Công thức 1

Diện tích S sinh ra bởi đường phẳng khi quay quanh trục đồng phẳng Δ không cắt nó được xác định bởi công thức:

S=2πdL

Ở đây thì L là chiều dài của đường phẳng, d là khoảng cách từ trọng tâm G của đường phẳng đến Δ.

Công thức 2

Thể tích V sinh ra bởi tấm phẳng khi quay quanh trục đồng phẳng Δ không cắt nó được xác định bởi công thức:

V=2πdS

Với S là diện tích của tấm phẳng, d là khoảng cách từ trọng tâm của tấm phẳng đến trục Δ.

Cách chứng minh công thức Guyndanh :

Trong mặt phẳng chứa đường cong C chọn trục Ox vuông góc với trục quay Δ tại O ,chia đường cong C ra vô hạn các cung vô cùng bé. Ta xét cung MM' có độ dài dl . Hoành độ trọng tâm của cung AB :

d=1L∫xdl

Khi đường cong quay quanh trục Δ cung vô cùng bé MM' quét ra 1 diện tích dS=2πxdl nên diện tích do đường cong C quét ra là S=∫dS=∫2πxdl=2π∫xdl

từ đó suy ra đpcm!

Trong mặt phẳng đường cong ta xét trục Ox vuông góc trục quay và có tâm nằm trên trục. Chia nhỏ vật phẳng bằng các đường song song trục quay. Xét diện tích nguyên tố dS

Thể tích của hình tạo thành khi nó quay quanh trục là:

dV=2πxdS (x là tọa độ và dx là bề dày của dS)

Vậy V=∫ab2πxdS=2πS∫abxSdS

Ta thấy rằng xG=∫abxSdS.

Vậy ta có :

V=2πSxG=2πSd