Chương 9: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM VÀ VẬT RẮN CHUYỂN

ĐỘNG PHẲNG: LỰC VÀ GIA TỐC

Mục đích của chương

• Nhắc lại các định luật về chuyển động và định luật hấp dẫn của Newton, định nghĩa

khối lượng và trọng lượng.

• Phân tích chuyển động có gia tốc của chất điểm bằng các phương trình chuyển động

đối với các hệ trục toạ độ khác nhau.

• Giới thiệu phương pháp xác định mômen quán tính khối lượng của vật. Trình bày các

phương trình chuyển động của động lực học của vật rắn chuyển động phẳng và thảo luận việc

áp dụng các phương trình này đối với vật ắn chuyển động tịnh tiến, quay quanh trục cố định,

chuyển động phẳng tổng quát.

A. Chất điểm

23§9.1 Nhắc lại các định luật của Newton

9.1.1. Ba định luật của Niutơn về chuyển động của chất điểm

Định luật thứ nhất

Định luật thứ hai () ==

d

mm

dt

Fv a (9-1)

Định luật thứ ba

Định luật thứ nhất và thứ ba được sử dụng thường xuyên khi xây dựng lý thuyết của phần

tĩnh học.

Định luật thứ hai là nền tảng cơ bản xây dựng lý thuyết phần động lực học, vì nó thiết lập

mối quan hệ giữa chuyển động có gia tốc của chất điểm với các lực tác dụng lên chất điểm

đó.

9.1.2. Định luật hấp dẫn của Niutơn

* Định luật:

12

2

mm FG

r

= ; G

12 3 2

66.73(10 )m /(kg s )

−

=⋅

F

m Fa

* Khối lượng và trọng lưc.

9.1.3. Hệ đơn vị SI và hệ đơn vị FPS

9.1.4. Hệ quy chiếu quán tính

* Hệ quy chiếu của người quan sát

* Hệ quy chiếu quán tính.

§9.2 Phương trình chuyển động

Trong phần này, ta đưa ra các phương trình chuyển động dựa trên cơ sở hiển nhiên của

thực nghiệm và áp dụng chỉ đối với hệ quy chiếu quán tính.

9.2.1 Phương trình chuyển động đối với chất điểm

• Khi có nhiều hơn một lực tác dụng

lên chất điểm, hợp lực được xác định

bằng tổng véctơ của tất cả các lực;

nghĩa là . Đối với trường hợp

tổng quát này, áp dụng phương trình

chuyển động bởi hệ thức toán học định

luật thứ hai của Niuton, ta viết được:

R =Σ F

∑ = (9-2)

Độ lớn và phương của mỗi lực tác

dụng lên chất điểm ( vế trái phương

trình 9-2) được xác định khi sử dụng

sơ đồ vật rắn tự do; sơ đồ động lực học

sẽ xác định độ lớn và phương véctơ của ma ( vế phải phương trình 9-2), hình 9-1 a, b, c

Hình 9-1

24• Chú ý rằng, nếu thì gia tốc cũng bằng không và chất điểm hoặc đứng yên,

hoặc chuyển động thẳng với vận tốc không đổi. Thức chất đó là trạng thái cân bằng tĩnh, được

khẳng định bằng định luật thứ nhất của Niutơn.

R =Σ FF= 0

• Phương trình chuyển động ( 9-2) cũng có thể viết dưới dạng: m − ∑Fa= 0

Véc tơ -ma được coi như véctơ lực quán tính. Khi này trạng thái cân bằng tạo ra gọi là cân

bằng động lực. Phương pháp này khi áp dụng gọi là nguyên lý Đalămbe, mang tên nhà toán

học người Pháp Jean le Rond d'Alembert.

9.2.2 Phương trình chuyển động của hệ chất điểm

Hình 9-2

∑∑ (9-2)

ii

m = i

Fa

ii

r m

Nếu là véctơ vị trí tâm khối lượng G của hệ chất điểm, hình 9-2a; khi đó theo định

nghĩa của tâm khối lượng , trong đó

G r

G mm =∑ r i

m=∑ là tổng khối lượng của tất cả các

chất điểm thuộc cơ hệ.

Đạo hàm phương trình đó theo thời gian hai lần, giả thiết không có khối lượng nào được

thêm vào hay bỏ đi với cơ hệ ban đầu, dẫn tới

= ∑ G m Fa (9-3)

Nghĩa là, tổng các lực ngoài tác dụng lên hệ chất điểm bằng tổng khối lượng của tất cả

các chất điểm thuộc hệ nhân với gia tốc của tâm khối lượng G của cơ hệ.

25§9.3 Phương trình chuyển động: Hệ toạ độ vuông góc

Khi chất điểm chuyển động đối với hệ quy chiếu quán tính ,, x yz , thì phương trình véc tơ

(9-2), có thể viết:

() xyz xyz

FFFmaaa ++ =+ ∑∑∑ i j ki j+k

Do đó nó tương đương với ba phương trình vô hướng:

Máy ly tâm được dùng để cấp cho hành

khách những gia tốc pháp tuyến rất lớn nhờ

chuyển động quay tốc độ cao. Cần phải hiểu

ững gia tốc đó có được là vì lực pháp

tuy

nh

ến không cân bằng do ghế của máy ly

tâm tác dụng lên hành khách.

(9-4)

x x

yy

zz

Fm ∑ a

a

Fma

=

=

= ∑

Fm ∑

* Các ví dụ áp dụng:

Sinh viên đọc từ ví dụ 13-1 đến ví dụ 13-5

§ 9.4 Phương trình chuyển động: Hệ toạ độ tiếp tuyến và pháp tuyến

Khi chất điểm chuyển động trên quỹ đạo

cong đã biết, phương trình chuyển động của chất

điểm có thể viết theo các phương tiếp tuyến,

pháp tuyến, và trùng pháp tuyến. Từ (9-2), ta có

tt nn bb t n FF Fmm ++=+ ∑∑∑ uuua a

Hình 9-3

Chú ý rằng, không có chuyển động của chất điểm theo phương trùng pháp tuyến, vì chuyển

động của nó bị ràng buộc theo quỹ đạo chuyển động. Phương trình trên dẫn đến:

0

=

=

=

∑

∑

∑

tt

nn

b

Fma

Fma

F

(9-5)

(*) Các ví dụ áp dụng: Sinh viên tự đọc từ ví dụ 13-7 đến ví dụ 13-9

26§ 9.5 Hệ phương trình chuyển động: Hệ toạ độ trụ

Khi tất cả các lực tác dụng lên chất điểm và gia

tốc của nó được phân tích thành những thành phần r,

θ , z ( tọa độ trụ), hình 9-7, thì ta có ba phương trình

vô hướng về chuyển động của chất điểm như sau:

Hình 9-4

rr

zz

Fma

Fma

Fma

(9-6)

θ θ

=

=

=

∑

∑

∑

Chú ý rằng: Nếu chất điểm bị ràng buộc chỉ

chuyển động trong mặt phẳng r θ − , thì chỉ có hai

phương trình đầu trong hệ phương trình (9-6) được

sử dụng để xác định chuyển động.

(*) Các ví dụ áp dụng: Sinh viên xem từ ví dụ 13-10 đến ví dụ 13-12

27B. VẬT RẮN

Các lực tác dụng lên chiếc xe đua này khi nó bắt đầu tăng tốc là khá phức tạp và cần phải

được tính toán khi thiết kế kết cấu của xe.

28§ 9.6 Mômen quán tính

• Mômen là đại lượng đo sự chống lại gia tốc góc của vật, giống như khối lượng đo

sự chống lại gia tốc của vật.

• Mômen quán tính của vật đối với trục z, hình (9-5), là:

2

m

I rdm = ∫ (9-7)

Hình 9-5

Ở đây : "cánh tay đòn mômen" r là khoảng cách vuông góc từ

phân tố dm tới trục z.. Do r trong (9-7) được bình phương, nên I luôn

luôn dương, có đơn vị kg.m2

hoặc slug.ft

2

.

* Nếu vật thể được tạo từ vật liệu có khối lượng riêng thay đổi:

ρ = ρ(x, y, z), phân tố khối lượng dm = ρdV. Do đó:

2

V

I rdV ρ = ∫

Nếu ρ không đổi ( vật đồng chất), thì:

2

V

I rdV ρ = ∫

• Khi chọn phần tử thể tích theo cả ba phương để tính tích

phân dV = dxdydz thì I được tính nhờ sử dụng tích phân ba

lớp (bội ba). Tuy nhiên, có thể đơn giản khi tính các tích

phân nhờ chọn các phần tử vỏ hoặc đĩa.

Hình 9-6

• Định lý chuyển trục song song: Nếu mômen quán tính của

vật đối với trục đi qua tâm khối lượng G là IG đã biết, thì mômen quán tính đối với

trục bất kỳ I song song với trục trên cho ở dạng ( Hình 9-6)

2

G I Imd =+ (9-8)

IG = Mômen quán tính của vật lấy đối với trục z′ đi qua tâm khối lượng G.

m = Khối lượng của vật.

d = Khoảng cách vuông góc giữa hai trục.

29Bán kính quán tính. Bán kính quán tính k, có đơn vị của độ dài, được xác định từ

phương trình :

2

Imk = hoặc

I

k=

m

(9-9)

Những vật thể phức hợp. Nếu vật tạo ra từ một số vật đơn giản như các đĩa, hình cầu, và

thanh, thì mômen quán tính của vật đối với trục z bất kỳ bằng tổng đại số mômen quán tính

của các phần thuộc vật đối với trục đó. Ở đây IG đối với mỗi phần được tra ở cuối sách.

§ 9.7 Các phương trình chuyển động của động lực học phẳng

Nội dung của phần này giới hạn nghiên cứu động

lực học phẳng cho vật rắn. Xét vật rắn tùy ý được biểu

diễn trên hình (9-11a). Hệ quy chiếu quán tính x, y,z có

gốc trùng với điểm P bất kỳ trên vật. Các trục của hệ

này không quay hoặc cố định hoặc chuyển động tịnh

tiến với vận tốc không đổi.

Hình 9-7a

Phương trình chuyển động tịnh tiến. Các ngoại

lực tác dụng lên vật trong hình 9-7a biểu diễn tác dụng

của các lực hấp dẫn, các lực điện, các lực từ hoặc các

lực tiếp xúc giữa các vật kề nhau. Áp dụng kết quả

phân tích phần 9.2.2 và phương trình (9-3), ta có :

G maF = Σ

Hoặc ở dạng vô hướng

xG

yG

Fm(a)

Fm(a)

Σ=

Σ=

x

y

(9-10)

Phương trình chuyển động quay. (Hình 9-7b, c)

Hình 9-7b Hình 9-7c

301. Khi các mômen được tính đối với tâm khối lượng G của vật rắn :

GG M I Σ =α (9-11) +

G M ∑ là tổng mômen các ngoại lực và mômen ngẫu lực tính đối với điểm G, lấy từ sơ đồ

vật rắn tự do ( hình 9-7b)

IG là mômen quán tính của vất đối với trục đi qua G và α là gia tốc góc của vật rắn, lấy từ

sơ đồ động lực học ( Hình (9-7c).

2. Khi các mômen được tính với điểm P ≠ G

P ΣM Σ()P = Mk (9-12) +

Ở đây: Σ P M là tổng mômen của các ngoại lực và mômen ngẫu lực tính đối với điểm P

Phương trình (9-12) cũng có thể viết lại dưới dạng :

α GG IM = Σ + các mômen động lực của các thành phần của maG đối với P

Chú ý rằng : Sơ đồ vật rắn tự do sẽ giúp ta xác định Σ x F ; Σ y F ; , ; Còn sơ đồ động

lực học giúp ta xác định các thành phần mômen trong .

G M Σ P M Σ

Σ() kP M

9.7.1 Phương trình chuyển động: Tịnh tiến

• Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, hình 9-8a, tất cả

các chất điểm của vật rắn có cùng gia tốc aG = a. Hơn

nữa, α = 0, do đó .

Hình 9-8a

0 Σ = G M

• Tịnh tiến thẳng của vật rắn ( hình 9-8b). Phương trình

chuyển động cho trường hợp này có dạng :

G

G

Σ m( )

Σ m( )

Σ 0

=

=

=

x x

y

G

Fa

Fa

M

y

3)

oặc tổng mômen đối với A

(9-1

H ≠ G :

ΣΣ() A kA M = M

Ở đây: Σ() kA M biểu thị chỉ là các mômen của hai thành phần của maG đối với A, vì

tron n động g chuyể tịnh tiến 0 G I α =

31

Hình 9-8b

• Tịnh tiến cong của vật rắn ( hình 9-8c).

Phương trình chuyển động cho vật rắn trong

trường hợp này sẽ là:

G

G

Σ m( )

Σ m( )

Σ 0

=

=

=

nn

t

G

Fa

Fa

M

t

4)

Hoặc các mômen đối với B G:

Cũng giống như trên, ở đây ểu thị chỉ

Các ví dụ áp dụng.

17-5 đến ví dụ 17-8 (trang

9.7.2 Phương trình chuyển động: Quay quanh một trục cố định

quanh trục

cố đ

9-9b.

à:

(9-1

tổng

Hình 9-8c

≠

M ) Σ( Σ M = ; Bk B

Σ()

kB M bi

là tổng các mômen của các thành phần m(aG)n,

m(aG)t đối với điểm B.

*

Sinh viên đọc từ ví dụ

443-447)

Xét một vật rắn (hoặc tấm) bị ràng buộc quay trong mặt phẳng thẳng đứng

ịnh vuông góc với mặt phẳng trang giấy đi qua chốt tại O (hình 9-9a).

Sơ đồ vật rắn tự do và sơ đồ động lực học của vật được biểu diễn trên hình

Ba phương trình vô hướng mô tả chuyển động của vật quay quanh trục cố định sẽ l

322

Σ= =ω () nGn G F ma m r

() tGtG

GG

Σ= =α

Σ=α

F ma m r

MI

(9-15)

Hoặc đối với điểm O ≠ G: Σ() OkOO M I α Σ == M ;

Cần chú ý rằng

O I α đã tính đến ômen m của cả m(aG)t và IG đ với ểm O, hình 9-9b.

G)n

) Các ví dụ áp dụng

7-9 đến ví dụ 17-13 ( trang 459 đến 465)

α ối đi

Mômen của m(a không xuất hiện trong tổng mômen vì đường tác dụng của vectơ này

đi qua điểm O.

Hình 9-9b

Hình 9-9a

(*

Sinh viên đọc từ ví dụ 1

339.7.3 Phương trình chuyển động: Chuyển động phẳng tổng quát

• Vật rắn (hoặc tấm) thực hiện chuyển động phẳng

tổng quát. Nếu hệ tọa độ x, y được chọn là hệ quán

tính. Sơ đồ vật rắn tự do và sơ đồ động lực học được

biểu diễn trong hình 9-10 a, b. Khi đó ba phương

trình đại số mô tả chuyển động của vật được viết:

Σ=

Σ=

()

()

Σ=α

x Gx

Fma

Fma (9-16)

yGy

GG MI

Hoặc tổng mômen đối với

PG ≠ :

( ) Σ=Σ Pk P

M M

ổng mômen của IGα và

thành phần của đã được xác định bởi các dữ liệu

trên sơ đồ động lực học.

• Những bài toán ma sát lăn.

Thêm vào ba phương trình chuyển động cho chuyển động phẳng tổng quát, những bài

các bánh xe, các đĩa, các hình trụ hoặc các quả bóng)

thư

Trong trường hợp này ta có phương trình bổ sung

a = αr

Hình 9-10a

Ở đây ()P k M Σ biểu thị t

maG (hoặc các chúng) đối với điểm P như

Hình 9-10b

toán ma sát lăn ( liên quan đến:

ờng đòi hỏi phương trình bổ sung do sự có mặt các ẩn lực bổ sung biểu diễn lực ma

sát. Có hai trường hợp cần xét:

1. Không trượt:

G

34Chú ý rằng khi thu được nghiệm cần kiểm tra lại giả thiết không trượt. Điều kiện

khô

t. Ở đây α và aG là độc lập với nhau, phương trình trên không áp dụng

đượ

í dụ 17-14 đến ví dụ 17-17 ( trang 477- 481)

ng trượt xảy ra khi F ≤ μsN, với μs là hệ số ma sát tĩnh. Nếu F > μsN, bài toán phải

được tính lại.

2. Có trượ

c. Ta thay bằng liên hệ giữa độ lớn của lực ma sát F và độ lớn của phản lực pháp tuyến

N khi sử dụng hệ số ma sát động lực μk và có phương trình bổ sung sau:

F = μkN

* Các ví dụ áp dụng:

Sinh viên tự đọc từ v

35