Đọc truyện Cơ sở lý thuyết truyền tin - Cơ sở lý thuyết truyền tin

Cơ sở lý thuyết truyền tin

Trước Sau

Màu nền

Font chữ

Font size

Chiều cao dòng

Chương 1: Những vấn đề chung và những khái niệm cơ bản

CHƯƠNG I: NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG VÀ NHỮNG KHÁI

NIỆM CƠ BẢN

1.1. VỊ TRÍ, VAI TRÒ VÀ SƠ LƯỢC LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA "LÝ THUYẾT

THÔNG TIN"

1.1.1. Vị trí, vai trò của Lý thuyết thông tin

Do sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật tính toán và các hệ tự động, một ngành khoa học

mới ra đời và phát triển nhanh chóng, đó là: "Lý thuyết thông tin". Là một ngành khoa học nhưng

nó không ngừng phát triển và thâm nhập vào nhiều ngành khoa học khác như: Toán; triết; hoá;

Xibecnetic; lý thuyết hệ thống; lý thuyết và kỹ thuật thông tin liên lạc... và đã đạt được nhiều kết

quả. Tuy vậy nó cũng còn nhiều vấn đề cần được giải quyết hoặc giải quyết hoàn chỉnh hơn.

Giáo trình " Lý thuyết thông tin" này (còn được gọi là "Cơ sở lý thuyết truyền tin") chỉ là

một bộ phận của lý thuyết thông tin chung - Nó là phần áp dụng của "Lý thuyết thông tin" vào kỹ

thuật thông tin liên lạc.

Trong các quan hệ của Lý thuyết thông tin chung với các ngành khoa học khác nhau, ta phải

đặc biệt kể đến mối quan hệ của nó với ngành Xibecnetic.

Mối quan hệ giữa các hoạt động khoa học của con người và các quảng tính của vật chất

được mô tả trên hình (1.1).

- Năng lượng học: Là một ngành khoa học chuyên nghiên cứu các vấn đề liên quan tới các

khái niệm thuộc về năng lượng. Mục đích của năng lượng học là làm giảm sự nặng nhọc của lao

động chân tay và nâng cao hiệu suất lao động chân tay. Nhiệm vụ trung tâm của nó là tạo, truyền,

thụ, biến đổi, tích luỹ và xử lý năng lượng.

Quảng tính của vật chất

Khối lượng

Công nghệ học

Thông tin

Năng lượng

Năng lượng học

Điều khiển học

(Xibecnetic)

Các lĩnh vực hoạt động khoa học của

con người

Hình 1.1. Quan hệ giữa hoạt động khoa học và quảng tính của vật chất HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

- - - - - - - - - - - - - -

BÀI GIẢNG

LÝ THUYẾT THÔNG TIN

Biên soạn : PGS.Ts. NGUYỄN BÌNH

Lưu hành nội bộ

HÀ NỘI - 2006 LỜI NÓI ĐẦU

Giáo trình Lý thuyết thông tin là một giáo trình cơ sở dùng cho sinh viên chuyên ngành

Điện tử - Viễn thông và Công nghệ thông tin của Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông.

Đây cũng là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các sinh viên chuyên ngành Điện - Điện tử.

Giáo trình này nhằm chuẩn bị tốt kiến thức cơ sở cho sinh viên để học tập và nắm vững các

môn kỹ thuật chuyên ngành, đảm bảo cho sinh viên có thể đánh giá các chỉ tiêu chất lượng cơ bản

của một hệ thống truyền tin một cách có căn cứ khoa học.

Giáo trình gồm 6 chương, ngoài chương I có tính chất giới thiệu chung, các chương còn lại

được chia thành 4 phần chính:

Phần I: Lý thuyết tín hiệu ngẫu nhiên và nhiễu (Chương 2)

Phần II: Lý thuyết thông tin và mã hóa (Chương 3 và Chương 4)

Phần III: Lý thuyết thu tối ưu (Chương 5)

Phần IV: Mật mã (Chương 6)

Phần I: (Chương II). Nhằm cung cấp các công cụ toán học cần thiết cho các chương sau.

Phần II: Gồm hai chương với các nội dungchủ yếu sau:

- Chương III: Cung cấp những khái niệm cơ bản của lý thuyết thông tin Shannon trong hệ

truyền tin rời rạc và mở rộng cho các hệ truyền tin liên tục.

- Chương IV: Trình bày hai hướng kiến thiết cho hai định lý mã hóa của Shannon. Vì

khuôn khổ có hạn của giáo trình, các hướng này (mã nguồn và mã kênh) chỉ được trình bày ở mức

độ các hiểu biết cơ bản. Để có thể tìm hiểu sâu hơn những kết quả mới và các ứng dụng cụ thể

sinh viên cần phải xem thêm trong các tài liệu tham khảo.

Phần III: (Chương V) Trình bày vấn đề xây dựng các hệ thống thu tối ưu đảm bảo tốc độ

truyền tin và độ chính xác đạt được các giá trị giới hạn. Theo truyền thống bao trùm lên toàn bộ

giáo trình là việc trình bày hai bài toán phân tích và tổng hợp. Các ví dụ trong giáo trình được

chọn lọc kỹ nhằm giúp cho sinh viên hiểu được các khái niệm một cách sâu sắc hơn. Các hình vẽ,

bảng biểu nhằm mô tả một cách trực quan nhất các khái niệm và hoạt động của sơ đồ khối chức

năng của các thiết bị cụ thể

Phần VI: (Chương VI) Trình bày cơ sở lý thuyết các hệ mật bao gồm các hệ mật khóa bí

mật và các hệ mật khóa công khai. Do khuôn khổ có hạn của giáo trình, một số vấn đề quan trọng

còn chưa được đề cập tới (như trao đổi và phân phối khóa, xác thực, đảm bảo tính toàn vẹn ...)

Sau mỗi chương đều có các câu hỏi và bài tập nhằm giúp cho sinh viên củng cố được các kỹ

năng tính toán cần thiết và hiểu sâu sắc hơn các khái niệm và các thuật toán quan trọng.

Phần phụ lục cung cấp một số kiến thức bổ xung cần thiết đối với một số khái niệm quan

trọng về một số số liệu cần thiết giúp cho sinh viên làm được các bài tập được ra ở các chương.

Giáo trình được viết dựa trên cơ sở đề cương môn học Lỹ thuyết thông tin do Bộ Giáo dục

và Đào tạo và được đúc kết sau nhiều năm giảng dạy và nghiên cứu của tác giả. Rất mong được

sự đóng góp của bạn đọc.

Các đóng góp ý kiến xin gửi về

KHOA KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ 1 - HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

KM 10. ĐƯỜNG NGUYỄN TRÃI - THỊ XÃ HÀ ĐÔNG

Email: [email protected]

Hoặc [email protected]

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn GS. Huỳnh Hữu Tuệ đã cho tôi nhiều ý kiến quý báu

trong các trao đổi học thuật có liên quan tới một số nội dung quan trọng trong giáo trình này.

NGƯỜI BIÊN SOẠN Chương 1: Những vấn đề chung và những khái niệm cơ bản

- Xibecnetic: Bao gồm các ngành khoa học chuyên nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến

khái niệm thông tin và tín hiệu. Mục đích của Xibecnetic là làm giảm sự nặng nhọc của trí óc và

nâng cao hiệu suất lao động trí óc. Ngoài những vấn đề được xét trong Xibecnetic như đối tượng,

mục đích, tối ưu hoá việc điều khiển, liên hệ ngược. Việc nghiên cứu các quá trình thông tin (như

chọn, truyền, xử lý, lưu trữ và hiển thị thông tin) cũng là một vấn đề trung tâm của Xibecnetic.

Chính vì vậy, lý thuyết và kỹ thuật thông tin chiếm vai trò rất quan trọng trong Xibecnetic.

- Công nghệ học: gồm các ngành khoa học tạo, biến đổi và xử lý các vật liệu mới. Công

nghệ học phục vụ đắc lực cho Xibecnetic và năng lượng học. Không có công nghệ học hiện đại

thì không thể có các ngành khoa học kỹ thuật hiện đại.

1.1.2. Sơ lược lịch sử phát triển

Người đặt viên gạch đầu tiên để xây dựng lý thuyết thông tin là Hartley R.V.L. Năm 1928,

ông đã đưa ra số đo lượng thông tin là một khái niệm trung tâm của lý thuyết thông tin. Dựa vào

khái niệm này, ta có thể so sánh định lượng các hệ truyền tin với nhau.

Năm 1933, V.A Kachenhicov chứng minh một loạt những luận điểm quan trọng của lý

thuyết thông tin trong bài báo "Về khả năng thông qua của không trung và dây dẫn trong hệ thống

liên lạc điện".

Năm 1935, D.V Ageev đưa ra công trình "Lý thuyết tách tuyến tính", trong đó ông phát

biểu những nguyên tắc cơ bản về lý thuyết tách các tín hiệu.

Năm 1946, V.A Kachenhicov thông báo công trình "Lý thuyết thế chống nhiễu' đánh dấu

một bước phát triển rất quan trọng của lý thuyết thông tin.

Trong hai năm 1948 - 1949, Shanon C.E công bố một loạt các công trình vĩ đại, đưa sự

phát triển của lý thuyết thông tin lên một bước tiến mới chưa từng có. Trong các công trình này,

nhờ việc đưa vào khái niệm lượng thông tin và tính đến cấu trúc thống kê của tin, ông đã chứng

minh một loạt định lý về khả năng thông qua của kênh truyền tin khi có nhiễu và các định lý mã

hoá. Những công trình này là nền tảng vững chắc của lý thuyết thông tin.

Ngày nay, lý thuyết thông tin phát triển theo hai hướng chủ yếu sau:

Lý thuyết thông tin toán học: Xây dựng những luận điểm thuần tuý toán học và những cơ

sở toán học chặt chẽ của lý thuyết thông tin. Cống hiến chủ yếu trong lĩnh vực này thuộc về các

nhà bác học lỗi lạc như: N.Wiener, A. Feinstain, C.E Shanon, A.N. Kanmôgorov, A.JA Khintrin.

Lý thuyết thông tin ứng dụng: (lý thuyết truyền tin)

Chuyên nghiên cứu các bài toán thực tế quan trọng do kỹ thuật liên lạc đặt ra có liên quan

đến vấn đề chống nhiễu và nâng cao độ tin cậy của việc truyền tin. Các bác học C.E Shanon, S.O

RiCe, D. Midleton, W. Peterson, A.A Khakevich, V. Kachenhicov đã có những công trình quý

báu trong lĩnh vực này. Chương 1: Những vấn đề chung và những khái niệm cơ bản

1.2. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN - SƠ ĐỒ HỆ TRUYỀN TIN VÀ NHIỆM VỤ CỦA NÓ

1.2.1. Các định nghĩa cơ bản

1.2.1.1. Thông tin

Định nghĩa: Thông tin là những tính chất xác định của vật chất mà con người (hoặc hệ

thống kỹ thuật) nhận được từ thế giới vật chất bên ngoài hoặc từ những quá trình xảy ra trong bản

thân nó.

Với định nghĩa này, mọi ngành khoa học là khám phá ra các cấu trúc thông qua việc thu

thập, chế biến, xử lý thông tin. ở đây "thông tin" là một danh từ chứ không phải là động từ để chỉ

một hành vi tác động giữa hai đối tượng (người, máy) liên lạc với nhau.

Theo quan điểm triết học, thông tin là một quảng tính của thế giới vật chất (tương tự như

năng lượng, khối lượng). Thông tin không được tạo ra mà chỉ được sử dụng bởi hệ thụ cảm.

Thông tin tồn tại một cách khách quan, không phụ thuộc vào hệ thụ cảm. Trong nghĩa khái quát

nhất, thông tin là sự đa dạng. Sự đa dạng ở đây có thể hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau: Tính ngẫu

nhiên, trình độ tổ chức,...

1.2.1.2. Tin

Tin là dạng vật chất cụ thể để biểu diễn hoặc thể hiện thông tin. Có hai dạng: tin rời rạc và

tin liên tục.

Ví dụ: Tấm ảnh, bản nhạc, bảng số liệu, bài nói,... là các tin.

1.2.1.3. Tín hiệu

Tín hiệu là các đại lượng vật lý biến thiên, phản ánh tin cần truyền.

Chú ý: Không phải bản thân quá trình vật lý là tín hiệu, mà sự biến đổi các tham số riêng

của quá trình vật lý mới là tín hiệu.

Các đặc trưng vật lý có thể là dòng điện, điện áp, ánh sáng, âm thanh, trường điện từ

1.2.2. Sơ đồ khối của hệ thống truyền tin số (Hình 1.2)

Mã bảo

mật

Mã

kênh

Dồn

kênh

Trải

phổ

Giải mã

mật

Giải mã

kênh

Chia

kênh

Ép

phổ

Dòng bit

Hệ thống đồng bộ

( Synchronization ) Dạng sóng số

Nhiễu

Từ các nguồn khác

Tới các bộ nhận tin khác

Định khuôn

dạng

Định khuôn

dạng

Đầu vào số

Đầu ra số

Điều chế

Máy

Phát

(XMT)

Giải điều

chế

MáY

THU

(RCV)

Khối cơ bản

Khối tuỳ chọn

Hình 1.2. Sơ đồ khối hệ thống truyền tin số.

m1 S1(t)

Nhận

tin

Nguồn

tin

Mã

nguồn

Giải mã

nguồn

Đa truy

nhập

Đa truy

nhập Chương 1: Những vấn đề chung và những khái niệm cơ bản

1.2.2.1. Nguồn tin

Nơi sản ra tin:

- Nếu tập tin là hữu hạn thì nguồn sinh ra nó được gọi là nguồn rời rạc.

- Nếu tập tin là vô hạn thì nguồn sinh ra nó được gọi là nguồn liên tục.

Nguồn tin có hai tính chất: Tính thống kê và tính hàm ý.

Với nguồn rời rạc, tính thống kê biểu hiện ở chỗ xác suất xuất hiện các tin là khác nhau.

Tính hàm ý biểu hiện ở chỗ xác suất xuất hiện của một tin nào đó sau một dãy tin khác nhau

nào đó là khác nhau.

Ví dụ: P(y/ta) ≠ P(y/ba)

1.2.2.2. Máy phát

Là thiết bị biến đổi tập tin thành tập tín hiệu tương ứng. Phép biến đổi này phải là đơn trị

hai chiều (thì bên thu mới có thể "sao lại" được đúng tin gửi đi). Trong trường hợp tổng quát, máy

phát gồm hai khối chính.

- Thiết bị mã hoá: Làm ứng mỗi tin với một tổ hợp các ký hiệu đã chọn nhằm tăng mật độ,

tăng khả năng chống nhiễu, tăng tốc độ truyền tin.

- Khối điều chế: Là thiết bị biến tập tin (đã hoặc không mã hoá) thành các tín hiệu để bức xạ

vào không gian dưới dạng sóng điện từ cao tần. Về nguyên tắc, bất kỳ một máy phát nào cũng có

khối này.

1.2.2.3. Đường truyền tin

Là môi trường vật lý, trong đó tín hiệu truyền đi từ máy phát sang máy thu. Trên đường

truyền có những tác động làm mất năng lượng, làm mất thông tin của tín hiệu.

1.2.2.4. Máy thu

Là thiết bị lập lại (sao lại) thông tin từ tín hiệu nhận được. Máy thu thực hiện phép biến đổi

ngược lại với phép biến đổi ở máy phát: Biến tập tín hiệu thu được thành tập tin tương ứng.

Máy thu gồm hai khối:

- Giải điều chế: Biến đổi tín hiệu nhận được thành tin đã mã hoá.

- Giải mã: Biến đổi các tin đã mã hoá thành các tin tương ứng ban đầu (các tin của nguồn

gửi đi).

1.2.2.5. Nhận tin

Có ba chức năng:

- Ghi giữ tin (ví dụ bộ nhớ của máy tính, băng ghi âm, ghi hình,...)

- Biểu thị tin: Làm cho các giác quan của con người hoặc các bộ cảm biến của máy thụ cảm

được để xử lý tin (ví dụ băng âm thanh, chữ số, hình ảnh,...) Chương 1: Những vấn đề chung và những khái niệm cơ bản

- Xử lý tin: Biến đổi tin để đưa nó về dạng dễ sử dụng. Chức năng này có thể thực hiện

bằng con người hoặc bằng máy.

1.2.2.6. Kênh truyền tin

Là tập hợp các thiết bị kỹ thuật phục vụ cho việc truyền tin từ nguồn đến nơi nhận tin.

1.2.2.7. Nhiễu

Là mọi yếu tố ngẫu nhiên có ảnh hưởng xấu đến việc thu tin. Những yếu tố này tác động

xấu đến tin truyền đi từ bên phát đến bên thu. Để cho gọn, ta gộp các yếu tố tác động đó vào một

ô trên hình 1.2.

Hình 1.2 là sơ đồ khối tổng quát nhất của một hệ truyền tin số. Nó có thể là: hệ thống vô

tuyến điện thoại, vô tuyến điện báo, rađa, vô tuyến truyền hình, hệ thống thông tin truyền số liệu,

vô tuyến điều khiển từ xa.

1.2.2.8. Các phương pháp biến đổi thông tin số trong các khối chức năng của hệ thống

Chương 1: Những vấn đề chung và những khái niệm cơ bản

Định dạng/ Mã nguồn

Mã hoá ký tự

Lấy mẫu

Lượng tử hoá

Điều chế mã xung

(PCM)

- PCM vi phân

- Điều chế Delta (DM)

- DM có tốc độ biến đổi

liên tục (CVSD)

- Mã hoá dự đoán tuyến

tính (LPC)

- Các phương pháp nén:

Mã Huffman, mã số học,

thuật toán Ziv_Lempel

Điều chế

Kết hợp

- PSK: Manip pha

- FSK: Manip tần số

- ASK: Manip biên độ

- Hỗn hợp

- OQPSK: Manip pha

tương đối 4 mức

- MSK

Không kết hợp

- PSK vi phân

- FSK

- ASK

- Hỗn hợp

Mã kênh

Dạng sóng

Tín hiệu M_trị

Tín hiệu trực giao

Tín hiệu song trực

giao

Các dãy có cấu trúc

- Mã khối

- Mã liên tục

Dồn kênh/ Đa truy cập

- Phân chia tần số:

FDM/ FDMA

- Phân chia thời gian:

TDM/ TDMA

- Phân chia mã:

CDM/ CDMA

- Phân chia không gian:

SDMA

- Phân chia cực tính:

PDMA

- OFDM

Trải phổ

Dãy trực tiếp (DS)

Nhảy tần (FH)

Nhảy thời gian (TH)

Các phương pháp hỗn

hợp

Đồng bộ

- Đồng bộ sóng mang

- Đồng bộ dấu

- Đồng bộ khung

- Đồng bộ mạng

- Hoán vị

- Thay thế

- Xử lý bit

- Các phương pháp hỗn hợp

- Thuật toán RSA

- Thuật toán logarit rời rạc

- Thuật toán McElice

- Thuật toán Merkle-Hellman

- Thuật toán sử dụng đường

cong Elliptic

Mã bảo mật

Mã hoá theo khối

Mã hoá dòng số liệu

Mật mã cổ điển

Mật mã khoá công khai Chương 1: Những vấn đề chung và những khái niệm cơ bản

1.2.3. Những chỉ tiêu chất lượng cơ bản của một hệ truyền tin

1.2.3.1. Tính hữu hiệu

Thể hiện trên các mặt sau:

- Tốc độ truyền tin cao.

- Truyền được đồng thời nhiều tin khác nhau.

- Chi phí cho một bit thông tin thấp.

1.2.3.2. Độ tin cậy

Đảm bảo độ chính xác của việc thu nhận tin cao, xác suất thu sai (BER) thấp.

Hai chỉ tiêu trên mâu thuẫn nhau. Giải quyết mâu thuẫn trên là nhiệm vụ của lý thuyết thông

tin.

1.2.3.3. An toàn

- Bí mật:

+ Không thể khai thác thông tin trái phép.

+ Chỉ có người nhận hợp lệ mới hiểu được thông tin.

- Xác thực: Gắn trách nhiệm của bên gửi - bên nhận với bản tin (chữ ký số).

- Toàn vẹn:

+ Thông tin không bị bóp méo (cắt xén, xuyên tạc, sửa đổi).

+ Thông tin được nhận phải nguyên vẹn cả về nội dung và hình thức.

- Khả dụng: Mọi tài nguyên và dịch vụ của hệ thống phải được cung cấp đầy đủ cho người

dùng hợp pháp.

1.2.3.4. Đảm bảo chất lượng dịch vụ (QoS)

Đây là một chỉ tiêu rất quan trọng đặc biệt là đối với các dịch vụ thời gian thực, nhậy cảm

với độ trễ (truyền tiếng nói, hình ảnh, ....) Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

CHƯƠNG II: TÍN HIỆU VÀ NHIỄU

2.1. TÍN HIỆU XÁC ĐỊNH VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG VẬT LÝ CỦA CHÚNG

Tín hiệu xác định thường được xem là một hàm xác định của biến thời gian t (s(t)). Hàm

này có thể được mô tả bằng một biểu thức giải tích hoặc được mô tả bằng đồ thị. Một trong các

đặc trưng vật lý quan trọng của tín hiệu là hàm mật độ phổ biên độ phức S( )

•

ω . Với tín hiệu s(t)

khả tích tuyệt đối, ta có cặp biến đổi Fourier sau:

S( ) s(t) e dt (2.1)

s(t) S( )e d (2.2)

∞ •

−ω

−∞

∞ •

−∞

ω=

=ωω

∫

Sau đây là một số đặc trưng vật lý quen thuộc của tín hiệu:

- Thời hạn của tín hiệu (T): Thời hạn của tín hiệu là khoảng thời gian tồn tại của tín hiệu,

trong khoảng này giá trị của tín hiệu không đồng nhất bằng 0.

- Bề rộng phổ của tín hiệu (F): Đây là miền xác định bởi tần số khác không cao nhất của tín

hiệu.

- Năng lượng của tín hiệu (E): Năng lượng của tín hiệu có thể tính theo miền thời gian hay

miền tần số.

2 1

Es(t)dt S()d [J](2.3)

∞∞ •

−∞ −∞

==ωω

π ∫∫

(Định lý Parseval)

- Công suất của tín hiệu (P):

P[W]

2.2. TÍN HIỆU VÀ NHIỄU LÀ CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

2.2.1. Bản chất ngẫu nhiên của tín hiệu và nhiễu

Như đã xét ở trên, chúng ta coi tín hiệu là biểu hiện vật lý của tin (trong thông tin vô tuyến:

dạng vật lý cuối cùng của tin là sóng điện từ). Quá trình vật lý mang tin diễn ra theo thời gian, do

đó về mặt toán học thì khi có thể được, cách biểu diễn trực tiếp nhất cho tín hiệu là viết biểu thức

của nó theo thời gian hay vẽ đồ thị thời gian của nó. Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

Trong lý thuyết cổ điển, dù tín hiệu tuần hoàn hoặc không tuần hoàn nhưng ta đều coi là đã

biết trước và biểu diễn nó bằng một hàm tiền định của thời gian. Đó là quan niệm xác định về tín

hiệu (tín hiệu tiền định). Tuy vậy, quan niệm này không phù hợp với thực tế. Thật vậy, tín hiệu

tiền định không thể dùng vào việc truyền tin tức được. Với cách coi tín hiệu là biểu hiện vật lý của

tin, nếu chúng ta hoàn toàn biết trước nó thì về mặt thông tin, việc nhận tín hiệu đó không có ý

nghĩa gì. Nhưng nếu ta hoàn toàn không biết gì về tín hiệu truyền đi, thì ta không thể thực hiện

nhận tin được. Bởi vì khi đó không có cái gì làm căn cứ để phân biệt tín hiệu với những cái không

phải nó, đặc biệt là với các nhiễu. Như vậy, quan niệm hợp lý nhất là phải kể đến các đặc tính

thống kê của tín hiệu, tức là phải coi tín hiệu là một quá trình ngẫu nhiên. Chúng ta sẽ gọi các tín

hiệu xét theo quan điểm thống kê này là các tín hiệu ngẫu nhiên.

2.2.2. Định nghĩa và phân loại nhiễu

Trong quá trình truyền tin, tín hiệu luôn luôn bị nhiều yếu tố ngẫu nhiên tác động vào, làm

mất mát một phần hoặc thậm chí có thể mất toàn bộ thông tin chứa trong nó. Những yếu tố ngẫu

nhiên đó rất đa dạng, chúng có thể là những thay đổi ngẫu nhiên của các hằng số vật lý của môi

trường truyền qua hoặc những loại trường điện từ cảm ứng trong công nghiệp, y học...vv...

Trong vô tuyến điện, người ta gọi tất cả những yếu tố ngẫu nhiên ấy là các can nhiễu (hay nhiễu).

Tóm lại, ta có thể coi nhiễu là tất cả những tín hiệu vô ích (tất nhiên là đối với hệ truyền tin ta xét)

có ảnh hưởng xấu đến việc thu tin. Nguồn nhiễu có thể ở ngoài hoặc trong hệ. Nếu nhiễu xác định

thì việc chống nó không có khó khăn gì về mặt nguyên tắc. Ví dụ như người ta đã có những biện

pháp để chống ồn do dòng xoay chiều gây ra trong các máy khuếch đại âm tần, người ta cũng biết

rõ những cách chống sự nhiễu lẫn nhau giữa các điện đài vô tuyến điện cùng làm việc mà chúng

có phổ tín hiệu trùm nhau...vv... Các loại nhiễu này không đáng ngại.

Chú ý:

Cần phân biệt nhiễu với sự méo gây ra bởi đặc tính tần số và đặc tính thời gian của các thiết

bị, kênh truyền... (méo tuyến tính và méo phi tuyến). Về mặt nguyên tắc, ta có thể khắc phục

được chúng bằng cách hiệu chỉnh.

Nhiễu đáng lo ngại nhất vẫn là các nhiễu ngẫu nhiên. Cho đến nay, việc chống các nhiễu

ngẫu nhiên vẫn gặp những khó khăn lớn cả về mặt lý luận lẫn về mặt thực hiện kỹ thuật. Do đó,

trong giáo trình này ta chỉ đề cập đến một dạng nào đó (sau này sẽ thấy ở đây thường xét nhất là

nhiễu cộng, chuẩn) của nhiễu ngẫu nhiên.

Việc chia thành các loại (dạng) nhiễu khác nhau có thể làm theo các dấu hiệu sau:

1. Theo bề rộng phổ của nhiễu: có nhiễu giải rộng (phổ rộng như phổ của ánh sáng trắng gọi

là tạp âm trắng), nhiễu giải hẹp (gọi là tạp âm màu).

2. Theo quy luật biến thiên thời gian của nhiễu: có nhiễu rời rạc và nhiễu liên tục.

3. Theo phương thức mà nhiễu tác động lên tín hiệu: có nhiễu cộng và nhiễu nhân.

4. Theo cách bức xạ của nhiễu: có nhiễu thụ động và nhiễu tích cực.

Nhiễu thụ động là các tia phản xạ từ các mục tiêu giả hoặc từ địa vật trở về đài ta xét khi

các tia sóng của nó đập vào chúng. Nhiễu tích cực (chủ động) do một nguồn bức xạ năng lượng

(các đài hoặc các hệ thống lân cận) hoặc máy phát nhiễu của đối phương chĩa vào đài hoặc hệ

thống đang xét. Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

5. Theo nguồn gốc phát sinh: có nhiễu công nghiệp, nhiễu khí quyển, nhiễu vũ trụ...vv...

Trong giáo trình này khi nói về nhiễu, ta chỉ nói theo phương thức tác động của nhiễu lên

tín hiệu, tức là chỉ nói đến nhiễu nhân hoặc nhiễu cộng.

Về mặt toán học, tác động của nhiễu cộng lên tín hiệu được biểu diễn bởi hệ thức sau:

u(t) = s(t) + n(t) (2.4)

s(t) là tín hiệu gửi đi

u(t) là tín hiệu thu được

n(t) là nhiễu cộng

Còn nhiễu nhân được biểu diễn bởi:

u(t) (t).s(t) =μ (2.5)

μ(t): nhiễu nhân, là một quá trình ngẫu nhiên. Hiện tượng gây nên bởi nhiễu nhân gọi là

suy lạc (fading).

Tổng quát, khi tín hiệu chịu tác động đồng thời của cả nhiễu cộng và nhiễu nhân thì:

u(t) (t).s(t) n(t) =μ + (2.6)

Ở đây, ta đã coi hệ số truyền của kênh bằng đơn vị và bỏ qua thời gian giữ chậm tín hiệu

của kênh truyền. Nếu kể đến thời gian giữ chậm τ của kênh truyền thì (2.6) có dạng:

u(t) (t).s(t ) n(t) =μ −τ + (2.7)

2.3. CÁC ĐẶC TRƯNG THỐNG KÊ CỦA TÍN HIỆU NGẪU NHIÊN VÀ NHIỄU

2.3.1. Các đặc trưng thống kê

Theo quan điểm thống kê, tín hiệu và nhiễu được coi là các quá trình ngẫu nhiên. Đặc trưng

cho các quá trình ngẫu nhiên chính là các quy luật thống kê (các hàm phân bố và mật độ phân bố)

và các đặc trưng thống kê (kỳ vọng, phương sai, hàm tự tương quan, hàm tương quan). Các quy

luật thống kê và các đặc trưng thống kê đã được nghiên cứu trong lý thuyết hàm ngẫu nhiên, vì

vậy ở đây ta sẽ không nhắc lại.

Trong lớp các quá trình ngẫu nhiên, đặc biệt quan trọng là các quá trình ngẫu nhiên sau:

- Quá trình ngẫu nhiên dừng (theo nghĩa hẹp và theo nghĩa rộng) và quá trình ngẫu nhiên

chuẩn dừng.

- Quá trình ngẫu nhiên ergodic

Ta minh hoạ chúng theo lược đồ sau:

Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

Hình 2.1

Trong những đặc trưng thống kê của các quá trình ngẫu nhiên, hàm tự tương quan và hàm

tương quan là những đặc trưng quan trọng nhất. Theo định nghĩa, hàm tự tương quan sẽ bằng:

{ }

[][ ]

x12 1 x1 2 x2

1 x1 2 x2 21212 12

R(t,t) M X(t) m(t).X(t) m(t)

x(t) m(t).x(t ) m(t ).W(x,x,t,t )dxdx

∞∞

−∞ −∞

⎡⎤⎡ ⎤ =− − ⎣⎦⎣ ⎦

=− − ∫∫

(2.8)

x12 R(t,t) đặc trưng cho sự phụ thuộc thống kê giữa hai giá trị ở hai thời điểm thuộc cùng

một thể hiện của quá trình ngẫu nhiên.

( ) 21212 W x ,x ,t ,t là hàm mật độ phân bố xác suất hai chiều của hai giá trị của quá trình

ngẫu nhiên ở hai thời điểm

1 t và

2 t .

Khi t

1 = t

2 thì (2.8) trở thành:

[] { } 2

x12 x x R (t , t ) M X(t) m (t) D (t) =−= (2.9)

Như vậy, phương sai là trường hợp riêng của hàm tự tương quan khi hai thời điểm xét trùng

nhau.

Đôi khi để tiện tính toán và so sánh, người ta dùng hàm tự tương quan chuẩn hoá được định

nghĩa bởi công thức:

x12 x12

x12

x11 x22 x1 x2

x12

x1 x2

R(t,t) R(t,t)

(t , t )

R (t ,t ).R (t , t ) D (t ).D (t )

R(t,t)

(t ). (t )

τ= =

ττ

(2.10)

Dễ dàng thấy rằng:

x12 (t , t ) 1 τ≤ .

QTNN QTNN

dừng dừng QTNN

rộng hẹp chuẩn

QTNN chuẩn dừng

QTNN

QTNN ergodic Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

2.3.2. Khoảng tương quan

Khoảng tương quan cũng là một đặc trưng khá quan trọng. Ta thấy rằng hai giá trị của một

quá trình ngẫu nhiên ξ(t) chỉ tương quan với nhau khi khoảng cách τ giữa hai thời điểm xét là

hữu hạn. Khi τ→∞ , thì coi như hai giá trị ấy không tương quan với nhau nữa. Tuy vậy, trong

thực tế, đối với hầu hết các quá trình ngẫu nhiên chỉ cần τ đủ lớn thì sự tương quan giữa hai giá

trị của quá trình đã mất. Do đó, đối với tính toán thực tế người ta định nghĩa khoảng (thời gian)

tương quan như sau:

Định nghĩa 1:

Khoảng tương quan

K τ là khoảng

thời gian trong đó () ξ τ τ không nhỏ hơn

0,05. (hình vẽ 2.2). Như vậy, ∀τ >

K τ thì

xem như hết tương quan.

Nếu cho biểu thức giải tích của () ξ τ τ

thì

K τ được tính như sau:

()d

∞

−∞

τ= ττ τ ∫ (2.11)

Ý nghĩa hình học:

K τ là nửa cạnh đáy của hình chữ nhật có chiều cao bằng đơn vị K, có diện tích bằng diện

tích của miền giới hạn bởi trục hoành và đường biểu diễn () ξ τ τ .

Trong thực tế, ta thường gặp những quá trình ngẫu nhiên ergodic. Ví dụ: tạp âm của các

máy thu vô tuyến điện,... Đối với các quá trình ngẫu nhiên ergodic, ta có thể xác định các đặc

trưng thống kê của chúng bằng thực nghiệm một cách dễ dàng.

Ta đã biết rằng, nếu X(t) - ergodic và với T đủ lớn thì ta có thể viết:

[] [ ] { }

[][ ]

xxx

R ( ) M X(t) m . X(t ) m

x(t) m . x(t ) m dt

τ= − −τ−

≈−+τ− ∫

(2.12)

Trung bình thống kê = trung bình theo thời gian

1 τξ (τ)

0,05

0 τk τ t

Hình 2.2 Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

2.4. CÁC ĐẶC TRƯNG VẬT LÝ CỦA TÍN HIỆU NGẪU NHIÊN VÀ NHIỄU. BIẾN

ĐỔI WIENER - KHINCHIN

2.4.1. Những khái niệm xây dựng lý thuyết phổ của quá trình ngẫu nhiên - mật độ phổ

công suất

Mục trước ta mới chỉ đưa ra một số đặc trưng thống kê của các quá trình ngẫu nhiên (tín

hiệu, nhiễu) mà chưa đưa ra các đặc trưng vật lý của chúng. Về mặt lý thuyết cũng như thực tế,

các đặc trưng vật lý của tín hiệu ngẫu nhiên (quá trình ngẫu nhiên) đóng một vai trò rất quan trọng

ở những chương sau khi nói đến cơ sở lý thuyết chống nhiễu cũng như xét các biện pháp thực tế

và các thiết bị chống nhiễu ta không thể không dùng đến những đặc trưng vật lý của tín hiệu ngẫu

nhiên và nhiễu. Khi xét các loại tín hiệu xác định trong giáo trình "Lý thuyết mạch", chúng ta đã

làm quen với các đặc trưng vật lý của chúng như: năng lượng, công suất, thời hạn của tín hiệu,

phổ biên độ phức, mật độ phổ, bề rộng phổ, ... Cơ sở để hình thành các đặc trưng vật lý này là

chuỗi và tích phân Fourier.

Đối với các tín hiệu ngẫu nhiên và nhiễu, ta không thể dùng trực tiếp các biến đổi Fourier

để xây dựng các đặc trưng vật lý của chúng được vì những lý do sau:

- Tập các thể hiện { } i

x (t) , i 1,2,..., =∞ của quá trình ngẫu nhiên X(t) cho trên khoảng T

thường là một tập vô hạn (thậm chí nó cũng không phải là một tập đếm được).

- Nếu tín hiệu ngẫu nhiên là dừng chặt thì tập vô hạn các thể hiện theo thời gian của nó

thường sẽ không khả tích tuyệt đối. Tức là:

lim x(t) dt

→∞ −

=∞ ∫

Để tránh khỏi những khó khăn trên, ta làm như sau:

Lấy hàm

T x(t) trùng với một thể hiện của quá trình ngẫu nhiên trung tâm X(t) (QTNN trung

tâm là QTNN có kỳ vọng không) ở trong đoạn

⎡ ⎤

− ⎢ ⎥

⎣ ⎦

và nó bằng không ở ngoài đoạn đó:

x(t) t T 2

x(t)

0tT2

⎧≤ ⎪

= ⎨

> ⎪ ⎩

(2.13)

Từ (2.13), ta thấy

T x(t) thoả mãn điều kiện khả tích tuyệt đối nên có thể dùng biến đổi

Fourier cho nó được. Ta đã biết rằng phổ biên độ phức ( ) T S ω của

T x(t) được xác định bởi

tích phân thuận Fourier sau:

() ()

Sxtedt

−ω

−

ω= ∫

(2.14)

Theo định lý Parseval, ta có biểu thức tính năng lượng của

T x(t) như sau: Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

T TT

Ex(t)dt S()d

∞∞ •

−∞ −∞

==ωω

π ∫∫ (2.15)

Công suất của thể hiện

T x(t) sẽ bằng:

T 2

T T

S( )

E1 1

PS()d d

T2T 2 T

•

∞∞ •

−∞ −∞

= =ωω= ω

ππ ∫∫ (2.16)

Ta thấy vế trái của (2.16) là công suất của thể hiện

T x(t) trong khoảng thời gian tồn tại hữu

hạn T, còn vế phải là một tổng liên tục của các đại lượng

T S( ) Td

• ⎧ ⎫ ⎪ ⎪

ω ω ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎩⎭

. Rõ ràng là để đảm

bảo sự bình đẳng về thứ nguyên giữa hai vế của (2.16) thì lượng

T S( )

•

ω phải biểu thị công

suất trong giải tần vô cùng bé dω. Như vậy,

T S( )

•

sẽ biểu thị công suất của thể hiện

T x(t)

trong một đơn vị tần số [W/Hz] tức là mật độ phổ công suất của thể hiện

T x(t) . Đến đây ta đặt:

S( )

G()

•

= ω (2.17)

và gọi

T G() ω là mật độ phổ công suất của thể hiện

T x(t) trong khoảng T hữu hạn.

T G() ω đặc trưng cho sự phân bố công suất của một thể hiện

T x(t) trên thang tần số. Khi cho

T →∞ ta sẽ tìm được mật độ phổ công suất của một thể hiện duy nhất

T x(t) của quá trình

ngẫu nhiên:

S( )

G( ) limG( ) lim T

•

→∞ →∞

ω= ω= (2.18)

x G( ) ω cũng có ý nghĩa tương tự như

T G() ω .

Từ (2.18) ta thấy rằng để xác định mật độ phổ công suất của cả quá trình ngẫu nhiên (tức là

tập các thể hiện ngẫu nhiên) thì phải lấy trung bình thống kê đại lượng

x G( ) ω , tức là: Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

{}

S( )

G( ) M G ( ) M lim

•

→∞

ω= ω = (2.19)

(2.19) là công thức xác định mật độ phổ công suất của các quá trình ngẫu nhiên.

2.4.2. Cặp biến đổi Wiener - Khinchin

Để thấy được mối quan hệ giữa các đặc trưng thống kê (nói riêng là hàm tự tương quan) và các

đặc trưng vật lý (nói riêng là mật độ phổ công suất) ta viết lại và thực hiện biến đổi (2.19) như sau:

{}

T2 T2

jt jt

T1 1 T2 2

T2 T2

T/2 T/2

j(t t)

T1 T2 12

T/2 T/2

S( ) MS( )

G( ) M lim lim TT

lim M S ( )S ( ) do (2.14)

lim M x(t)e dt. x(t)e dt

lim M x (t ).x (t ) e dt dt

••

→∞ →∞

••

→∞

−ω −ω

→∞ −−

−ω −

→∞ −−

ωω

ω= = =

⎧⎫ ⎪⎪

=ωω ⎨⎬

⎪⎪ ⎩⎭

⎧⎫

⎪⎪

== ⎨⎬

⎪⎪ ⎩⎭

∫∫

Nhưng theo định nghĩa (2.8), ta thấy ngay { } T1 T2 Mx(t).x(t) là hàm tự tương quan của

quá trình ngẫu nhiên trung tâm (có

x m0 = ) nên ta có thể viết:

{ } T1 T2 T12 Mx(t).x(t) R(t,t) =

Nếu

21 tt τ=− + thì đối với những quá trình dừng, ta có:

{ } T1 T2 T Mx(t).x(t) R() = τ

Ta có thể viết lại biểu thức cho ( ) G ω :

T t

T/2 2

T T T/2 t

T t

T/2 2

TT T T/2 t

G( ) lim R ( )e d dt

lim R ( )e d . lim dt

−ωτ

→∞ − −−

−ωτ

→∞ →∞ − −−

⎧⎫

⎪⎪

ω= τ τ ⎨⎬

⎪⎪

⎩⎭

=ττ

∫∫

Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

G( ) R( )e d

∞

− ωτ

−∞

ω =τ τ ∫ (2.20)

Tất nhiên ở đây phải giả sử tích phân ở vế phải của (2.20) tồn tại. Điều này luôn luôn đúng

nếu hàm tự tương quan R( ) τ khả tích tuyệt đối, tức là:

R( )d

∞

−∞

ττ

(2.20) là mật độ phổ công suất của quá trình ngẫu nhiên dừng. Nó biểu diễn một cách trung

bình (thống kê) sự phân bố công suất của quá trình ngẫu nhiên theo tần số của các thành phần dao

động điều hoà nguyên tố (tức là những thành phần dao động điều hoà vô cùng bé).

Như vậy, từ (2.20) ta có thể kết luận rằng phổ công suất G( ) ω của quá trình ngẫu nhiên

dừng là biến đổi thuận Fourier của hàm tự tương quan R( ) τ . Hiển nhiên rằng khi đã tồn tại biến

đổi thuận Fourier thì cũng tồn tại biến đổi ngược Fourier sau:

j 1

R( ) G( )e d

∞

ωτ

−∞

τ= ω ω

π ∫ (2.21)

Cặp công thức (2.20) và (2.21) gọi là cặp biến đổi Wiener - Khinchin, đó là sự mở rộng cặp

biến đổi Fourier sang các tín hiệu ngẫu nhiên dừng (ít nhất là theo nghĩa rộng).

Rõ ràng từ định nghĩa (2.17) của mật độ phổ công suất, ta thấy hàm G( ) ω là hàm chẵn

của đối số ω. Do đó sau khi dùng công thức Euler (

ecosjsin ±ωτ

= ωτ ± ωτ ) để biến đổi

(2.20) và (2.21), ta được:

G( ) 2 R( )cos d

R( ) G( )cos d

∞

ω= τ ωττ

τ= ω ωτω

∫

(2.22)

Chú ý 1: Từ mật độ phổ công suất của tín hiệu ngẫu nhiên, không thể sao lại bất cứ một thể

hiện nào (là hàm của thời gian t) của nó, vì G( ) ω không chứa những thông tin (những hiểu biết)

về pha của các thành phần phổ riêng lẻ. Đối với tín hiệu xác định thì từ mật độ phổ hoàn toàn có

thể sao lại chính tín hiệu đó nhờ tích phân ngược Fourier. Đó là chỗ khác nhau về bản chất giữa

biến đổi Fourier và biến đổi Wiener - Khinchin.

Chú ý 2: Nếu phải xét đồng thời hai quá trình ngẫu nhiên thì người ta cũng đưa ra khái

niệm mật độ phổ chéo. Mật độ phổ chéo và hàm tương quan chéo của hai quá trình ngẫu nhiên có

liên hệ dừng cũng thoả mãn cặp biến đổi Wiener - Khinchi.

2.4.3. Bề rộng phổ công suất Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

Một đặc trưng vật lý quan trọng khác của

các tín hiệu ngẫu nhiên là bề rộng phổ công suất,

nó được định nghĩa bởi công thức sau:

G( )d

G( )

∞

ω ω

Δω =

∫

(2.23)

Trong đó:

G(ω) là mật độ phổ công suất của tín hiệu

ngẫu nhiên.

G( 0 ω ) là giá trị cực đại của G(ω).

Δω là bề rộng phổ công suất (còn gọi là

bề rộng phổ) của quá trình ngẫu nhiên.

Ý nghĩa hình học:

Bề rộng phổ Δω chính là đáy của hình chữ nhật có chiều cao bằng G( 0 ω ) và có diện tích

bằng diện tích của miền giới hạn bởi trục ω và đường cong biểu diễn G(ω). (Hình 2.4).

Ý nghĩa vật lý:

Bề rộng phổ đặc trưng cho sự tập trung công suất (hoặc năng lượng) của tín hiệu ngẫu nhiên

ở quanh một tần số trung tâm, ngoài ra nó cũng đặc trưng cho cả sự bằng phẳng của phổ ở quanh

tần số trung tâm

0 ω .

2.4.4. Mở rộng cặp biến đổi Wiener - Khinchin cho trường hợp R() τ không khả tích

tuyệt đối

Nếu quá trình ngẫu nhiên X(t) chứa các thành phần dao động điều hoà dạng:

KKKK X(t) Acos( t ) =ω−ϕ

trong đó

K A và

K ϕ nói chung có thể là các đại lượng ngẫu nhiên, thì hàm tương quan trung bình:

* K

A R() cos

τ =ωτ không thoả mãn điều kiện khả tích tuyệt đối.

Nếu sử dụng biểu diễn sau của hàm delta:

ixy

edx cos(xy)dx (y)

∞∞

−∞ −∞

==δ ∫∫

và biểu diễn phổ năng lượng của

K X(t) dưới dạng:

0,05

ω0 ω

Δω

G(ω)

Hình 2.3 Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

[]

* K

KKK

A G() ( ) ( )

ω= δω−ω +δω+ω

thì định lý Wiener - Khinchin sẽ đúng cả đối với những quá trình ngẫu nhiên có những

thành phần tần số rời rạc, kể cả thành phần một chiều ở tần số

K ω = 0.

2.5. TRUYỀN CÁC TÍN HIỆU NGẪU NHIÊN QUA CÁC MẠCH VÔ TUYẾN ĐIỆN

TUYẾN TÍNH

Đối với các tín hiệu xác định, trong giáo trình "Lý thuyết mạch", ta đã xét bài toán phân

tích sau: Cho một mạch tuyến tính có cấu trúc đã biết (biết hàm truyền đạt K( )

•

ω hoặc biết phản

ứng xung g(t)). Ta phải xét tác động đầu vào theo hưởng ứng đầu ra và ngược lại. Đối với các tín

hiệu ngẫu nhiên nếu số thể hiện là đếm được và hữu hạn thì ta có thể xét hưởng ứng ra đối với

từng tác động đầu vào như bài toán trên. Nhưng khi số thể hiện của tín hiệu ngẫu nhiên là vô hạn

thì ta không thể áp dụng được những kết quả của bài toán phân tích đối với các tín hiệu xác định.

Sau đây ta sẽ xét bài toán này.

2.5.1. Bài toán tối thiểu

2.5.1.1. Bài toán:

Cho một mạch tuyến tính (có tham số không đổi và biết K( )

•

ω của nó. Biết mật độ phổ

công suất

v G( ) ω của quá trình ngẫu nhiên tác động ở đầu vào. Ta phải tìm mật độ phổ công suất

ra G() ω và hàm tự tương quan

ra R() τ của quá trình ngẫu nhiên ở đầu ra.

2.5.1.2. Giải bài toán:

Ở giáo trình "Lý thuyết mạch" ta đã biết hàm phổ biên độ phức của tín hiệu ở đầu ra mạch

vô tuyến điện tuyến tính bằng:

ra v S() K().S()

•••

ω= ω ω (2.24)

K(ω)

GV(ω)

Gra(ω))

Phổ biên độ SK(ω)

AK/2 AK/2

- ωK 0 ωK ω

Phổ năng lượng GK(ω)

δ(ω + ωK) δ(ω - ωK)

- ωK 0 ωK ω Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

Trong đó: K( )

•

ω là hàm truyền của mạch đã biết.

v S( )

•

ω là phổ biên độ phức của tín hiệu vào

Chú ý: Đối với các quá trình ngẫu nhiên ta không biết được v S( )

•

ω . Không thể tính được

v S( )

•

ω , mặt khác ta đã biết theo (2.19):

ra T

ra 22 T

S()

S() 1

G ( ) M lim M lim TT K( )

S()

Mlim .G ( )

K( ) K( )

•

• →∞ →∞

•

→∞ ••

⎧ ⎫ ω ⎪ ⎪ ω ⎪ ⎪

ω= = ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ω ⎪ ⎪ ⎩⎭

= =ω

ωω

Hay:

ra v G() K().G()

•

ω= ω ω (2.25)

Người ta đã chứng minh được rằng hưởng ứng ra của hệ thống tuyến tính có tham số không

đổi là một quá trình ngẫu nhiên không dừng ngay cả khi tác động đầu vào là một quá trình ngẫu

nhiên dừng.

Tuy vậy, trong trường hợp hệ thống tuyến tính thụ động có suy giảm thì ở những thời điểm

t >> t

0 = 0 (thời điểm đặt tác động vào) thì quá trình ngẫu nhiên ở đầu ra sẽ được coi là dừng.

Khi đó hàm tự tương quan và mật độ phổ công suất của quá trình ngẫu nhiên ở đầu ra sẽ

liên hệ với nhau theo cặp biến đổi Wiener - Khinchin. Ta có:

ra ra

R() G()e d

∞

ωτ

−∞

τ =ωω

π ∫ (2.26)

Nhận xét:

Từ (2.25) ta thấy mật độ phổ công suất của hưởng ứng ra được quyết định bởi bình phương

môđun hàm truyền của mạch khi đã cho phổ công suất của tác động vào, nó không phụ thuộc gì

vào đặc tính pha tần của mạch.

Công suất của quá trình ngẫu nhiên ở đầu ra (khi quá trình ngẫu nhiên vào là dừng): Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

ra ra ra v

R (0) G ( )d P K( ) G ( )d

∞∞ •

−∞ −∞

=τ= ω ω= = ω ω ω

ππ ∫∫ (2.27)

Nếu phổ công suất của tác động vào không phụ thuộc tần số, tức là

v G( ) ω =

0 N (quá

trình ngẫu nhiên có tính chất này được gọi là tạp âm trắng) thì:

ra 0

PNK()d

∞ •

−∞

=ωω

π ∫ (2.28)

Vì môđun hàm truyền luôn là một hàm chẵn nên:

ra 0

PNK()d

∞ •

=ωω

π ∫ (2.29)

Mặt khác, nếu gọi

0 G là phổ công suất thực tế (phần phổ công suất trải từ 0 →∞ ) thì

0 G = 2

0 N và (2.29) có thể viết lại như sau:

G PK()d

∞ •

=ωω

π ∫ (2.30)

Hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên ở đầu ra trong trường hợp này sẽ bằng:

ra v

j 0

R() G()K()e d

NK()ed

N K( ) e d

∞ •

ωτ

−∞

∞ •

ωτ

−∞

∞ •

ωτ

−∞

τ= ω ω ω

=ωω

∫

G R() K()cos d

∞ •

τ= ω ωτω

π ∫ (2.31)

2.5.1.3. Ví dụ 1

Một mạch vô tuyến điện tuyến tính có tham số không đổi và đặc tính truyền đạt dạng chữ

nhật (hình 2.4b) chịu tác động của tạp âm trắng dừng. Tìm hàm tự tương quan của tạp âm ra.

GV(ω)

2N0

0 ω1 ω0 ω2 ω

| K(ω) | Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

Theo giả thiết:

v0 G( ) 2N ω= và

01 2

K( )

0(,)

• ω

ω= ⎨

∀ω∉ ω ω ⎩

Theo (2.31), ta có:

2 000

ra 0 2 1

NNK R() Kcos d= (sin sin )

sin NK 2 .cos

τ =ωτωωτ−ωτ

ππτ

Δωτ

=Δω ωτ

πτ Δωτ

∫

ra ra 0

sin

2 R() cos

Δωτ

τ =τ ωτ

Δωτ

(2.32)

Đồ thị ( ) ra R τ như hình 2.5.

(2.32) có thể viết gọn lại như sau:

ra 0ra 0 R() R ()cos τ =τωτ (2.32a)

Trong đó:

0ra ra

sin 2

R()

Δωτ

τ=σ

Δωτ

(2.32b)

(2.32b) gọi là bao của hàm tự tương quan của hưởng ứng.

ω +ω ω= (2.32c)

gọi là tần số trung bình. Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

Vậy, bao của hàm tự tương quan của tạp âm ra là một hàm của đối số τ dạng

sin x

. Cực

đại của hàm tự tương quan của tạp âm ra đạt tại τ = 0 và bằng

ra σ , tức là bằng công suất trung

bình của tạp âm ra.

Bây giờ ta sẽ chuyển sang xét một tham số vật lý nữa để đánh giá mức độ truyền tạp âm qua

mạch tuyến tính.

2.5.1.4. Giải thông tạp âm

Định nghĩa:

Giải thông tạp âm của

mạch tuyến tính (hay bộ lọc

tuyến tính) được xác định theo

biểu thức sau:

t 2

K( ) d

K( ) m

∞ •

•

ωω

Δω =

∫

(2.33)

2π/Δω

Rra(τ)

σ2

ω0 ω

Δωta

| K(ω)|

max

Hình 2.6.

Hình 2.5. Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

Ý nghĩa hình học:

t© Δω chính là đáy của hình chữ nhật có diện tích bằng diện tích của

miền giới hạn bởi đường cong

K( )

•

ω và nửa trục hoành (0, ∞); còn chiều cao của hình chữ

nhật này là

K( )

•

ω max.

Ý nghĩa vật lý:

t© Δω đặc trưng cho khả năng làm suy giảm tạp âm của các bộ lọc tuyến tính. Với cùng

0 K( )

•

ω , bộ lọc nào có

t© Δω càng hẹp thì công suất tạp âm đầu ra của bộ lọc ấy càng bé.

2.5.2. Bài toán tối đa

R G() ω và

R B() τ chưa đặc trưng đầy đủ cho quá trình ngẫu nhiên.

Nội dung: Tìm hàm mật độ xác suất của tín hiệu ở đầu ra mạch vô tuyến điện tuyến tính.

2.5.2.1. Mở đầu

Tìm mật độ xác suất n chiều của tín hiệu ngẫu nhiên ở đầu ra mạch tuyến tính là bài toán rất

khó, nó không giải được dưới dạng tổng quát. Dưới đây chỉ xét hai trường hợp đơn giản:

- Tìm mật độ xác suất một chiều của tín hiệu ra bộ lọc tuyến tính khi tác động đầu vào là tín

hiệu ngẫu nhiên chuẩn (có vô hạn thể hiện). Trong trường hợp này người ta đã chứng minh được

tín hiệu ra cũng là một tín hiệu ngẫu nhiên chuẩn.

- Đặt vào bộ lọc tuyến tính một tín hiệu ngẫu nhiên không chuẩn. Nếu

(F là

bề rộng phổ của tín hiệu vào) thì tín hiệu ngẫu nhiên ở đầu ra sẽ có phân bố tiệm cận chuẩn.

Người ta bảo đó là sự chuẩn hoá (Gauss hoá) các quá trình ngẫu nhiên không chuẩn bằng bộ lọc

giải hẹp.

2.5.2.2. Ví dụ 2

Cho tạp âm giải hẹp, chuẩn có dạng:

0 n(t) c(t)c t s(t)sin t A(t)c t ) 00 os os( =ω+ω= ω−ϕ (*)

với c(t) và s(t) có phân bố chuẩn cùng công suất trung bình và với

s(t)

arctg

c(t)

ϕ=

A(t) c (t) s (t) =+ - đường bao của nhiễu. Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

Công suất trung bình của cả hai thành phần của nhiễu bằng nhau và bằng hằng số:

222

cs σ=σ=σ . Khi n(t) dừng, người ta coi là hai thành phần của nhiễu không tương quan.

Tác động n(t) lên bộ tách sóng tuyến tính. Hãy tìm mật độ xác suất một chiều của điện áp ra

bộ tách sóng biết rằng bộ tách sóng không gây méo đường bao và không gây thêm một lượng dịch

pha nào. Thực chất của bài toán là phải tìm (A) v 11 WµW() ϕ .

Trong giáo trình "lý thuyết xác suất", ta đã có công thức tìm mật độ xác suất một chiều của

từng đại lượng ngẫu nhiên theo mật độ xác suất đồng thời của chúng, nên ta có:

(A) (A, )d ; ( ) (A, )dA 12 12 WW WW

π∞

=ϕϕϕ=ϕ ∫∫

Do đó, vấn đề ở đây là phải tìm (A, ) 2 W ϕ .

Vì bộ tách sóng không gây méo đường bao và không gây thêm một lượng dịch pha nào nên

(A, ) 2 W ϕ ở đầu ra cũng chính là (A, ) 2 W ϕ ở đầu vào.

Tìm (A, ) 2 W ϕ : Vì đầu bài chỉ cho (c) v (s) 11 Wµ W nên ta phải tìm (A, ) 2 W ϕ theo

(c,s) 2 W .

Theo giả thiết c(t) và s(t) không tương quan nên:

(c,s) 2 W = (c). (s) 11 WW (2.34)

()

22 22

c2 s2

2 22

11 1cs

Wc,s e . e exp

22 22

−δ −δ ⎧⎫ + ⎪⎪

⇒= = − ⎨⎬

πδ πδ πδ δ ⎪⎪ ⎩⎭

()

2 22

Wc,s exp A

⎧ ⎫

=− ⎨ ⎬

πδ δ ⎩⎭

(2.35)

Ta thấy xác suất để một điểm có toạ độ (c,s) trong hệ toạ độ Đêcac rơi vào một yếu tố diện

tích dcds sẽ bằng: (c,s) dcds 2 P W dcds = . Để ý đến (*) ta thấy xác suất này cũng chính là xác

suất để một điểm có toạ độ (A, ) ϕ trong hệ toạ độ cực rơi vào một yếu tố diện tích dAdϕ. Ta có: Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

(c,s) (A, ) dcds 2 2 P W dcds = W dAd =ϕϕ

(2.36)

Từ đó:

(A, ) (c,s) 22

dcds

WW dAd

ϕ=

(**)

Từ H.2.7 ta thấy với dA, dϕ đủ nhỏ ta có: dc ds = Adϕ. DA

Từ (**) ta có:

() ()

22 22

1A WA, Wc,s exp

⎧ ⎫ ⎪ ⎪

ϕ= = − ⎨ ⎬

πδδ ⎪ ⎪ ⎩⎭

(2.37)

Do đó: () ( )

22 2

12 22

AA WA WA, d exp d

ππ ⎧⎫ ⎪⎪

=ϕϕ= ϕ ⎨⎬

πδ δ ⎪⎪ ⎩⎭

∫∫

()

1 22

AA WA exp

⎧⎫ ⎪⎪

=− ⎨⎬

σδ ⎪⎪ ⎩⎭

(2.38)

(2.38) gọi là phân bố Reyleigh (H.2.8).

dϕ

S + dS

0 c c + dc c

Hình 2.7. Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

Vậy nhiễu giải hẹp mà trị tức thời có phân bố chuẩn thì phân bố của đường bao là phân bố

không đối xứng Reyleigh. Sở dĩ như vậy vì giá trị tức thời có cả giá trị âm và giá trị dương nên

phân bố mật độ xác suất sẽ đối xứng qua trục tung (phân bố Gausse). Còn xét đường bao tức là

chỉ xét biên độ (giá trị dương) nên mật độ phân bố xác suất là đường cong không đối xứng và chỉ

tồn tại ở nửa dương trục hoành.

() ( )

12 22

1A A WWA,dA exp dA

2 2

∞∞ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪

ϕ= ϕ = − ⎨ ⎬

π δδ ⎪ ⎪ ⎩⎭

∫∫ () () 11

WWAdA

∞

ϕ=

π ∫ (2.39)

Vậy mật độ phân bố xác suất pha đầu của nhiễu giải hẹp, chuẩn là phân bố đều trong

khoảng (0,2 π ). (H.2.9).

2.5.2.3. Ví dụ 3:

Ở đầu vào bộ tách sóng tuyến tính đặt hỗn hợp tín hiệu và nhiễu:

y(t) = x(t) + n(t)

Với:

0 x(t) U c t 0 os =ω là tín hiệu xác định.

[] n n(t) A (t)c t (t) 0 os =ω−ϕ là nhiễu giải hẹp, chuẩn.

Tìm mật độ phân bố xác suất đường bao và pha của điện áp đầu ra bộ tách sóng tuyến tính.

Ta có:

[]

00yy

y(t) U c t c(t)c t s(t)sin t

U c(t) c t s(t)sin t A (t)c t (t)

os os

=ω+ ω+ω

⎡ ⎤ = + ω+ ω= ω−ϕ ⎣ ⎦

Trong đó: []

2 2

y0 A(t) U c(t) s(t) =++ là bao của hỗn hợp tín hiệu và nhiễu.

y (t)

c(t) 0

s(t)

arctang

ϕ=

là pha của hỗn hợp tín hiệu và nhiễu.

Làm tương tự như VD2, ta có:

W1(A/σ)

0,6

0,4

0,2

0 1 2 3 A/σ

Hình 2.8.

W1(ϕ)

1/2π

0 2π ϕ

Hình 2.9. Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

()

() () ()

yy0y0

1y 0 22 2

At At U At U

WA exp .I

⎧⎫ ++ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪

=− ⎨ ⎬⎨ ⎬

δδ δ ⎪ ⎪ ⎩⎭ ⎪⎪ ⎩⎭

(2.40)

(2.40) gọi là phân bố Rice (H.2.10a).

I 0 là hàm Bessel biến dạng loại 1 cấp 0.

I(z) e d

= θ

π ∫

I 0 (z) có thể viết dưới dạng chuỗi vô hạn sau:

0 2

I(z)

2 (n!)

∞

⎛⎞

= ⎜⎟

⎝⎠

∑

Khi z

I(z) 1 ... e

=+ + ≈

Nhận xét:

- Khi a = 0 ⇔ không có tín hiệu, chỉ có nhiễu giải hẹp, chuẩn ⇒ phân bố Rice trở về

phân bố Reyleigh.

- a càng lớn, phân bố Rice càng tiến tới phân bố Gausse.

Giải thích:

a >> 1 ⇔ tín hiệu mạnh, nhiễu yếu. Tín hiệu tác dụng với thành phần không trực giao với

nó của nhiễu (khi tín hiệu càng mạnh thì hỗn hợp này càng ít khác tín hiệu), còn thành phần của

nhiễu trực giao với tín hiệu thì không chịu sự "chèn ép" của tín hiệu. Do đó mật độ phân bố xác

suất bao của hỗn hợp sẽ mang đặc điểm của thành phần nhiễu trực giao với tín hiệu.

()

2 2

0y 0y 0 y 0

1y 22 22

Ucos Ucos Usin U 1

W exp 1 exp

2 2 22 2

⎧ ⎫ ⎡⎤ ⎛⎞ ⎧⎫ ϕ ϕϕ ⎪⎪ ⎪ ⎪

ϕ= − + +φ − ⎢⎥ ⎜⎟ ⎨⎬ ⎨ ⎬ ⎜⎟ π δδ ⎪⎪ ⎢ ⎥ πδ δ ⎪ ⎪ ⎩⎭ ⎝⎠ ⎣⎦ ⎩⎭

(2.41)

Trong đó:

(z) e d

−θ

φ= θ

π ∫ là tích phân xác suất.

Đồ thị (2.41) biểu diễn trên hình H.2.10b.

W1(ϕy)

a = 5

a = 2 U0/σ = 0

a = U0/σ = 0

a = 2

a = 4

0,2

0,4

W(Ay/σ) Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

Nhận xét:

- a = 0 ⇔ chỉ có nhiễu

y () 1 W ϕ chính là () 1 W ϕ đã xét ở VD2.

- a >> 1 ⇒ đường cong

y () 1 W ϕ càng nhọn, hẹp.

Giải thích:

Với a càng lớn thì có thể bỏ qua ảnh hưởng xấu của nhiễu. Do đó đường bao (biên độ tín

hiệu) không có gia số (không thăng giáng) và cũng không có sai pha. Khi đó

y ϕ nhận giá trị "0"

trong khoảng (- π, π) với xác suất lớn.

2.6. BIỂU DIỄN PHỨC CHO THỂ HIỆN CỦA TÍN HIỆU NGẪU NHIÊN - TÍN HIỆU

GIẢI HẸP

2.6.1. Cặp biến đổi Hilbert và tín hiệu giải tích

2.6.1.1. Nhắc lại cách biểu diễn một dao động điều hoà dưới dạng phức

Cho: x(t) = ( ) 00 Ac t A(t)c 0 os os (t) ω+ϕ= θ (2.42)

Trong đó:

0 ω : tần số trung tâm; (t) θ : pha đầy đủ;

0 ϕ : pha đầu.

Trong "Lý thuyết mạch", người ta rất hay

dùng cách biểu diễn x(t) dưới dạng phức sau:

j(t)

x(t) x(t) jx(t) A(t)e

•∧

=+ = (2.43)

Trong đó:

x(t) = Re [ x(t)

•

];

x(t)

∧

= Im [ x(t)

•

] =

0 Asin(t) θ

Im[x(t)]

x(t) M

θ(t)

0 x(t) Re[x(t)]

Hình 2.11 Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

Ta có thể biểu diễn x(t)

•

dưới dạng một vecteur trên mặt phẳng phức.

Khi A(t) = const thì quỹ tích của điểm M sẽ là một vòng tròn tâm O, bán kính OM.

(t) d (t) dt ω=θ là tần số của dao động (H.2.11)

2.6.1.2. Cặp biến đổi Hilbert - Tín hiệu giải tích

a. Cặp biến đổi Hilbert và tín hiệu giải tích:

Để dễ dàng biểu diễn dưới dạng phức những thể hiện phức tạp của các quá trình ngẫu nhiên,

người ta dùng cặp biến đổi Hilbert. Nó cho phép ta tìm x(t)

∧

khi biết x(t) và ngược lại.

Hilbert đã chứng tỏ rằng phần thực và phần ảo của hàm phức (2.43) liên hệ với nhau bởi các

biến đổi tích phân đơn trị hai chiều sau:

x( )

x(t) Im (t) d

[x ]=

∞ ∧•

−∞

= τ=

π−τ ∫ h [x(t)] (2.44)

x( )

x(t) d Re (t)

[x ]

∧ ∞ •

−∞

= −τ==

π−τ ∫ h

1 −

[x(t)] (2.45)

Cặp công thức trên được gọi là cặp biến đổi Hilbert. Trong đó (2.44) gọi là biến đổi thuận

Hilbert, còn (2.45) gọi là biến đổi ngược Hilbert.

Chú ý:

Cũng giống như tính chất của các tích phân, biến đổi Hilbert là một phép biến đổi tuyến

tính.

(Một phép biến đổi f được gọi là tuyến tính nếu có:

f(x1 + x 2 ) = f(x1 ) + f(x 2 )

f(kx) = k f(x), k = const)

Các hàm x(t) và x(t)

∧

được gọi là liên hiệp Hilbert đối với nhau. Tín hiệu phức x(t)

•

có

phần thực và phần ảo thoả mãn cặp biến đổi Hilbert gọi là tín hiệu giải tích (tương ứng với tín

hiệu thực x(t)).

b. Biến đổi Hilbert đối với tín hiệu hình sin:

Trong mục này ta sẽ chứng tỏ ct 0 osω và t 0 sinω thoả mãn cặp biến đổi H. Thật vậy: Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

1c 1c (t) t

x(t) d d

1c (t).c tsin(t).sint

ctc(t) sintsin(t)

000

0000

00 00

os os[ ]

os os ]

os os

∞∞ ∧

−∞ −∞

∞

−∞

∞∞

−∞ −∞

ωτ ω −τ−ω =τ= τ=

π−τ π −τ

ω−τ ω+ω−τ ω =τ=

π−τ

ωω−τ ωω−τ

=τ+τ

π−τ π−τ

∫∫

∫

∫∫

Chú ý rằng:

dz 0

osaz

∞

−∞

= ∫ và

sin

∞

−∞

= π ∫

0 x(t) sin t

∧

⇒=ω

Vậy ( 0 sin t ω ) là liên hợp H của ( 0 ct osω )

Tương tự ( - 0 ct osω ) là liên hợp phức H của ( 0 sin t ω )

c. Biến đổi H đối với các hàm tổng quát hơn:

- Đối với các hàm tuần hoàn x(t):

Trong "Lý thuyết mạch" ta đã biết, chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn (thoả mãn điều kiện

Dirichlet) là:

KK0

x(t) (a c K t b sinK t) 0 os

∞

=ω+ω ∑ (2.46)

Vì biến đổi H là biến đổi tuyến tính nên biến đổi H của tổng bằng tổng các biến đổi H của

các hàm thành phần, nên:

x(t)

∧

= h [x(t)]

KK0

(a sinK t b c K t) 0 os

∞

=ω−ω ∑ (2.47)

(2.46) và (2.47) gọi là chuỗi liên hiệp H.

- x(t) không tuần hoàn:

Nếu hàm không tuần hoàn x(t) khả tích tuyệt đối thì khai triển Fourier của nó là:

x(t) a( )c t b( )sin t

[os ]d

∞

=ωω+ωωω

π ∫ (2.48)

Khi đó: Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

x(t)

∧

= h [x(t)] =

2π

[a()cost+b()sint]d

∞ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪

ω ωωωω= ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎩⎭

∫

{}

H[a( ) cos t] + H[b( ) sin t] d

∞

= ωω ωωω

π ∫

[a( )sin t - b( )cos t]d

∞

= ωω ωωω

π ∫ (2.49)

(2.48) và (2.49) gọi là các tích phân liên hiệp H.

d. Các yếu tố của tín hiệu giải tích:

Từ (2.46) và (2.47) (hoặc từ (2.48) và (2.49)) ta xây dựng được tín hiệu giải tích ứng với tín

hiệu thực x(t) như sau:

j(t)

x(t) x(t) jx(t) A(t)e

•∧

=+ =

x(t) = Re [ x(t)

•

] = A(t)cos (t) θ (a)

x(t)

∧

= Im [ x(t)

•

] = A(t)sin (t) θ (b)

- Đường bao của tín hiệu giải tích:

Từ (a) và (b) ta thấy:

A(t) x (t) x (t)

∧

=+ (2.50)

A(t) đặc trưng cho sự biến

thiên (dạng biến thiên) của biên

độ của tín hiệu (H.2.12).

A(t) được gọi là đường bao

của tín hiệu (còn gọi là biên độ

biến thiên hay biên độ tức thời của

tín hiệu).

- Pha tức thời của tín hiệu

giải tích:

Ký hiệu pha tức thời: (t) θ

bằng:

x(t)

(t) arctg

x(t)

∧

θ= (2.51)

x(t)

A(t)

Hình 2.12 Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

- Tần số góc tức thời của tín hiệu giải tích

(t) ω :

d (t) x(t)

(t) arctg

dt x(t)

∧ ′

⎡⎤

θ ⎢⎥ ω= = =

⎢⎥

⎢⎥ ⎣⎦

x(t) x(t)

x(t)x (t) x(t)x (t)

x(t) x(t) x(t)

x(t)

∧

∧∧

′

⎡⎤

′

⎢⎥

′ − ⎣⎦

(2.52)

- Tính chất của A(t):

+ A(t) ≥ x(t)

+ Khi x(t)

∧

= 0 ⇒ A(t) = x(t)

+ Xét:

x(t).x (t) x(t).x (t)

A(t)

x(t) x(t)

∧∧

∧

′

′ +

′ =

Khi x(t)

∧

= 0 ⇒ A'(t) = x'(t)

Vậy khi x(t)

∧

= 0 thì độ nghiêng của A(t) và x(t) là như nhau.

- Kết luận:

Đối với các tín hiệu ngẫu nhiên thì các yếu tố của tín hiệu là ngẫu nhiên. Nhờ có

khái niệm tín hiệu giải tích nên ta mới nghiên cứu các tính chất thống kê của các yếu

tố của nó được thuận lợi, đặc biệt là trong tính toán.

2.6.2. Tín hiệu giải rộng và giải hẹp

2.6.2.1. Tín hiệu giải rộng

Người ta gọi một tín hiệu là tín hiệu giải rộng

nếu bề rộng phổ của nó thoả mãn bất đẳng thức

Δω ≥

(2.53)

Nhìn chung tín hiệu giải rộng là tín hiệu mà

bề rộng phổ của nó có thể so sánh được với

0 ω .

Trong đó

21 Δω=ω −ω và

ω +ω ω= gọi là tần số trung tâm (xem H.2.13).

Δω

0 ω1 ω0 ω2

G(ω)

Hình 2.13 Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

Ví dụ: Các tín hiệu điều tần, điều xung, điều chế mã xung, manip tần số, manip pha,... là

các tín hiệu giải rộng.

2.6.2.2. Tín hiệu giải hẹp

Nếu tín hiệu có bề rộng phổ thoả mãn:

Δω ≤

(2.54)

Thì nó được gọi là tín hiệu giải hẹp. (H.2.14).

Ví dụ: tín hiệu giải hẹp là các tín hiệu như:

tín hiệu cao tần hình sin, tín hiệu cao tần điều biên,

tín hiệu đơn biên ....

Nhìn chung tín hiệu giải hẹp là tín hiệu mà bề

rộng phổ của nó khá nhỏ hơn so với tần số

0 ω .

2.6.2.3. Biểu diễn tín hiệu giải hẹp

Nếu một tín hiệu giải hẹp có biểu thức giải tích sau:

0 x(t) A(t)cos[ t (t)] = A(t)cos (t) = ω−ϕ θ (2.55)

Trong đó:

0t ω là thành phần thay đổi tuyến tính của pha chạy (pha tức thời)

(t) ϕ là thành phần thay đổi chậm của pha chạy

A(t) là đường bao của tín hiệu

Thì (2.55) có thể khai triển như sau:

x(t) A(t)cos tcos (t) A(t)sin tsin (t)

A(t)cos (t)cos t A(t) sin (t) sin t

= ωϕ+ ωϕ

=ϕω+ϕω

= c(t). cos 0t ω + s(t). sin 0t ω (2.56)

c(t). cos 0t ω là tín hiệu điều biên biến đổi chậm

s(t). sin 0t ω là tín hiệu điều biên biến đổi chậm

Vậy một tín hiệu giải hẹp hình sin bao giờ cũng có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai tín

hiệu điều biên biến đổi chậm, với các yếu tố xác định như sau:

0 ω1 ω0 ω2 ω

G(ω) Δω

Hình 2.14 Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

A(t) c (t) s (t)

s(t)

(t) arctg

c(t)

d(t)

(t)

⎧

⎪ =+

⎪

ϕ= ⎨

⎪

⎪ θ

ω= ⎪

⎩

(2.57)

Rõ ràng là các số hạng ở vế phải (2.56) thoả mãn cặp biến đổi Hilbert.

Việc biểu diễn một tín hiệu giải hẹp thành tổng của hai tín hiệu điều biên biến thiên chậm sẽ

làm cho việc phân tích mạch vô tuyến điện dưới tác động của nó đơn giản đi nhiều. Ta sẽ xét lại

bài toán này ở phần sau.

2.7. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CHO THỂ HIỆN CỦA TÍN HIỆU NGẪU NHIÊN

2.7.1. Khai triển trực giao và biểu diễn vecteur của tín hiệu

2.7.1.1. Năng lượng của chuỗi Kachennhicov

Ta đã biết rất rõ khai triển trực giao Fourier cho các hàm x(t) có phổ vô hạn. ở giáo trình

"Lý thuyết mạch", ta cũng biết rằng một hàm x(t) có phổ không chứa tần số lớn hơn Fc có thể

phân tích thành chuỗi trực giao Kachennhicov sau:

c K

sin 2 F (t K t)

x(t) x(K t)

2F(t Kt)

∞

=−∞

π −Δ

=Δ

π−Δ ∑ (2.58)

Trong đó:

c t12F Δ=

Nếu ta chỉ xét tín hiệu có phổ hữu hạn x(t) trong khoảng thời gian T hữu hạn thì ta có biểu

thức gần đúng sau để tính năng lượng của nó:

2 T2 T2 n

2 c

c K1 T2 T2

sin (t K t)

Ex(t)dt x dt

(t K t)

= −−

⎡⎤ ω−Δ

=≈ ⎢⎥

ω−Δ ⎢⎥ ⎣⎦

∑ ∫∫ (*)

Trong đó n là số các giá trị rời rạc (còn gọi là các giá trị mẫu) của thể hiện tín hiệu x(t)

trong khoảng quan sát T; còn xK là giá trị mẫu thứ K của x(t) tại thời điểm rời rạc Kt Δ . Để cho

gọn, ta đặt

c (t K t) ω−Δ=λ , khi đó (*) có dạng:

2 T2 T2 2 nn

KK 2

cc K1 K1 T2 T2

1 sin 1 sin

Exdxd

== −−

⎡⎤ λλ

≈ λ= λ ⎢⎥

ωλω λ ⎢⎥ ⎣⎦

∑∑ ∫∫

Ta có:

T2 2

sin

−

λ≈π

λ ∫ (với T khá lớn) Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

cc K1 K1

Ex x

2F ==

⇒= =

ω ∑∑ (2.59)

(2.59) cho ta tính được năng lượng của chuỗi

2.7.1.2. Biểu diễn x(t) thành vectơ x

→

trong không gian n chiều

Khai triển Kachennhicov (2.58) là một dạng khai triển trực giao. Các hàm

sin (t K t)

(t)

(t K t)

ω−Δ

ψ=

ω−Δ

là các hàm trực giao.

c cc

iK sin (t K t) sin (t i t)

.dt

(t K t) (t i t) 0iK

∞

−∞

⎛⎞ πω = ⎧ ω−Δ ω−Δ

= ⎜⎟ ⎨ ⎜⎟ ω−Δ ω−Δ ≠ ⎩ ⎝⎠

∫

Vì vậy ta có thể coi mỗi hàm là một vecteur đơn vị trên hệ trục toạ độ trực giao. Khi T hữu

hạn thì Kmax = n cũng sẽ hữu hạn. Khi đó ta có thể coi x(t) là một vectơ x

→

trong không gian n

chiều có các thành phần (hình chiếu) trên các trục toạ độ tương ứng là x(K t) Δ , (K = 1, n ).

{ }

{} 12 n

x(t) x(t t),x(t 2 t),...,x(t n t)

x(t) x ,x ,...,x x

→

⇔ −Δ − Δ − Δ

⇔⇔

Theo định nghĩa, độ dài (hay chuẩn) của vecteur x

→

sẽ là:

xx(x,x)

→→→

⎛⎞

== ⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

∑ (2.60)

Để ý đến (2.59), ta có:

cc x2FE2FT.PnP

→

== = (2.61)

( c

n2FT

)

Trong đó P là công suất của thể hiện tín hiệu trong khoảng hữu hạn T. Như vậy, với thời

hạn quan sát và bề rộng phổ của thể hiện cho trước thì độ dài của vecteur biểu diễn tỷ lệ với căn

bậc hai công suất trung bình của nó. Nếu cho trước công suất trung bình P thì độ dài của vecteur

→

sẽ tỷ lệ với n (tức là tỷ lệ với căn bậc hai của đáy tín hiệu B =

= )

Nhận xét: Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

Như vậy, với cùng một công suất trung bình tín hiệu nào có đáy càng lớn (tức là tín hiệu

càng phức tạp) thì độ dài của vecteur biểu diễn nó càng lớn. Khi đáy của tín hiệu càng lớn thì độ

dài của vecteur tín hiệu càng lớn → vecteur tổng của tín hiệu và nhiễu giải hẹp càng ít khác

vecteur tín hiệu → ta sẽ nhận đúng được tín hiệu với xác suất cao. Để tính chống nhiễu của tín

hiệu càng cao thì yêu cầu B càng phải lớn.

Trong trường hợp x(t) không rời rạc hoá:

Ex(t)dt = ∫ . Khi đó chuẩn của vecteur sẽ

là:

cx c

x(x,x)2FE x2Fx(t)dt

→→→ →

==⇒= ∫ (2.62)

Người ta còn gọi không gian mà chuẩn của vecteur cho bởi tích vô hướng (2.62) là không

gian Hilbert và ký hiệu là L 2

. Không gian L 2

là sự mở rộng trực tiếp của không gian Euclide hữu

hạn chiều lên số chiều vô hạn.

2.7.2. Mật độ xác suất của vecteur ngẫu nhiên - Khoảng cách giữa hai vecteur tín hiệu

2.7.2.1. Mật độ xác suất của vecteur ngẫu nhiên

a. Vecteur tín hiệu:

Để tiếp tục những vấn đề sau này được thuận tiện, ta đưa vào khái niệm vecteur tín hiệu.

Định nghĩa:

Vecteur tín hiệu

0 x

→

là vecteur sau:

→ →Δ

= (2.63)

Trong đó x

→

là vecteur biểu diễn tín hiệu x(t) trong không gian n chiều.

Tính chất:

0 x

→

có phương và chiều trùng với x

→

+ Độ lớn (modul):

→ →

b. Xác suất phân bố của mút vecteur

0 x

→

và miền xác định của nó

Trong không gian tín hiệu, tín hiệu được biểu diễn bởi vecteur. Do đó xác suất để tồn tại tín

hiệu đó ở một miền (nói riêng: tại một điểm) nào đấy của không gian chính là xác suất để mút

vecteur tín hiệu rơi vào miền ấy (nói riêng: điểm ấy) của không gian. Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

Nếu x(t) là xác định thì mút của vecteur

0 x

→

chỉ chiếm một điểm trong không gian n chiều.

Còn nếu x(t) là ngẫu nhiên có một tập các thể hiện { } i

x(t) thì mút vecteur

0 x

→

của nó sẽ chiếm

một miền nào đó trong không gian n chiều với thể tích:

12 n V x . x .... x = ΔΔ Δ . Khi ấy, xác suất

để tồn tại tín hiệu ngẫu nhiên trong miền có thể tích dV sẽ là:

{ }

() 12 n 1 2 n 0

Pt/hNN dV P dV

dP x ,x ,...,x dx dx ...dx (x )dV nn

{mót vecteur t/h ®ã } =

→

∈= ∈

== =

(2.64)

Sau đây ta sẽ xét miền xác định của một số dạng tín hiệu ngẫu nhiên:

- Các thể hiện của tín hiệu phát có cùng đáy, cùng công suất:

Khi đó miền các định của vecteur tín hiệu phát sẽ là mặt cầu có bán kính bằng chuẩn của

vecteur tín hiệu phát

0 xP

→

= và có tâm ở gốc toạ độ của vecteur ấy. (Sở dĩ như vậy vì

0 x

→

có chuẩn không đổi nhưng phương và chiều của nó thay đổi ngẫu nhiên).

- Tạp âm trắng:

Ta đã biết rằng các thể hiện

n(t) của tạp âm trắng n(t) có cùng công suất P n . Như vậy

miền xác định của tạp âm trắng là mặt cầu có bán kính bằng

n P , có tâm là gốc của vecteur tạp

âm

0 n

→

- Tổng của tín hiệu x(t) và tạp âm n(t):

y(t) = x(t) + n(t)

00 0 0 y yx n y P

→→→ →

⇒=+ ⇒ =

Nếu x(t) và n(t) không tương quan thì:

yxn PPP =+ (vì

yxn B (0) B (0) B (0) = + )

xn xn 00 yPP yPP

→→

⇒=+⇒ =+

222

000 yxn

→→→

⇒= + (*) Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

Từ (*) ta thấy

0 x

→

⊥

0 n

→

và

0 y

→

là cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh là

0 x

→

và

0 n

→

Nếu x(t) xác định thì miền xác định của mút

0 y

→

sẽ là đường tròn đáy của hình nón có đỉnh

ở gốc tọa độ, chiều cao bằng

0 x

→

và bán kính bằng

0 n

→

. (H.2.15a).

Nếu x(t) chỉ là một thể hiện nào đó của quá trình ngẫu nhiên X(t) có các thể hiện cùng công

suất thì lúc đó miền xác định của mút

0 y

→

sẽ là một mặt cầu có bán kính bằng

xn PP + và có

tâm ở gốc toạ độ (H.2.15b).

2.7.2.2. Khoảng cách giữa hai vecteur tín hiệu

Để đánh giá định lượng sự khác nhau giữa hai vecteur tín hiệu, ta đưa ra khái niệm khoảng

cách giữa hai vecteur tín hiệu.

Định nghĩa:

Khoảng cách giữa hai vecteur tín hiệu

0 u

→

và

0 v

→

được xác định theo biểu thức sau:

Hình 2.15a

Hình 2.15b Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

00 0 0

00 K K

d(u ,v ) u v u v

d(u ,v ) (u v )

→→Δ → → → →

→→

=− = −

⇒= − ∑

Hay:

nnn

222

00 K K KK 22

K1 K1 K1

112

d(u,v) u v u .v

n (n) (n)

→→

===

=+ − ∑∑∑

Ta có:

22 n

K00000 2

22 n

K00000 2

KK 00 0 0 00

uuuu.uc(u,u)

n (n)

vvvv.vc(v,v)

n (n)

u.v (u,v) u .v c (u,v)

→→→→→→

→→ → → →→

⎧

⎪ ===

⎪

⎪ ⎪

=== ⎨

⎪

⎪ ==

⎪

⎪ ⎩

∑

00 0 0 0 0 00

00 0 0 0 0

d(u,v) u v 2 u . v c (u,v)

d(u,v) u v 2 u . v c

→→ → → → → →→

→→ → → → →

⇒=+−

=+ − ϕ

Trong đó ϕ là góc hợp bởi

0 u

→

và

0 v

→

trong không gian n chiều.

u.v

→→

→→ ϕ= (2.65)

00 u v uv d(u,v) P P 2 PP cos

→→

=+− ϕ (2.66)

Nếu ta không rời rạc hoá tín hiệu thì:

00 0 0

d(u ,v ) u v dt

[u(t) - v(t)]

→→

=−= ∫ Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

Hay

TTT

000

112

d(u,v) dt v dt v dt

TTT

u (t) (t) u(t). (t) =+− ∫∫∫

uv uv

PP2R(t,t)

PP2R(0)

=+−

Trong đó

uv R(0) là hàm tương quan chéo của tín hiệu u(t) và v(t).

uv u v uv R (0) D (t).D (t) (0) =ρ

00 d(u,v) = uv uvuv PP2P.P (0) +− ρ (2.67)

So sánh (2.66) và (2.67) ta thấy ngay ý nghĩa hình học của hàm tương quan chéo chuẩn hoá:

uv (0) ρ đóng vai trò cosin chỉ phương của hai vecteur tín hiệu.

uv c(0) os = ϕρ (2.68)

Kết luận:

- Với một mức nhiễu xác định, xác suất thu đúng càng cao khi các thể hiện của tín hiệu

càng cách xa nhau.

- Khoảng cách giữa hai mút của hai vecteur tín hiệu càng lớn khi độ dài hai vecteur càng

lớn.

2.7.3. Khái niệm về máy thu tối ưu

2.7.3.1. Máy thu tối ưu

Một cách tổng quát, ta coi một máy thu đặc trưng bởi một toán tử thu ψ (H.2.17). Yêu cầu

của toán tử thu ψ là tác dụng vào y(t) (là tín hiệu vào) phải cho ra tín hiệu đã phát x(t).

Nếu ta phát đi một thể hiện nào đó của một quá trình ngẫu nhiên X(t):

{ } i

X(t) x (t) (i 1,m) ==

Ta coi những thể hiện này có cùng công suất P x , có cùng thời

hạn T và có cùng bề rộng phổ F c .

Giả thiết: trong quá trình truyền từ nơi phát đến nơi thu chỉ có

tạp âm trắng Gausse n(t), các tín hiệu phát là đồng xác suất

Vecteur tín hiệu ta nhận được:

0 yyn

→→

y(t) x(t)

Hình 2.16. Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

Nếu

0 y

→

này gần với vecteur tín hiệu

j0 x

→

nhất so với các vecteur tín hiệu khác, tức là:

j i

x yyx

nn nn

→ →→→

−≤− Với i: i 1,m vµ i j ∀ =≠

Khi đó máy thu có ψ tác dụng lên y

→

cho ra

→

K [y]=x

→→

ψ , sẽ được gọi là máy thu

tối ưu (theo nghĩa Kachennhicov trong trường hợp các tín hiệu ( ) i

xt là đồng xác suất).

2.7.3.2. Liên hệ giữa máy thu tối ưu K và máy thu theo tiêu chuẩn độ lệch trung bình bình

phương nhỏ nhất

Độ lệch trung bình bình phương (tbbp) giữa tín hiệu thu được và tín hiệu phát thứ j là:

(t) (t) dt

[y(t) - x ] [y(t) - x ]

−−−−−−−−−−−

= ∫

Máy thu theo tiêu chuẩn độ lệch tbbp nhỏ nhất là máy thu đảm bảo:

min (t) j 1,m 2

[y(t) - x ]

− −−−−−−−−−−

∀

Như vậy, máy thu sẽ cho ra tín hiệu

x(t)

→

nếu:

(t) (t) i j, i 1,m 22

[y(t) - x ] [y(t) - x ]

−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−

≤∀≠=

Hay

(t) dt (t) dt i j, i 1,m TT

[y(t) - x ] [y(t) - x ] ≤∀≠= ∫∫

Nâng lên luỹ thừa 1/2, ta có:

(t) dt (t) dt i j, i 1,m TT

[y(t) - x ] [y(t) - x ] ≤∀≠= ∫∫

Theo định nghĩa của khoảng cách, ta có thể viết lại như sau:

0j0 0i0 d(y ,x ) d(y ,x ) i j, i 1,m

→→ →→

≤∀≠=

Đây chính là hệ thức đảm bảo bởi máy thu tối ưu K. Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

BÀI TẬP

2.1. Đồ thị giá trị trung bình a(t) và giá trị trung bình bình phương ( ) t σ của các quá trình ngẫu

nhiên X(t), Y(t) và Z(t) vẽ trên hình 1 dưới đây. Hãy chỉ ra trên đồ thị miền các giá trị có thể có

của các quá trình ngẫu nhiên này, biết rằng biên giới của các miền đó được xác định bởi các giá trị

của () t σ .

Hình 1.

2.2. Trên hình 2 vẽ hàm ngẫu nhiên dừng rời rạc X(t), gọi là dãy xung điện báo. Dãy xung có biên

độ không đổi bằng đơn vị, có độ rộng ngẫu nhiên.

Phân bố xác suất các giá trị (0 hoặc 1) của X(t) tuân theo luật Poisson:

ax(t)

ay(t)

az(t)

t t t

( ) y t σ

0 0

( ) z t σ

x(t)

Hình 2. Chương 2: Tín hiệu và nhiễu

()

Pt e t 0

−λ λ

= >

Trong đó λ là số các bước nhảy của hàm X(t) trong một đơn vị thời gian, còn ( ) n Pt là

xác suất để xảy ra n bước nhảy của hàm X(t) trong thời gian t.

Hãy tìm hàm tự tương quan, hàm tương quan chuẩn hoá và thời gian tương quan của quá

trình ngẫu nhiên, biết rằng P(1) = P(0) = 0,5.

2.3. Tìm hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên dừng sau:

( ) ( ) 0 Xt Acos2ft =π+ϕ

Trong đó A = const,

0 f = const, ϕ là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố đều trong khoảng

() , −π π .

2.4. Tìm hàm tự tương quan và mật độ phổ của tín hiệu điện báo ngẫu nhiên X(t) cho bởi hình

dưới đây. Biết rằng nó nhận các giá trị + a; - a với xác suất như nhau và bằng 1/2. Còn xác suất để

trong khoảng τ có N bước nhảy là:

()

PN, e 0

−λτ λτ

τ= τ>

(theo phân bố Poisson).

2.5. Hãy chứng tỏ rằng đường bao của tín hiệu giải tích có thể biểu diễn bằng công thức sau:

() () ()

aa At S t.S t =

Trong đó: ( )

a St là hàm liên hợp phức của ( ) a St :

() () () a St xt jxt

∧

=+ là tín hiệu giải tích.

2.6. Một quá trình ngẫu nhiên dừng có hàm tự tương quan:

a. () 1

x R.e

−ατ

τ=σ

b. () 2

x0 R.e.cos

−α τ

τ=σ ωτ

Hãy tính toán và vẽ đồ thị mật độ phổ của các quá trình ngẫu nhiên trên. Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

CHƯƠNG 3 - CƠ SỞ LÝ THUYẾT THÔNG TIN THỐNG KÊ

3.1. THÔNG TIN - LƯỢNG THÔNG TIN - XÁC SUẤT VÀ THÔNG TIN - ĐƠN VỊ

ĐO THÔNG TIN

3.1.1. Định nghĩa định tính thông tin và lượng thông tin

3.1.1.1. Thông tin

Ở chương trước, ta đã học khái niệm về thông tin. Ở đây ta sẽ xây dựng định nghĩa định

tính của thông tin theo quan điểm thống kê. Để đi tới định nghĩa định tính của thông tin, ta sẽ xét

ví dụ sau:

Ta nhận được một bức điện (thư) từ nhà đến. Khi chưa mở bức điện ra đọc thì ta chỉ có thể dự

đoán hoặc thế này hoặc thế khác về bức điện, mà không dám chắc nội dung của nó là gì. Nói khác

đi, khi chưa mở bức điện ra đọc thì ta không thể xác định được nội dung của nó, tức là ta chưa biết

gia đình báo cho ta thông tin gì. Nhưng khi đã xem xong bức điện thì nội dung của nó đối với ta đã

hoàn toàn rõ ràng, xác định. Lúc đó, nội dung của bức điện không còn bấp bênh nữa. Như vậy, ta nói

rằng: ta đã nhận được một tin về gia đình. Nội dung của bức điện có thể có 3 đặc điểm sau:

- Nội dung đó ta đã thừa biết. (VD: "Các em con được nghỉ hè 3 tháng"). Khi đó bức điện

không cho ta một hiểu biết gì mới về tình hình gia đình. Hay nói theo quan điểm thông tin, thì bức

điện với nội dung ta đã thừa biết không mang đến cho ta một thông tin gì.

- Loại nội dung ta có thể đoán thế này hoặc thế nọ (tức là loại nội dung có độ bấp bênh nào

đấy). VD: "Em An đã đỗ đại học". Vì em An học lực trung bình nên thi vào đại học có thể đỗ, có

thể không. Điện với nội dung ta không biết chắc (nội dung chứa một độ bất định nào đó) thật sự

có mang đến cho ta một thông tin nhất định.

- Loại nội dung mà ta hoàn toàn không ngờ tới, chưa hề nghĩ tới. VD: "Em An trúng giải

nhất trong đợt xổ số". Bức điện như vậy, đứng về mặt thông tin mà nói, đã đưa đến cho ta một

thông tin rất lớn.

Chú ý: Ở đây ta nói tới "những nội dung chưa hề nghĩ tới" phải hiểu theo ý hoàn toàn

khách quan chứ không phải do sự không đầy đủ về tư duy của con người đem lại.

Từ những ví dụ trên, ta rút ra những kết luận sau về khái niệm thông tin:

- Điều gì đã xác định (khẳng định được, đoán chắc được, không bấp bênh,...) thì không có

thông tin và người ta nói rằng lượng thông tin chứa trong điều ấy bằng không.

- Điều gì không xác định (bất định) thì điều đó có thông tin và lượng thông tin chứa trong nó

khác không. Nếu ta càng không thể ngờ tới điều đó thì thông tin mà điều đó mang lại cho ta rất lớn.

Tóm lại, ta thấy khái niệm thông tin gắn liền với sự bất định của đối tượng ta cần xét. Có sự

bất định về một đối tượng nào đó thì những thông báo về đối tượng đó sẽ cho ta thông tin. Khi

không có sự bất định thì sẽ không có thông tin về đối tượng đó. Như vậy, khái niệm thông tin chỉ

là một cách diễn đạt khác đi của khái niệm sự bất định. Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

Trước khi nhận tin (được thông báo) về một đối tượng nào đấy thì vẫn còn sự bất định về

đối tượng đó, tức là độ bất định về đối tượng đó khác không (có thể lớn hoặc nhỏ). Sau khi nhận

tin (đã được hiểu rõ hoặc hiểu một phần) về đối tượng thì độ bất định của nó giảm đến mức thấp

nhất, hoặc hoàn toàn mất. Như vậy, rõ ràng "Thông tin là độ bất định đã bị thủ tiêu" hay nói một

cách khác "Làm giảm độ bất định kết quả cho ta thông tin".

3.1.1.2. Lượng thông tin

Trong lý luận ở trên, ta đã từng nói đến lượng thông tin và lượng thông tin lớn, lượng thông

tin nhỏ mà không hề định nghĩa các danh từ đó. Dưới đây ta sẽ trả lời vấn đề đó.

Ở trên ta cũng đã nói: trước khi nhận tin thì độ bất định lớn nhất. Sau khi nhận tin (hiểu rõ

hoặc hiểu một phần về đối tượng thì độ bất định giảm đến mức thấp nhất, có khi triệt hoàn toàn.

Như vậy, có một sự chênh lệch giữa độ bất định trước khi nhận tin và độ bất định sau khi nhận tin.

Sự chênh lệch đó là mức độ thủ tiêu độ bất định. Độ lớn, nhỏ của thông tin mang đến ta phụ thuộc

trực tiếp vào mức chênh đó. Vậy:

"Lượng thông tin là mức độ bị thủ tiêu của độ bất định ⇔ Lượng thông tin = độ chênh của

độ bất định trước và sau khi nhận tin = độ bất định trước khi nhận tin - độ bất định sau khi nhận

tin (độ bất định tiên nghiệm - độ bất định hậu nghiệm)".

3.1.2. Quan hệ giữa độ bất định và xác suất

3.1.2.1. Xét ví dụ sau

Ta phải chọn một phần tử trong một tập nào đó. Phép chọn như thế (hoặc "chọn" hiểu theo

nghĩa rộng: thử, tìm hiểu, điều tra, trinh sát, tình báo,...) bao giờ cũng có độ bất định.

- Nếu tập chỉ có một phần tử thì ta chẳng phải chọn gì cả và như vậy không có độ bất định

trong phép chọn đó.

- Nếu tập có hai phần tử thì ta đã phải chọn. Như vậy, trong trường hợp này phép chọn có

độ bất định. Nếu số phần tử của tập tăng thì độ bất định sẽ tăng.

- Các bước tiếp theo sẽ cho bởi bảng sau:

Số phần tử của tập Độ bất định của phép chọn Xác suất chọn một phần tử trong tập

∞

≠0

∞

1/2

1/3

1/n

1/ 0 ∞ =

Chú ý: Bảng này đưa ra với giả sử việc chọn các phần tử là đồng xác suất.

Tăng

Giảm Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

3.1.2.2. Kết luận

- Bảng này cho thấy: độ bất định gắn liền với bản chất ngẫu nhiên của phép chọn, của biến cố.

- Độ bất định (ký hiệu I) là hàm của số phần tử thuộc tập

K I(x ) f (n) = (a)

- Độ bất định có liên quan với xác suất chọn phần tử của tập

KK I(x) E(x) [p ] ⇒= (b)

Để tìm mối quan hệ giữa độ bất định I và xác suất chọn một phần tử

KK x((x)) p trong

tập, ta xuất phát từ các tiêu đề sau:

Theo suy nghĩ thông thường, độ bất định I phải thoả mãn:

K I(x ) 0 ≥

KKK (x ) 1 I(x ) E (x ) p[p]=E[1]=0 =⇒ = (3.1)

+ Tính cộng được:

Nếu

K x và

x độc lập, thì:

Ki K i K i

E(xx)(x)(x)(x)(x) [p ] = E[p p ] = E[p ] + E[p ]

Nếu

K x và

x phụ thuộc thì:

Ki K i K K i K E(xx)(x)(xx)(x)(xx) [p ]=E[p p ]=E[p ]+E[p ]

Đặt

K (x ) p p = và

iK (x x ) q p] = , thì khi đó với mọi p, q (0 p 1, 0 q 1)

có:

E[p] + E[q] = E(pq) (3.2)

Từ (3.2) ta có thể tìm được dạng hàm I(p). Lấy vi phân 2 vế của (3.2) theo p, ta có:

E'(p) = q E'(pq)

Nhân cả 2 vế của phương trình này với p và ký hiệu p.q = τ , ta có:

pE'(p) = τE'( τ ) (3.3)

(3.3) đúng ∀p, τ ≠ 0. Nhưng điều này chỉ có thể có khi cả hai vế của (3.3) bằng một

hằng số k nào đó:

pE'(p) = τE'( τ ) = k = const

Từ đó chúng ta có phương trình vi phân pI'(p) = const = k, lấy tích phân phương trình này,

ta tìm được:

E(p) = k.lnp + C (3.4)

Kể đến điều kiện ban đầu (3.1), chúng ta có:

E(p) = k.lnp (3.5)

Như vậy, ta có:

KK I(x) k.ln x) [p( ] = (3.6) Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

Hệ số tỷ lệ k trong (3.6) có thể chọn tuỳ ý, nó chỉ xác định hệ đơn vị đo của

K I(x ) . Vì

K ln x ) [p( ] 0 ≤ nên để

K I(x ) 0 ≥ thì k

Nếu lấy k = -1 thì

I(x) ln x) ln

[p( ] =

⎡ ⎤

=− ⎢ ⎥

⎣ ⎦

(3.7)

Khi đó, đơn vị đo độ bất định sẽ là đơn vị tự nhiên, ký hiệu là nat.

Nếu lấy

ln 2

=− thì

K2K

ln x )

I(x ) log p(x )

ln 2

=− =− (3.8)

Khi đó đơn vị đo độ bất định sẽ là đơn vị nhị phân, ký hiệu là bit (1 nat = 1,433 bit)

Một bit chính là độ bất định chứa trong một phần tử (biến cố của tập xác suất chọn (xuất

hiện) bằng 1/2. Người ta thường sử dụng đơn vị [bit] do trong kỹ thuật tính và kỹ thuật liên lạc

thường dùng các mã nhị phân.

Ngoài ra, người ta còn có thể sử dụng những đơn vị đo khác tuỳ theo cách chọn cơ số của

logarit. Vì vậy trong trường hợp tổng quát, ta có thể viết:

KK I(x ) log x ) p( =− (3.9)

3.1.3. Xác định lượng thông tin

Ở mục 1, ta đã có kết luận sau:

Lượng thông tin = độ bất định tiên nghiệm - độ bất định hậu nghiệm. Vì độ bất định sẽ trở

thành thông tin khi nó bị thủ tiêu nên ta có thể coi độ bất định cũng chính là thông tin. Do đó:

Lượng thông tin = thông tin tiên nghiệm - thông tin hậu nghiệm (*)

Thông tin tiên nghiệm (hay còn gọi là lượng thông tin riêng) được xác định theo (3.9). Còn

thông tin hậu nghiệm xác định như sau:

Gọi

K x là tin gửi đi, yA là tin thu được có chứa những dấu hiệu để hiểu biết về

K x (có

chứa thông tin về

K x ). Khi đó xác suất để rõ về

K x khi đã thu được yA là

K (x y ) p A . Như

vậy độ bất định của tin

K x khi đã rõ yA bằng:

(3.9)

KK xy) (xy) I( - logp = AA (3.10)

(3.10) được gọi là thông tin hậu nghiệm về

K x (thông tin riêng về K x sau khi có yA

Thay (3.9) và (3.10) vào (*), ta có: Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

LI()I(y)

I( ,y ) log log

p( ) p( y )

KKK

ý hiÖu

−îng th«ng tin vÒ x x x

⇓

= −

=−

p(x y )

I(x ,y ) log

p(x )

⇒= A

A (3.11)

(3.11) gọi là lượng thông tin về

K x khi đã rõ tin yA hay còn gọi là lượng thông tin chéo về

K x do yA mang lại.

Nếu việc truyền tin không bị nhiễu thì

K yx ≡ A . Tức là nếu phát

K x thì chắc chắn nhận

được chính nó. Khi đó:

KKK p(x y ) p(x x ) 1 == A

Từ (3.11) ta có:

KKKK

I(x ,y ) I(x ,x ) I(x ) log

p(x )

=== A (**)

Như vậy khi không có nhiễu, lượng thông tin nhận được đúng bằng độ bất định của sự kiện

K x , tức là đúng bằng thông tin tiên nghiệm của

K x .

Vậy lượng thông tin tổn hao trong kênh sẽ là:

I( ) I( ,y ) I( y ) KK K xx x −= AA

Đơn vị đo của thông tin (lượng thông tin) cũng chính là đơn vị đo độ bất định.

Nếu cơ số của logarit là 10 thì đơn vị đo thông tin được gọi là Hartley, hay đơn vị thập

phân.

Nếu cơ số của logarit là e = 2,718... thì đơn vị đo thông tin được gọi là nat, hay đơn vị đo

tự nhiên.

Nếu cơ số của logarit là 2 thì đơn vị đo thông tin được gọi là bit, hay đơn vị nhị phân.

1 Harley = 3,322 bit

1 nat = 1,443 bit Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

3.2. ENTROPIE VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA ENTROPIE

3.2.1. Tính chất thống kê của nguồn rời rạc và sự ra đời của khái niệm entropie

Trong mục trước, ta mới chỉ xét đến lượng thông tin về một biến cố (hay một tin) trong một

tập các biến cố (hay tin) xung khắc, đồng xác suất.

Thực tế tồn tại phổ biến loại tập các biến cố (hay nguồn tin, tập tin) xung khắc, không đồng

xác suất. Tức là xác suất xuất hiện các biến cố khác nhau trong tập là khác nhau. Ta gọi sự khác

nhau giữa các xác suất xuất hiện biến cố của tập (hay tin của nguồn rời rạc) là tính chất thống kê

của nó.

Ví dụ 1: Sự xuất hiện các con chữ trong bộ chữ Việt có xác suất khác nhau: p(e) = 0,02843;

p(m) = 0,02395; p(k) = 0,02102,... (Theo số liệu trong đồ án tốt nghiệp "Khảo sát cấu trúc thống

kê chữ Việt" của Đoàn Công Vinh - ĐHBK HN).

Ví dụ 2: Xác suất xuất hiện của 26 chữ cái trong tiếng Anh: (Số liệu theo Beker và Pipe)

Ký tự Xác suất Ký tự Xác suất

0,082

0,015

0,028

0,043

0,127

0,022

0,020

0,061

0,070

0,002

0,008

0,040

0,024

0,067

0,075

0,019

0,001

0,060

0,063

0,091

0,028

0,010

0,023

0,001

0,020

0,001

Trong một nguồn tin như thế, ngoài thông tin riêng của mỗi tin (hay dấu) của nó, người ta

còn phải quan tâm đến thông tin trung bình của mỗi tin thuộc nguồn. Người ta còn gọi thông tin

trung bình do mỗi dấu của nguồn mang lại là entropie. Dưới đây ta sẽ xét kỹ định nghĩa về

entropie.

3.2.2. Định nghĩa entropie của nguồn rời rạc

3.2.2.1. Đặt vấn đề

Để phép đo được chính xác, trong vật lý, khi đo lường một đại lượng, ta không quan tâm

đến từng trị đo được của đại lượng mà thường xét trị trung bình của chúng. Khi đó ta lấy các trị

đo được cộng với nhau rồi chia cho số lượng của chúng:

tb r

iin

= ∑ Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

Ở đây cũng có điều tương tự: ta không quan tâm đến từng thông tin riêng của mỗi dấu mà

lại chú ý đến giá trị trung bình của các thông tin đó. Chỉ khác ở chỗ mỗi một thông tin riêng đến

tương ứng với một xác suất xuất hiện nào đó, tức là ta có thể xem các thông tin riêng là m đại

lượng ngẫu nhiên I. Do đó giá trị trung bình của các thông tin này (lượng thông tin trung bình hay

entropie) chính là kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên I. Ta đi tới định nghĩa sau:

3.2.2.2. Định nghĩa

Entropie của nguồn tin rời rạc là trung bình thống kê của lượng thông tin riêng của các dấu

thuộc nguồn A, ký hiệu

1 H(A) :

1 H(A) M ) i

[I(a ]

= (3.12)

Trong đó

a là các dấu của nguồn A (Ta hiểu dấu là các con chữ, hoặc các ký hiệu v.v...

của nguồn). Còn nguồn A là một tập rời rạc các dấu

a với các xác suất xuất hiện của chúng. Ta

quy ước viết A như sau:

2s a...a

p( ) p( ) ... p( )

12 s

{a } =

aa a

⎛⎞

= ⎜⎟

⎝⎠

(3.13)

Với

0p(a)1 ≤≤ và

p(a ) 1

= ∑ (3.14)

A được cho bởi (3.13) và (3.14) còn gọi là trường tin (hay trường biến cố). Từ (3.12) và

(3.13), ta có:

1 H(A) M ) )I )

iii

i=1

[I(a ] = p(a (a = ∑

1 H(A) )logp )

i=1

= p(a (a ⇒− ∑ (3.15)

1 H(A) còn gọi là entropie một chiều của nguồn rời rạc:

Ví dụ:

1 H (Việt) = 4,5167 bit

1 H (Nga) = 4,35 bit

1 H (Anh) = 4,19 bit

3.2.3. Các tính chất của entropie một chiều của nguồn rời rạc

3.2.3.1. Tính chất 1

Khi

k p(a ) 1 = và

p(a ) 0 = với rk ∀ ≠ thì:

11min H(A) H(A ) 0 == (3.16) Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

Chứng minh:

Ta đã có:

0p(a)1 ≤≤ ⇒

log p(a ) 0 log p(a ) 0 ≤ ⇒− ≥

⇒

11min H(A) 0 H(A ) 0 ≥⇒ =

Bây giờ ta chỉ còn phải chứng tỏ

1min H(A ) 0 = khi

k p(a ) 1 = và

p(a ) 0 = ( rk ∀≠ ).

Thật vậy,

p(a ) 0 = ⇒

p(a )logp(a ) 0 ( r k) = ∀≠

k p(a ) 1 =⇒

kk p(a )logp(a ) 0 ( r k) = ∀≠

1ii

kk ii

i1,i k

H(A) p(a)logp(a)

p(a )logp(a ) p(a )logp(a ) 0

=≠

⇒=−

=− − =

∑

Ý nghĩa:

Thực ra không cần phải chứng minh như vậy, mà lập luận như sau cũng cho ta công thức

(3.16):

p(a ) 0 = ⇒ các r

a không xuất hiện

k p(a ) 1 = ⇒ các k a chắc chắn xuất hiện

⇒ Không có độ bất định nào về các i

a ⇒ lượng thông tin riêng không có ⇒ lượng

thông tin trung bình cũng không có.

3.2.3.2. Tính chất 2

Một nguồn rời rạc gồm s dấu đồng xác suất (và

thoả mãn (3.14)) thì entropie của nó đạt cực đại và cực

đại đó bằng log s.

1m H(A ) logs ax = (3.17)

Chứng minh:

Khi

p(a ) p(a ), i, j (i, j 1,s) =∀∀=

Khi đó

p(a )

= , tức là nguồn gồm các dấu

xung khắc và đồng khả năng.

x - 1

lnx

0 1 x

- 1

Hình 3.1. Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

H(A') log logs

ss =

⇒=− = ∑

Xét hiệu:

i i1

i i1 i1

i i1

i i1 i1

H (A) logs p(a ) log logs

p(a )

p(a )log p(a )logs

p(a )

p(a ) log logs

p(a )

p(a ) log p(a ) log x

p(a )s

−= −

=−

⎡⎤

=− ⎢⎥

⎣⎦

∑

∑∑

∑

∑∑

Ta có: lnx ≤ x - 1 ∀x (xem hình 3.1)

p(a ) l p(a ) (x 1) ogx

⇒≤− ∑∑

Mà:

sss

i i1 i1 i1

p(a ) 1 p(a ) 0

p(a )s s ===

⎡⎤

−= − = ⎢⎥

⎣⎦

∑∑∑

Vậy:

11 H(A) logs 0 H(A) logs −≤⇒ ≤

Tóm lại, ta thấy

1 0H(A)logs ≤≤ (entropie của nguồn rời rạc)

Entropie là một đại lượng giới nội.

Ký hiệu

m0 H(A) H (A) ax =

Ví dụ:

0 H (Vi 36 5,1713bit 2 Öt) = log =

0 H(Nga 32 5bit 2 )=log =

0 H (Anh 27 4,75489bit 2 )=log =

3.2.4. Entropie của nguồn rời rạc, nhị phân

Nguồn rời rạc nhị phân là nguồn chỉ có hai dấu:

a"0" v )p

a"1" v )1p

íi x¸c suÊt p(a

⇔= ⎧

⎨

⇔=− ⎩ Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

Ta có ngay:

1ii

H (A) p(a ) log p(a ) plog p (1 p) f (p)

=− =− − − = ∑ (3.18)

Đồ thị f(p) được biểu diễn trên hình 3.2.

Ta thấy

1 H(A) f(p) = chỉ phụ thuộc

vào đặc tính thống kê của các tin.

Nếu đơn vị dùng là bit thì

max 1 H(A) 1 =

Nhận xét:

- 1 H(A)đạt max tại

= . Sở dĩ như

vậy vì tập chỉ có hai phần tử, nên độ bất định của

phép chọn sẽ lớn nhất khi hai dấu có xác suất

xuất hiện như nhau.

- p = 0 ⇒

1min H(A) 0 = . Khi đó 1 - p = 1 là xác suất xuất hiện dấu

2 a . Vậy

2 a là một

biến cố chắc chắn. Phép chọn này không có độ bất định ⇒ lượng thông tin trung bình triệt.

- p = 1 ⇒

1min H(A) 0 = . Giải thích tương tự.

3.2.5. Entropie của trường sự kiện đồng thời

Định nghĩa 1:

Có hai trường sự kiện A và B:

12 s

aa...a

p(a ) p(a ) ... p(a )

⎛⎞

= ⎜⎟

⎝⎠

và

12 t

bb...b

p(b ) p(b ) ... p(b )

⎛⎞

= ⎜⎟

⎝⎠

Các

a và

b là các sự kiện.

Ta xét một sự kiện tích:

kij

ca.b =

kij

p(c ) p(a .b ) = . Ta xét trường C là giao của hai trường A và B, nếu:

11 12 1 t 2 j s t

a b a b ... a b ... a b ... a b

CA.B

p(a b ) p(a b ) ... p(a b ) ... p(a b ) ... p(a b )

⎛⎞

== ⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

Trường C được gọi là trường sự kiện đồng thời (trường giao, tích) của hai trường sự kiện cơ

bản A và B.

Định nghĩa 2:

H1(A)

H1(A)max

0 0,5 1 p

Hình 3.2. Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

Hai trường sự kiện A và B được gọi là độc lập với nhau nếu:

ij i j

p(a .b ) p(a ).p(b ) =

Chú ý: Tất nhiên nếu

p(a ) và

p(b ) thoả mãn (3.14) thì ta cũng có:

ij ij

i1j1

0p(ab)1; p(ab)1

≤ ≤= ∑∑ (*)

Định lý 1:

Entropie của trường sự kiện đồng thời C = A. B sẽ bằng tổng entropie của các trường sự

kiện cơ bản A và B nếu A và B độc lập.

H(A.B) = H(A) + H(B) (3.19)

Chứng minh: Theo định nghĩa:

ij ij

i1j1

H(A.B) p(ab)logp(ab)

=− ∑∑

Theo giả thiết A và B độc lập với nhau nên ta có:

st st

ij i ij j

i1j1 i1j1

stt s

iij j ji

i1 j1 j1 i1

H(A.B) p(a )p(b ) logp(a ) p(a )p(b ) logp(b )

p(a )logp(a ) p(b ) p(b )logp(b ) p(a )

== ==

=== =

=− −

∑∑ ∑∑

∑∑∑∑

Mà:

p(b ) 1

= ∑ ,

p(a ) 1

= ∑

⇒ H(A.B) = H(A) + H(B)

Nhận xét: Tương tự, nếu các nguồn

k X,(k 1,n) = độc lập với nhau thì:

12 n k

H(X .X ....X ) H(X )

= ∑

3.3. ENTROPIE CÓ ĐIỀU KIỆN. LƯỢNG THÔNG TIN CHÉO TRUNG BÌNH

3.3.1. Entropie có điều kiện về một trường tin này khi đã rõ một tin nhất định của

bl Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

trường tin kia

3.3.1.1. Mở đầu

Trong phần trước, ta đã nói nếu truyền tin có nhiễu thì tin phát đi

k a và tin thu được bA là

khác nhau. Và khi đó lượng thông tin riêng về

k a do bA mang lại là:

I(a / b ) log

p(a / b )

= A

Vấn đề: ta không quan tâm đến lượng thông tin riêng về một dấu

k a cụ thể nào của nguồn

tin phát { i

a } do bA mang lại mà chỉ quan tâm đến lượng thông tin riêng trung bình về một dấu

nào đó của tập { i

a } do bA mang lại. Ta thấy rằng

k I(a / b ) A là một đại lưọng ngẫu nhiên. Do

đó tương tự như định nghĩa của entropie một chiều, ta đi tới định nghĩa sau.

3.3.1.2.Định nghĩa

Entropie có điều kiện về một trường tin này khi đã rõ một tin của trường tin kia được xác

định bằng kỳ vọng của lượng thông tin riêng có điều kiện về

k a do một bA mang lại:

H(A/b) M /b) /b)I /b) iii

[I(a ] = p(a (a

= ∑ AA AA

/b )logp /b ) ii

p(a (a

=−∑ AA (3.20)

Ý nghĩa:

H(A/b ) A là lượng thông tin tổn hao trung bình của mỗi tin ở đầu phát khi đầu thu đã thu

được

b .

Tương tự:

iii

H(B/a) /a)logp /a) jj

p(b (b

=−∑

Ý nghĩa:

H(B/a ) là lượng thông tin riêng trung bình chứa trong mỗi tin ở đầu thu khi đầu phát đã

phát đi một tin

a .

3.3.2. Entropie có điều kiện về trường tin này khi đã rõ trường tin kia

Ta thấy rằng do nhiễu ngẫu nhiên nên bên thu không phải chỉ thu được một tin duy nhất mà

là cả tập tin B = { j

b } nào đó, (j 1,t) = . Vậy

H(A/b ) cũng là một đại lượng ngẫu nhiên, do Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

đó ta phải xét đến lượng thông tin riêng trung bình về mỗi tin ở đầu phát khi đầu thu đã thu được

một dấu nào đó.

Tương tự như trên, ta cũng phải lấy trung bình thống kê của đại lượng ngẫu nhiên này.

Định nghĩa:

Entropie có điều kiện của trường sự kiện A khi đã rõ trường sự kiện B được xác định bởi kỳ

vọng của đại lượng

H(A/b ) .

jjj

jijij

j1 i1

jij ij

i1j1

H(A/B) M H(A/b ) p(b )H(A/b )

p(b ) p(a / b )logp(a / b )

p(b )p(a / b )logp(a / b )

⎡⎤ == ⎣⎦

⎡ ⎤

=− ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦

=−

∑

∑∑

ij i j

i1j1

H(A/B) p(a b )logp(a /b )

=−∑∑ (3.21)

Ý nghĩa:

H(A/B) là lượng thông tin tổn hao trung bình của mỗi tin ở đầu phát khi đầu thu đã thu

được một dấu nào đó.

Tương tự:

ji j i

i1j1

H(B/A) p(b a )logp(b /a )

=−∑∑ (3.22)

Ý nghĩa:

H(B/A) là lượng thông tin riêng trung bình chứa trong mỗi tin ở đầu thu khi đầu phát đã

phát đi một tin nào đó.

Chú ý:

Ta xét một bộ chữ A. Để đặc trưng cho lượng thông tin riêng trung bình chứa trong mỗi con

chữ khi kể đến xác suất xuất hiện các cặp chữ (VD: trong tiếng Việt: p(a/b) ≠ 0, p(b/a) = 0,

p(t/a) ≠ 0, p(a/t) ≠ 0), người ta dùng H(A/A) và ký hiệu là H2 (A).

Ví dụ: H2 (Việt) = 3,2223 bit

H2 (Nga) = 3,52 bit

H2 (Anh) = 3,32 bit Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

Việc tính H3, H4 rất phức tạp.

Khakevich tính được đến H5 . Shannon tính được đến H8 .

3.3.3. Hai trạng thái cực đoan của kênh truyền tin

3.3.3.1. Kênh bị đứt (bị nhiễu tuyệt đối)

Trong trường hợp này, các tin thu được hoàn toàn khác các tin phát đi. Nói khác đi vì bị

nhiếu tuyệt đối nên trong mọi tin

b B ∈ không chứa dấu hiệu hiểu biết nào về các tin đã phát đi.

Như vậy, A và B là độc lập nhau:

ij i

p(a / b ) p(a ) = ;

ji j

p(b / a ) p(b ) =

ij i j

p(a b ) p(a )p(b ) ⇒=

Khi đó ta có:

jii

ijj

ji i

j1 i1

ij j

i1 j1

H(A/b ) p(a )logp(a ) H(A)

H(B/a ) p(b )logp(b ) H(B)

H(A/B) p(b ) p(a )logp(a ) H(A)

H(B/A) p(a ) p(b )logp(b ) H(B)

=− =

∑

∑∑

(3.23)

3.3.3.2. Kênh không nhiễu

Khi đó: t = s. Với

i1,sa b ∀ ==

p(a ) p(b ) ⇒= nên H(A) = H(B)

kk kk

ik ik

p(a / b ) p(b / a ) 1

p(a / b ) p(b / a ) 0 víi i k

= =

= =∀≠

kk H(A/b ) 0 H(B/a ) 0

H(A/B) 0 H(B/A) 0

== ⎧

⇒ ⎨

== ⎩

(3.24)

Vì khi không nhiễu, coi A và B phụ thuộc mạnh nhất, có

a thì chắc chắn có

b , nên độ

bất định về

a khi đã thu được

b là không có ⇒ độ bất định trung bình cũng không có. Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

3.3.4. Các tính chất của entropie có điều kiện

3.3.4.1.Tính chất 1

Nếu A và B là hai trường biến cố bất kỳ (hai nguồn tin bất kỳ) thì entropie của trường biến

cố đồng thời A.B bằng:

H(A.B) = H(A) + H(B/A) = H(B) + H(A/B) (3.25)

Chứng minh:

{}

ij ij

i1j1

jij jij

i1j1

H(A.B) p(ab)logp(ab)

p(b )p(a / b )log p(b )p(a / b )

=− =

∑∑

st st

jij j jij ij

i1j1 i1j1

st st

ij j j ij ij

i1 j1 i1j1

H(A.B) p(b )p(a / b ) logp(b ) p(b )p(a / b ) logp(a / b )

p(a /b) p(b)logp(b) p(ab)logp(a/b)

H(B) H(A/B)

== ==

=− − =

=− −

∑∑ ∑∑

Trong đó:

p(a / b ) 1

= ∑ .

3.3.4.2.Tính chất 2

Entropie có điều kiện nằm trong khoảng:

0H(A/B)H(A) ≤≤ (3.26)

Chứng minh:

+ H(A/B) 0: ≥

ij ij

0 p(a / b ) 1 logp(a / b ) 0

log p(a / b ) 0 H(A/B) 0

≤≤⇒ ≤

⇒− ≥ ⇒ ≥

Nó sẽ nhận dấu bằng khi A và B là đồng nhất (kênh không nhiễu).

+ H(A/B) ≤ H(A):

Xét hiệu: H(A/B) - H(A) = G Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

st s

jij ij i i

i1j1 i1

G p(b )p(a / b )logp(a / b ) p(a )logp(a ).1

== =

=− + ∑∑ ∑

Chú ý: ta thay

1p(b/a)

= ∑

st st

ij i j ij i

i1j1 i1j1

i i1j1

ij i1j1

G p(a b )logp(a / b ) p(a b )logp(a )

p(a / b )

p(a b )log

p(a )

p(a b )log

p(a / b )

== ==

⇒=− +

=−

∑∑ ∑∑

∑∑

Áp dụng log x x 1 ≤− :

ij i1j1

jij

ij i1j1

st st

ij jij

i1 j1 i1j1

p(a )

Gp(ab) 1

p(a / b )

p(a )

Gp(b)p(a/b) 1

p(a / b )

G p(a ) p(b ) p(b )p(a / b )

G1.1 10

== ==

⎡⎤

⇒≤ − ⎢⎥

⎢⎥ ⎣⎦

⎡ ⎤

≤− ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦

≤−

≤−=

∑∑

∑∑ ∑∑

⇒ H(A/B) ≤ H(A).

H(A/B) = H(A) khi A và B là độc lập (kênh bị đứt).

3.3.4.3. Tính chất 3

Entropie của trường sự kiện đồng thời không lớn hơn tổng entropie của các trường sự kiện

cơ bản.

H(A.B) ≤ H(A) + H(B) (3.27)

Chứng minh:

(3.27) rút ra trực tiếp từ (3.25) và (3.26). Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

3.3.5. Lượng thông tin chéo trung bình

Ở phần trước, chúng ta đã biết lượng thông tin chéo về một tin

a đã phát đi do một tin

đã thu được mang lại là:

p(a / b )

I(a ,b ) log

p(a )

Thông thường, vì bên phát phát đi một tập tin A = { i

a } và bên thu nhận được một tập tin B

= { j

b }. Do đó ta không quan tâm đến lượng thông tin chéo về một tin cụ thể

a đã phát do một

tin j

b cụ thể thu được, mà ta chỉ quan tâm đến lượng thông tin chéo trung bình về mỗi tin của tập

phát A do mỗi tin của tập thu B mang lại.

I(a ,b ) là một đại lượng ngẫu nhiên, do đó ta phải lấy

trung bình thống kê của nó.

Định nghĩa:

Lượng thông tin chéo trung bình (ký hiệu là I(A,B)):

I(A,B) M I(a ,b )

⎡⎤ = ⎣⎦

(3.28)

Xác suất để có thông tin

I(a ,b ) là

p(a b ) , do đó ta có:

i i1j1

p(a / b )

I(A,B) p(a b ) log

p(a )

=∑∑

st st

ij i j ij i

i1j1 i1j1

I(A,B) p(a b ) logp(a / b ) p(a b )logp(a )

H(A/B) H(A)

== ==

=−

=− +

∑∑ ∑∑

Tóm lại: I(A,B) = H(A) - H(A/B) (3.29a)

Tương tự, ta có: I(A,B) = H(B) - H(B/A) (3.29b)

Hay: I(A,B) = H(A) + H(B) - H(A.B)

I(A,B) còn gọi là lượng thông tin trung bình được truyền theo kênh rời rạc.

3.3.6. Tính chất của I(A,B)

3.3.6.1. Tính chất 1

I(A,B) ≥ 0: (3.30)

Theo tính chất 2 ở mục 3.3.4: H(A/B) ≤ H(A) ⇒ H(A) - H(A/B) ≥ 0.

I(A,B) = 0 khi kênh bị đứt. Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

3.3.6.2.Tính chất 2

I(A,B) ≤ H(A): (3.31)

Thật vậy: H(A/B) ≥ 0 ⇒ I(A,B) = H(A) - H(A/B) ≤ H(A)

I(A,B) = H(A) khi kênh không có nhiễu.

Từ (3.31) ta thấy khi truyền tin trong kênh có nhiễu, thông tin sẽ bị tổn hao một phần.

Lượng thông tin tổn hao trung bình chính là H(A/B).

3.3.6.3.Tính chất 3

I(A,A) = H(A)

3.3.6.4. Tính chất 4

I(A,B) = I(B,A)

3.3.7. Mô hình của kênh truyền tin có nhiễu

Dựa vào (3.29a), ta có mô hình kênh truyền khi có nhiễu như sau:

Hình 3.4. Lược đồ Wenn mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng.

A B

H(A)

A B

H(A/B)

A B

I(A,B)

A B

H(AB)

A B

H(B/A)

H(A) I(A,B) = I(B,A) H(B)

H(A/B) H(B/A)

Tổn hao Lượng tin tức bù bằng hồi liên

Hình 3.3. Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

3.4. TỐC ĐỘ PHÁT. KHẢ NĂNG PHÁT. ĐỘ THỪA. KHẢ NĂNG THÔNG QUA

CỦA KÊNH RỜI RẠC

3.4.1. Tốc độ phát của nguồn rời rạc

Trong thông tin rời rạc, người ta thường phát đi các xung. Nếu gọi

n T là độ rộng trung

bình của mỗi xung thì tốc độ phát của nguồn tin rời rạc được định nghĩa như sau:

υ= (3.32)

(3.32) biểu thị số xung trong một đơn vị thời gian.

Thứ nguyên: [ n υ ] = bốt = số dấu (xung)/ sec

Ví dụ: Điện báo tay:

n υ = 25 bốt.

Điện báo tự động:

n υ = (50 ÷ 300) bốt.

Thông tin truyền số liệu: (500

n.10 ÷ ) bốt.

3.4.2. Khả năng phát của nguồn rời rạc

Định nghĩa:

H(A)

H'(A) H(A)

=υ = (3.33)

Thứ nguyên: [H'(A)] = bit/sec.

m H'(A) H(A)

ax =

(3.33) biểu thị lượng thông tin trung bình do nguồn phát ra trong một đơn vị thời gian.

Ví dụ: Một máy điện báo dùng mã Bôđô đều 5 dấu, cơ số 2, tốc độ phát là 75 bốt thì khả

năng tối đa của máy là:

mn1m 2 H'(A) .H (A) 75.log 2 375bit / s ax ax =υ = =

3.4.3. Độ thừa của nguồn rời rạc

Định nghĩa:

Độ thừa của nguồn rời rạc là tỷ số:

H(A) H(A) H(A)

H(A) H(A)

ax ax

Δ −

==− (3.34) Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

D1 =−μ, trong đó:

H(A)

H(A) ax

μ= được gọi là hệ số nén tin.

Đối với nguồn tin có s dấu: H(A)max = H0 (A) = log s.

Ý nghĩa:

Độ thừa đặc trưng cho hiệu suất, khả năng chống nhiễu và độ mật của tin. Nếu D càng lớn

thì hiệu suất càng thấp, độ mật càng thấp nhưng khả năng chống nhiễu càng cao.

Ví dụ:

- Đối với tiếng Việt: H1 (Việt) = 4.5167; H0 (Việt) = 5,1713

1 87 ⇒μ = %

1 D ⇒= 13 %

H (A) 3,2223

l5,1713 ogs

μ= = = 62%

2 D ⇒=38%

- Đối với tiếng Nga:

1 μ= 87%

1 D ⇒= 13 %

3 μ = 60%

3 D ⇒= 40 %

- Đối với tiếng Anh:

1 μ= 84%

1 D ⇒= 16 %

8 μ = 38%

8 D ⇒= 62 %

3.4.4. Các đặc trưng của kênh rời rạc và các loại kênh rời rạc

Một kênh rời rạc hoàn toàn được đặc trưng bởi ba tham số sau:

- Trường dấu lối vào và trường dấu lối ra của kênh.

- Xác suất chuyển

p(b / a )

- Tốc độ truyền tin của kênh

K υ

Định nghĩa 1:

Nếu một kênh có

p(b / a ) t ∉ thì được gọi là kênh đồng nhất;

p(b / a )∉vào dấu đã

phát trước nó thì được gọi là kênh không nhớ. Ngược lại,

p(b / a ) t ∈ thì kênh được gọi là

không đồng nhất;

p(b / a )∈ vào dấu đã phát trước nó thì kênh được gọi là kênh có nhớ

( i, j ∀ ).

Định nghĩa 2:

Nếu một kênh có xác suất chuyển:

c,j1,t

p(b / a )

pc ij

p onst víi i j, i=1,s

onst

⎧ =∀≠= ⎪

= ⎨

=∀= ⎪ ⎩

Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

thì kênh đó sẽ được gọi là kênh đối xứng.

Ví dụ:

∀xác suất sai bằng nhau, ∀xác suất đúng bằng nhau.

Đối với kênh đối xứng nhị phân (Hình vẽ):

s pp1 ® + = .

3.4.5. Lượng thông tin truyền qua kênh trong một đơn vị thời gian

Định nghĩa:

I(A,B)

I'(A,B) I(A,B)

==υ [bit/s] (3.35)

Trong đó:

υ= ,

K T : thời gian trung bình để truyền một dấu qua kênh.

K υ biểu thị

số dấu mà kênh đã truyền được (được truyền qua kênh) trong một đơn vị thời gian. I'(A,B) là

lượng thông tin đã truyền qua kênh trong một đơn vị thời gian.

Nếu kênh giãn tin:

Kn TT >

Nếu kênh nén tin:

Kn TT

Thông thường:

Kn TT =

3.4.6. Khả năng thông qua của kênh rời rạc

Để đánh giá năng lực tải tin tối đa cuả một kênh truyền, người ta đưa ra khái niệm khả năng

thông qua.

3.4.6.1. Định nghĩa

Khả năng thông qua của kênh rời rạc là giá trị cực đại của lượng thông tin truyền qua kênh

trong một đơn vị thời gian, lấy theo mọi khả năng có thể có của nguồn tin A. (Cực đại này sẽ đạt

được ứng với một phân bố tối ưu của các xác suất tiên nghiệm p( i

a ),

aA ∀ ∈ ).

K AA

C'mI'(A,B) mI(A,B) ax ax

==υ [bit/s] (3.36)

p(b1/a1) = pđ

a1 b1

a2 b2

p(b2/a2) = pđ

p(b2/a1) p(b1/a2) Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

K A

C' .C v m I(A,B) íi C = ax =υ

C được gọi là khả năng thông qua của kênh đối với mỗi dấu.

C' là một tham số rất quan trọng của một kênh.

3.4.6.2. Tính chất

- C' ≥ 0, C' = 0 khi và chỉ khi A và B độc lập (kênh bị đứt).

- C' K logs ≤υ , đẳng thức chỉ xảy ra khi kênh không nhiễu. (3.37)

Chứng minh:

KK K

I(A,B) H(A)

I(A,B) H(A) ( 0)

mI(A,B))mH(A))

m I(A,B) m H(A)

C' logs

ax( ax(

ax ax

≤

υ ≤υ υ >

υ≤υ

≤υ

3.4.7. Tính khả năng thông qua của kênh nhị phân đối xứng không nhớ, đồng nhất

3.4.7.1. Đặt bài toán

Ta có một kênh nhị phân như hình 3.4. Trong đó:

Xác suất sai:

21 12 s p(b / a ) p(b / a ) p ==

Xác suất đúng:

22 11 p(b / a ) p(b / a ) p® ==

p(a1) = p; p(a 2 ) = 1 - p;

Các dấu a1 và a 2 có cùng thời hạn T. Vấn đề: tính C'?

3.4.7.2. Giải bài toán

Ta có:

[]

C' m I(A,B) m H(B) H(B/A)

TT AA

ax ax ==−

Ta có ngay:

iji ji

i1j1

H(B/A) p(a )p(b /a )logp(b /a )

=−∑∑

p(b1/a1) = pđ

a1 b1

a2 b2

p(b2/a2) = pđ

p(b1/a2)

= ps Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

[]

111 11 21 21

212 12 22 22

ssss

ss s s

H(B/A) p(a ) p(b /a )logp(b /a ) p(b /a )logp(b /a )

p(a ) p(b / a )logp(b / a ) p(b / a )logp(b / a )

p (1 p ) log(1 p ) p log p

(1p)plogp (1p)log(1p)

=− +

−+

=− − − +

−− + − −

[] ss s s H(B/A) p logp (1 p )log(1 p ) =− + − −

Ta thấy H(B/A) chỉ phụ thuộc vào

s p , mà không phụ thuộc vào xác suất tiên nghiệm của

các dấu thuộc nguồn tin A. Do đó:

[]

C' m H(B) H(B/A)

mH(B) H(B/A)

=−

Ở đây H(B/A) không đổi đối với mọi trạng thái (đặc tính thống kê) của nguồn A.

Mà:

m22 m H(B) H(B) log s log 2 1 ax

ax ====

Vậy: [] ss s s

C' 1 p log p (1 p ) log(1 p )

=+ +− −

( ) sK C' f p ,T =

C' p 0

T ax =⇔=⇔ Kênh không nhiễu.

ss s s

1 p log p (1 p ) log(1 p )

=+ + − −

(3.38)

Đồ thị (3.38) biểu diễn trên hình 3.5.

3.4.8. Định lý mã hoá thứ hai của Shannon

Định lý: Nếu khả năng phát H'(A) của nguồn tin rời rạc A bé hơn khả năng thông qua của

kênh: (H'(A)

lỗi bé tuỳ ý (nếu H'(A) > C' thì không tồn tại phép mã hoá và giải mã như vậy) khi độ dài từ mã

đủ lớn.

Nhận xét: Đây là một định lý tồn tại vì nó không chỉ cho ta cách thiết lập một mã cụ thể

nào. Lý thuyết mã kênh trong chương 4 chính là hướng dẫn cần thiết cho định lý này.

C'/ C'max

0 0,5 1 ps

Hình 3.5. Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

3.4.9. Khả năng thông qua của kênh nhị phân đối xứng có xoá

3.4.9.1.Đặt bài toán

Cho kênh truyền, các dấu

1 a và

2 a như hình vẽ. Các dấu

1 a và

2 a có cùng thời hạn T.

Hãy tính khả năng thông qua C' của kênh này với điều kiện:

Xác suất xoá:

p(b / a ) q =

Xác suất thu đúng:

11 2 2 s p(b / a ) p(b / a ) 1 p q ==−−

Xác suất thu sai:

21 12 s p(b / a ) p(b / a ) p ==

3.4.9.2. Giải bài toán

Tương tự bài toán trên, ta có:

[]

C' m H(B) H(B/A)

T A

ax =−

Trong đó:

()()

() ()()

()()

iji ji

i1j1

ssss

ss s s

ssss

H(B/A) p(a )p(b /a )logp(b /a )

p1pqlog1pqplogpqlogq

1pplogp 1pqlog1pqqlogq

1 p q log 1 p q p log p qlogq

=−

⎡⎤ =− −− −−+ + ⎣⎦

⎡⎤ −− +− − − − + ⎣⎦

⎡⎤ =− − − − − + + ⎣⎦

∑∑

Ta thấy H(B/A) ∉ vào tính chất thống kê của nguồn A. Do đó:

[] m H(B) H(B/A) m H(B) H(B/A)

ax ax −= −

() () ()

HB pb logpb

=−∑

Trong đó:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

()

3131232 pb pa pb/a pa pb/a

pq 1 p q q

=+− =

không phụ thuộc vào tính chất thống kê của nguồn A.

Như vậy, H(B) sẽ đạt max ứng với phân bố của các xác suất p( i

a ) đảm bảo được:

1- ps - q

a1 b1

a2 b2

1 - ps - q Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

() ( ) 12

pb pb

−

() ( )

( ) 1q

mHB qlogq 1qlog

2 A

−

⇒=−−−

( ) ( ) ( ) ( ) { } ss s s C' F 1 q 1 log 1 q p log p 1 p q log 1 p q ⇒= − − − + +−− −− ⎡⎤ ⎣⎦

Trong đó

3.5. ENTROPIE CỦA NGUỒN LIÊN TỤC. LƯỢNG THÔNG TIN CHÉO TRUNG

BÌNH TRUYỀN QUA KÊNH LIÊN TỤC KHÔNG NHỚ

3.5.1. Các dạng tín hiệu liên tục

Đối với các tín hiệu cao tần liên tục s(t) thì giá trị của nó có thể nhận một cách liên tục các

giá trị khác nhau trong một khoảng xác định

min m ss ax ÷ , còn đối số thời gian t lại có thể liên

tục hay rời rạc (hình 3.6)

Vì vậy, ta sẽ phân các tín hiệu liên tục ra 2 loại.

- Tín hiệu liên tục với thời gian rời rạc (hình 3.6a).

- Tín hiệu liên tục với thời gian liên tục (hình 3.6b).

Các tham số đặc trưng của tín hiệu liên tục là:

- Công suất phổ trung bình

- Bề rộng phổ

3.5.2. Các đặc trưng và tham số của kênh liên tục

Ta đã biết rằng các đặc trưng của kênh rời rạc là:

- Trường dấu lối vào trước hay sau bộ mã hoá: A

s(t)

smax

Δt

smin

s(t)

smax

smin

a. b.

Hình 3.6. Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

- Trường dấu lối ra sau bộ giải điều chế hoặc sau bộ giải mã B.

- Xác suất chuyển ( ) ij

pa/b hoặc

( ) ( )

( )

p/ αβ

Đối với kênh liên tục, các đặc trưng của nó là:

- Trường dấu lối vào (sau bộ điều chế): {s(t)}

- Trường dấu lối ra (trước bộ giải điều chế): {U(t)}

- Mật độ phân bố xác suất để xuất hiện ( ) j

Ut khi đã phát hiện ( ) i

st :

( ) ( ) ( ) i

t/s t j

Cũng như đối với kênh rời rạc tham số quan trọng nhất của kênh liên tục là khả năng thông

qua của nó.

Định nghĩa:

Kênh Gausse không đổi là một kênh liên tục có tập tin lối vào và tập tin lối ra liên hệ với

nhau theo công thức:

( ) ( ) ( ) ut .st nt =μ + (3.39)

Trong đó μ = const, ( ) t ∉ , n(t): nhiễu cộng là tạp âm trắng phân bố chuẩn.

3.5.3. Kênh liên tục chứa trong kênh rời rạc

Tính chất:

Khả năng thông qua của kênh liên tục không nhỏ hơn khả năng thông qua của kênh rời rạc

chứa nó:

lt r.r ch CC'

øa lt

≥ (3.40)

Chứng minh:

Nếu phép giải điều chế và điều chế là hai phép thuận nghịch lẫn nhau như ta mong muốn thì

khi qua bộ điều chế và giải điều chế lượng thông tin là không đổi (lượng thông tin truyền qua

Mã hoá

Điều chế

Đường tin

Giải điều chế

Giải mã

Nhiễu

Kênh liên tục

Kênh rời rạc (chứa kênh liên tục)

a i

α s(t) u(t) i

β i

bChương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

kênh trong một đơn vị thời gian). Như vậy, khả năng thông qua của kênh liên tục đúng bằng khả

năng thông qua của kênh rời rạc. Tuy nhiên phép giải điều chế thường làm tổn hao thông tin, do

đó khả năng thông qua của kênh rời rạc không thể lớn hơn khả năng thông qua của kênh liên tục

nằm trong nó.

3.5.4. Entropie của nguồn tin liên tục (của một quá trình ngẫu nhiên liên tục)

Xét một nguồn tin S ở mỗi một thời điểm có thể phát ra những tin là một đại lượng ngẫu

nhiên s có thể nhận các giá trị liên tục trong khoảng

min m ss ax ÷ với mật độ xác suất ( ) s 1 W .

Vì trong khoảng

min m ss ax ÷ ta có vô số

những giá trị của s nên tập tin của nguồn S là

một tập vô hạn và như vậy S là một nguồn tin

liên tục. Để tính entropie của nguồn này ta

làm như sau:

Ta thực hiện một phép lượng tử hoá

hình thức bằng cách chia khoảng

min m ss ax ÷ ra n phần bằng nhau. Mỗi phần

bằng s Δ và được gọi là bước lượng tử (hình

3.7).

Ta coi rằng s sẽ nhận giá trị

s nếu giá

trị của nó nằm trong một phần thứ i nào đó. Như vậy s có thể nhận các giá trị sau: S' = { i

s }, i =

1, n . Xác suất để s nhận giá trị

s sẽ là:

( ) ( ) ii

ps s . s 1 W ≈Δ

Entropie của nguồn tin đã rời rạc hoá S' sẽ bằng:

() () ()

HS' s . slog s . s 11 WW

=Δ Δ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∑

Khi cho s Δ→0, ta sẽ được entropie của nguồn tin liên tục.

() () () ()

()

s0 s0 i1

s0 i1

H S lim H S' lim s log s . s

lim log s . s

Δ→ Δ→ =

Δ→ =

⎛⎞

⎜⎟ ==− Δ+ ⎡⎤ ⎣⎦ ⎜⎟

⎝⎠

⎛⎞

⎜⎟ +Δ

⎜⎟ Δ ⎝⎠

∑

() ()

()

H S s log ds lim s ds

WW W

∞∞

Δ→ −∞ −∞

⎡ ⎤ ⎡⎤

=+ ⎢ ⎥ ⎢⎥

Δ ⎣⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∫∫

smax

smin

Hình 3.7. Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

() ()

() s0

HS slog ds lim ss

W W

∞

Δ→ −∞

⇒= +

Δ ∫ (3.41)

Từ (3.41) ta thấy entropie một chiều của nguồn tin liên tục lớn vô hạn do

lim

s Δ→

=∞

Số hạng thứ hai không phụ thuộc vào bản chất thống kê của nguồn (tín hiệu) mà chỉ có số hạng

thứ nhất phụ thuộc vào bản chất thống kê của nguồn, vì vậy ta có thể lấy nó đặc trưng cho những

quá trình ngẫu nhiên khác nhau. Ta đặt:

() ()

()

h S s log ds

W W

∞ Δ

−∞

= ∫ (3.42)

và gọi h(S) là entropie vi phân (hay entropie tương đối) của nguồn S.

Chú ý:

- Khác với entropie của nguồn rời rạc, h(S) có thể nhận các giá trị dương, âm (hữu hạn).

- Khác với entropie của nguồn rời rạc, h(S) phụ thuộc vào thang tỷ lệ của s, tức là phụ thuộc

vào việc chọn đơn vị đo. Nếu tăng s lên υ lần:

s.s = υ , khi đó:

( ) () ()

ds 1

ss s

11 1 WW W ==

() () () ()

****

hS slog sds hS log 11 WW

∞

−∞

⇒=− =+υ ∫

h(S) cũng có tính chất cộng tính.

3.5.5. Mẫu vật lý minh hoạ sự lớn vô hạn của entropie của nguồn liên tục

Giả sử ta truyền tin từ A đến B bằng đường dây lý

tưởng: không tổn hao, không gây nhiễu. ở đầu B ta đặt

một máy thu là một volt kế lý tưởng (có tạp âm nội bộ

bằng không, nên có thể đo với độ chính xác tuỳ ý,

V Z =∞). Tín hiệu phát nằm trong khoảng

( ) 01 ÷ Vol. Như vậy, ở đâu thu ta sẽ nhận được u = s.

Nếu trường { } i

Aa,i1,10 == (có 10 tin) thì

ta có thể mã hoá một cách đơn giản bằng cách đối chứng như sau:

1 a0,1V ↔ ,

2 a0,2V ↔ , ... ,

10 a1V ↔

Giả sử các tin là đồng xác suất thì H(A) = log 10.

Nếu { } i

A a , i 1,100 == thì ta có thể phát đi bằng cách đối chứng:

A B

s u

Hình 3.8. Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

1 a0,01V ↔ ,

2 a0,02V ↔ , ... ,

100 a1V ↔

Nếu các tin là đồng xác suất thì H(A) = log100.

Tương tự, nếu

i1,10 = thì chỉ cần chọn bước lượng tử

s10−

Δ= thì ta có thể đảm bảo

truyền được mọi tin. Nếu các tin là đồng xác suất thì

H(A) log10 = .

Vì kênh và thiết bị thu không có nhiễu nên ta có thể chọn s Δ bé tuỳ ý để truyền một số tin

lớn tuỳ ý. Khi đó entropie của nguồn tin có thể lớn tuỳ ý. Nếu s 0 H(A) Δ →⇒ →∞.

Trong thực tế, luôn tồn tại nhiễu n(t) trên đường dây và volt kế luôn có tạp âm nội bộ. Do

đó không thể chọn s Δ nhỏ tuỳ ý được mà phải là một số hữu hạn. Vì vậy entropie của nguồn trên

thực tế là hữu hạn.

3.5.6. Lượng thông tin chéo trung bình truyền theo kênh liên tục không nhớ

Xét một nguồn liên tục S và giả thiết các tin s do nguồn sinh ra là độc lập thống kê với

nhau, nghĩa là xét nguồn liên tục không nhớ. Xét kênh liên tục chỉ có can nhiễu cộng n(t) có các

giá trị cũng độc lập thống kê với nhau. Khi đó ở lối ra của kênh ta nhận được các tin:

u.sn =μ +

Các tin này cũng độc lập thống kê với nhau. Khi đó kênh xét cũng là kênh liên tục không

nhớ. Ta sẽ tính lượng thông tin trung bình truyền theo kênh này: I(S, U).

Ta cũng sẽ lượng tử hoá các tin ở đầu thu và đầu phát. Bước lượng tử ở đầu phát là s Δ ,

bước lượng tử ở đầu thu là u Δ . Khi đó ta có hai nguồn đã rời rạc sau: { } i

S' s , i 1,n == và

{ } j

U' u , j 1,m == . Tương tự như mục 4, ta có:

Xác suất để s nhận giá trị

s sẽ là: ( ) ( ) ii

ps s . s 1 W = Δ .

Tương tự, ta có: ( ) ( ) jj

pu u .u 1 W =Δ .

Xác suất để đồng thời s nhận giá trị

s và u nhận giá trị

u gần đúng bằng:

( ) ( ) ij ij

ps,u s,u . s.u 2 W =ΔΔ

Nếu coi

s là tin truyền đi và

u là tin nhận được tương ứng thì khi đó kênh sẽ là rời rạc

không nhớ và lượng thông tin chéo trung bình truyền theo kênh rời rạc đó là:

() ()

( )

()

nm ij

i i1j1

ps/u

IS',U' s,u . s. u.log

2 W

=ΔΔ ∑∑

Chú ý rằng theo công thức nhân xác suất: Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

()

( )

()

( )

()

() ()

()

() ()

ij i j

nm ij

i1j1 jj

ps.u s,u . s.u

ps/u

pu u .u

s,u . s. u

IS',U' s,u . s. u.log

u.u. s.s

W W WW ==

ΔΔ

⇒= ΔΔ

Δ Δ

∑∑

Khi cho s0vµ u 0 Δ→ Δ→ ta sẽ chuyển từ kênh rời rạc sang kênh liên tục và lượng

thông tin trung bình truyền theo kênh liên tục là:

() ( ) ()

( )

() ( ) s0

s,u

I S,U lim I S',U' s,u log ds.du

s. u

W W WW

∞∞

Δ→ −∞ −∞ Δ→

== ∫∫ (3.43a)

hay

()

( )

() ( )

s,u

IS,U Mlog

s. u

⎡⎤

= ⎢⎥

⎣⎦

(3.43b)

3.6. ENTROPIE VI PHÂN CÓ ĐIỀU KIỆN. TÍNH CHẤT CỦA CÁC TÍN HIỆU

GAUSSE

3.6.1. Entropie vi phân có điều kiện

Từ (3.43b), ta có:

()

( )

()

s,u 1

IS,U Mlog log

⎡⎤

=+ ⎢⎥

⎣⎦

()

( )

()

s,u 1

I S,U M log M log

⎡ ⎤⎡ ⎤

⇒= + ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦

()

( )

()

s,u 1

s log ds s,u log ds.du

W WW WW

∞∞∞

−∞ −∞−∞

=+ ∫∫∫ (3.44a)

Ta có thể viết dưới dạng sau:

I(S,U) = h(S) - h(S/U) (3.44b)

Trong đó h(S) chính là entropie vi phân của nguồn.

() ()

()

hS slog ds

W W

∞

−∞

= ∫

Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

() ()

( )

()

hS/U s,ulog ds.du

s,u

W W W

∞∞

−∞−∞

= ∫∫

()

s,u log ds.du

s/u

W W

∞∞

−∞ −∞

= ∫∫ (3.45)

Chú ý:

Theo công thức xác suất nhân: ( ) ( ) ( ) s,u u . s / u 211 WWW =

h(S/U) tính theo (3.45) được gọi là entropie vi phân có điều kiện của nguồn S khi đã biết

nguồn U.

Đối với nguồn rời rạc, ta có: I(A,B) = H(A) - H(A/B)

H(A) là lượng thông tin riêng trung bình chứa trong mỗi dấu của A.

H(A/B) là lượng thông tin tổn hao trung bình của mỗi tin do nhiễu trong kênh gây ra.

Về mặt hình thức, ta thấy h(S) đóng vai trò của H(A), còn h(S/U) đóng vai trò của H(A/B).

Về mặt ý nghĩa thì không phải như vậy, bởi vì h(S) và h(S/U) có thể âm và phụ thuộc vào

thang tỷ lệ. Tuy vậy, việc đưa ra h(S) và h(S/U) rất có lợi cho việc tính toán.

Từ (3.44a) và (3.44b) ta có thể suy ra các tính chất sau của I(S,U):

- I(S,U) ≥ 0, I(S,U) = 0 khi kênh bị đứt: W(u/s) = W(u)

- I(S,U) = I(U,S) = h(U) - h(U/S): tính chất đối xứng.

- Nếu kênh là không nhiễu n(t) = 0 thì I(S,U) = ∞.

Hai tính chất đầu tương tự như trong trường hợp kênh rời rạc không nhớ. Tính chất sau suy

ra từ tính chất lớn vô hạn của entropie của nguồn liên tục.

Chú ý:

I(S,U) không phụ thuộc vào thang tỷ lệ.

3.6.2. Entropie vi phân của nhiễu Gausse

Xét nhiễu Gausse n(t) có M[n] = 0 và D[n] =

n P .

Hàm mật độ phân bố xác suất của nó là:

()

n n

2P 2P

Wn exp-

⎧ ⎫ ⎪ ⎪

= ⎨ ⎬

π ⎪ ⎪ ⎩⎭

Ta sẽ tính vi phân entropie vi phân của nhiễu này. Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

Ta có: () ()

n hN log 2Pe dn Wn

∞

−∞

⎛⎞

⎜⎟

=π ⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

∫

() () ()

() ()

[]

1 Dn P

h N . log 2 P .dn . log e .dn

log e

log 2 P .dn n . .dn

Wn Wn

∞∞

−∞ −∞

∞∞

−∞ −∞ = ==

=π+

=π +

∫∫

() n

hN log 2P loge

⇒= π+

( ) n hN log 2P.e ⇒= π (3.46)

3.6.3. Lượng thông tin chéo trung bình truyền theo kênh Gausse

Ta có:

( ) ( ) ( )

()

IS,U hU hU/S

u log du h U/S

W W

∞

−∞

=−

=− ∫

Ta sẽ tính h(U/S) trong trường hợp nhiễu Gausse. Kênh ta xét sẽ là kênh Gausse:

( ) ( ) ( ) ut .st nt =μ +

() () ()

( ) ()() ()

() ( ) ( )

h U/S s,u .log u / s .du.ds

hU/S s. u/s.log u/s.du.ds

s.ds u/s.log u/s.du

11 1

WW W

∞∞

−∞ −∞

∞∞

−∞ −∞

∞∞

−∞ −∞

=−

∫∫

( ) () () hU/S u/s.log u/s.du 11 WW

∞

−∞

=− ∫ (3.47)

Để xác định h(U/S) ta phải tính được ( ) u/s 1 W . Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

Vì yếu tố ngẫu nhiên chỉ do nhiễu gây nên, đo đó với bất cứ một giá trị nhất định nào của s

thì xác suất để u rơi vào khoảng du cũng chính bằng xác suất để n rơi vào khoảng dn.

{ } {} du pu pn dn

∈=∈

( ) ( ) u/s du n dn 11 WW =

() () () du

dn 1 u/s n n

11 1 WW W ⇒= =

Với ()

du d ds dn

sn 1

dn dn dn dn

=+=+= V 0 khi s,n

× ®éc lËp

⎛⎞

= ⎜⎟

⎝⎠

Vậy () ()

n n

u/s n

2P 2P

WW exp-

⎧ ⎫ ⎪ ⎪

== ⎨ ⎬

π ⎪ ⎪ ⎩⎭

( ) ( ) n U/S n log 2 eP hh ⇒==π

()

u .log .du log 2 eP

1 -

I(U,S) = W W

∞

⇒−π ∫ (3.48)

Nếu u cũng có phân bố chuẩn thì:

() u Ulog2eP h =π

Do s(t) và n(t) là độc lập nên:

usn u n PPP =+ =σ+σ

Vậy: () () sn Ulog2ePP h =π+

Cuối cùng, ta có: I(S,U) = h(U) - h(S/U)

PP 1

I(S,U) log 1 log 1

P2 P

⎛⎞

=+= + ⎜⎟

⎝⎠

(3.49)

Trong đó

P là công suất trung bình của tín hiệu hữu ích (tín hiệu phát).

Nhận xét:

Từ (3.49) ta thấy I(S,U) không phụ thuộc vào hình dạng và cấu trúc của tín hiệu, mà chỉ phụ

thuộc vào tỷ số

sn P/P . Thực ra kết luận này chỉ đúng về hình thức, thực ra sau này ta sẽ thấy nếu

cấu trúc và hình dạng của tín hiệu thay đổi thì

sn P/P cũng sẽ thay đổi, do đó I(S,U) cũng sẽ khác

nhau đối với các tín hiệu có cấu trúc và hình dạng khác nhau. Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

3.6.4. Tính chất của các tín hiệu có phân bố chuẩn

Định lý:

Trong số những quá trình (tín hiệu) có cùng công suất trung bình (

σ ), tín hiệu có phân bố

Gausse sẽ cho entropie vi phân lớn nhất. Tức là:

() () ()

hX x.log x.dx log 2e 11 WW

∞

−∞

= −≤πσ ∫

() ()

m h X log 2 e khi x m 1 ax W Ët ®é chuÈn =πσ −

Chứng minh:

Gọi x(t) là tín hiệu không Gausse.

x(t) là tín hiệu Gause:

~ ~

x x

2P 2P

Wexp-

⎧ ⎫

⎛⎞ ⎪ ⎪

= ⎨ ⎬ ⎜⎟

π ⎝⎠ ⎪ ⎪

⎩⎭

Điều cần chứng minh ở định lý trên trương đương với việc chứng minh bất đẳng thức sau:

( ) x hX log 2eP 0 −π≤ (*)

Trước hết theo giả thiết, ta có:

~ x

DDD ==

()

2 ~~~

xxdxxxdx 11 WW

∞∞

−∞ −∞

⎛⎞

⇒= ⎜⎟

⎝⎠

∫∫ (a)

Ta có:

()

~~~~

hX xlog xdx

loge

log 2 D x d x x dx

WxW

∞

−∞

∞∞

−∞ −∞

⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞

=− = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠

⎛⎞

=π + ⎜⎟

⎝⎠

∫

∫∫

()

do x d x x dx 1 v 11 WWµ do(a)

∞∞

−∞ −∞

⎛⎞ ⎛⎞

== ⎜⎟ ⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

∫∫ Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

()

2 ~

h X log2 D loge x dx

22D

xlog xdx

∞

−∞

∞

−∞

⎡⎤ ⎛⎞

⇒=−−π− ⎢⎥ ⎜⎟

⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦

⎛⎞

=− ⎜⎟

⎝⎠

∫

Từ (*) ⇒ cần chứng minh: ()

hX hX 0

⎛⎞

− ≤ ⎜⎟

⎝⎠

Ta có:

( ) () () ()

hX hX xlog xdx xlog xdx 11 11 WW WW

∞∞

−∞ −∞

⎛⎞ ⎛⎞

−=− + ⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

∫∫

()

xlog dx

W W

∞

−∞

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

= ∫ (**)

Với a > 1 bao giờ ta cũng có:

a log x x 1 ≤ − .

Nên:

() ()

()

hX hX x 1dx

xdx xdx

W W

∞

−∞

∞∞

−∞ −∞

⎡ ⎤ ⎛⎞

⎢ ⎥ ⎜⎟

⎛⎞ ⎝⎠ ⎢ ⎥ −≤ − ⎜⎟

⎢ ⎥ ⎝⎠

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎛⎞

≤− ⎜⎟

⎝⎠

∫

∫∫

Vậy () ()

~~~

hX hX 0 hX hX x x

⎛⎞ ⎛⎞

−≤⇔≤∀≠ ⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

()

mhXlog2eD ax h X ⎛⎞

==π ⎜⎟

⎝⎠

Ý nghĩa định lý:

Trong số các quá trình ngẫu nhiên có cùng phương sai thì quá trình có phân bố chuẩn thể

hiện "tính ngẫu nhiên" nhiều hơn cả. Do đó ta thấy rằng trong số những tạp có cùng phương sai

thì tạp phân bố chuẩn có tác hại lớn nhất đối với việc truyền tin. (vì entropie đặc trưng cho độ bất Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

định, mà entropie của tạp chuẩn max nên độ bất định của nó lớn nhất). Đó là lý do vì sao trong

các bài toán của vô tuyến điện thống kê người ta thường xét tạp chuẩn.

Bằng phương pháp tương tự, ta có thể chứng minh được:

a. Trong số tất cả các phân bố trong một khoảng hữu hạn (a,b): ()

Wxdx 1 = ∫ . Đại

lượng ngẫu nhiên phân bố đều có entropie lớn nhất. H(X) = log(b - a) = log 2 3 σ l

b. Trong số tất cả các đại lượng ngẫu nhiên liên tục dương có cùng kỳ vọng m:

() 1

Wxdx 1

∞

= ∫ và () 1

xW x dx m

∞

= ∫ . Đại lượng ngẫu nhiên phân bố theo luật mũ có

entropie lớn nhất.

3.7. KHẢ NĂNG THÔNG QUA CỦA KÊNH GAUSSE

3.7.1. Khả năng thông qua của kênh Gausse với thời gian rời rạc

Định nghĩa:

Kênh Gausse không đổi với thời gian rời rạc là kênh Gausse không đổi có tín hiệu lối vào

s(t) là hàm liên tục của đối số rời rạc.

Ta có thể coi tín hiệu liên tục với thời gian rời rạc (hình 5.1a) là một dãy xung có biên độ là

các giá trị bất kỳ trong khoảng

min m ss ax ÷ và chu kỳ lặp lại (đồng thời cũng là độ rộng xung)

là khoảng thời gian rời rạc t Δ . Đem các xung (tin) đó truyền vào kênh thì tốc độ truyền tin của

kênh (cũng là tốc độ truyền tin của nguồn) với thời gian rời rạc sẽ là:

K 1

υ= Δ

Tương tự như đối với kênh rời rạc, khả năng thông qua của kênh Gausse với thời gian rời

rạc sẽ là:

K C' .max I(U,S) =υ (3.50)

I(U,S) là lượng thông tin chéo trung bình truyền trong kênh liên tục. Đối với kênh Gausse

không đổi, ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

() ()

IU,S hU hN hU log 2eP

mIU,SmhU log2eP ax ax

=−=− π

⇒=−π

Theo định lý ở phần 3.6, ta thấy h(U) đạt max khi u có phân bố chuẩn:

( ) u mhU log2eP ax =π Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

ở một thời điểm nào đó, ta có: u.sn = μ+

Do s và n độc lập nên:

usn PP P μ =+

Vậy:

() Ksn n C' log 2 e P P log 2 eP μ

⎡⎤ =υ π + − π

⎢⎥ ⎣⎦

C' log

μ +

⇒=υ

P 1

C' log 1

μ ⎛⎞

⇒=υ + ⎜⎟

⎝⎠

(3.51)

Trong đó

sn PP μ là tỷ số tín trên tạp ở đầu ra của kênh liên tục (đầu vào bộ giải điều chế).

Ta khảo sát ( ) sn C' f P P μ = :

Khi

0C'0

→⇒ → . Tức là nếu S/N rất bé thì kênh coi như bị đứt.

Khi

↑ nhưng còn nhỏ (

Khi

↑ nhưng đã khá lớn (> 12) thì C' tăng theo rất chậm.

Do đó ta thấy không nên chạy theo việc tăng công suất của máy phát để tăng khả năng

thông qua của kênh mà nên tăng tốc độ truyền tin của kênh (vì C' ~

K υ ).

3.7.2. Khả năng thông qua của kênh Gausse với thời gian liên tục trong một giải tần hạn

chế

Ta sẽ tính kảh năng thông qua của kênh Gausse trong trường hợp tín hiệu vào s(t) là hàm

liên tục của thời gian liên tục, có phổ hữu hạn F.

Ở đầu vào của bộ giải điều chế ,ta có thể đặt thêm một bộ lọc tần thấp có giải thông F. (Giải

tần công tác của kênh lúc này cũng chính là giải thông tần của bộ lọc này). Như vậy bộ lọc sẽ

không ảnh hưởng đến méo tín hiệu nhưng sẽ hạn chế được tạp âm trắng. Theo định lý

B.A.Kachennhicop ta có thể rời rạc hoá tín hiệu theo trục t mà vẫn không làm mất thông tin nếu

như

1 t

2F Δ= . Như vậy ta đã thay việc truyền tín hiệu liên tục với thời gian liên tục bằng việc

truyền tin liệu liên tục với thời gian rời rạc. Khi đó tốc độ truyền của kênh (số xung truyền trong

một đơn vị thời gian) sẽ là:

υ= =

. Do đó theo (3.51), ta có:

PμS/Pn

0 4 8 12

Hình 3.9. Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

C' Flog 1

μ ⎛⎞

=+ ⎜⎟

⎝⎠

(3.52)

Trong đó: F là bề rộng phổ của tín hiệu

n P là công suất trung bình của nhiễu trong giải F

Với tạp trắng ta có:

n0 PN.F =

0 N là mật độ phổ công suất thực tế của nhiễu

C' Flog 1

N.F

μ ⎛⎞

⇒= + ⎜⎟

⎝⎠

(3.52')

Nhận xét:

Nếu tăng C' bằng cách tăng F thì kéo theo

n P ↑

⎛⎞

⇒↓ ⎜⎟

⎝⎠

. Như vậy giữa C', F và

(S/N) có sự trả giá, ta được lợi về mặt này thì phải chịu thiệt ở mặt khác.

Ta vẫn có thể thu chính xác được tín hiệu (đảm bảo C' = const) trong trường hợp S/N bé

(công suất của máy phát nhỏ, cự ly liên lạc xa, nhiễu mạnh) bằng cách mở rộng phổ của tín hiệu.

Ví dụ: trong thông tin vũ trụ, S/N rất nhỏ nên tín hiệu liên lạc phải là tín hiệu giải rộng (tín hiệu

điều chế phức tạp, tín hiệu giả tạp,...)

Đó chính là ý nghĩa của (3.52), nó còn được gọi là công thức Shannon.

3.7.3. Khả năng thông qua của kênh Gausse với thời gian liên tục trong giải tần vô hạn

Trong (3.52'), nếu lấy cơ số của log là e thì C' được đo bằng [nat/s]. Nếu đo bằng [bit/s]

thì:

P 1

C' 1,443Fln 1 .

μ ⎛⎞

=+ ⎜⎟

⎝⎠

[bit/s] (3.53)

Bây giờ ta sẽ xét sự phụ thuộc của C' vào F.

- Khi F0 → thì rõ ràng là C' 0 →

- Khi F ↑ thì C' ↑

Đặc biệt, ta sẽ xét giá trị của C' khi F→∞, tức là khi giải thông của kênh không hạn chế.

Đặt

P 1

⇒=

Khi x0 → thì F→∞. Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

Ta ký hiệu: ()

s '

Fx0 0

P 1

C lim C' lim . .ln 1 x .1,443

∞ →∞ →

⎡⎤

== + ⎢⎥

⎣⎦

()

s '

x0 0

P 1

C 1,443. . lim .ln 1 x

∞ →

⎡⎤

⇒= + ⎢⎥

⎣⎦

Ta đã có: ()

1/ x

lim 1 x 1

→

s '

C 1,443.

∞ ⇒= (3.54)

Đồ thị C' = f(F) được vẽ ở hình 3.10.

Tại giá trị

⇒== .

Từ đồ thị, ta thấy: Khả năng thông qu của kênh Gausse với thời gian liên tục là một đại

lượng giới nội:

0C'C∞ ≤≤ . Điều này được giải thích như sau: Trong thực tế, mọi vật đều có

tạp âm nhiệt. Tạp âm nhiệt có phân bố chuẩn và có mật độ công suất

0 Nk.T = .

Trong đó: k là hằng số Boltzman, k =

1, 38.10−

J/độ.

T là nhiệt độ tuyệt đối của vật.

Vì vậy khả năng thông qua của mọi kênh thực tế đều bị giới nội.

3.7.4. Định lý mã hoá thứ hai của Shannon đối với kênh liên tục

Đối với kênh liên tục, định lý mã hoá thứ hai của Shannon được phát biểu như sau:

Định lý:

Các nguồn tin rời rạc có thể mã hoá và truyền theo kênh liên tục với xác suất sai bé tuỳ ý

khi giải mã các tín hiệu nhận được nếu khả năng phát của nguồn nhỏ hơn khả năng thông qua của

kênh. Nếu khả năng phát của nguồn lớn hơn khả năng thông qua của kênh thì không thể thực hiện

được mã hoá và giải mã với xác suất sai bé tuỳ ý được.

3.7.5. Ví dụ: Khả năng thông qua của một số kênh thực tế

- Kênh viễn thông chuyển tiếp:

( )

C' n.10 n.10 =÷ Hartley/s

- Điện thoại, điện báo ảnh, viễn thông chuyển tiếp:

c'∞

PμS/N0

0 PμS/N0 F

Hình 3.10. Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

( )

C' n.10 n.10 =÷ Hartley/s

- Điện báo:

( )

C' n.10 n.10 =÷ Hartley/s

- Con người: + Thị giác:

' 6

1 Cn.10 = Hart./s

+ Thính giác:

' 3

2 Cn.10 = Hart./s.

Điều này chứng tỏ "trăm nghe không bằng một thấy"

+ Xúc giác

3 C :

'''

231 CCC

Con người chỉ có thể nhận thức được các thông tin đưa ra với tốc độ truyền ≤ 15 Hart./s.

Một quyển sách 100 trang ( ≈ 2000 dấu/trang): I = ( )

10 10 ÷ bit.

Trí nhớ ngắn hạn của con người: ( )

10 10 ÷ bit.

Trung bình một đời người tiếp nhận

10 ≈ bit.

BÀI TẬP

3.1. Thành phố nọ có 1% dân số là sinh viên. Trong số sinh viên có 50% là nam thanh niên. Số

nam thanh niên trong thành phố là 32%. Giả sử ta gặp một nam thanh niên. Hãy tính lượng thông

tin chứa trong tin khi biết rằng đó là một sinh viên.

3.2. Có hai hộp đựng bút chì, mỗi hợp đựng 20 bút chì. Hộp thứ nhất có 10 bút trắng, 5 bút đen và

5 bút đỏ. Hộp thứ hai có 8 bút trắng, 8 bút đen và 4 bút đỏ. Ta lấy hú hoạ một bút chì từ mỗi hộp.

Hỏi rằng phép thử nào trong hai phép thử nói trên có độ bất định lớn.

3.3. Các tín hiệu

1 x ,

2 x với các xác suất tiên nghiệm ( ) 1 px 3/4 = , ( ) 2 px 1/4 = được

truyền theo kênh nhị phân đối xứng có nhiễu như hình vẽ. Do có nhiễu nên xác suất thu đứng mỗi

tín hiệu giảm đi chỉ bằng 7/8. Hãy tìm:

a. Lượng tin tức riêng có điều kiện ( ) 22 Ix / y

b. Lượng tin tức chéo ( ) 22 Ix,y

c. Các lượng tin tức

trung bình ( ) 2 IX,y ,

H(X), H(X/Y), I(X,Y)

1 y

2 y

2 x

1 x

( ) 11 py/x 7/8 =

( ) 22 py /x 7/8 =

( ) 12 py/x 1/8 =

( ) 21 py /x 1/8 =

() 1 px 3/4 =

( ) 2 px 1/4 = Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

3.4. Một bảng chữ cái gồm bốn con chữ

1 x ,

2 x ,

3 x ,

4 x . Giá trị xác suất xuất hiện riêng rẽ các

chữ () i

px và xác suất có điều kiện ( ) j i

px/x cho trong các bảng dưới đây.

1 x

2 x

3 x

4 x

( ) i

p x 0,5 0,25 0,125 0,125

1 x

2 x

3 x

4 x ()

j i

px/x

∑

1 x

2 x

3 x

4 x

0,2

0,25

0,2

0,4

0,3

0,25

0,4

0,3

0,5

Hãy tìm độ thừa của nguồn tin trong hai trường hợp:

a. Khi các con chữ độc lập thống kê với nhau.

b. Khi các con chữ phụ thuộc thống kê với nhau.

3.5. Một điện đài vô tuyến điện gồm 16 khối có giá trị như nhau về độ tin cậy và được mắc nối

tiếp và một thiết bị kiểm tra - thông báo sự hỏng hóc của các khối. Hãy tính só lần thử ít nhất tiến

hành bằng thiết bị kiểm tra - thông báo đó để có thể phát hiện bất cứ sự hỏng hóc nào của tất cả

các khối.

3.6. Một điện đài của địch có thể làm việc trên sóng

1 λ (sự kiện

1 A ) hoặc ở trên sóng

2 λ (sự

kiện

2 A ); nó cũng có thể làm việc ở chế độ liên tục (sự kiện

1 B ) cũng như ở chế độ xung (sự

kiện

2 B ). Xác suất các sự kiện đồng thời có giá trị như nhau:

( ) 11 pAB 0,15 = ; ( ) 12 pAB 0,7 = ; ( ) 21 pAB 0,1 = ; ( ) 22 pAB 0,05 = .

x Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

Hãy tính lượng tin tức về chế độ công tác của điện đài ấy nếu coi rằng độ dài bước sóng đã

biết.

3.7. Xác định khả năng thông qua của kênh nhị phân đối xứng có xoá (như hình vẽ). Nếu các dấu

x và

y có thời hạn τ như nhau và

τ= . F là tần số phát đi các dấu.

Ghi chú: Giải bằng cách tìm cực trị của hàm ( ) ( ) = HB fp

3.8. Ở đầu vào một máy thu nhận được tín hiệu hỗn hợp y(t) = x(t) + n(t). Trong đó tín hiệu x(t)

và can nhiễu n(t) đều là các quá trình ngẫu nhiên chuẩn, độc lập, có kỳ vọng bằng không và

phương sai lần lượt bằng

s σ và

n σ . Hãy tính:

a. Lượng tin tức I(x,y) về tín hiệu x(t) chứa trong tín hiệu thu được y(t).

b. Lượng tin tức chéo trung bình.

3.9. A chọn một trong các số từ 0 ÷ 7. Hỏi B phải dùng trung bình bao nhiêu câu hỏi để tìm ra số

A nghĩ?

3.10. Tính độ rộng giải thông của một kênh vô tuyến truyền hình truyền hình ảnh đen trắng với

5.10 yếu tố, 25 ảnh trong 1s và có 8 mức sáng đồng xác suất, với tỷ số

PN.F

== .

Nếu coi rằng ảnh vô tuyến truyền hình xem như một dạng tạp âm trắng.

3.11. Tìm mật độ phổ tín hiệu S(f) để bảo đảm tốc độ truyền tin cực đại khi cho trước công suất

toàn phần của tín hiệu: ()

PSfdf = ∫ và mật độ phổ của nhiễu N(f).

3.12. Hãy so sánh khả năng thông qua của hai kênh thông tin nếu kênh thứ nhất chịu một tác động

của một tạp âm trắng, chuẩn trong giải tần F với phương sai

1V σ= , còn kênh thứ hai chịu

tác động của một tạp âm trắng, phân bố đều trong khoảng 1, 5 ± với giải tần 2F. Coi rằng công

suất của tín hiệu rất lớn hơn công suất của tạp âm.

1 - ps - q

p(x1) = p x1 y1

p(x2) = 1 - p x2 y2

1 - ps - q

Chương 3: Cơ sở lý thuyết thông tin thống kê

3.13. Trong 27 đồng xu giống nhau có 1 đồng xu giả nhẹ hơn. Giả sử ta dùng một cân đĩa thăng

bằng (có hai đĩa cân) để xác định đồng xu giả. Hãy tính số lần cân trung bình tối thiểu để xác định

được đồng xu giả. Nêu thuật toán cân.

3.14. Trong bộ tú lơ khơ 52 quân bài (không kể phăng teo), A rút ra một quân bài bất kỳ. Tính số

câu hỏi trung bình tối thiểu mà B cần đặt ra cho A để xác định được quân bài mà A đã rút. Nêu

thuật toán hỏi? Giả sử A đã rút ra 5 rô, hãy nêu các câu hỏi cần thiết.

Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

CHƯƠNG IV - CƠ SỞ LÝ THUYẾT MÃ HÓA

4.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

4.1.1. Các định nghĩa cơ bản

4.1.1.1. Mã hóa

Tập các tin rời rạc rất đa dạng và phong phú. Để hệ thống truyền tin số có thể truyền được

các tin này cần phải có một quá trình biến đổi thích hợp đối với các tin rời rạc, đó chính là quá

trình mã hóa.

Định nghĩa 1: Mã hóa là một ánh xạ 1- 1 từ tập các tin rời rạc

a lên tập các từ mã

i i

:a f →α

Để có thể dễ dàng mã hóa và giải mã, từ các từ mã

α thường là các phần tử của một cấu

trúc đại số nào đó. Bởi vậy ta có thể định nghĩa cụ thể hơn cho phép mã hóa.

Định nghĩa 2: Mã hóa là một ánh xạ 1- 1 từ tập các tin rời rạc

a lên một tập con có cấu

trúc của một cấu trúc đại số nào đó.

4.1.1.2. Mã

Định nghĩa 3: Mã (hay bộ mã) là sản phẩm của phép mã hóa, hay nói cách khác mã là một

tập các từ mã được lập nên theo một luật đã định.

4.1.1.3. Các yếu tố của từ mã

Định nghĩa 4: Độ dài từ mã

n là số các dấu mã cần thiết dùng để mã hóa cho tin

a .

Nếu

nconst = với mọi i thì mọi từ mã đều có cùng độ dài. Bộ mã tương ứng được gọi là

bộ mã đều.

Nếu

nn ≠ thì bộ mã tương ứng được gọi là bộ mã không đều

Định nghĩa 5: Số các dấu mã khác nhau (về giá trị) được sử dụng trong bộ mã được gọi là

cơ số mã. Ta ký hiệu giá trị này là m.

Nếu m = 2 thì bộ mã tương ứng được gọi là mã nhị phân.

Nếu m = 3 thì bộ mã tương ứng được gọi là mã tam phân

............

Nếu m = p thì bộ mã tương ứng được gọi là mã p phân.

Thông thường các dấu mã được chọn là các phần tử trong một trường F nào đó. Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

Ví dụ 1: Từ mã

α trong bộ mã đều nhị phân có độ dài 7 có thể mô tả như sau:

0110101 α=

Mỗi một dấu mã trong từ mã này chỉ có thể nhận một trong hai giá trị {} 0,1 , mỗi dấu mã là

một phần tử của trường nhị phân GF(2).

4.1.2. Các khái niệm cơ bản

4.1.2.1. Độ thừa của một bộ mã đều (D)

Cho nguồn rời rạc A gồm s tin: { } i

Aa;1,s = .

Xét phép mã hóa f sau:

iii

:a ; V →α α ∈ f .

Cơ số mã là m, khi đó số các từ mã độ dài n có thể có là:

Nm = .

Định nghĩa 6: Độ thừa của một bộ mã đều được xác định theo biểu thức sau:

( ) ( )

()

( )

()

[]

00 0

HV HA HA D1% HV HV

Δ −

==− (4.1)

Trong đó : ( ) 0 HA logs =

( ) 0 HV logNnlogm ==

Ví dụ 2: Ta có mã hóa 4 tin A, B, C, D bằng các tin từ mã của một bộ lọc giải mã đều nhị

phân, có độ dài n = 3, khi đó độ thừa của bộ mã này là:

log 4

D 1 33,33% 3log2

=− =

Bộ mã này có 4 từ mã được dùng để mã hóa cho 4 tin rời rạc. Các từ mã còn lại (4 từ mã)

không được dùng để mã hóa được gọi là các từ mã cấm.

Đối với các bộ từ mã đều, để đánh giá định lượng sự khác nhau giữa các từ mã trong bộ mã,

ta sử dụng khái niệm khoảng cách mã sau.

4.1.2.2. Khoảng cách mã (d)

Định nghĩa 7: Khảng cách giữa hai từ mã bất kỳ

α và

α là số các dấu mã khác nhau

tính theo cùng một vị trí giữa hai từ mã này, ký hiệu ( )

d, α α

Ví dụ 3:

0110101 α=

10 01110 α= Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

( )

d, 6 αα =

Khoảng cách mã d có đầy đủ các tính chất của khoảng cách trong một không gian metric.

Tính chất 1: ( ) ( )

nn nn

ij ji

d, d, α α=αα

Tính chất 2: ( )

1d , 0 ≥αα≥

Tính chất 3: (Tính chất tam giác): ( ) ( ) ( )

nn nn nn

ij jk ik d, d, d, α α+αα≥αα

Để đánh giá định lượng khả năng khống chế sai (bao gồm khả năng phát hiện sai và khả

năng sửa sai) của một bộ mã ta sử dụng khái niệm khoảng cách mã tối tiểu (haykhoảng cách

Hamming) sau:

Định nghĩa 8: Khoảng cách Hamming

0 d của một bộ mã được xác định theo biểu thức

( ) nn

0ij

dmind,

∀α α

=αα

Ở đây

α và

α không đồng nhất bằng không (Ta coi

α là từ mã không khi mọi dấu

mã trong từ mã đều nhận giá trị không).

4.1.2.3. Trọng số của một từ mã

Định nghĩa 9: Trọng số của một từ mã ( )

W α là số các dấu mã khác không trong từ

mã.

Ví dụ:

0110101 α=

( )

W4 α=

Nếu ta coi mỗi từ mã

α là một véctơ n chiều trong một không gian tuyến tính n chiều

n V , khi đó phép cộng được thực hiện giữa hai từ mã tương tưh như phép cộng giữa hai véctơ

tương ứng.

Ví dụ 4: ( )

0110101 0,1,1,0,1,0,1 α= ↔

( )

1001110 1,0,0,1,1,1,0 α= ↔

( )

777

ki j

1 1 1 1 0 1 1 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1 α=α+α= ↔ Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

Ở đây phép cộng trên mỗi thành phần (tọa độ) của véctơ được thực hiện trên trường nhị

phận GF(2). Phép cộng theo modulo 2 này được mô tả như sau:

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

Sau đây là các tính chất của trọng số:

- ( )

0W 1 ≤α≤

- ( ) ( )

nn n n

ij i j

d, W αα = α+α

4.1.3. Khả năng khống chế sai của một bộ mã đều nhị phân

4.1.3.1. Khả năng phát hiện sai

Định lý 1: Một bộ mã đều nhị phân có độ thừa (D > 0) và có

0 d2 ≥ sẽ có khả năng phát

hiện được t sai thỏa mãn điều kiện:

0 td 1 ≤− (4.2)

Chứng minh:

Mọi từ mã trong bộ mã đều cách nhau một khoảng cách ít nhất là

0 d . Khi truyền tin, do có

nhiễu từ mã nhận được có thể bị sai ở t vị trí

0 td 1 ≤ − . Vì vậy từ mã nhận được không thể biến

thành một từ mã được dùng khác. Như vậy ta luôn có thể phát hiện được rằng từ mã đã nhận sai.

4.1.3.2. Khả năng sửa sai

Định lý 2: Một bộ mã đều nhị phân có độ thừa ( ) D0 ≥ và có ( ) 0 d3 ≥ sẽ có khả năng

sửa được e sai thỏa mãn điều kiện:

0 d1

− ⎡⎤

≤ ⎢⎥

⎣⎦

(4.3)

Ở đây [] x là ký hiệu phần nguyên của số x .

Chứng minh:

Khi truyền tin, do có nhiễu, từ mã nhận được có thể bị sai ở e vị trí

0 d1

⎛−⎞ ⎡⎤

≤ ⎜⎟ ⎢⎥

⎣⎦ ⎝⎠

. Như

vậy, Khoảng cách giữa từ mã nhận được với từ mã khác tối tiểu là e1 + . Như vậy, ta luôn có thể

xác định đúng được từ mã đã phát. Điều đó có nghĩa là ta đã sửa sai được e sai gặp phải trên được

truyền. Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

4.1.4. Mã đều nhị phân không có độ thừa

Mã đều nhị phân không có độ thừa (D = 0) còn được gọi là mã đơn giản. Với mã đơn giản

ta có

s=N=2 . Như vậy mỗi một từ mã có thể có đều được sử dụng để mã hóa cho các tin

rời rạc. Với từ mã đơn giản

0 d1 = . Vì vậy ta không thể phát hiện hay sửa được bất cứ một sai

nào.

Giả sử ta truyền từ mã đơn giản qua kênh đối xứng nhị phân không nhớ có xác suất thu sai

một dấu là

0 p . Khi đó xác suất thu đúng một dấu tương ứng là ( ) 0 1p − . Từ mã chỉ nhận đúng

khi mọi dấu mã đều nhận đúng. Như vậy, xác suất thu đúng từ mã p® là:

()

0 p1p =− ® (4.4)

Xác suất thu sai của từ mã là:

()

s0 p1p11p =− =− − ® (4.5.a)

Với

0 p1 ta có công thức gần đúng sau:

()

00 1p 1np −≈−

Ta có:

s0 pnp ≈ (4.5.b)

Giả sử xác suất thu sai cho phép đối với mỗi tin rời rạc là

scp p , khi đó điều kiện sử

dụng mã đơn giản trong kênh đối xứng nhị phân không nhớ là:

sscp pp ≤

Hay

scp

(4.6)

4.2. MÃ THỐNG KÊ TỐI ƯU

Ta xét phép mã hóa sau đối với các tin của nguồn rời rạc A:

i i

:a →α f

Mỗi tin

a được mã hóa bằng một tổ hợp mã (từ mã)

α (

α là một tổ hợp mã gồm

dấu mã).

Ta xét trường hợp mã nhị phân tức là mỗi dấu mã chỉ nhận một trong hai giá trị "0" và "1". Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

4.2.1. Độ dài trung bình của từ mã và mã hóa tối ưu

Ta có

() ()

i i

i1,s

i i

AVi1,s

pa pa =

⎛⎞ ⎛⎞ α

=⎯⎯⎯ →= = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

Định nghĩa 1: Độ dài trung bình của một tổ hợp mã được xác định theo biểu thức sau:

[] ()

iii

nMn npa

== ∑

Định nghĩa 2: Một phép mã hóa được gọi là tiết kiệm (hay tối ưu) nếu nó làm cực tiểu giá

trị n .

4.2.2. Yêu cầu của một phép mã hóa tối ưu

- nmin → .

- Có khả năng giải mã tức thì: không một dãy bít nào trong biểu diễn của một tin (ký tự) nào

đó lại là phần đầu (prefix) của một dãy bít dài hơn biểu diễn cho một tin (ký tự) khác.

Ví dụ 1: Mã Moorse không đảm bảo yêu cầu này vì:

Mã số cho E (.) là tiền tố của mã số cho A ( ) .

−

Mã số cho D () ..

− là tiền tố của mã số cho B ( ) ...

−

4.2.3. Định lý mã hóa thứ nhất của Shannon (đối với mã nhị phân)

4.2.3.1. Định lý

Luôn luôn có thể xây dựng được một phép mã hóa các tin rời rạc có hiệu quả mà n có thể

nhỏ tùy ý nhưng không nhỏ hơn entropic H(A) được xác định bởi đặc tính thống kê của nguồn A.

( ) nHA ≥

Chứng minh:

Nếu gọi m là cơ số của bộ mã thì lượng thông tin riêng cực đại chứa trong mỗi dấu mã là

log m.

Gọi

n là độ dài của từ mã

α ứng với tin

a , khi đó lượng thông tin riêng cực đại chứa

trong từ mã này là

n logm.

Lượng thông tin riêng trung bình của mỗi từ mã là:

()

p a n logm n logm

= ∑ Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

Để phép mã hóa không làm tổn hao thông tin thì lượng thông tin riêng trung bình cực đại

chứa trong mỗi từ mã phải không nhỏ hơn lượng thông tin riêng trung bình chứa trong mỗi tin

thuộc nguồn. Tức là:

( ) nlog m H A ≥

hay

( ) HA n

log m

≥ .

Với mã nhị phân (m = 2) ta có: ( ) nHA ≥

4.2.3.2. Nguyên tắc lập mã tiết kiệm

Theo định lý ta có: () () ()

ii i i

i1 i1

pa n pa logpa

≥− ∑∑

Bất đẳng thức trên sẽ thỏa mãn nếu i ∀ ta có:

( ) ( ) ( ) ii i i

pa n pa logpa ≥−

hay ( ) ii

nlogpa ≥−

Nguyên tắc: Các từ mã có độ dài càng nhỏ sẽ được dùng để mã hóa cho các tin có xác suất

xuất hiện càng lớn và ngược lại.

4.2.4. Thuật toán Huffman

4.2.4.1. Thuật toán mã hóa

Với phép mã hóa tối ưu ta có: ( ) nHA =

VÀO: Nguồn rời rạc

()

A,i1,s

⎛⎞

== ⎜⎟

⎝⎠

RA: Từ mã

α tương ứng với tin

Bước 1: Khởi động một danh sách các cây nhị phân một nút chứa các trọng lượng

12 n p,p , ,p ... cho các tin

12 n a, , ,a ... .

Bước 2: Thực hiện các bước sau n1 − lần:

Tìm hai cây T' và T" trong danh sách với các nút gốc có trọng lượng tối thiểu p' và p".

Thay thế hai cây này bằng cây nhị phân với nút gốc có trọng lượng p' + p" và có các cây

con là T' và T".

Đánh dấu các mũi tên chỉ đến các cây con 0 và 1.

p' + p"

0 Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

Bước 3: Mã số của tin

a là dãy các bít được đánh dấu trên đường từ gốc của cây nhị phân

cuối cùng tới nút

a .

Ví dụ 1: Xét các ký tự A, B, C, D, E có các xác suất xuất hiện tương ứng là 0,2; 0,1; 0,1;

0,15; 0,45

Bước 1:

Bước 2: Lần 1:

Lần 2:

Lần 3:

0,2

1 0

0,1

0,15

0,2

0,45

0,1

0,2

1 0

0,15

0,2

0,45

0,35

0,1

0,15

0,2

0,45

0,1

0,2

1 0

0,15

0,2

0,45

0,35

0,55 0

1 Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

Lần 4:

Bước 3:

Ký tự A B C D E

Mã tương ứng 01 0000 0001 001 1

2 4 4 3 1

Đánh giá hiệu quả:

()

n n p a 2.0,2 4.0,1 4.0,1 3.0,15 1.0,45

2,1 =

==++++

∑

dÊu

() ()

()

i i1

1 100 100

H A p a log 2.0,1log10 0,15log 0,2log5 0,45log

pa 15 45

0,2.3,3226 0,15.2,7375 0,2.2,3224 0,45.1,1522

0,6645 0,4106 0,4645 0,5185

2,058 bit

==+++

=+ ++

=+++

∑

Ta thấy ( ) nHA ≥

Nhận xét: Phép mã hóa trên là gần tối ưu.

4.2.4.2. Thuật toán giải mã

VÀO: Xâu bít

RA: Xâu tin (ký tự)

Bước 1: Khởi động con trỏ P chỉ đến gốc của cây Huffman.

Bước 2: While (chưa đạt tới kết thúc thông báo) do:

a. Đặt x là bít tiếp theo trong xâu bít.

0,1

0,2

1 0

0,15

0,2

0,45

0,35

0,55 0

1 Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

b. If x = 0 then

Đặt P: = con trỏ chỉ đến cây con trái của nó

else

P: = con trỏ chỉ đến cây con phải của nó

c. If (P chỉ đến nút lá) then

1. Hiển thị ký tự tương ứng với nút lá.

2. Đặt lại P để nó lại chỉ đến gốc của cây Huffman

Ví dụ 2: Thông báo nhận được: 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 ...

Quá trình giải mã:

GGGGGG

G0 1 000 1 1 00 1 1 0 1

ACEDEA

↑↓↑ ↓↑↓↑ ↓↑↓↑↓↑

...

RA: A C E D E A ...

4.3. CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ VÀ MÃ TUYẾN TÍNH

4.3.1. Một số cấu trúc đại số cơ bản

4.3.1.1. Nhóm:

* G,

Nhóm G là một tập hợp các phần tử với một phép toán trong 2 ngôi thỏa mãn các tính chất

- a,b G a b c G ∈⇒∗=∈

- Tồn tại phần tử đơn vị e: a e = e a = a ∗∗

- Tồn tại phần tử ngược

−

a a = a a = e

−−

∗∗

Nếu ab = b a ∗∗ thì nhóm được gọi là nhóm giao hoán.

Ví dụ 1: Tập các số nguyên Z với phép toán cộng (+) tạo nên một nhóm giao hoán với phần

tử đơn vị là 0.

Nếu số các phần tử trong nhóm G là hữu hạn thì ta có nhóm hữu hạn cấp G .

Nếu HG ∈ và H,∗ tạo nên một nhóm thì H được gọi là nhóm con của G. Cấp của H là

ước của cấp của G.

4.3.1.2. Nhóm xyclic

Xét nhóm hữu hạn G, i . Nếu G có thể mô tả như sau" Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

100

{ } i

G,i = α∀

thì G được gọi là nhóm xyclic sinh bởi α. α được gọi là phần tử sinh (hay phần tử nguyên

thủy) của nhóm.

Ví dụ 2: Xét nhóm nhân: { } 11 Z 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ∗

Ta có:

21 210 ==

22 29

24 27

28 23

25 26

Ta có thể viết { } i

11 Z2mod11 ∗

= .

Phần tử α được gọi là có cấp k nếu n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn

1modn α≡ .

Ở ví dụ trên ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ord 2 ord 8 ord 7 ord 9 10 ====

4.3.1.3. Vành: R, , + i

Vành R là một tập hợp các phần tử với hai phép toán trong hai ngôi (Phép cộng (+), phép

nhân ( i )) thỏa mãn các tính chất sau:

- R,+ là một nhóm đối với phép cộng

- R, i là một nửa nhóm đối với phép nhân. Điều này có nghĩa là không nhất thiết mọi

phần tử đều có phần tử ngược của phép nhân.

- Tính chất phân phối: ( ) abc = acbc ++

Vành R được gọi là vành giao hoán nếu ta có ab = ba

4.3.1.4. Ideal:

Ideal I là một tập con trong R có các tính chất sau:

- a,b I : a b I ∈+∈ , I,+ là một nhóm đối với phép *.

- cR:c.a I ∈∈ Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

101

4.3.1.5. Trường F, , + i

Trường F là một tập hợp các phần tử với hai phép toán trong hai ngôi thỏa mãn:

- F,+ là một nhóm cộng

F, i là một nhóm đối với phép nhân.

Trong đó: { } *

FF\0 =

Ví dụ 3: Trường nhị phân GF(2): Trường này chỉ có hai phần tử 0 và 1.

4.3.1.6. Không gian tuyến tính

n V

Các phần tử trong không gian tuyến tính được gọi là các véctơ.

n V ∈ v là các véctơ n chiều. Mỗi véctơ n chiều được mô tả bằng một bộ n tọa độ được sắp

( ) 01 n1 , , ...,

− ↔ vvv v với

F ∈ v

Trong không gian

n V ta xác định các phép toán sau:

- Cộng véctơ: () 0n1 ,...,

− = uu u , ( ) 0n1 , ...,

− = vv v

( ) 0n1 , ...,

− = u+v y y với

jjj

F ∈ y=u+v

- Tích vô hướng của hai véctơ: ( ) u,v

()

−

=∈ ∑ u,v u v

Hai véctơ được gọi là trực giao nếu ( ) 0 = u,v

- Nhân một véctơ với một phần tử vô hướng

Xét phần tử vô hướng F α∈

( ) 1n1 . , ...,

− αα α u= u u

4.3.2. Các dạng tuyến tính và mã tuyến tính

4.3.2.1. Dạng tuyến tính

Định nghĩa 1: Các dạng tuyến tính của k biến độc lập

12 k , , ..., x xx là các biểu thức có

dạng:

()

1k ii

,...,

= ∑ f xx ax (4.7) Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

102

Trong đó:

F ∈ a

Nhận xét: Có sự tương ứng 1 - 1 giữa các dạng tuyến tính, các véctơ và các đa thức trong

vành đa thức.

4.3.2.2. Mã tuyến tính

Định nghĩa 2: Mã tuyến tính độ dài n là mã mà từ mã của nó có các dấu mã là các dạng

tuyến tính

Định nghĩa 3: Mã hệ thống tuyến tính (n,k) là mã tuyến tính độ dài n trong đó ta có thể chỉ

ra được vị trí của k dấu thông tin trong từ mã.

Định nghĩa 4: Mã tuyến tính ngẫu nhiên là mã tuyến tính có các dấu mã được chọn ngẫu

nhiên từ các dạng tuyến tính có thể có.

Nhận xét:

- Shannon đã chứng minh rằng tồn tại các mã đạt được giới hạn Shannon (thỏa mãn định lý

mã hóa thứ hai) trong các mã tuyến tính ngẫu nhiên.

- Khó tìm các mã tốt trên các mã tuyến tính ngẫu nhiên. Hơn nữa việc mã hóa và giải mã

cho các mã này cũng rất phức tạp. Bởi vậy các mã này chỉ có ý nghĩa về mặt lý thuyết.

Ví dụ 4: Số các dạng tuyến tính khác nhau của 4 biến độc lập là:

0 N2115 =−=

Số các mã hệ thống tuyến tính ( ) 7,4 là

111 NC 165 ==

4.3.2.3. Ma trận sinh và ma trận kiểm tra của mã tuyến tính

Để đơn giản cho việc mô tả mã tuyến tính người ta thường sử dụng ma trận sinh

k.n G . Ma

trận này chứa k véctơ hàng độc lập tuyến tính tạo nên không gian mã

() n,k V−

2 các vétơ khác nhau là tất cả các tổ hợp tuyến tính có thể có của k véctơ hàng này.

Trong đại số tuyến tính ta biết rằng với mỗi G sẽ tồn tại ma trận

rn H × thỏa mãn:

T G.H 0 = (4.8)

Trong đó: rnk =−

T H được gọi là ma trận chuyển vị của H

H được gọi là ma trận kiểm tra của mã tuyến tính (n, k)

Ta thấy rằng H chứa r véctơ hàng trực giao với các véctơ hàng của G

Hiển nhiên là nếu a là một véctơ mã

() ( ) n,r

aV− ∈ thì : Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

103

T a.H 0 = (4.9)

Ở đây H cũng là một ma trận sinh của một mã tuyến tính

() n,r

V− và G lại chính là ma trận

kiểm tra của mã này. Ta thấy rằng không gian tuyến tính C sinh bởi G là không gian không của

không gian tuyến tính C⊥ sinh bởi H.

Từ (4.9) ta có thể viết ra r phương trình:

jij

ah 0 , i 1,r

= = ∑ (4.10)

Các phương trình này còn được gọi là các tổng kiểm tra. Mã C sinh bởi mã G và C⊥ sinh

bởi H được gọi là các mã đối ngẫu.

Nếu CC⊥ ≡ thì C được gọi là mã tự đối ngẫu. Các mã tự đối ngẫu có rnk =− và bởi

vậy có tốc độ

== .

Ví dụ 5: Xét mã hệ thống tuyến tính (7, 4) có các dấu mã được chọn từ các dạng tuyến tính

như sau:

Từ mã a gồm các dấu mã

a được chọn như sau:

4012

5123

=++

x xx

6 013 a =++ x xx

Như vậy ma trận sinh G có dạng:

1000001

0100111

0010110

0001011

⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟ =

⎜⎟

⎝⎠

Ma trận kiểm tra của mã (7, 4) này là: Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

104

1110100

H0111010

1101001

⎛⎞

⎜⎟

= ⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

H chính là ma trận sinh của mã (7, 3) là mã đối ngẫu với mã (7, 4) sinh bởi G

4.3.3. Các bài toán tối ưu của mã tuyến tính nhị phân

Khi xây dựng một mã tuyến tính ( ) 0 n,k,d người ta mong muốn tìm được các mã có độ

thừa nhỏ nhưng lại có khả năng khống chế sai lớn. Để đơn giản người ta thường xây dựng mã dựa

trên các bài toán tối ưu sau:

4.3.3.1. Bài toán 1

Với k và

0 d xác định, ta phải tìm được mã có độ dài với từ mã là nhỏ nhất.

Tương ứng với bài toán này ta có giới hạn Griesmer sau:

−

⎡⎤

≥ ⎢⎥

⎢⎥

∑ (4.11)

Ở đây ⎡⎤ ⎢⎥ x chỉ số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng x.

Ví dụ 6: Cho

0 k4,d 3 ==

n32117 ≥+++=

Vậy mã phải có độ dài tối tiểu là 7. Hay nói một cách khác mã (7, 4, 3) là một mã tối ưu đạt

được giới hạn Griesmer.

4.3.3.2. Bài toán 2

Với n và k xác định, ta phải tìm được mã có khoảng cách tiểu

0 d là lớn nhất.

Tương ứng với bài toán này ta có giới hạn Plotkin sau:

0 k

n.2

−

≤

−

(4.12)

Ví dụ 7: Cho k = 3, n = 7

0 3

7.2

≤=

−

Vậy khoảng cách

0 d lớn nhất là 4. Nói một cách khác mã (7, 3, 4) là một mã tối ưu đạt

được giới hạn Plotkin. Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

105

4.3.3.3. Bài toán 3

Với n và số sai khả sửa t xác định, ta phải tìm được mã có số dấu thông tin k là lớn nhất

(hay số dấu thừa rnk =− là nhỏ nhất)

Tương ứng với bài toán này ta có giới hạn Hamming sau:

nk i

2C −

≥ ∑ (4.13)

Ví dụ 8: Cho n = 7 và t = 1

ri01

777

2CCC8

≥=+= ∑

2 rlog83 ≥=

hay k734 ≤−=

Như vậy mã (7, 4, 3) là mã tối ưu đạt được giới hạn Hamming

Mã đạt được giới hạn Hamming còn được gọi là mã hoàn thiện.

4.4. VÀNH ĐA THỨC VÀ MÃ XYCLIC

4.4.1. Vành đa thức

Ta xét tập hợp các đa thức có bậc không lớn hơn n1 − sau:

()

−

= ∑ f xfx (4.14)

( ) deg n 1 ≤ − fx

f là các hệ số được lấy giá trị trong một trường F nào đó.

Trên tập các đa thức này ta xác định 2 phép toán trong là phép cộng đa thức và phép nhân

đa thức như sau:

4.4.1.1. Phép cộng đa thức

Xét hai đa thức sau: ()

−

= ∑ax , ()

−

= ∑bx

Ta có: ( ) ( ) ( ) aX+bX cX =

()

cX c

−

= ∑ x Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

106

iii

+ c=a b

Ở đây phép cộng các hệ số

a và

b được thực hiện trên trường F

Nếu ta coi mỗi đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n1 − là một véctơ trong không gian

tuyến tính n chiều

n V thì phép cộng đa thức hoàn toàn tương tự như phép cộng véctơ.

Ví dụ 1: Xét n = 7, F = GF(2)

( ) ( )

() ( )

() () ( )

aX 1 x x a 1100100

b X x x b 0110000

a X bX 1 x x a b 1010100

=++ ↔ =

=+ ↔ =

+=++↔+=

4.4.1.2. Phép nhân đa thức

Để tích của hai đa thức có bậc n1 ≤− vẫn là một đa thức có bậc n1 ≤ − ta phải thực hiện

phép nhân 2 đa thức theo mođulo

X1 + (tức là coi

X1 = ).

()()

n1 n1

iin

i0 i0

aX.bX . b modX 1

−−

⎛⎞⎛⎞

=+ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

∑∑ ax x

Ví dụ 2: ( )

aX 1 X X =+ + , ( )

b XXX =+

()() ( )( )

()() ()

()()

437

25347 7

2345

aX.bX 1 X X X X modX 1

aX.bX 1 X X X X X modX 1

aX.bX 1 X X X X X

=++ + +

=+ + + + + +

=+++++

Ta thấy rằng tích của hai đa thức được thực hiện trên cơ sở tích của hai đơn thức

x và

x .

( ) ijmodn ij

= x xx (4.15)

Chú ý: Phép nhân các hệ số

a và

b là phép nhân trên trường F

4.4.1.3. Phép dịch vòng

Ta xét một trường hợp đặc biệt của phép nhân là nhân một đa thức ( ) aX và một đơn thức

x .

() ()

i012n1

aX a , , , ,

−

=↔= ∑ ... ax a a a a

Xét tích sau: Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

107

() () ()

in101n2

bX .aX . b , , , ,

−

− −

⎛⎞

== ↔= ⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠

∑ ... xxax aaaa

Ta thấy biểu diễn véctơ b được dịch vòng về phía phải một cấp so với biểu diễn véctơ a.

Tương tự ta có:

() () ()

jji

injnj1nj1

cX .aX . c , , ,

−

− −+ −−

⎛⎞

== ↔= ⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠

∑ ... xxax aa a

Xét thương sau:

()

( )

()

12 n10

aX dd,,,,

− == ↔= ∑ ... ax

x aa a a

Ta thấy biểu diễn của véc tơ d dược dịch vòng về phía trái 1 cấp so với biểu diễn của véctơ

Nhận xét:

( ) ( )

()

n-1 aX aX aX ==

Ví dụ 3:

( ) ( )

() () () ()

()

() ()

()

425

aX 1 x x a 1100100

b X xaX x1xx xx x b 0110010

1xx aX dX 1 x x d 1001001

=++↔=

==++=++↔=

== =++↔=

4.4.1.4. Định nghĩa vành đa thức

Định nghĩa 1: Tập các đa thức xác định theo (3.11) với hai phép toán cộng đa thức và nhân

đa thức theo modulo

X1 + tạo nên vành đa thức. Trong trường hợp các hệ số của các đa thức

nằm trong ( ) GF 2 ta ký hiệu vành này là [ ]

2 ZxX 1 + .

4.4.2. Ideal của vành đa thức

Định nghĩa 2: Ideal I của vành đa thức gồm tập các đa thức ( ) aX là bội của một đa thức

( ) gX thỏa mãn:

- ( )

gXX 1 + ( ( ) gX là ước của

X1 + ) Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

108

- ( ) ( ) deg g X r mindeg a X == với ( ) ( ) aX I,aX 0 ∀ ∈≠

Ta ký hiệu Ideal trong vành đa thức là ( ) IgX =

Hiển nhiên là với ()

= ∑gx ta có

1 == gg , { } i

0,1 ∈ g với i1,r1 = −

Để có thể tìm được tất cả các Ideal trong vành ta phải thực hiện phân tích nhị thức

X1 +

thành tích của các đa thức bất khả quy.

Định nghĩa 3: Đa thức ( ) aX được gọi là bất khả quy nếu nó chỉ chia hết cho 1 và cho

chính nó.

Như vậy đa thức bất khả quy là đa thức không thể phân tích thành tích các đa thức có bậc

nhỏ hơn.

Định lý 4: Với

m n2 1 = − , đa thức

X1 + được phân tích thành tích của tất cả các đa

thức bất khả quy có bậc m và ước của m.

Ví dụ 4:

- m = 2, n = 3: chỉ có duy nhất một đa thức bất khả quy bậc 2 là

xx1 + + và một đa thức

bất khả quy bậc 1 là ( ) 1x + . Như vậy:

()( )

X 1 1x1x x += + + +

- m = 3, n = 7: Trong số 8 đa thức bậc 3 chỉ có 2 đa thức sau là các đa thức bất khả quy, đó

là

xx1 ++ và

xx1 ++ . Như vậy:

()( )( )

7323

X 1 1x1x x 1x x += + + + + +

- m = 4, n = 15: Trong số 16 đa thức bậc 4 chỉ có 3 đa thức sau là các đa thức bất khả quy:

xx1 ++ ,

xx1 ++ và

432

xxxx1 ++++ . Như vậy:

()( )( )( )( )

15 2 4 34 234

X 1 1x1xx 1x x 1x x 1xx x x +=+++++++++++

Gọi số các đa thức bất khả quy trong phân tích của

X1 + là I, khi đó số các Ideal trong

vành được xác định theo biểu thức sau:

I21 = −

Định nghĩa 5: Đa thức ( ) g* X được gọi là đa thức đối ngẫu của đa thức ( ) gX nếu:

()

( )

deg g X 1

g* X X .g X−

= Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

109

Ví dụ 5: Cho () ( )

gX 1 X X =++ .

Khi đó đa thức đối ngẫu ( ) g* X của nó là:

()

332

g* X X . 1 X X 1

X X

⎛⎞

=++=++ ⎜⎟

⎝⎠

Nếu () () g* X g X = thì () gX được gọi là đa thức tự đối ngẫu.

Nhận xét:

- Nếu () aX là bất khả quy thì nó phải chứa một số lẻ các đơn thức.

- Nếu () aX là bất khả quy thì ( ) a* X cũng là một đa thức bất khả quy.

4.4.3. Định nghĩa mã xyclic

Định nghĩa 6: Mã xyclic (n, k) là Ideal ( ) IgX = của vành đa thức []

2 ZxX 1 + .

Vì Ideal ( ) gX chứa tất cả các bội của ( ) gX nên nếu ( ) ( ) aX gX ∈ thì

()() aX gX # và hiển nhiên là ( ) ( ) ( ) ( ) x.aX gX x.aX gX ⇒∈ # .

Ta có thể đưa ra một định nghĩa trực quan hơn cho mã xyclic.

Định nghĩa 7: Mã xyclic là một bộ mã tuyến tính có tính chất sau: Nếu () aX là một từ

mã thì dịch vòng của () aX cũng là một từ mã thuộc bộ mã này.

Chú ý: () gX được gọi là đa thức sinh của mã xyclic

Ví dụ 7: Tập tất cả các mã xyclic trên vành [ ]

2 ZxX 1 + . Vành này có tất cả 7 ideal

tương ứng với 7 bộ mã xyclic.

( ) gX

Mã (n, k) 0 d

1 1 (7, 7) 1

2 1 + X (7, 6) 2

1XX + +

(7, 4) 3

3 23

1X X ++

(7, 4) 3

4 24

1XX X ++ +

(7, 3) 4

234

1X X X +++

(7, 3) 4 Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

110

i0 =

∑x (7, 1) 7

4.4.4. Ma trận sinh của mã xyclic

Vì mã xyclic (n, k) là một mã tuyến tính nên ta có thể mô tả nó thông qua ma trận sinh G

nên chứa k véctơ hàng độc lập tuyến tính. Ta có thể thiết lập G như sau:

( )

()

x.g X

x.gX −

⎛⎞

⎜⎟

= ⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

" (4.1.6)

Ví dụ 8: Mã xyclic (7, 4) có đa thức sinh ( )

gX 1 X X =+ + . Ma trận sinh của mã này

có thể mô tả như sau:

235

346

1XX 1101000

X X X 0110100

0011010 XXX

0001101

XXX

⎛⎞ ++ ⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟ ++ ⎜⎟ == ⎜⎟

⎜⎟ ++ ⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠ ++ ⎝⎠

4.4.5. Ma trận kiểm tra của mã xyclic

Vì ( )

gXX 1 + nên ta có thể viết ( ) ( )

x1gX.hX +=

Hay ()

()

( ) hX được gọi là đa thức kiểm tra.

Vì ( ) ( )

gX.hX 0modX 1 ≡+ nên các đa thức ( ) hX và ( ) gX được gọi là các đa

thức trực giao.

Ta có: ()

= ∑hx với

0k 1 = = hh , { } j

0,1 ∈ h với j2,k1 = −

Do sự khác biệt giữa tích vô hướng của 2 véctơ và tích của hai đa thức tương ứng nên ta có

thể xây dựng ma trận kiểm tra của mã xyclic sinh bởi ( ) gX như sau: Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

111

()

r1 *

x.h X H

x.hX −

⎛⎞

⎜⎟

= ⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

(4.17)

Ví dụ 9: Xây dựng ma trận kiểm tra cho mã xyclic (7, 4) có ( )

gX 1 X X =+ +

Ta có: () ()()

23 42

hX 1x1XX XXX1

XX1

==+++=+++

( )

* 234

hX 1X X X =+ + +

Ma trận kiểm tra:

234

345

2456

1X X X 10 11100

HXXXX 0101110

0010111 XXXX

⎛⎞ +++ ⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟ =+++ = ⎜⎟

⎜⎟ ⎜⎟

⎜⎟ +++ ⎝⎠

⎝⎠

Ta dễ dàng kiểm tra:

T G.H 0 =

Với ( ) aX là một từ mã ta có: ( )

T aX .H 0 = ⎡⎤ ⎣⎦

4.5. MÃ HÓA CHO CÁC MÃ XYCLIC

4.5.1. Mô tả từ mã của mã xyclic hệ thống

Định nghĩa: Mã xyclic (n, k) được gọi là một mã xyclic hệ thống nếu ta có thể chỉ rõ vị trí

của các dấu thông tin và các dấu kiểm tra trong từ mã.

Thông thường các dấu thông tin được sắp xếp ở k vị trí bậc cao (từ bậc r tới bậc n1 − ) Các

vị trí bậc thấp còn lại là các dấu kiểm tra (từ bậc 0 tới bậc r1 − )

0 f

1 f ...

r1 − f

r1 + f ...

n1 − f

r dấu kiểm tra

k dấu thông tin

() () ()

ink

Xx.aXrX

−

== + ∑ ffx

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) XgX X qX.gX ⇒= # ff (1.18) Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

112

( )

()

( )

()

( )

()

Xx.aXrX

gX gX gX

−

⇒= +

( )

()

( )

()

( )

()

Xr'XrX qX

gX gX gX

=+ +

(1.19)

Từ (1.1) và (1.2) ta thấy: ( ) ( ) r' X r X 0 +=

4.5.2. Thuật toán mã hóa hệ thống

Từ (1.19) ta có thể mô tả thuật toán xây dựng từ mã xyclic theo các bước sau:

VÀO: Tin rời rạc

aA ∈

RA: Từ mã ( ) i

x f tương ứng với

a .

Bước 1: Mô tả tin

a trong tập tin cần mã hóa (gồm

2 tin) bằng một đa thức ( ) i

aX với

( ) i

deg a X k 1 ≤− .

Bước 2: Nâng bậc ( ) i

aX bằng cách nhân nó với

x −

Bước 3: Chia ( )

aX.x −

cho đa thức sinh g(X) để tìm phần dư ( ) i

rX .

Bước 4: Xây dựng từ mã xyclic: ( ) ( ) ( )

ii i

xaX.x rX −

=+ f (1.20)

4.5.3. Thiết bị mã hóa

Phần trung tâm của thiết bị mã hóa là một thiết bị chia cho g(X) để tính dư. Thực chất đây

là một otomat nhớ dạng của g(X).

Giả sử: ()

−

= ∑gx (1.21)

Khi đó thiết bị mã hóa cho mã (n, k) với đa thức sinh dạng (1.21) được mô tả như sau (Hình

4. 1):

⎧

= ⎨

⎩

Hë m¹ch

Ng¾n m¹ch

1n ÷

1 V

( )

aX.x −

VÀO

r1 g −

3 g

2 g

1 2

1 g

+ +

r +

k1n + ÷

2 V

1k ÷

Hình 4.1: Thiết bị mã hóa cho mã xyclic (n, k) có đa thức sinh g(X) Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

113

Hoạt động của thiết bị mã hóa:

- k nhịp đầu: chia và tính phần dư: Mạch và

1 V mở,

2 V đóng, thiết bị hoạt động như một

bộ chia để tính dư. Kết thúc nhịp thứ k toàn bộ phần dư nằm trong r ô nhớ từ 1 đến r. Trong quá

trình này, các dấu thông tin () ( )

aX.x −

được đưa ra qua mạch hoặc H.

- r nhịp sau: đưa ra các dấu kiểm tra (phần dư) tới đầu ra. Mạch VÀ

1 V đóng, thiết bị hoạt

động như một thanh ghi dịch nối tiếp. Mạch VÀ

2 V mở, các dấu kiểm tra được lần lượt đưa ra từ

bậc cao tới bậc thấp. Kết thúc nhịp thứ n, toàn bộ từ mã được đưa ra đầu ra.

Ví dụ 1: Thiết bị mã hóa cho mã xyclic (7, 4) có ( )

gX 1 X X =+ +

Giả sử đa thức thông tin cần mã: ( )

aX X X = +

Quá trình hoạt động của thiết bị được mô tả trên bảng sau:

Trạng thái các ô nhớ Xung

nhịp

Vào

1 2 1

1 1 1 1 0 1

2 0 0 1 1 0

3 1 0 0 1 1

4 0 1 1 0 0

5 0 0 1 1 0

6 0 0 0 1 1

7 0 0 0 0 1

Bảng 1: Quá trình hoạt động của bộ mã hóa.

Kiểm tra lại: () ( )

nk 3 3 6 4

a X .x x x .x x x −

=+ =+

17 ÷

1 V

( )

aX.x −

1 2

3 +

57 ÷ 2 V

14 ÷

← 1 0 1 0 # 0 0 0 Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

114

()

64 3

643 3

xx xx1

xxx x1

xx1

rX x 1

+ ++

−

+ ++

−

=+ D−

Từ mã được thiết lập ()

X.....X 64

Xxxx1 1010011 =+++ ↔ f

4.5.4. Tạo các dấu kiểm tra của mã xyclic

Giả sử () XV ∈ f - mã xyclic (n, k) có đa thức sinh g(X).

Khi đó ()() XgX # f hay () ( ) ( ) XgX.qX = f (*)

Trong đó: ( ) deg X n 1 ≤− f

( ) deg g X r n k == −

( ) deg q X n 1 r k 1 ≤−−=−

Với ()

−

= ∑ f fx

Gọi ()

()

= ta có ( ) deg h X k =

Nhân hai vế của (*) với h(X) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X.hX gX.qX.hx = f

Vì ( ) ( )

gX.hx x 1 =+ nên ( ) ( ) ( ) ( )

X.hX gX.x qX =+ f (**)

Vì ( ) deg g X k 1 ≤− nên trong (**) không chứa các thành phần bậc cao của x có mũ

k, k 1, , n 1 +− ... .

Do đó các hệ số tương ứng của các thành phần này trong (**) phải bằng 0. Tức là trong

biểu thức:

()()

n1 k

i0 j0

X.hX .

−

⎛⎞ ⎛⎞

⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

∑∑ f fx hx Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

115

ta phải có các số hạng có dạng:

i+j

0 = fhx với ij + thỏa mãn: ki jn1 ≤+≤ − hay

kjin1j −≤≤ −− .

Khi j chạy từ 0 đến k thì: nr jin1j −−≤≤ −− .

Như vậy ta có:

jnji

0 −−

= ∑hf , 1i nk ≤ ≤−

( ) *

Hiển nhiên là ta luôn có:

0k hh1 == .

Từ

( ) *

** :

nki jnji

−

−− −−

= ∑ fhf , 1i nk ≤ ≤−

( ) **

** là phương trình tạo các dấu kiểm tra. Ta có thể dùng nó để tạo các dấu kiểm tra trong

các chương trình mã hóa và giải mã.

Ví dụ 2: Cho mã xyclic (7, 4) có ( )

gX 1 X X =+ +

Ta có: ()

hX xxx1

xx1

==+++

Vậy

0124 hhhh1 ==== ,

3 h0 = .

Từ

( ) **

** ta thấy các dấu kiểm tra của mã này được tạo từ phương trình sau:

3i 7i 6i 5i −−−− =++ f fff , 1i3 ≤ ≤ .

Ví dụ 3: ( )

aX x 1 =+

Ta có:

63 54 1, 0 == += ff ff

Khi đó:

2654 1 = ++= ffff

1543 1 = ++= fff f

0432 0 = ++= ffff

Thiết bị mã hóa xây dựng theo phương trình trên có dạng:

17 ÷

14 ÷

57 ÷

3 f 4 f 5 f 6 f

VÀO Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

116

Trạng thái các ô nhớ

Xung

nhịp

VÀO

3 f

4 f

5 f

6 f

1 1 1 0 0 0 1

2 0 0 1 0 0 0

3 0 0 0 1 0 0

4 1 1 0 0 1 1

5 0 1 1 0 0 1

6 0 1 1 1 0 1

7 0 0 1 1 1 0

4.5.5. Thuật toán thiết lập từ mã hệ thống theo phương pháp nhân

VÀO: - Mã xyclic (n, k), g(X)

- Tin

aA ∈

RA: Từ mã hệ thống của mã (n, k) xyclic

Bước 1: Mã hóa tin

a bằng đa thức thông tin ( ) aX với () deg a X k 1 ≤− ,

()

aX a

−

= ∑ x

Bước 2: - Nâng bậc: ()

n-k

aX .x

()

k1 n1

n-k j+r i

jr ir

j0 ir

aX a

− −

== ∑∑ .x x f x

- Tính ( ) hx .

Bước 3: for i = 1 to nk − do

nki jnji

−

−− −−

= ∑ fhf

Bước 4: Thiết lập từ mã hệ thống.

() ()

01 n1 i

,, , X

−

↔= ∑ ... f ff f fx Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

117

4.6. GIẢI MÃ NGƯỠNG

4.6.1. Hai thủ tục giải mã

Mọi phương pháp giải mã đều có thể tiến hành theo một trong hai thủ tục giải mã sau:

- Phương pháp (thủ tục) 1: Dẫn ra bản tin từ dãy dấu nhận được.

- Thủ tục 2: Dẫn ra véctơ sai từ dãy dấu nhận được.

4.6.2. Giải mã theo Syndrom

Giả sử vV ∈ - mã xyclic (n, k) có đa thức sinh g(X).

Ma trận sinh của ( ) Vn,k − có dạng:

( )

()

x.g X

x.gX −

⎛⎞

⎜⎟

= ⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

Gọi ()

()

xH hX

= ; Ta có ( ) deg g X r = , ( ) deg h X k = .

Gọi ( )

hX là đa thức đối ngẫu của ( ) hX . Theo định nghĩa:

()

( )

deg h X *1

hX x .hx−

Khi đó ma trận kiểm tra của mã ( ) Vn,k − có dạng:

Kênh Giải mã

y = x + e

Kênh Giải mã

x e

+ Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

118

()

r1 *

x.h x

x.hx −

⎛⎞

⎜⎟

= ⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

Ta có

T G.H 0 =

Với v bất kỳ, vV ∈ ta có

T v.H 0 =

Xét mô hình kênh truyền tin sau:

uve =+

Ta có () ( ) ( )

TTT Su u.H v rH e.H Se ==+==

() Se là một véctơ r chiều đặc trưng cho véctơ sai e n chiều.

Ta gọi () Su là Syndrom của véctơ nhận được u.

Quá trình giải mã dựa trên việc phân tích trạng thái của ( ) Su được gọi là giải mã theo

syndrom (hội chứng).

Hiển nhiên là khi không có sai () e0 ≡ ta có: ( ) ( ) Su Se 0 = =

Khi có sai: ( ) ( ) Su Se 0 =≠

Căn cứ vào trạng thái (giá trị) cụ thể của ( ) Se mà ta có thể đưa ra một phán đoán nhất

định về e.

Mỗi một thành phần của () Su sẽ cho ta một mối quan hệ nào đó giữa các dấu mã và nó

được gọi là một tổng kiểm tra.

4.6.3. Hệ tổng kiểm tra trực giao và có khả năng trực giao

Tập r tổng kiểm tra trong () Su tạo nên hệ tổng kiểm tra. Mỗi tổng kiểm tra trong hệ sẽ

chứa một thông tin nhất định về dấu cần giải mã

u , thông tin đó có thể nhiều, ít hoặc bằng

không. Ngoài ra mỗi tổng kiểm tra này còn chứa thông tin về các dấu mã

u khác.

Để dễ giải cho

u hiển nhiên rằng ta cần xây dựng một hệ tổng kiểm tra chứa nhiều thông

tin nhất về

u . Trên cơ sở đó ta đưa ra khái niệm hệ tổng kiểm tra trực giao sau:

Kênh

( ) 01 n1 uu,u,,u − = ... Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

119

Định nghĩa: Hệ J tổng kiểm tra được gọi là trực giao với

u nếu:

- Mỗi tổng kiểm tra trong hệ đều chứa

u .

- Dấu mã ( ) j

uji ≠ chỉ nằm tối đa trong một tổng kiểm tra

Nhận xét:

- Hệ tổng kiểm tra trực giao chứa nhiều thông tin về

u và chứa ít thông tin về các dấu mã

khác.

- Sai ở một dấu mã

u chỉ làm ảnh hưởng tới nhiều nhất là một tổng kiểm tra trong hệ.

- Sai ở

u sẽ làm thay đổi tất cả các giá trị của các tổng kiểm tra trong hệ.

- Ta có thể sửa được sai cho dấu

u dựa trên thông tin về giá trị của các tổng kiểm tra bằng

phương pháp bỏ phiếu (giải mã ngưỡng theo đa số). Khi đó khoảng cách mã Hamming đạt được

theo phương pháp này sẽ thỏa mãn điều kiện:

0 dJ1 =+

Điều kiện trực giao trên là một điều kiện khá chặt chẽ, bởi vậy Jr

lập tuyến tính) và không phải với bất cứ mã nào ta cũng có thể xây dựng được hệ J tổng kiểm tra

trực giao thỏa mãn điều kiện

0 Jd 1 =− .

Để mở rộng hơn ta sẽ đưa ra khái niệm hệ tổng kiểm tra có khả năng trực giao.

Định nghĩa: Hệ tổng kiểm tra được gọi là có khả năng trực giao nếu nó là hệ tổng kiểm tra

trực giao với một tổ hợp tuyến tính nào đó các dấu mã.

Xét tổ hợp tuyến tính các dấu mã sau:

12 m ii i

UU U α =+++ ... . Khi đó hệ tổng kiểm

tra có khả năng trực giao sẽ gồm các tổng kiểm tra thỏa mãn điều kiện:

- α nằm trong tất cả các tổng kiểm tra trong hệ.

U ( k ji ≠ với

k i

U ∈α ) chỉ nằm trong nhiều nhất là một tổng kiểm tra trong hệ.

Nhận xét:

- Dựa trên hệ tổng kiểm tra có khả năng trực giao ta có thể giải mã được cho giá trị của α

bằng phương pháp ngưỡng.

- Để giải mã cho một dấu mã

k i

U cụ thể ta phải sử dụng nhiều bước (nhiều cấp

ngưỡng)

4.6.4. Giải mã ngưỡng dựa trên hệ tổng kiểm tra trực giao

Ví dụ 1: Xét mã (7, 3) có ()

g1xxx α=+ + + Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

120

()

3 x1

hX x x 1

= =++

()

*23

hX 1x x =+ +

1011000

0101100

0010110

0001011

⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟ =

⎜⎟

⎝⎠

[]

v.H S =

Ta có hệ tổng kiểm tra trực giao với dấu mã

3 v

0023 Svvv =++

1143 Svv v =+ +

2563 Svvv =++

⇒ Hệ tổng kiểm tra với dấu mã

6 v (suy ra bằng cách dịch vòng hệ tỏng kiểm tra trên)

0635

1604

2612

Svvv

=++

Sơ đồ thiết bị giải mã theo thủ tục 2:

Sơ đồ thiết bị ngưỡng M = 2

01 12 23 ESS SS SS =++

0 v

1 v

2 v

3 v

4 v 5 v 6 v

+ +

M=2

0 S

1 S

2 S

+ Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

121

Quá trình giải mã dược thực hiện trong 2n = 14 nhịp. 7 nhịp đầu để đưa từ mã nhận được

vào các ô nhớ. Quá trình giải mã được thực hiện trong 7 nhịp sau.

Giải mã từ mã nhận được có dạng 0 0 1 1 1 1 1

Hay ()

65432

vX x x x x x =++++

Trạng thái các ô nhớ

Nhịp

0 v

1 v

2 v

3 v

4 v

5 v

6 v

0 S

1 S

2 S E 4 R

0 0 0 1 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1

2 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0

3 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1

4 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1

5 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1

6 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0

7 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0

Từ mã đã giải mã: 0 0 1 1 1 0 1

Hay ()

6432

vX x x x x

∧

=+++

Sai ở vị trí

x đã được sửa.

Kiểm tra lại:

2 S

1 S

0 S

Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

122

643242

6432 2

xxxxxxx1

xxxx x

+++ +++

−

+++

4.6.5. Giải mã ngưỡng dựa trên hệ tổng kiểm tra có khả năng trực giao

Ví dụ: Xét mã (7, 4) có ( )

gX 1 x x =+ +

()

42 x1

hX xxx1

= =+++

( )

*234

hX 1x x x =+ + +

1011100

H 0101110

0010111

⎛⎞

⎜⎟

= ⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

Ta có: []

v.H S =

Hệ tổng kiểm tra có khả năng trực giao với cặp dấu mã

45 vv + :

15431

25426

Svv vv

Svvvv

=+++

Dịch vòng hệ tổng kiểm tra này đi hai cấp ta có được hệ tổng kiểm tra có khả năng trực giao

với cặp dấu mã:

60 vv + :

10653

20641

Sv v vv

Svvvv

=+++

Ở nhịp giải mã đầu tiên sau cấp ngưỡng thứ nhất ta có được giá trị đúng của () 06 vv + .

Tới nhịp giải mã thứ hai ta có được giá trị đúng của ( ) 65 vv + .

Căn cứ vào các giá trị này ta có thể giải ra được giá trị đúng của

6 v sau cấp ngưỡng thứ

hai.

Sơ đồ chức năng thiết bị giải mã theo thủ tục 2.

0 v

1 v

2 v

3 v

4 v

5 v

6 v

+ +

1 S

2 S

1 Y

1 Y 2 Y Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

123

CY: Thiết bị ngưỡng ở cả hai cấp ngưỡng chỉ là một mạch VÀ có hai đầu vào.

Giả sử từ mã nhận được có dạng 0 0 0 1 1 1 1

Hay ( )

6543

vX x x x x =+++

Quá trình giải mã được thực hiện trong 2n 1 15 + = nhịp. n = 7 nhịp đầu, từ mã nhận được

được đưa vào các ô nhớ. 8 nhịp sau là quá trình giải mã.

Trạng thái các ô nhớ

Nhịp

0 v

1 v

2 v

3 v

4 v

5 v

6 v

1 S

2 S 1 Y

1 Y 2 Y RA

1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 ⎯

2 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1

3 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0

4 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1

5 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1

6 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0

7 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0

8 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0

Sai ở vị trí

x đã được sửa.

Từ mã đã giải mã: 0 0 0 1 1 0 1

Hay ()

643

vx x x x

∧

=++

Kiểm tra lại:

6433

643 3

xxxxx1

xxx x

++ ++

−

4.7. GIẢI MÃ THEO THUẬT TOÁN MEGGIT

Giả sử ( ) fx là một từ mã của một bộ mã xyclic ( ) Vn,k − có đa thức sinh g(x). Khi đó

() ( ) fx gX # .

Kênh

() fx

( ) ex

( ) ( ) ( ) vx f x ex = + Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

124

Giả sử ( ) vx là từ mã đưa tới đầu vào bộ giải mã, khi đó:

()

( )

()

vx f x ex

gx gx gx

=+ (4.22)

Bằng cách phân tích phần dư của phép chia trên ta có thể tìm được đa thức sai () ex .

Sơ đồ phân tích dư là một sơ đồ logic tổng hợp, đây là một thành phần chức năng quan

trọng trong sơ đồ giải mã theo thuật toán Meggit sau:

Ví dụ: Xét mã xyclic (7, 4) có ( )

gx x x 1 = ++ . Giả sử dấu sai là dấu đầu tiên có bậc

cao nhất của từ mã, khi đó ta có ()

ex x = . Phần dư tương ứng của (4.22):

()

43 3

xxx1

xx xx1

xxx

rx x 1

+ +

+++

=+ PhÇn d−

Khi nhận thấy phần dư có dạng ( )

rx x 1 = + thì sơ đồ phân tích phần dư cho ra tín hiệu

sửa sai (Tín hiệu 1) đưa tới bộ công mod 2 để sửa sai cho dấu mã tương ứng.

Như vậy chỉ khi phần sư có dạng 1 0 1 thì thiết bị logic tổ hợp mới tạo ra tín hiệu "1" để sửa

sai

Sơ đồ bộ giải mã có dạng:

......

vào

Thiết bị nhớ từ mã n dấu

Thiết bị chia cho g(x) và tính dư

Sơ đồ phân tích phần dư

0 v 1 v

2 v

3 v 4 v 5 v 6 v

VÀO

17 ÷

2 3

114 ÷

VChương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

125

Sau 2n = 14 nhịp, bộ giải mã hoàn thành quá trình giải mã (7 nhịp đầu chia và tính dư đồng

thời đưa tà mã vào bộ ghi dịch đệm, 7 nhịp sau để giải mã).

Ví dụ từ mã nhận được có dạng:

()

v x x x x 01110 0 0 =++↔

Hoạt động của bộ giải mã được mô tả theo bảng sau:

Trạng thái các ô nhớ

Nhịp VÀO

0 v

1 v

2 v

3 v

4 v

5 v

6 v 1 2 3

V RA

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0

5 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0

6 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1

7 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1

8 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1

9 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0

10 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0

11 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1

12 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1

13 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1

14 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0

Từ mã đã sửa: () () ()

632

vx vX eX x x x x

∧

=+=+++

Dấu sai là

x đã được sửa Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

126

4.8. GIẢI MÃ XYCLIC THEO THUẬT TOÁN CHIA DỊCH VÒNG

4.8.1. Nhiệm vụ của thuật toán giải mã

Ta biết rằng với mã xyclic (n, k) khi chia từ mã nhận được f(x) cho đa thức sinh g(x) sẽ có

hai trường hợp sau xảy ra:

0 Nếu từ mã nhận đúng (không có sai trên kênh truyền: ( ) ex 0 = ) thì phép chia này không

có dư.

- Nếu từ mã nhận sai ( ) ( ) ex 0 ≠ thì phép chia này có dư.

Cấu trúc của phần dư sẽ phản ánh cấu trúc của véctơ sai ( ) ex . Vì vậy việc phân tích cấu

trúc của phần dư chính là nhiệm vụ của các thuật toán giải mã.

Ta có: ( ) ( ) ax gX # .

( )

()

( )

()

( )

()

fx ax ex

gx gx gx

=+ (4.23)

Như vậy phần dư của phép chia f(x) cho g(x) chính là phần dư của phép chia véctơ sai e(x)

cho g(x).

Chú ý: Phần dư của phép chia e(x) cho g(x) là một đa thức có bậc r1 ≤ − . Như vậy phần

dư này có

2 trạng thái khác nhau. Trong khi đó số các kiểu sai khác nhau lại là

22 > .

Số các kiểu sai có trọng số t ≤ là:

01 2 t

nnn n CCC C ++++ ...

Như vậy điều kiện cần để sửa dược t sai là:

ink

C2 −

≤ ∑ (4.23)

Đây chính là giới hạn Hamming

Kênh

( ) ax

( ) ex

( ) ( ) ( ) fx ax ex = + Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

127

4.8.2. Giải mã theo thuật toán chia dịch vòng

4.8.2.1. Nhận xét

Từ (1.1) ta thấy rằng nếu k dấu thông tin trong từ mã đầu nhận đúng thì vị trí sai các con

"1" trong phần dư chính là vị trí tương ứng của các dấu kiểm tra bị sai. Để giải mã ta chỉ cần cộng

(theo mod 2) từ mã nhận được với phần dư sau phép chia là thu được từ mã đã phát.

4.8.2.2. Thuật toán chia dịch vòng (bẫy lỗi)

VÀO: - Từ mã nhận được f(x)

- Mã ( ) Vn,k − có g(x), có

0 d .

RA: - Từ mã đánh giá () fX

∧

Bước 1: For i: 0 = to ( ) n1 − do.

(1) Chia ( )

fx.x

( )

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

hoÆc cho g(x) để tìm phần dư ( ) i

rx .

(2) Tính ( ) ( ) i

wr x .

- Nếu () () 0

wr x t

− ⎡ ⎤

≤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

chuyển sang bước 2.

- Nếu ( ) ( ) i

wr x t i: i 1 >⇒=+ . Nếu i1n + = chuyển sang bước 3.

Bước 2: Từ mã đánh giá:

()

( ) ( )

fx.x rx

∧ +

()

( )

()

i i

fX x rx

∧ ⎛⎞ ⎡ ⎤

=+ ⎜⎟ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎝⎠

HoÆc

Bước 3: - Thông báo không sửa được sai (Số sai vượt quá khả năng sửa sai của bộ mã)

4.8.3. Ví dụ

Giả sử từ mã nhận được của mã xyclic (7, 3, 4) với đa thức sinh

( )

()

2356

gx 1 x x x

v x x x x x x 0111011

=+ + +

=+ + + + ↔

Ta sử dụng thuật toán chia dịch vòng để tìm lại từ mã đã phát theo các bước sau: Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

128

Bước 1:

(1) i = 0 (+) Chia v(x) cho g(x) để tìm phần dư ( ) 0 rx.

()

65 32 42

6432 2

532

432

xx xxx xxx1

xxxx xx1

xx x

xxxx

xxx

xxx1

rx x x1

++++ + ++

+++ ++

+++

=++

(+) () () 0

wr x 3 1

− ⎡ ⎤

=> = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

(2) i = 1 (+) Chia ( ) x.v x cho ( ) gx để tìm phần dư ( ) 1 rx .

()

6432 42

6432 2

xxxx1 xxx1

xxxx x

rx 1

++++ + ++

+++

(+) ( ) ( ) 1 wr x 1 t ==

Bước 2: Tìm từ mã đánh giá.

()

( ) ( ) 532 1 x.v x r x

fX x x x x

∧ +

= =+++

Vậy sai ở vị trí α đã được sửa

4.9. GIẢI MÃ LƯỚI.

4.9.1. Trạng thái và giản đồ lưới

Từ bảng trạng thái của sơ đồ mã hóa ở mục 4.5.3 ta có một số nhận xét sau:

- Quá trình mã hóa luôn bắt đầu từ trạng thái toàn 0 và kết thúc cũng ở trạng thái toàn 0.

- Trong k nhịp đầu (k = 4) các bít ra giống như các bít vào.

- Sau nhịp thứ k, các bít kiểm tra nằm trong thanh ghi được đẩy dần ra đầu ra. Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

129

- Số các trạng thái bằng

2 −

(trong ví dụ này

28 −

= trạng thái) tăng theo hàm mũ

khi nk − tăng.

Sử dụng thanh ghi mô tả trong mục 4.5.3 ta có thể tìm được tất cả các trạng thái kế tiếp khi

thanh ghi nằm ở một trạng thái xác định.

Hình sau chỉ ra tất cả các dịch chuyển trạng thái có thể ở một trạng thái bất kỳ của bộ mã

hóa cho mã (7, 4, 3).

Trạng thái hiện thời Trạng thái kế tiếp

Trạng thái 0

000

Trạng thái 0

000

Trạng thái 1

001

Trạng thái 1

001

Trạng thái 2

010

Trạng thái 2

010

Trạng thái 3

011

Trạng thái 3

011

Trạng thái 4

100

Trạng thái 4

100

Trạng thái 5

101

Trạng thái 5

101

Trạng thái 6

110

Trạng thái 6

110

Trạng thái 7

111

Trạng thái 7

111

Bít dữ liệu 0:

Bít dữ liệu 1:

Hình 4.2: Biểu đồ chuyển trạng thái cho mã (7, 4, 3) có 8 trạng thái Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

130

Bằng cách sử dụng biểu đồ trạng thái trên ta có thể mã hóa các bít dữ liệu 1011 mà không

dùng thanh ghi dịch trong mục 4.5.2. Bít dữ liệu đầu tiên là logic 1, bởi vậy trạng thái sẽ chuyển

từ 000 đến 110 (minh họa bằng đường liền nét từ trạng thái 000). Đầu ra bộ mã hóa lúc này cũng

là 1 giống như đầu vào. Ở thời điểm kế tiếp trạng thái hiện tại là 110 và bít dữ liệu là logic 0, bởi

vậy trạng thái sẽ chuyển từ 110 sang 011 ...

Như vậy qua 4 nhịp ta thấy quá trình chuyển trạng thái là:

000 110 011 001 110 →→→→

Sau nhịp thứ 4, các thay đổi trạng thái sẽ tuân theo việc dịch các bít kiểm tra từ thanh ghi (ở

đây là 110).

Ta cũng có thể sử dụng một cách mô tả khác cho quá trình mã hóa bằng giản đồ lưới (hình

4.4)

Giản đồ này được tạo nên bằng cách nối các trạng thái kế tiếp của giản đồ chuyển trạng thái

ở hình 4.2 bắt đầu từ trạng thái toàn 0.

000

110

011 101

100 010 001 111

Bít dữ liệu 0:

Bít dữ liệu 1:

Hình 4.3: Giản đồ trạng thái cho mã (7, 4, 3) có 8 trạng thái

Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

131

Giản đồ này minh họa toàn bộ

216 = đường dẫn có thể có cho mã (7, 4, 3). Lưới có

28 −

= hàng (8 trạng thái khác nhau), và có n18 + = cột. Các nút trong cùng hàng biểu thị

cùng một trạng thái trong khi đó các nút trong cùng một cột biểu thị tất cả các trạng thái có thể

000 (trạng thái a), 001 (trạng thái b), 010 (trạng thái c), ..., 111 (trạng thái h). Việc chuyển trạng

thái giữa các cột kế cận được vẽ hoặc bằng các đường liền nét hoặc bằng các đường đứt nét tùy

theo liệu bít ra của bộ mã hóa là 1 hay 0.

Chỉ có duy nhất một trạng thái ban đầu là trạng thái toàn 0 (trạng thái a). Số các trạng thái

lưới sẽ tăng theo mỗi khi bít dữ liệu mới được đưa vào bộ mã hóa.

Khi đưa bít dữ liệu đầu tiên vào bộ mã hóa (T = 0), có thể có hai nút khác nhau ở thời điểm

tiếp nhau. Bít dữ liệu tứ 2 đưa vào (T = 1) tạo nên số các nút có thể ở thời điểm kế tiếp là

2 . Số

các nút có thể có sẽ tiếp tục tăng theo T cho tới khi đạt tới số nút cực đại

28 −

= (Số các trạng

thái lớn nhất đạt được khi Tnk3 =−= ).

Sau khi T = k số các trạng thái có thể sẽ được chia đôi ở mỗi thời điểm kế tiếp hướng về

trạng thái 0 là trạng thái đạt được ở T = n.

T = 0 T = 1 T = 2 T = 3 T = 4 T = 5 T = 6 T = 7

Trạng thái a

000

Trạng thái b

001

Trạng thái c

010

Trạng thái d

011

Trạng thái e

100

Trạng thái f

101

Trạng thái g

110

Trạng thái h

111

Bít dữ liệu 0:

Bít dữ liệu 1:

Hình 4.4: Giản đồ lưới cho mã (7, 4, 3) có 8 trạng thái và 8 giai đoạn kế tiếp Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

132

4.9.2. Giải mã lưới.

4.9.2.1. Mở đầu.

Giải mã lưới cho mã tuyến tính do Wolf đưa ra vào 1978, tuy nhiên kỹ thuật này chỉ thích

hợp cho một số mã nhất định do số các trạng thái tăng theo hàm mũ khi nk − tăng.

4.9.2.2. Thuật toán Viterbi

Vào 1967, Viterbi là người đầu tiên đưa ra thuật toán Viterbi (VA). Thuật toán này tìm tất

cả các đường có thể trong lưới và các khoảng Hamming (hoặc các khoảng cách Euclide) từ dãy

thu được ở đầu vào các bộ giải mã. Đường dẫn sẽ biểu thị khoảng cách nhỏ nhất từ dãy thu được

được chọn là dãy phát hợp lý nhất và các dãy bít thông tin kết hợp được tái tạo lại. Phương pháp

này chính là phương pháp đánh giá dãy hợp lý tối đa vì đường dẫn hợp lý nhất được chọn từ tập

tất cả các đừng dẫn trong lưới.

Hình 4.5 ghi "lịch sử " của các đường dẫn được chọn bởi bộ mã Viterbi cho mã (7, 4, 3).

Giả sử rằng không có sai trong kênh và bởi vậy dãy vào của bộ giải mã chính là dãy đã mã hóa

cho dãy 0000000. Ở thời điểm đầu (T = 1) bít nhận được là 0, bít này được so sánh với các bít

phát có thể có là 0 và 1 tương ứng với các nhánh từ nút a tới a và từ nút a đến g.

Độ đo của hai nhánh này là các khoảng cách Hamming của chúng (chính là sự khác nhau

giữa các bít phát có thể có (0 hoặc 1) và bít nhận được 0). Các khảong cách Hamming tương ứng

sẽ là 0 và 1.

Ta xác định độ đo nhánh là khoảng cách Hamming của một nhánh riêng từ các bít nhận

được và độ đo đường dẫn ở thời điểm thứ T. Độ đo này bằng tổng các độ đo nhánh ở tất cả các

nhánh từ T = 0 đến T = T. các độ đo đường dẫn này được ghi ở trên đỉnh của mỗi nhánh ở hình

4.5, tương ứng ở thời điểm T = 1 là 0 và 1 đối với các đường dẫn aa → và ag → . Ở thời điểm

T = 2 bít nhận được là 0 và các độ đo nhánh là 0, 1, 0 và 1 tương ứng với các nhánh aa → ,

ag → , gd → và gf → . Độ đo của các đường dẫn này là 0, 1, 1, và 2 tương ứng với các

đường aaa →→ , aag →→ agd →→ , agf →→ . Ở thời điểm thứ 3, bít nhận đực

là 0. Có 8 nhánh có thể và các độ đo đường dẫn (xem hình 4.5) là 0, 1, 2, 1, 3, 2, 1 và 2 tương ứng

với các đường aaaa →→→ , aaag →→→ , agdb →→→ , agdh →→→ ,

agfc →→→ , agfe →→→ , aagd →→→ và aagf →→→ .

Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

133

T = 0 T = 1 T = 2 T = 3 T = 4 T = 5 T = 6 T = 7

Các bít đã giải

mã

0 0 0 0 0 0 0

Các bít nhận

được

0 0 0 0 0 0

Trạng thái a

000

Trạng thái b

001

Trạng thái c

010

Trạng thái d

011

Trạng thái e

100

Trạng thái f

101

Trạng thái g

110

Trạng thái h

111

Bít dữ liệu 0:

Bít dữ liệu 1:

Hì h 4 5 Ví d iải ãVit bi h ã(743)

0 0 0 0 0 0 0

1 1 1

3 3 3 3

2 2

1 Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

134

Ta ký hiệu

1 α và

2 α tương ứng là các đường aaaaa →→→→ và

agdba →→→→ , các đường này xuất phát ỏ nút khởi đầu a và trở về nút a ở T4 = . Các

độ đo đường dẫn tương ứng là 0 và 3, các nhánh tiếp sau gắn với T4 > đi từ nút a ở T4 = sẽ

cộng thêm các độ đo nhánh như nhau vào các độ đo đường dẫn của cả hai đường

1 α và

2 α . Điều

này có nghĩa là độ đo đường dẫn của

2 α là lớn hơn ở T4 = và vẫn giữ ở mức lớn hơn với

T4 > . Bộ giải mã Viterbi sẽ chọn đường dẫn có độ đo nhỏ nhất (chính là dãy trạng thái toàn 0)

và loại bỏ đường

2 α . Đường

1 α được xem là đường sống sót. Thủ tục này cũng được áp dụng ở

các nút khác với Tnk3 ≥−= . Cần lưu ý rằng các đường agfc →→→ ,

aagf →→→ , ... không thể sống sót vì các độ đo đường dẫn của chúng là lớn hơn và bởi

vậy chúng bị loại bỏ khỏi bộ nhớ của bộ giải mã.

Như vậy chỉ có

28 −

= đường sống sót từ Tnk = − đến Tk = . Sau thời điểm

T3 = số các đường sống sót sẽ giảm đi một nửa sau mỗi thời điểm.

Đôi khi 2 đường nhập vào lại cùng một độ đo đường dẫn. Ở T = 5 các đường

aaagdb →→→→→ , agfecb →→→→→ nhập lại ở nút b. Cả hai đường này

đều có cùng độ đo đường dẫn là 2. Thông thường bộ giải mã Viterbi sẽ chọn ngẫu nhiên một

đường sông sót và loại bỏ các đường khác. Tuy nhiên tình trạng này rất hiếm khi xảy ra trong

một thuật toán Viterbi quyết định mềm (hay thuật toán Viterbi đầu ra mềm - SOVA) hay được sử

dụng trong thực tế.

4.9.2.3. Giải mã Viterbi quyết định cứng.

Khi giải mã quyết định cứng, bộ điều chế sẽ cho ra các quyết định cứng (1 hoặc 0) khi tạo

lại dãy đã phát. Trong trường hợp này các khoảng cách Hamming giữa các bít nhận được và các

bít đã phát được đánh giá trong lưới sẽ được dùng làm độ đo mức tin cậy.

Để minh họa cho quá trình giải mã này ta sử dụng mã (7, 4, 3) với dãy bít phát đi là

0000000. Sai số trên kênh nằm ở bít đầu tiên và dãy nhận được ở đầu ra bộ giải mã điều chế là

1000000. Bộ giải mã sẽ so sánh bít ra của bộ giải điều chế với cả hai bít có thể được giải mã

(được biểu thị bằng các đường liền nét và đứt nét trên hình 4.6) là 1 và 0. Khi bít ra của bộ giải

điều chế và bít được giải mã như nhau thì khoảng cách Hamming của chúng bằng 0. Ngược lại

khi hai bít này khác nhau thì giá trị bằng 1 của khoảng cách Hamming sẽ được cộng thêm vào độ

đo đường dẫn.

Vì ta đi ngang qua lưới nên các độ đo nhánh sẽ được cộng lại ở T = 7.\, đường dẫn có trọng

số Hamming nhỏ nhất sẽ được xem là đường sống sót. Bởi vậy dãy được giải mã là xâu. Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

135

Hình 4.6 minh họa việc lựa chọn đường sống sót (được đánh giá bằng đường đứt nét đậm)

của bộ giải mã Viterbi ra sao. Đường này có độ đo đường dẫn nhỏ nhất và sẽ giải mã ra được

đúng dãy thu được. Cần chú ý rằng độ đo đường dẫn của đường sống sót tương đương với số sai

trong dãy nhận được khi bộ giải mã có khả năng sửa các sai này.

Tuy nhiên khi số sao trong kênh vượt quá khả năng sửa sai của mã thì sẽ sảy ra giải mã sai.

Giả sử kênh có hai sai ở vị trí thứ 1 và vị trí thứ 3. Giải mã sai sẽ xảy ra ở 4 nhánh ban đầu (được

ghi bằng đường đậm nét trên hình 4.7) và dãy được giải mã là 1011000

T = 0 T = 1 T = 2 T = 3 T = 4 T = 5 T = 6 T = 7

Các bít đã giải

mã

0 0 0 0 0 0 0

Các bít nhận

được

1 0 0 0 0 0

Trạng thái a

000

Trạng thái b

001

Trạng thái c

010

Trạng thái d

011

Trạng thái e

100

Trạng thái f

101

Trạng thái g

110

Trạng thái h

111

Bít dữ liệu 0:

Bít dữ liệu 1:

Hình 4.6: Giải mã Viterbi quyết định cứng cho mã (7, 4, 3)

1 1 1 1 1 1 1

2 3 2 2

2 1

0 Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

136

T = 0 T = 1 T = 2 T = 3 T = 4 T = 5 T = 6 T = 7

Các bít đã giải

mã

1 0 1 1 0 0 0

Các bít nhận

được

1 0 1 0 0 0

Trạng thái a

000

Trạng thái b

001

Trạng thái c

010

Trạng thái d

011

Trạng thái e

100

Trạng thái f

101

Trạng thái g

110

Trạng thái h

111

Bít dữ liệu 0:

Bít dữ liệu 1:

Hình 4.7: Giải mã sai khi dùng giải mã Viterbi quyết định cứng

h ã(743)

1 1 2 2 1 11

12 2 2

0Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

137

4.9.2.4. Giải mã Viterbi quyết định mềm.

Theo quan điểm giải mã Viterbi quyết định mềm, tín hiệu nhận được ở đầu ra của bộ giải

mã điều chế sẽ được lấy mẫu. Sau đó các giá trị mẫu sẽ được đưa trực tiếp tới đầu vào của bộ giải

mã Viterbi. Giả sử rằng ta sử dụng điều chế dịch pha nhị phân (BPSK) ở đầu phát, khi đó mức

logic 0 sẽ được gửi là − 1, 0 còn mức logic 1 sẽ được gửi là +1, 0. Nếu ta phát dãy toàn 0 thì dãy

phát tương ứng là 1111111 −−−−−−− . Ở máy thu, các đầu ra mềm của bộ giải mã điều chế

là 0,8 , 1,2 , 0,6 , 2,2 , 0,4 , 1,3 , 0,9 +−+ − − −− (tương ứng với dãy 1010000 nếu ta

sử dụng giải mã quyết định cứng). Các đầu ra mềm của bộ giải mã điều chế được dùng như độ đo

mức độ tin cậy (xem hình 4.8).

T = 0 T = 1 T = 2 T = 3 T = 4 T = 5 T = 6 T = 7

Các bít đã giải

mã

0 0 0 0 0 0 0 0

Các bít nhận

được

+ 0,8 −1,2 +0,6 −2,2 −0,4 −1,3 −0,9

Trạng thái a

000

Trạng thái b

001

Trạng thái c

010

Trạng thái d

011

Trạng thái e

100

Trạng thái f

101

Trạng thái g

110

Trạng thái h

111

Bít dữ liệu 0:

Bít dữ liệu 1:

Hình 4.8: Giải mã Viterbi quyết định mềm cho mã (7, 4, 3)

−0,8 +1,4 −0,2 +2,0 +2,4 +3,7 +4,6

+0,4 +2,0 +0,3

+3,6

+2,4 +1,6 +4,5

+2,6

+1,2

+3,2

−0,4

+2,0

−1,0

+0,8 Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

138

Tín hiệu ra mềm đầu tiên của bộ giải điều chế là + 0,8 ngụ ý rằng tín hiệu phát rất có thể là

+1 và độ đo mức tin cậy của quyết định này là 0,8. Xem xét đường dẫn ag → tương ứng với

logic 1, độ đo nhánh của đường dẫn này là +0,8. Tuy nhiên đường dẫn aa → không ăn khớp với

tín hiệu nhận được và độ đo nhánh của đường dẫn này là 0,8 − (tích lũy một độ ndo đường dẫn

âm hay là lượng phạt) do sự sai lạc của nó. Ở thời điểm thứ hai tín hiệu nhận được là 1, 2 − tạo

nên các độ đo đường dẫn là 0,4 , 2,0 , 0,2 +− + và 0,4 − tương ứng với các đường

dẫn aaa →→ , aag →→ , agd →→ và agf →→ . Ta ký hiệu

1 α và

2 α là các

đường aaaaa →→→→ và agdba →→→→ . Các độ đo đường dẫn tổng cộng

được tích lũy của hai đường dẫn này tương ứng là 0,2 + và 0,4 + . Bộ giải mã Viterbi sẽ chọn

đường dẫn có độ đo đường dẫn lớn hơn vì mức tin cậy được tích lũy của nó lớn hơn. Bởi vậy

đường

1 α sẽ được chọn (chứ không phải là đường

2 α đã được chọn trong ví dụ giải mã quyết

định cứng ở trên). Điều này chứng tỏ rằng giải mã quyết định mềm có hiệu quả cao hơn giải mã

quyết định cứng.

4.10. MÃ HAMMING VÀ MÃ CÓ ĐỘ DÀI CỰC ĐẠI

Mã Hamming và mã có độ dài cực đại là hai lớp mã quan trọng trong mã xyclic.

Định nghĩa: Mã xyclic Hamming là mã xyclic có đa thức sinh là đa thức nguyên thủy bậc

m, mã này có các tham số như sau:

( )

0 (n,k,d ) 2 1,2 1 m,3 =− −−

Mã Hamming là mã tối ưu thỏa mãn giới hạn Hamming (4.13). Ngoài mã Hamming chỉ còn

mã Golay (23, 12, 7) là mã hoàn thiện, mã Golay có đa thức sinh như sau:

( )

11975

gX X X X X X 1 =+++++

Bảng sau là danh sách các đa thức nguyên thủy có bậc m từ 2 đến 8.

Bậc Đa thức nguyên thủy

(0 1 2)

(0 1 3)

(0 1 4)

(0 2 5), (0 2 3 4 5), (0 1 2 4 5)

(0 1 6), (0 2 3 5 6), ( 0 1 2 5 6) Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

139

Bậc Đa thức nguyên thủy

(0 3 7), (0 1 2 3 7), (0 2 3 4 7), (0 1 2 4 5 6 7), (0 1 2 3 4 5 7),

(0 2 4 6 7), (0 1 7), (0 1 3 6 7), (0 2 5 6 7),

(0 2 3 4 8), (0 3 5 6 8), (0 1 2 5 6 7 8), (0 1 3 5 8), (0 2 5 6 8),

(0 1 5 6 8), (0 1 2 3 4 6 8), (0 1 6 7 8)

Chú ý: ở bảng trên ta thấy ký hiệu viết các đa thức theo số mũ của các bậc khác không.

Ví dụ: ( ) ( )

7652

02567 g X X X X X 1 ↔=++++

Các đa thức đối ngẫu của các đa thức trong bảng cũng là các đa thức nguyên thủy, các đa

thức này không được liệt kê ở đây.

Ví dụ: Đa thức đối ngẫu của ( )

gX X X 1 = ++ là đa thức

( )

*43

gX X X 1 = ++ .

Mã đối ngẫu của mã Hamming là mã có độ dài cực đại. mã này có tham số như sau:

( )

mm1

0 (n,k,d ) 2 1,m,2 −

=−

Đa thức sinh của mã này có dạng sau:

()

m 21

−

Trong đó h(X) là đa thức nguyên thủy bậc m.

Các mã có độ dài cực đại là các mã tối ưu thỏa mãn giới hạn Griesmer (4. 11).

Ví dụ: - Mã xyclic (7, 4) có đa thức sinh ( )

gX X X 1 = ++ là mã Hamming.

- Mã xyclic (7, 3) có đa thức sinh ( )

gXXXX1 = +++ là mã có độ dài cực đại.

4.11. CÁC MÃ KHỐI DỰA TRÊN SỐ HỌC CỦA TRƯỜNG HỮU HẠN

4.11.1. Trường hữu hạn cỡ nguyên tố GF(p)

Ta đã làm quen với trường nhị phân GF(2), trong trường này các phép toán số học được

thực hiện theo modulo 2. Tương tự đối với trường GF(p) với p là số nguyên tố, các phép toán số

học thích hợp (cộng và nhân) giữa hai phần tử bất kỳ của trường phải được thực hiện theo modulo

p. Phần tử ngược của một phần tử bất kỳ đối với phép cộng dược tính bằng kết quả của phép trừ

giữa p và phần tử đó. Ví dụ trong GF(7), phần tử ngược của phép cộng của 5 là 2. Phần tử ngược

của phép nhân (phần tử nghịch đảo) khó tìm hơn, tuy nhiên quan điểm sau đây sẽ giúp ta tìm được

nó đồng thời cho ta một phương pháp xây dựng trường. Trong trường GF(p) người ta đã chứng Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

140

minh được rằng tồn tại ít nhất một phần tử mà các lũy thừa của nó là các phần tử khác 0 của

trường. Phần tử này được gọi là phần tử nguyên thủy. Ví dụ trong trường GF(7) số 3 là phần tử

nguyên thủy vì:

{ } 01 2 3 4 5

31,33,32,36,34,35 == = = = =

Đây là một nhóm nhân xyclic cấp 6 (có thể thấy rằng nhóm nhân này có hai phần tử nguyên

thủy là 3 và 5).

Với

3 ta thấy rằng

3 3 .3 5.3mod7 1 == = .

Ta có thể thực hiện phép nhân bằng cách cộng các số mũ của 3.

Ví dụ: ( ) ( )

32 5

6.2 3 . 3 3 3 === .

Bởi vậy ta có thể tìm được phần tử nghịch đảo của một phần tử

3 bất kỳ là

n6n

33 −−

= .

Như vậy nghịch đảo của 6 là 6 và nghịch đảo của 5 là 3.

4.11.2. Các trường mở rộng của trường nhị phân. Trường hữu hạn GF(2m)

Ta có thể xây dựng được trường hữu hạn có số các phần tử là lũy thừa nguyên của một số

nguyên tố p. Trong trường hợp này người ta cũng chứng minh được rằng luôn tồn tại một phần tử

nguyên thủy trong trường và các phép toán số học sẽ được thực hiện theo modulo của một đa thức

nào đó trên GF(p). Trong giáo trình này ta chỉ quan tâm tới trường hợp p = 2, khi đó đa thức được

dùng sẽ là một trong các đa thức nhị phân nguyên thủy (chính là các đa thức sinh của mã

Hamming).

Giả sử ta cần tạo một trường hữu hạn GF(q) và ký hiệu α là phần tử nguyên thủy của nó.

Các lũy thừa của α (từ

α đến

q2 −

α ) gồm q1 − phần tử khác không của trường. Phần tử

q1 −

α sẽ bằng phần tử

α , còn các phần tử có số mũ cao hơn cũng lặp lại các phần tử có số mũ

thấp hơn. Phương pháp nhân rút ra trực tiếp từ phép cộng theo modulo ( ) q1 − đối với các số mũ

của α. Đối với trường ( )

m GF 2 ta có:

( )

m 21

−

α = hay

( )

m 21

−

α += .

Điều này sẽ thỏa mãn nếu có bất kỳ một nhân thức nào của đa thức này bằng không. Nhân

thức mà ta chọn phải là bất khả quy và không là nhân thức của

1 α + đối với bất kỳ giá trị n

nào nhỏ hơn

m 21 − , nếu không như vậy các lũy thừa của α sẽ lặp lại trước khi chúng tạo ra tất

cả các phần tử khác không của trường (điều này có nghĩa là α không phải là phần tử nguyên thủy

của trường). Nhân thức thỏa mãn các tính chất trên chính là đa thức nguyên thủy có bậc m.

Ví dụ: Xét trường ( )

GF 2 . Các nhân thức của

1 α + là

()( )( )

7332

11 1 1 α + = α+ α +α+ α +α + Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

141

Cả hai đa thức bậc 3 ở trên đều là các đa thức nguyên thủy và ta có thể chọn tùy ý. Giả sử ta

tạo các lũy thừa của α theo điều kiện

10 α +α+ = . Khi đó các phần tử khác không của

trường là:

5322

632 2

α=α+

α=α+α

α=α+α=α+α+

α=α+α+α=α+

Mỗi lũy thừa của α có thể được biểu thị bằng một đa thức nhị phân có bậc nhỏ hơn hoặc

bằng 2. Phép nhân các phần tử của trường được thực hiện thông qua phép cộng các số mũ của α

theo modulo 7. Phép cộng được thực hiện bằng phép cộng modulo 2 các số hạng trong đa thức.

Ví dụ:

34 2 2 6

11 α +α =α+ +α +α=α + =α

Cần chú ý rằng mỗi phần tử là phần tử đối (phần tử ngược của phép cộng) của chính nó.

(Điều này rút ra từ tính chất của phép cộng modulo 2) Còn một vấn đề ta chưa thỏa mãn là α có

thể biểu thị bằng số như thế nào. Tuy nhiên điều này không quan trọng và ta có thể gán theo cách

mà ta muốn. Ví dụ ta gán giá trị 2 cho α và 3 cho

α , khi đó ta đã quyết định rằng trong số học

của ta 2.2 = 3. Điều này khác với suy nghĩ thông thường của chúng ta và bởi vậy ta phải coi việc

gán các giá trị số là hoàn toàn tùy ý mặc dù có một số cách gán thuận tiện cho sử dụng.

4.11.3. Biểu diễn đa thức cho trường hữu hạn GF(2m)

Ngoài cách biểu diễn số người ta có thể sử dụng biểu diễn đa thức cho các phần tử của

trường hữu hạn ()

m GF q . Với trường ( )

m GF 2 các hệ số nhị phân của các đa thức được dùng

để tạo nên biểu diễn cho các phần tử.

Ví dụ: Xét ( )

GF 2 , biểu diễn cho 8 phần tử của trường này có thể viết như sau: Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

142

0000

1001

010

100

1011

110

1111

1101

α=

α=α+ =

α=α+α =

α=α+α+=

α=α+ =

Ở đây dãy 3 bít được dùng để mô tả cho biểu diễn đa thức của các phần tử. Phép cộng được

thực hiện bằng cách cộng modulo 2 theo từng bít của dãy

4.11.4. Các tính chất của đa thức và các phần tử của trường hữu hạn

4.11.4.1. Các nghiệm của đa thức

Ta biết rằng các đa thức với các hệ số thực không phải lúc nào cũng có các nhân tử thực,

tuy nhiên luôn luôn có thể phân tích chúng dưới dạng các nhân thức phức. Tương tự, một đa thức

bất khả quy trên trường hữu hạn luôn có thể phân tích được trong một trường mở rộng nào đó.

Ví dụ: Đa thức nhị phân

XX1 ++ có thể phân tích được trên GF(8) như sau:

()( )( )

324

XX1X X X ++= +α +α +α

Các giá trị

,, αα α được gọi là các nghiệm của

XX1 + + vì chúng biểu thị các

giá trị của X làm cho đa thức bằng không.

Nếu f(X) là một đa thức bất khả quy q phân thì f(X) sẽ có các nghiệm trong một trường mở

rộng ( )

m GF q nào đó, tức là f(X) có thể biểu diễn bằng tích của một số hạng có dạng ( ) i

x +β

với

β là phần tử của ( )

m GF q . Hơn nữa nếu β là một nghiệm nào đó thì có thể

thấy rằng các nghiệm khác có dạng

qq q

,,, ββ β ...

Tương tự như trường hợp phân tích các đa thức với các hệ số thực ta có thể sử dụng thuật

ngữ các phần tử liên hợp cho các nghiệm của một đa thức bất khả quy. Với đa thức nhị phân bất

khả quy có nghiệm β thì các nghiệm liên hợp là

248

,,, βββ ...

Sự tồn tại các nghiệm liên hợp của một đa thức tương đương với các tính chất sau:

() ()

q q

XX =⎡ ⎤ ⎣⎦ ff Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

143

Nếu β là một nghiệm của ( ) X f thì

β cũng là một nghiệm của () X f . Đa thức

() X f được gọi là đa thức tối tiểu của β . Nếu β là phần tử nguyên thủy thì () X f là một đa

thức nguyên thủy. Như vậy có thể sinh ra một trường hữu hạn từ một phần tử nguyên thủy là một

nghiệm của đa thức nguyên thủy.

Ví dụ: Xét trường hữu hạn GF(8) tạo bởi đa thức nguyên thủy

XX1 ++ . Thế

X,X =α =α hoặc

X =α vào đa thức này ta thấy nó bằng 0. Bởi vậy

XX1 ++ là đa

thức tối tiểu của các phần tử

,, αα α . Tương tự thế

, α α và ( )

12 5

α=α vào

XX1 ++ ta thấy rằng chúng là các nghiệm của đa thức này. Đa thức tối tiểu của

α là

() X1 + .

Nếu m là số nguyên nhỏ nhất để

m 1 β = thì phần tử β được gọi là có cấp m (ký hiệu

() ord m β= ) và β phải là nghiệm của

m X1 + . Nếu β cũng là nghiệm của một đa thức bất

khả quy () X f nào đó thì () X f phải là một nhân thức của

m X1 + .

Ví dụ: Giá trị nhỏ nhất của m để ( )

m 3

1 α = là 7. Bởi vậy đa thức

()

XXX1 =++ f là một nhân thức của

X1 + .

4.11.4.2. Các phần tử của trường hữu hạn xem như các nghiệm của một đa thức

Các nghiệm của nhị thức

m 21

X1 −

+ chính là các phần tử khác không của ( )

m GF 2 .

Ví dụ: Ta đã có phân tích của

X1 + như sau:

()( )( )

7323

X11X1XX1XX += + + + + +

Ta cũng biết rằng α là nghiệm của ( )

XX1 + + và bởi vậy

α và

α cũng là

các nghiệm của nó.

α là nghiệm của ( )

XX1 + + và bởi vậy

α và

α cũng là

các nghiệm của nó. Nghiệm của ( ) X1 + là 1.

4.11.4.3. Các nghiệm của một đa thức bất khả quy

Đa thức bất khả quy () X f bậc m sẽ có m nghiệm là

m 24 21

,,,,

−

ββ β β ... và

m 2

β=β

vì

m 21

1 −

β= . Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

144

Vì các nghiệm của

m 21

X1 −

+ là tất cả các phần tử khác không của ( )

m GF 2 nên một đa

thức bất khả quy bậc m luôn có các nghiệm trong ( )

m GF 2 . Ngược lại, các nhân thức của

m 21

X1 −

+ chứa tất cả các đa thức bất khả quy bậc m. Như vậy

XX1 + + và

XX1 ++

là toàn bộ các đa thức bất khả quy bậc 3 có thể có.

Chú ý rằng

m X1 + là ước của

X1 + nếu và chỉ nếu m là ước của n. Điều này cũng có

nghĩa là tất cả các đa thức bất khả quy bậc m là nguyên thủy nếu

m 21 − là số nguyên tố.

Ví dụ: 7 là số nguyên tố nên tất cả các đa thức bất khả quy bậc 3 đều là các đa thức nguyên

thuỷ.

15 không là các số nguyên tố nên không phải tất cả các đa thức bất khả quy bậc 4 đều là các

đa thức nguyên thủy. Có ba đa thức bất khả quy bậc 4 là

1XX + + ,

1X X ++ và

234

1XX X X ++ + + . Chỉ có hai đa thức

1XX + + và

1X X + + là các đa thức

nguyên thủy

4.11.4.4. Phân tích một đa thức nhị phân f(X)

Để phân tích một đa thức nhị phân ta phải xây dựng được trường hữu hạn mà trên nó có thể

tìm được các nhân thức của đa thức này. Muốn vậy, trước tiên ta phải tìm các nhân thức bất khả

quy nhị phân của đa thức () X f này (nếu có) và các bậc của chúng. Sau đó ta tìm bội chung nhỏ

nhất (BCNN) c' của các bậc này. Các nhân thức của ( ) X f sẽ được tìm trong ( )

GF 2 . Cần

để ý rằng:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

bb1b2b3

ab a a a a a

212 1212 2 2 1

−− − ⎡ ⎤

−= −= − + + + + ⎢ ⎥

⎣ ⎦

...

Bởi vậy

21 − là bội của

21 − nếu c' là bội của c. Bằng cách chọn c' là bội của bậc c

của một nhân thức bất khả quy nhị phân nào đó, khi đó các nghiệm của nó sẽ nằm trong ( )

GF 2

và cũng nằm trong ( )

GF 2

Nếu c' là bội của các bậc của mọi đa thức bất khả quy nhị phân thì tất cả các nghiệm của

chúng có thể biểu diễn được trong ( )

GF 2 .

Ví dụ: Đa thức ( )

XXX1 =++ f được phân tích thành tích của hai đa thức bất khả

quy sau:

( )( )

54 3 2

XX1XX1XX1 ++= ++ ++ Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

145

Ta có ( ) ( )

deg X X 1 3 , deg X X 1 2 ++= ++=

() BCNN 3,2 6 =

Như vậy () X f có thể phân tích được thành tích của các đa thức bậc nhất trong ( )

GF 2 .

4.11.5. Xác định các mã bằng các nghiệm

Ta có thể xác định một bộ mã bằng cách cho rằng các từ mã là các đa thức nhị phân có các

nghiệm xác định trong ( )

m GF 2 . Chẳng hạn nếu nghiệm là α trong GF(8) thì đa thức tối tiểu

của nó là

XX1 ++ và tất cả các từ mã phải chia hết được cho đa thức này. Trong trường hợp

này, đa thức tối tiểu đóng vai trò như đa thức sinh của mã.

Một cách tổng quát ta có thể coi đa thức sinh là BCNN của các đa thức tối tiểu của các

nghiệm được xác định. Bậc của đa thức (chính là số dấu kiểm tra của mã) là số các nghiệm phân

biệt sao cho tổng số các nghiệm là số dấu kiểm tra .

Nếu đa thức mã ( ) vX có một nghiệm β thì ( ) v0 β = .

Cho

n v là hệ số của

X , khi đó:

n1 2 0

n1 2 1 0 vvvv0 −

− β++β+β+β= "

Ở dạng véctơ ta có thể viết như sau:

− ⎡⎤ β

⎢⎥

= β ⎢⎥

⎢⎥ β

⎢⎥

⎢⎥ β ⎣⎦

Tương tự, nếu ( ) vX có j nghiệm từ

1 β đến

β thì :

n1 n1 n1 j

2 22

j 12

11 1

12 j

00 0

12 j

− −− ⎡⎤ β ββ ⎢⎥

⎢⎥

β = ββ ⎢⎥

⎢⎥

ββ β ⎢⎥

⎢⎥

ββ β ⎢⎥ ⎣⎦

...

# ##

... Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

146

Ta biết rằng:

T v.H 0 =

Như vậy ma trận chuyển vị của ma trận ở trên chính là ma trận kiểm tra của mã. Các

nghiệm đều là các đa thức của α (ta cũng xem như là các véctơ và chúng cũng phải được chuyển

vị), bởi vậy ta có thể viết:

TTT

n1 1 0

111

n1 n1 0

222

n1 1 0

jjj

−

−−

−

⎡⎤ βββ

⎢⎥

⎢⎥ βββ

= ⎢⎥

⎢⎥

βββ ⎢⎥ ⎣⎦

#"# #

Ta thấy rằng chỉ cần một trong các nghiệm

248

,,,, ββ β β ... nằm trong ma trận kiểm tra là

đủ.

4.11.6. Mã Hamming

Mã Hamming có đa thức sinh là đa thức nguyên thủy. Bởi vậy một phần tử nguyên thủy bất

kỳ đều được xem là nghiệm của mã. nếu ta lấy phần tử α làm nghiệm thì:

TTT

n1 1 0

H − ⎡⎤ =α α α ⎢⎥ ⎣⎦

...

Ta biết rằng các lũy thừa của α là tất cả các phần tử khác không của trường, điều này có

nghĩa là ma trận kiểm tra H chứa mọi tổ hợp 0 và 1 có thể có.

Ví dụ: Xét mã Hamming trên GF(8) có

10 α +α+ = , ma trận kiểm tra H của mã này có

dạng:

1110100

H 0111010

0011101

⎡⎤

⎢⎥

= ⎢⎥

⎢⎥ ⎣⎦

Ma trận nàychứa tất cả các véctơ cột 3 bít có thể có. Đây chính là ma trận kiểm tra của mã

xyclic (7, 4)

4.11.7. Mã BCH

Vào năm 1959, Bose,Ray - Chaudhuri và Hocquenghem là những người đầu tiên đưa ra lớp

mã quan trọng này.

Định nghĩa: Mã BCH sửa t sai là mã xyclic có 2t nghiệm liên tiếp trong ( )

m GF q và có

độ dài là

m q1 − . Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

147

Sau đây là các bước để xác định một mã BCH trên ( ) GF q có độ dài n và có khả năng sửa

t sai:

1. Xác định số nguyên nhỏ nhất m sao cho ( )

m GF q có phần tử nguyên thủy β .

2. Chọn một số nguyên tố không âm b. Thông thường b = 1

3. Liệt kê ra 2t lũy thừa liên tiếp của β

b b1 b2t1

,,,

+ +−

ββ β ...

Xác định các đa thức tối tiểu trên ( ) GF q của các phần tử này (cần chú ý rằng các phần tử

liên hợp có cùng một đa thức tối tiểu)

4. Đa thức sinh g(X) là BCNN của đa thức tối tiểu này. mã tạo được chính là mã xyclic (n,

k) với ( ) kndeggX =− .

Định nghĩa: Nếu b 1 = thì mã BCH được gọi là mã BCH nghĩa hẹp. Nếu

m nq 1 =− thì

mã BCH được gọi là mã BCH nguyên thủy.

Ví dụ: Mã BCH nhị phân sửa sai đơn có độ dài

m 21 − là mã có hai nghiệm liên tiếp trong

( )

m GF 2 . Nếu ta chọn các nghiệm này là α và

α thì nghiệm thứ hai ( )

α là hiển nhiên có.

Bởi vậy đây chính là mã Hamming.

Mã BCH nhị phân sửa hai sai phải có các nghiệm liên tiếp là α ,

α ,

α và

α . Hiển

nhiên là chỉ có α và

α là các nghiệm độc lập (

α và

α là các phần tử liên hợp của α ). Bởi

vậy ma trận kiểm tra của mã này có dạng sau:

()

TTTT

T TTT

n1 2 1 0

3n 1 3.2 3.1 3.0

−

⎡⎤ αααα

⎢⎥ =

⎢⎥

αααα ⎣⎦

Các mã BCH cho phép sử dụng phương pháp giải mã đại số. Xét trường hợp n15 = và có

hai sai ở các vị trí i và j. Ta có syndrom sau:

T se.H =

Syndrom có hai thành phần

1 s và

3 s :

3j 3i

=α +α

Thế

1 s α= +α từ phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hai ta có:

2i 2i 3

11 13 ss ss0 α+ α + + = Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

148

α chính là nghiệm của phương trình này. Vì các giá trị i và j là tùy ý nên cả hai vị trí sai

có thể tìm được từ phương trình trên

Ví dụ: Mã BCH sửa 2 sai có độ dài 15 có các nghiệm α và

α trên GF(16) sử dụng đa

thức nguyên thủy

XX1 ++ . Các phần tử

α của trường được biểu diễn bằng các đa thức có

dạng sau:

210

311

412

513

614

0001 0101

0010 1010

0100 0111

1000 1110

0 011 1111

0110 1101

110 0 10 01

1011

α= α=

α= α =

α=

Khi đó ma trận kiểm tra có dạng sau:

TT TTT

14 13 2 1 0

12 9 6 3 0

⎡⎤ αα ααα

⎢⎥ =

⎢⎥ αα ααα ⎣⎦

111101011001000

011110101100100

001111010110010

111010110010001

111101111011110

101001010010100

110001100011000

100011000110001

⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥ =

⎢⎥

⎢⎥ ⎣⎦

Giả sử từ mã nhận được là :

()

vX x x 1 000000001010001 =++↔

Syndrom tương ứng là 1110 0110

Hay ( )

11 5 11 5

13 s , s 1110, 0110 =α =α α = α = Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

149

Ta có phương trình sau:

7i 112i 3 5

0 ++

α+α +α+α=

Với i = 7 ta có:

14 10 3 5

10100

01010

11000

⎡ ⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ α+α+α+α=+++=

⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣ ⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

Với i = 8 ta có:

01235

0110 0

0101 0

11000

⎡ ⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ α+α +α+α= + + + = =

⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣ ⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

Như vậy sai nằm ở vị trí 7 và 8. từ mã đã phát f(X) là:

()

8764

X X X X X 1 000000111010001 =++++↔ f

Ta có thể kiểm tra lại kết quả giải mã trên theo một cách khác. Biết rằng các nghiệm α và

α có các đa thức tối tiểu tương ứng là

XX1 + + và

432

XXXX1 + +++ . đa thức sinh

của mã xyclic này là tích của hai đa thức tối tiểu trên ( )

8764

gX X X X X 1 = ++++ . Bởi

vậy đây là mã xylic (15, 7) và từ mã nhận được ở trên phải chia hết cho () gX .

4.11.8. Các mã Reed -Solomon (RS)

Định nghĩa: Mã RS là mã BCH q phân có độ dài

m q1 − .

Trong ( )

m GF q đa thức tối thiểu của một phần tử β đơn giản chỉ là () x −β . Bởi vậy đa

thức sinh của mã RS có dạng:

() ( )( ) ( )

b b1 b2t1

gx x x x + +−

=−α −α −α ...

trong đó α là phần tử nguyên thủy của trường. Bậc của ( ) gx bằng 2t, như vậy với mã RS

nk2t −= , khoảng cách của mã RS:

0 dnk1 = −+

Ví dụ: Cho n7 = . Giả sử α là nghiệm của đa thức nguyên thủy

xx1 ++ . Bởi lũy

thừa liên tiếp của α là

1234

,,, αααα . Như vậy đa tức sinh của mã RS sửa 2 sai là:

() ( )( )( )( )

2344332 3

gx x x x x x x x x =−α −α −α −α=+α ++α+α Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

150

Cần chú ý rằng các hệ số của ( ) gx nằm trong ( ) GF 8

Mã RS tương ứng là mã (7, 3) có

8 từ mã.

Ngoài các mã tầm thường là mã kiểm tra chẵn ( ) n,n 1 − và mã lặp ( ) n,1 , mã Rs cũng là

một mã thỏa mãn giới hạn Singleton sau:

0 dnk1 ≤ −+

4.12. CÁC MÃ CHẬP

4.12.1. Mở đầu và một số khái niệm cơ bản.

Mã chập là mã tuyến tính có ma trận sinh có cấu trúc sao cho phép mã hóa có thể xem như

một phép lọc (hoặc lấy tổng chập). Mã chập được sử dụng rộng rãi trong thực tế. Bởi mã hóa

được xem như một tập hợp các bộ lọc số tuyến tính với dãy mã là các đầu ra của bộ lọc được phép

xen kẽ. Các mã chập là các mã đầu tiên được xây dựng các thuật toán giải mã quyết định phần

mềm hiệu quả

Ví dụ: Mã khối từ các khối k dấu tạo ra các khối n dấu. Với các mã chập (thường được xem

là các mã dòng), bộ mã hóa hoạt động trên dòng liên tục các dấu vào không được phân thành các

khối tin rời rạc. Tuy nhiên tốc độ mã

được hiểu là việc đưa vào k dấu ở mỗi bước thời gian sẽ

tạo ra n dấu mới. Số học có thể được thực hiện trên một trường tùy ý nhưng thông thường vẫn là

trên ( ) GF 2 .

Ta biểu thị các dãy và các hàm truyền đạt như các chuỗi lũy thừa của biến x (đôi khi còn

dùng ký hiệu D thay cho x). Dãy { } 21012 ,m ,m ,m,m,m,

−− ...... (với các phần tử

thuộc trường F) được xem như một chuỗi Laurent:

()

mx mx

∞

=−∞

= ∑

Tập tất cả các chuỗi Laurent trên F là một trường, ta ký hiệu trường này là [] Fx ⎡⎤ ⎣⎦ . Như

vậy ( ) [] mx F x ⎡⎤ ∈ ⎣⎦ .

Đối với dòng nhiều đầu vào ta dùng ký hiệu

( )

()

mx biểu thị dòng đầu vào đầu tiên,

( )

()

mx biểu thị dòng đầu vào thứ hai... Tập các dòng vào xem như một vectơ:

()

( )

()

( )

() []

2 12

mx m x m x F x ⎡⎤ ⎡ ⎤ =∈ ⎣ ⎦ ⎢⎥ ⎣⎦

Bộ mã hóa cho mã chập thường được coi là một tập các bộ lọc số.

Ví dụ: Hình 4.2 chỉ ra một ví dụ về một bộ mã hóa

Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

151

(các ô D biểu thị các ô nhớ một bít - các trigơ D)

Dòng vào

k m đi qua hai bộ lọc dùng chung các phần tử nhớ tạo ra hai dòng ra:

( ) 1

kk2 k Cmm − =+ và

( ) 2

kk1k2 k Cmmm − − =+ +

Hai dòng ra này được đưa ra xen kẽ để tạo ra dòng được mã

k C . Như vậy cứ mỗi bít vào

lại có hai bít mã được đưa ra, kết quả là ta có một mã có tốc độ

= .

Thông thường ta coi trạng thái ban đầu của các phần tử nhớ là 0, Như vậy, với dòng vào

{ } m 1,1,0,0,1,0,1 = các đầu ra sẽ là:

( )

{} 1

C 1,1,1,1,1,0,0,0,1 = và

( )

{} 2

C 1,0,0,1,1,1,0,1,1 =

Dòng ra: { } C 11,10,10,11,11,01,00,01,11 =

Ở đây dấu phẩy phân cách các cặp bít ra ứng với mỗi bít vào.

Ta có thể biểu thị hàm truyền từ đầu vào ( ) mx từ đầu ra

( )

()

Cx như sau:

( )

()

1 2

gx1x =+ . Tương tự ta có ( )

gx 1xx = ++

Dòng vào { } m 1,1,0,0,1,0,1 = có thể biểu thị như sau:

( ) ( ) [ ]

mx 1 x x x GF2 x ⎡ ⎤ =+ + + ∈ ⎣ ⎦

Các đầu ra sẽ là:

( )

() () () ( )( )

1 46 2 2348

1 C x mxgx 1x x x 1x 1xx x x x = =++ + + =++ + + +

( )

() () () ( )( )

2 46 2

34578

C x mxg x 1x x x 1xx

1xxxxx

==+++++

=+++++

k C

k m

Hình 4.2: Bộ mã hóa cho mã chập tốc độ

+ ( ) 1

k CChương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

152

Với mỗi mã chập tốc độ

= có một hàm truyền ma trận ( ) kn x × ∈ (còn được gọi là

ma trận truyền). Với mã tốc độ

= ở ví dụ trên ta có:

()

a Gx 1x1x x ⎡⎤ =+ ++ ⎣⎦

Ma trận truyền này không chỉ có dạng các đa thức, ta có thể thấy thông qua ví dụ sau:

Ví dụ: Xét ma trận truyền của mã chập sau:

()

b 2

1x x

Gx 1

⎡⎤ ++

= ⎢⎥

+ ⎢⎥ ⎣⎦

Vì có "1" ở cột đầu tiên nên dòng vào sẽ xuất hiện trực tiếp ở đầu ra đan xen, bởi vậy đây là

một mã chập hệ thống

Bộ mã hóa cho mã này được mô tả ở hình 3:

Với dòng vào: ( )

2348

mx1xxxxx =+ + + + + các đầu ra

( ) 1

k C và

() 2

k C có dạng:

( )

()

() ()()

1 2348

2348 2

k 2

3457810

Cmx1xxxxx

1xxxxx1xx

1xxxxxx

==+++++

++ + + + ++

=++++++ +...

Một bộ mã hóa chỉ có các hàng đa thức trong ma trận truyền được gọi là bộ mã hóa có đáp

ứng xung hữu hạn. Một bộ mã hóa có các hàm hữu tỷ trong ma trận truyền gọi là bộ mã hóa có

đáp ứng xung vô hạn.

Với mã có tốc độ k/n với k > 1 dãy thông báo đầu vào (ta coi như được tách ra từ một dãy

thông báo thành k dòng), ta có:

()

( )

()

( )

()

( )

()

12 k

mx m x,m x, ,m x ⎡⎤ = ⎢⎥ ⎣⎦

...

k C k m

Hình 4.3: Bộ mã hóa hệ thống với

+ ( ) 2

k C

( ) 1

k CChương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

153

và:

()

( )

()

( )

()

( )

()

1,1 1,2 1,n

2,1 2,2 2,n

k,1 k,2 k,n

gxg x g x

⎡⎤

⎢⎥

= ⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥ ⎣⎦

...

##...

...

Dãy ra được biểu thị như sau:

()

( )

()

( )

()

( )

() () ()

12 n

Cx C x,C x, ,C x mxGx ⎡⎤ == ⎢⎥ ⎣⎦

...

Ma trận truyền ( ) Gx được gọi là hệ thống nếu có thể xác định được một ma trận đơn vị

trong các phần tử của ( ) Gx (chẳng hạn nếu bằng các phép hoán vị hàng và/hoặc cột của ( ) Gx

có thể thu được một ma trận đơn vị).

Ví dụ: Cho mã hệ thống tốc độ R23 = có ma trận truyền sau:

()

⎡⎤

⎢⎥

+ ⎢⎥ =

⎢⎥

⎣+⎦

So đồ thể hiện của mã này cho trên Hình 4:

Một sơ đồ mã hóa khác có hiệu quả hơn được mô tả ở Hình 5:

( )

()

( )

()

Hình 4.4: Bộ mã hóa hệ thống

( )

()

( )

()

D D + D

D D + + D ( )

()

( )

()

( )

()

( )

()

( )

()

Hình4.5: Sơ đồ bộ mã hóa hệ thống

R = có phần cứng đơn giản hơn Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

154

Giả sử: ()

2457 2567

mx 1xxxx ,xxxx ⎡⎤ =+++++ ++++ ⎣⎦

......

Khi đó đầu ra ( ) Cx có dạng:

()

2457 2567 35

Cx 1 x x x x ,x x x x ,x x x ⎡⎤ =+++++ ++++ +++ ⎣⎦

.........

Khi đưa ra xen kẽ dòng ra sẽ là:

{ } 100, 001, 110, 001, 100, 111, 010, 110

Từ các ví dụ trên ta có định nghĩa sai cho mã chập

Định nghĩa: Mã chập tốc độ Rkn = trên trường các chuỗi Laurent hữu tỷ [] Fx ⎡⎤ ⎣⎦ trên

trường F là ảnh của một ánh xạ tuyến tính đơn ánh của các chuỗi Laurent k chiều

() []

mx F x ⎡⎤ ∈ ⎣⎦ vào các chuỗi Laurent () []

Cx F x ⎡ ⎤ ∈ ⎣ ⎦ .

4.12.2. Các mã Turbo.

Vào năm 1993, Berrou, Glavieux và Thitimajashima đã đưa ra một sơ đồ mã hóa mới cho

các mã chập được gọi là mã Turbo (Hình 6). Trong sơ đồ này dòng thông tin vào được mã hóa hai

lần với một bộ xáo trộn đặt giữa hai bộ mã hóa nhằm tạo ra hai dòng dữ liệu được mã hóa có thể

xem là độc lập thống kê với nhau.

Trong sơ đồ này các bộ mã hóa thường được sử dụng là các bộ mã hóa cho mã chập có tốc

độ R12 = .

Các mã này được sử dụng rất hiệu quả trên các kênh phađinh. Người ta đã chứng tỏ rằng

hiệu năng của mã Turbo sẽ tăng khi tăng kích thước của bộ xáo trộn. Tuy nhiên trong nhiều ứng

dụng quan trọng (chẳng hạn khi truyền tiếng nói), kích thước bộ xáo trộn quá lớn không sử dụng

được do kết quả giải mã bị giữ chậm

Ví dụ: Xét sơ dồ mã hóa Turbo có hàm truyền sau: (Hình 4.7)

Các bít ra

( ) Cx

Các bít vào () mx

Hình4.6: Bộ mã hóa Turbo

Bộ mã hóa 1

Bộ mã hóa 2

Trích

chọn

Xáo trộn Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

155

() 2

với bộ xáo trộn được mô tả bởi phép hoán vị ∏

{ } 8,3,7,6,9,0,2,5,1,4 = ∏

Giả sử dãy vào là: () []

( )

()

m x 1,1,0,0,1,0,1,0,1,1 C x ==

Khi đó dãy ra của bộ mã hóa thứ nhất là:

()

() []

C x 1,1,1,1, 0,1,1,1, 0, 0

∧

Dãy bít được hoán vị đưa vào bộ mã hóa thứ hai là:

() [] m x 1, 0, 0,1,1,1, 0, 0,1,1

∧

Dãy ra của bộ mã hóa thứ hai là:

()

() []

C x 1,0,1,1,0,0,0,0,1,1

∧

Bộ trích chọn sẽ chọn đưa ra các bít được gạch dưới lần lượt ở các đầu

()

∧

và

()

∧

Dãy bít được mã hóa ở đầu ra có giá trị

= là:

( ) [] v x 1,1,1,0,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1 =

Khi không dùng bộ trích chọn dãy bít ra sẽ có tốc độ

= và có dạng

()

() 3

x C

∧

()

() 2

x C

∧

() mx

∧

() mx

Hoán vị ∏

Trích

chọn

( )

()

( )

()

Hình4.7: Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

156

() [] v x 1,1,1,1,1, 0, 0,1,1, 0,1,1,1, 0, 0, 0,1, 0,1,1, 0, 0,1, 0,1, 0,1,1, 0,1 =

Dãy ra ( ) vx được điều chế và phát qua kênh, ở đầu ra kênh tín hiệu nhận được giải điều

chế để tạo ra véctơ () rx bao gồm các vectơ

( )

()

rx (tương ứng với

( )

()

Cx ),

( )

()

(tương ứng với

()

∧

) và

( )

()

rx (tương ứng với

()

∧

),.

Hoạt động chung của thuật toán giải mã Turbo có thể mô tả như sau (xem hình 4.8).

Dữ liệu

( )

()

( )

() ( )

rx,r x được đưa tới bộ giải mã 1. Trước tiên bộ giải mã này sử dụng

sử dụng thông tin tiên nghiệm trên các bít đã phát và tạo ra các bít có xác suất xuất hiện phụ

thuộc vào dữ liệu quan sát được. Đầu ra đánh giá này của bộ giải mã 1 được xáo trộn theo luật

hoán vị ∏ và được đưa tới bộ giải mã 2 và được làm thông tin tiên nghiệm. Cùng đưa tới bộ giải

mã 2 là dữ liệu nhận được

( )

()

( )

() ( )

rx,rx , cần chú ý rằng

( )

()

rx phải được đưa tới bộ

xáo trộn ∏. Đầu ra đánh giá của bộ giải mã 2 được giải xáo trộn bằng luật hoán vị ngược

1 −

và được đưa trở lại làm thông tin tiên nghiệm cho bộ giải mã 1. Quá trình chuyển thông tin tiên

nghiệm sẽ được tiếp tục cho đến khi bộ giải mã quyết định rằng quá trình đã hội tụ (hoặc cho tới

khi đạt được một số lần lặp nhất định)

Phần quan trọng nhất của thuật toán giải mã này là một thuật toán giải mã quyết định mềm,

thuật toán này sẽ cung cấp các đánh giá của các xác suất hiệu nghiệm cho mỗi bít vào

BÀI TẬP

4.1. Hãy thiết lập các từ mã hệ thống cho mã xyclic ()

7,3 1 x x x =++ + với các đa thức

thông tin sau: () 1 ax 1x = +

( )

2 ax 1x =+

Đánh giá

( )

()

( )

()

( )

()

( )

()

rx Đánh giá

Giải xáo trộn

1 −

Xáo trộn ∏

Bộ giải

mã 1

Bộ giải

mã 2

Giải xáo

trộn

1 −

Hình 4.8: Sơ đồ khối chức năng của bộ giải mã Turbo Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

157

4.2. Giả sử từ mã nhận được của mã xyclic (7, 3) có ( )

gx 1 x x x = ++ + có dạng

() 6 0

6542

... . . x x

vxxxxxx 0111011 =++++↔

Hãy sử dụng thuật toán chia dịch vòng để tìm dược từ mã đã phát biết rằng mã (7, 3) này có

0 d4 = .

4.3. Hãy lập bốn từ mã của mã hệ thống nhị phân (8,4) biết rằng các dấu tin tức của mỗi từ mã là:

a. 1 1 0 0

b. 0 1 0 1

c. 1 0 1 0

và ma trận kiểm tra của bộ mã là:

1111

0100

1011

1110

⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟ =

⎜⎟

⎝⎠

4.4. Hãy lập mã Huffman cho nguồn tin sản ra các chữ độc lập

1 x ,

2 x ,

3 x ,

4 x với các xác suất

tương ứng ( ) 1 px 0,1 = ; () 2 px 0,6 = ; ( ) 3 px 0,25 = ; ( ) 4 px 0,05 = . Tính độ dài trung

bình của từ mã. Tính entropie của nguồn.

4.5. Một mã đơn giản n dấu dùng trong kênh nhị phân không đối xứng với xác suất thu sai dấu

"0" là ( ) 0 pp 01 =→ khác xác suất thu sai dấu "1" là ( ) 1 pp 10 =→ . Các lỗi xảy ra độc

lập với nhau. Hãy tìm xác suất giải đúng mã. Xác suất này có như nhau đối với mọi từ mã không?

4.6. Cho bộ mã hệ thống nhị phân (8,4), các dấu

1 α ,

2 α ,

3 α ,

4 α là các dấu mang tin, các dấu

5 α ,

6 α ,

7 α ,

8 α là các dấu kiểm tra, được xác định như sau:

()

5123

6234

612 4

5123 4

α=α+α+α ⎧

⎪

α= α+α+α ⎪

⎨

α=α+α +α ⎪

⎪α=α+α+α+α ⎩

Chứng minh rằng khoảng cách cực tiểu của mã trong bộ mã này bằng

min d3 = .

4.7. Xét mã (7,4) có d = 3. Mã này sửa được một sai. Tính xác suất thu đúng một từ mã khi xác

suất thu sai một dấu mã bằng

0 p

4.8. Mã hệ thống (3,1) có hai từ mã 000 và 111. Tính xác suất sai tương đương khi dùng mã này

trong kênh đối xứng có lỗi xảy ra với xác suất thu sai một dấu là p độc lập với nhau. Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

158

4.9. Số các tổ hợp mã của một bộ mã là

0 Nm = . Trong đó số các từ mã đem dùng là

0 NN

cấm nào đó thì ta bảo việc truyền tin gặp lỗi và như vậy lỗi tự động được phát hiện. Hãy tính số

lượng các từ mã sai có thể có mà chúng được phát hiện tự động và số tối đa các từ mã có thể sửa

của bộ mã này. Áp dụng bằng số với m = 2, n = 4, N = 8.

4.10. Cho :

()( )( )( )( ) +=+++++++++++ 15 2 4 3 4 4 3 2

X 1 X1X X1X X 1X X1X X X X1

a. Hãy tìm tất cả các mã xyclic có thể có trên vành [ ] + 15

2 ZxX 1

b. Hãy tìm đa thức sinh của mã BCH sửa 3 sai.

4.11. Hãy thực hiện bài tập 4.4 theo thuật toán Shannon - Fano sau:

Bước 1: Chia tập tin thành hai nhóm có tổng xác suất xấp xỉ nhau

Bước 2: Ghi "0" vào các tin của một nhóm

Ghi "1" vào các tin của nhóm còn lại

Bước 3:Với mỗi nhóm lại thực hiện các bước trên. Thuật toán dừng khi mỗi phần tử chỉ còn

chứa một tin

4.12. Với mã BCH sửa 2 sai được mô tả trong ví dụ ở mục 4.10.7 hãy giải mã cho dãy sau: 1 0 0 0

1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1

4.13. Hãy giải các bài tập 3.8 và 3.14 bằng cách mã hóa nhị phân.

4.14. Cho ()( )( ) += + + + + + 9236

X1X11XX1XX . Hãy thiết lập tất cả các mã xyclic có

thể có trên vành [] + 9

2 ZxX 1.

4.15. Hãy thực hiện mã hóa Huffman cho nguồn rời rạc sau:

⎛⎞

⎜⎟ =

⎜⎟

⎝⎠

123456 7 8 9 10 aaaaaaaaaa

A 11111 1 1 1 1 1

4 4 8 8 8 3232326464

Đánh giá hiệu quả của phép mã hóa

Hãy giải mã cho dãy các bít nhận được sau: 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 ....

4.16. Hãy thiết lập từ mã hệ thống của bộ mã xyclic (7,4) có đa thức sinh ( ) =++ 32

gX x x 1

tương ứng với đa thức thông tin ( ) =+ 3

ax x x theo thuật toán nhân và theo thuật toán

chia. Chương 4: Cơ sở lý thuyết mã hóa

159

4.17. Cho mã xyclic (15, 11) có đa thức sinh ( ) = ++ 4

gX x x 1. Hãy mô tả sơ đồ chức năng

của thiết bị mã hóa hệ thống theo phương pháp chia đa thức cho bộ mã này. Tìm từ mã ra của

thiết bị trong trường hợp đa thức thông tin đầu vào có dạng: ( ) = ++ 1097

ax x x x

Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

160

CHƯƠNG V - LÝ THUYẾT THU TỐI ƯU

5.1. ĐẶT BÀI TOÁN VÀ CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN

5.1.1. Thu tín hiệu khi có nhiễu là một bài toán thống kê

Ta xét trường hợp đơn giản nhất khi dạng của tín hiệu trong kênh không bị méo và chỉ bị

nhiễu cộng tính. Khi đó ở đầu vào của máy thu sẽ có tổng của tín hiệu và nhiễu:

() ( ) ( ) i

ut S t nt =μ −τ + (5.1)

Trong đó μ - hệ số truyền của kênh (thông thường 1 μ )

Giả thiết μ = const.

τ - thời gian giữ chậm tín hiệu của kênh

n(t) - nhiễu cộng, là một hàm ngẫu nhiên

Trường dấu lối vào { } i

i1,m α= , khi đó các ( ) i

St là các tín hiệu phát tương ứng với

các tin

α .

Do ( ) nt là một QTNN nên ( ) ut cũng là một QTNN. Vậy khi nhận được ( ) ut ta có thể

đề ra m giả thiết sau:

1. ( )( ) 11 St α đã được gửi đi và trong quá trình truyền ( ) 1 St được cộng thêm một nhiễu:

() () ( ) 1 nt ut S t =−μ−τ

2. ()( ) 22 St α đã được truyền đi và trong quá trình truyền ( ) 2 St được cộng thêm một

nhiễu: () () ( ) 2 nt ut S t =−μ−τ

....................

m. ()( ) mm St α đã được truyền đi và trong quá trình truyền ( ) m St được cộng thêm một

nhiễu: () () ( ) m nt ut S t =−μ−τ

Nhiệm vụ của bộ thu là phải chọn một trong m giả thuyết này trong khi nó chỉ biết một số

tính chất của nguồn tín hiệu và dạng của tín hiệu nhận được ( ) ut . Rõ ràng là mỗi một giả thuyết

đều có một xác suất sai tương ứng vì ( ) nt là một hàm ngẫu nhiên. Như vậy máy thu phải chọn

một lời giải nào đó trong điều kiện bất định. Việc xét các quy luật chọn lời giải trong điều kiện bất

định chính là nội dung của bài toán thống kê. Vì vậy thu tín hiệu khi có nhiễu là một bài toán

thống kê. Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

161

5.1.2. Máy thu tối ưu

Nhiệm vụ của máy thu là phải chọn lời giải do đó máy thu còn được gọi là sơ đồ giải. Yêu

cầu lớn nhất của sơ đồ giải là phải cho ra lời giải đúng (phát

α ta phải tìm được

β ). Trong thực

tế có rất nhiều sơ đồ giải. Trong tất cả các sơ đồ giải có thể có thì tại một sơ đồ bảo đảm xác suất

nhận lớn phải đúng là lớn nhất (xác suất giải sai là bé nhất). Sơ dồ này được gọi là sơ đồ giải tối

ưu. Máy thu xây dựng theo sơ đồ giải đó được gọi là máy thu tối ưu (hay lý tưởng)

5.1.3. Thế chống nhiễu

Có thể dùng xác suất thu đúng để đánh giá độ chính xác của một hệ thống truyền tin một

cách định lượng. Để đánh giá ảnh hưởng của nhiễu lên độ chính xác của việc thu, người ta đưa ra

khái niệm tính chống nhiễu của máy thu. Nếu cùng một mức nhiễu, máy thu nào đó có xác suất

thu đúng là lớn thì được coi là có tính chống nhiễu lớn. Hiển nhiên rằng tính chống nhiễu của

máy thu tối ưu là lớn nhất và được gọi là thế chống nhiễu.

5.1.4. Hai loại sai lầm khi chọn giả thuyết

a. Sai lầm loại 1: Gọi

H là giả thuyết về tin

α đã gửi đi. Nội dung của sai lầm này là bác

bỏ

H mà thực tế là nó đúng. Tức là quả thật

α gửi đi mà ta không.gửi. Sai lầm 1 là bỏ sót tin

(hay mục tiêu).

b. Sai lầm loại 2: Thừa nhận

H trong khi thực tế nó sai. Tức là thực ra không có

α mà ta

lại bảo là có. Sai lầm loại này gọi là nhầm tin hoặc báo động nhầm.

Bình thường, không có điều kiện gì đặc biệt, sự tồn tại của hai loại sai lầm trên là không

"ngang quyền" (không gây tác hại như nhau)

5.1.5. Tiêu chuẩn Kachennhicov.

Thông thường khái niệm tối ưu là phải hiểu theo một nghĩa nào đó, tức là tối ưu theo một

tiêu chuẩn nào đó. Thông thường trong thông tin "thu tối ưu" được hiểu theo nghĩa như sau (Do

Kachennhicov đề ra và gọi là tiêu chuẩn Kachennhicov).

Trong cùng một điều kiện đã cho trong số hai hay nhiều sơ đồ gải, sơ đồ nào đảm bảo xác

suất giải đúng lớn nhất thì được gọi là tối ưu. (tiêu chuẩn này còn được gọi là tiêu chuẩn người

quan sát lý tưởng).

Nhược: Không đả động đến các loại sai lầm, tức là coi chúng tồn tại "ngang quyền" nhau.

Ưu: Đơn giản, dễ tính toán, dễ thực hiện.

Ngoài tiêu chuẩn Kachennhicov còn có một số những tiêu chuẩn khác như: Neyman-

Pearson, Bayes, Vald .... Những tiêu chuẩn này khắc phục được nhược điểm trên nhưng khá phức

tạp nên không dùng trong thông tin.

5.1.6. Việc xử lý tối ưu các tín hiệu

Nhiệm vụ của máy thu là cho ta các lời giải

β . Quá trinh thức hiện nhiệm vụ này được gọi

là quá trình xử lý tín hiệu. Trong quá trình xử lý tín hiệu thường phải thực hiện các phép toán Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

162

tuyến tính hoặc phi tuyến nhờ các mạch tuyến tính hoặc phi tuyến (ví dụ: biến tần, tách sóng, lọc,

hạn chế, nhân, chia, tích phân, bình phương, khuếch đại ....). Quá trình xử lý tín hiệu trong máy

thu tối ưu được gọi là xử lý tối ưu tín hiệu. Xử lý để nhận lời giải có xác suất sai bé nhất.. Trước

kia việc tổng hợp các máy thu (xây dựng sơ đồ giải) chỉ căn cứ vào các tiêu chuẩn chất lượng

mang tính chất chức năng mà không mang tính chất thống kê. Ảnh hưởng của nhiễu lên chất

lượng của máy thu chỉ được tính theo tỷ số tính /tạp. Tức là việc tổng hợp máy thu tối ưu trước

đây chỉ chủ yếu dựa vào trực giác, kinh nghiệm, thí nghiệm. Ngày nay lý thuyết truyền tin đã cho

phép bằng toán học tổng hợp được máy thu tối ưu ("Tối ưu" lúc này mới mang tính chất định

lượng) tức là dựa vào các tiêu chuẩn tối ưu bằng công cụ thống kê toán học người ta đa xác định

được quy tắc giải tối ưu.

5.1.7. Xác suất giải sai và quy tắc giải tối ưu

Cho

α là tín hiệu đã gửi đi, xác suất để gửi tín hiệu này đi là ( ) i

p α , () i

p α được gọi là

xác suất tiên nghiệm ()

⎛⎞

α= ⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠

∑ . Giả thiết rằng ( ) i

St có thời hạn T, () i

St được gọi là

các tín hiệu nguyên tố ứng với các dấu mã. ở máy thu ta nhận được ( ) ut . Từ ( ) ut qua sơ đồ

giải ta sẽ có lời giải

β nào đó. Nếu nhận được βl

thì ta coi rằng αl

đã được gửi đi. Như vậy αl

đã được gửi đi với một xác suất ( ) p/u αl

được gọi là xác suất hậu nghiệm. Do đó xác suất giải

sai sẽ là:

( ) ( ) psai/u, 1 p /u β=− α ll

(5.1)

Từ (5.1) ta sẽ tìm ra quy tắc giải tối ưu (theo tiêu chuẩn Kachennhicov)

Để tìm ra quy tắc giải tối ưu ta xét hai sơ đồ giải:

- Từ ( ) ut cho ta

1 β

- Từ () ul cho ta

2 β

Nếu ()( ) 12 psai/u, psai/u, β

hai.

Từ (5.1) và (5.2) () ( ) 12 psai/u, psai/u, ⇒β>β (5.3)

Tức là xác suất chọn lời giải sai ( ) psai/u,βl

càng nhỏ nếu xác suất hậu nghiệm tương

ứng ( ) p/u αl

càng lớn.

Ta xét m sơ đồ, khi đó ta có thể coi ( ) m1 − hệ thức sau:

() () i

p/up/u

⎧

α>α ⎨

≠ ⎩

i=1,m Víi (5.4) Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

163

Nếu ta có ( ) m1 − hệ thức này thì ta coi sơ đồ giải chọn βl

sẽ là tối ưu (theo nghĩa

Kachennhicov) vì nó đảm bảo xác suất phải sai là bé nhất (5.4) chính là quy tắc giải tối ưu. Sơ

đồ giải thỏa mãn (5.4) chính là sơ đồ giải tối ưu.

5.1.8. Hàm hợp lý

Dùng công thức Bayes: ()

( ) ( )

()

pwu/

p/u

α α

α= (5.5)

Thay vào (5.4) ta có: ()( ) ()( ) ii

p w u/ p w u/

⎧

αα>αα ⎨

≠ ⎩

i=1,m Víi (5.6)

Hay

( )

()

( )

()

wu/ p

α α

αα

Đặt

( )

()

wu/

và được gọi là hàm hợp lý (tỷ số hợp lý). Nó đặc trưng cho mức độ

hợp lý của giả thuyết cho rằng αl

đã được gửi đi (so với giả thuyết cho rằng

α đã được gửi đi).

Ta có: ()

( )

()

p il

⎧ α

λ ⎨

α ≠ ⎩

i=1,m Víi (5.7)

(5.7) chính là quy tắc giải tối ưu viết dưới dạng hàm hợp lý.

5.1.9. Quy tắc hợp lý tối đa

Nếu mọi tín hiệu gửi đi đều đồng xác suất: () () i

α =α= l

với i, ∀ =1,m l thì

(5.7) trở thành ( ) /i

u1 i λ> ∀≠ l

l Víi (5.8)

(5.8) được gọi là quy tắc hợp lý tối đa, nó hay được dùng trong thực tế vì hầu hết các hệ

truyền tin đều có thể coi (với sai số chấp nhận được) nguồn dấu có các dấu đồng xác suất.

Để có thể thấy rõ ảnh hưởng của tính thống kê của nhiễu ở (5.8) ta thường viết nó dưới

dạng:

()

( )

()

( ) ( )

()()

w u/ w u/ :w u/0

αα

λ= =

αα

()

( )

()

() ()

/i /0 i/0

i/0

uuui

⇒λ = ⇒λ >λ ∀ ≠

l (5.9) Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

164

( ) /0 u λl

và ( ) i/0 u λ dễ tìm hơn ( ) /i

u λl

. Ở đây phải hiểu rằng ( ) wu/0 chính là mật

độ xác suất của nhiễu.

5.2. XỬ LÝ TỐI ƯU CÁC TÍN HIỆU CÓ THAM SỐ ĐÃ BIẾT. KHÁI NIỆM VỀ THU

KẾT HỢP VÀ THU KHÔNG KẾT HỢP.

5.2.1. Đặt bài toán

Một kênh truyền tín hiệu liên tục chịu tác động của nhiễu cộng Gausse (chuẩn) có mật độ

xác suất bằng:

()

2 1

Wn e

−

σ =

σπ

(5.10)

có phương sai

σ và kỳ vọng triệt. Tín hiệu phát có mọi yếu tố triệt trước (tiền định)

Hãy tìm công thức của quy tắc giải tối ưu theo quy tắc hợp lý tối đa và lập sơ đồ chức năng

của sơ đồ giải tối ưu trong trường hợp này.

5.2.2. Giải bài toán

5.2.2.1. Tìm hàm hợp lý ( ) /0 u λl

Ta có ( ) ( ) ( ) j

ut S t nt =μ −τ +

, const μτ= là các tham số của kênh đã biết

( ) j

St cũng đã biết

Để tìm ( ) /0 u λl

ta giả thiết ( ) ut có phổ hữu hạn

c F . Như vậy ta có thể rời rạc hóa ( ) ut

thành n số đọc:

12 n u,u , .u ... ,

c n2FT = , trong đó T là thời hạn của ( ) ut . Như vậy ta phải tìm

( ) j/0 1 2 n u,u , .u λ ...

()

( )

()

n12 n i

j/0 1 2 n

n12 n

Wu,u, .u

u,u , .u

Wu,u, .u0

λ=

... ... ...

( ) n12 n Wu,u, .u 0 ... chính là mật độ phân bố n chiều của nhiễu Gausse, nếu coi các

số đọc của nhiễu độc lập, thông hệ với nhau thì: Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

165

()()

()

k cc

u 2FT 2FT

n12 n 1k

k1 k1

2FT 2

Wu,u, .u 0 Wu e

exp

2 2

−

σπ

⎧ ⎫ ⎪ ⎪

=− ⎨ ⎬

σ ⎪ ⎪ σπ ⎩⎭

∏∏

∑

...

Ký hiệu ( ) ( ) jj

ct St = μ−τ .

Khi phát

α ta sẽ nhận được các

kjkk uc n = + .

Để tính toán dễ dàng ta coi việc đã phát

α tương đương với việc nhận được nhiễu có các

giá trị nhiễu

kkjk nuc =− . Tức là coi :

( ) ( )

'' '

n12 n j n12 n Wu,u, .u Wu,u, .u 0 α= ......

Tương tự như trên ta có:

()

2FT

kjk '' '

n12 n 2FT 2

2FT 2FT 2

kjk k

j/0 1 2 n 22

k1 k1

uc 1

Wu,u, .u 0 exp

2 2

uc u

u,u , .u exp

⎧ ⎫ − ⎪ ⎪

=− ⎨ ⎬

σ ⎪ ⎪ σπ ⎩⎭

⎧ ⎫ − ⎪ ⎪

⇒λ = − ⎨ ⎬

σσ ⎪ ⎪

⎩⎭

∑

∑∑

...

Phương sai

σ của tạp có thể biểu thị qua mật độ phổ công suất của nó và giải thông của

kênh

c F

0c GF σ= Trong đó

() ()

2FT 2FT 2 2

j/0 1 2 n k k jk

00 k1 k1

u,u , .u exp u t u c t

GG ==

⎧ ⎫ ⎪ ⎪

λ=−− ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎩⎭

∑∑ ...++

Khi

c F →∞ ta có: Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

166

( ) ( )

() () ()

j/0 j/0 1 2 n

2 2

0 00

j 2

00 00

ulim u,u,.u

exp u t dt u t c t dt

E 2

exp C tdt utc tdt

→∞

λ=λ

⎧⎫ ⎡⎤ ⎪⎪

⎡⎤ =−− ⎢⎥ ⎨⎬ ⎣⎦

⎢⎥ ⎪⎪ ⎣⎦ ⎩⎭

⎧⎫ ⎡⎤ ⎪⎪

=− + ⎢⎥ ⎨⎬

⎢⎥ ⎪⎪ ⎣⎦ ⎩⎭

∫∫

...

() ()

j/0 j

E 2T

uexp exp Zu

⎧⎫⎧ ⎫

⇒λ = − ⎨⎬⎨ ⎬

⎩⎭⎩ ⎭

(5.11)

Trong đó ()

Ectdt = ∫ là năng lượng của ( ) j

( ) j

ct là tín hiệu nguyên tố mang tin ở lối ra của kênh

() () ()

Zu utctdt

= ∫ (5.12)

( ) j

Zu được gọi là tích vô hướng của ( ) ut và ( ) j

5.2.2.2. Quy tắc tối ưu viết theo các tham số của thể hiện tín hiệu.

Dùng quy tắc hợp lý tối đa

( )

()

i/0

u il

⎧ λ

> ⎨

λ ≠ ⎩

i=1,m Víi . Lấy

e log hai vế:

( ) ( ) /0 i/0 ln u ln u 0 λ−λ > l

( ) ( ) /0 i/0 ln u ln u ⇒λ >λ l

(*)

Thay (5.11) vào (*) ta được:

() ()

00 00

E 2T E 2T

Zu Zu

GG GG il

⎧

−+ >−+ ⎨

≠ ⎩

i=1,m Víi

Nhân hai vế với

0 G

ta có:

() ()

E E

Zu Zu

2T 2T il

⎧

−> − ⎨

≠ ⎩

i=1,m Víi Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

167

Chú ý rằng

ETP = là công suất của tín hiệu ( ) j

ct ở đàu vào sơ đồ giải.

() () i

p p

Zu Zu i l

−> − ≠ l

Víi (5.13)

Dựa vào quy tắc giải tối ưu (5.13) ta sẽ xây dựng được sơ đồ gia công tối ưu tín hiệu.

5.2.2.3. Xây dựng sơ đồ xử lý tối ưu tín hiệu

Lời giải βl

lấy ra được chính là lời giải có xác suất sai bé nhất

Từ (5.12) ta đã vẽ được sơ đồ khối của việc hình thành tích vô hướng ( ) i

Zu . Sơ đồ này

gồm 3 khối:

- Tạo tín hiệu ( ) i

ct đóng vai trò như ngoại sai

- Mạch nhân đóng vai trò như biến tần

- Mạch tích phân (đóng vai trò như bộ lọc)

Người ta còn gọi sơ đồ trên là bộ lọc phối hợp chủ động (có nguồn) hay còn gọi là tương

quan kế. Sau này chúng ta sẽ thấy được rằng để tạo tích vô hướng ( ) i

Zu ta có thể chỉ dùng một

mạch tuyến tính, đó là bộ lọc phối hợp thụ động (không nguồn)

Chú ý: Để so sánh đúng lúc, người ta phải dùng xung cực hẹp đồng bộ mở thiết bị so sánh

vào đúng thời điểm đọc

0 tT =

( ) 1 Zu

( ) 1 ct

T ∫

−

1 p2

( ) m Zu

( ) m ct

T ∫

−

m p2

( ) 1 Zu

( ) m Zu

Thiết

bị

sánh

() ut

()

− l

⇔βl

Xung cực hẹp dể

đồng bộ ở

0 tT =

Hình 5.1: Sơ đồ gia công tối ưu tín hiệu. Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

168

5.2.3. Khái niệm về thu kết hợp và thu không kết hợp

5.2.3.1. Hệ có khoảng nghỉ chủ động.

Ở trên ta đã giải bài tóan thu tối ưu các tín hiệu có các tham số đã biết (tức là xác định được

một cách chính xác biên độ, tần số, pha ban đầu và , const μ τ= ). Thực tế giả thiết

, const μτ= không phù hợp vì , μτ là các tham số của kênh phụ thuộc rất nhiều vào các yếu tố

ngẫu nhiên.

Khi μ thay đổi thì ( ) i

Zu sẽ thay đổi tỷ lệ với μ còn

p sẽ thay đổi tỷ lệ với

μ . Vì vậy

để đảm bảo được quy tắc giải (5.13) ta cần có mạch tự động hiệu chỉnh để bù lại sự thay đổi của

μ (ví dụ dùng mạch TĐK (APY)).

Khi τ thay đổi sẽ làm cho gốc thời gian thay đỏi gây ra sự không đồng bộ giữa ( ) i

ct và

( ) ut . Để thực hiện được sự đồng bộ giữa ( ) i

ct và ( ) ut ta phải dùng hệ thống TĐT (ATIY).

Để có thể tránh được sự phức tạp của thiết bị khi phải dùng thêm TĐK khi μ thay đổi

người ta chọn các tín hiệu có công suất trung bình như nhau, tức là

pp = với i, j 1,m ∀= .

Lúc đó quy tắc giải sẽ là:

( ) ( ) i

Zu Zu i >∀≠ l

l (5.14)

Sơ đồ giải lúc này sẽ rất đơn giản và ngay cả khi μ thay đổi ta cũng không phải dùng thêm

mạch TĐK (Hình 5.2)

Hệ thống có ( ) ij

pp i,j1,m =∀= được gọi là hệ thống có khoảng nghỉ chủ động.

5.2.3.2. Định nghĩa thu kết hợp và thu không kết hợp

Tín hiệu tổng quát có dạng:

( ) ( ) ( ) ( ) i0i 0 Ct C tcos t t = ω+φ +ϕ

( ) 1 Zu

( ) m Zu

Thiết

bị

sánh

() ut

0 tT =

Hình 5.2:

( ) 2 ZuChương 5: Lý thuyết thu tối ưu

169

Khi gia công tối ưu tín hiệu ta cần biết đường bao ( ) 0i

Ct và tần số tức thời

()

( )

ω=ω+ .

Nếu việc thu ( ) i

Ct cần biết

0 ϕ (để điều chỉnh hệ thống thu) thì được gọi là thu kết hợp.

Nếu việc thu ( ) i

Ct không cần biết

0 ϕ (để điều chỉnh hệ thống thu) thì được gọi là thu

không kết hợp.

Thực tế khi τ thay đổi sẽ làm cho

0 ϕ thay đổi. τ chỉ biến thiên ít nhưng cũng đã làm cho

0 ϕ thay đổi rất mạnh. Khi đó ta phải chuyển sang thu không kết hợp.

5.3. PHÁT TÍN HIỆU TRONG NHIỄU NHỜ BỘ LỌC PHỐI HỢP TUYẾN TÍNH

THỤ ĐỘNG.

5.3.1. Định nghĩa bộ lọc phối hợp tuyến tính thụ động

Định nghĩa: Đối với một tín hiệu xác định, một mạch tuyến tính thụ động đảm bảo tỷ số

⎛⎞

ρ= ⎜⎟

⎝⎠

cực đại ở một thời điểm quan sát nào đấy sẽ được gọi là mạch lọc phối hợp tuyến

tính thụ động của tín hiệu đó.

Sau này để gọn ta chỉ gọi là bộ lọc phối hợp.

Trong đó

ra ρ là tỷ số giữa công suất đỉnh của tín hiệu và công suất trung bình của nhiễu ở

đầu ra bộ lọc ấy.

5.3.2. Bài toán về bộ lọc phối hợp

5.3.2.1. Nội dung bài toán.

Cho ở đầu vào một mạch tuyến tính thụ động một dao động có dạng:

() ( ) ( ) i

yt C t nt = +

( ) i

Ct là thể hiện của tín hiệu phát đi (còn được gọi là tín hiệu tới)

( ) nt là nhiễu cộng, trắng, chuẩn

Hãy tổng hợp mạch đó để nó có hàm truyền sao cho ở một thời điểm quan sát ( ) yt nào đó,

ra ρ của nó phải cực đại.

5.3.2.2. Giải bài toán.

Thực chất bài toán này là bài toán tổng hợp mạch (ngược với bài toán phân tích mạch) mà

ta đã học ở giáo trình "Lý thuyết mạch ". Nhiệm vụ của ta là phải tìm biểu thức giải tích của Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

170

hàm truyền phức ( ) i

K ω của mạch tuyến tính thụ động sao cho ở một thời điểm quan sát (dao

động nhận được) nào đó

ra ρ đạt max.

Gọi () iv S ω là mật độ phổ (biên) phức của thể hiện tín hiệu ở đầu vào mạch tuyến tính.

Gọi () ira S ω là mật độ phổ phức của thể hiện tín hiệu ở đầu ra của nó.

Khi đó theo công thức biến đổi ngược Fourier thể hiện tín hiệu ở đầu ra của mạch tuyến tính

thụ động này là:

() () ( )

()()

jt j2 t

ira ira ira

j2 t

iv i

Ct S ed S2e d

S2 K2 e d

∞∞

ωπ

−∞ −∞

∞

−∞

=ωω=π

=ππ

∫∫

∫

f f

fff

Trong đó: ( ) ( ) ( ) ira iv i

S2 S2K2 π =π π f ff

Công suất đỉnh của tín hiệu ở đầu ra của mạch:

() ()() 0

ira

2 j2 t

cira0 iv i

pCt S2K2ed

∞

−∞

==ππ ∫

f ff

( ) ira 0 Ct là giá trị đỉnh của tín hiệu

Theo giả thiết vì can nhiễu là tạp trắng nên mật độ phổ công suất của nó sẽ là

0 N const =

( 0 N bằng

mật độ phổ công suất thực tế, vì phổ thực tế chỉ có từ 0 ÷∞). Do đó công suất

trung bình của tạp ở đầu ra của mạch này sẽ là:

() () ra

22 2

nn 0i 0i

pNK2dNK2d

∞∞

−∞ −∞

=δ = π = π ∫∫ f fff

Ở đây ta áp dụng định lý Parseval:

() ()

2 1

xtdt S d

∞∞

−∞ −∞

=ωω

π ∫∫

Ta xét tỷ số:

ira

ρ= Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

171

()() ()

()

iv i 0

S2 K2 expj2td

NK2 d

∞

−∞

∞

−∞

ππ π

ρ=

∫

f fff

(5.15)

Vấn đề ở đây là phải xác định ( ) i

K2πf trong (5.15) như thế nào để

ra ρ đạt max.

Để giải quyết vấn đề này ta có thể dùng nhiều phương pháp, ở đây ta sử dụng bất đẳng thức

Byhakobckuu - Schwartz:

()() () ()

Fx xdx Fx dx x dx

∞∞∞

−∞ −∞ −∞

ϕ≤ ϕ ∫∫∫ (5.16)

Đẳng thức ở (5.16) chỉ có khi: ( ) ( )

xkFx ϕ= (5.17)

Trong đó: ( ) ( ) x,Fx ϕ là các hàm phức biến thực

( )

Fx là hàm liên hợp phức của ( ) Fx

k là hệ số tỷ lệ

Trong (5.15) nếu cho ( ) 0 j2 t

iv S2 e

π f

f đóng vai trò ( ) Fx , còn ( ) i

K2πf đóng vai trò

như ( ) x ϕ trong (5.1).

Khi đó áp dụng (5.16) cho (5.15) ta được:

() () ()

()

2 2

iv 0 i

S2 expj2t d K2 d

NK2 d

∞∞

−∞ −∞

∞

−∞

ππ π

ρ≤

∫∫

∫

f ff ff

() 0

2 j2 t

ra iv

S2 e d

∞

−∞

⇒ρ ≤ π ∫

f f

()

2 i

ra iv

S2 d

∞

−∞

⇒ρ ≤ π ∫ ff §Þnh lý Parseval (5.18)

(5.18) chứng tỏ

ramax

ρ= (5.19) Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

172

trong đó ()

iiv ES2d

∞

−∞

=π ∫ f f là năng lượng của tín hiệu tới (5.19) chứng tỏ tỷ số

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

chỉ phụ thuộc vào năng lượng của tín hiệu mà hoàn toàn không phụ thuộc vào dạng của

nó. Ta biết rằng xác suất phát hiện đúng chỉ phụ thuộc vào

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

. Vì vậy theo quan điểm của

bài toán phát hiện dạng của tín hiệu là không quan trọng. (Chỉ khi cần đo lường các tham số của

tín hiệu như tz, F + (độ dịch tần) thì độ chính xác của phép đo và khả năng phân biệt của hệ

thống đo sẽ phụ thuộc mạnh vào dạng tín hiệu).

Theo (5.17)

ra ρ chỉ đạt max khi:

() () { } 0

iv i

t 2 j exp 2 kS 2 k f f f π − π = π (5.20)

(5.20) chính là đáp số củ bài toán ta đã nêu ra ở trên. Như vậy bài toán đã giải xong. Để

thấy rõ được ý nghĩa vật lý kỹ thuật ta sẽ xét kỹ (5.20) hơn nữa.

5.3.3. Đặc tính biên tần và đặc tính pha tần của bộ lọc phối hợp

5.3.3.1. Đặc tính biên tần.

Từ (5.20) ta có () () f f π = π 2 S k 2 k *

iv i

(5.21)

(5.21) là biểu thức giải tích của đặc tính biên tần của bộ lọc phối hợp, ta thấy nó có dạng

giống hệt modul mật độ phổ của tín hiệu. Điều đó có nghĩa là khi đã cho tín hiệu tới thì đặc tính

của mạch tuyến tính cần tổng hợp sẽ do mật độ phổ phức của tín hiệu quyết định.

Ngoài ra từ hình 5.3 ta còn thấy: bộ lọc phối hợp sẽ làm suy giảm các thành phần phổ tín

hiệu và tạp âm ứng với những phần có cường độ nhỏ của phổ tín hiệu. Ở những khoảng tần số mà

cường độ các thành phần phổ của tín hiệu càng nhỏ thì sự suy giảm đó càng lớn.

0 N 2

n F

k 3

2π

v S

Hình 5.3

ω Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

173

5.3.3.2. Đặc tính pha tần.

Ta viết lại (5.20) như sau:

() ()

( )

()

() ω ϕ − ω − ω ϕ − ω = ω = ω j *

t j j *

iv i

e S k e e S k k 0 xi

(5.22)

trong đó ( ) ω ϕxi

là phổ pha của tín hiệu tới.

Còn () () [ ] 0 xi

t ω + ω ϕ = ω ϕ (5.23) là dịch pha gây bởi bộ lọc. Đó chính là đặc tính pha tần

của bộ lọc phối hợp. Ta thấy () [ ] 0 xi

t ω + ω ϕ là dịch pha toàn phần của tín hiệu tại thời điểm quan

sát

0 t . Như vậy tại thời điểm

0 t t = dịch pha toàn phần của bộ lọc vừa vặn khử được dịch pha

toàn phần của tín hiệu truyền tới qua bộ lọc, điều đó làm cho mọi thành phần dao động điều hòa

của tín hiệu tới đồng pha với nhau. Vì vậy các thành phần dao động điều hòa được cộng lại với

nhau và tín hiệu ra sẽ đạt được cực đại

0 t t = .

Ngoài ra từ (5.20) ta thấy bộ lọc phối hợp có tính chất bất biến đối với biên độ vị thời gian

và pha đầu của tín hiệu. Bởi vì các tín hiệu khác với ( ) t xi

về biên độ và pha ban đầu

() 1 1 1 , t , ψ μ thì mật độ phổ của tín hiệu này chỉ khác nhau với mật độ phổ của () t xi

một thừa

số () {} 1 1 1 t j exp ψ + ω − μ . Tính chất này của bộ lọc phối hợp rất quan trọng và đặc biệt là đối

với thực tế. Thực vậy, thông thường biên độ, sự giữ chậm và pha ban đầu của tín hiệu thu ta

không biết. Như vậy đáng lẽ phải xây dựng một số lớn các bộ lọc mà mỗi bộ lọc chỉ làm tối ưu

cho một tín hiệu có giá trị biên độ, sự giữ chậm và pha ban đầu cụ thể thì ta chỉ cần một bộ lọc

phối hợp tuyến tính thụ động, bộ lọc này sẽ là tối ưu cho mọi tín hiệu cùng dạng. Trong rađar

thông thường các tham số như biên độ và pha ban đầu nhận các giá trị ngẫu nhiên và không may

thông tin có ích (có nghĩa là các tham số ký sinh). Từ kết luận trên ta thấy rằng sự tồn tại của các

tham số ngẫu nhiên này không làm biến đổi cấu trúc của bộ lọc tối ưu.

5.3.4. Phản ứng xung () t gi

của mạch lọc phối hợp

Ta biết rằng phản ứng xung và hàm truyền liên hệ với nhau theo cặp biến đổi Fourier:

() () ∫

∞

∞ −

ω ω ω

= d e K

t g t j

i i

Thay (5.20) vào:

() () ∫

∞

∞ −

ω ω − ω ω

= ⇒ d e e S

t g t j t j *

iv i

() ()

()

∫

∞

∞ −

− ω − ω ω

= ⇒ d e S

t g t t j *

iv i

Ta có: () ( ) ω − = ω i

iv S S Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

174

() ()

()( )

∫

∞

∞ −

− ω − ω ω −

= ⇒ d e S

t g t t j

iv i

Đặt

() ()

()

() ∫

∞

∞ −

− ω ω − ω

= ⇒ ω = ω ' d e ' S

t g '

t t ' j

iv i

( )() t t kC t g 0 iv i

− − = ⇒

Vì k là hằng số tùy ý nên ta có thể lấy:

() ( ) t t kC t g 0 iv i

− = (5.23)

Đồ thị () t gi

vẽ trên hình 5.4.

Từ hình 5.4 ta thấy rằng để thỏa mãn điều kiện thể

hiện được bộ lọc:

() 0 t gi

= khi 0 t

5.3.5. Hưởng ứng ra của mạch lọc phối hợp

Theo tích phân Duhamen:

() ( ) ( ) ∫ − =

v ra dx x t g x U t U

Thay (5.23) vào ta có:

() ( ) ( ) ∫ + − =

0 iv v ra dx x t t C x U k t U

( ) ( ) ( ) () () ∫ ∫ = = ⇒ =

iv v

iv v 0 ra 0 dt t C t U k dx x C x U k t U t t

Nếu lấy

0 t t = và

k = thì ta có:

() () () ∫ =

iv v ra dt t C t U

T U

() () u Z T U i ra = ⇒ (5.24)

Như vậy ta có thể dùng mạch lọc phối hợp để tạo ra tích vô hướng. Sơ đồ giải tối ưu nhờ đó

sẽ đơn giản hơn rất nhiều.

T t0

( ) t Civ −

( ) t t C 0 iv −

() t Civ

T t0

( ) t t C 0 iv −

Hình 5.4 Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

175

5.4. LÝ LUẬN CHUNG VỀ THU KẾT HỢP CÁC TÍN HIỆU NHỊ PHÂN

5.4.1. Lập sơ đồ giải tối ưu một tuyến

5.4.1.1. Lập quy tắc giải.

Xét một nguồn tin nhị phân: " 1 " 1 ↔ α và " 0 " 2 ↔ α .

Khi đó tín hiệu sẽ có hai thể hiện ( ) t S1 và ( ) t S2

Ta giới hạn chỉ xét nhiễu cộng và là tạp âm trắng, chuẩn dừng.

Tín hiệu ở đầu vào máy thu: ( ) ( ) ( ) 2 , 1 i , t n t C t u i

= + =

Ứng với quy tắc giải theo Kachennhicov ta sẽ nhận được lời giải đúng 1 α , nếu:

() () () ()

dt t C t u

1 2

1 − > − ∫ ∫ (*)

Để lập dược sơ đồ một tuyến ta đưa (*) về dạng sau:

() () () [] () 2 1

2 1 P P

dt t C t C t u

− > − ∫ (5.25)

() 2 1 P P

− được gọi là ngưỡng làm việc

5.4.1.2. Sơ đồ giải tối ưu một tuyến. (hình 5.5)

Nếu () vng 1 2

UPP

>− thì

ra ng U0 ≠ , khi đó ta xem rằng có lời giải

1 β về

1 α .

Nếu () vng 1 2

UPP

ra ng U0 = , khi đó ta xem rằng có lời giải

2 β về

2 α .

Chú ý:

- Nếu

12 PP ≠ mà μ (hàm truyền đạt của đường truyền) thay đổi thì ta phải có thiết bị tự

động điều chỉnh ngưỡng. Nếu không thì xác suất giải sai sẽ tăng lên.

0 t t =

ng ra U ng v U

Hình 5.5

So sánh

với ngưỡng

() t C1 () t C2

∫

1Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

176

- Nếu

12 PP = thì ta không cần phải có thiết bị so sánh tự động điều chỉnh ngưỡng. Khi đó

ta sẽ dùng bộ phân biệt cực. Ta quy ước rằng:

ra ng U0 > thì có lời giải

11 β ↔α

ra ng U0

22 β ↔α

Nếu gọi ( ) ( ) ( ) 12 Ct Ct Ct Δ =− là tín hiệu số thì khi dùng bộ lọc phối hợp với tín hiệu

( ) Ct Δ thiết bị sẽ đơn giản đi rất nhiều (hình 5.6.)

5.4.2. Xác suất sai khi thu kết hợp tín hiệu nhị phân

5.4.2.1. Đặt bài toán

Cho kênh nhị phân, đối xứng, không nhớ có nhiễu cộng, trắng, chuẩn theo mô hình sau:

Hãy tìm công thức biểu diễn xác suất sai toàn phần (xác suất sai không điều kiện) của kênh

này khi sơ đồ giải tín hiệu là tối ưu theo Kopennhicop.

5.4.2.2. Giải bài toán

Theo công thức xác suất đầy đủ:

( ) ( ) ( ) ( ) s121 212 p p .p / p .p / =α βα+α βα

Để tìm xác suất sai của hệ

s p , ta phải tìm xác suất sai của mỗi dấu ( ) 21 p / βα và

( ) 12 p/ βα .

Tìm ( ) 21 p/ βα :

0 t t =

Hình 5.6.

Thiết bị

ngưỡng

Bộ lọc phối hợp

với ( ) Ct Δ

u(t)

1 β

2 β 2 α

1 α

( ) 11 p / β α

( ) 22 p/ β α

( ) 12 p/ βα

( ) 21 pb /α

() 1

α=

() 2

α= Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

177

- Theo quy tắc giải (5.25), ( ) 21 p/ β α chính là xác suất để không thoả mãn (5.25), tức là:

() () () () ()

21 1 2 1 2

p/ p UtCtCtdt PP

⎧⎫ ⎪⎪

⎡⎤ βα= −

⎪⎪ ⎩⎭

∫ (5.26)

Trong đó: ( ) ( ) ( ) 1 Ut C t nt =+ (*)

()

PCtdt

= ∫ (**)

Thay (*) và (**) vào (5.26), sau một vài biến đổi đơn giản, ta có:

() () () () () () ()

() ()

TT T

21 1 1 2 1 2

00 0

11 1

p / p Ctdt Ct.Ctdt ntCt Ctdt

TT T

Ctdt Ctdt

2T 2T

⎧ ⎪

⎡⎤ βα= − + − ⎨ ⎣⎦

⎪ ⎩

⎫ ⎪

⎪ ⎭

∫∫ ∫

∫∫

() () () ()

p/ p nt.Ctdt Ctdt

T2T ΔΔ

⎧⎫ ⎪⎪

⇒βα=

⎪⎪ ⎩⎭

∫∫ (5.27)

Trong đó: ( )() ( ) 12 Ct Ct Ct Δ =− .

()

PCtdt

T ΔΔ = ∫ là công suất trung bình của tín hiệu hiệu số.

() ()

nt.C tdt

T Δ ξ= ∫ là một đại lượng ngẫu nhiên, vì n(t) là một quá trình ngẫu nhiên

và tích phân là một phép biến đổi tuyến tính.

() 21

p/ p P

⎧ ⎫

⇒βα= ξ

⎩⎭

(5.28)

Theo định nghĩa xác suất:

()

pP Wd

Δ −

−∞

⎧⎫

⎩⎭

∫ (5.29) Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

178

Để tìm ( ) W ξ , ta thấy rằng phép biến đổi tuyến tính của một quá trình chuẩn cũng là một

quá trình chuẩn. Vì n(t) chuẩn nên ξ cũng chuẩn. Do đó ( ) ( ) WWn ξ= .

()

2 2

a 1

Wexp

2 2

ξ ξ

⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ξ− ⎪ ⎪ ⎣ ⎦

⇒ξ= − ⎨ ⎬

σ πσ ⎪ ⎪

⎩⎭

(5.30)

Trong đó: () () () {} ()

aM ntCtdt MntCtdt

TT ξΔ Δ

⎧⎫ ⎪⎪

== ⎨⎬

⎪⎪ ⎩⎭

∫∫

Vì M{n(t)} = 0 nên a0 ξ = .

Xác định phương sai:

ξ σ :

[] () () () ()

() () () ()

() ()()()

111 2

11 1 2

DDntCtdt MntCtdt

T T

MntCtdt.ntCtdt

M C tC tntntdtdt

ξΔ Δ

ΔΔ

⎧ ⎫ ⎧⎫⎡⎤ ⎪⎪⎪ ⎪

σ= ξ= = ⎢ ⎥ ⎨⎬⎨ ⎬

⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎭⎣⎦ ⎩⎭

⎧⎫ ⎪⎪

= ⎨⎬

⎪⎪ ⎩⎭

⎧⎫ ⎪⎪

= ⎨⎬

⎪⎪ ⎩⎭

∫∫

() ( ) () ( ) {}

111 2

CtCtMntnt dtdt

ΔΔ = ∫∫ (a)

Theo giả thiết n(t) là tạp âm trắng, chuẩn, dừng, dùng biến đổi Wiener - Khinchin, ta tính

được hàm tự tương quan của nó:

() ( ) {} () () 1101 Mntnt Rt t N t t

= −=δ− (b)

Với ()

() 1 j tt

10 Rt t N.e

∞

ω−

−∞

−= ∫

Thế (b) vào (a), ta được:

() ( ) ( )

2 0

111 2

N CtCt ttdtdt

ξΔΔ σ= δ − ∫∫ (c) Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

179

Áp dụng tính chất sau của hàm δ:

()( ) ( )

00 0

f x x x dx f x khi a x b δ− =

ta có: ()( ) ()

111

Ct ttdt Ct ΔΔ δ− = ∫ (d)

Thay (d) vào (c), ta được:

() ( ) ( ) ()

TT T

22 00

111 22

00 0

NN CtdtCt ttdt Ctdt

ξΔΔ Δ σ= δ − = ∫∫ ∫

2 0 NP

ξ ⇒σ = (5.31)

Thay (5.31) vào (5.30):

()

0 0

Wexp

NP NP 2 2

T T

Δ Δ

⎧ ⎫

⎪ ⎪ ξ

ξ= − ⎨ ⎬

⎪ ⎪ π ⎩⎭

(5.32)

Khi đó xác suất sai khi truyền dẫn

1 α sẽ bằng:

() ()

2 2

0 0

p/ p P Wd

exp d

NP NP 2 2

T T

−

−∞

−

Δ Δ −∞

⎧⎫

βα= ξ

⎩⎭

⎧⎫

⎪⎪ ξ

=−ξ= ⎨⎬

⎪⎪ π ⎩⎭

∫

Đổi biến: Đặt

0 NP

ξ η=

()

4N 2

PT 1

p/ exp d

22G 2

Δ −

−∞

⎧⎫ ⎛⎞ η ⎪⎪

⇒βα= − η=φ− ⎜⎟ ⎨⎬ ⎜⎟ π ⎪⎪ ⎝⎠ ⎩⎭

∫ (*) Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

180

Trong đó

00 G2N = là phổ công

suất thực tế.

() φ gọi là hàm xác suất sai (còn ký

hiệu là erf).

Trong giáo trình Lý thuyết xác suất, ta

có: () () x1 x φ− = −φ . Nên ta có:

() 21

p/ 1

Δ ⎛⎞

βα=−φ⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠

(5.33)

Tương tự:

() 12

p/ 1

Δ ⎛⎞

βα =−φ⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠

(5.33')

Δ ⎛⎞

⇒=−φ⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠

(5.34)

Đồ thị biểu diễn (5.34) vẽ trên hình 5.8.

Thông thường T là xác định vì khi thiết kế hệ

thống truyền tin người ta thường cho trước tốc độ

truyền tin. Để giảm nhỏ

s p người ta giảm nhỏ

0 G bằng cách dùng các bộ khuếch đại tạp âm

nhỏ (khuếch đại tham số, khuếch đại lượng tử,...)

5.4.2.3. Tính xác suất sai trong một số trường

hợp cụ thể

a. Các tín hiệu đối cực:

( ) ( ) 12 ct ct =−

N 2

T P

→

1 0 1 2 3 4

0,5

0,2

0,1

0,05

0,02

10−2

10−3

10−4

10−5

10−6

Hình 5.8

a = 0

1 η σ=

Δ −

Hình 5.7. Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

181

() () ( ) ( ) 12 1 CCtCt Ct2Ct ΔΔ =−⇒=

12c P4P4P4P Δ ⇒= = =

= là công suất trung bình của tín hiệu tới ( ) i

Ct .

() c

4P T

p1 p1 2h

⎛⎞

=−φ ⇒ =−φ ⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠

(5.35)

Trong đó

c PT là năng lượng của tín hiệu.

PT h

G = (chính là tỷ số tín/tạp)

b. Các tín hiệu trực giao (theo nghĩa hẹp)

Định nghĩa: Hai tín hiệu được gọi là trực giao theo nghĩa hẹp, nếu:

() ()

CtCtdt0 = ∫

Khi đó:

( ) t C2

0 t

( ) t C1

0 t

( ) t C2

0 t

( ) t C1

0 t T

0 t

( ) t C1

0 t

( ) t C2 () t C2

0 t

() t C1

0 t Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

182

() () ()

TTT

222

000

P C tdt C tdt C tdt ΔΔ ==+ ∫∫∫

12 c PPP2P Δ =+=

2P T

⎛⎞

⇒=−φ⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠

() s p1 h =−φ (5.36)

c. Một trong hai tín hiệu triệt ( ( ) 2 Ct 0 = )

Hệ này chính là hệ truyền tin nhị phân có khoảng nghỉ thụ động.

( ) ( ) 11c Ct Ct P P2P ΔΔ =⇒==

() s p 1h ⇒=−φ (5.37)

d. Các tín hiệu như nhau ( ( ) ( ) 12 Ct Ct = )

() ( ) ssmax

Ct 0 P 0,0 p p

ΔΔ =⇒ =φ =⇒ = =

Như vậy, việc lập lại các tin bị sai hoàn toàn: kênh liên lạc bị đứt. Mô hình kênh trong

trường hợp này như sau:

Chú ý:

Ở đây ta coi

= .

5.5. XỬ LÝ TỐI ƯU CÁC TÍN HIỆU CÓ THAM SỐ NGẪU NHIÊN - THU KHÔNG

KẾT HỢP

5.5.1. Các tham số của tín hiệu là các tham số ngẫu nhiên

Do chịu tác động của nhiều yếu tố ngẫu nhiên như nhiệt độ, độ ẩm, áp suất, điện áp nguồn...

nên:

1 β

2 β

2 α

1 α

0,5

0,5 Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

183

- Trạng thái của các khâu của mạch truyền tin luôn thay đổi.

- Các tham số vật lý của kênh luôn thay đổi ( ) , ,... μ τ

- Vì vậy các tham số của tín hiệu phải là các tham số thay đổi ngẫu nhiên.

5.5.2. Xử lý tối ưu các tín hiệu có tham số ngẫu nhiên biến thiên chậm

Ta gọi một tham số ngẫu nhiên ξ là biến thiên chậm nếu trong khoảng quan sát T, các biến

thiên của nó chưa kịp bộc lộ rõ ràng, tức là: d/dt 0 ξ ≈ .

Ta sẽ xét một số trường hợp cụ thể sau:

a. Nếu các tham số ngẫu nhiên biến thiên chậm có các giá trị biết trước thì ta sẽ căn cứ vào

tín hiệu nguyên tố vứa nhận được để thông báo những hiểu biết về giá trị của các tham số của tín

hiệu nguyên tố sẽ thu tiếp sau. Thực chất bài toán này đã xét ở trên (thu kết hợp).

b. Nếu giá trị của các tham số ngẫu nhiên biến thiên chậm không biết trước (thu không kết

hợp) thì sơ đồ giải tối ưu phải có những thay đổi cơ bản. Sau đây ta sẽ xét trường hợp này.

5.5.3. Xác suất hậu nghiệm của tín hiệu có các tham số thay đổi ngẫu nhiên

Để đơn giản, ta chỉ giả sử một trong những tham số

γ của tín hiệu () K12 C , ,..., t γγ là

ngẫu nhiên. Ở đầu thu tất cả các số còn lại đều đã biết chính xác. Giả sử tham số ngẫu nhiên này

là

1 γ . Khi đó tín hiệu thứ K có tham số

1 γ không biết sẽ ký hiệu là ( ) 1 K,

Ct γ . Trong trường

hợp tổng quát, luật phân bố của

1 γ có thể phụ thuộc vào chỉ số k. Vì vậy tính chất thống kê của

tham số này được xác định bởi phân bố đồng thời sau:

()() ( ) K1 K 1 K WC, pC W /C γ= γ (5.38)

Trong đó: ( ) 1K W/C γ là mật độ xác suất của tham số

1 γ khi đã biết giá trị

K C . Nếu

giá trị của

1 k γ∉ (điều này thường xảy ra trong thực tế) thì:

( ) ( ) ( ) K1 K 1 WC, pC W γ= γ (5.39)

Cũng như trong trường hợp tín hiệu đã biết hoàn toàn chính xác, ta có thể tìm xác suất hậu

nghiệm của ( ) 1 K,

Ct γ theo công thức:

() ( ) ( ) K1 K1 K1 WC, /u bWC, Wu/C, γ= γ γ (5.40) (Công thức Bayes)

Trong đó b = const ( ) k ∉ .

() K1 Wu/C, γ là mật độ xác suất của dao động nhận được nếu đã truyền tín hiệu

( ) 1 K,

Ct γ : Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

184

u(t) = ( ) 1 K,

Ct γ + n(t)

Ta thấy hàm ( ) K1 WC, /u γ không chỉ chứa thông tin về tín hiệu phát

K C mà còn chứa

cả thông tin về

1 γ , đó là những thông tin thừa. Ta có thể bỏ những thông tin thừa này bằng cách

lấy trung bình () K1 WC, /u γ theo mọi giá trị có thể có của

1 γ . Khi đó ta có:

() ( ) ( ) ( ) ( ) 1 KK11K1KK,1 pC /u WC, /ud b.pC W /C Wu/C d γ =γγ= γ γ ∫∫

(5.41)

Sau đó trên cơ sở phân tích xác suất hậu nghiệm ( ) K pC /u , ta sẽ tìm được lời giải về tín

hiệu đã phát:

()() Ki

pC /u pC/u i k >∀≠ (5.42)

Nếu tín hiệu có một số tham số ngẫu nhiên

12 ,,... γγ thì ta cần phải tìm

( ) 12 K, , ,...

Wu/C γγ và sau đó lấy trung bình theo mọi giá trị có thể có của các tham số

12 , ,... γγ . Chú ý rằng tính chất thống kê của các tham số

12 ,,... γγ được xác định bằng hàm:

()() ( ) K12 K 12 K W C , , ,... p C .W , ,... /C γγ = γγ

Ta có:

() ( ) ( ) ( ) 12 K K 1 2 K K, , ,... 1 2 p C / u b'.p C ... W , ,... /C .W u /C d d ...

γγ =γγ γγ ∫∫ ∫

(5.43)

( ) K pC là xác suất tiên nghiệm của tín hiệu phát

K C .

5.5.4. Xử lý tối ưu các tín hiệu có pha ngẫu nhiên

Để các định cấu trúc của máy thu tối ưu, ta sẽ phân tích (5.41) có kể đến quy tắc giải (5.42).

Giả sử rằng các tín hiệu phát có thời hạn T và pha đầu ϕ thay đổi ngẫu nhiên:

( ) ( ) ( )

() () () ()

ϕ ⎡⎤ =θ−ϕ ⎣⎦

=θϕ+θϕ

K, K K

KK KK

CtAtcos t

A t cos t cos A t sin t sin

() () KK Ctcos Ctsin

∧

=ϕ+ϕ (5.44)

Trong đó ( ) ( ) ( ) KK K Ct Atcos t =θ , () K Ct

∧

là biến đổi Hilbert của ( ) K Ct . Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

185

()

( ) K

C 1

Ct d

∞ ∧

−∞

=τ

π−τ ∫ .

() K At và ( ) K t θ là bao và pha tức thời của tín hiệu ( ) K Ct . Giả sử ϕ là tham số ngẫu

nhiên k ∉ và có phân bố đều:

()

0,2

2 W

00,2

⎧

ϕ∈π ⎪

π ϕ= ⎨

⎪ ϕ∉π ⎩

Giả thiết trên có nghĩa là pha ϕ trong khoảng (0,T) được giữ không đổi và thay đổi ngẫu

nhiên một cách độ lập khi chuyển từ khoảng quan sát này sang khoảng quan sát khác.

Trước tiên ta sẽ xác định ( ) ( ) ( ) ( ) K, K,

Wu/C Wn't ut C t ϕϕ ⎡ ⎤ ==− ⎣ ⎦

Ở phần 5.2 ta đã có:

()

() j

n 2

n1 n j K, 2F T 2

W n ,...,n / 0 exp U C

2 2

⎧ ⎫ ⎪ ⎪

=−− ⎨ ⎬

σ ⎪ ⎪ σπ ⎩⎭

∑

Trong đó:

c n2FT = .

Để tìm ( ) K,

Wu/C ϕ ta cho

c F →∞

( ) ( )

()

K, n 1 n

n 2

jKj n2 F j1 c

W u /C lim W n ,...,n / 0

lim exp U C t

22F 2

→∞

→∞ =

⎧ ⎫ ⎪ ⎪

=−−Δ ⎨ ⎬

σ ⎪ ⎪ σπ ⎩⎭

∑

Trong đó

t;G

2F F

Δ= = . Khi

c F →∞ thì t0 Δ → .

()

() ()

K, K, n

0 0

Wu/C exp Ut C t dt

G 2

ϕϕ

⎧ ⎫ ⎪ ⎪

⎡⎤ ⇒= −− ⎨ ⎬ ⎣⎦

⎪ ⎪ σπ ⎩⎭

∫

() () () ()

E T

K, 1 K K

0 0

Wu/C b.e .exp Ut C tcos C tsin

− ∧

⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪

= ϕ+ ϕ ⎨ ⎬ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎩⎭

∫ (5.45) Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

186

()

KK,

ECtdt ϕ = ∫

Nhân tử

1 b chứa tất cả những đại lượng k ∉ .

Biến đổi tích phân ở mũ của nhân tử hàm mũ, ta có:

( ) () () () ()

qk, cos UtC tdt sin UtC tdt

U cos V sin

∧

ϕ= ϕ + ϕ =

=ϕ+ϕ

∫∫

Ký hiệu ()

KKKK KK M U V , arctg V /U =+ ϕ= (5.46)

Ta có thể viết: ( ) ( ) KK qk, M cos ϕ= ϕ −ϕ (5.47)

Theo (5.41) ta tìm được:

()

() () KK

K0 0

2 2 Mcos

EG G K

pC /u b. .e e d

π ϕ−ϕ

−

=ϕ=

π ∫

() K0 EG K

2K 0

2M b.pC e I

− ⎛⎞

= ⎜⎟

⎝⎠

(5.48)

Trong đó ( ) 0 Ix là hàm Bessel biến dạng cấp 0, là một hàm đơn điệu tăng của x.

Để thuận tiện, chúng ta sẽ không so sánh các ( ) K p C/u mà sẽ so sánh logarit tự nhiên

của chúng. Lấy ln (5.48) và áp dụng quy tắc giải, chúng ta sẽ nhận được quy tắc giải sau:

Tín hiệu ( ) K Ct đã được phát đi, nếu:

() () KK i i

K0 i0

00 00

E2M E2M ln p C ln I lnp C ln I i k

GG GG

⎛⎞ ⎛⎞

−+ > −+ ∀≠ ⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

(5.49)

Như vậy quy tắc giải không chỉ phụ thuộc vào mức nhiễu mà còn phụ thuộc vào các tính

chất của các tín hiệu. Thông thường, trong các hệ thống thực tế có khoảng nghỉ chủ động tất cả

các tín hiệu phát có năng lượng như nhau. Giả sử các tín hiệu là đồng xác suất, khi đó quy tắc giải

của máy thu tối ưu có thể viết dưới dạng sau:

MM ik >∀≠ (5.49') Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

187

Rõ ràng là độ tin cậy của việc truyền càng cao nếu trong điều kiện không có nhiễu

M và

K M càng khác nhau. Theo (5.46), giá trị

M sẽ đạt cực tiểu bằng 0 nếu:

() () () ()

Ki Ki

CtCtdt0;CtCtdt0

∧

= = ∫∫ (5.50)

Các tín hiệu thoả mãn (5.50) sẽ được gọi là các tín hiệu trực giao theo nghĩa chặt. Các tín

hiệu , các tín hiệu không giao nhau về thời gian,... là các tín hiệu trực giao theo nghĩa chặt.

Như vậy, khi pha bất định, các tín hiệu trực giao theo nghĩa chặt sẽ là các tín hiệu tối ưu.

Để đơn giản, ta sẽ vẽ sơ đồ giải theo (5.49').

5.5.5. So sánh thu kết hợp với thu không kết hợp

Để cụ thể, ta xét vấn đề này trong các hệ thông tin dùng tín hiệu hai phân, trực giao (chặt),

có nghỉ chủ động. Với giá trị đã cho của

c0 hE/G = , xác suất sai khi thu không kết hợp sẽ

được tính theo công thức sau:

m M

2 M

1 M

() ()

∫

∧

1 1 dt t c t u V

() ()

∫

1 1 dt t c t u U

() 1 ct

∫

Quay pha 900

Tách

sóng

đường

bao

() ut

xung đồng bộ

0 tT =

Hình 5.9

∫

Máy phát

các dao

động phụ

Thiết

bị

sánh

t sin Ω

t cos ΩChương 5: Lý thuyết thu tối ưu

188

pexp

⎧⎫ ⎪⎪

=− ⎨⎬

⎪⎪ ⎩⎭

(5.51)

Ta thấy:

()

skkh skh

pexp p1h

⎧⎫ ⎪⎪

=−>=−φ ⎨⎬

⎪⎪ ⎩⎭

Ví dụ1:

Khi h = 3:

skh p 1,15.10−

≈ ;

skkh p 5,55.10−

≈ . Do đó khi chuyển từ thu kết hợp

sang thu không kết hợp,

s p tăng # 5 lần (h=3).

Thông thường khi thiết kế hệ thống truyền tin người ta ấn định trước

s p rồi tìm h để đảm

bảo

s p đó.

Ví dụ 2:

Nếu

s p 10−

= :

kh h3,73 = ;

kkh h4,12 = . Vì

c h~P nên khi chuyển từ thu kết hợp

sang thu không kết hợp công suất của tín hiệu phải tăng một lượng là

4,12

1, 21

3, 73

⎛⎞

≈ ⎜⎟

⎝⎠

lần.

Vậy để giữ nguyên xác suất sai

s p10−

= khi thu không kết hợp, phải tăng 21% công suất

so với thu kết hợp. Người ta vẫn dùng cách thu không kết hợp vì thu kết hợp đòi thiết bị phức tạp

và thực hiện kỹ thuật cũng phức tạp. Do đó về mặt kinh tế, xét đến cùng thu không kết hợp vẫn

tiết kiệm hơn.

5.5.6. Chú thích

Ta không xét xử lý tối ưu các tín hiệu có biên độ và tần số biến đổi ngẫu nhiên vì nếu dùng

tín hiệu giải hẹp thì bao và tần số của nó có thể xem như đã biết trước chính xác.

Đối với các tín hiệu giải rộng thì vấn đề phải xét đầy đủ hơn, khi đó ta phải xét việc xử lý

tối ưu các tín hiệu có biên độ và tần số thay đổi ngẫu nhiên.

5.6. MÃ KHỐI KHÔNG GIAN , THỜI GIAN (STBC).

5.6.1. Kỹ thuật thu phân tập.

Tín hiệu nhận được ở máy thu:

11 1

22 2

11 2 2

yhxn

hhe h he

θ θ

Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

189

Giả sử ta có thông tin đầy đủ về kênh (qua bộ đánh giá kênh). Khi đó ta có thể loại bỏ tác

động của kênh tạo ra tín hiệu kết hợp ở đầu vào bộ tách hợp lý cực đại như sau:

11 2 2 xhy hy =+

( )

111 11 2 2 2 2 2

12 1122

xhhy hn hhy hn

hhxhnhn

=++ +

=+ ++

Dựa trên khoảng cách Euclide giữa x và tất cả các tín hiệu phát có thể có, bộ tách hợp lý

cực đại sẽ cho ra quyết định hợp lý nhất về tín hiệu đã phát. Quy tắc quyết định đơn giản ở đây là

chọn tín hiệu

1 x và chỉ nếu :

( ) ( ) ij

dx,x dx,x i j ≤∀≠ (5.52)

Ở đây d(A, B) là khoảng cách Euclide giữa các tín hiệu A và B

Từ (5.52) ta thấy rằng tín hiệu đã phát chính là tín hiệu có khoảng cách Euclide cực tiểu đối

với tín hiệu kết hợp x

1 h

11 1 yhxn =+

2 n 1 n

1 h

2 h

22 2 yhxn = +

Bộ đánh

giá kênh

Bộ đánh

giá kênh

Bộ tách hợp lý cực đại

Hình 5.10: Kỹ thuật thu phân tập dùng hai máy thu Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

190

5.6.2. Mã khối không gian - thời gian dựa trên hai máy phát

2 G

Đây chính là sơ đồ STBC đơn giản nhất do Alamouti đề xuất (5.52) sử dụng hai máy phát.

Ma trận phát được xác định như sau:

⎛⎞

= ⎜⎟

− ⎝⎠

(5.53)

Việc mã hóa kết hợp và quá trình phát được nêu trong bảng sau:

Anten

Khe thời gian T

1 Tx

2 Tx

1 x

2 x

2 x −

1 x

Ở mỗi khe thời gian có hai tín hiệu thu đồng thời phát từ hai anten.

Ví dụ: Ở khe thời gian thứ nhất ( ) T1 = , tín hiệu

1 x được phát từ anten

1 Tx , đồng thời

anten

2 Tx cũng phát tín hiệu

2 x , các tín hiệu

2 x − và

1 x được đồng thời phát từ các anten

1 Tx và

2 Tx (ở đây

1 x và

2 x là các tín hiệu liên hợp của các tín hiệu

1 x và

2 x )

5.6.2.1. STBC

2 G dùng một máy thu

Giả sử ta có:

( ) ( )

()( )

11 1

22 2

hhT1hT2

====

Các mẫu tạp âm độc lập cộng vào ở máy thu ở mỗi khe thời gian và bởi vậy tín hiệu nhận

được có thể biểu diễn như sau:

111221 yhxhx n =+ + (5.54)

212212 yhxhxn =− + + (5.55)

1 y sẽ nhận được trước tiên, sau đó là

2 y

x −

1 h

2 hChương 5: Lý thuyết thu tối ưu

191

Tín hiệu

1 y chứa các tín hiệu được phát

1 x và

2 x , còn tín hiệu

2 y chứa các thành phần

liên hợp của chúng. Để xác định các dấu đã phát ta phải tách các tín hiệu

1 x và

2 x từ các tín

hiệu nhận được

1 y và

2 y . Bởi vậy cả hai tín hiệu

1 y và

2 y phải được đưa qua bộ kết hợp. Bộ

kết hợp thực hiện xử lý để tách các tín hiệu

1 x và

2 x .

Đặc biệt, để tách

1 x ta kết hợp

1 y và

2 y như sau:

( )

11122

111 12 2 11 21 2 2 21 2 2

1211122

xhyhy

hhx hhx hn hhx hhx hn

hhxhnhn

=+ +− + +

=+ ++

(5.56)

Tương tự, đối với tín hiệu

2 x ta thực hiện như sau:

( )

22112

211 22 2 21 112 121 12

1212112

xhyhy

hhx hhx hn hhx hhx hn

hhxhnhn

=+ ++−−

=+ +−

(5.57)

Từ (5.56) và (5.57) ta có thể thấy rằng ta đã tách được các tín hiệu

1 x và

2 x bằng các

phép cộng và nhân đơn giản. Từ tính trực giao có trong (5.53) ta thấy tín hiệu không mong muốn

2 x được loại bỏ khỏi (5.56) và ngược lại tín hiệu không mong muốn

1 x được loại bỏ khỏi

(5.57). Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

192

5.6.2.2. STBC

2 G dùng hai máy thu

Ở máy thu thứ nhất

1 Rx ta có:

11 11 1 12 2 11 yhxhxn =++ (5.58)

12 11 2 12 1 12 yhxhxn =− + + (5.59)

Ở máy thu thứ hai

2 Rx ta có:

21 21 1 22 2 21 yhxhxn =++ (5.60)

22 21 2 22 1 22 yhxhxn =− + + (5.61)

Tổng quát ta có thể dùng q máy thu, khi đó tín hiệu nhận được ở máy thu thứ i có dạng:

i1 i1 1 i2 2 i1

i2 i1 2 i2 1 i2

yhxhxn

=+ +

=− + +

i1,q =

1 Tx

2 Tx

11 h

22 h

x −

21 h

12 h

Bộ kết hợp Bộ đánh

giá kênh

Bộ tách hợp lý cực đại

Hình 5.12: STBC

2 G dùng hai máy thu

1 Rx

2 Rx

Bộ đánh

giá kênh Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

193

Các tín hiệu nhận được sẽ kết hợp để tách các tín hiệu đã phát

1 x và

2 x từ các tín hiệu thu

được

11 12 21 22 y,y,y,y như sau:

111111212 21212222 xhy hy hy hy =++ + (5.62)

21211111223212122 xhy hy hy hy =−+− (5.63)

Tiếp tục biến đổi ta có:

( )

2222

111 12 21 221

11 11 12 12 21 21 22 22

xh h h h x

hn h n hn h n

= +++ +

++ + +

(5.64)

( )

2222

211 12 21 222

12 11 11 12 22 21 21 22

xh h h hx

hn hn hn hn

= +++ +

+− + −

(5.65)

Mở rộng cho q máy thu ta có:

( )

1 i1 i2 1 i1 i1 i2 i2

xhhxhnhn

⎡⎤ =+++ ⎢⎥ ⎣⎦

∑ (5.66)

( )

2 i1 i2 2 i2 i1 i1 i2

xhhxhnhn

⎡⎤ =++− ⎢⎥ ⎣⎦

∑ (5.67)

Nhận xét: Trong (5.66) tín hiệu

1 x được nhân với một thành phần có liên quan đến biên độ

phađinh là

i1 i2 hh + . Để thu nhận tín hiệu

1 x với độ tin cậy cao các biên độ của đáp ứng

xung của kênh

h phải lớn. Trong (5.66) ta có thể thấy rằng có hai thành phần biên độ phađing

tức là có hai đường độc lập để phát cho dấu

1 x . Bởi vậy nếu một đường bị suy giảm thì đường

còn lại vẫn có thể cung cấp được

1 x với độ tin cậy cao.

BÀI TẬP

5.1. Tại lối ra của bộ khuếch đại trung gian của một máy thu các tín hiệu mang điều biên có thể

hiện:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 2 xt .S t 1 .S t t =λ +ϕ + −λ +ϕ +ξ

Trong đó ( ) t ξ là tạp âm chuẩn, dạng: ( ) ( ) ( ) 00 tXtcostYtsint ξ =ω+ω , có kỳ

vọng bằng không và hàm tương quan bằng: ( ) ( )

0 B.cos ξξ τ =σ ρ τ ωτ .

Còn ( ) ii

St,ϕ là tín hiệu maníp điều biên: Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

194

( ) ( )

()

11 m 0 1

St, Ucos t

0tT

St, 0

⎫ ϕ= ω+ϕ ⎪

≤ ≤ ⎬

ϕ= ⎪ ⎭

Pha đầu

1 ϕ là một đại lượng ngẫu nhiên, phân bố đều trong khoảng [ ] , − ππ . Tham sốλ

cũng là đại lượng ngẫu nhiên trong khoảng [0,T], nó nhận các giá trị

1 1 λ=λ = hoặc

0 0 λ=λ = với các xác suất tiên nghiệm bằng:

() () ( ) () 11 0 2

ppSppS

λ= = λ= = . Biết rằng

1 1 λ =λ = khi giá trị đường bao ở

đầu ra bộ tách sóng tuyến tính vượt quá ngưỡng

0 H . Trong trường hợp ngược lại thì

0 0 λ=λ = . Tính:

a. Ngưỡng tối ưu

0 H để đảm bảo cực tiểu hoá xác suất sai tổng cộng.

b. Xác suất sai tổng cộng ứng với ngưỡng

0 H đó.

5.2. Tại đầu vào bộ lọc tuyến tính tác động tín hiệu:

x(t) = s(t) + n(t)

Trong đó n(t) là tạp âm trắng, chuẩn, dừng. Còn s(t) là xung thị tần độc lập với n(t) và có

dạng:

()

( ) At T

A.e t T st

0tT

− ⎧ ⎪ ≤ = ⎨

> ⎪ ⎩

Tìm hàm truyền của bộ lọc sao cho tỷ số tín trên tạp ở đầu ra của bộ lọc đạt cực đại. Tính

( ) ramax

a =

5.3. Xác định hàm truyền của bộ lọc FH với tín hiệu dạng:

()

St Aexp

⎧⎫ ⎛⎞ ⎪⎪

=− ⎨⎬ ⎜⎟

τ ⎝⎠ ⎪⎪ ⎩⎭

Trong đó

x τ là thời hạn của xung ở mức A/e.

5.4. Tìm sơ đồ khối của bộ lọc FH với xung thị tần chữ nhật dạng sau:

()

A0t

0t,t0

≤≤τ ⎧

= ⎨

∀ >τ

Tính tỷ số tín/ tạp ở đầu ra bộ lọc này. Chương 5: Lý thuyết thu tối ưu

195

5.5. Chứng minh rằng máy thu tối ưu đảm bảo khoảng cách từ vectơ tín hiệu nhận được tới vectơ

tín hiệu phát đạt cực tiểu chính là máy thu tối ưu đảm bảo xác suất sai bé nhất.

5.6. Ở đầu vào một mạch tích phân RC, tác động một tín hiệu dạng:

x(t) = s(t) + n(t)

Trong đó n(t) là tạp âm trắng, chuẩn, dừng có mật độ phổ:

( ) n0 Sf G/2 =

Còn s(t) là xung thị tần chữ nhật dạng:

()

U0t

0t0,t

≤≤τ ⎧

= ⎨

∀ τ ⎩

Ký hiệu

( ) ramax

a =

là tỷ số giữa giá trị cực đại của tín hiệu trên giá trị trung bình

bình phương của tạp âm ở đầu ra.

a. Tìm sự phụ thuộc giữa a với độ rộng xung

x τ và giải thông tạp âm của mạch

n f Δ .

b. Tìm sự phụ thuộc giữa

x τ và giải năng lượng tạp âm tối ưu của mạch để trị số a đạt max.

Phụ lục

196

PHỤ LỤC

BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOVSKI-SCHWAZT

Định lý: Nếu ( ) Fx và ( ) x ϕ là các hàm phức thỏa mãn điều kiện:

() ()

Fx dx x dx

∞∞

−∞ −∞

thì ta có:

()() () ()

Fx xdx Fxdx. xdx

∞∞∞

−∞ −∞ −∞

ϕ≤ ϕ ∫∫∫

Chứng minh:

Đặt ()

( )

()

xdx

∞

−∞

φ=

ϕ ∫

(a)

(Dấu * là ký hiệu liên hợp phức)

và ()()

xFxdx

∞

−∞

α= ϕ ∫ (b)

Ta có: () () () () () ()

2 ***

Fx x F x x Fx x 0 ⎡⎤ −αφ −α φ = −αφ ≥ ⎡⎤ ⎣⎦ ⎣⎦

(c)

Theo (a) ta có: ()

xdx1

∞

−∞

φ = ∫

Theo (b) ta có: () ()

xF xdx

∞

−∞

φ =α ∫

Khi đó ta có thể viết lại (c) như sau:

()

2 2 **

Fx dx 0

∞

−∞

+α −αα −αα≥ ∫ Phụ lục

197

Hay ()

2 2

Fx dx

∞

−∞

≥α ∫ (d)

Thay (a) và (b) vào (d) ta có:

()

()()

()

xFxdx

Fx dx

xdx

∞

−∞

∞

−∞

≥

∫

BIẾN ĐỔI HILBERT

Định lý:

Cho tín hiệu ( ) st và ( ) Sjω là biến đổi Fourier của nó. Khi đó tín hiệu () st

∧

có phổ:

() ()

jsign

2 Sj Sj e

π ∧ − ω

ω= ω

(tất cả các thành phần phổ () st

∧

đều dịch pha đi một lượng bằng

− ) có thể biểu diễn theo

() st thông qua biến đổi tích phân sau:

()

( ) s 1

st d

∞ ∧

−∞

=− τ

π−τ ∫

Chứng minh: Ta có:

() () ()

jsign

2 S j S j e S j cos sign jsin sign

π ∧ −ω ⎡ ππ⎤ ⎛⎞⎛⎞

ω= ω = ω ω− ω ⎜⎟⎜⎟ ⎢ ⎥

⎝⎠⎝⎠ ⎣ ⎦

Trong đó:

1khi 0

sign 0 0

ω > ⎧

⎪

ω= ω= ⎨

⎪−ω

1 khi 0

cos sign 0 0

ω > ⎧

π ⎪ ⎛⎞

ω =ω= ⎨ ⎜⎟

⎝⎠ ⎪− ω

Phụ lục

198

sin sign sign

π ⎛⎞

ω= ω ⎜⎟

⎝⎠

Theo biến đổi ngược Fourier ta có:

() () ()

jt jt 11

st Sj e d jsign Sj e d

∞ ∞ ∧∧

ωω

−∞ −∞

=ωω=− ωωω

ππ ∫∫ (a)

(Để ý rằng ()

jt 1

Sj cos sign e d 0

∞

−∞

π ⎛⎞

ωωω= ⎜⎟

π ⎝⎠

∫ )

Mặt khác ta có:

ecossin

ddd

esin sinx

d 2j d 2j sign dx

∞∞ ∞ −ωτ

−∞ −∞ −∞

∞∞ ∞ −ωτ

−∞ −∞

ωτ ωτ

τ= τ− τ

τττ

ωτ

⇒τ=− τ=−ω

ττ

∫∫ ∫

Vì

sin x

∞

−∞

= ∫ nên ta có:

∞ −ωτ

−∞

τ =− π

τ ∫ (b)

Thay (b) vào (a) ta được:

() ()

()

() ()

11e

st Sj e d d

Sj e d d

st s 11

∞∞ −ωτ ∧

−∞ −∞

∞∞

ω−τ

−∞ −∞

∞∞

−∞ −∞

⎡ ⎤

= ωτω ⎢ ⎥

ππτ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎡⎤

=ωωτ ⎢⎥

πτ ⎢⎥ ⎣⎦

−τ τ

=τ=τ

πτ π−τ

∫∫

ĐỊNH LÝ KACHENNHICOV

Định lý: Nếu phổ của hàm ( ) st không chứa các thành phần tần số lớn hơn

m F thì hàm

này hoàn toàn được xác định bởi các giá trị mẫu của nó lấy ở các thời điểm cách nhau một khoảng

Δ≤ Phụ lục

199

Chứng minh:

Ta sẽ chứng tỏ rằng có thể khôi phục lại được ( ) st từ:

( ) ( ) ( ) st st. t ΔΔ =δ (hình C.1.c) (a)

() ( )

ttnt

∞

=−∞

δ= δ−Δ ∑ (hình C.1.b) (b)

00mm

t;2F;2F

F2F

Δ= ≤ ω= π ω = π

( ) t Δ δ là một hàm tuần hoàn có chu kỳ t Δ , vì vậy ta có thể biểu diễn nó bằng chuỗi

Fourier sau:

() 0 jn t

tse

∞

=−∞

δ= ∑

trong đó () 0

jn t

stedt

−ω

−Δ

=δ

Δ ∫

Trong khoảng

ΔΔ ⎛⎞

− ⎜⎟

⎝⎠

hàm ( ) t Δ δ chính là hàm ( ) t δ

Do đó: () 0

jn t

stedt

−ω

−Δ

=δ

Δ ∫

Theo tính chất lọc của δ ta có

() 0 jn t

∞

=−∞

⇒δ =

Δ ∑

Ta thấy rằng dãy xung ( ) t Δ δ gồm các thành phần dao động điều hòa ở các tần số

00 0, , 2 , ω= ±ω ± ω ...

Do đó ta có thể biểu diễn được phổ của ( ) t Δ δ dưới dạng sau:

() () 0

∞

=−∞ δ

ω= δω−ω

Δ ∑ ∫

(Hình C.1.e) (c)

Theo tính chất của biến đổi Fourier phổ của ( ) st Δ được tính theo tích chập sau: Phụ lục

200

() () ( )

SSuudu

2 Δ

∞

−∞ δ

ω= ω−

π ∫∫

Trong đó: () S ω

là phổ của ( ) st

() () ()

() ()

SSu. nudu

Su. n u du

∞ ∞

=−∞ −∞

∞ ∞

=−∞−∞

⎡ ⎤ ω= δ ω−ω − ⎣ ⎦

πΔ

⎡⎤ =δω−ω− ⎣⎦

∑ ∫

Theo tính chất lọc của δ ta có:

() () 0

SSn

∞

=−∞

ω= ω−ω

Δ ∑

(Hình C.1.f) (d)

Hình C.1. Các đồ thị phổ và đồ thị thời gian:

Từ (d) và hình C.1 ta thấy rằng phổ của ( ) st Δ lặp lại một cách tuần hoàn dạng phổ của

( ) st . Dùng một bộ lọc có đặc tính tần số dạng chữ nhật lý tưởng (đường đứt nét trên hình C.1.f

ta có thể khôi phục lại được ( ) st )

ω=

( ) S Δ δ ω

t Δ

( ) t Δ δ

s(t)

ω=

( ) S ω

m −ω 0

m ω

( ) SΔ ω

(a)

() t Δ δ

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Hình C.1 Phụ lục

201

LUẬT PHÂN BỐ CHUẨN

Luật phân bố xác suất: ()

t x

2 1

xedt

−

−∞

φ=

π ∫

Mật độ phân bố xác suất: () ()

wx 'x exp

2 2

⎧ ⎫ ⎪ ⎪

=φ = − ⎨ ⎬

π ⎪ ⎪ ⎩⎭

x ( ) x φ ( ) wx x ( ) x φ () wx

0,0 0,500 0,399 1,8 0,964 0,078

0,1 0,539 0,397 1,9 0,971 0,065

0,2 0,579 0,301 2,0 0,977 0,054

0,3 0,618 0,381 2,1 0,982 0,044

0,4 0,655 0,368 2,2 0,986 0,035

0,5 0,691 0,352 2,3 0,989 0,028

0,6 0,725 0,333 2,4 0,992 0,022

0,7 0,758 0,312 2,5 0,993 0,017

0,8 0,788 0,289 2,6 0,995 0,013

0,9 0,815 0,266 2,7 0,996 0,010

1,0 0,841 0,241 2,8 0,997 0,008

1,1 0,864 0,217 2,9 0,998 0,005

1,2 0,884 0,194 3,0 0,998 0,004

1,3 0,903 0,171 3,1 0,999 0,003

1,4 0,919 0,149 3,2 0,999 0,002

1,5 0,933 0,129 3,3 0,999 0,001

1,6 0,945 0,110 3,4 0,999 0,001

1,7 0,955 0,094 3,5 0,999 0,001

( ) st ( ) st Δ

Bộ lọc lý tưởng Phụ lục

202

LOGARIT CƠ SỐ HAI CỦA CÁC SỐ NGUYÊN TỪ 1 ĐẾN 100

log x i

log x

0,000 4,700 5,672 6,248

1,000 4,755 5,700 6,267

1,585 4,807 5,728 6,285

2,000 4,858 5,755 6,304

2,322 4,907 5,781 6,322

2,585 4,954 5,807 6,340

2,807 5,000 5,833 6,357

3,000 5,044 5,858 6,375

3,169 5,087 5,883 6,392

3,322 5,129 5,907 6,409

3,459 5,170 5,931 6,426

3,585 5,209 5,954 6,443

3,700 5,248 5,977 6,456

3,807 5,285 6,000 6,479

3,907 5,322 6,022 6,492

4,000 5,357 6,044 6,508

4,087 5,392 6,066 6,523

4,170 5,426 6,087 6,539

4,248 5,459 6,108 6,555

4,322 5,492 6,129 6,570

4,392 5,523 6,149 6,585

4,459 5,555 6,170 6,599

4,523 5,585 6,190 6,615

4,585 5,615 6,209 6,629

4,644 5,644 6,229 6,644

Phụ lục

203

HÀM () 2 p=-plog P γ , HÀM ( ) ( ) ( ) φ 2 p=-1-plog 1-p , HÀM

2 log p VÀ

ENTROPIE CỦA NGUỒN NHỊ PHÂN ( ) ( ) ( ) + φ γ HA= p p

2 log p − () p γ ( ) HA ( ) p φ ( ) 2 log 1 p − − () 1p −

6,643 0,066 0,081 0,014 0,014 0,99

5,644 0,113 0,141 0,028 0,029 0,98

5,059 0,152 0,194 0,042 0,044 0,97

4,644 0,186 0,242 0,056 0,059 0,96

4,322 0,216 0,286 0,070 0,074 0,95

4,059 0,243 0,327 0,084 0,089 0,94

3,936 0,268 0,366 0,097 0,105 0,93

3,644 0,291 0,402 0,111 0,120 0,92

3,474 0,313 0,436 0,124 0,136 0,91

3,322 0,332 0,469 0,137 0,152 0,90

3,184 0,350 0,499 0,150 0,168 0,89

3,059 0,367 0,529 0,162 0,184 0,88

2,943 0,383 0,557 0,175 0,201 0,87

2,836 0,397 0,584 0,187 0,217 0,86

2,737 0,411 0,610 0,199 0,234 0,85

2,644 0,423 0,634 0,211 0,252 0,84

2,556 0,434 0,658 0,223 0,269 0,83

2,474 0,445 0,680 0,235 0,286 0,82

2,396 0,455 0,701 0,246 0,304 0,81

2,322 0,464 0,722 0,257 0,322 0,80

2,252 0,473 0,741 0,269 0,340 0,79

2,184 0,481 0,760 0,279 0,358 0,78

2,120 0,488 0,778 0,290 0,377 0,77

2,059 0,494 0,795 0,301 0,396 0,76

2,000 0,500 0,811 0,311 0,415 0,75

2 log p − () p γ ( ) HA ( ) p φ ( ) 2 log 1 p − − () 1p − Phụ lục

204

1,943 0,505 0,827 0,321 0,434 0,74

1,889 0,510 0,841 0,331 0,454 0,73

1,836 0,514 0,855 0,341 0,474 0,72

1,786 0,518 0,869 0,351 0,494 0,71

1,737 0,521 0,881 0,360 0,514 0,70

1,690 0,524 0,893 0,369 0,535 0,69

1,644 0,526 0,904 0,378 0,556 0,68

1,599 0,528 0,915 0,387 0,578 0,67

1,556 0,529 0,925 0,396 0,599 0,66

1,514 0,530 0,934 0,404 0,621 0,65

1,474 0,531 0,943 0,412 0,644 0,64

1,434 0,531 0,951 0,420 0,667 0,63

1,396 0,530 0,958 0,428 0,690 0,62

1,358 0,529 0,965 0,435 0,713 0,61

1,322 0,529 0,971 0,442 0,737 0,60

1,286 0,527 0,976 0,449 0,761 0,59

1,252 0,526 0,981 0,455 0,786 0,58

1,217 0,523 0,986 0,462 0,811 0,57

1,184 0,521 0,989 0,468 0,836 0,56

1,152 0,518 0,993 0,474 0,862 0,55

1,120 0,515 0,995 0,480 0,889 0,54

1,1089 0,512 0,997 0,485 0,916 0,53

1,059 0,508 0,999 0,491 0,943 0,52

1,029 0,504 0,999 0,495 0,971 0,51

1,000 0,500 1,000 0,500 1,000 0,50

ENTROPIE H(X) CỦA CÁC LUẬT PHÂN BỐ RỜI RẠC.

Phụ lục

205

Luật phân

bố

Biểu thức giải tích và đồ thị Entropie H(X)

1. Phân bố

đều

()

1x m px k m

0m x 1

⎧

≤ ≤ ⎪

== ⎨

⎪

( ) HX logm =

2. Phân bố

bội ()

()

p1 p x 0

px K

0x0

− ⎧ ⎪ − >

== ⎨

≤ ⎪ ⎩

()

() ( ) plogmp 1 p log 1 p

+− −

=−

3. Phân bố

nhị thức

Bernoulli

()

mk kk

Cp 1 p 0 x m px K

00xm

− ⎧ ⎪ − ≤≤

== ⎨

>> ⎪ ⎩

( ) [

()()

()

mk kk k

HX mplogp

1plog1p

Cp 1 p logC

−

=− −

−− − − ⎤ ⎦

−− ∑

() i

px k =

0 1 2 3 .... m

( ) i

px k =

0 1 2 3 .... m

() i

px k =

0 1 2 3 Phụ lục

206

4. Phân bố

siêu bội

()

krk

mNm

i r

i N

CC 0x m px K C

00xm

−

⎧

≤ ≤ ⎪

== ⎨

⎪

>> ⎩

()

N r

krk k

mNm m

krk rk

mNm Nm r

k1 N

HX logC .

. C C logC

CC logC

−

−−

=−

−

∑

5. Phân bố

Poisson

()

ex0

px k K!

0x0

−λ ⎧λ

> ⎪

== ⎨

⎪ ≤ ⎩

()

HX log

log K!

−λ ∞

= λ+

+∑

6. Phân bố

Polya

() () ( )

Px K 1...1 k1

0x0

⎧ λ ⎛⎞

⎪ ⎜⎟

+αλ ⎝⎠ ⎪ > ⎪

== ⎨ ++−α ⎡⎤ ⎣⎦

⎪

⎪ ≤ ⎩

() ( )

Pp0 1

−

α ==+αλ

()

() ( )

Hx' log .

.log 1 P . .

11 1 K 1

log

∞

+αλ

=−λ λ+

λ ⎛⎞

+αλ − ⎜⎟

+αλ ⎝⎠

+α + − α ⎡⎤ ⎣⎦

+α + − α ⎡ ⎤ ⎣ ⎦

∑

...

() i

px k =

0 1 2 3 ... m

() i

px k =

0 1 2 .....

() i

px k =

0 1 2 3 4 ... Phụ lục

207

ENTRIPIE VI PHÂN H(X) CỦA CÁC LUẬT PHÂN BỐ LIÊN TỤC.

Luật phân

bố

Biểu thức giải tích và đồ thị Entropie H(X)

1. Phân bố

đều

()

[]

xx,x

xx WX

0xx,x

⎧

∈ ⎪ − = ⎨

⎪ ∉ ⎩

( ) HX logm =

2. Phân bố

tam giác

(Simson)

()

[]

m mM m 2

M mM M 2

4x x xx

xx,

2 xx

4x x xx

WX x ,x

2 xx

0xx,x

− ⎧ + ⎡ ⎤

∈ ⎪ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ − ⎪

⎪ − + ⎪ ⎡ ⎤

=∈ ⎨ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ − ⎪

⎪ ∉ ⎪

⎪ ⎩

()

( ) Mm xxe

hx log

−

3. Phân bố

sech x

()

Wx sechx

2 2ch x

()

hx log

M x

m x

xx −

( ) WX

M x m x

xx −

( ) WX

x Phụ lục

208

4. Phân bố

arcsin x

()

.xa,a

Wx ax

0axa

⎧

∈− ⎪π = ⎨ −

⎪ − >> ⎩

()

( )

22 1

log a x 11

hx log dx

−

=π++

ππ −

∫

5. Phân bố

Cauchy

()

2 2

Wx .

xx a

π −+

( ) hx log4a = π

6. Phân bố

Maxweel

() ()

2x/2

3/2 2

x.e x 0

Wx 2

0x0

−δ ⎧

> ⎪ ⎪

= πδ ⎨

⎪

()

hx' log Cloge

⎡ ⎤ πδ

=+ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦

C 0,5772

(C - Số Euler)

a π

−a a 0

( ) WX

a π

() WX

2 δ

() WX Phụ lục

209

7. Phân bố

mũ một

phía

()

ex0

0x0

−λ ⎧λ> ⎪

= ⎨

()

hx log =−

8. Phân bố

Laplace

(phân bố

mũ hai

phía)

()

Wx e

−λ− λ

()

hx log =

9. Phân bố

siêu mũ

()

aenx0

0x0

−λ

⎧

λ > ⎪

= ⎨

⎪

∑

()

n1 0

hx a e n.

.log a e n dx

∞

−λ

=− λ

∑ ∫

∑

10. Phân

bố mũ -

lũy thừa

()

x x

ex0

Wx m!

0x0

− ⎧

⎪ >

= ⎨

⎪

( )

hx logm! loge e

mloge C

k =

= +−

⎡⎤

−− ⎢⎥

⎣⎦

∑

C0,5772

(C - Số Euler)

() WX

a λ ∑

m me

−

() WX

Phụ lục

210

11. Phân

bố Erlang

() ()

x x1

ex0

Wx a1!

0x0

−β ⎧β−

> ⎪

= − ⎨

⎪

a = 1, 2, 3, ....

( ) ( )

() () {} '

hx log a 1! log

aa1lna loge

= −−β+ ⎡⎤ ⎣⎦

+−− Γ ⎡⎤ ⎣⎦

() ()

ln a a Γ=ψ ⎡⎤ ⎣⎦

( ) a ψ - Hàm psi của Euler

12. Phân

bố

Pearsom

() ()

2 1

x x

.e x 0

0x0

λλ−

−β

⎧α ⎪ >

= ⎨ Γλ

⎪

()

n1,2,3,

λ= = ...

( ) ( )

() () {} '

hx log log

1ln loge

= −Γλ−α+

+λ−λ− Γλ ⎡⎤ ⎣⎦

() ()

lnΓ λ=ψλ ⎡⎤ ⎣⎦

13. Phân

bố Gamma

() ()

xe x 0

1 Wx

0x0

α− β

α+

⎧

> ⎪

βΓα+ = ⎨

⎪

1, 0 α>− β>

( ) ( )

()()

hx log 1 loge.

. ln 1 1 .loge log

=Γα+−α

Γ α+ + α+ + β ⎡⎤ ⎣⎦

() ()

ln 1 1 Γ α+ =ψ α+ ⎡⎤ ⎣⎦

a1 −

()

a1 1

−

β− ⎡⎤

⎢⎥

Γ β ⎣⎦

() WX

a1 −

()

1 1

λ−

αλ− ⎡⎤

⎢⎥

Γ λ ⎣⎦

( ) WX

αβ

()

⎡ ⎤ α

⎢ ⎥

Γα+ β ⎣ ⎦

( ) WX Phụ lục

211

14. Phân

bố Weibull ()

xexx0

0x0

α− −β α ⎧αβ > ⎪

= ⎨

0, 0 α> β>

() ()

hx loge1 C ln

log

α− ⎡⎤

= ++β− ⎢⎥ α ⎣⎦

−αβ

C0,5772

15. Phân

bố chuẩn

()

( )

xx 1

Wx .exp

2 2

⎧ ⎫ − ⎪ ⎪

=− ⎨ ⎬

πδ δ ⎪ ⎪

⎩⎭

( ) hx log 2e ⎡⎤ =δπ ⎣⎦

16. Phân

bố chuẩn

một phía ()

exp x 0

Wx 2

0x0

⎧ ⎧⎫ ⎪⎪

− > ⎪ ⎨⎬

= πδ δ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎭

⎪

()

hx log

⎡⎤ π

=δ ⎢⎥

⎣⎦

17. Phân

bố

Rayleigh ()

exp x 0

Wx 2

0x0

⎧ ⎧⎫ ⎪⎪

− > ⎪ ⎨⎬

= δδ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎭

⎪

()

C hx 1loge

⎛⎞

=+ ⎜⎟

⎝⎠

C0,5772

11 ⎛⎞ α−

⎜⎟

βα α ⎝⎠

( ) Wx

() ( )

1/ 1

.1.exp

α−

α − ⎧ ⎫

αβ α − − ⎨ ⎬

α ⎩⎭

( ) Wx

2πδ

( ) Wx

n1 δ−

( ) Wx

1/2 1

−

( ) Wx

xPhụ lục

212

18. Phân

bố modul

của đại

lượng

ngẫu nhiên

phân bố

chuẩn

()

() ()

xx xx

22 1

ee x0

Wx 2

0x0

−+

−−

δδ

⎧ ⎡⎤

⎪ ⎢⎥

+ > ⎪ ⎢⎥

= πδ ⎨ ⎢⎥

⎪ ⎣⎦

⎪

()

hx log

⎡⎤ π

=δ ⎢⎥

⎣⎦

19. Phân

bố chuẩn

cực ()

() ()

[]

xx xx

eexx,x

WX 2

0xx,x

−+

−−

δδ

⎧ ⎡⎤

⎪ ⎢⎥

+∈ ⎪ ⎢⎥

= πδ ⎨ ⎢⎥

⎪ ⎣⎦

⎪

∉ ⎩

() () Mm

xx xx

t/2 t/2

edt edt

−−δ

−−

⎡ ⎤

⎢ ⎥

− ⎢ ⎥ π

⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∫∫

()

M 2

m 2

hx log

1xX1

1A . .e

2 2

xX1

A . e loge

−

⎡⎤ πδ

=+ ⎢⎥

⎣⎦

⎡ −

+ −− ⎢

δ π ⎣

⎤

⎥ −

− ⎥

δ π ⎥

⎦

20. Phân

bố loga

chuẩn ()

()

ln x a

2 1

x0 Wx

0x0

−

⎧

⎪ ⎪ > = ⎨ δπ ⎪

()

hx log e 2e ⎡⎤ = δπ ⎣⎦

( ) Wx

( )

2x/

−δ

πδ

2πδ

M x

m x x

( ) Wx

( ) Wx Phụ lục

213

21. Phân

bố modul

của véctơ

nhiều

chiều

()

n/2 2

2x exp

x0 Wx n

0x0

−

⎧ ⎧⎫ ⎪⎪

− ⎪ ⎨⎬

δ ⎪⎪ ⎪ ⎩⎭ ⎪ > = ⎨ ⎛⎞

δΓ⎜⎟ ⎪

⎝⎠

⎪

n = 1, 2, 3, ...

()

2 n

hx log

n1 n

log

⎛⎞

δΓ⎜⎟

⎝⎠

= −

− ⎛⎞

−Γ⎜⎟

⎝⎠

22. Phân

bố

nakagami

() ()

m2m1 2

2m 2

2m x mx

exp x 0

Wx m

0x0

− ⎧ ⎧⎫ ⎪⎪

− > ⎪ ⎨⎬

= Γδ δ ⎨ ⎪⎪ ⎩⎭

⎪

()

m me

hx log

2m 1

log m 2

Γδ

= −

−

−Γ ⎡⎤ ⎣⎦

Phân bố

Beta

()

()()

[]

mM 4

xx x

xx,x

0xx,x

⎧

−− ⎪

− ⎪

= ⎨

∈ ⎪

⎪ ∉ ⎩

()

() Mm xx

hx 1,44ln

1, 26

−

n1 δ−

( ) Wx

()

2m 1

2 2m 2m1

m2e

−

− ⎛⎞

⎜⎟

Γ ⎝⎠

2m−1

( ) Wx

m x

( ) Wx Phụ lục

214

CÁC ĐA THỨC TỐI TIỂU CỦA CÁC PHẦN TỬ TRONG TRƯỜNG ()

m GF 2 .

Sau đây là danh sách các đa thức tối tiểu nhị phân cho tất cả các phần tử trong các trường

mở rộng của trường nhị phân từ ()

GF 2 tới ( )

GF 2 .

Các dòng ký hiệu được hiểu như sau: Dòng 3(0, 2, 3) trong mục GF(8) tương ứng với đa

thức ()

mX 1 X X =+ + có các nghiệm là các phần tử liên hợp { } 365

,, α αα .

GF(4)

1 (0, 1, 2)

GF(8)

1 (0, 1, 3) 3 (0, 2, 3)

GF(16)

1 (0, 1, 4) 3 (0, 1, 2, 3, 4)

5 (0, 1, 2) 7 (0, 3, 4)

GF(32)

1 (0, 2, 5) 3 (0, 2, 3, 4, 5)

5 (0, 1, 2, 4, 5) 7 (0, 1, 2, 3, 5)

11 (0, 1, 3, 4, 5) 15 (0, 3, 5)

GF(64)

1 (0, 1, 6) 3 (0, 1, 2, 4, 6)

5 (1, 2, 5, 6) 7 (0, 3, 6)

9 (0, 2, 3) 11 (0, 2, 3, 5, 6)

13 (0, 1, 3, 4, 6) 15 (0, 2, 4, 5, 6)

21 (0, 1, 2) 23 (0, 1, 4, 5, 6)

27 (0, 1, 3) 31 (0, 5, 6)

GF(128)

1 (0, 3, 7) 3 (0, 1, 2, 3, 7)

5 (0, 2, 3, 4, 7) 7 (0, 1, 2, 4, 5, 6, 7)

9 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 7) 11 (0, 2, 4, 6, 7)

13 (0, 1, 7) 15 (0, 1, 2, 3, 5, 6, 7)

M x Phụ lục

215

19 (0, 1, 2, 6, 7) 21 (0, 2, 5, 6, 7)

23 (0, 6, 7) 27 (0, 1, 4, 6, 7)

29 (0, 1, 3, 5, 7) 31 (0, 4, 5, 6, 7)

43 (0, 1, 2, 5, 7) 47 (0, 3, 4, 5, 7)

55 (0, 2, 3, 4, 5, 6, 7) 63 (0, 4, 7)

GF(256)

1 (0, 2, 3, 4, 8) 3 (0, 1, 2, 4, 5, 6, 8)

5 (0, 1, 4, 5, 6, 7, 8) 7 (0, 3, 5, 6, 8)

9 (0, 2, 3, 4, 5, 7, 8) 11 (0, 1, 2, 5, 6, 7, 8)

13 (0, 1, 3, 5, 8) 15 (0, 1, 2, 4, 6, 7, 8)

17 (0, 1, 4) 19 (0, 2, 5, 6, 8)

21 (0, 1, 3, 7, 8) 23 (0, 1, 5, 6, 8)

25 (0, 1, 3, 4, 8) 27 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 8)

29 (0, 2, 3, 7, 8) 31 (0, 2, 3, 5, 8)

37 (0, 1, 2, 3, 4, 6, 8) 39 (0, 3, 4, 5, 6, 7, 8)

43 (0, 1, 6, 7, 8) 45 (0, 3, 4, 5, 8)

47 (0, 3, 5, 7, 8) 51 (0, 1, 2, 3, 4)

53 (0, 1, 2, 7, 8) 55 (0, 4, 5, 7, 8)

59 (0, 2, 3, 6, 8) 61 (0, 1, 2, 3, 6, 7, 8)

63 (0, 2, 3, 4, 6, 7, 8) 85 (0, 1, 2)

87 (0, 1, 5, 7, 8) 91 (0, 2, 4, 5, 6, 7, 8)

95 (0, 1, 2, 3, 4, 7, 8) 111 (0, 1, 3, 4, 5, 6, 8)

119 (0, 3, 4) 127 (0, 4, 5, 6, 8)

GF(512)

1 (0, 4, 9) 3 (0, 4, 3, 6, 9)

5 (0, 4, 5, 8, 9) 7 (0, 3, 4, 7, 9)

9 (0, 1, 4, 8, 9) 11 (0, 2, 3, 5, 9)

13 (0, 1, 2, 4, 5, 6, 9) 15 (0, 5, 6, 8, 9)

17 (0, 1, 3, 4, 6, 7, 9) 19 (0, 2, 7, 8, 9)

21 (0, 1, 2, 4, 9) 23 (0, 3, 5, 6, 7, 8, 9)

25 (0, 1, 5, 6, 7, 8, 9) 27 (0, 1, 2, 3, 7, 8, 9)

29 (0, 1, 3, 5, 6, 8, 9) 31 (0, 1, 3, 4, 9) Phụ lục

216

35 (0, 8, 9) 37 (0, 1, 2, 3, 5, 6, 9)

39 (0, 2, 3, 6, 7, 8, 9) 41 (0, 1, 4, 5, 6, 8, 9)

43 (0, 1, 3, 6, 7, 8, 9) 45 (0, 2, 3, 5, 6, 8, 9)

47 (0, 1, 3, 4, 6, 8, 9) 51 (0, 2, 4, 6, 7, 8, 9)

53 (0, 2, 4, 7, 9) 55 (0, 2, 3, 4, 5, 7, 9)

57 (0, 2, 4, 5, 6, 7, 9) 59 (0, 1, 2, 3, 6, 7, 9)

61 (0, 1, 2, 3, 4, 6, 9) 63 (0, 2, 5, 6, 9)

73 (0, 1, 3) 75 (0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9)

77 (0, 3, 6, 8, 9) 79 (0, 1, 2, 6, 7, 8, 9)

83 (0, 2, 4, 8, 9) 85 (0, 1, 2, 4, 6, 7, 9)

87 (0, 2, 5, 7, 9) 91 (0, 1, 3, 6, 8)

93 (0, 3, 4, 5, 6, 7, 9) 95 (0, 3, 4, 5, 7, 8, 9)

103 (0, 1, 2, 3, 5, 7, 9) 107 (0, 1, 5, 7, 9)

109 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9) 111 (0, 1, 2, 3, 4, 8, 9)

117 (0, 1, 2, 3, 6, 8, 9) 119 (0, 1, 9)

123 (0, 1, 2, 7, 9) 125 (0, 4, 6, 7, 9)

127 (0, 3, 5, 6, 9) 171 (0, 2, 4, 5, 7, 8, 9)

175 (0, 5, 7, 8, 9) 183 (0, 1, 3, 5, 8, 9)

187 (0, 3, 4, 6, 7, 8, 9) 191 (0, 1, 4, 5, 9)

219 (0,2, 3) 223 (0, 1, 5, 8, 9)

239 (0, 2, 3, 5, 6, 8, 9) 255 (0, 5, 9)

GF(1024)

1 (0, 3, 10) 3 (0, 1, 2, 3, 10)

5 (0, 2, 3, 8, 10) 7 (0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

9 (0, 1, 2, 3, 5, 7, 10) 11 (0, 2, 4, 5, 10)

13 (0, 1, 2, 3, 5, 6, 10) 15 (0, 1, 3, 5, 7, 8, 10)

17 (0, 2, 3, 5, 6, 8, 10) 19 (0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10)

21 (0, 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10) 23 (0, 1, 3, 4, 10)

25 (0, 1, 5, 8, 10) 27 (0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10)

29 (0, 4, 5, 8, 10) 31 (0, 1, 5, 9, 10)

33 (0, 2, 3, 4, 5) 35 (0, 1, 4, 9, 10)

37 (0, 1, 5, 6, 8, 9, 10) 39 (0, 1, 2, 6, 10) Phụ lục

217

41 (0, 2, 5, 6, 7, 8, 10) 43 (0, 3, 4, 8, 10)

45 (0, 4, 5, 9, 10) 47 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10)

49 (0, 2, 4, 6, 8, 9, 10) 51 (0, 1, 2, 5, 6, 8, 10)

53 (0, 1, 2, 3, 7, 8, 10) 55 (0, 1, 3, 5, 8, 9, 10)

57 (0, 4, 6, 9, 10) 59 (0, 3, 4, 5, 8, 9, 10)

61 (0, 1, 4, 5, 6 ,7, 8, 9, 10) 63 (0, 2, 3, 5, 7, 9, 10)

69 (0, 6, 7, 8, 10) 71 (0, 1, 4, 6, 7, 9, 10)

73 (0, 1, 2, 6, 8, 9, 10) 75 (0, 1, 2, 3, 4, 8, 10)

77 (0, 1, 3, 8, 10) 79 (0, 1, 2, 5, 6, 7, 10)

83 (0, 1, 4, 7, 8, 9, 10) 85 (0, 1, 2, 6, 7, 8, 10)

87 (0, 3, 6, 7, 10) 89 (0, 1, 2, 6, 7, 8, 10)

91 (0, 2, 4, 5, 7, 9, 10) 93 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

101 (0, 2, 3, 5, 10) 103 (0, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10)

105 (0, 1, 2, 7, 8, 9, 10) 107 (0, 3, 4, 5, 6, 9, 10)

109 (0, 1, 2, 5, 10) 111 (0, 1, 4, 6, 10)

115 (0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10) 117 (0, 3, 4, 7, 10)

119 (0, 1, 3, 4, 6, 9, 10) 121 (0, 1, 2, 5, 7, 9, 10)

123 (0, 4, 8, 9, 10) 125 (0, 6, 7, 9, 10)

127 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10) 147 (0, 2, 3, 5, 6, 7, 10)

149 (0, 2, 4, 9, 10) 151 (0, 5, 8, 9, 10)

155 (0, 3, 5, 7, 10) 157 (0, 1, 3, 5, 6, 8, 10)

159 (0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 10) 165 (0, 3, 5)

167 (0, 1, 4, 5, 6, 7, 10) 171 (0, 2, 3, 6, 7, 9, 10)

173 (0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10) 175 (0, 2, 3, 7, 8, 10)

179 (0, 3, 7, 9, 10) 181 (0, 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10)

183 (0, 1, 2, 3, 8, 9, 10) 187 (0, 2, 7, 9, 10)

189 (0, 1, 5, 6, 10) 191 (0, 4, 5, 7, 8, 9, 10)

205 (0, 1, 3, 5, 7, 10) 207 (0, 2, 4, 5, 8, 9, 10)

213 (0, 1, 3, 4, 7, 8, 10) 215 (0 , 5, 7, 8, 10)

219 (0, 3, 4, 5, 7, 8, 10) 221 (0, 3, 4, 6, 8, 9, 10)

223 (0, 2, 5, 9, 10) 231 (0, 1, 3, 4, 5)

235 (0, 1, 2, 3, 6, 9, 10) 237 (0, 2, 6, 7, 8, 9, 10) Phụ lục

218

239 (0, 1, 2, 4, 6, 8, 10) 245 (0, 2, 6, 7, 10)

247 (0, 1, 6, 9, 10) 251 (0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10)

253 (0, 5, 6, 8, 10) 255 (0, 7, 8, 9, 10)

341 (0, 1, 2) 343 (0, 2, 3, 4, 8, 9, 10)

347 (0, 1, 6, 8, 10) 351 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10)

363 (0, 2, 5) 367 (0, 2, 3, 4, 5, 8, 10)

375 (0, 2, 3, 4, 10) 379 (0, 1, 2, 4, 5, 9, 10)

383 (0, 2, 7, 8, 10) 439 (0, 1, 2, 4, 8, 9, 10)

447 (0, 3, 5, 7, 8, 9, 10) 479 (0, 1, 2, 4, 7, 8, 10)

495 (0, 1, 2, 3, 5) 511 (0, 7, 10)

Tài liệu tham khảo

219

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Bình, Trần Thông Quế. Cơ sở lý thuyết truyền tin.

Học viện Kỹ thuật Quân sự 1985.

[2] Nguyễn Bình, Trần Thông Quế. 100 bài tập lý thuyết truyền tin.

Học viện Kỹ thuật Quân sự 1988.

[3] Nguyễn Bình, Trương Nhữ Tuyên, Phạm Đạo. Bài giảng Lý thuyết thông tin

Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông 2000

[4] Nguyễn Bình. Giáo trình mật mã học

Nhà xuất bản Bưu điện 2004

[5] McEliece R.J. The theory of Information and coding.

Cambridge University Press 1985

[6] Wilson S.G. Digital modulation and Coding. Prentice Hall. 1996

[7] Sweeney P. Error control coding. An Introduction. Prentice Hall. 1997.

[8] Lin S. , Costello D.J. Error control coding: Fuldamentals and Applications. Prentice Hall.

2004.

[9] Moon T.K. Error correction coding. Mathematical Methods and Algorithms. Jhon Wiley

and Son 2005. Mục lục

220

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU............................................................................................................................................ 1

CHƯƠNG I: NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG VÀ NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN................................. 3

1.1. VỊ TRÍ, VAI TRÒ VÀ SƠ LƯỢC LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA "LÝ THUYẾT THÔNG TIN"

............................................................................................................................................................................ 3

1.1.1. Vị trí, vai trò của Lý thuyết thông tin ..................................................................................... 3

1.1.2. Sơ lược lịch sử phát triển ........................................................................................................ 4

1.2. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN - SƠ ĐỒ HỆ TRUYỀN TIN VÀ NHIỆM VỤ CỦA NÓ................... 5

1.2.1. Các định nghĩa cơ bản............................................................................................................. 5

1.2.2. Sơ đồ khối của hệ thống truyền tin số (Hình 1.2) .................................................................. 5

1.2.3. Những chỉ tiêu chất lượng cơ bản của một hệ truyền tin ...................................................... 10

CHƯƠNG II: TÍN HIỆU VÀ NHIỄU.................................................................................................... 11

2.1. TÍN HIỆU XÁC ĐỊNH VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG VẬT LÝ CỦA CHÚNG ................................. 11

2.2. TÍN HIỆU VÀ NHIỄU LÀ CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN.................................................. 11

2.2.1. Bản chất ngẫu nhiên của tín hiệu và nhiễu............................................................................ 11

2.2.2. Định nghĩa và phân loại nhiễu .............................................................................................. 12

2.3. CÁC ĐẶC TRƯNG THỐNG KÊ CỦA TÍN HIỆU NGẪU NHIÊN VÀ NHIỄU........................ 13

2.3.1. Các đặc trưng thống kê ......................................................................................................... 13

2.3.2. Khoảng tương quan............................................................................................................... 15

2.4. CÁC ĐẶC TRƯNG VẬT LÝ CỦA TÍN HIỆU NGẪU NHIÊN VÀ NHIỄU. BIẾN ĐỔI

WIENER - KHINCHIN .................................................................................................................................. 16

2.4.1. Những khái niệm xây dựng lý thuyết phổ của quá trình ngẫu nhiên - mật độ phổ công suất16

2.4.2. Cặp biến đổi Wiener - Khinchin .......................................................................................... 18

2.4.3. Bề rộng phổ công suất........................................................................................................... 19

2.4.4. Mở rộng cặp biến đổi Wiener - Khinchin cho trường hợp R() τ không khả tích tuyệt đối

.................................................................................................................................................................... 20

2.5. TRUYỀN CÁC TÍN HIỆU NGẪU NHIÊN QUA CÁC MẠCH VÔ TUYẾN ĐIỆN TUYẾN

TÍNH................................................................................................................................................................ 21

2.5.1. Bài toán tối thiểu................................................................................................................... 21

2.5.2. Bài toán tối đa ....................................................................................................................... 26

2.6. BIỂU DIỄN PHỨC CHO THỂ HIỆN CỦA TÍN HIỆU NGẪU NHIÊN - TÍN HIỆU GIẢI HẸP

.......................................................................................................................................................................... 31

2.6.1. Cặp biến đổi Hilbert và tín hiệu giải tích .............................................................................. 31

2.6.2. Tín hiệu giải rộng và giải hẹp ............................................................................................... 35 Mục lục

221

2.7. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CHO THỂ HIỆN CỦA TÍN HIỆU NGẪU NHIÊN .............................37

2.7.1. Khai triển trực giao và biểu diễn vecteur của tín hiệu...........................................................37

2.7.2. Mật độ xác suất của vecteur ngẫu nhiên - Khoảng cách giữa hai vecteur tín hiệu................39

2.7.3. Khái niệm về máy thu tối ưu .................................................................................................43

BÀI TẬP ...............................................................................................................................................45

CHƯƠNG 3 - CƠ SỞ LÝ THUYẾT THÔNG TIN THỐNG KÊ.......................................................47

3.1. THÔNG TIN - LƯỢNG THÔNG TIN - XÁC SUẤT VÀ THÔNG TIN - ĐƠN VỊ ĐO THÔNG

TIN...................................................................................................................................................................47

3.1.1. Định nghĩa định tính thông tin và lượng thông tin................................................................47

3.1.2. Quan hệ giữa độ bất định và xác suất....................................................................................48

3.1.3. Xác định lượng thông tin.......................................................................................................50

3.2. ENTROPIE VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA ENTROPIE ................................................................52

3.2.1. Tính chất thống kê của nguồn rời rạc và sự ra đời của khái niệm entropie...........................52

3.2.2. Định nghĩa entropie của nguồn rời rạc..................................................................................52

3.2.3. Các tính chất của entropie một chiều của nguồn rời rạc .......................................................53

3.2.4. Entropie của nguồn rời rạc, nhị phân ....................................................................................55

3.2.5. Entropie của trường sự kiện đồng thời ..................................................................................56

3.3. ENTROPIE CÓ ĐIỀU KIỆN. LƯỢNG THÔNG TIN CHÉO TRUNG BÌNH.............................57

3.3.1. Entropie có điều kiện về một trường tin này khi đã rõ một tin nhất định của trường tin kia 57

3.3.2. Entropie có điều kiện về trường tin này khi đã rõ trường tin kia ..........................................58

3.3.3. Hai trạng thái cực đoan của kênh truyền tin..........................................................................60

3.3.4. Các tính chất của entropie có điều kiện.................................................................................61

3.3.5. Lượng thông tin chéo trung bình...........................................................................................63

3.3.6. Tính chất của I(A,B) .............................................................................................................63

3.3.7. Mô hình của kênh truyền tin có nhiễu...................................................................................64

3.4. TỐC ĐỘ PHÁT. KHẢ NĂNG PHÁT. ĐỘ THỪA. KHẢ NĂNG THÔNG QUA CỦA KÊNH

RỜI RẠC..........................................................................................................................................................65

3.4.1. Tốc độ phát của nguồn rời rạc...............................................................................................65

3.4.2. Khả năng phát của nguồn rời rạc ..........................................................................................65

3.4.3. Độ thừa của nguồn rời rạc.....................................................................................................65

3.4.4. Các đặc trưng của kênh rời rạc và các loại kênh rời rạc........................................................66

3.4.5. Lượng thông tin truyền qua kênh trong một đơn vị thời gian ...............................................67

3.4.6. Khả năng thông qua của kênh rời rạc....................................................................................67

3.4.7. Tính khả năng thông qua của kênh nhị phân đối xứng không nhớ, đồng nhất .....................68

3.4.8. Định lý mã hoá thứ hai của Shannon ....................................................................................69 Mục lục

222

3.4.9. Khả năng thông qua của kênh nhị phân đối xứng có xoá ..................................................... 70

3.5. ENTROPIE CỦA NGUỒN LIÊN TỤC. LƯỢNG THÔNG TIN CHÉO TRUNG BÌNH TRUYỀN

QUA KÊNH LIÊN TỤC KHÔNG NHỚ......................................................................................................... 71

3.5.1. Các dạng tín hiệu liên tục...................................................................................................... 71

3.5.2. Các đặc trưng và tham số của kênh liên tục.......................................................................... 71

3.5.3. Kênh liên tục chứa trong kênh rời rạc................................................................................... 72

3.5.4. Entropie của nguồn tin liên tục (của một quá trình ngẫu nhiên liên tục) .............................. 73

3.5.5. Mẫu vật lý minh hoạ sự lớn vô hạn của entropie của nguồn liên tục.................................... 74

3.5.6. Lượng thông tin chéo trung bình truyền theo kênh liên tục không nhớ................................ 75

3.6. ENTROPIE VI PHÂN CÓ ĐIỀU KIỆN. TÍNH CHẤT CỦA CÁC TÍN HIỆU GAUSSE........... 76

3.6.1. Entropie vi phân có điều kiện ............................................................................................... 76

3.6.2. Entropie vi phân của nhiễu Gausse ....................................................................................... 77

3.6.3. Lượng thông tin chéo trung bình truyền theo kênh Gausse .................................................. 78

3.6.4. Tính chất của các tín hiệu có phân bố chuẩn ........................................................................ 80

3.7. KHẢ NĂNG THÔNG QUA CỦA KÊNH GAUSSE.................................................................... 82

3.7.1. Khả năng thông qua của kênh Gausse với thời gian rời rạc.................................................. 82

3.7.2. Khả năng thông qua của kênh Gausse với thời gian liên tục trong một giải tần hạn chế...... 83

3.7.3. Khả năng thông qua của kênh Gausse với thời gian liên tục trong giải tần vô hạn .............. 84

3.7.4. Định lý mã hoá thứ hai của Shannon đối với kênh liên tục .................................................. 85

3.7.5. Ví dụ: Khả năng thông qua của một số kênh thực tế ........................................................... 85

BÀI TẬP............................................................................................................................................... 86

CHƯƠNG IV - CƠ SỞ LÝ THUYẾT MÃ HÓA.................................................................................. 90

4.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM CƠ BẢN.......................................................................... 90

4.1.1. Các định nghĩa cơ bản........................................................................................................... 90

4.1.2. Các khái niệm cơ bản............................................................................................................ 91

4.1.3. Khả năng khống chế sai của một bộ mã đều nhị phân.......................................................... 93

4.1.4. Mã đều nhị phân không có độ thừa....................................................................................... 94

4.2. MÃ THỐNG KÊ TỐI ƯU............................................................................................................. 94

4.2.1. Độ dài trung bình của từ mã và mã hóa tối ưu..................................................................... 95

4.2.2. Yêu cầu của một phép mã hóa tối ưu.................................................................................... 95

4.2.3. Định lý mã hóa thứ nhất của Shannon (đối với mã nhị phân)............................................... 95

4.2.4. Thuật toán Huffman.............................................................................................................. 96

4.3. CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ VÀ MÃ TUYẾN TÍNH..................................................................... 99

4.3.1. Một số cấu trúc đại số cơ bản................................................................................................ 99

4.3.2. Các dạng tuyến tính và mã tuyến tính................................................................................. 101 Mục lục

223

4.3.3. Các bài toán tối ưu của mã tuyến tính nhị phân ..................................................................104

4.4. VÀNH ĐA THỨC VÀ MÃ XYCLIC .........................................................................................105

4.4.1. Vành đa thức .......................................................................................................................105

4.4.2. Ideal của vành đa thức.........................................................................................................107

4.4.3. Định nghĩa mã xyclic ..........................................................................................................109

4.4.4. Ma trận sinh của mã xyclic..................................................................................................110

4.4.5. Ma trận kiểm tra của mã xyclic ...........................................................................................110

4.5. MÃ HÓA CHO CÁC MÃ XYCLIC............................................................................................111

4.5.1. Mô tả từ mã của mã xyclic hệ thống ...................................................................................111

4.5.2. Thuật toán mã hóa hệ thống ................................................................................................112

4.5.3. Thiết bị mã hóa....................................................................................................................112

4.5.4. Tạo các dấu kiểm tra của mã xyclic ....................................................................................114

4.5.5. Thuật toán thiết lập từ mã hệ thống theo phương pháp nhân ..............................................116

4.6. GIẢI MÃ NGƯỠNG ...................................................................................................................117

4.6.1. Hai thủ tục giải mã ..............................................................................................................117

4.6.2. Giải mã theo Syndrom.........................................................................................................117

4.6.3. Hệ tổng kiểm tra trực giao và có khả năng trực giao ..........................................................118

4.6.4. Giải mã ngưỡng dựa trên hệ tổng kiểm tra trực giao ..........................................................119

4.6.5. Giải mã ngưỡng dựa trên hệ tổng kiểm tra có khả năng trực giao ......................................122

4.7. GIẢI MÃ THEO THUẬT TOÁN MEGGIT...............................................................................123

4.8. GIẢI MÃ XYCLIC THEO THUẬT TOÁN CHIA DỊCH VÒNG..............................................126

4.8.1. Nhiệm vụ của thuật toán giải mã.........................................................................................126

4.8.2. Giải mã theo thuật toán chia dịch vòng...............................................................................127

4.8.3. Ví dụ....................................................................................................................................127

4.9. GIẢI MÃ LƯỚI. ..........................................................................................................................128

4.9.1. Trạng thái và giản đồ lưới ...................................................................................................128

4.9.2. Giải mã lưới.........................................................................................................................132

4.10. MÃ HAMMING VÀ MÃ CÓ ĐỘ DÀI CỰC ĐẠI ...................................................................138

4.11. CÁC MÃ KHỐI DỰA TRÊN SỐ HỌC CỦA TRƯỜNG HỮU HẠN......................................139

4.11.1. Trường hữu hạn cỡ nguyên tố GF(p) ...............................................................................139

4.11.2. Các trường mở rộng của trường nhị phân. Trường hữu hạn GF(2m).................................140

4.11.3. Biểu diễn đa thức cho trường hữu hạn GF(2m) .................................................................141

4.11.4. Các tính chất của đa thức và các phần tử của trường hữu hạn ..........................................142

4.11.5. Xác định các mã bằng các nghiệm....................................................................................145

4.11.6. Mã Hamming.....................................................................................................................146 Mục lục

224

4.11.7. Mã BCH............................................................................................................................ 146

4.11.8. Các mã Reed -Solomon (RS) ........................................................................................... 149

4.12. CÁC MÃ CHẬP ........................................................................................................................ 150

4.12.1. Mở đầu và một số khái niệm cơ bản. ................................................................................ 150

4.12.2. Các mã Turbo.................................................................................................................... 154

BÀI TẬP............................................................................................................................................. 156

CHƯƠNG V - LÝ THUYẾT THU TỐI ƯU....................................................................................... 160

5.1. ĐẶT BÀI TOÁN VÀ CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN ......................................................................... 160

5.1.1. Thu tín hiệu khi có nhiễu là một bài toán thống kê............................................................. 160

5.1.2. Máy thu tối ưu..................................................................................................................... 161

5.1.3. Thế chống nhiễu.................................................................................................................. 161

5.1.4. Hai loại sai lầm khi chọn giả thuyết.................................................................................... 161

5.1.5. Tiêu chuẩn Kachennhicov................................................................................................... 161

5.1.6. Việc xử lý tối ưu các tín hiệu.............................................................................................. 161

5.1.7. Xác suất giải sai và quy tắc giải tối ưu................................................................................ 162

5.1.8. Hàm hợp lý.......................................................................................................................... 163

5.1.9. Quy tắc hợp lý tối đa........................................................................................................... 163

5.2. XỬ LÝ TỐI ƯU CÁC TÍN HIỆU CÓ THAM SỐ ĐÃ BIẾT. KHÁI NIỆM VỀ THU KẾT HỢP

VÀ THU KHÔNG KẾT HỢP........................................................................................................................ 164

5.2.1. Đặt bài toán......................................................................................................................... 164

5.2.2. Giải bài toán........................................................................................................................ 164

5.2.3. Khái niệm về thu kết hợp và thu không kết hợp ................................................................. 168

5.3. PHÁT TÍN HIỆU TRONG NHIỄU NHỜ BỘ LỌC PHỐI HỢP TUYẾN TÍNH THỤ ĐỘNG.. 169

5.3.1. Định nghĩa bộ lọc phối hợp tuyến tính thụ động ................................................................ 169

5.3.2. Bài toán về bộ lọc phối hợp ................................................................................................ 169

5.3.3. Đặc tính biên tần và đặc tính pha tần của bộ lọc phối hợp ................................................. 172

5.3.4. Phản ứng xung của mạch lọc phối hợp .............................................................................. 173

5.3.5. Hưởng ứng ra của mạch lọc phối hợp................................................................................. 174

5.4. LÝ LUẬN CHUNG VỀ THU KẾT HỢP CÁC TÍN HIỆU NHỊ PHÂN .................................... 175

5.4.1. Lập sơ đồ giải tối ưu một tuyến .......................................................................................... 175

5.4.2. Xác suất sai khi thu kết hợp tín hiệu nhị phân .................................................................... 176

5.5. XỬ LÝ TỐI ƯU CÁC TÍN HIỆU CÓ THAM SỐ NGẪU NHIÊN - THU KHÔNG KẾT HỢP

........................................................................................................................................................................ 182

5.5.1. Các tham số của tín hiệu là các tham số ngẫu nhiên ........................................................... 182

5.5.2. Xử lý tối ưu các tín hiệu có tham số ngẫu nhiên biến thiên chậm ...................................... 183 Mục lục

225

5.5.3. Xác suất hậu nghiệm của tín hiệu có các tham số thay đổi ngẫu nhiên...............................183

5.5.4. Xử lý tối ưu các tín hiệu có pha ngẫu nhiên........................................................................184

5.5.5. So sánh thu kết hợp với thu không kết hợp.........................................................................187

5.5.6. Chú thích .............................................................................................................................188

5.6. MÃ KHỐI KHÔNG GIAN , THỜI GIAN (STBC).....................................................................188

5.6.1. Kỹ thuật thu phân tập. .........................................................................................................188

5.6.2. Mã khối không gian - thời gian dựa trên hai máy phát.......................................................190

BÀI TẬP .............................................................................................................................................193

PHỤ LỤC................................................................................................................................................196

BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOVSKI-SCHWAZT ........................................................................196

BIẾN ĐỔI HILBERT .........................................................................................................................197

ĐỊNH LÝ KACHENNHICOV ..........................................................................................................198

LUẬT PHÂN BỐ CHUẨN ................................................................................................................201

LOGARIT CƠ SỐ HAI CỦA CÁC SỐ NGUYÊN TỪ 1 ĐẾN 100 ..................................................202

HÀM VÀ ENTROPIE CỦA NGUỒN NHỊ PHÂN............................................................................203

ENTROPIE H(X) CỦA CÁC LUẬT PHÂN BỐ RỜI RẠC. .............................................................204

ENTRIPIE VI PHÂN H(X) CỦA CÁC LUẬT PHÂN BỐ LIÊN TỤC. ...........................................207

CÁC ĐA THỨC TỐI TIỂU CỦA CÁC PHẦN TỬ TRONG TRƯỜNG . .......................................214

TÀI LIỆU THAM KHẢO .....................................................................................................................219

MỤC LỤC...............................................................................................................................................220

BÀI GIẢNG

LÝ THUYẾT THÔNG TIN

Mã số : 492LTT340

Chịu trách nhiệm bản thảo

TRUNG TÂM ÐÀO TẠO BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG 1

Bạn đang đọc truyện trên: Truyen2U.Pro

Trước Sau

#giao #trinh