn công suất trong các thiết bị đối với chúng mối quan hệ chéo giữa các biến công suất (tức là lực liên hệ với dòng) được nhận dạng[2].
Hình 9.14 Các thiết bị thông thường có thể được mô hình hoá như các máy biến thế hoặc bộ hồi chuyển trong hệ cơ học
Một số ví dụ về bộ chuyển đổi và bộ hồi chuyển được chỉ ra trên hình 9.14. Trong mô hình đồ thị kết nối, bộ chuyển đổi có thể được biểu diễn bởi TF hoặc T, trong khi đó bộ hồi chuyển được biểu diễn bởi GY hoặc G (chú ý, ký hiệu 2 chữ cái là thông dụng). Các ví dụ trên hình 9.14 chỉ ra mô đun m hoặc r, có thể lấy hoặc không lấy giá trị hằng. Nhiều thiết bị có thể tham gia vào sự bảo toàn công suất, tuy nhiên, mối quan hệ giữa các biến lực-dòng có thể không là hằng, nên mối quan hệ này được coi là điều biến khi mô đun là hàm của biến động lực ( đúng hơn là một trạng thái của hệ). Trên đồ thị kết nối, điều đó được chỉ ra khi dùng kết nối tín hiệu hướng vào mô đun T hoặc G.
Các ví dụ về bộ chuyển đổi hoặc bộ hồi chuyển điều biến được cho trên hình 9.15. Các ví dụ này làm nổi bật các phương pháp tiện dụng trong mô hình hóa các thiết bị thực tế. Trong tay quay con trượt, chú ý rằng sự điều biến là do sự thay đổi vị trí góc của tay quay. Chúng ta nhận thông tin này từ bộ kết nối liền kề bộ chuyển đổi trong bài toán; tức là, nếu chúng ta tích hợp vận tốc góc tìm được trên kết nối kế bên, như chỉ ra trên hình 9.15(a).Đối với trường kích động bởi động cơ một chiều như trên hình 9.15(b), quan hệ mô men-dòng trong động cơ phụ thuộc vào luồng sinh ra bởi trường này; do đó trường này bị kích động bởi một mạch, được cấp nguồn độc lập với mạch phần ứng (armature). Thông tin tín hiệu đối với sự điều biến không đến từ bộ kết nối kế bên, như trong trường hợp tay quay con trượt. Hai ví dụ này minh họa hai cách mà các liên kết đặt vào các cơ cấu nối.Sự điều biến trong tay quay con trượt có thể nói biểu diễn liên kết hô lô nôm, còn theo chính các con đường này kích động trường trong động cơ đặt vào liên kết không hô lô nôm. Chúng ta không thể liên hệ dòng và mô men trong trường hợp sau mà không giải bài toán động lực học của một hệ độc lập - mạch trường (field circuit). Trong tay quay con trượt vị trí góc đòi hỏi cho điều biến nhận được một cách đơn giản bởi tích phân vận tốc, vì . Việc thảo luận thêm về các liên kết có thể tìm trong mục 9.7.
Hình 9.15 Khái niệm về điều biến trong các bộ chuyển đổi và các bộ hồi chuyển
Hệ cho trên hình 9.16(a) là bộ phận của truyền động cơ học vận tốc hằng. Một lực phản hồi cơ học, F2, sẽ điều chỉnh vị trí rô to giữa x2. Hiệu ứng này được nhìn thấy trong mô hình đồ thị kết nối hình 9.16(b), có hai bộ chuyển đổi để biểu diễn tỷ số vận tốc giữa đầu vào (bàn quay) 1 và rô to giữa 2, và tỷ số tốc độ giữa rô to giữa và con lăn đầu ra 3. Bộ chuyển đổi thứ nhất là một phiên bản cơ học của phép biến đổi không hôlônôm. Đặc biệt, chúng ta cần phải giải đối với động lực học của vị trí rô to (x2) để truyền công suất giữa các thành phần đầu vào và đầu ra của thiết bị này.
Hình 9.16 Liên kết không hôlônôm trong mô hình bộ chuyển đổi
Các quan hệ trở kháng
Những mô tả thành phần cơ bản đã được trình bầy đến bây giờ là cơ sở cho việc xây dựng các mô hình cơ bản, và một phương pháp rất hiệu dụng dựa trên các cách thiết lập trở kháng. Một hàm trở kháng Z là tỷ số của biến lực đối với biến dòng tại một cổng của hệ đã cho của một thiết bị vật lý, và việc ứng dụng phổ biến nhất là đối với các hệ tuyến tính , trong đó s là biến tần số phức (đôi khi gọi là toán tử Laplace). Độ dẫn là nghịch đảo của trở kháng, . Đối với mỗi thành phần cơ bản xác định, quan hệ trở kháng tuyến tính có thể được rút ra để dùng trong phát triển mô hình. Đầu tiên, nhớ lại rằng toán tử đạo hàm có thể biểu diễn bởi toán tử s, nên trong miền s đơn giản là sx và là x/s và v.v...
BẢNG 9.6 Các thành phần trở kháng cơ học cơ bản
Hệ Trở kháng ZR Dung lượng ZC Quán tính ZI
Tĩnh tiến b k/s
Quay B K/s
Hình 9.17 (a) Trở kháng của bộ nối nối tiếp (b) Độ dẫn cho tổ hợp song song
Hình 9.18 Quán tính quay gắn vào truyền động bánh răng, và mô hình tương ứng trong dạng trở kháng. Ví dụ này minh họa bộ chuyển đổi có thể dùng trở kháng như thế nào
Đối với thành phần quán tính cơ bản trong chuyển động quay, chẳng hạn, luật tốc độ cơ bản (xem bảng 9.5) là. Trong miền s, . Khi dùng quan hệ cấu tạo tuyến tính,, . Chúng ta có thể quan sát thấy rằng trở kháng quán tính quay được xác định bằng cách lấy tỷ số của lực và dòng, hoăc. Một bài tập tương tự có thể được dẫn suất đối với phần tử rất cơ bản để thiết lập bảng 9.6.
Khi dùng khái niệm cơ bản của khớp 0 và khớp 1, tương tự như các bộ nối mạch song song và nối tiếp, việc tạo lập các trở kháng tương ứng có thể rút ra đối với các đồ thị kết nối theo cách tương tự như đã làm đối với các mạch. Đặc biệt khi các trở kháng được kết nối nối tiếp thì trở kháng tổng thể là tổng các trở kháng, trong khi đó nếu các trở kháng nối song song thì độ dẫn tổng là tổng các độ dẫn. Các quan hệ cơ bản này được minh họa trên hình 9.17, đối với chúng:
(9.2)
Các quan hệ trở kháng có lợi khi cấu tạo hàm truyền của một hệ, vì chúng có thể được phát triển trực tiếp từ tương tự mạch hoặc đồ thị kết nối. Các thành phần bộ chuyển đổi hoặc hồi chuyển cũng có thể được đưa vào trong các mô hình này. Một thiết bị có thể được mô hình hóa với bộ chuyển đổi và bộ hồi chuyển sẽ biểu diễn khả năng dùng tỷ lệ trở kháng, với những mô đun dùng làm cơ sở trong điều chỉnh trở kháng gắn vào một "phía" của thiết bị xuất hiện như thế nào khi "được quan sát" từ phía kia. Ví dụ, đối với thiết bị có trở kháng Z2 được gắn trên cổng 2, thì trở kháng khi được quan sát từ cổng 1 được rút ra như sau:
(9.3)
Khái niệm này được minh họa bởi hệ truyền động bánh răng trong hình 9.18. Quán tính quay được gắn vào trục đầu ra của cặp bánh răng, được mô hình hóa như một bộ chuyển đổi (sự tổn thất, và các yếu tố khác sẽ bỏ qua ở đây).
Hình 9.19 Quán tính quay gắn vào máy quay cơ bản được mô hình hóa như một bộ hồi chuyển đơn giản. Ví dụ này minh họa, bộ hồi chuyển có thể dùng vào mục đích này như thế nào nhưng cũng biến đổi trở kháng thành dạng độ dẫn
Trở kháng của quán tính là, trong đó J2 là mô men quán tính khối lượng. Truyền động bánh răng có khả năng dùng tỷ lệ trở kháng, được thiết kế qua việc chọn tỷ lệ ăn khớp, m. Trở kháng có thể thay đổi với bộ chuyển đổi theo mục đích khuyếch đại. Bộ hồi chuyển có thể ảnh hưởng có lợi và hơn nữa có thể thay đổi trở kháng vào trong độ dẫn. Nhớ lại quan hệ hồi chuyển cơ bản, và , thì đối với trường hợp tương tự như trước:
(9.4)
Khả năng phiếm hàm này của các bộ hồi chuyển giúp nhận dạng thiết kế máy phát cơ bản khi các bộ phận tích hợp của hệ ắc quy bánh đà. Một minh chứng rất đơn giản cho trên hình 9.19, trong đó một bánh đà (quán tính quay) được gắn vào cổng cơ của bộ hồi chuyển cơ điện cơ bản. Khi được quan sát từ cổng điện, bạn có thể thấy rằng bộ hồi chuyển làm cho quán tính giống như thiết bị tích trữ thế năng, vì trở kháng hoạt động như 1/(sC), giống như phần tử điện dung, mặc dầu ở đây C là quán tính cơ học.
9.4 Các định luật vật lý cho tạo lập mô hình
Mục này sẽ minh họa việc thiết lập phương trình cơ bản cho các hệ sắp xếp theo tính phức tạp từ những mô hình khối lương-lò xo-giảm chấn đến các mô hình hơi phức tạp hơn, chỉ ra giao diện với mô hình không cơ học như thế nào.
Các mục trước của chương này cung cấp cách mô tả các phần tử cơ bản tiện dụng trong mô hình hóa các hệ cơ học, nhấn mạnh đến phương pháp hệ động lực. Cơ sở công suất và năng lượng của phương pháp đồ thị kết nối làm cho việc thiết lập này phù hợp với các mô hình của các hệ từ các miền năng lượng khác. Một lợi ích nữa của việc dùng phương pháp đồ thị kết nối là ở chỗ, một phương pháp hệ thống đối với chức năng nhân quả sẽ có giá trị. Cùng với các định luật vật lý, chức năng nhân quả cung cấp cái nhìn để xem phát triển mô hình tính toán như thế nào. Thậm chí không có việc tạo lập các phương trình, tính nhân quả cũng trở thành công cụ hữu hiệu.
Các định luật động học và động lực học
Việc dùng các phương trình động học và động lực học cơ bản đặt vào một cấu trúc trên các mô hình chúng ta xây dựng để biểu diễn chuyển động quay và chuyển động tịnh tiến cơ học. Các phương trình động lực học được rút ra từ các định luật Newton, và ta lập giản đồ vật thể tự do để hiểu các lực đặt vào các hệ cơ học như thế nào. Hơn nữa, ta phải dùng các phương diện hình học của một hệ để phát triển các phương trình động học, dựa trên các hệ tọa độ xác định đúng đắn. Nếu mục đích là phân tích một hệ cơ học riêng rẽ, thì điển hình là áp dụng sự bảo toàn mô men động lượng hoặc các phương pháp năng lượng và (hoặc) phân tích động học được dùng để tìm nghiệm của bài toán đã cho. Trong hệ cơ điện tử, một hệ cơ học liên kết với các loại hệ khác (thủy lực, thiết bị cơ điện, v.v...). Do đó ở đây ta tập trung vào việc xây dựng mô hình như thế nào sẽ dễ dàng tích hợp được trong các mô hình toàn hệ. Bàn luận kinh điển chi tiết về động học và động lực học từ triển vọng cơ bản có thể tìm được trong nhiều công trình nhập môn như Meriam và Kraige[23], Bedford và Fowler[5], hoặc trong nhiều nghiên cứu nâng cao bởi Goldstein[11] và Greenwood[12].
Khi mô hình hóa các hệ tịnh tiến đơn giản hoặc các hệ quay quanh trục cố định, một bộ cơ bản các định luật được tóm tắt dưới đây là đủ để xây dựng các mô hình toán học cần thiết.
Các định luật động học và động lực học cơ bản
Hệ
Động lực học
Động học
Tĩnh tiến
Quay
Loại khớp
Khớp-1
å Wi = 0
Khớp-0
Có một lớp khá lớn các hệ cơ học có thể biểu diễn được khi dùng các phương trình cơ bản này, và trong dạng này có thể thấy (a) Các thành phần khớp đồ thị kết nối có thể được dùng để cấu tạo các mô hình này như thế nào, (b) Các phương trình này hỗ trợ cho các phương trình tương tự của mạch điện như thế nào, vì chúng rất giống các định luật mạch Kirchhoff đối với điện thế và dòng. Ở đây ta trình bầy phương pháp đồ thị kết nối, phương pháp này truyền đạt bằng đồ thị các định luật vật lý thông qua các phần tử khớp-0 và khớp-1.
Nhận dạng và biểu diễn chuyển động trong đồ thị kết nối
Sẽ thuận lợi khi nghiên cứu một hệ cơ học để tập trung vào nhận dạng những điểm của hệ có các vận tốc rõ rệt (V hoặc w). Người ta có thể kết hợp một cách đơn giản khớp 1 với các điểm này. Một khi đã làm điều đó thì đễ dàng nhận dạng các điểm nối đối với các thành phần cơ học khác (khối lượng, lò xo, giảm chấn v.v...) cũng như các điểm để gắn cơ cấu chấp hành hoặc sen sơ. Hơn nữa, đó cũng là then chốt để xác định các vân tốc bổ sung liên kết với chuyển động tương đối. Ở đây có thể không có những điểm rõ ràng nhận dạng được về phương diện vật lý trong một hệ, nhưng cần thiết khoanh vùng những điểm này để gắn các thành phần dựa trên chuyển động tương đối để mô tả sự làm việc của chúng (như vật treo chẳng hạn).
Hình 9.20 chỉ ra việc nhận dạng vận tốc cần quan tâm có thể trợ giúp như thế nào việc nhận dạng các khớp 1 ở đó các phần tử cơ học có thể được gắn kết. Đối với phần tử khối lượng cơ bản trong phần (a), giả thuyết cơ bản là một thành phần của hệ đưa vào nghiên cứu được lý tưởng hóa như khối lượng tĩnh tiến thuần túy đối với nó mô men động lượng và vận tốc được liên quan qua mối quan hệ cấu tạo. Điều suy ra là vận tốc của khối lượng như nhau trên toàn phần tử, nên khớp 1 được dùng để nhận dạng chuyển động nổi bật này. Một kết nối gắn vào khớp 1 biểu diễn như thế nào một công suất bất kỳ đi vào khớp này có thể đi vào phần tử tích lũy động năng, I, biểu diễn khối lượng m. Chú ý rằng lực trên bộ kết nối bằng tốc độ biến đổi của mô men động lượng, trong đó.
Hình 9.20 Nhận dạng các vận tốc trong một hệ cơ học có thể giúp cho nhận dạng sự nối kết chính xác của các phần tử và thiết bị (a) khối lượng tĩnh tiến cơ bản, (b) Hệ cơ bản 2 bậc tự do, (c) nối ghép ma sát quay giữa 2 quán tính quay
Hai ví dụ trên hình 9.20(b) và 9.20(c) minh họa vận tốc tương đối có thể tạo lập như thế nào. Hai khối lượng đồng nhất với hai điểm vận tốc nổi bật trong các hệ này. Dùng khớp 0 cho phép cấu tạo sự khác nhau về vận tốc, và trong mỗi trường hợp nó tạo ra vận tốc tương đối. Trong mỗi trường hợp vận tốc tương đối được biểu diễn bởi khớp 1, và đó là then chốt để nhận dạng được rằng khớp 1 chính là một điểm kết nối cho phần tử mô hình hóa cơ học cơ bản.
Sự ấn định và sử dụng tính nhân quả
Các đồ thị kết nối mô tả các quyết định mô hình hóa đã được thực hiện như thế nào, và các phần tử mô hình (R, C, v.v...) được kết nối như thế nào. Một bộ kết nối công suất biểu diễn dòng công suất, và ấn định quy ước công suất dùng nửa mũi tên là phần chính tạo lập đồ thị tiện dụng cho mô hình hóa. Một quy ước dấu là cốt yếu cho việc biểu diễn tổng đại số của các biến lực và dòng tại các khớp 0 và 1. Công suất nói chung được ghi dấu dương khi đi vào các phần tử bị động (điện trở, điện dung, quán tính), và nó thường an toàn để luôn luôn phù hợp với quy ước này. Quy ước dấu đòi hỏi sự khảo sát thận trọng và chắc chắn các điều kiện tham chiếu trong giản đồ vật thể tự do.
Tính nhân quả bao gồm sự mở rộng đồ thị kết nối, nhưng độc lập thực sự với quy ước dòng công suất. Như đã thảo luận trước đây, một sự ấn định được làm trên mỗi kết nối chỉ ra mối quan hệ đầu vào đầu ra của các biến lực-dòng. Sự ấn định của nhân quả theo một tập hợp các luật rất chặt chẽ. Một mô hình hệ đã được ấn định thành công nhân quả trên tất cả các bộ kết nối sẽ thông tin đầy đủ khả năng giải được của các phương trình toán học cơ bản. Để hiểu cái đó đến từ đâu, ta có thể bắt đầu bởi việc kiểm tra các nội dung của bảng 9.4 và 9.5. Các bảng này chuyển đến dạng tích phân của các phần tử tích lũy năng lượng. Một phần tử tích lũy năng lượng ở trong dạng tích phân nếu nó được ấn định nhân quả tích phân. Nhân quả tích phân suy ra rằng biến đầu vào nhân quả (lực hoặc dòng) dẫn đến điều kiện trong đó trạng thái của năng lượng được tích lũy trong yếu tố ấy có thể được xác định chỉ bởi tích phân định luật tốc độ cơ bản. Như chỉ ra trong bảng 9.7, nhân quả tích phân đối với phần tử I suy ra lực là đầu vào, trong khi đó nhân quả tích phân đối với phần tử C suy ra dòng là đầu vào.
Bảng 9.7 Bảng tổng hợp nhân quả đối với các phần tử tích lũy năng lượng
Nhân quả tích phân
Nhân quả đạo hàm
Bảng 9.8 Bảng hướng dẫn ấn định nhân quả
Nguồn Các khớp Các phần tử nối lý tưởng
Hình 9.21 Dẫn ra (a) Quán tính quay với một nguồn vận tốc; (b) Đồ thị kết nối đơn giản với tính nhân quả; (c) Giải thích hiệu ứng ngược
Như chỉ ra trong bảng này, tính nhân quả khác cho mỗi phần tử dẫn đến nhân quả đạo hàm, một điều kiện trong đó trạng thái của phần tử tích lũy năng lượng được biết tức thời và như vậy được nói là phụ thuộc vào biến đầu vào, và ở trong trạng thái nhân quả phụ thuộc. Suy ra rằng các phần tử tích lũy năng lượng trong nhân quả tích phân đòi hỏi một phương trình vi phân (luật vận tốc) được giải ra để xác định giá trị của biến trạng thái (p hoặc q). Các phần tử tích lũy năng lượng trong nhân quả đạo hàm không đòi hỏi phương trình vi phân; tuy nhiên, chúng vẫn thể hiện sự hiện diện của mình qua phản ứng ngược. Ví dụ, nếu máy điện cho trên hình 9.21(a) được giả thiết dẫn động quán tính quay với vận tốc đã biết, w, thì quán tính ở trong nhân quả đạo hàm. Cũng sẽ có sự thất thoát, nhưng bài toán này được đơn giản hóa để minh chứng cho các ứng dụng nhân quả. Năng lượng luôn luôn được biết vì nên . Tuy nhiên, máy này sẽ cảm nhận một mô men quán tính ngược,, chừng nào có sự biến đổi đối với w. Hiệu ứng này không thể bỏ qua.
Việc ấn định nhân quả trên một số phần tử mô hình hóa khác là rất riêng biệt, như chỉ ra trong bảng 9.8. Ví dụ, đối với các nguồn lực và dòng, đã hàm ý tính nhân quả. Trên bộ chuyển đổi và bộ hồi chuyển hai cổng, có hai sự sắp đặt nhân quả có thể cho mỗi bộ. Cuối cùng, đối với các khớp 0 và 1, tính nhân quả cũng rất riêng biệt vì trong mỗi trường hợp chỉ một kết nối có thể định rõ lực và dòng ở mỗi trường hợp. Với tất cả những hướng dẫn được xác lập quy trình ấn định nhân quả có thể kéo theo việc bảo đảm tất cả các kết nối là nhân quả đã ấn định (xem Rosenberg và Karnopp[32], Karnopp, Margolis và Rosenberg[17]).
1. Đối với một hệ đã cho, hãy ấn định nhân quả cho các nguồn lực và dòng, và đối với mỗi nguồn hãy ấn định nhân quả như được đòi hỏi qua các khớp 0 và 1 và các phần tử chuyển đổi hoặc hồi chuyển. Tính nhân quả cần được trải rộng qua mô hình đến một điểm ở đó không có hàm ý ấn định. Lặp lại quy trình này đến khi tất cả các nguồn đã được ấn định nhân quả.
2. Ấn định nhân quả cho phần tử C hoặc I nào đó, cố gắng ấn định nhân quả tích phân nếu có thể. Đối với mỗi sự ấn định, hãy truyền nhân quả qua hệ như được đòi hỏi. Lặp lại quy trình này đến khi tất cả các phần tử tích lũy được ấn định nhân quả.
3. Hãy thực hiện những ấn định nhân quả cuối cùng trên các phần tử R mà chưa được ấn định nhân quả qua các bước 1 và 2, và lại truyền nhân quả như được đòi hỏi. Sự ấn định bất kỳ nào trên phần tử R sẽ chỉ rõ sự cần thiết giải một phương trình đại số.
4. Hãy ấn định các kết nối còn lại một cách tùy ý, mở rộng mỗi trường hợp khi cần thiết.
Tính nhân quả có thể cung cấp thông tin về sự vận hành của hệ. Theo nghĩa này, đồ thị kết nối cung cấp một hình ảnh các đầu vào của một hệ dẫn đến các đầu ra nào đó như thế nào. Việc dùng tính nhân quả với một đồ thị kết nối thay thế cho việc ấn định chuyển động nhân quả trong một hệ. Loại thông tin này cũng hữu ích để hiểu một hệ có thể tách ra thành các mô đun để mô phỏng như thế nào hoặc no có thể khẳng định các giới hạn vật lý thực của các thành phần. Việc hoàn thành ấn định nhân quả trên một đồ thị kết nối cũng sẽ phát hiện thông tin về khả năng giải được của mô hình hệ. Dưới đây là các kết quả mấu chốt từ việc ấn định nhân quả:
Ấn định nhân quả sẽ phát hiện bậc của hệ, bằng số phần tử tích lũy năng lượng độc lập (tức là số phần tử với nhân quả tích phân). Biến trạng thái (p hoặc q) đối với phần tử bất kỳ như vậy sẽ là một trạng thái của hệ, và một phương trình vi phân bậc nhất sẽ cần thiết để mô tả trang thái này phát triển theo thời gian như thế nào.
Việc ấn địng nhân quả bất kỳ nào đó trên phần tử R chỉ rõ tồn tại một vòng đại số. Số các ấn định tùy ý có thể liên quan đến số các phương trình đậi số đòi hỏi trong mô hình.
Phát triển mô hình toán học
Các mô hình toán học đối với các hệ cơ học tham số tập trung sẽ nhận dạng các phương trình vi phân thường liên kết hoặc, đối với hệ tuyến tính hay tuyến tính hóa, các hàm truyền giữa các biến quan tâm và các đầu vào của hệ. Dạng mô hình toán học này hợp với ứng dụng, và người ta sẵn sàng chuyển đổi giữa các dạng khác nhau. Một phương pháp kinh điển phát triển mô hình toán học này sẽ bao gồm việc áp dụng định luật thứ hai của Newton trực tiếp cho mỗi vật thể, tính đến các lực và các mô men. Nói chung, kết quả là một phương trình vi phân thường bậc hai cho mỗi vật thể trong một hệ. Cách làm khác là dùng các phương trình Lagrange, và đối với động lực học nhiều chiều, trong đó các vật có thể, trong đó các vật thể có thể tổ hợp cả chuyển động tĩnh tiến và chuyển động quay, cần thiết phải khảo sát bổ sung như sẽ được thảo luận trong mục 9.6. Ở mục này hãy xét các hệ trong đó vật thể đã cho chịu chuyển động tĩnh tiến hoặc chuyển động quay.
Khối lượng-lò xo-giảm chấn: Phương pháp kinh điển
Hệ cơ học cơ bản bao gồm một vật rắn có thể chuyển động tịnh tiến theo hướng z được chỉ ra trên hình 9.22(a). Hệ này được mô hình hóa bằng cách dùng một khối lượng, một lò xo và một giảm chấn (damper), còn một lưc F(t) tác dụng trực tiếp vào khối lượng.
Hình 9.22 Hệ khối lượng-lò xo-giảm chấn cơ bản (a) sơ đồ (b) giản đồ vật tự do
Một giản đồ vật thể tự do trong phần (b) chỉ ra các lực được sinh ra trên hệ. Lò xo và giảm chấn sinh ra lực Fkvà Fb tác dụng vào khối lượng, và chính các lực này cũng được sinh ra trên nền cố định vì lò xo và giảm chấn được giả thiết không có khối lượng. Một thành phần trọng lượng W, luôn luôn đi theo trục chuyển động. Khi đó tổng các lực tác dụng là . Mũi tên nét cách chỉ “lực quán tính” bằng tốc độ biến thiên của mô men động lượng theo hướng z, pz hoặc . Thành phần này nói chung được dùng trong công thức D’Alembert, người ta có thể coi lực này như lực chống lại tác dụng của các lực đặt vào để tăng tốc vật thể. Nói chung có thể coi lực quán tính như một “lực tác dụng”, đăc biệt khi tiến hành phân tích cơ bản (xem chương 3 hoặc chương 6 của [23]).
Định luật hai Newton liên hệ tốc độ biến đổi của mô men động lượng với lực tác dụng , nên .Để rút ra mô hình toán học, lập một hệ tọa độ cơ bản với hướng dương của trục z hướng lên trên. Nhớ lại các quan hệ cấu tạo đối với mỗi một thành phần mô hình hóa, ở đây được giả thiết là tuyến tính, , , và . Trong mỗi phần tử này, vận tốc tương ứng V hoặc dịch chuyển z phải được nhận dạng. Khối lượng có vận tốc , liên quan tới tọa độ tham chiếu quán tính. Lò xo và giảm chấn có cùng vận tốc tương đối vì một mút của mỗi thành phần này gắn với khối lượng còn mút kia gắn với nền. Sự thay đổi độ dài lò xo là z, còn vận tốc là . Tuy nhiên vì nền cố định, vì vậy, đặt các kết quả đó cùng với định luật hai cua Newton ta có . Một phương trình vi phân thường bậc 2 (ODE) được rút ra đối với hệ một bậc tự do là
Trong ví dụ riêng biệt này, nếu W không có mặt thì z là dao động quanh vị trí cân bằng tĩnh, .
Nếu cần có hàm truyền thì phép biến đổi Laplace đơn giản dẫn đến (giả thiết các điều kiện đầu bằng không đối với chuyển động quanh ztĩnh)
Ví dụ hệ khối lượng-lò xo- giảm chấn đơn giản minh họa rằng các mô hình có thể nhận được cho các hệ cơ học bằng cách ứng dụng trực tiếp động học và các định luật Newton. Khi các hệ trở thành phức tạp hơn do số vật thể hoặc do tương tác của nhiều loại hệ (thủy lực, cơ điện, v.v...), thì nên dùng các công cụ có thể phát triển được để dùng cho phát triển mô hình. Trong mục sau, các bài toán hệ nhiều vật và các phương pháp phân tích sẽ được thảo luận đến một cách ngắn gọn. Vấn đề thường được bàn cãi là lợi ích của đồ thị kết nối chỉ có thể thấy được khi hệ đa năng lượng và rất phức tạp được phân tích. Điều đó không nhất thiết vì người phân tích hệ cơ điện tử có thể thấy rằng việc phát biểu chặt chẽ và lợi ích nhân quả rất thuận tiện trong việc phân tích nhiều loại hệ vật lý khác nhau. Hãy ghi nhớ điều đó vì các phương pháp đồ thị kết nối cơ bản này được dùng để kiểm tra lại hệ khối lượng-lò xo- giảm chấn đơn giản.
Khối lượng-lò xo-giảm chấn: Phương pháp đồ thị kết nối
Hình 9.23 minh họa sự phát triển của mô hình đồ thị kết nối đối với hệ khối lượng-lò xo- giảm chấn. Trong phần (a), các điểm vận tốc khác nhau được nhận dạng và khơp-1 được dùng để biểu diễn chúng trên đồ thị kết nối. Ngay cả khi nền có vận tốc bằng không, và không có dòng công suất đi vào và đi ra khổi điểm này thì cũng thuận lợi để nhận dạng nó tại điểm này. Vận tốc tương đối được tạo lập khi dùng khớp-0, và chú ý rằng tất cả các kết nối đã được áp dụng quy ước đánh dấu, nên tại khớp-0, , cho ta như thường thấy.
Các phần tử của mô hình cần thiết để biểu diễn hệ được nối vào khớp-1, như chỉ ra trên hình 9.23(b). Hai nguồn được yêu cầu, một biểu diễn lực tác dụng (lực Se) do trọng lượng, và nguồn thứ hai biểu diễn vận tốc cơ sở cố định (nguồn dòng Sf). Nguồn dòng được gắn trực tiếp vào khớp-1 (bộ kết nối thêm có thể không kể đến). Phần tử I biểu diễn khối lượng, phần tử C biểu diễn lò xo, còn phần tử R biểu diễn sự mất mát trong bộ giảm chấn.
Hình 9.23 Hệ khối lượng-lò xo-giảm chấn cơ bản (a) nhận dạng các khớp-1 vận tốc, (b) Gắn các phần tử mô hình, (c) Ấn định tính nhân quả
Hình 9.24 Rút ra phương trình cho khối lượng-lò xo-giảm chấn. Dấu ‘*’ chỉ rằng các quan hệ này được rút gọn về các hàm trạng thái hoặc đầu vào. A‘**’ chỉ ra biến trung gian có thể rút gọn về ‘*’ ở nơi nào đó
Chú ý rằng khối lượng và nguồn lực được nối vào khớp-1 như thế nào khi biểu diễn vận tốc khối lượng (trọng lượng luôn chịu tác dụng ở vận tốc này). Lò xo và giảm chấn được nối qua bộ kết nối công suất đến vận tốc tương đối giữa khối lượng và nền.
Cuối cùng trên hình 9.23(c) 8 bộ kết nối được ghi nhãn và tính nhân quả được ấn định. Đầu tiên, nguồn cơ bản cố định ấn định nhân quả trên bộ kết nối1, định rõ vận tốc tai khớp 1, và như vậy hạn chế nhân quả của bộ kết nối 2 để có lực trong khớp 1. Vì bộ nối 2 không định rõ lực trong khớp 0 nên việc ấn định nhân quả cần thực hiện nguồn khác, và nguồn lực ấn định nhân quả trên bộ kết nối 7. Bộ kết nối này không định rõ dòng ở khớp 1 liền kề, nên tại điểm này ta có thể tìm các nguồn xác định khác. Vì không có nên ta ấn định nhân quả cho các phần tử tích lũy năng lượng nào đó có tính nhân quả tích phân phù hợp. Bộ kết nối 8 được ấn định để cho nhân quả tích phân phần tử I (xem bảng 9.7), nên định rõ vận tốc ở khớp 1 và như vậy hạn chế bộ kết nối 6. Tại điểm này các bộ kết nối 6 và 2 định rõ dòng trong khớp 0, vì vậy bộ kết nối 3 còn lai phải định rõ lực. Điều đó thực hiện tốt vì bây giờ bộ kết nối 3 định rõ dòng trong khớp 1 còn lại (vận tốc tương đối), cái đó xác định vận tốc trong các phần tử C và R. Đối với phần tử C điều đó cho tính nhân quả tích phân.
Tóm lại, tính nhân quả được ấn định, không có mâu thuẫn nhân quả (tức là, hai bộ kết nối cố gắng định rõ vận tốc trong khớp 1). Cả hai phần tử tích lũy năng lượng đều có nhân quả tích phân. Điều đó chỉ ra rằng các trạng thái đối với I (khối lượng) và C (lò xo) sẽ tham gia vào các biến trạng thái của hệ. Quy trình này đảm bảo vec tơ trạng thái cỡ tối thiểu, trong trường hợp này nó có bậc hai (hệ bậc hai). Hình 9.24 chỉ ra đồ thị kết nối được chú thích đầy đủ , với các biến lực-vận tốc ghi nhãn mỗi bộ kết nối. Trạng thái cho phần tử I là mô men động lượng, trong trường hợp này mô men động lượng tịnh tiến của khối lượng p8. Đối với phần tử C biến dịch chuyển là trạng thái z5, ở đây biểu diễn thay đổi chiều dài của lò xo. Vec tơ trạng thái là .
Hình 9.25 Ví dụ mô hình dao động đứng trong mô hình treo một góc xe ô tô với phần tử treo chủ động. Ví dụ này xây dựng trên mô hình khối lượng-lò xo-giảm chấn đơn giản, và chỉ ra tích hợp cơ cấu chấp hành trong cấu trúc mô hình đồ thị kết nối
Mô hình toán học có thể rút ra bằng cách sử dụng đồ thị kết nối này, tập trung vào các phần tử tích lũy năng lượng độc lập. Định luật tốc độ (xem bảng 9.4 và 9.5) đối với mỗi phần tử tích lũy năng lượng trong nhân quả tích phân cấu tạo một phương trình trạng thái vi phân thường cấp một đối với hệ này. Để thiết lập các phương trình này, vế phải của mỗi định luật tốc độ phải là một hàm chỉ của trạng thái hoặc các đầu vào cho hệ này. Quá trình này được tóm tắt trong bảng trên hình 9.24. Chú ý rằng ví dụ này giả thiết các mối quan hệ cấu tạo tuyến tính đối với các phần tử này, nhưng rõ ràng rằng trong quá trình này điều đó không nhất thiết. Tất nhiên, trong một số trường hợp tính phi tuyến làm phức tạp sự phân tích cũng như quá trình mô hình hóa trong cách khác.
Treo chủ động một góc xe ô tô: Phương pháp đồ thị kết nối
Hệ khối lượng-lò xo- giảm chấn đơn giản tạo nên một cơ sở cho xây dựng mô hình phức tạp hơn. Một mô hình đối với dao động đứng của một góc xe ô tô được chỉ ra trên hình 9.25. Mô hình đồ thị kết nối minh họa việc sử dụng mô hình khối lượng-lò xo- giảm chấn, mặc dầu có một số sự thay đổi cần thiết. Trong trường hợp này, nền chuyển động với vận tốc bằng vận tốc đứng mặt phân cách giữa đường và lốp xe (cái đó đòi hỏi hiểu biết về độ cao địa hình tại khoảng cách di chuyển và tốc độ dài của xe). Hướng công suất đã thay đổi trên nhiều bộ kết nối với nhiều công suất dương hướng từ đường đến hệ treo.
Hệ treo chủ động được cách ly để minh họa tốt hơn xem mô hình hóa đồ thị kết nối giúp cho phương pháp mô đun để nghiên cứu các hệ phức tạp như thế nào. Thuận lợi nhất là mô hình này đồng nhất quan hệ nhân quả đòi hỏi tại giao diện với sự treo chủ động, định rõ rằng vận tốc tương đối là một đầu vào nhân quả, và lực là đầu ra nhân quả của hệ treo chủ động. Lực chủ động được dùng để cấu thành lực bằng và ngược chiều trên các phần tử treo và không treo.
Sự ấn định nhân quả nhận dạng bốn trạng thái (hai trạng thái mô men động lượng và hai trạng thái dịch chuyển của lò xo). Bốn phương trình trạng thái bậc nhất có thể được rút ra khi dùng các định luật vận tốc của mỗi một phần tử tích lũy năng lượng độc lập (C5, I8, C12, I15 ). Tại điểm này, phụ thuộc vào các mục tiêu phân tích, hoặc là các phương trình phi tuyến được rút ra (nó có thể chứa lực treo chủ động phụ thuộc vào vận tốc đầu vào), hoặc là phương trình tuyến tính hóa có thể được phát triển và các phương pháp trở kháng được ứng dụng để rút ra hàm truyền một cách trực tiếp.
Hình 9.26 Đường đại số trong một mô hình tải đơn giản
Ghi chú một số khó khăn trong những phương trình dẫn xuất.
Hai tình huống chung dẫn đến những khó khăn trong việc phát triển mô hình toán học. Những vấn đề này phát sinh với bất kỳ phương pháp nào và không rõ ràng trong các đồ thị kết nối. Cả hai điều này dẫn đến một tình huống cần phương trình đại số phụ thêm trong phương trình dẫn xuất, và nó có thể không dễ dàng hoàn thành trong dạng đóng. Có vài cách thay đổi mô hình để loại bỏ những vấn đề này, nhưng nó có thể đưa thêm ra những bài toán phụ. Hai bài toán là (1) nhân quả phát sinh, (2) và những vòng lặp đại số. Cả hai vấn đề đều có thể tìm thấy trong ấn định nhân quả để bài toán có thể tìm ra trước khi tiêu tốn quá nhiều thời gian
Việc xuất hiện nhân quả phát sinh có thể sử dụng bảng 9.1 để mô tả trong đồ thị kết nối. Vấn đề là, trạng thái của một phần tử lưu trữ năng lượng (I hoặc C) phụ thuộc vào hệ chứa nó, điều này ngụ ý rằng không cần giải phương trình vi phân để tìm trạng thái. Cần thấy rằng vẫn cần tính toán hiệu ứng phản hồi mà hệ thống bắt phần tử đưa vào trạng thái đã cho. Ví dụ, một khối lượng chuyển động với vận tốc V, chúng ta biết trạng thái năng lượng của nó , lực quán tính được tính, . Rất khả thi trong việc giải lại bài toán này bằng đại số với hiệu ứng của phần tử này ( mức độ khó phụ thuộc vào sự phức tạp của hệ). Thỉnh thoảng, các trạng thái phụ thuộc phát sinh do hệ không được mô hình hóa chi tiết và đầy đủ. Ví dụ, chèn vào giữa hai bánh răng một compliance, sự phụ thuộc bị loại bỏ. Giá duy nhất phải trả là sự đưa thêm một trạng thái. Một trở ngại nghiêm trọng của cách tiếp cận này sẽ xuất hiện nếu compliance nhỏ, do đó phải đưa ra bài toán số về độ cứng ( với những thủ tục giải toán số hiện đại, thậm chí bài toán này có thể bỏ qua). Có một cách khác để giải bài toán nguyên nhân phát sinh trong hệ cơ học là dùng cách tiếp cận Lagrangian cho các mô hình hệ cơ học. Điều này sẽ được nói đến trong phần 9.7.
Một khó khăn khác có thể phát sinh khi phát triển hệ phương trình khả giải là sự xuất hiện của một vòng lặp đại số. Những vòng lặp đại số liên quan rất dễ sinh rađược tạo ra tương đối dễ dàng, đặc biệt trong các sơ đồ khối mô hình. Thật vậy, những vòng lặp đại số thường xuyên phát sinh do những quyết định trong lập mô hình, và ở cách này, một nguyên nhân của đồ thị kết nối cung cấp sự phản hồi nhanh cảnh báo khả năng giải quyết của hệ thống. Vòng lặp đại số ngụ ý rằng có một cách tùy ý để tính toán mô hình, và cách này tự khám phá khi một quyết định tùy ý được đưa ra trong sự gán nguyên nhân cho một phần tử R[3] .
Ví dụ, xem xét mô hình Thevenin trong hình 9.26(a), mô hình này sử dụng một effort source và một phần tử kháng để mô hình một effort-flow ( trạng thái bền vững) đường cong đặc trưng, như đường cong lực xoắn- tốc độ của một động cơ hay mô tơ hoặc đường cong lực-vận tốc của một cơ cấu chấp hành tuyến tính. Một đặc tính điển hình trình bày trong hình 9.26(b). Khi một kháng tải đặt lên điểm này như hình 9.26(c), mô hình là đại số thuần túy. Khi nguyên nhân được gán vào, lưu ý rằng sau khi áp dụng hiệu ứng nguyên nhân lên liên kết 1, có hai phần tử kháng tồn tại. Việc gán nguyên nhân là tùy ý, lời giải đòi hỏi phân tích những quan hệ đại số với điểm họat động bằng cách áp dụng đồ thị như hình 9.26(d).
Đây là một ví dụ đơn giản để chỉ ra cách dùng đồ thị quan hệ tìm những vòng lặp đại số và giải pháp yêu cầu giải những mối quan hệ đại số. Trong những hệ phức tạp có thể khó dùng cách này. Một số trường hợp có thể thêm vào hay loại trừ những phần tử “ký sinh”, có nghĩa là những phần tử có thể bỏ qua do ảnh hưởng quá nhỏ. Dầu sao, những phần tử này có thể làm nhẹ đi những nguyên nhân ràng buộc. Trong khi điều này có thể quyết định bài toán, như trong trường hợp nguyên nhân rút ra, có những trường hợp như phần giới thiệu bài toán độ cứng số. Trong một số trường hợp, lời giả có thể tìm được bằng phương pháp năng lượng như trong phần kế tiếp.
9.5 Phương pháp năng lượng cho mô hình hoá hệ cơ học.
Phần này miêu tả các phương pháp sử dụng các hàm năng lượng để mô tả những phần tử mang năng lượng cơ bản trong những hệ cơ học. Một cách mô tả sự thu thập-lưu trữ năng lượng trong các phần tử trong trường đa cổng. Các phương pháp năng lượng có thể làm đơn giản hoá việc phát triển mô hình, cung cấp các phương tiện đạt được những mối liên hệ chủ yếu, và cũng là cơ sở cho việc lọai bỏ những vật chứa năng lượng phụ thuộc ( xem phần sau). Sự giới thiệu những phương pháp này đặt nền tảng cho hệ phương trình Lagrange trong phần 9.7 như một cách tiếp cận chủ yếu cho hệ phương trình rút ra hoặc trong tổ hợp các dạng đồ thị kết nối.
Các mô hình đa cổng
Những mô hình mang năng lượng và trở kháng trong phần 9.3 đã được tổng kết trong bảng 9.2, 9.4 và 9.5 như những phần tử đa cổng. Trong phần này, chúng ta xem xét việc sử dụng các phần tử đa cổng trong mô hình các hệ cơ học, và các phương pháp chung để lấy được các mối tương quan chủ yếu. Một cách tự nhiên,các phương pháp này áp dụng rất tốt cho những phần tử đơn cổng.
Một ví dụ về phần tử C với hai cổng như hình 9.12 được mô hình như một dầm công xôn có thể quay và dịch chuyển tại 1 đầu. Một phần tử hai cổng được dùng trong mô hình này bởi vì có hai cách độc lập để chứa thế năng trong dầm. Một điểm đặc trưng trong ví dụ này là mô hình dựa trên mối liên hệ giữa effort và các biến chuyển vị (trong trường hợp của phần tử dung kháng).Mô hình các phần tử đa cổng phát triển bằng cách này được phân loại như các trường hiện để phân biệt với các trường ẩn [17]. Các trường ẩn được định dạng bằng cách tập hợp các phần tử một cổng lưu trữ năng lượng với cấu trúc liên kết ( ví dụ, 1, 0 và phần tử TF) để nhận dạng phần tử đa cổng
Các trường hiện thông thường được rút ra bằng các định luật vật lý, dựa vào những hiểu biết về các tính chất vật liệu và hình học ảnh hưởng cơ bản đến mối quan hệ giữa các biến vật lý. Trong một vài trường hợp, các tính chất này có thể là hàm trạng thái, thật vậy, những trường hợp này đòi hỏi sự mô tả đa cổng, nó được sử dụng rộng rãi trong nhiều thiết bị thực tế, đặc biệt là các sensor và các cơ cấu tay máy. Mô hình đa cổng nên theo một căn bản chặt chẽ như được mô tả dưới đây.
Sự chặt chẽ với những quan hệ cấu thành
Các phần tử đa cổng lưu trữ năng lượng phải tuân theo hai hạn chế cơ bản mà nó cũng hữu dụng trong việc hướng dẫn rút ra những quan hệ cấu thành. Những mô tả về lưu trữ năng lượng được tổng kết trong bảng 9.4 và 9.5 chỉ ra rằng tồn tại một hàm trạng thái năng lượng, , với x là chuyển vị tổng quát hóa, q, phần tử dung kháng hay mô men tổng quát, p, phần tử quán tính (I). Với phần tử lưu trữ năng lượng đa cổng, đặc điểm kỹ thuật yêu cầu những đặc điểm sau [2, 3]
1. Tồn tại một luật tỷ lệ, , ở đây ui là nguyên nhân đưa vào cổng i.
2. Năng lượng lưu trữ trong một phần tử đa cổng xác định như sau.
(9.5)
3. Một sự hạn chế đầu tiên với quan hệ cấu thành đa cổng đòi hỏi nguyên nhân đưa ra bất kỳ cổng nào được cho bởi
(9.6)
với Fsi() là hàm đơn trị.
4. Sự hạn chế thứ hai với quan hệ cấu thành đa cổng đòi hỏi các mối quan hệ cấu thành tuân theo tính đảo Maxwell.
(9.7)
Rút ra các quan hệ cấu thành
Sự hạn chế đầu tiên với các quan hệ cấu thành, phương trình (9.6), việc thiết lập các quan hệ cơ bản thế nào để có thể rút ra cho một phần tử đa cổng nếu một hàm năng lượng được làm thành công thức. Sự hạn chế này định hình căn bản cho một phương pháp sử dụng nhiều trong những ứng dụng thực tế để tìm những mối quan hệ cấu thành từ các hàm năng lượng (ví dụ năng lượng biến dạng, cơ điện tử, v.v...). Những phương pháp này giả thiết rằng ít nhất một trong những quan hệ cấu thành cho một phần tử đa cổng chứa năng lượng được đưa ra. Do đó hàm năng lượng được thiết lập bằng phương trình (9.5), sau khi trao đổi tích phân và tổng.
(9.8)
Giả thiết yi là các hàm trạng thái đã biết,. Do phần tử là bảo toàn, bất kỳ trạng thái năng lượng nào cũng có thể đạt tới bằng một hướng thuận tiện khi với mọi . Điều này cho phép xác định E(x).
Để chứng minh, nghiên cứu cơ cấu bánh răng, thanh răng đơn giản như hình 9.27. Bánh răng có quán tính quay J quanh trục quay và thanh răng có khối lượng m. Dễ dàng tính được động năng trong trường hợp này. Bánh răng có vận tốc góc và thanh răng có vận tốc liên hệ với nhau bằng biểu thức với R là bán kính cơ sở của bánh răng. Nếu hệ được mô hình hóa trực tiếp, ta sẽ thấy một trong hai quán tính thành phần (bánh răng, thanh răng) sẽ là nguyên nhân rút ra. Có thể nói đó là mong muốn để liên kết hệ bằng cổng quay, . Để định dạng một phần tử đơn cổng I chứa thanh răng, động năng , sử dụng điều kiện liên kết viết lại, . Để tìm mối liên hệ cấu thành cho phần tử quay một cổng ta lấy đạo hàm , ở đây chúng ta có thể (định nghĩa) xác định mô men quán tính tương đương
Hình 9.27 Hệ thanh răng và bánh răng với mômen quay đầu vào. (b) Mô hình một chiều, chỉ ra khối lượng phụ thuộc. (c) Mô hình tương đương, bắt nguồn từ việc sử dụng nguyên lý năng lượng
Ví dụ hệ bánh răng, thanh răng minh họa một phương pháp cơ bản để làm giảm nguyên nhân rút ra, nó có thể được dùng để xây dựng các mô hình phần tử cơ bản lưu trữ năng lượng. Một vài bài toán có thể nảy sinh khi động năng phụ thuộc vào cấu hình của hệ. Trong trường hợp này,một phương pháp hệ thống sử dụng hệ phương trình Lagrange thích hợp hơn (xem phần 9.7).
Cách tiếp cận được trình bày ở đây để tìm ra những mối quan hệ cấu thành cũng giống như định lý Castigliano [6,9]. Định lý Castigliano dựa trên các hàm năng lượng biến dạng với các biến là lực hoặc mô men cũng như dùng các hàm đồng thế năng. Đặc biệt là tìm các kết quả chuyển vị (tịnh tiến, quay) và các hàm tác dụng (lực, mô men xoắn). Trong những trường hợp trên, các hàm này được tính bằng cách lấy đạo hàm riêng của các hàm đồng năng lượng theo lực và mô men. Định lý Castigliano rất thích hợp trong việc tìm các hàm lực-chuyển vị cho các cấu trúc dầm (xem [6]).
Thiết lập công thức sử dụng các hàm năng lượng để tìm những mối quan hệ cấu thành được dùng trong nhiều lĩnh vực khác, một vài tham khảo như Lyshevsky cho cơ điện tử, và Karnopp, Margolis, Rosenberg [17] ứng dụng trong mô hình đồ thị kết nối.
Kiểm tra các mối quan hệ cấu thành
Sự hạn chế thứ hai của các mối quan hệ cấu thành, phương trình (9.7) cung cấp một nền tảng để kiểm tra hay thử nghiệm nếu các mối liên hệ là đúng. Đây là một điều kiện đảo quy định một sự kiểm tra năng lượng bảo toàn trong mô hình phần tử lưu trữ năng lượng, và kiểm tra nhanh hệ cơ học tuyến tính để tìm ra hoặc ma trận quán tính hoặc ma trận độ cứng phải đối xứng.
Xem lại ví dụ dầm công xôn hai cổng trong hình 9.12 với chuyển vị nhỏ. Chuyển vị tại đầu dầm và góc lệch dưới tác dụng của lực và mô men xoắn có thể đưa vào (sử dụng các hệ số ảnh hưởng dẻo), có thể biểu diễn dưới dạng ma trận
Ở đây, C và K là các ma trận theo và ma trận độ cứng. Mối quan hệ cấu thành này thỏa mãn tính đảo Maxell khi . Phần tử hai cổng C được dùng để mô hình hóa hệ được trình bày trong hình 9.28(a) bao gồm một thanh chuông gắn cứng vào đầu dầm. Dưới tác dụng của biến dạng nhỏ, một đồ thị kết nối trình bày trong hình 9.28(b) được dựng lên. Nguyên nhân được áp dụng cho hệ này chỉ ra mỗi cổng của phần tử hai cổng C có nguyên nhân tích hợp. Trong phần tử lưu trữ năng lượng đa cổng, mỗi cổng độc lập với nguyên nhân được gán giống như các quy tắc với phần tử một cổng. Nếu một phần tử đa cổng được gắn nguyên nhân, một phần của hệ phương trình trạng thái bị nghịch đảo. Sự khó khăn đại số tốt nhất là tránh bằng cách thử khởi gán các nguyên nhân tích hợp lên tất cả các phần tử đa cổng trong mô hình nếu có thể.
Trong ví dụ này, khởi gán nguyên nhân lên phần tử I cũng là tích phân. Có bốn phần tử lưu trữ năng lượng độc lập, và ở đây có bốn biến trạng thái. Bốn phương trình trạng thái rút ra bằng các luật tỷ lệ như trong hình 9.28.
Hình 9.28: Mô hình dầm đỡ cứng một quả tạ:
(a) sơ đồ, (b) mô hình đồ thị liên kết dùng một C hai cổng để biểu diễn dầm.
Quả tạ được biểu diễn bằng khối lượng tịnh tiến, m, và một quán tính quay, J.
9.6 Động lực học vật rắn nhiều chiều
Sự mô hình các vật thể trong các hệ cơ học với giả thiết một vật thể rắn có thể quay và chuyển động tịnh tiến. Trong trường hợp này những tính chất động lực học phức tạp hơn nhiều so với chất điểm. Trong những phần trước, một vật thể rắn đơn giản đã được trình bày, và nó đặc biệt hữu dụng cho loại bài toán quay quanh một trục cố định.
Trong vật thể rắn, khoảng cách giữa hai phần tử khối lượng bất kỳ trên một vật rắn là không đổi. Trong một vài trường hợp, nó thuận lợi để xét sự phân bố liên tục của khối lượng trong khi ở một hệ các phẩn tử rắn riêng biệt khác được cố định với nhau dựa vào khái niệm bài toán Trong phần sau, các tính chất của vật rắn có thể tìm được bẳng sự tổng kết tất cả các phần tử rời rạc, các công thức tích phân được dùng với khái niệm khối lượng liên tục. Những khái niệm cơ bản cũng được dùng và dẫn xuất cho phân tích động lực học vật rắn. Sự mô hình hóa các hệ cơ khí giới hạn trong cơ học Newton khi vận tốc tuyến tính-mô men có quan hệ với nhau (năng lượng và đồng năng lượng bằng nhau).
Động học vật rắn
Phần này trình bày ngắn gọn những tính toán chuyển động ba chiều của vật rắn. Mục tiêu là đưa ra những phương pháp phân tích chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định và những phương pháp phân tích chuyển động tương quan của vật rắn sử dụng các trục quay và tịnh tiến. Những khái niệm này trình bày nền tảng để tìm hiểu những công thức phức tạp hơn. Mô tả véc tơ (ký hiệu bằng một mũi tên bên trên một ký tự, ) rất hữu dụng trong nghiên cứu các bài toán cơ bản. Dạng ma trận thích hợp hơn với những hệ vật rắn phức tạp. Những thảo luận mở rộng và các ví dụ có thể tìm ở những sách trình bày về động lực học (ví dụ [23]).
Vật thể quay quanh một điểm cố định
Những khái niệm cơ bản trình bày ở đây liên quan đến chuyển động của một vật rắn quanh một điểm cố định. Chuyển động cơ bản này chỉ ra rằng mọi điểm thuộc vật đều nằm trên một mặt một hình cầu có bán kính là khoảng cách từ điểm đó đến điểm cố định. Có thể nói vật rắn có chuyển động hình cầu.
Định lý Euler. Định lý Euler phát biểu rằng bất kỳ chuyển động nào thuộc vật có chuyển động hình cầu đều có thể biểu diễn như một sự quay quanh một trục đi qua tâm của chuyển động cầu. Trục này có thể gọi là trục định hướng của phép quay [26]. Ví dụ, hai chuyển động quay quanh hai trục khác nhau đi qua một điểm cố định thì tương đương với một chuyển động quay quanh một trục đi qua điểm cố định đó.
Phép quay hữu hạn. Nếu các phép quay sử dụng định lý Euler là hữu hạn, trình tự áp dụng là rất quan trọng do sự quay hữu hạn không tuân theo luật cộng véc tơ.
Phép quay vô hạn. Những phép quay vô hạn nhỏ có thể đưa vào véc tơ theo phương bất kỳ và nó được xem xét tổng quát khi xác định chuyển động vật rắn
Vận tốc góc. Một vật thể quay quanh một điểm cố định một góc có vận tốc góc có hướng tiếp tuyến với và được định nghĩa bằng đạo hàm theo thời gian. Nếu vật thể gồm hai chuyển động quay thành phần với vận tốc góc và, vận tốc góc tổng hợp của vật thể .
Gia tốc góc. Gia tốc góc của một vật là đạo hàm theo thời gian của vận tốc góc,. Trường hợp tổng quát, gia tốc góc không tiếp tuyến với vận tốc góc.
Chuyển động của điểm trong vật thể. Cho biết ,vận tốc của một điểm trong vật thể , với là véc tơ vị trí của điểm đó với điểm cố định mà vật quay quanh. Gia tốc của điểm được tính, .
Nhắc lại đạo hàm theo thời gian của vectơ trong hệ toạ độ
Trường hợp thông thường là chúng ta cần định nghĩa tỷ lệ thay đổi theo thời gian của véc tơ như véc tơ trong hình 9.29 liên quan tới hệ toạ độ khác. Chúng ta có thể định nghĩa với các toạ độ xa, ya, za, nhưng chúng ta cần tìm các giá trị x0, y0, z0 của nó. Véc tơ được biểu diễn trên các trục xa, ya, za với các véc tơ đơn vị như sau.
Hình 9.29 Cần tìm đạo hàm theo thời gian của liên quan đến các trục x0, y0, z0, giá trị của nó được cho trong hệ tịnh tiến-quay xa, ya, za
Để tìm tỷ lệ thay đổi theo thời gian, ta nhận ra rằng trong chuyển động quy chiếu, đạo hàm theo thời gian của là.
Hướng của các véc tơ đơn vị liên quan đến các trục x0, y0, z0chỉ phụ thuộc vào góc quay Ω vì
nên
(9.9)
Mối liên hệ này không chỉ hữu dụng cho việc tính toán các đạo hàm mà còn cho cả việc công thức các đồ thị kết nối. Điều này được trình bày trong phần “Động lực học vật rắn”
Chuyển động của vật thể liên quan đến hệ toạ độ
Các trục toạ độ tịnh tiến
Gốc của các trục toạ độ xa, ya, za cố định trên vật thể tại A như hình 9.30(a) và trượt không quay với các trục x0, y0, z0 với vận tốc và gia tốc đã biết. Vật thể rắn trong không gian ba chiều có vận tốc góc và gia tốc góc.
Chuyển động của điểm B tương quan với A. Chuyển động của điểm B tương quan với A giống như chuyển động quanh một điểm cố định. Nên và .
Hình 9.30 Chuyển động tổng thể của một vật rắn (a) vật rắn với hệ toạ độ tịnh tiến (b) vật rắn với hệ toạ độ tịnh tiến và quay
Chuyển động của điểm B với O. Với các trục chuyển động tịnh tiến, không quay, vận tốc và gia tốc của điểm B so với gốc O rất đơn giản, và
(9.10)
(9.11)
Các trục tọa độ tịnh tiến và quay
Một cách tổng quát để mô tả chuyển động trong không gian ba chiều của vật thể rắn bằng việc sử dụng hệ tọa độ quay và tịnh tiến so với hệ trục thứ hai, như hình 9.30 (b). Các véc tơ vị trí xác định điểm A và B trong vật thể tương quan với x0, y0, z0 và các trục xa, ya, za có vận tốc góc và gia tốc góc . Vị trí của điểm B như sau
(9.12)
Vận tốc và gia tốc được tính theo đạo hàm trực tiếp.
(9.13)
(9.14)
Với (vB/A)a và (aB/A)a là vận tốc và gia tốc của điểm B tương quan với A trong hệ trục xa, ya, za.
Những phương trình trên được áp dụng trong chuyển động phẳng của của vật rắn với và có hướng không đổi. Trong không gian ba chiều, phải được tính theo phương trình (9.9).
Dạng ma trận và chuyển hệ tọa độ
Một véc tơ trong không gian ba chiều được biểu thị trên hệ tọa độ thuận xa, ya, za, , có thể trình bày như sau.
ở đây, các phần tử của véc tơ cột biểu hiện hướng của véc tơ trên các trục tọa độ. Ký hiệu Aa là véc tơ cột tương quan với xa, ya, za. Có thể biểu diễn véc tơ trong hệ tọa độ thuận khác xb, yb, zb bằng ma trận chuyển.
(9.15)
với là ma trận 3x3.
(9.16)
Các phần tử của ma trận này là các cosin của góc giữa các trục tọa độ tương ứng. Ví dụ, czayb là cosin của góc giữa za và yb. Đây là ma trận quay và trực giao.
và với hệ tọa độ thuận, Cab = +1.
Góc biểu diễn của phép quay
Sáu bậc tự do cần thiết để mô tả chuyển động tổng quát của vật rắn được đặc trưng bằng ba bậc tự do tịnh tiến và ba bậc quay. Mục đích ở đây là mô tả phép quay.
Định lý Euler (11) chứng minh rằng chỉ cần ba thông số xác định phép quay. Hai thông số định nghĩa trục quay và một thông số xác định góc quay quanh trục đó. Ba thông số này xác định ba bậc tự do của vật rắn. Ba thông số quay này giúp xây dựng ma trận quay . Sau đây ta thảo luận về việc xây dựng ma trận quay hay ma trận chỉ hướng.
Phép quay tổng quát. Các véc tơ đơn vị của hệ trục a, có thể chuyển sang hệ trục b, . Có thể chỉ ra rằng ma trận cosine chỉ hướng có thể xây dựng theo công thức [30]
(9.17)
với là ma trận đồng nhất, là véc tơ đơn vị, song song với trục quay, là góc quay quanh trục đó [30]. Trong mối tương quan này, là ma trận phản đối xứng định nghĩa như sau
Hình 9.31 Một phép quay cơ bản với góc quanh trục x
Các phần tử của có thể tìm bằng cách khai triển công thức trên, sử dụng ta được
(9.18)
Giá trị của công thức này là chứng tỏ rằng có những trục chính đặc trưng bởi và các góc quay xác định hướng của vật thể. Những phép quay này mô tả các biến góc cổ điển bằng các phép quay cơ bản, và có thể đưa ra hai trường hợp đặc trưng và thiết thực, được tạo thành từ hai trục quay riêng biệt liên tiếp.
Các phép quay cơ bản. Ba phép quay cơ bản được tạo thành khi trục quay ( định nghĩa bằng véc tơ riêng ) trùng với một trong ba véc tơ cơ sở xác định hệ tọa độ. Ví dụ, định nghĩa trục quay x, như hình 9.31, một phép quay cơ bản có ma trận quay,
Hai phép quay cơ bản quanh các trục y, z như sau.
Ba ma trận quay cơ bản này có thể dùng liên tiếp để định nghĩa ma trận cosin chỉ hướng, ví dụ.
và các ma trận quay cơ bản và ma trận cosin chỉ hướng là trực giao,
ở đây, là ma trận đơn vị. Do đó, nghịch đảo của ma trận quay hay ma trận tịnh tiến có thể tìm bằng nghịch đảo của .
Hình 9.32 Định nghĩa góc Euler (Theo Goklstein[11])
Có thể chứng tỏ rằng tồn tại hai sự quay liên tiếp độc lập và nó đưa đến góc quay Euler nổi tiếng và góc quay Tait-Bryan hoặc Cardan.
Các góc Euler. Các góc quay Euler được định nghĩa bằng một chuỗi phép quay riêng biệt. Xét một hệ tọa độ thuận định nghĩa bằng các véc tơ cơ sở, x, y, z như hình 9.32(a). Chuỗi quay liên tiếp bao gồm các phép quay quanh các trục theo trình tự sau: (1) quanh trục z, (2) quanh xa, (3) quanh zb. Tập hợp các phép quay theo trình tự này được mô tả bằng các ma trận quay cơ bản sau,
các ma trận thể hiện các trục và các phép quay. Sử dụng các phép biến đổi này liên hệ với đại lượng trong x, y, z với trong xb, yb, zb,
ở đây như sau
(9.19)
Vì trực giao, chuyển đổi giữa hai hệ trục toạ độ là đơn giản khi ma trận đảo được tính bằng chuyển vị của (9.19).
Trong một vài ứng dụng, điều mong muốn là lấy được các góc đưa ra ma trận cosin chỉ phương. Do đó, nếu (3.3) được biết phần tử của , dễ dàng tìm được . Nhưng thật khó khăn khi nghiên cứu các góc quay nhỏ. Nếu tiến tới không, có sự suy biến trong khi giải tìm và , do đó xác định hướng của vật thể trở nên khó khăn. Bài toán cũng trở thành khó hiểu khi chuyển các vận tốc góc giữa các hệ toạ độ. Nếu bài toán tránh được trường hợp này ( ví dụ không tiến tới không) thì các góc Euler có thể dùng để giải. Trong nhiều ứng dụng không thể giải bằng bài toán này có thể theo những phương pháp khác, như phương pháp các thông số Euler sẽ được bàn tới.
Trong động lực học vật thể rắn cổ điển, được gọi là góc tiến động, là góc chương động và là góc quay. Mối liên hệ giữa đạo hàm theo thời gian của các góc Euler, , và vận tốc góc của vật thể được tính bằng [11]
(9.20)
ma trận chuyển, như sau.
Nhắc lại là suy biến tại điểm .
Các góc Tail-Bryan hoặc Cardan. Các góc Tail-Bryan hoặc Cardan được thiết lập khi ba phép quay liên tiếp trên ba trục khác nhau. Ở đây trình bày các phép quay liên tiếp dùng trong động lực học máy bay và ô tô. Những góc này được thiết lập theo trình tự sau: (1) quanh trục i( sự lệch hướng ), (2) quanh ya ( sự nhấp nhô ), (3) quanh trục đích xb ( sự lộn nhào ), a và b ký hiệu cho tầng thứ hai và ba trong một chuỗi liên tiếp ba tầng hoặc ba trục ( như đã sử dụng trong sự mô tả các góc Euler ). Những phép quay này hình thành ma trận chuyển như sau,
với
và ma trận chuyển hệ tọa độ đích với các góc Tait-Bryan là,
Một dạng tuyến tính hóa của rút ra từ các góc Euler, nó rất hữu dụng trong vài bài toán phân tích và điều khiển. Nó tồn tại bài toán suy biến trong trường hợp tiến đến .
Với các góc Tait-Bryan, ma trận chuyển giữa và như sau.
ma trận trên suy biến tại .
Các thông số Euler và Quaternion.
Các điều kiện suy biến trong các hệ tọa độ tịnh tiến với các góc Euler và Tait-Bryan có thể tránh được bằng cách sử dụng nhiều hơn một tập hợp tối thiểu các biến được tham số hóa ( trừ ba góc ). Tập hợp đáng chú ý nhất là các thông số Euler, hay là các đơn vị Quaternion. Có rất nhiều các khả năng, nhưng phương pháp bốn thông số này được áp dụng trong nhiều lĩnh vực, bao gồm động lực học tàu vũ trụ/máy bay, rô bốt và tính toán động học và động lực học. Thuật ngữ “quaternion” được Hamilton nói đến khoảng năm 1840, nhưng Euler phát minh và sử dụng các thông số Euler từ 70 năm trước đó. Các Quaternion được Goldstein [11] nói đến và dùng trong động lực học vật rắn và điều khiển cho đến cuối những năm năm mươi, đầu sáu mươi [13, 14]. Quaternion được ứng dụng rộng rãi trong điều khiển không gian [38] và hàng hải. Gần đây ( hơn 20 năm về trước ), những phương pháp này đã tìm được vị trí của nó trong điều khiển rô bốt [34] và tính toán động học và động lực học [14, 25, 26]. Tổng quát về quaternion và các thông số Euler được Wehage[37] nêu ra. Quaternion và sự quay tuần tự và vai trò của nó ứng dụng trong nhiều lĩnh vực, bao gồm cả cảm nhận và các đồ thị, là chủ đề trong cuốn sách của Kuipers[19]. Có một sự trình bày có thể hướng dẫn người đọc một lĩnh vực áp dụng. Tổng quan như sau.
Quaternion Quaternion được định nghĩa là tổng của một vô hướng, q0 và một véc tơ , hoặc
Tồn tại một môn đại số và giải tích đặc biệt để giải những đối tượng toán học kiểu này [7, 19, 37]. Sự liên hợp định nghĩa như sau .
Các thông số Euler. Các thông số Euler là các quaternion tiêu chuẩn hóa, do đó có cùng tính chất, đại số và giải tích. Một véc tơ riêng chính của phép quay có một trị riêng bằng 1 và xác định trục quay Euler ( xem định lý Euler và [11]), với góc quay . Véc tơ riêng , từ phương trình (9.17), ma trận chỉ hướng như sau
với là ma trận phản đối xứng. Các thông số Euler định nghĩa như sau.
Với
Các Quaternion tương quan và Ma trận chuyển hệ tọa độ. ma trận cosine chỉ phương với các thông số Euler như sau.
ở đây và là ma trận đồng nhất. Ma trận cosine chỉ phương với các quaternion.
Ta dễ dàng tìm được các quaternion và các phần tử của ma trận cosin chỉ hướng một cách độc lập bằng cách tích phân các vận tốc góc quanh các trục chính của vật thể. Có được các phần tử của ma trận cosin chỉ phương, ta có thể tìm được các quaternion và ngược lại. Quan tâm hơn về lý thuyết và ứng dụng, bạn đọc có thể đọc thêm thêm tài liệu tham khảo.
Các tính chất động lực học của vật thể rắn
Các 6thuộc tính quán tính
Mô men và tích của quán tính mô tả sự phân bố khối lượng trong vật thể tương quan với hệ tọa đội đã biết. Sự mô tả này tin cậy vào một hướng đặc biệt và hệ tọa độ quy chiếu. Giả thiết rằng người đọc quen thuộc với các tính chất cơ bản như khối lượng trung tâm, mục tiêu ở đây là những tính chất cần thiết để hiểu được chuyển động tổng quát của vật thể rắn và động lực học vật quay nói riêng.
Mô men quán tính. Vật thể rắn như trong hình 9.33 (a), mô men quán tính của một phần tử, dm đối với bất kỳ trục tọa độ nào được định nghĩa bằng tích của khối lượng phần tử và bình phương khoảng cách từ trục đó đến phần tử. Như hình vẽ, , sự phân bố mô men quán tính với trục x, Ixx của khối lượng dm như sau
Tổng mô men quán tính Ixx, Iyy và Izz được tính bằng tích phân biểu thức trên toàn bộ khối lượng m của vật thể. Ba mô men quán tính với ba trục x, y, z như sau
(9.22)
Ghi nhớ rằng các mô men quán tính được định nghĩa bằng bình phương khoảng cách và các phần tử có khối lượng hữu hạn luôn là các đại lượng dương.
Hình 9.33 Các tính chất vật rắn được xác định qua khối lượng được phân bố thế nào trong vật thể liên quan tới một hệ toạ độ lý thuyết. (a) vật rắn thường định rõ tính chất moment và tích quán tính. (b) vật thể rắn và các trục thường định rõ định lý trục song song và mặt phẳng song song
Tích quán tính. Tích quán tính của một phần tử vi phân dm được định nghĩa tương ứng với một tập hợp hai mặt phẳng trực giao như là tích của khối lượng phần tử và khoảng cách ngắn nhất giữa phần tử và các mặt phẳng. Ví dụ, tương ứng với mặt phẳng y-z và x-z ( z là trục chung của những mặt phẳng này ), sự phân bố của phần tử vi phân đến Ixy là dIxy và bằng dIxy = xydm.
Như mô men quán tính, bằng cách tích phân toàn bộ khối lượng vật thể cho mỗi cặp mặt phẳng, tích quán tính như sau
(9.23)
Tích quán tính có thể dương, âm hoặc bằng không, phụ thuộc vào dấu của hệ tọa độ định nghĩa các đại lượng. Nếu một hoặc cả hai cặp mặt phẳng trực hướng đối xứng với vật thể, tích quán tính sẽ bằng không. Một cách căn bản, các phần tử có khối lượng xuất hiện đối xứng trên những mặt phẳng này.
Các định lý về trục song song và mặt phẳng song song. Định lý trục song song có thể dùng để chuyển mô men quán tính của vật thể từ một trục đi qua khối tâm về một trục song song đi qua một điểm khác (xem thêm phần “Lưu trữ động năng”). Thông thường, các mô men quán tính được biết với các trục cố định thuộc vật thể, như hình 9.33(b). Nếu trọng tâm được xác định với các tọa độ (xG, yG, zG) theo các trục x, y, z, định lý trục song song có thể được dùng để tính mô men quán tính đối với các trục x, y, z như sau.
ở đây, ví dụ, (Ixx)a là mô men quán tính với trục xa đi qua trọng tâm. Chuyển các tích quán tính yêu cầu dùng định lý mặt phẳng song song
Tensor quán tính. Động lực học của vật thể quay dựa vào kiến thức về tính chất quán tính, nó hoàn toàn được xác định bằng chín thành phần trong tensor quán tính, sáu thành phần độc lập. Tensor quán tính như sau
và nó dựa vào vị trí xác định và hướng của các trục tọa độ. Với một vật thể rắn, một gốc và hướng của các trục tọa độ có thể xác định sao cho tensor quán tính là chéo hóa.
Hình 9.34 Vật rắn trong chuyển động tổng quát gắn với một hệ qui chiếu quán tính, x, y, z.
Hướng của các trục tọa độ này là các trục chính của mô men quán tính và các mô men quán tính chính Ix = Ixx, Iy = Iyy, Iz = Izz ( một cái sẽ là cực đại còn cái thứ 3 là cực tiểu). Trong một vài trường hợp, hướng này có thể được xác định bằng sự kiểm tra. Ví dụ, nếu hai trong ba mặt phẳng trực giao là mặt phẳng đối xứng, thì các tích quán tính bằng không, như vậy điều này sẽ xác định các trục quán tính chính.
Hướng của các trục chính có thể hiểu như một bài toán trị riêng và điều này cho phép bạn tìm được các hướng chính, như đã định nghĩa tensor quán tính theo hướng bất kỳ. Để biết chi tiết hơn về phương pháp này, xin xem thêm Crandall [8].
Mô men động lượng góc
Vật thể rắn trong hình 9.34, khái niệm hóa là tập hợp các phần tử i, có khối lượng m. Mô men góc đối với điểm A định nghĩa như sau.
Với là vận tốc đo được tương quan với quán tính khung. Do , nên
Tích phân trên toàn bộ khối lượng vật thể, tổng mô men góc của vật thể là
(9.24)
Phương trình này có thể sử dụng để tìm mô men góc đối với một điểm bằng cách đặt điểm A: (1) cố định, (2) tại trọng tâm, (3) tùy ý trong vật thể. Dạng tổng quát trong trường hợp 1 và 2.
Khi mở rộng dạng này theo ba thành phần x, y, z thì
cũng có thể mở rộng như sau
Biểu thức mô men và tích quán tính có thể định nghĩa ở đây, và biểu thức này dẫn đến ba thành phần mô men góc được viết dưới dạng ma trận
(9.25)
Lưu ý trong trường hợp các trục chính được xác định dẫn đến biểu thức đơn giản hơn
Điều này chứng tỏ rằng khi vật thể quay quanh một trục song song với trục chính, véc tơ mô men góc song song với véc tơ vận tốc góc. Trong trường hợp tổng quát thì điều này là không đúng (điều này đã nói ở cuối phần “ Các thuộc tính quán tính”).
Mô men góc đối với điểm bất kỳ, trường hợp 3 là kết quả của mô men góc đối với khối tâm (một véc tơ tự do ) và mô men tịnh tiến với khối tâm.
hoặc
với là véc tơ vị trí từ điểm tùy ý đến khối tâm G. Dạng này có thể mở rộng với các thành phần như phương tình (9.25).
Động năng của một vật rắn.
Phần này trình bày một vài dạng động năng của vật rắn, từ quan điểm mô phỏng đồ thị kết nối, động năng lưu trữ được mô tả bằng một phần tử I, phương trình (9.25) chứng minh rằng vật thể rắn có ít nhất ba cổng để lưu trữ năng lượng quay. Thêm vào ba bậc tự do tịnh tiến, một vật thể rắn có thể có đến sáu “cổng” độc lập lưu trữ năng lượng.
Một phần tử 3-cổng I có thể thay thế động năng quay trong trường hợp quay xung quanh một điểm cố định ( không tịnh tiến). Mối tương quan chủ yếu là phương trình đơn giản (9.25). Động năng như sau
với là mô men góc với một tensor quán tính xác định quanh một điểm cố định. Nếu các trục thẳng hàng với các trục chính, thì
Tổng động năng của một vật thể rắn vừa quay vừa tịnh tiến với mô men góc đối với trọng tâm như sau.
Trong đó
Động lực học vật rắn
Trình bày những thuộc tính quán tính, mô men động lượng góc và tịnh tiến, động năng của một vật rắn có thể mô tả động lực học vật rắn bằng việc sử dụng các phương trình chuyển động dựa trên định luật Newton.Các phương trình Euler cổ điển được giới thiệu ở đây và được dùng để chứng tỏ rằng sự công thức hoá đồ thị kết nối có thể dùng để tích hợp các phần tử của vật rắn vào mô hình đồ thị kết nối.
Những phương trình chuyển động cơ bản
Mô men động lượng tịnh tiến của vật rắn trong hình 9.30 , m là khối lượng, V là vận tốc khối tâm với ba thành phần liên quan đến hệ trục x0, y0, z0. Trong chuyển động ba chiều, lực lưới trên vật thể quan hệ với tỷ lệ thay đổi mô men theo định luật Newton,
Có thể viết như sau ( sử dụng phương trình (9.9)),
với liên quan đến hệ trục chuyển động xa, ya, za và là vận tốc góc tuyệt đối của các trục quay.
Một biểu thức tương tự cũng có thể viết cho tỷ lệ thay đổi mô men động lượng góc, nó liên quan đến mô men xoắn
với tương quan với hệ toạ độ chuyển động xa, ya, za
Để sử dụng những mối quan hệ này một cách hiệu quả, chuyển động của các trục xa, ya, za phải chọn sao cho phù hợp với bài toán. Sự lựa chọn này thường dẫn đến ba trường hợp liên quan đến vận tốc góc của vật.
1. . Nếu vật thể chuyển động tổng quát và các trục được chọn chuyển động với khối tâm, trường hợp này sẽ dẫn đến một tập hợp các phương trình đơn giản với , dù nó sẽ cần phải mô tả các thuộc tính quán tính của vật thể dưới dạng hàm của thời gian.
2. . Trong trường hợp này, các trục có vận tốc góc khác với vật thể, một dạng tiện lợi cho các vật là đối xứng quanh trục quay. Mô men và các tích quán tính sẽ là hằng số đối với các trục quay. Các phương trình trở thành
(9.26)
3. . Ở đây, các trục chuyển động với vật. Mô men và các tích quán tính liên quan đến các trục chuyển động là hằng số. Một trường hợp tiện lợi đặc trưng xuất hiện nếu các trục được chọn là các trục quán tính chính ( xem phần “Các thuộc tính quán tính”), nó đưa đến hệ phương trình Euler[4]
(9.27)
Hệ phương trình chuyển động này có thể dùng để xác định lực và mômen gây ra chuyển động của vật thể. Các sách động lực học [12, 23] cung cấp các ví dụ phân tích trường hợp này. Những điều này có thể xem như sáu cặp hệ phương trình vi phân phi tuyến thường (ODEs). Trường hợp 3 ( hệ phương trinh Euler) có thể giải trong trường hợp viết lại như sáu phương trình ODEs bậc nhất. Một lời giải số có thể được áp dụng. Các gói phần mềm tính toán hiện đại đều giải được hệ phương trình này. Trường hợp 2 đòi hỏi phải có kiến thức về vận tốc góc của các trục quay, .
Nếu chuyển động quay cùng với chuyển động tịnh tiến do các lực và các mô men xoắn thì phải có mô hình động lực học. Một vài trường hợp cần phải sử dụng dạng đồ thị kết nối. Đặc biệt nếu có các tay máy và các sensor và các hệ đa hoạt động khác kết hợp.
Hình 9.35 (a) Vận tốc góc của vật thể rắn tương ứng với các trục x,y,z. (b) Mẫu đồ thị kết nối của chuyển động theo hướng x. (c) Sự thực hiện hồi chuyển của ngẫu lực
Hình 9.36 (a) đồ thị kết nối cho chuyển dịch vật rắn (b) Đồ thị kết nối cho sự quay vật rắn
Công thức đồ thị kết nối vật thể rắn
Phụ thuộc vào sự quay của vật thể, có hai cặp vốn có của chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay có thể tổng quát hoá dưới dạng đồ thị kết nối. Xét trường hợp hệ phương trình Euler trong (9.27). Động lực học tịnh tiến theo phương x,
với , và là các lực ngoài tác động theo phương x. Phương trình này, tổng các lực được trình bày trong đồ thị kết nối, hình 9.35(b). Tất cả các lực này tác động với cùng vận tốc, Vx, đặc trưng bằng mối nối 1. Phần tử I tiêu biểu cho sự lưu trữ động năng của vật thể theo phương x. Thành phần lực trong hình9.35(b) gây ra vận tốc theo hướng y. Vy và thành phần vận tốc góc . Hiệu ứng vật lý này là hồi chuyển tự nhiên và có thể nắm bắt bằng vật xoay như hình 9.35(c). Lưu ý rằng đây là con quay điều chỉnh ( có thể xem như MGY) với một mô đun hồi chuyển ( xác minh rằng các đơn vị này là lực).
Sáu phương trình chuyển động (9.27) có thể trình bày lại dưới dạng đồ thị kết nối như hình 9.36. Lưu ý rằng hai đồ thị kết nối này có dạng vòng. Lần đầu được Karnopp và Rosenberg đưa ra [18], nắm bắt được hệ phương trình Euler một cách đầy đủ và đưa ra dạng đồ thị gợi nhớ cho chuyển động vật rắn. Hệ phương trình Euler có thể vẽ đơn giản theo các bước sau: (1) đặt 3 mối nối 1 thay cho các vận tốc góc quanh x, y, z (đánh dấu theo chiều kim đồng hồ) với các phần tử I, (2) giữa các mối nối I đặt một con quay được hiệu chỉnh bởi mô men quanh các trục được thay thế trực tiếp bằng mối nối I đối diện trong tam giác, (3) vẽ các mũi tên lực theo chiều kim đồng hồ. Bản phác thảo này cung cấp hệ phương trình Euler quy ước. Hệ phương trình tịnh tiến cũng dễ dàng vẽ được.
Hình 9.37 Xe hai bánh với một bánh đà chứa quán tính và cứng tiếp cận một đoạn dốc
Những mô hình đồ thị kết nối này minh họa cặp gắn kết thông qua điều chỉnh con quay. Ở đây có sáu phần tử I và mỗi phần tử đặc trưng cho một trạng thái năng lượng độc lập dưới dạng mô men [px, py, pz, hx, hy, hz] hoặc như một sự lựa chọn, sự phân tích có thể nhằm vào các vận tốc liên hợp [vx, vy, vz, ωx, ωy, ωz].
Nếu các lực, lực xoắn được xem như các đầu vào, thông qua đồ thị kết nối trình bày các Fx, Fy, Fz, Tx, Ty, Tz, từ đó bạn có thể thấy tất cả các phần tử I đều được tích hợp nguyên nhân và vật thể sẽ có sáu trạng thái độc lập mô tả bằng sáu phương trình vi phân bậc một.
Ví dụ: toa xe-bánh đà
Một ví dụ để trình bày cách đồ thị kết nối của vật rắn miêu tả cơ học căn bản rút ra từ phương trình (9.27) và cách mô hình hình học trực quan như trong hình 9.37. Bánh đà được gắn trong toa xe và quay theo hướng như trong hình. Các trục cố định của vật thể được gắn trên xe với quy ước hướng dương của trục z chỉ xuống đất ( thường dùng trong động lực học xe ). Toa xe tiến lên dốc, và câu hỏi ở đây là những lực nào tác dụng lên, và những khả năng nào sẽ xuất hiện, và những thông số, những biến nào phụ thuộc.
Đồ thị kết nối cho chuyển động quay của bánh đà ( giả thiết nó trội hơn hẳn trong bài toán này) được trình bày trong hình 9.37. Giả thiết mô men của bánh đà rất lớn, do đó chúng ta chỉ chú ý tới ảnh hưởng của nó. Tại mối nối 1 cho ωx, cho Tx = 0 và ωz quay theo hướng âm, bạn có thể thấy mô men xoắn hz ωxđặt lên hướng âm của trục x. Nó sẽ có khuynh hướng đẩy xe lăn về phía bên phải và các bánh xe sẽ tăng thêm lực pháp tuyến. Với mô hình đã trình bày, không khó khăn gì để thành lập một tập hợp đầy đủ hệ phương trình vi phân.
Sự cần thiết của các hệ tọa độ biến đổi
Trong ví dụ trên, giả thiết rằng các bánh trước của toa xe đặt lên dốc, bánh đà sẽ tác động trở lại do chuyển động tại gối đỡ. Quả thật, bánh đà gây ra mô men được truyền trực tiếp cho toa xe. Hệ phương trình và các đồ thị kết nối cơ bản được phát triển thuận lợi nế các lực, mô men xoắn tác dụng lên vật rắn đang quay quanh các trục (giả thiết cố định với vật).Hướng thay đổi, ý nói rằng cần thiết phải liên kết các hệ trục cố định trên vật hoặc các trục với các trục quán tính. Đây là sự hoàn thành với một hệ tọa độ biến đổi liên kết hướng vật thể vào một hệ tọa độ mà dễ dàng biết được chuyển động, lực tác dụng, ứng dụng đo đạc được và điều khiển có phản hồi.
Ví dụ: Động lực học mô men quay
Hình 9.38 (a) Roto công xôn với khớp linh hoạt và trục rắn (sau Vance [36]). (b) Đồ thị liên kết biểu diễn quay vật rắn của roto.
Hình 9.38(a) minh họa một rô to công xôn có thể xoay tròn. Đây là một ví dụ tốt để mô tả sự cần thiết sử dụng các hệ tọa độ biến đổi, và sử dụng các góc Euler trong quá trình mô hình hóa. Vật quay theo hình nón và được mô tả bằng góc . Một lực xoắn Ts thẳng hàng với trục đỡ z. x, y, z là hệ tọa độ quán tính. Đồ thị kết nối trong hình 9.38(b) thể hiện chuyển động của rô to, trình bày trong các trục cố định gắn với vật xb, yb, zb, đây là những trục chính của rô to.
Vấn đề đầu tiên ở đây là đồ thị kết nối đưa đến một công thức thuận tiện, rõ ràng. Lực xoắn Ts đưa ra mối liên quan với hệ quán tính x, y, z. Do đó cần phải biết mối quan hệ giữa chuyển động của mô tơ và hệ trục quán tính. Một vài vấn đề xuất hiện, bao gồm độ cứng của rô to liên quan đến góc . Những vấn đề này cần giải quyết bằng cách sử dụng các góc Euler liên hệ chuyển động trong vật thể cố định với hệ tọa độ quán tính và đưa thêm ra ba phương trình trạng thái cho .
Trong ví dụ này, thứ tự quay là (1) x, y, z ( quán tính) đến xa, ya za với quanh trục z, , (2) xa, ya, za sang xb, yb, zb với quanh trục xa, (3) quanh zb.
Điều quan tâm chính của chúng ta toàn bộ sự chuyển từ x, y, z ( quán tính) sang xb, yb, zb ( cố định trên vật). Theo cách này, chúng ta sử dụng các mối quan hệ trong phương trình (9.20) để lập mối quan hệ giữa các vận tốc góc và các vận tốc quán tính.
ở đây, b nhỏ ở bên trái phương trình là các vận tốc góc liên quan với các trục xb, yb, zb. Dạng đầy đủ và hoàn thành của đồ thị kết nối bao gồm cả các biến đổi này ( ví dụ, xem Karnoop, Margolis và Rosenberg [17]). Những mối nối 1 ở dạng hiện có thể dung để nhận dạng các mối nối vận tốc tại điểm có lực và mô men xoắn tác dụng. Ví dụ, tại một mối nối 1 cho , Ts được đặt vào. Một đồ thị kết nối được hoàn thành, đưa vào nguyên nhân sẽ dẫn đến các nhân quả tích hợp cho tất cả các phần tử I chịu lực và lực xoắn như các nguyên nhân đầu vào, một vấn đề với các góc Euler xuất hiện liên quan đến sự suy biến ( tại điểm ).
Một cách phân tích khác là sử dụng các phương trình Lagrange trong phần 9.7 và trình bày bởi Vnce [36] ( xem trang 292). Với những hệ nhiều vật, một công thức đa liên kết có thể có hiệu quả hơn và rõ ràng hơn cho những bài toán phức tạp ( xem Breedveld [4] hay Tiernego [4] và Bos [35]).
9.7 Hệ phương trình Lagrange
Thảo luận về những phương pháp năng lượng dựa trên việc rút ra những quan hệ cấu thành cho các phần tử đa cổng lưu trữ năng lượng và nó rất hữu dụng trong vài bài tập mô hình hóa. Trong những trường hợp mà điều kiện biên giữa các phần tử là holonomic và scleronomic (không chứa biến thời gian), các trường đa cổng ẩn có thể được lập ( xem chương 7 [17]). Điều lo ngại chính xuất hiện do sự phụ thuộc lưu trữ năng lượng, và những phương pháp nêu ra có thể có một lời giải trong vài trường hợp thực hành. Nhưng có rất nhiều hệ cơ học có cấu hình hình học phức tạp. Phần này trình bày hệ phương trình Lagrange áp dụng dễ dàng cho những cơ hệ này.
Có vài cách để giới thiệu, nhận được và sử dụng các phương pháp và khái niệm của hệ phương trình Lagrange. Phần tổng kết được trình bày dưới đây giới thiệu những khái niệm cơ sở, một sự rút ra hoàn hảo có thể tìm trong Lanczos [20] hay Goldstein [11]. Một sự rút ra sử dụng năng lượng và công suất ddowwcj trình bày bởi Beaman, Paynter và Longoria [3].
Hệ phương trình Lagrange cũng rất quan trọng vì nó cung cấp một cách duy nhất để mô hình hóa hệ từ những miền năng lượng khác nhau, giống như cách ứng dụng đồ thị kết nối. Sử dụng cách hàm năng lượng vô hướng mà cực tiểu hình học là lý do được nhiều người sử dụng. Phần trình bày dưới đây nói về những lợi ích chính của cách tiếp cận Lagrange mà nó rất hữu dụng trong mô hình hóa các hệ cơ học để làm mạnh thêm cách tiếp cận đồ thị kết nối. Một cách tiếp cận kết hợp những điểm mạnh của cả hai phương pháp và đưa ra phương pháp luận cho những hệ cơ học phức tạp trong một hệ thống hiện đại.
Cách tiếp cận cổ điển
Một phương pháp cổ điển để rút ra được hệ phương trình Lagrange đòi hỏi khái niệm về chuyển vị ảo và công ảo để phân tích các hệ tĩnh ( xem Goldstein [11]). Để bắt đầu, hệ phương trình Lagrange có thể dùng cho hệ động bằng cách sử dụng các nguyên lý Hamilton hay D’Alembert.
Ví dụ, một hệ gồm các chất điểm, định luật Newton thứ hai cho khối lượng I, Fi = pi được viết lại, Fi – pi = 0. Lực được chia làm hai thành phần, lực tác dụng và lực liên kết, Fi = Fi(a) + fi. Nguyên tắc công ảo được ứng dụng lên toàn hệ, lưu ý lực liên kết không sinh công nên loại bỏ dẫn đến nguyên lý D’Alembert [11]
(9.28)
Điểm chính ở đây là mối quan hệ chỉ ra rằng: (a) lực liên kết không xuất hiện trong các phương trình (b) cần có những mối quan hệ chuyển đổi, trong trường hợp này, N hệ trục tọa độ của các chất điểm, ri và một tập hợp n hệ tọa độ tổng quát hóa, qi độc lập với nhau ( với các điều kiện hô lô nôm).
(9.29)
Chuyển về hệ tọa độ tổng quán, nguyên lý D’Alembert’s trở thành [11].
(9.30)
T là động năng của hệ, Qi là các lực thành phần.
Nếu các mối quan hệ chuyển bị giới hạn trở thành hôlônôm, các điều kiện biên là ẩn, và các tọa độ độc lập là đảm bảo. Một cách tuần tự, tất cả các thành phần trong phương trình (9.30) sẽ triệt tiêu.
(9.31)
Những phương trình này trở thành hệ phương trình Lagrange theo cách phát sau. Hạn chế tất cả các lực tác dụng Qj được rút ra từ một hàm vô hướng và
Định nghĩa L = T – U và thay thế vào phương trình (9.31) để tìm được n phương trình Lagrange.
(9.32)
Công thức này đạt được n phương trình ODEs bậc hai với các biến qi.
Phân chia các hiệu ứng không bảo toàn
Sự rút ra hệ phương trình Lagrange giả thiết là hệ bảo toàn, nghĩa là tổng động năng và thế năng bằng hằng số. Đây không phải là một giả thiết tới hạn do sự tiến hành của mắt lưới trình bày một cách lấy ra các hiệu ứng không bảo toàn ( các đầu vào, sự phát tán), sau đó tổ hợp hệ thống. Các hiệu ứng không bảo toàn có thể tích hợp vào mô hình trên cơ sở các phương trình Lagrange sử dụng các Qi’. Liên kết những lực này với hệ tọa độ tổng quát để ngụ ý công đã được thực hiện, và nó có thể theo những nguyên tắc năng lượng bảo toàn. Các lực tổng quát hóa liên kết với một tọa độ qi và lực ngoài được tính từ công thức , Wi là công của các ngoại lực gây nên chuyển vị .
Sự mở rộng cho cơ hệ phi hô-lô-nôm
Trong trường hợp các điều kiện phi hôlônôm, các tọa độ qi là phụ thuộc. Giả thiết có m ràng buộc phi hô-lô-nôm . Nếu hệ phương trình có thể viết dưới dạng
(9.33)
l chạy tới m, hệ phương trình Lagrange được thiết lập với toán tử Lagrange, . Ta có n tọa độ qk nhưng n phương trình Lagrange viết dưới dạng [11]
(9.34)
Bây giờ có n toán tử Lagrange chưa biết , cần phải giải thêm m phương trình.
(9.35)
Thành phần có thể hiểu là các lực liên kết tổng quát. Vẫn còn các điều kiện không làm việc. Hệ phương trình Lagrange cho các điều kiện phi hô-lô-nôm có thể dùng để nghiên cứu các hệ hô-lô-nôm, và những phân tích này sẽ cung cấp một giải pháp cho các lực liên kết thông qua đánh giá các nhân tử Lagrange. Sử dụng hệ phương trình Lagrange với các nhân tử Lagrange cho các mô hình phức tạp, các hệ nhiều vật được Haug mô tả [14]
Các cơ hệ nhỏ sử dụng phương pháp Lagrange
Phần trước tổng kết phần thành lập và áp dụgn hệ phương trình Lagrange. Khi thiết lập các mô hình cho các hệ cơ học, những phương pháp này là rất tốt. Hệ phương trình Lagrange được nhìn nhận là cách tiếp cập hữu hiệu để giải các hệ cơ học phức tạp, gồm cả hệ với các ràng buộc. Phần năng lượng cơ sở cũng làm cho phương pháp hấp dẫn trên quan điểm xây dựng các mô hình năng lượng. Hệ phương trình Lagrange cũng được dùng rộng rãi trong mô hình cơ điện tử. Ví dụ, với hệ bảo toàn, dễ dàng có được lời giải mà không cần quan tâm đến lực. đặc biệt, các hiệu ứng không bảo toàn có thể xử lý bên ngoài sự bảo toàn động lực học. Phát triển hệ phương trình chuyển giữa các hệ tọa độ, x, dùng để mô tả hệ và các biến độc lập q, giúp có một công thức cực tiểu. Dầu sao, trong một số trường hợp, nó gây ra sự mất bên trong nguyên nhân và kết quả mà nó rõ ràng hơn trong các cách tiếp cận khác. Và gánh nặng đại số có thể trở thành quá mức. Dầu sao, đây cũng là cách phân tích cơ bản, cùng với sự trợ giúp của các chương trình xử lý symbolic, những khó khăn về đại số không còn là gánh nặng.
Trong phần này, những thuận lợi của cách tiếp cận Lagrange được dùng cùng với đồ thị kết nối. Khái niệm và các công thức là cổ điển, tuy nhiên, sự diễn giải bằng đồ thị đưa vào bên trong quy định. Do đó, việc sử dụng các đồ thị kết nối đảm bảo một công thức chắc chắn với nguyên nhân mà bảo toàn động năng bằng các hàm năng lượng phụ thuộc vào các đầu vào, kiểu điển hình phát sinh từ động lực học không bảo toàn. Phần sau là sự phân phối hiệu quả với việc sử dụng phương pháp đồ thị kết nối, và cách tiếp cận tổ hợp là có tính hệ thống và đạt được hệ phương trình vi phân bậc nhất hơn là các phương trình ODEs bậc hai trong cách cách tiếp cận cổ điển. Trong một vài trường hợp, cách tiết cập tổ hợp dễ dàng tiếp cận với những mô hình mà gây ra những khó khăn cho cách tiếp cận trực tiếp một cách độc lập.
Một mô hình con áp dụng đồ thị kết nối Lagrange minh họa các phần tử được tổng kết bằng đồ thị kết nối có chữ trong hình 9.39. Những phần tử chủ yếu được nhận dạng như sau: (a) lưu trữ năng lượng bảo toàn từ các hàm động năng và thế năng (b) các mối quan hệ chuyển đổi năng lượng bảo toàn (c) kết nối các phần tử phi Lagrange và không bảo toàn. Lưu ý rằng trong khía cạnh không bảo toàn của mối quan hệ chuyển, có m tọa độ trong mô hình nhưng chúng không độc lập với nhau. Các mối quan hệ chuyển đổi bảo toàn giảm các hệ tọa độ này còn một tập hợp n tọa độ độc lập qi kết hợp với mỗi tọa độ độc lập hay vận tốc . Có một sự tích lũy liên kết của động năng và thế năng có thể trình bày bằng cặp IC trong hình 9.40(a) [16]. Một sự lựa chọn là phần tử đơn C dùng để biểu diễn tất cả sự tích lũy cặp năng lượng [3]. khi con quay có mô đun bằng 1. Trong cả hai trường hợp, cấu trúc này chứng tỏ rằng có một mối nối chung liên kết với mỗi tọa độ độc lập. Nhắc lại hiệu ứng tại một mối nối -1, và tại mối nối thứ i,
(9.36)
Hình 9.39 Sơ đồ khối minh họa mô hình hệ con Lagrange
Hình 9.40 Sự hình thành cơ bản của liên kết luồng trong mô hình hệ con Lagrange. Lực tại liên kết 1 với biến số luồng độc lập thứ i, , biểu thị các phương trình Lagrange.
ở đây là mạng không bảo toàn effort tại là tổng quát hóa không bảo toàn effort sẽ được tìm trong hệ Lagrange, và là tỷ lệ thay đổi của mô men tổng quát thứ i. Những thuật ngữ này sẽ được trình bày ở phần sau. Hệ phương trình tổng effort đưa ra các phương trình ODEs bậc n bằng cách giải các . n phương trình khác cho các biến chuyển vị qi. Hệ phương pháp dưới đây theo như Beaman, Paynter và Longoria [3].
Hệ phương pháp xây dựng mô hình hệ con
Dẫn tới mô hình quán tính. Cô lập các phần bảo toàn của hệ thống và đảm bảo những liên kết là hô lô nôm. Mắt lưới này sẽ tìm ra các cảng cho hệ cần nghiên cứu, bao gồm các điểm trong hệ (các vận tốc đặc trưng) khi các lực và/hoặc các lực xoắn cần quan tâm tác động lên (ví dụ, tại các luồng liên kết) Các lực và mô men này đều không bảo toàn, hoặc chúng được xác định bằng các hệ ngoài. Ví dụ, lực trọng trường có thể cho vào trong hệ con Lagrange hoặc nó có thể được xem một cách hiển ạt một mối nối vận tốc tương ứng với chuyển động được mô hình bên ngoài hệ con Lagrange. Điều này sẽ được minh họa trong một ví dụ sau.
Xác định các biến chuyển vị tổng quát. Cách tiếp cận Lagrange, cần thiết phải xác định các biến định nghĩa cấu hình của hệ. Trong hệ cơ học, có nhiều chuyển động tịnh tiến và quay. Do đó, các biến này là đặc trưng liên kết với chuyển động hoặc chuyển động tương quan của vật thể. Để đơn giản hóa một một mô hình với một tập hợp hệ tọa độ độc lập tối thiểu, phát triển các mối quan hệ biến đổi giữa m vận tốc hoặc tổng quát hơn, các dòng và n dòng độc lập có dạng sau [3]
(9.37)
Ma trận T(q) có thể phụ thuộc vào q. Điều này có thể hiểu như sau, trong mô hình đồ thị kết nối, như một mối quan hệ biến đổi được điều chỉnh, q chứa các biến điều chỉnh. Các chuyển vị độc lập tổng quát q sẽ tạo thành các biến trạng thái của hệ con Lagrange.
Các mối quan hệ chuyển đổi thường được rút ra từ các điều kiện hô lô nôm, và từ sự nghiên cứu hình học và động học căn bản. Ma trận T cỡ m x n và có thể không nghịch đảo được. Đồ thị kết nối được trình bày trong hình 9.41.
Thiết lập công thức hàm động năng. Đưa ra những mối quan hệ biến đổi, có thể trình bày tổng động năng của hệ con Lagrange bằng cách sử dụng các luồng biến độc lập . Đầu tiên, động năng có thể được viết bằng cách sử dụng ( thường đơn giản hơn) hoặc . Sau đó các mối liên hệ trong phương trình (9.37) được dùng để chuyển các hàm động năng sao cho có thể biểu diễn như hàm của các biến và , . Ngắn gọn, điều này có thể chỉ ra trong ký hiệu, hoặc chỉ viết . Ví dụ, một hàm động năng phụ thuộc vào được viết bằng ( nếu số lượng biến lớn, chắc chắn quy ước này không được dùng).
Hình 9.41 (a)Biểu diễn bằng đồ thị kết nối của mối liên hệ chuyển dịch. (b) ví dụ trong trường hợp m=3 và n=2
Xác định các biến mô men tổng quát. Với hàm động năng với các biến độc lập , các mô men tổng quát có thể xác định như sau [3,20]
(9.38)
dấu ngã được dùng để phân biệt những biến mô men này với các biến mô men được xác định chặt chẽ bằng các nguyên tắc tổng kết trong bảng 9.5. Ghi nhớ rằng những biến mô men tổng quát này có thể là hàm của các chuyển vị ( ví dụ,chúng có thể phụ thuộc).
Lập công thức hàm thế năng. Tổng quát, một hệ được nghiên cứu bằng phương pháp Lagrange sẽ chứa thế năng, động năng. Và hàm thế năng U có thể biểu diễn là hàm của các biến phụ thuộc x. Sử dụng các mối quan hệ chuyển đổi trong phương trình (9.37), biểu thức sẽ là hàm của q hay U = U(q) = Uq. Trong các hệ cơ học, hàm này thường được lập bằng nghiên cứu năng lượng lưu trữ trong những thành viên theo, hoặc năng lượng của trọng trường. Trong những trường hợp này, rất dễ dàng trình bày hàm thế năng với các biến chuyển vị q.
Rút ra những Effort bảo toàn tổng quát. Một Effort bảo toàn có thể tìm từ biểu thức.
(9.39)
với chỉ số q được dùng như những Effort bảo toàn. Thành phần đầu tiên bên phải thay cho một ảnh hưởng của sự độc lập của động năng với chuyển vị, thành phần thứ hai được xem như thế năng rút ra từ effort.
Nhận dạng và biểu diễn các dòng mạng năng lượng trong hệ con Lagrange. Tại đầu vào của hệ con Lagrange trong cạnh không bảo toàn, năng lượng đầu vào có thể biểu diễn bằng các effort và các dòng tích số. Vì các quan hệ chuyển đổi là bảo toàn năng lượng, dòng năng lượng này phải bằng dòng năng lượng tại cạnh bảo toàn.
(9.40)
ở đây, thành phần Eq là effort không bảo toàn được chuyển sang các hệ tọa độ q. Có thể viết như sau
(9.41)
Tổng kết phương pháp. Tất cả các thành phần của hệ con Lagrange có thể rút ra một cách hệ thống. Có một vài khó khăn có thể nảy sinh. Để bắt đầu, bước đầu tiên có thể yêu cầu một vài lập luận hình học, trong một vài trường hợp nó là một vấn đề mặc dù không phải là không vượt qua được. n phương trình mô men trạng thái cho hệ con Lagrange như sau
(9.42)
và hệ phương trình trạng thái cho qi phải tìm bằng cách đảo hệ phương trình mô men tổng quát (9.38). Trong vài trường hợp, n phương trình này là cặp đôi và phải giải đồng thời. Cuối cùng,có 2n phương trình trạng thái bậc một. Phần tử đồ thị kết nối mục tiêu như trong hình 9.42 có thể kết cặp với những hệ khác để xây dựng một mô hình hệ phức tạp.
Hình 9.42 Mô hình hệ con Lagrange
Lưu ý rằng để có được 2n phương trình tích hợp nguyên nhân, các effort ( lực và lực xoắn) nên xác định những nguyên nhân đầu vào cho các mối liên hệ chuyển đổi. Hơn nữa, mô hình hệ con này giả thiết chỉ có những điều kiện hô-lô-nôm. Điều này có thể xem như bị hạn chế, nó chỉ ra rằng, trong nhiều trường hợp thực hành, các ảnh hưởng vật lý dẫn đến những ràng buộc phi hô-lô-nôm có thể phân phối ra ngoài mô hình Lagrange, theo những ảnh hưởng tiêu tán, các cơ cấu chấp hành.
References
[1] Arczewski, K. and Pietrucha, J., Mathematical Modelling of Complex Mechanical Systems, Ellis Horwood, New York, 1993.
[2] Beaman, J.J. and Rosenberg, R.C., “Constitutive and modulation structure,” Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control (ASME), Vol. 110, No. 4, pp. 395–402, 1988.
[3] Beaman, J.J., Paynter, H.M., and Longoria, R.G., Modeling of Physical Systems, Cambridge University Press, in progress.
[4] Breedveld, P.C., “Multibond graph elements in physical systems theory,” Journal of the Franklin Institute, Vol. 319, No. 1–2, pp. 1–36, 1985.
[5] Bedford, A. and Fowler, W., Engineering Mechanics. Dynamics, 2nd edition, Addison Wesley Longman, Menlo Park, CA, 1999.
[6] Burr, A.H., Mechanical Analysis and Design, Elsevier Science Publishing, Co., New York, 1981.
[7] Chou, J.C.K, “Quaternion kinematic and dynamic differential equations,” IEEE Transactions on Robotics and Automation, Vol. 8, No. 1, February, 1992.
[8] Crandall, S., Karnopp, D.C., Kurtz, E.F., and Pridmore-Brown, D.C., Dynamics of Mechanical and Electromechanical Systems, McGraw-Hill, New York, 1968 (Reprinted by Krieger Publishing Co.,Malabar, FL, 1982).
[9] Den Hartog, J.P., Advanced Strength of Materials, McGraw-Hill, New York, 1952.
[10] Fjellstad, O. and Fossen, T.I., “Position and attitude tracking of AUVs: a quaternion feedback approach,” IEEE Journal of Oceanic Engineering, Vol. 19, No. 4, pp. 512–518, 1994.
[11] Goldstein, D., Classical Mechanics, 2nd edition, Addison-Wesley, Reading, MA, 1980.
[12] Greenwood, D.T., Principles of Dynamics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1965.
[13] Harding, C.F., “Solution to Euler’s gyrodynamics-I,” Journal of Applied Mechanics, Vol. 31, pp. 325–328, 1964.
[14] Haug, E.J., Computer Aided Kinematics and Dynamics of Mechanical Systems, Allyn and Bacon, Needham, MA, 1989.
[15] Kane, T.R. and Levinson, D.A., Dynamics: Theory and Applications, McGraw-Hill Publishing Co., New York, 1985.
[16] Karnopp, D., “An approach to derivative causality in bond graph models of mechanical systems,” Journal of the Franklin Institute, Vol. 329, No. 1, pp. 65–75, 1992.
[17] Karnopp, D.C., Margolis, D., and Rosenberg, R.C., System Dynamics: Modeling and Simulation of Mechatronic Systems, Wiley, New York, 2000, 3rd edition, or System Dynamics: A Unified Approach, 1990, 2nd edition.
[18] Karnopp, D. and Rosenberg, R.C., Analysis and Simulation of Multiport Systems. The Bond Graph Approach to Physical System Dynamics, MIT Press, Cambridge, MA, 1968.
[19] Kuipers, J.B., Quaternions and Rotation Sequences, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1998.
[20] Lanczos, C., The Variational Principles of Mechanics, 4th edition, University of Toronto Press, Toronto, 1970. Also published by Dover, New York, 1986.
[21] Lyshevski, S.E., Electromechanical Systems, Electric Machines, and Applied Mechatronics, CRC Press, Boca Raton, FL, 2000.
[22] Matschinsky, W., Road Vehicle Suspensions, Professional Engineering Publishing Ltd., Suffolk, UK, 1999.
[23] Meriam, J.L. and Kraige, L.G., Engineering Mechanics. Dynamics, 4th edition, John Wiley and Sons, New York, 1997.
[24] Mortensen, R.E., “A globally stable linear regulator,” International Journal of Control, Vol. 8, No. 3, pp. 297–302, 1968.
[25] Nikravesh, P.E. and Chung, I.S., “Application of Euler parameters to the dynamic analysis of threedimensional constrained mechanical systems,” Journal of Mechanical Design (ASME), Vol. 104, pp. 785–791, 1982.
[26] Nikravesh, P.E., Wehage, R.A., and Kwon, O.K., “Euler parameters in computational kinematics and dynamics, Parts 1 and 2,” Journal of Mechanisms, Transmissions, and Automation in Design (ASME), Vol. 107, pp. 358–369, 1985.
[27] Nososelov, V.S., “An example of a nonholonomic, nonlinear system not of the Chetaev type,” Vestnik Leningradskogo Universiteta, No. 19, 1957.
[28] Paynter, H., Analysis and Design of Engineering Systems, MIT Press, Cambridge, MA, 1961.
[29] Roark, R.J. and Young, W.C., Formulas for Stress and Strain, McGraw-Hill, New York, 1975.
[30] Roberson, R.E. and Schwertassek, Dynamics of Multibody Systems, Springer-Verlag, Berlin, 1988.
[31] Rosenberg, R.M., Analytical Dynamics of Discrete Systems, Plenum Press, New York, 1977.
[32] Rosenberg, R. and Karnopp, D., Introduction to Physical System Dynamics, McGraw-Hill, New York, 1983.
[33] Rowell, D. and Wormley, D.N., System Dynamics, Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, 1997.
[34] Siciliano, B. and Villani, L., Robot Force Control, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA, 1999.
[35] Tiernego, M.J.L. and Bos, A.M., “Modelling the dynamics and kinematics of mechanical systems with multibond graphs,” Journal of the Franklin Institute, Vol. 319, No. 1–2, pp. 37–50, 1985.
[36] Vance, J.M., Rotordynamics of Turbomachinery, John Wiley and Sons, New York, 1988.
[37] Wehage, R.A., “Quaternions and Euler parameters—a brief exposition,” in Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Computer Aided Analysis and Optimization of Mechanical System Dynamics, E.J. Haug (ed.), Iowa City, IA, August 1–12, 1983, pp. 147–182.
[38] Wie, B. and Barba, P.M., “Quaternion feedback for spacecraft large angle maneuvers,” Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol. 8, pp. 360–365, May–June 1985.
[39] Wittenburg, J., Dynamics of Systems of Rigid Bodies, B.G. Teubner, Studttgart, 1977.
[1] Điều này là đúng với hầu hết các trường hợp. Các phần tử tích lũy năng lượng sẽ chỉ ra ở sau, có dạng nhân quả để dễ dàng mô tả bằng công thức.
[2] Suy ra rằng phần tử mô hình hồi chuyển là chính trong tất cả các loại hệ. Sự cần thiết đối với một phần tử như vậy để biểu diễn hiệu ứng con quay (gyroscop) trong các hệ cơ học được ghi nhận đầu tiên bởi Thomson và Tait vào cuối thế kỷ 19. Tuy nhiên, G.D. Birkhoff (1927) và B.D.H. Tellegen (1948) đã nhận ra một cách độc lập sự cần thiết của thành phần này trong phân tích và tổng hợp các hệ.
[3] Sự khởi gán tùy ý lên phần tử R không giống như sự tùy ý trong khởi gán tích phân hoặc đạo hàm nguyên nhân cho phần tử chứa năng lượng. Một “tùy ý” quyết định gán nguyên nhân tích hợp lên một phần tử chứa năng lượng đòi hỏi phải giải phương trình vi phân để tìm trạng thái cần quan tâm. Trong vòng lặp đại số, quyết định tùy ý đồng dạng cho việc gán nguyên nhân lên phần tử R ngụ ý rằng ít nhất một phương trình đại số theo bất kỳ hệ phương trình khác. Hay hệ thống được mô tả bằng hệ phương trình đạo hàm đại số (DAEs)
[4] Lần đầu tiên được phát triển bởi nhà toán học L. Euler người Thuỵ Sĩ.
Bạn đang đọc truyện trên: Truyen2U.Pro