CHƯƠNG VII ĐỘNG HỌC ĐIỂM

§7.1 Chuyển động thẳng liên tục của chất điểm.

CÁC BƯỚC PHÂN TÍCH

Các phương trình của động học chuyển động thẳng được áp dụng bằng cách

sử dụng các bước sau.

Hệ tọa độ

• Thiết lập vị trí tọa độ s dọc đường đi và chỉ rõ điểm gốc cố định và chiều

dương.

• Khi chuyển động dọc theo đường thẳng, vị trí, vận tốc và gia tốc của chất

điểm có thể được thể hiện bằng các đại lượng đại số. Hướng của s, v, và a

được xác định từ ký hiệu đại số của chúng.

Các phương trình động học.

• Nếu biết mối quan hệ giữa hai trong bốn biến số a, v, s và t, thì biến số thứ

ba có thể thu được bằng cách sử dụng một trong các phương trình động

học, , hoặc / adv dt = / vds dt = ads vdv = , nó liên hệ với cả ba biến số.

• Bất cứ khi nào tích phân, thì điều quan trọng là cần phải biết vị trí và vận

tốc tại thời điểm khảo sát nhằm tính được các hằng số tích phân nếu sử

dụng tích phân bất định, hay các cận của tích phân nếu sử dụng tích phân

xác định.

• Nhớ rằng các phương trình

( ) + →

0 C vv a t =+

( ) + →

2

00 C

1

ss v t a t

2

=+ +

( ) + →

22

0C 0 vv 2a (s s =+ − )

có giới hạn sử dụng. Không bao giờ áp dụng những phương trình này trừ khi

chắc chắn rằng gia tốc là hằng số.

12-4. Chất điểm chuyển động từ trạng thái đứng yên trên một đường thẳng có

gia tốc a = (2t- 6) m/s

2

, ở đây t đơn vị là giây. Khi t = 6s vận tốc chất điểm bằng

bao nhiêu, và vị trí của chất điểm ở đâu khi t = 11s.

Bài giải :

Hệ toạ độ : gốc ở trạng thái đứng yên, chiều dương hướng theo chiều chuyển

động.

Do a = f(t),vận tốc và vị trí của ôtô có thể được xác định từ CT :a = dv/ dt

∫ = ∫ ⇒ adt v d

( ) + → (1) () ( ) C t t dt t t v + − = ∫ − = 6 6 2 2

Từ đk đầu : t = 0, v = 0 YC = 0

thay t1 = 6s, v = 0(m/s)

tương tự ta có:

/ vds dt =

( ) + → ()

11

0

2

3 11

0

2

11

0 0

3

3

6 ) ( ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

− = ∫ − = ∫ = ∫ t

t

dt t t dt t v ds

s

12-6. Tầu chở hàng chuyển động với vận tốc v = 60(1 - e

-t

) ft/s, ở đây t là

thời gian tính bằng giây. Xác định khoảng cách tầu di chuyển trong ba giây, và

gia tốc trong khoảng thời gian này.

Bài tập 12-6

12-10. Chất điểm chuyển động dọc theo đường thẳng sao cho gia tốc của nó

được xác định a = (- 2v) m/s

2

, ở đây v tính bằng m/s. Khi s = 0 và t = 0 thì v =

20 m/s, xác định vận tốc của chất điểm theo hàm của vị trí và khoảng cách chất

điểm chuyển động trước khi nó dừng lại.

Bài giải:

Từ CT: ads vdv =

Thay a = (-2v) ta được:

ds v d vds vdv 2 2 − = ⇒ − =

ds dv

s v

2

0 20

∫ − = ∫

s v 2 20 − = −

v =20 - 2s

Vận tốc là hàm của vị trí :

p

s v 2 20 − = (1)

Khoảng cách của chất điểm trước khi nó dừng lại :

v = 0 thay vào (1) được 10

2

20

= = p

s (m)

*12-12. Chất điểm có gốc ở vị trí ban đầu chuyển động dọc theo đường thẳng

xuyên qua môi trường chất lỏng với vận tốc được xác định v = 1.8 (1- e

-0.3t

) m/s,

ở đây t tính bằng giây. Xác định độ di chuyển của chất điểm trong 3 giây đầu

tiên.

Bài giải:

12-30. Ô tô chuyển động chậm dần có gia tốc 5m/s

2

. Nếu ô tô bắt đầu chuyển

động từ trạng thái đứng yên, và có thể có tốc độ lớn nhất là 60 m/s, hãy xác định

thời gian ngắn nhất ô tô có thể đi được quãng đường 1200m cho đến khi nó

dừng lại.

Bài giải:

§7.2 Chuyển động cong liên tục của chất điểm.

7.2.1. Chuyển động cong tổng quát

* Vị trí : r

* Di chuyển: ∆r

* Vận tốc: (7-7)

ds

v

dt

= (7-8)

* Gia tốc:

d

dt

=

v

a (7-9)

2

2

d

dt

=

r

a 7.2.2 Chuyển động cong: Các thành phần chữ nhật ( vuông góc)

Vị trí x y z =+ + ri j k (7-10)

Vận tốc.

xy z

d

vv v

dt

== + +

r

vi j k (7-11) xy z

vx v y v z === && &

Gia tốc.

xy z

d

aa a

dt

== + +

v

ai j k (7-12)

;; xx y y z z

av x a v y a v == = = = = && & & & & & && z

12-67. Vận tốc của chất điểm được cho bởi , trong

đó tính theo giây. Nếu chất điểm nằm tại gốc toạ độ khi t , hãy xác định độ

lớn của gia tốc chất điểm khi t

23

{16 4 (5 2) }m/s tt t =+ + + vi j k

t 0 =

2s = . Ngoài ra, toạ độ vị trí của chất điểm (, , ) x yz

tại thời điểm đó là bao nhiêu?

Bài giải:

Từ CT: . Ta có:

23

{16 4 (5 2) }m/s tt t =+ + + vi j k

vx = 16t

2

, vy = 4t

3

, vz = (5t+2)

dt

dv

a =

∫ = vdv s

12-79. Khi một tên lửa đạt đến độ cao

nó bắt đầu đi vào quỹ đạo parabôn

, trong đó các toạ độ tính theo đơn

vị mét. Nếu thành phần vận tốc theo phương

đứng là không đổi với , hãy xác định

độ lớn vận tốc và gia tốc tên lửa khi nó đạt đến

độ cao 80 .

40m

2

( 40) 160 y −= x

180m/s y

v =

m

Bài giải:

Từ phương trình quỹ đạo:

Bài tập 12-79 2

( 40) 160 yx −=

đạo hàm theo thời gian cả hai vế được:

()

dt

dx

dt

dy

y 160 40 2 = −

2(y-40)vy = 160vx.

Với h = 80m và thay vào trên tính được : 180m/s y

v =

()

) / ( 90

160

180 40 80 2

s m vx

=

−

=

() () ( ) ) / ( 246 , 201 90 180 ) (

2 2 2 2

s m v v v y x

= + = + =

Tìm gia tốc :

đạo hàm theo thời gian biểu thức vận tốc:

x y y

a a y v 160 ) 40 ( 2 2 2

= − −

do ay = 0, vy = 180 m/s thay vào được:

) / ( 405

160

180 . 2 2

s m ax

= = 12-83. Hãy xác định độ cao trên tường mà anh lính chữa cháy có thể phun

nước từ vòi phun tới được, nếu và vận tốc của nước tại mũi phun là

.

0

40 θ =

48ft/s C v =

Bài giải:

Hệ trục toạ độ. Điểm gốc

của hệ trục được thiết lập tại vị

trí bắt đầu của quỹ đạo chuyển

động, điểm C

Đk đầu :

) / ( 8 , 36 40 cos 48 0

s ft v

o

x

= =

) / ( 9 , 30 40 sin 48 0

0

s ft vy

= =

12-86. Các gầu xúc trên băng tải di chuyển với vận tốc 15 . Mỗi gầu chứa

một cái hộp sẽ rơi khỏi gầu khi . Hãy xác định khoảng cách từ trục

quay đến vị trí hộp đập vào băng chuyền ngang. Bỏ qua kích thước của hộp.

ft/s

0

120 θ = s

Bài giải:

Từ bài 12- 83 , ta có:

x = vsin60o

t

khoảng cách s = 1cos60o

+ v sin60o

t (1)

vy = -gt - v cos60o

c t v gt h o

+ − − = 60 cos

2

1 2

(2)

đk đầu: t = 0 h = 3 + 1sin60o

thay vào pt (2) được C = 3 + 1sin60o

pt(2) được viết lại :

o o

t v gt h 60 sin 1 3 60 cos

2

1 2

+ + − − =

Khi hộp đập vào băng chuyền h = 0 thay vào pt (2) tìm được t = 0,31 s

thay vào (1) tìm được s = 4,52 ft

12.91.Một quả bóng nảy theo

phương vuông góc ra khỏi mặt

nghiêng với vận tốc .

Hãy xác định khoảng cách

0

30 40 / A vft = s

R tới vị

trí nó đập vào mặt nghiêng B .

Bài tập 12-91

Bài giải:

12.7 Chuyển động cong: Các thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến

Chuyển động ba chiều.

Hệ trục toạ độ.

• Nếu quỹ đạo của động điểm đã biết, ta có thể thiết lập một hệ trục toạ độ

và với gốc cố định (fixed origin) trùng với động điểm tại thời điểm

khảo sát.

n t

• Trục tiếp tuyến có chiều dương theo chiều của chuyển động và trục pháp

tuyến có chiều dương hướng về tâm cong của quỹ đạo.

Vận tốc.

• Vận tốc của chất điểm luôn có phương tiếp tuyến với quỹ đạo.

• Độ lớn của vận tốc được xác từ đạo hàm của phương trình quỹ đạo đối

với thời gian

vs = &

Gia tốc tiếp tuyến. • Thành phần tiếp tuyến của gia tốc là kết quả của tốc độ biến đổi của độ

lớn vận tốc đối với thời gian. Thành phần này hướng theo chiều dương

của nếu tốc độ của động điểm đang tăng hoặc theo chiều âm nếu tốc độ

đang giảm.

s

• Mối quan hệ giữa , , và tương tự như trong chuyển động thẳng,

tức là

t

a v t s

t

av = & t

ads vdv =

• Nếu là hằng số, t

a ( ) t t

a a c

= , những phương trình trên, khi lấy tích phân,

dẫn đến

2 1

00 2 () tc ss v t a t =+ +

0 () tc

vv a t =+

22

00 2( ) ( ) tc sv a s s =+ −

Gia tốc pháp tuyến.

• Thành phần pháp tuyến của gia tốc là kết quả của tốc độ biến đổi phương

của vận tốc chất điểm đối với thời gian. Thành phần này luôn hướng về

tâm cong của quỹ đạo, nghĩa là theo chiều dương của trục . n

• Độ lớn của thành phần gia tốc này được xác định từ

2

n

v

a

ρ

=

• Nếu quỹ đạo xác định bởi ( ) yf x = , bán kính cong ρ tại điểm bất kỳ trên

quỹ đạo được xác định từ phương trình

23/ 2

2 2

[1 ( / ) ]

|/ |

dy dx

dy dx

ρ

+

=

BÀI TẬP

12-106. Máy bay phản lực chuyển động trên một quỹ đạo hình Parabôn

thẳng đứng. Khi máy bay đến điểm A nó có vận tốc , với tốc độ tăng là

. Hãy xác định độ lớn gia tốc của máy bay khi nó đến điểm

200 / m s

2

0.8 / ms A .

Bài giải:

Từ phương trình chuyển động:

2

4 , 0 x y = Gia tốc của máy bay được tính theo công thức:

() ( )

2 2

t n

a a a + =

Trong đó:

at = 0,8 m/s

2

2

n

v

a

ρ

=

Tính đạo hàm y theo thời gian:

dx x dy . 8 . 0 =

x

dx

dy

8 . 0 = ⇒

Bài tập 12-106

( )

2 2 2

8 , 0 8 , 0 dx dx y d + = do dx = 0

nên 8 , 0 2

2

=

dx

y d

Từ công thức:

23/ 2

2 2

[1 ( / ) ]

| / |

dy dx

dy dx

ρ

+

=

() []

) ( 61 , 87

8 . 0

8 . 0 1 2

3

2

5

km x

x

=

+

= =

ρ = 8761 (m)

) / ( 457 , 0

87600

200 2

2

s m an

= =

() ( ) () ( ) ) / ( 921 , 0 8 , 0 457 , 0 2 2 2 2 2

s m a a a t n

= + = + =

12-107. Ô tô chuyển động trên đường

cong có bán kính . Nếu vận tốc của nó

tăng đều từ đến trong vòng ,

hãy xác định độ lớn gia tốc của nó tại thời

điểm tốc độ của nó là .

300m

15 / m s 27 / m s 3s

20 / m s

Bài tập 12-107

Bài giải:

Đk bài toán: vo = 15 m/s, v = 27 m/s, t = 3s

Từ công thức tính vận tốc trong trường hợp gia tốc tiếp tuyến không đổi:

t a v v t o

+ = Tính được ) / ( 4

3

15 27 2

s m

t

v v

a o

t

=

−

=

−

=

Gia tốc pháp tuyến tính theo CT:

) / ( 33 , 1

300

20 2

2 2

2

s m

R

v

an

= = =

Gia tốc của ô tô ại thời điểm v2 = 20 (m/s)

*12-112. Một gói hàng được thả từ máy bay đang bay ngang với vận tốc

không đổi . Hãy xác định thành phần pháp tuyến, tiếp tuyến của gia

tốc và bán kính cong của quỹ đạo chuyển động (a) tại thời điểm gói hàng được

thả ở

150 / A v ft = s

A , tại đó nó có vận tốc theo phương ngang v 150 / A ft s = , và (b) ngay trước

khi nó chạm vào mặt đất ở B .

Bài giải:

a. Tại thời điểm gói hàng ở A .

Nó có vận tốc không đổi theo phương ngang là 150 / A v ft s = nên at = 0

an = g

do đó :

) ( 699

2 , 32

1502 2

ft

a

v

n

= = = ρ

b. Chọn hệ trục toạ độ:

Trục x có chiều từ trái sang phải

Trục y hướng xuống dưới

Từ đk đầu:

vx = 150(ft/s)

t = 0, vyo = 0, yo = 0

) / ( 150 s ft v v A x

= =

ay = g

) 2 (

2

) 1 (

2

gt

y

gt vy

=

=

Tại vị trí B: y = h = 1500ft thay vào (2) tìm được ) ( 65 , 9

2

s

g

h

t = =

thay vào tính được vy

Ta lại có:

12-127. Xe đua tại A có vận tốc ban đầu

là . Nếu trên đường đua tròn xe

tăng tốc với gia tốc , trong đó

tính theo mét, hãy xác định khoảng thời gian

cần thiết để xe đi được . Cho

15 / A v m = s

t

s

2

(0.4 ) / as m s =

20m 150m ρ = .

Bài giải:

Từ CT: t

ads vdv =

thay at = (0,4s) vào được

vdv sds = 4 , 0

vdv sds

v s

∫ = ∫

15 0

4 , 0

v s v

s 15

2

0

2

2

2 , 0 =

2 2 2

15 4 , 0 + = s v

2 2

15 4 , 0 + = ⇒ s v

Ta lại có:

dt

ds

v = Y

∫ = ∫

+

t

dt

s

ds

0

20

0

2 2

15 4 , 0

t = 1,21(s)

12-133. Xe tải chuyển động với vận

tốc 4 / m một đường tròn có bán

kính 50m . Sau đó, trong một khoảng

thời gian ngắn từ 0 s = tốc của xe

được tăng với (0.05 ) v s = & ó

s trên

độ

/ m s , trong đ 2s tính theo mét. Hãy xác định vận tốc và độ lớn gia tốc của xe khi nó đi được

10 s m = .

Bài giải:

Từ CT: t

ads vdv =

thay at = (0,05s) vào được

vdv sds = 05 , 0

vdv sds

v

∫ = ∫

4

10

0

05 , 0

v v

s 4

2

10

0

2

2

025 , 0 =

2,5 = 0,5v2

- 0,5.16 Y v = 4,58 (m/s)

Xác định độ lớn gia tốc của xe:

at = (0,05s) = 0,05.10 = 0,5 (m/s)

) / ( 42 , 0

50

58 , 4 2

2 2

s m v

an

= = =

ρ

( ) ) / ( 653 , 0 42 , 0 ) 5 , 0 (

2 2 2

s ft a = + =

7.2.4 Chuyển động cong: Các thành phần tọa độ trụ

Vị trí. r

r = ru

Vận tốc. rr θ θ v= v + v u u

Trong đó:

r θ v= r ; v = rθ & &

22

() ( ) vr rθ =+ & &

Gia tốc. rr

a aθ θ + a= u u

Trong đó

2

22 2

;2

() ( 2

r

ar r a r r

ar r r r

θ θθ θ

) θ θθ

=− = +

=− + +

&& && & && &

&& & && & &

12-145. Một xe tải chuyển động trên cung

tròn nằm ngang có bán kính 60 r m = với vận

tốc và tăng tốc với . Hãy xác

định các thành phần bán kính và góc ngang của

gia tốc xe.

20 / m s

2

s

t

3/ m

Bài giải:

12-150. Một đoàn tàu đang chuyển động trên một

cung đường hình tròn có bán kính 600 rf = . Tại thời

điểm đã cho, vận tốc góc của đoàn tàu là

, và tăng tốc với . Hãy

xác định độ lớn vận tốc và gia tốc của đoàn tàu tại

thời điểm đó.

0.02 / rad s θ = & 2

0.001 / rad s θ =− &&

Bài giải:

• Xác định độ lớn vận tốc của đoàn tàu:

Từ CT :

r θ v= r ; v = rθ & &

vr = 0; vθ = 600.0,02 = 12(ft/s)

• Xác định độ lớn vận tốc của đoàn tàu:

Từ CT:

) / ( 24 , 0 ) 02 , 0 .( 600 0 2 2 2

s ft r r ar

− = − = − = θ & & &

) / ( 6 , 0 0 . 2 ) 001 , 0 .( 600 2 2

s ft r r a − = + − = + = θ θ θ

& & & &

() ( ) ) / ( 646 , 0 6 , 0 24 , 0 2 2 2

s ft a = − + − =

12-163. Trong một thời gian ngắn, gầu của

máy xúc gầu nghịch vạch nên một quỹ đạo

hình tim 25(1 cos ) rft θ =− . Hãy xác địn

θ =

h độ lớn

vận tốc và gia tốc của gầu khi nếu tay

gầu quay với vận tốc góc và gia tốc

góc tại thời điểm đã cho.

0

120

2 / rad s θ = &

2

0.2 / rad s θ = &&

Bài giải:

§7.3 Phân tích sự phụ thuộc chuyển động tuyệt đối và mối

liên hệ chuyển động giữa hai chất điểm

7.3.1 Phân tích sự phụ thuộc chuyển động tuyệt đối giữa hai chất điểm

Phương trình toạ độ vị trí.

• Thiết lập các toạ độ vị trí với các gốc toạ độ đặt tại một điểm hay vật mốc

cố định.

• Các toạ độ có chiều dọc theo quỹ đạo chuyển động và nối tới một điểm có

cùng chuyển động với từng chất điểm. • Các điểm gốc của các trục toạ độ không nhất thiết phải trùng nhau; tuy

nhiên, quan trọng là mỗi một trục toạ độ được chọn phải có chiều dọc

theo quỹ đạo chuyển động của chất điểm.

• Sử dụng hình học và lượng giác, thiết lập quan hệ giữa các toạ độ với tổng

chiều dài của dây , hoặc với một phần chiều dài dây , là phần đã bỏ đi

những đoạn dây có chiều dài không đổi khi các chất điểm chuyển động -

chẳng hạn như những đoạn cung quấn qua các puli.

T l l

12-174. Hãy xác định vận tốc cuộn đều của sợi cáp A nhờ mô tơ để có thể tời tải

trọng B lên 15 trong vòng . ft 5s

Bài giải: Theo đề bài d = 15ft

t = 5s

12-177. Thùng gỗ được tời lên theo mặt nghiêng bằng mô tơ M và hệ dây

cùng puli như trong hình. Hãy xác định vận tốc phải cuốn sợi cáp bởi mô tơ để

có thể di chuyển thùng gỗ lên mặt phẳng với vận tốc không đổi . 4 / ft s

Bài giải:

12-179. Tời được dùng để cẩu tải trọng . Nếu đầu dây xích D A di chuyển

xuống dưới với và đầu dây 5/ A vft = s B di chuyển lên trên với , hãy

xác định vận tốc của tải trọng .

2 / B v ft = s

D

Bài giải:

12-189. Thùng gỗ được tời lên

bằng cách di chuyển con lăn

C

A dọc theo

đường dẫn xuống dưới với vận tốc không

đổi . Hãy xác định vận tốc và

gia tốc của thùng tại thời điểm

2/ A vm = s

1 s m = . Khi

con lăn nằm tại B , thùng gỗ nằm yên trên

mặt đất. Bỏ qua kích thước của puli khi

tính toán. Gợi ý: Thiết lập quan hệ giữa

các toạ độ C x và A x sử dụng bài toán hình

học, sau đó lấy đạo hàm bậc nhất và bậc

hai đối với thời gian.

Bài tập 12-189

Bài giải:

xC = 4-1 = 3 m

L = 4 + 4 = 8 m

m x x A A 3 5 16 2

= ⇒ = +

Thay vào tính được : ) / ( 2 , 1

16 9

2 . 3

s m vC − =

+

− =

aC = - 0,512 (m/s

2

)

7.3.2. Phân tích mối quan hệ chuyển động của hai chất

điểm khi sử dụng các trục tịnh tiến

Vị trí.

/ BA B =+ rr r A

A

t t r đ

dt

A

Vận tốc.

/ BA B =+ vv v

Trong đó:

/ B B d d = vr và v ược gọi là vận

tốc tuyệt đối, vì được quan sát từ hệ quy

chiếu cố định;

/ AA d d =

//

/ BA BA d = vr được gọi là vận tốc tương đối, vì được quan sát từ hệ quy

chiếu chuyển động tịnh tiến.

Gia tốc / BA B =+ aa a

12-199. Tại thời điểm đã cho, hai ô tô A và B chuyển động với vận tốc theo

thứ tự và . Nếu xe 30 / mi h 20 / mi h A tăng tốc với gia tốc , trong khi xe

2

400 / mi h

B giảm tốc với gia tốc 800 , hãy xác định vận tốc và gia tốc của

2

/ mi h B đối với

A .

Bài giải:

VA = - 30 i (mi/h)

VB = {-20cos60o

i+ 20sin60o

j} (mi/h)

VB = {-10i + 17,321j} (mi/h)

Từ CT: / B AB =+ vv v A

VB/A = VB - VA = {-10i +17,321j}- {-30i}

= {20 i + 17,321j} mi/h

VB/A = 26,458 (mi/h)

Tính gia tốc của ô tô B so với ô tô A

aA = - 400i (mi/h2

)

Do B chuyển động trên qũy đạo cong

aB = aBt + aBn Ô tô B chuyển động với gia tốc chậm dần nên chiều của aBt sẽ ngược chiều với

vB

aBt = 800cos60o

i - 800sin60o

j (mi/h2

)

aBt = 400i - 692,82j (mi/h2

)

) / ( 3 , 1333

3 , 0

20 2

2 2

h mi

R

v

a B

Bn

= = =

aBn = 1333,3sin60o

i+ 1333,3cos60o

j = {1154,7i + 666,65j} (mi/h2

)

Gia tốc của ô tô B là :

aB = {1554,7i - 26,17j} (mi/h2

)

Từ CT: / B AB =+ aa a A

{ } { } i j i a a a B A B

r r r r r r

400 17 , 26 7 , 1554 A /

− − − = − =

{ } ) / ( 17 , 26 7 , 1954 2

/

h mi j i a A B

r r r

− =

() ( ) ) / ( 1955 17 , 26 7 , 1954 2 2 2

/

h mi a A B = − + =