CHƯƠNG 12: DAO ĐỘNG

Hệ thống treo lò xo có thể làm giảm dao động khi phương tiện chuyển động, chẳng hạn

như toa tàu này. Để dự đoán quá trình hoạt động ta phải tiến hành phân tích dao động.

Mục đích của chương

• Thảo luận về dao động không tắt dần một bậc tự do của vật rắn khi sử dụng phương

trình chuyển động và phương pháp năng lượng.

• Nghiên cứu bài toán phân tích về dao động cưỡng bức không tắt dần và dao động

cưỡng bức tắt dần có cản nhớt.

59§12.1 Dao động tự do

• Dao động là chuyển động có chu kỳ của vật hoặc hệ gồm các vật liên kết với nhau dịch

chuyển từ vị trí cân bằng.

• Có hai loại dao động:

(1) Dao động tự do: khi chuyển động được duy trì bởi lực hấp dẫn hoặc lực phục hồi.

(2) Dao động cưỡng bức: xuất hiện khi có ngoại lực có chu kỳ hoặc gián đoạn tác dụng lên

cơ hệ.

• Hai dạng dao động trên có thể không tắt dần hoặc tắt dần.

(1) Dao động không tắt dần có thể tiếp tục mãi do ảnh hưởng của ma sát được bỏ qua khi

phân tích.

(2) Dao động tắt dần là dao động giảm dần theo thời gian do ảnh hưởng của nội và ngoại

lực ma sát.

12.1.1 Dao động tự do không tắt dần của hệ một bậc tự do

• Nếu hệ có một bậc tự do, thì nó chỉ cần một tọa độ để

xác định hoàn toàn vị trí của hệ ở thời điểm t.

• Mô hình dạng đơn giản nhất của chuyển động dao

động ta xét là khối lượng- lòxo. Đó là vật có khối

lượng m, được gắn với lò xo có độ cứng . Dao động

sẽ xuất hiện khi vật được thả ra từ vị trí chuyển dời

k

x

vì thế lò xo tác dụng lực kéo lên vật. Vật sẽ đạt được

vận tốc sao cho nó tiếp tục chuyển động ra khỏi vị trí

chuyển dời x so với vị trí cân bằng ( hình 12-1a)

Vẽ sơ đồ vật rắn tự do của vật (hình 12-1b), áp dụng

phương trình chuyển động; sắp xếp đưa về dạng chuẩn, ta

có:

2

0 + = && n xx ω (12-1)

Chuyển động được mô tả theo phương trình trên là chuyển động điều hòa đơn giản.

Hình 12-1

Ở đây: Hằng số

n ω được gọi là tần số vòng hay tần số riêng, đo bằng rad/s, và trong

trường hợp này

n

k

m

ω = (12-2)

• Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (12-1) là:

sin cos nn x AtB t ω ω =+ (12-3)

60Trong đó, và A B là hai hằng số tích phân được xác định từ các điều kiện ban đầu của

bài toán, nghĩa là tại t= 0 cho trước vị trí ban đầu và vận tốc ban đầu của vật dao động.

Thường ta biểu diễn nghiệm tổng quát (12-3) dưới dạng hàm sin đơn giản, nếu đặt:

cos AC φ = ; sin BC φ = (12-4)

Trong đó: và C φ là những hằng số mới thay cho A và B . Khi này nghiệm tổng quát

trở thành:

sin( ) n xC t ω φ = + (12-5)

Vẽ hàm (12-5) trên hệ trục x- nt ω ( hình 12-2),

ta có những đặc trưng quan trọng sau của vật

dao động:

- Biên độ dao động :

22

CAB =+ (12-6)

- Góc pha của dao động:

1

tan

B

A

φ −

= (12-7)

Hình 12-2

- Chu kỳ dao động:

2

=

n

π

τ

ω

(12-8)

- Tần số:

1

2

== n

f

ω

τ π

1

2

k

m π

= (12-9)

Tần số được tính theo số vòng/giây, nghĩa là 1 Hz = 1 vòng/s = 2 rad/s. π

* Phương pháp năng lượng: Chuyển động điều hòa đơn giản của vật trình bày ở trên xuất

hiện chỉ do lực hấp dẫn và lực phục hồi tác dụng lên vật. Vì những lực đó là bảo toàn, nên

ta cũng có thể sử dụng phương trình bảo toàn năng lượng để tìm được tần số riêng hoặc

chu kỳ dao động riêng của vật.

(*) Các ví dụ áp dụng:

Sinh viên đọc từ ví dụ 22-1 đến ví dụ 22-4 ( trang 673 đến trang 677)

6112.1.2 Dao động tự do tắt dần có cản nhớt của

hệ một bậc tự do

• Vì tất cả các dao động đều tắt dần theo thời

gian, nên sự có mặt của lực tắt dần phải được

xét đến khi phân tích dao động. Trong nhiều

trường hợp, lực cản trở gây ra sự tắt dần là

thuộc tính của các chất như: nước, dầu hay

không khí mà hệ dao động trong chúng.

• Lực tắt dần nhớt ( ta gọi: lực cản nhớt). Lực

này sinh ra khi vật chuyển động chậm trong

những môi trường nói trên và sự cản trở

chuyển động tỷ lệ thuận với tốc độ của vật.

Độ lớn F của lực cản nhớt này bằng:

= & F cx (12-10)

Trong đó, hằng số được gọi là hệ số tắt dần

nhớt ( ta gọi là hệ số cản nhớt); có đơn vị là

c

Ns/m ⋅ hay lb s/ft ⋅ .

Hình 12-3

• Phương trình dao động tự do tắt dần có cản nhớt của hệ một bậc tự do được mô hình

đơn giản là hệ khối lượng- lò xo trong đó đưa vào bộ giảm chấn ( hình 12-5a). Lực cản

nhớt xuất hiện khi pittông di chuyển sang phải hay sang trái bên trong xylanh.

Xylanh có chứa chất lỏng và chuyển động của pittông bị làm chậm lại vì chất lỏng phải

chảy vòng qua hay xuyên qua lỗ nhỏ trong pittông. Giả thiết là có hệ số cản nhớt là c .

P

Nếu vật dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng một khoảng x , thì sơ đồ vật rắn tự do của vật

được biểu diễn trên hình 12-5b. Áp dụng phương trình chuyển động, ta thu được:

0 ++= && & mx cx kx (12-11)

Nghiệm tổng quát của (12-1) được tìm dưới dạng:

t

x e

λ

=

Giá trị λ được tìm từ phương trình:

2

0 mck λλ + +=

2

1

2

2

22

22

⎛⎞

=− + − ⎜⎟

⎝⎠

⎛⎞

=− − − ⎜⎟

⎝⎠

cc

mm

cc

mm

λ

λ

k

m

k

m

(12-12)

Nghiệm tổng quát của phương trình (12-11) là sự tổ hợp tuyến tính của hai hàm số mũ

có chứa hai nghiệm trên. Có ba tổ hợp có thể có của

1 λ và

2 λ , phụ thuộc vào giá trị của

làm cho biểu thức trong dấu căn bằng không, nghĩa là

c

22 c

k

n m m

m

cc ω == = (12-13)

62Hệ số cc được gọi là hệ số tắt dần tới hạn

(1) Hệ tắt dần mạnh ( nhanh). Khi , cả hai nghiệm

c

cc > 1 λ và

2 λ đều là nghiệm thực. Có

thể viết nghiệm tổng quát của phương trình (12-11) dưới dạng

12

ee =+ tt

x AB λ λ

(12-14)

Ở đây A, B là các hằng số được xác định từ điều kiện ban đầu. Chuyển động tương

ứng với nghiệm này là không dao động; còn ảnh hưởng tắt dần lên hệ là lớn.

(2) Hệ tắt dần tới hạn. Khi

c

cc = , thì

12 /2 c

cm n λ λ ω = =− = . Trường hợp này biểu thị

điều kiện trong đó có giá trị nhỏ nhất đủ để làm hệ không dao động. Nghiệm ứng với

trường hợp xét là:

c

()

−

=+ nt

x ABte

ω

(12-15)

(3) Hệ tắt dần yếu ( chậm). Khi

c

cc < , cả hai nghiệm

1 λ và

2 λ là hai số phức, nghiệm

tổng quát của phương trình (12-11) có dạng:

(/2 )

[sin(

cmt

d xDe t )] ω φ −

= + (12-16)

Trong đó và D φ là những hằng số, được xác định từ các điều kiện ban đầu của bài

toán. Hằng số

d ω được gọi là tần số riêng tắt dần của hệ. Nó có giá trị

2 2

1

2

dn

c

kc c

mm c

ωω

⎛⎞ ⎛⎞

=− = − ⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

(12-17)

Trong đó, tỷ số c được gọi là hệ số tắt dần. / c

c

Đồ thị của phương trình (12-16) được thể hiện trên hình 12-6. Chú ý rằng chu kỳ dao

động tắt dần có thể viết

2

d

d

π

τ

ω

= . Vì

dn ω ω < ,

d τ > 2/ n τ πω = - chu kỳ dao động tự do.

Hình 12-4

63§12.2 Dao động cưỡng bức

12.2.1 Dao động cưỡng bức không tắt dần

Hình 12-5

• Dao động cưỡng bức không tắt dần được

xem là một trong những loại chuyển động

dao động quan trọng nhất trong công trình

kỹ thuật. Ta xét mô hình đơn giản gồm

khối lượng và lò xo, chịu tác dụng một lực

tuần hoàn

00 FF sin t ω = ng đó:

0 F là

n độ của lực và

0

; Tro

biê ω là tần s cưỡng bức

(tần số kích động) ( hình 12-5a). Sơ đồ vật

rắn tự do của vật dao động khi nó dịch

chuyển một đoạn

ố

x từ vị trí cân bằng biểu

diễn trên hình vẽ ( hình 12-5b)

Áp d • ụng phương trình chuyển động, ta thu

được phương trình:

0

0 sin += &&

F k

x x

mm

t ω (12-18)

Nghiệm tổng quát của phương trình này bằng nghiệm tổng quát của phương trình

thuần nhất,

c

x , cộng với nghiệm riêng,

p x .

0

0 2

0

/

sin cos sin

1( / )

=+= + +

− cp n n

n

Fk

x xxA tB t t ω ω

ωω

ω (12-19)

Vì mọi hệ dao động thực tế đều chịu tác dụng bởi ma sát, nên

dao động tự do,

c

x , sẽ tắt dần theo thời gian. Vì thế dao động

tự do này được gọi là dao động nhất thời, còn dao động cưỡng

bức:

Hình 12-6

0

0 2

0

/

sin

1( / )

=

− p

n

Fk

x t ω

ωω

(12-20)

uyển Được gọi là ch động bình ổn ( trạng thái dừng- ổn định),

• Biên độ dao động cưỡng bứ

vì chỉ có dao động này được duy trì.

c:

0

2

0

/

1( / ) n

Fk

c

ωω

=

−

phụ thuộc

vào tỷ số các tần số

0 / n ω ω .

Nếu đạ ỷ số giữa biên độ của định nghĩa hệ số phóng i MF là t

chuyển động dao động bình ổn

max () p x = c, trên độ lệch tĩnh

0 / Fk do biên độ của lực tuần ho gây ra, khi đó àn

0 F

64max ) 1

== p

MF 2

00

(

/1(/) − n

x

Fk ωω

(12-21)

(12-21) được biểu diễn trên đồ thị hình 12-6.

uyển gây ra dao động có tần số cưỡng bức Chú ý rằng: Nếu lực tác dụng hay sự dịch ch

gần với tần số riêng của hệ

0 /1 n ω ω ≈ , thì biên độ dao động của vật sẽ trở nên rất lớn. Điều

kiện này được gọi là điều kiện cộng hưởng.

Di chuyển của giá đỡ( hay thanh chống) tuần hoàn. Dao động cưỡng bức cũng có thể

xảy ra từ kích thích tuần hoàn của giá đỡ ( hay thanh chống) của hệ. Trong trường hợp này,

phương trình dao động cùng dạng phương trình (12-18) nếu

0 F được thay cho

0 kδ , ở đây

0 δ được xác định bởi di chuyển của giá đỡ ( hay thanh chống) 00 sin t δ δω =

12.2.2 Dao động cưỡng bức tắt dần có cản nhớt của hệ một bậc tự do

ự do xảy ra khi • Trường hợp tổng quát nhất của chuyển động dao động của hệ một bậc t

hệ có xét đến tác dụng của lực cưỡng bức và lực tắt dần. Phương trình vi phân mô tả

chuyển động dao động này có dạng:

00 sin + + && & mx cx = kx F t ω (12-22)

ương tự có ể được viết khi dao độ ng b c xảy

tuần hoàn c

Phương trình t th ng cưỡ ứ ra do di chuyển

ủa giá đỡ ( hay thanh chống) của hệ. Như đã thảo luận ở trên, trong trường hợp

này

0 F được thay bởi

0 kδ .

• Nghiệm tổng quát c ph ủa ương trình (12-22) có dang:

x = xc + xp

c

x là nghiệm đầy đủ (nghiệm tổn phương trình thuần nhất) của phương trình

(12-21

g quát của

). Nghiệm này như đã biết phụ thuộc vào các giá trị của

1 λ và

2 λ . Tuy nhiên, do tất

cả các hệ đều có ma sát, nên nghiệm này sẽ tắt dần theo thời g n. D đó chỉ có nghiệm

riêng x

ia o

p mô tả dao động bình ổn của hệ được duy trì. Ta có thể viết nghiệm này dưới dạng:

0 'sin( ') = − p xC t ω φ (12-23)

Trong trường hợp này, các hằng số và ' C ' φ bằ

ng

0

'

Fk

C = 22 2

00

1 0

2

0

/

[1 ( / ) ] [2( / )( / )]

2( / )( / )

1( / )

ncn

cn

n

cc

cc

ωω ωω

ωω

ωω

−

−+

⎡⎤

⎢⎥

− ⎣⎦

'tan φ =

(12-24)

Góc ' φ chính là độ lệch pha giữa lực tác dụng và dao động bình ổn kết quả của hệ tắt

dần.

65• p Hệ số hóng đại MF trong trường hợp này được xác định bằng:

22 2

00 [1 ( / ) ] [2( / )( / )] 0

'1

/

==

−+

C MF

F ncn

k cc ωω ωω

Hình 12-7

(12-25)

Đồ thị độ lớn c

ủa MF đối với tỷ số tần số

0 / n ω ω tương ứng với những giá trị khác nhau của hệ

số tắ

lớn củ

ện tư

inh viên đọc các ví dụ trong chương 22 của

giáo trình.

BÀI TẬP

BÀI TẬP CHƯƠNG 7.

12-4; 12-6; 12-10; 12-12; 12- 30; 12-67; 12-79; 12-83; 12- 86; 12- 91; 12-

- 127; 12- 133; 12- 138; 12- 145; 12- 150; 12- 163;

54; 16-58; 16-60; 16-61; 16-68;

87; 16-90; 16-94; 16-102; 16-107; 16-110; 16-114;

3-47; 13-55; 13-61; 13-63;

0; 17-15; 17-19; 17-23; 17-25; 17-27; 17-28; 17-33;

14-14; 14-27; 14-37; 14-45; 14-53; 14-60; 14-69; 14-81; 14-87;

t dần / c

cc cho trong hình (12-7). Rõ ràng là độ

a biên độ dao động tăng lên khi hệ số tắt dần

giảm và hi ợng cộng hưởng chỉ xuất hiện khi hệ

số tắt dần bằng không và tỷ số tần số bằng 1.

S

106; 12- 107; 12-112; 12

12- 174; 12- 177; 12- 179; 12- 189; 12- 199.

BÀI TẬP CHƯƠNG 8.

16-3; 16-13; 16-17; 16-19; 16-22; 16-50; 16-

16-75; 16-79; 16-81; 16-

16-121; 16-126; 16-131; 16-134; 16-139; 16-141.

BÀI TẬP CHƯƠNG 9.

13-6; 13-7; 13-15; 13-18; 13-27; 13-29; 13-45; 1

13-65; 13-81; 13-87; 13-9

17-51; 17-55; 17- 58; 17-61; 17-75; 17-79; 17-85; 17-90; 17-94; 17-95; 17-

99; 17- 110.

BÀI TẬP CHƯƠNG 10.

14-3; 14-10;

14-94.

18-5; 18-7; 18-14; 18-18; 18-22; 18-26; 18-36; 18-40; 18-41; 18-47; 18-51;

18-57.

66BÀI TẬP CHƯƠNG 11.

15-9; 15-15; 15-26; 15-27; 15- 34; 15-42; 15-46; 15-50; 15-56; 15-74; 15-84;

114.

2-50; 22-55; 22-57; 22-66.

15-93; 15-100; 15-107; 15-

19-9; 19-12; 19-19; 19-23; 19-27; 19-38; 19-45.

BÀI TẬP CHƯƠNG 12

22-9; 22-12; 22-14; 22-19; 22-34; 22-42; 22-47; 2

Bài tập ôn:

Ôn tập 1, R 1-1 đến R 1-50 ( Động học và động lực học chất điểm)

R 2-1 đến R 2-50 ( Động học và động lực học của vật rắn chuyển

động phẳng)

Ôn tập 2,

Ôn tập chung: Phụ lục D ( Sinh viên tự kiểm tra kiến thức)

67