Tua bin gió quay quanh một trục cố định với chuyển động góc biến đổi.
10Chương 8: ĐỘNG HỌC CỦA VẬT RẮN CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG
Mục đích của chương
• Phân loại các dạng khác nhau của chuyển động phẳng của vật rắn.
• Khảo sát vật rắn chuyển động tịnh tiến và làm sáng tỏ chuyển động của vật rắn quay
quanh trục cố định.
• Nghiên cứu chuyển động phẳng tổng quát của vật rắn
a. Phân tích mối quan hệ chuyển động: Vận tốc và gia tốc khi sử dụng hệ quy
chiếu quay.
b. Chứng tỏ làm thế nào để xác định tâm vận tốc tức thời, cũng như xác định vận
tốc của điểm trên vật rắn khi sử dụng phương pháp này.
§8.1 Các dạng chuyển động phẳng của vật rắn
Hình 8 -1
Khi tất cả các chất điểm của vật rắn chuyển động theo các quỹ đạo cách đều một mặt phẳng
cố định thì vật rắn thực hiện chuyển động phẳng. Có ba dạng chuyển động phẳng của vật rắn:
1. Chuyển động tịnh tiến.
Một đoạn thẳng thuộc vật rắn luôn giữ song song với phương ban đầu trong quá trình
chuyển động. Đặc biệt, vật rắn có hai dạng chuyển động tịnh tiến:
a. Tịnh tiến thẳng ( Hình 8.1a)
b. Tịnh tiến cong ( Hình 8-1b)
112. Chuyển động quay quanh trục cố định ( Hình 8-1c)
Tất cả các chất điểm thuộc vật rắn trừ các điểm nằm trên trục quay, chuyển động dọc theo
các quỹ đạo tròn.
3. Chuyển động phẳng tổng quát ( Hình 8-1d)
Vật thực hiện đồng thời tịnh tiến và quay.
§8.2. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn ( Hình 8-2)
Hình 8-2
Các hành khách trên một thiết bị giải trí chịu
chuyển động tịnh tiến cong vì phương tiện di
chuyển theo quỹ đạo cong nhưng luôn luôn giữ ở vị
trí thắng đứng
Vị trí:
/ BAB =+ rrr A
Vận tốc:
BA = vv
Gia tốc:
BA = aa
Tất cả các chất điểm thuộc vật rắn thực hiện
chuyển động tịnh tiến thẳng hay cong đều
chuyển động với cùng vận tốc và gia tốc. Do
đó để mô tả chuyển động của vật rắn tịnh
tiến, ta có thể sử dụng các kết quả động học
chất điểm.
12§8.3. Vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định
Các bánh răng được sử dụng trong chuyển động
của một cần trục đều quay quanh một trục cố định,
các kỹ sư phải tính toán các chuyển động quay để
đảm bảo thiết kế chính xác hệ thống bánh răng này.
Khi vật rắn chuyển động quay quanh trục cố
định, điểm P bất kì thuộc vật chuyển động dọc theo
quỹ đạo tròn. Việc nghiên cứu chuyển động này
của vật rắn, trước hết mô tả chuyển động góc (
chuyển động quay) của vật mà ta sẽ đưa vào ba đại
lượng cơ bản: Góc định vị (θ ), vận tốc góc (ω ) và
gia tốc góc (ε ).
8.3.1 Chuyển động góc ( Hình 8-3a,b)
* Góc định vị và di chuyển góc:
- Góc định vị θ
- Di chuyển góc dθ
Chú ý: θ không là véctơ , nhưng có thể hiểu là
véctơ.
dθ
* Vận tốc góc: là sự thay đổi góc định vị theo
thời gian. Do xảy ra trong thời gian dt, nên:
ω
dθ
d
dt
θ
ω = (8-1) +
có độ lớn đo bằng rad/s; phương chiều qui ước? ω
* Gia tốc góc: là sự thay đổi vận tốc góc theo
thời gian. Độ lớn của véctơ này bằng:
α
2
2
=
=
d
dt
d
dt
ω α
θ
α
+
(8-2)
+
Hình 8-3a
13 có độ lớn bằng rad/s
2
; phương chiều? (cùng hoặc ngựợc chiều α ω tùy theo ω tăng hay
giảm theo thời gian).
Nếu khử dt từ (8-1) và (8-2) ta được quan hệ giữa gia tốc góc, vận tốc góc và di chuyển
góc, đó là:
dd αθ ωω = (8-3) +
Hình 8-3c
Hình 8-3b
* Nếu gia tốc góc không đổi: , thì:
c = αα
2
00
1
(8 4)
2
c
tt θθ ω α =+ + −
22
00 2( ) c
ωω αθθ =+ −
0 c
t ω ωα =+ +
+
+
8.3.2. Chuyển động của điểm P
Khi vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định, điểm P bất kỳ chuyển động theo đường
tròn bán kính r, tâm tại O. Chuyển động của P sẽ được mô tả bằng vị trí, vận tốc và gia tốc.
Vị trí: Được xác đinh bởi véctơ định vị r, nối trực tiếp từ điểm O đến P (Hình 8-3c).
Vận tốc:
- Độ lớn của vận tốc có thể xác định theo các thành phần toạ độ cực, hệ thức (7-21); Vì r =
const nên thành phần hướng kính 0 r
vr
•
= = , do đó , , vậy:
•
θ v=v=r θ
•
θ = ω
v= ωr (8-5)
- Phương của vận tốc tiếp tuyến với quỹ đạo tròn, hướng theo chiều quay ω của vật (Hình 8-
3c, d).
14Nếu gọi là véctơ nối trực tiếp từ điểm bất kỳ trên trục
quay tới điểm P, thì cả độ lớn và hướng của vận tốc của điểm P có
thể được biểu diễn:
p r
P =× v ω r (8-6)
Lưu ý rằng: trật tự các véctơ trong tích hữu hướng rất quan trọng
vì tích hữu hướng không có tính chất giao hoán.
Trong trường hợp đặc biệt, có thể chọn vectơ r nằm trong mặt
phẳng chuyển động của điểm P thay cho , khi đó: P r
= × v ω r
t
(8-7)
Gia tốc: Gia tốc của điểm P có thể biểu diễn theo các thành
phần gia tốc pháp tuyến và gia tốc tiếp tuyến. Vì / advdt = và
2
/ n av ρ = , với r ρ = , v= r ω và
d
dt
ω α = , ta có:
t
ar α = (8-8)
2
n ar ω = (8-9)
- Thành phần tiếp tuyến của gia tốc , biểu thị sự thay đổi độ
lớn của vận tốc (hình 8-3e,f). Nếu tốc độ của điểm P tăng thì
có hướng v và ngược lại; Nếu tốc độ không đổi thì =0 .
t
a
t
a
n a
t
a
- Thành phần pháp tuyến của gia tốc biểu thị sự thay đổi
phương của vận tốc, luôn luôn hướng vào tâm đường cong
quỹ đạo O.
n a
Do và vuông góc với nhau, nên:
t
a n a
22
nt
aaa =+
Lưu ý rằng: từ (8-6), có thể biểu diễn gia tốc của điểm dưới
dạng các thành phần vectơ tích hữu hướng, đó là:
P
d
== +(
dt
×××
v
P ) α r ωω r a (8-10)
Hoặc: (8-11)
2
tn +=× ω a=a a α r- r
*Các ví dụ áp dụng:
Sinh viên xem ví dụ 16-1, 16-2
15§8.4 Chuyển động phẳng tổng quát của vật rắn
Vật rắn thực hiện chuyển động phẳng tổng quát
có thể mô tả như đồng thời tịnh tiến và quay. Nếu
vật được biểu diễn bởi tấm mỏng, thì nó tịnh tiến
trong mặt phẳng tấm và quay quanh trục vuông
góc với mặt phẳng tấm. Như đã biết trong hai
phần trên, chuyển động của vật trong chuyển
động này sẽ được xác định hoàn toàn khi khảo sát
chuyển động góc ( quay) của đoạn thẳng thuộc
vật và chuyển động của điểm bất kỳ trên vật.
Để làm điều đó, thường sử dụng các cách sau:
- Phân tích chuyển động tuyệt đối: Sinh viên tự
nghiên cứu mục 16.4, giáo trình.
8.4.1 Phân tích sự liên hệ chuyển động: Vận tốc
8.4.1a Hệ tọa độ, vị trí, di chuyển (Hình 8-5a, b.c)
* Hệ tọa độ: Đưa vào hai hệ tọa độ, đó là
(a) hệ tọa độ x, y cố định và xác định vị trí tuyệt đối của
hai điểm A, B trên vật rắn;
(b) hệ tọa độ x', y' có gốc gắn vào điểm cơ sở ( điểm
cực) A, nói chung đã biết chuyển động; tịnh tiến đối với
hệ cố định, không quay với vật.
Vị trí: r = r B A + rB/A
Hình 8-5a Di chuyển: dr = dr B A+ drB/A
dr : Gây ra tịnh tiến và quay B
drA: Gây ra tịnh tiến cùng A
drB/A: Gây ra quay quanh A
Hình 8-5b Hình 8-5c
168.4.1b Vận tốc: (Hình 8-5d, e, f, g)
Hình 8-5
• Để xác định sự liên hệ vận tốc giữa hai điểm A và B ta
phải lấy đạo hàm theo thời gian phương trình liên hệ vị trí
hoặc đơn giản hơn là chia phương trình liên hệ di chuyển
cho dt, ta có:
Hình 8-5g
/ BA BA d dd
dt dt dt
=+
r rr
Ở đây:
;
B
BA
d
dt dt
==
r
vv A dr
- Các số hạng: biểu thị vận tốc tuyệt đối của các điểm A, B vì được
tính đối với hệ trục cố định x, y.
- Số hạng thứ ba được hiểu như vận tốc tương đối vB/A, vì biểu thị vận tốc của điểm B đối với
điểm cơ sở ( điểm cực) A khi người quan sát đứng yên trên hệ trục tịnh tiến x'y'. Nếu gọi ω
là vận tốc góc của vật ở thời điểm khảo sát; do vật rắn tuyệt đối, người quan sát chỉ thấy B
chuyển động trên đường tròn bán kính rB/A; nghĩa là vật rắn như đang chuyển động quay
quanh trục z' đi qua A với vận tốc góc ω. Hệ quả là: vB/A có độ lớn v = ωr B/A B/A và có phương
vuông góc với rB/A, Do đó, ta có:
/ BABA =+ vvv (8-12)
Các số hạng trong phương trình ( 8-12) được biểu diễn trên sơ đồ động học trong hình 8-5 d,
e, f, g.
• Khi chú ý đến phương trình (8-6) hoặc (8-7), số hạng
// B AB A = × v ω r . Vậy phương trình
(8-12) có thể viết:
/ BA BA =+× vv ω r (8-13)
• Muốn áp dụng các phương trình (8-12) hoặc (8-13) có thể sử dụng cách phân tích theo
vectơ Đềcác hoặc viết trực tiếp các phương trình các thành phần vô hướng theo x, y.
(*)Các ví dụ áp dụng:
Sinh viên tự đọc từ ví dụ 16-6 đến ví dụ 16-9.
178.4.2. Tâm tức thời có vận tốc bằng không ( Tâm vận tốc tức thời)
8.4.2a Tâm vận tốc tức thời
Phần trên chỉ ra: Vận tốc điểm bất kỳ B
trên vật rắn được xác định bởi phương trình
(8-13). Nếu bằng cách chọn điểm cơ sở A có
vận tốc bằng không thì v × ω r = B B/A. Điểm A
trong trường hợp này được gọi là tâm tức thời
có vận tốc bằng không ( tâm vận tốc tức thời),
ký hiệu IC, nó nằm trên trục quay tức thời có
vận tốc bằng không và luôn thẳng góc với mặt
phẳng chuyển động.
Ví dụ: Bánh xe lăn không trượt trên đường
cố định, điểm tiếp xúc với mặt đất là IC.
Do A chọn trùng IC, nên V = V = 0; do đó: A IC
× × ω = ω v = v r r + B IC B/IC B/IC (8-14)
8.4.2b Vị trí của IC.
• Cho vận tốc vA của điểm A trên vật rắn và vận tốc góc ω của nó (Hình 8-6a).
• Cho đường tác dụng của hai véctơ vận tốc không song song v , A và v hình 8- 6b. B
Hình 8-6
18
• Cho độ lớn và phương của hai véctơ vận tốc song song vA và vB , hình 8-6c, d.
Hình 8-6
(*) Các ví dụ áp dụng:
Sinh viên tự đọc ví dụ 16-11, 16-12
8.4.3. Phân tích mối liên hệ chuyển động: Gia tốc
• Phương trình liên hệ gia tốc của hai điểm trên vật rắn thực hiện chuyển động phẳng tổng
quát có thể được xác định bằng cách đạo hàm theo thời gian phương trình vận tốc (8-12)
nghĩa là:
dt
d
dt
d
dt
d AB A B /
v vv
+=
- Ở đây các số hạng dvB/dt = aB và dvA/dt = aA là các gia tốc tuyệt đối của điểm B và A.
- Số hạng cuối cùng biểu diễn gia tốc của điểm B đối với điểm A được tính khi người quan sát
đứng yên trên hệ trục tịnh tiến x' và y', có gốc tại điểm cơ sở ( điểm cực) A. Trong 8.4.1, đã
chỉ rõ: người quan sát thấy B chuyển động tròn có bán kính rB/A. Hệ quả là aB/A có thể tách ra
hai số hạng: thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến của chuyển động; tức là
aB/A = (a +(a B/A)t B/A) , n
Trong đó:
(aB/A)t : thành phần gia tốc tiếp tuyến tương đối của B đối với A. Nó có độ lớn (aB/A)t = α rB/A
và phương vuông góc với rB/A
= r
2
ω (aB/A) : thành phần gia tốc pháp tuyến tương đối của B đối với A. Nó có độ lớn (a n B/A)n B/A
và luôn luôn hướng từ B về A.
19Như vậy, phương trình liên hệ gia tốc có thể được viết như sau:
(8-15) aB = a
Bốn số hạng trong phương trình (8-15) được biểu diễn trên sơ đồ động học, hình (8-7a, b, c,
d)
• Vì các thành phần liên hệ gia tốc biểu diễn kết quả
của chuyển động tròn, nên theo (8-11) các thành phần
(aB/A)t = r × α B/A và (aB/A)n = - r
2
ω B/A . Do đó,
phương trình ( 8-15) trở thành:
aB = aA + r × α B/A - r
2
ω B/A (8-16)
• Ta cần lưu ý những điểm quan trọng sau đây:
1. Trước khi áp dụng phương trình (8-16) thì cần phải xác định vận tốc góc ω của vật bằng
cách sử dụng phân tích vận tốc.
2. Nếu phương trình (8-16) áp dụng cho vật rắn được liên kết chốt với hai vật rắn khác thì
những điểm trùng nhau tại chốt chuyển động với cùng gia tốc, vì quỹ đạo chuyển động của
chúng như nhau. Thí dụ điểm B trong cơ cấu tay quay (hình 8-11 a, b).
= +
Hình 8-7
Hình 8-7 d
Quỹ đạo của B
Hình 8-8
A + (a + (a B/A)t B/A) n
203. Nếu hai vật rắn tiếp xúc nhau không có sự trượt và những điểm tiếp xúc chuyển động trên
những quỹ đạo khác nhau, thì các thành phần tiếp tuyến của gia tốc của các điểm như nhau,
tuy nhiên các thành phần pháp tuyến của gia tốc của các điểm khác nhau. Thí dụ điểm A và
điểm A' trên bánh răng B và C ( hình 8-9).
Hình 8-9
(*) Các ví dụ áp dụng:
Sinh viên đọc từ ví dụ 16-13 đến ví dụ 16-18.
8.4.4. Phân tích sự liên hệ chuyển động khi sử dụng các trục quay
• Xét hệ tọa độ x, y, z có gốc tại điểm thực hiện chuyển động tịnh tiến và quay đối với hệ tọa
độ cố định X, Y, Z ( hình 8-10). Ta có thể chứng tỏ được hai phương trình mô tả vận tốc và
gia tốc của điểm B như sau:
(8-17) × r vB = v
(8-18)
vB , aB: vận tốc, gia tốc của điểm B được
tính trong hệ qui chiếu X, Y, Z.
vA , aA : vận tốc, gia tốc của điểm A của hệ
toạ độ x, y, z, được tính trong hệ quy chiếu X,
Y, Z.
(vB/A)xyz , (aB/A)xyz : vận tốc, gia tốc tương đối
của điểm B đối với điểm A được tính khi
người quan sát gắn chặt với hệ qui chiếu x,
y, z.
Ω , : vận tốc góc, gia tốc góc của hệ quy
chiếu x, y, z đối với hệ quy chiếu X, Y, Z.
Ω &
rB/A : Vị trí tương đối của điểm B đối với
điểm A.
A + Ω B/A + (vB/A)xyz
aB = aA + × r Ω &
B/A + Ω × (Ω × r ) + 2Ω × (v B/A B/A)xyz + (aB/A) xyz
Hình 8-10
21
× (v • Số hạng: 2 Ω B/A)xyz được gọi là gia tốc Coriolit, mang tên kỹ sư người Pháp C.G.
Coriolit, người đầu tiên xác định được nó. Số hạng này biểu diễn sự khác nhau giữa hai
phương trình xác định gia tốc của điểm B được tính trong hệ trục x, y, z quay và không quay.
Như đã được chỉ ra bằng vectơ tích hữu hướng, gia tốc Coriolit sẽ luôn vuông góc với cả
và (v
Ω
B/A) . Nó là thành phần gia tốc rất quan trọng khi dùng hệ quy chiếu chuyển động quay. xyz
Thực tế gia tốc này thường xuất hiện thí dụ như: khi nghiên cứu lực và gia tốc tác dụng lên
tên lửa, chuyển động bay xa của những viên đạn, hoặc những vật rắn có chuyển động tính đến
ảnh hưởng đáng kể bởi sự quay của trái đất.
(*) Ví dụ áp dụng: Sinh viên xem từ ví dụ 16-19 đến ví dụ 16-21
22
Bạn đang đọc truyện trên: Truyen2U.Pro