CHƯƠNG 11: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA CHẤT ĐIỂM VÀ CỦA VẬT

RẮN CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG: XUNG LƯỢNG VÀ ĐỘNG LƯỢNG

Sự nâng lên do chuyển động quay của cánh quạt máy bay lên thẳng có thể được tính từ

phân tích dòng đều dựa trên nguyên lý về xung lượng và động lượng

Mục đích của chương

• Trình bày nguyên lý xung lượng và động lượng tuyến tính của chất điểm, cũng như sự

bảo toàn động lượng tuyến tính của nó.

• Phân tích cơ học về va chạm.

• Đưa vào khái niệm xung lượng góc và động lượng góc ( mômen động lượng)

• Giải những bài toán liên quan tới dòng chất lỏng ổn định.

• Áp dụng các nguyên lý xung lượng và động lượng tuyến tính và góc để giải các bài

toán động lực học phẳng của vật rắn gồm có lực, vận tốc và thời gian. Thảo luận các

áp dụng của bảo toàn động lượng.

48A. CHẤT ĐIỂM

§11.1 Nguyên lý xung lượng và động lượng tuyến tính

11.1.1 Nguyên lý xung lượng và động lượng cho chất điểm.

• Xét chất điểm bất kỳ có khối lượng m, chuyển động trong hệ quy chiếu quán tính với vận

tốc v và gia tốc a dưới tác dụng của các lực có hợp lực

R = ∑ F F . Nguyên lý xung lượng và

động lượng tuyến tính của chất điểm thu được từ tích phân phương trình chuyển động:

d

dt

== ∑ v

Fa

Và được mô tả bằng phương trình:

(11-1)

2

1

12

mdt += ∑∫ vF mv

(1) Động lượng tuyến tính: Một trong hai véctơ dạng L = mv trong (11-1) là động lượng

tuyến tính của điểm. Do m là đại lượng vô hướng nên L hướng theo v, có đơn vị đo trong

hệ SI: kgm/s hoặc trong hệ FPS là slug.ft/s.

(2) Xung lượng tuyến tính: Tích phân

2

1

dt = ∫ IF trong (11-1) gọi là xung lượng tuyến tính.

Đại lượng véctơ này đo hiệu quả của lực trong thời gian lực tác dụng. Xung lượng tác

dụng theo hướng của lực và có đơn vị đo trong hệ SI, FPS tương ứng là: N.s; lb.s

• Phát biểu nguyên lý xung lượng và động lượng tuyến tính: Phương trình (11-1) có thể phát

biểu như sau: Động lượng tuyến tính ban đầu của chất điểm (tại t1) cộng với tổng xung lượng

các lực tác dụng lên chất điểm từ t1 đến t2 bằng động lượng tuyến tính cuối của chất điểm (tại

t2).

Các số hạng trong phương trình (11-1) được biểu diễn trên sơ đồ xung lượng và động lượng

(Hình 11-1).

Sơ đồ động lượng

ban đầu

Sơ đồ xung lượng Sơ đồ động lượng

cuối cùng

+ =

Hình 11-1

Phương trình (11-1) cho ta phương pháp trực tiếp để thu được vận tốc cuối v2 của chất

điểm khi biểu thức vận tốc ban đầu v1 của chất điểm và lực tác dụng lên nó hoặc không dổi

hoặc là hàm của thời gian.

49• Có thể viết (11-1) ở dạng vô hướng:

(11-2)

11.1.2. Nguyên lý xung lượng và động lượng tuyến tính cho hệ chất điểm

• Nguyên lý xung lượng và động lượng tuyến tính cho hệ chất điểm chuyển động đối với hệ

quán tính cho bởi phương trình:

2

1

ii i ii 1 2

+= ∑∑∑ ∫ vF mdtm v (11-3)

• Ta cũng có thể viết (11-3) ở các số hạng theo tâm khối lượng G của hệ và có:

P ΣM Σ() = Mk P (11-4)

(*) Các ví dụ áp dụng

Sinh viên đọc từ ví dụ 15-1 đến ví dụ 15-3 ( trang 254-257)

11.1.3 Sự bảo toàn động lượng tuyến tính đối với hệ chất điểm

• Khi tổng xung lượng của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ bằng không,

thì phương trình (11-3) rút gọn thành

(11-5

• T

hay mvG = ∑mivi vào phương trình 11-5, ta được:

(11-6)

ụ cẩn thận t ) s ật

tự do đối với cả cơ hệ chất điểm và xác định rõ các lực gây ra xung

ra

Sinh n ví dụ 15-8 ( trang 266- 270)

x

y

z

2

1

2

1

2

1

12

12

12

+=

+=

+=

∑∫

∑∫

∑∫

xx

yy

zz

mv Fdt mv

mv Fdt mv

mv Fdt mv

∑mi(vi)1 = ∑mi(vi)2

(vG)1 = (vG)2

• Để áp d ng nguyên lý, cần nghiên cứu ( chi tiế ơ đồ v

rắn

lượng ngoài, từ đó xác định phương động lượng tuyến tính bảo toàn.

• Nếu khoảng thời gian diễn ra chuyển động rất ngắn, thì một vài xung

lượng ngoài có thể bỏ qua hoặc xấp xỉ bằng không. Những lực gây

xung lượng không đáng kể được gọi là các lực không xung, thí dụ: trọng

lượng của vật hoặc lực bất kỳ rất nhỏ so với lực ( xung lực) khác rất lớn

( lực này làm thay đổi động lượng của hệ rất mạnh và nhanh). Khi muốn

phân biệt giữa các lực không xung và lực xung, thì điều nhận biết quan

trọng là: các lực xung tác dụng ( chỉ diễn ra) trong khoảng thời gian rất

ngắn từ t1 đến t2.

(*) Các ví dụ áp dụng:

viên đọc từ ví dụ 15-4 đế

5011.1.4 Va chạm

Cần chú ý những điểm sau đây:

a vào nhau diễn ra trong

phương trình

âm (hình 11-2b): Khi chuyển động của

khôi phục : Được định nghĩa là tỷ số của vận tốc tươ

Va chạm xảy ra khi hai vật v

khoảng thời gian rất ngắn, gây ra lực (xung lực) tương đối

lớn giữa các vật. Ví dụ : Búa đập vào đầu đinh, gậy gôn đập

vào bóng,.... Nói chung có hai loại va chạm :

(1)Va chạm xuyên tâm ( hình 11-2a): Khi

chuyển động của các tâm khối lượng của hai chất điểm va

chạm nhau nằm trên cùng một đường thẳng đi qua hai tâm

khối lượng của hai chất điểm đó. Đường thẳng này được gọi

là đường va chạm.

(2) Va chạm lệch t

một hoặc cả hai chất điểm lệch một góc so với đường va

chạm.

* Hệ số ng đối của hai chất điểm khi tách

rời nhau ngay sau khi va chạm với vận tốc tương đối của chúng khi gần tiếp xúc nhau ngay

trước va chạm :

B 2A2

A1 B1

(v ) - (v )

e=

(v ) - (v )

(11-7)

Va chạm đàn hồi (e = 1): xung lượng biến dạng bằng và ngược hướng xung lượng khôi phục.

11.2 Nguyên lý xung lượng góc và động lượng góc

ểm O được định

g thức vô hướng. ( Hình 11-3a), độ lớn của HO bằng:

(11-8)

đây: d là cánh tay đòn mômen hay là khoảng cách vuông góc từ đ m O tới đường tác

dụng của mv.

+

→

Hình 11-2

Va chạm dẻo(e = 0): không có xung lượng khôi phục, do đó sau va chạm cả hai chất điểm

dính vào nhau và chuyển động với cùng vận tốc.

§

11.2.1 Động lượng góc ( mômen động lượng)

Động lượng góc HO của chất điểm đối với đi

nghĩa như mômen của động lượng tuyến tính của chất điểm đối

với O. Đôi khi nó được dùng để mô tả như mômen của động

lượng .

Côn

(H z = ( O) d)(mv)

Hình 11-3a

Ở iể

Hướng của (HO)z được xác định bằng quy tắc bàn tay phải.

51Đơn vị của (HO)z trong hệ SI và FPS tương ứng là kg.m2

/s ho Đơn vị của (H

HO = r × mv

ặc slug.ft

2

/s.

Công t h 11-3b

thì tí

(11-9)

Ở đây: HO vuông góc với mặt phẳng chứa r và mv.

c như

sau:

ặc slug.ft

2

/s.

Công t h 11-3b

thì tí

(11-9)

Ở đây: HO vuông góc với mặt phẳng chứa r và mv.

c như

sau:

O)z trong hệ SI và FPS tương ứng là kg.m2

/s ho

hức véc tơ. Nếu một chất điểm chuyển động dọc theo đường cong như hìn hức véc tơ. Nếu một chất điểm chuyển động dọc theo đường cong như hìn

ch có hướng của các véc có thể được sử dụng để tính mô men động lượng đối với tâm O.

Trong trường hợp này

ch có hướng của các véc có thể được sử dụng để tính mô men động lượng đối với tâm O.

Trong trường hợp này

ΣMO =

O H &

Hệ thức (11-9) có thể viết dưới dạng véctơ Đề cá Hệ thức (11-9) có thể viết dưới dạng véctơ Đề cá

O x yz

x yz

mv mv mv

=

i j k

H (11-10)

1.2.2 Mối quan hệ giữa mômen của lực và động lượng góc

hiếu quán tính, dưới

(a)

Nếu véctơ định vị của chất điể hệ qui r, thì

Ta có:

Hình 11-3b

1

• Chuyển động của chất điểm có khối lượng không đổi m, trong hệ qui c

tác dụng của các lực có hợp lực FR =ΣF, thì phương trình chuyển động sẽ là:

ΣF = m v=L & &

m trong chiếu quán tính là

ΣMO = r × ΣF = r × m v &

O

d

dt

=× =× × vrv+rv & & mmm Hr &

rr & , nên ta viết được:

(11-11)

ng l cù

điểm

cả các lực ngoài tác dụng lên hệ các chất điểm đối với tâm O bằng đạo

Fi) = Σ (11-12)

Vì ×× rv && mm =( )=0

(11-11) có thể phát biểu : Tổng mômen của tất cả các lực tác dụ ên ng một chất

lấy đối với tâm O bằng đạo hàm theo thời gian động lượng góc của nó lấy đối với tâm

O. Từ (a), ta thấy : (11-11) là cách viết khác của định luật thứ hai của NiuTơn. Phương trình

này có nhiều áp dụng thực tế kỹ thuật khi mở rộng và sử dụng trong khi giải các bài toán liên

quan đến hệ các chất điểm và vật rắn.

• Hệ các chất điểm

Tổng mômen của tất

hàm theo thời gian của tổng động lượng góc của hệ đối với điểm O; Điểm O là điểm bất kỳ cố

định trong hệ qui chiếu quán tính; nghĩa là:

Σ(ri ×

iO () H &

5211.2 góc

cận tương ứng ta thu được:

(11-13)

Ở đây xung lượng góc được đị biểu thức

.3 Nguyên lý xung lượng góc và động lượng

• Viết lại phương trình (11-11) và lấy tích phân theo các

(HO)1 + ∑ 2 t

O t

∫ M dt = (HO)2

1

nh ghĩa bằng : n

22 tt

O ()dt dt =× ∫∫ MrF

11 tt

(11-14)

Tron c nối từ điểm O tới iểm bất kỳ ường tác d

F lên chất điểm.

m: ∑(HO)1 + ∑ O t

∫ M dt = ∑(HO)2 (11-15)

ng góc ung l ng góc tác dụng lên m t chấ

không trong khoảng thời gian từ t đến t , thì phương trình (11-13) được viết dưới dạng:

(11-16)

Phươ ượn góc Rõ

chịu tác dụng của xung lượng ngoài thì cả động lượng tuyến tính và động lượng góc sẽ được

ết phương trình bảo toàn động lượng góc cho hệ

chất điểm như sau

∑(HO)1 = ∑(HO)2 (11-17)

(*) C ví d áp

dụ 15-12 đến ví dụ 15-15.

§11.3 Dòng chất lỏng ổn định

ại nhóm học tập. Đặc biệt lưu ý những điểm sau:

đóng

vai trò quan trọng trong thiết kế và phân tích tuốc bin, cách quạt máy bay, bơm, tấm

•

g đó: r là véctơ định vị đượ đ trên đ ụng của lực

• Hệ các chất điể

2

1

11.2.4 Bảo toàn động lượ : Khi các x ượ ộ t điểm bằng

1 2

(HO)1 = (HO)2

ng trình (11-16) biểu thị sự bảo toàn động l g . ràng là: Nếu chất điểm không

bảo toàn. Tuy nhiên trong một số trường hợp, động lượng góc của một chất điểm được bảo

toàn còn động lượng tuyến tính thì không bảo toàn. Ví dụ cho trường hợp này xảy ra khi chất

điểm chỉ chịu tác dụng bởi lực xuyên tâm.

• Từ phương trình (11-15), ta cũng có thể vi

ác ụ dụng

Sinh viên đọc từ ví

Sinh viên tự nghiên cứu và thảo luận t

• Hiểu biết về những lực sinh ra do chuyển động của những dòng chất lỏng ổn định

mỏng và quạt gió.

Số hạng

dm gọi là

dt

lưu lượng khối được tính khi sử dụng (hình 11-4a).

(11-18)

Ở đây Q =

ρ A là t o lượng của dòng chất lỏng trong một đơn

vị thời gian.

ốc độ lưu lượng thể tích đ

A AA BBB AA BB

dm= ρ vA= ρ vA= ρ Q= ρ Q

dt

53

• Các

( 11-9)

• Sinh viên đọc ví dụ 15-16 và 15-17 trong giáo trình.

Hình 11-4

phương trình của dòng ổn định (Hình 11-4 b, c)

xBxAx

dt

yByAy

zBzAz

dm

dm

dt

dm

dt

=−

=−

=−

∑

∑

∑

Fvv

Fvv

Fvv

54B. VẬT RẮN

Việc phóng vệ tinh dự báo thời tiết này cần phải áp dụng các nguyên lý động

lượng và xung lượng để dự báo chính xác quỹ đạo chuyển động góc của nó và

có những định hướng thích hợp.

55§11.4 Động lượng tuyến tính và động lượng góc của vật rắn

• Động lượng tuyến tính của vật rắn bằng tổng véctơ các động lượng tuyến tính của tất cả

các chất điểm thuộc vật, tức là, . Vì ii

m =Σ Lv ii G mm Σ = vv , khi đó ta có thể viết

G m = Lv (11-20)

L là một đại lượng véctơ có độ lớn là mvG, nó thường được đo bằng đơn vị kg.m/s hoặc

slug.ft/s và có hướng được xác định theo hướng của vG, vận tốc của tâm khối lượng của vật.

• Động lượng góc của vật rắn cũng là véctơ, khi lấy đối với tâm khối lượng G của vật thì

HG = (11-21)

G I ω

HG là một đại lượng véctơ có độ lớn là

G I ω , thường được đo

bằng kg.m2

/s hoặc slug.m2

/s, và có phương được xác định bởi , nó

luôn luôn vuông góc với mặt phẳng chuyển động của vật.

ω

Hình 11- 5 a,b,c

Chú ý rằng: Động lượng góc của vật rắn có thể tính đối với điểm

P khác điểm G, trong trường hợp này: HP = + mômen của động

lượng tuyến tính m đối với điểm P.

G I ω

G v

Ta xét ba dạng chuyển động của vật rắn:

Chuyển động tịnh tiến. ( Hình 11-5a)

Khi vật rắn có khối lượng m chuyển động tịnh tiến (ω = 0), ta có:

0

=

=

G

G

L mv

H (11-22)

Hoặc đối với điểm A≠ G: . ()( ) AG Hdmv =

Chuyển động quay quanh một trục cố định. ( Hình 11-5b)

Khi vật rắn chuyển động quay quanh một trục cố định đi qua

điểm O, ta có:

G

GG OO

Lmv

H I hoac H I ω ω

=

= =

(11-23)

Chuyển động phẳng tổng quát. (Hình 11-5c)

=

=

G

GG

L mv

HI ω

(11-24)

Hoặc đối với điểm A G: ≠ ()( ) AG G HI dmv ω =+

56§11.5 Nguyên lý xung lượng và động lượng

Tương tự như đối với chuyển động của chất điểm, nguyên lý

hờ kết hợp

phư

Tổng xung lượng gây ra bởi hệ ngoại lực tác dụng lên vật rắn

tron ng lượng

(11-25)

Nguyên lý xung lượng và động lượng góc.

Tổng xung lượng góc tác dụng lên vật rắn trong khoảng thời gian

từ t ật trong cùng

xung lượng và động lượng của vật rắn được mở rộng n

ơng trình chuyển động với động học. Phương trình nhận được

sẽ cho phép giải trực tiếp các bài toán gồm lực, vận tốc, và thời

gian.

Nguyên lý xung lượng và động lượng tuyến tính.

g khoảng thời gian từ t1 đến t2 bằng biến thiên độ

tuyến tính của vật trong cùng khoảng thời gian đó

2

21 () ()

GG dt m m Σ= − ∫Fv v

1

1 đến t2 bằng biến thiên động lượng góc của v

khoảng thời gian đó

(1) Vật chuyển động phẳng tổng quát:

t2

1

21 GGG M dt I I ω ω Σ=− ∫ (11-26)

(2) Vật quay quanh trục cố định đ điể

i qua m O

2

1

21 OOO M dt I I ω ω Σ=− ∫ (11-27)

Tóm lại, nếu chuyển động xảy ra trong mặ

25) và (11-26), khi sử dụng nguyên lý xung lượng và động lượng,

ta c

12

12

Gy y Gy

GGG

mv Fdt mv

IMdtI ωω

+Σ =

+Σ =

t phẳng x-y, từ (11-

ó ba phương trình vô hướng sau cho vật rắn:

2

12 () ()

Gx x Gx

mv Fdt mv +Σ = ∫

1

2

1

2

1

(11-28)

Các số hạng trong hệ phương trình 11-28 được biểu diễn trên sơ đồ xung lượng và động

lượ

Hình 11-6

ng, hình 11-6 a, b,c.

57• Hệ các vật rắn liên kết với nhau: Các phương trình (11-28) cũng có thể áp dụng cho cả hệ

các vật rắn được liên kết với nhau thay cho mỗi vật riêng biệt (tách rời). Để làm điều này, cần

phải loại bỏ các xung lượng xuất hiện tại nơi tiếp xúc vì chúng là nội lực thuộc hệ.

(*) Các ví dụ áp dụng

Sinh viên tự đọc ví dụ 19-1 đến ví dụ 19-5 ( trang 537- 545)

§11.6 Sự bảo toàn động lượng

Sinh viên đọc mục 19.3 ( trang 553) giáo trình.

58