Bài toán nội suy và nội suy bằng đa thức

Thông thường hàm số được cho bằng 1 trong 2 dạng:

1.     Biểu thức giải tích (dạng lien tục)

2.     1 bảng số: (dạng rời rạc)

Trong đó không mất tính tổng quát có thể xem như  x0<x1<…<xn

(xi, yi) được gọi là các điểm nút

Nếu hàm số được cho dưới dạng biểu thức giải tích ta có thể xác định giá trị của hàm số tại một điểm bất kì thuộc TXĐ của nó.

Còn nếu hàm số được cho dưới dạng bảng thì một vấn đề nảy sinh là làm thế nào để xác định được giá trị của y tương ứng của một giá trị x cho trước mà giá trị x này lại không trùng với một giá trị nào trong các giá trị x1, x2,…,xn

Cách tìm giá trị y như vậy được gọi là phép nội suy nếu x0<x<xn hoặc ngoại suy nếu x<x0 hoặc x>xn.

Muốn vậy một cách tự nhiên vấn đề đặt ra là tìm một biểu thức y=f(x) đơn giản nhất sao cho các điểm nút (xi, yi) thỏa mãn yi=f(xi).

Một ứng dụng khác của phép nội suy là xấp xỉ một hàm số khác nhằm mục đích đơn giản hóa cách tính giá trị của hàm đã cho.

Như vậy có hai ứng dụng chủ yếu của phép nội suy:

1.     Hàm số được cho dưới dạng rời rạc vì không biết biểu thức giải tích của nó

2.     Hàm được cho dưới dạng giải tích nhưng lại rất phức tạp cho việc tính toán nên phải rời rạc hóa nó trước khi dùng phép nội suy

Nếu hàm f(x) lien tục /[a,b] thì với e >0 bé tùy ý có thể tìm được một đa thức bậc n : Pn(x), n= n(e) sao cho |f(x) – Pn(x)| < e với mọi x thuộc [a, b].