1. Nhắc lại về tập hợp

+ a là một phần tử của tập hợp A ta viết 𝑎∈𝐴 (đọc là a thuộc A).

a không là một phần tử của tập hợp A ta viết a: 𝑎∉𝐴 (đọc là a không thuộc A).

+ Số phần tử của tập hợp A kì hiệu là 𝑛(𝐴)
+ Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng, kí hiệu ∅, 𝑛(∅)=0.

+ Các tập hợp số

Tập hợp các số tự nhiên ℕ={0;1;2;3;4;5;...}(Kí hiệu ℕ∗=ℕ∖{0})

Tập hợp các số nguyên ℤ={...;−3;−2;−1;0;1;2;3;...}
Tập hợp các số hữu tỉ ℚ={𝑎𝑏|𝑎,𝑏∈ℤ;𝑏≠0}
(Gồm các số nguyên và các số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn)

Tập hợp các số thựcℝ gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ.

(Số vô tỉ là các số thập phân vô hạn không tuần hoàn).

+ Cách xác định tập hợp:

Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp;

Cách 2. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

* Lưu ý:

- Các phần tử có thể được viết theo thứ tự tùy ý.

- Mỗi phần tử chỉ được liệt kê một lần

- Không nhất thiết viết tất cả các phần tử nếu quy tắc xác định phần tử đủ rõ, ta dùng “…”

2. Tập con và hai tập hợp bằng nhau

a. Tập hợp con

Cho hai tập hợp A và B.
+ A là tập hợp con của B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B.

Kí hiệu: 𝐴⊂𝐵 (A chứa trong B) hoặc 𝐵⊃𝐴 (B chứa A)

Số tập hợp con của tập A có n phần tử là: 2𝑛
+ A không là tập con của B, kí hiệu: 𝐴⊄𝐵
Quy ước: ∅⊂𝐴 và 𝐴⊂𝐴 với mọi tập hợp A.
+ Biểu đồ Ven

Ví dụ: ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ

Thực hành 1
a) Lấy ba ví dụ về tập hợp và chỉ ra một số phần tử của chúng.

b) Với mỗi tập hợp ℕ,ℤ,ℚ,ℝ, hãy sử dụng kí hiệu ∈ và ∉để chỉ ra hai phần tử thuộc hai phần tử không thuộc tập hợp đó.

Lời giải chi tiết:

a) A là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 5, khi đó 0∈𝐴,2∈𝐴,3∈𝐴.
B là tập hợp các nghiệm thực của phương trình 𝑥2−3𝑥+2=0, khi đó 1∈𝐵,2∈𝐵.
C là tập hợp các thứ trong tuần, khi đó chủ nhật ∈𝐶, thứ năm ∈𝐶.

Thực hành 2
Viết tập hợp sau đây dưới dạng liệt kê các phần tử và tìm số phần tử của mỗi tập hợp đó:

a) Tập hợp A các ước của 24

b) Tập hợp B gồm các chữ số trong số 1113305;

c) 𝐶={𝑛∈ℕ|𝑛 là bội của 5 và 𝑛≤30}

d) 𝐷={𝑥∈ℝ|𝑥2−2𝑥+3=0}

Lời giải chi tiết:

a) Số 24 có các ước là:

−24;−12;−8;−6;−4;−3;−2;−1;1;2;3;4;6;8;12;24.

Do đó

𝐴={−24;−12;−8;−6;−4;−3;−2;−1;1;2;3;4;6;8;12;24}, 𝑛(𝐴)=16.

b) Số 1113305 gồm các chữ số: 1;3;0;5. Do đó 𝐵={1;3;0;5}, 𝑛(𝐵)=4.

c) Các số tự nhiên là bội của 5 và không vượt quá 30 là:

0; 5; 10; 15; 20; 25; 30.

Do đó 𝐶={0;5;10;15;20;25;30}, 𝑛(𝐶)=7.

d) Phương trình 𝑥2−2𝑥+3=0 vô nghiệm, do đó 𝐷=∅, 𝑛(𝐷)=0.

Thực hành 3
Viết các tập hợp sau đây dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử:

a) 𝐴={1;3;5;...;15}
b) 𝐵={0;5;10;.15;20;...}
c) Tập hợp C các nghiệm của bất phương trình 2𝑥+5>0.

Lời giải chi tiết:

a) 𝐴={𝑥∈ℕ|𝑥 là số lẻ nhỏ hơn 16}.
b) 𝐵={𝑥∈ℕ|𝑥 là bội của 5}.
c) 𝐶={𝑥|2𝑥+5>0}.

HĐ Khám phá

Trong mỗi trường hợp sau đây, các phần tử của tập hợp A có thuộc tập hợp B không? Hãy giải thích.

a) 𝐴={−1;1} và 𝐵={−1;0;1;2}
b) 𝐴=ℕ và 𝐵=ℤ
c) A là tập hợp các học sinh nữ của lớp 10E, B là tập hợp các học sinh của lớp này.

d) A là tập hợp các loài động vật có vú, B là tập hợp các loài động vật có xương sống.

Lời giải chi tiết:

a) Có vì −1∈𝐵,1∈𝐵.

b) Có vì các số tự nhiên cũng là số nguyên.

c) Có vì các học sinh nữ của lớp 10E cũng là học sinh của lớp 10E.

d) Có vì các loài động vật có vú (còn gọi là thú) là một trong các lớp thuộc các loài động vật có xương sống.

trong các lớp thuộc các loài động vật có xương sống.

Thực hành 4

Trong mỗi cặp tập hợp sau đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại? Chúng có bằng nhau không?

a) 𝐴={−3⎯⎯√;3⎯⎯√} và 𝐵={𝑥∈ℝ|𝑥2−3=0}

b) C là tập hợp các tam giác đều và D là tập hợp các tam giác cân;

c) 𝐸={𝑥∈ℕ|𝑥 là ước của 12} và 𝐹={𝑥∈ℕ|𝑥 là ước của 24}.
Viết tất cả các tập con của tập hợp 𝐴={𝑎;𝑏}.

Phương pháp giải:

𝐴⊂𝐵 nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B.

𝐴=𝐵 nếu 𝐴⊂𝐵 và 𝐵⊂𝐴

b) C là tập hợp con của D vì: Mỗi tam giác đều đều là một tam giác cân.

𝐶≠𝐷 vì có nhiều tam giác cân không là tam giác đều, chẳng hạn: tam giác vuông cân.

c) E là tập con của F vì 24⋮12 nên các ước nguyên dương của 12 đều là ước nguyên dương của 24.

𝐸≠𝐹 vì 24∈𝐹nhưng 24∉𝐸

Thực hành 5

Viết tất cả các tập con của tập hợp 𝐴={𝑎;𝑏}.

Lời giải chi tiết:

Các tập con của tập hợp A là:

+) Tập con có 0 phần tử: ∅ (tập hợp rỗng)

+) Tập hợp con có 1 phần tử: {a}, {b}

+) Tập hợp con có 2 phần tử: 𝐴={𝑎;𝑏}.
Chú ý

+) Mọi tập hợp A đều có 2 tập con là: ∅ và A.

Vận dụng

Bạn An khẳng định rằng: Với các tập hợp A, B, C bất kì, nếu 𝐴⊂𝐵 và 𝐵⊂𝐶 thì 𝐴⊂𝐶.
Khẳng định của bạn An có đúng không? Hãy giải thích bằng cách sử dụng biểu đồ Ven.

Lời giải chi tiết:

+) Biểu diễn: 𝐴⊂𝐵