CHƯƠNG 10: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA CHẤT ĐIỂM VÀ CỦA

VẬT RẮN CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG: CÔNG VÀ NĂNG LƯỢNG

Để thiết kế vòng trượt của tàu lượn siêu tốc này, cần đảm bảo toa xe có đủ năng lượng để tàu

lượn thực hiện được mà không rời khỏi đường trượt.

Mục đích của chương

• Trình bày những công thức động năng của chất điểm, vật rắn chuyển động phẳng

và định nghĩa công của lực, ngẫu lực biến đổi.

• Áp dụng nguyên lý công và năng lượng để giải các bài toán động lực học của chất

điểm và động lực học phẳng của vật rắn bao gồm lực, vận tốc và di chuyển.

• Giới thiệu khái niệm lực bảo toàn và áp dụng sự bảo toàn năng lựợng để giải các

bài toán.

36A - CHẤT ĐIỂM

§10.1. Công của lực- Công suất và hiệu suất

10.1.1 Công của lực

Hình 10-1

Trong cơ học, một lực F đặt lên chất điểm sinh công

chỉ khi chất điểm có di chuyển theo phương của lực.

• Công dU sinh ra do lực F khi chất điểm di chuyển dr

là đại lượng vô hướng được xác định bởi (H 10-1)

dU = F.dr = F ds cosθ (10-1)

Ở đây: ds = dr và θ là góc giữa gia lượng dr và F

Như vậy, dU bằng tích của F nhân với thành phần

dịch chuyển theo phương của lực dscosθ hoặc bằng

tích ds với thành phần của lực theo phương dịch

chuyển Fcosθ.

Chú ý rằng : nếu 0o

≤ θ ≤ 90o

, thì dU > 0 ;

nếu 90o

< θ ≤ 180o

, thì dU < 0 và θ= 900

( lực vuông góc với di chuyển) hoặc

lực tác dụng tại điểm cố định thì dU = 0

Đơn vị của công trong hệ đơn vị SI gọi là joule(J). (1J = 1 N.m). Đơn vị mômen của lực

giống đơn vị công nhưng khái niệm mômen lực không liên quan đến công ; mômen là đại

lượng véc tơ, trong khi công của lực là một đại lượng vô hướng. Trong hệ thống FPS công

được xác định bởi đơn vị ft.lb. Cách viết này sẽ phân biệt với đơn vị của mômen là lb.ft

Hình 10-2

Công của lực biến đổi: (Hình 10-2): Nếu chất điểm thực hiện di chuyển dọc theo quỹ đạo

của nó từ r1 đến r2 hoặc từ s1 đến s2 thì công sinh ra bằng:

dsFdU

r

r

s

s

θ cos .

2

1

2

1

21 ∫∫ == − rF (10-2)

(a) Hình 10-3 (b)

37• Công của lực không đổi dịch chuyển theo đường thẳng ( hình 10-3):

Vì cả lực F = Fc và góc θ không đổi ( đường quỹ đạo thẳng), ta có:

()

2

1

12 2 1 cos cos

s

cc

s

UF dsF ss θθ − == ∫ − (10-3)

• Công của trọng lực W

Công của trọng lực W không phụ thuộc vào dạng đường đi của điểm đặt lực, bằng độ lớn của

trọng lựợng nhân với độ di chuyển theo phương thẳng đứng của nó:

yWU Δ − = −21 (10-4)

Ở đây: Di chuyển thẳng đứng Δy hướng lên được đo là dương ( do công của trọng lực dương

nếu chất điểm di chuyển xuống, và âm nếu chất điểm di chuyển lên).

• Công của lực lò xo

(1) Độ lớn của lực xuất hiện ở lò xo đàn hồi tuyến tính khi lò xo di chuyển một đoạn s từ vị trí

ban đầu là Fs = ks, k là độ cứng của lò xo. Công của lực đàn hồi của lò xo có dạng:

2 1

2

s

Uk = s

(2) Nếu lò xo bị kéo giãn hoặc bị nén co lại từ vị trí s1 đến vị trí xa hơn s2 thì công sinh ra trên

lò xo bởi lực Fs sẽ luôn dương vì trong mỗi trường hợp, lực và di chuyển là cùng hướng.

Ta có: ( hình 10-4a)

2

12 2 1

11

22

− =− Uks

2

ks (10-5)

(3) Nếu vật hoặc chất điểm được gắn vào lò xo ( hình 10-4b) thì lực Fs tác dụng lên vật ( hoặc

chất điểm) sẽ ngược với chiều tác dụng của nó lên lò xo. Do đó lực Fs sẽ sinh công âm lên

vật ( hay chất điểm):

(10-6)

)

1

(

2 2

ksks U −−=

22

1

1 2 21−

Hình 10-4a

vị trí ban đầu, s = 0

lực trên lòxo Vị trí ban đầu, s = 0

Lực trên chất điểm

Hình 10-4b

3810.1.2 Công suất và hiệu suất

• Công suất: được định nghĩa là lượng công sinh ra trong một đơn vị thời gian. Do đó, công

suất P được tạo ra do máy móc hoặc động cơ thực hiện lượng công dU trong khoảng thời gian

dt bằng:

.

. == =

dU d

P

dt dt

Fr

Fv (10-7)

Vậy, công suất là một đại lượng vô hướng, v trong (10-7) là vận tốc của điểm trên đó tác

dụng lực F. Đơn vị cơ bản của công suất trong hệ SI là oát (W) và trong hệ FPS là mã lực

(hp). Những đơn vị này được định nghĩa là:

1W = 1 J/s = 1 N.m/s

1 hp = 550 ft.lb/s

1 hp = 746 W

• Hiệu suất. Hiệu suất máy của một máy ( hay thiết bị) được xác định bằng:

power output

power input

ε = hoặc

energy output

energy input

ε = (10-8)

Do máy móc bao gồm một loạt các bộ phận chuyển động, lực ma sát luôn luôn xuất hiện

cùng các máy móc. Kết quả là: năng lượng hoặc công suất sản ra cần phải thắng những lực

đó. Do đó, hiệu suất của máy luôn luôn nhỏ hơn 1.

(*) Các ví dụ áp dụng:

Sinh viên đọc ví dụ 14-7, 14-8 ( trang 226- 227).

10.2. Nguyên lý công và năng lượng

10.2.1. Nguyên lý công và năng lượng đối với chất

điểm

Hệ toạ độ quán tính

Hình 10-5

• Ta đưa vào biểu thức T =

2

2

1

mv là đại lượng vô

hướng, dương, biểu thị động năng của chất điểm, khối

lượng m, chuyển động với vận tốc v.

• Xét chất điểm P, khối lượng m chịu tác dụng của các

lực biểu diễn bởi hợp lực FR = ∑F, chuyển động trên

quỹ đạo đối với hệ quy chiếu quán tính, hình 10.5.

Áp dụng các phương trình:

tt

t

t

F=ma

Fds=mvdv vdv

a=

ds

⎫

⎪

⇒ ⎬

⎪

⎭

∑

∑

Sau khi tích phân cả hai vế với giả thiết ban đầu chất điểm có vị trí s = s1 và vận tốc v = v1,

và cuối có s = s2, v = v2, ta được:

39

2

1

2

2 21

2

1

2

1

mvmvU −= ∑ − (10-9)

Khi áp dụng phương trình (10-9) biểu thị nguyên lý công và năng lượng cho chất điểm, ta

thay ký hiệu để viết ở dạng:

221 1 TUT =+ ∑ − (10-10)

(10- 10) phát biểu như sau: Động năng ban đầu của chất điểm cộng với công sinh ra bởi

tất cả các lực tác dụng lên chất điểm khi chuyển động từ vị trí ban đầu đến vị trí cuối bằng

động năng cuối của chất điểm

• Nguyên lý công và năng lượng được sử dụng giải các bài toán bao gồm vận tốc, lực và di

chuyển ( vì những số hạng này được đưa vào trong phương trình mô tả nguyên lý, tức phương

trình (10-10).

10.2.2 Nguyên lý công và năng lượng đối với hệ chất điểm

• Nguyên lý công và năng lượng có thể được mở rộng cho hệ gồm n chất điểm độc lập nằm

trong một miền giới hạn của không gian. Ở đây, chất điểm bất kỳ thứ i có khối lượng là mi,

chịu tác dụng của hợp các ngoại lực Fi và hợp các nội lực fi . Nguyên lý công và năng lượng

cho hệ các chất điểm viết ở dạng:

∑ ∑ ∑ =+ − 2 21 1 TUT (10-11)

(10-11) được phát biểu như sau: Động năng ban đầu của hệ (∑T1) cộng với công sinh ra do

tất cả các nội lực và ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ (∑U1-2) bằng động năng cuối

của hệ (∑T2).

• Chú ý rằng, nội lực giữa hai chất điểm cạnh nhau tạo nên cặp nội lực cộng tuyến bằng nhau

nhưng ngược chiều nhau, tổng công của mỗi lực đó nói chung không trượt tiêu nhau vì đường

đi của mỗi chất điểm là khác nhau. Tuy nhiên có hai ngoại lệ quan trọng thường xảy ra trong

thực tế:

1. Khi hệ các chất điểm bao gồm trong đó là các vật rắn chuyển động tịnh tiến.

2. Khi hệ các chất điểm được nối (liên kết với nhau) bằng các dây không giãn.

• Trong những trường hợp trên, những chất điểm cạnh nhau chịu tác dụng các nội lực bằng

nhau, nhưng ngược chiều, có cùng di chuyển và do đó tổng công nội lực sẽ triệt tiêu nhau.

• Một lớp bài toán đặc biệt chứa công của lực ma sát gây ra do có trượt. Phương trình (10-11)

cũng có thể áp dụng cho những bài toán bao gồm ma sát trượt. Tuy nhiên, công của hợp lực

ma sát không biểu diễn bởi μkNs, mà thay cho số hạng này, ta biểu diễn cả công ngoại ma sát

(μkNs') và công nội ma sát [ μkN (s − s′)] được biến đổi vào các dạng khác nhau của năng

lượng trong, như nhiệt.

(*) Các ví dụ áp dụng:

Sinh viên đọc từ ví dụ 14-2 đến ví dụ 14-6 ( trang 210- 214).

40§10.3 Lực bảo toàn- Thế năng- Sự bảo toàn năng lượng.

10.3.1 Lực bảo toàn

Khi công sinh ra bởi lực làm chất điểm chuyển động từ điểm này đến điểm khác không phụ

thuộc vào quĩ đạo ( dạng đường đi) của chất điểm, thì lực này được gọi là lực bảo toàn. Thí dụ

như:

- Trọng lực của chất điểm, lực đàn hồi của lò xo là những lực bảo toàn. Tại sao?

- Lực ma sát là lực không bảo toàn. Tại sao ?

10.3.2 Thế năng

Thế năng là đại lượng đo bằng lượng công sinh ra của lực bảo toàn khi nó di chuyển từ vị trí

đã cho ( khảo sát) về vị trí quy chiếu chọn làm mốc tính.

Trong cơ học, thế năng hấp dẫn ( trọng lực) hoặc lò xo đàn hồi là quan trọng

- Thế năng hấp dẫn: Thế năng hấp dẫn của chất điểm trọng lượng W ( hình 10-6a) là:

g VWy = (10-12)

Điểm mốc

Thế năng lực hấp dẫn

Hình 10-6a

- Thế năng đàn hồi: Thế năng đàn hồi của lò xo bị dãn ra hoặc co lại một đoạn s từ vị trí chưa

dãn của nó ( hình 10-6b) là:

2

2

1

ksVe += (10-13)

- Hàm thế: Tổng quát, nếu chất điểm chịu tác dụng cả lực hấp dẫn và lực đàn hồi, thì thế năng

của chất điểm có thể được biểu diễn như một hàm thế, nó là tổng đại số:

V = Vg + Ve (10-14)

41Vị trí ban đầu, s = 0

Thế năng đàn hồi

Hình 10-6b

Chứng tỏ lực F là bảo toàn: Tiêu chuẩn toán học để kiểm tra lực F là bảo toàn, đó là quan

hệ giữa F và hàm thế V của nó:

= −∇ F V (10-15)

Ở đây: ∇ biểu diễn toán tử véctơ: ∇ =

x yz

⎛⎞ ∂∂∂ ⎛⎞ ⎛⎞

⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟

∂∂∂ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠

i+ j+k

Nói cách khác, nếu lực F và hàm thế V của nó thỏa mãn phương trình ( 10-15) thì F là lực bảo

toàn.

10.3.3 Bảo toàn năng lượng

- Nếu chất điểm ở vị trí bất kỳ trong không gian (x, y, z), thì hàm thế năng là V(x, y, z). Công

sinh ra do lực bảo toàn khi chất điểm di chuyển từ điểm ( x1, y1, z1) đến điểm ( x2, y2, z2) được

tính bằng hiệu các hàm thế năng; nghĩa là:

U1-2 = V1 − V2 (10-16)

- Trường hợp chất điểm chịu tác dụng của cả các lực bảo toàn và không bảo toàn, áp dụng

(10-16), nguyên lý công và năng lượng khi này viết được:

( ) 11 12 2 − ++ =+ 2 ∑ noncons

TV U TV

Do đó nếu chỉ có các lực bảo toàn tác dụng lên chất điểm thì thu được:

2211 VTVT + = + (10-17)

Phương trình (10-17) là phương trình bảo toàn năng lượng đơn giản ( cơ học)- thường gọi

là bảo toàn cơ năng. Nó được phát biểu : Trong quá trình chuyển động tổng động năng và thế

42năng của chất điểm là đại lượng hkông đổi ( nghĩa là động năng phải chuyển hóa hoàn toàn

thành thế năng).

- Đối với cơ hệ chỉ chịu tác dụng các lực bảo toàn, áp dụng phương trình (10-11) và những

điều đã thảo luận trước đây, ta có:

∑ ∑ ∑ ∑ +=+ 2 2 1 1 VTVT (10-18)

(*) Các ví dụ áp dụng:

Sinh viên đọc từ ví dụ 14-9 đến ví dụ 14-11 ( trang 238- 240)

43

Nguyên lý công và năng lượng chỉ ra một qui tắc quan trọng trong chuyển động của máy tời

được dùng để cẩu ống trên thiết bị khoan này.

44B. Vật rắn

§10.4 Động năng- công của lực và ngẫu lực

10-4.1. Động năng

• Tịnh tiến (Hình 10-7a). Khi vật rắn có khối lượng m thực

hiện chuyển động tịnh tiến thẳng hoặc cong, động năng của

vật là:

2

G

1

Tmv

2

= (10-19)

Ở đây vG là độ lớn vận tốc tịnh tiến v ở thời điểm khảo sát.

• Chuyển động quay xung quanh 1 trục cố định. (Hình 10-

7b)

Khi vật rắn quay xung quanh 1 trục cố định đi qua điểm O,

động năng của vật bằng :

22

GG 0

11 1

Tmv I I

22 2

=+ω= 2

ω (10-20)

Trong đó: là vận tốc góc của vật rắn và I ω O là mômen quán

tính của vật đối với trục z đi qua điểm O.

Ở trường hợp này, động năng T được tách ra hai phần: Động

năng tịnh tiến

2

G

1

mv

2

và động năng quay quanh tâm khối

lượng của vật

2

G

1

I

2

ω . Tuy nhiên vật rắn chỉ có duy nhất

chuyển động quay quanh O, xác định bởi công thức

và khi sử dụng định lý chuyển trục song song, ta

dẫn về công thức gọn hơn:

G v

GG vr =ω

2

O

1

TI

2

=ω

• Chuyển động phẳng tổng quát. ( Hình 10-7c). Khi vật rắn

thực hiện chuyển động phẳng tổng quát, động năng bằng

2

GG

11

Tmv I

22

2

= +ω (10-21)

Trong trường hợp này, động năng T là tổng vô hướng động

năng tịnh tiến

2

G

1

mv

2

và động năng quay quanh tâm khối lượng

2

G

1

I

2

ω của vật rắn.

Hình 10-7a

Hình 10-7c

Hình 10-7b

• Hệ các vật rắn liên kết với nhau: Do động năng là đại lượng vô hướng nên động năng của

cả hệ là tổng động năng của các thành phần chuyển động của nó.

45

Tổng động năng của máy đầm đất này bao gồm

động năng của vật hoặc khung máy chuyển động

tịnh tiến, và động năng của chuyển động tịnh tiến và

chuyển động quay của con lăn và các bánh xe vì

chúng chuyển động phẳng tổng quát. Ở đây chúng

ta loại bỏ động năng phát sinh thêm do chuyển động

của các phần của động cơ và thiết bị truyền động.

10.4.2. Công của lực và ngẫu lực

10.4.2a. Công của lực

Chú ý rằng, một vài ngoại lực không sinh công khi vật di chuyển. Những lực đó có thể tác

dụng lên những điểm cố định trên vật hoặc có phương vuông góc với dịch chuyển của nó ;

Thí dụ : phản lực ở gối đỡ bản lề khi vật quay quanh nó hoặc trọng lực của vật khi tâm trọng

lực của vật di chuyển trong mặt phẳng nằm ngang.

10-4.2b. Công của ngẫu lực

• Khi vật chịu tác dụng của ngẫu lực thực hiện chuyển động phẳng tổng quát, hai lực của

ngẫu lực sinh công chỉ khi vật chuyển động quay. Nếu vật chuyển động quay trong mặt phẳng

với góc ( đo bằng radian) được xác định từ θ 1 θ đến 2 θ , thì công của ngẫu lực bằng:

2

1

θ

M

θ

U=Mdθ ∫ (10-22)

Ở đây: M là độ lớn của mômen của ngẫu lực M

- Nếu độ lớn của M không đổi, thì

M2 U=M(θ - θ ) 1 (10-23)

Ở đây, công dương nếu như M và ( -

2 θ 1 θ ) cùng chiều với nhau.

(*) Các ví dụ áp dụng

Sinh viên tự đọc ví dụ 18-1 và 18-2 .

§10.5 Nguyên lý công và năng lượng.

Áp dụng kết quả trình bày trong phần §10-2, nguyên lý công và năng lượng cho vật rắn là:

112 TU − += ∑ 2 T (10-24)

(*) Các ví dụ áp dụng

Sinh viên đọc từ ví dụ 18-3 đến ví dụ 18- 6 ( trang 503 đến trang 508).

46

§10.6 Bảo toàn năng lượng

Khi hệ lực tác dụng lên vật rắn chỉ gồm những lực bảo toàn thì định lý bảo toàn năng lượng

cho vật rắn có dạng:

11 2 2 TV TV +=+ (10-25)

(*) Các ví dụ áp dụng

Sinh viên đọc từ ví dụ 18-7 đến ví dụ 18-9 ( trang 520 đến trang 522).

47