Đại cương về dao động điều hòa

1. Các định nghĩa về dao động cơ

♦ Dao động cơ học.

- Dao động cơ học là sự chuyển động của một vật quanh một vị trí xác định gọi là vị trí cân bằng.

♦ Dao động tuần hoàn

- Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái của vật được lặp lại như cũ, theo hướng cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau xác định (Chu kì dao động)

♦ Dao động điều hòa

- Dao động điều hòa là dao động mà li độ của vật được biểu thị bằng hàm cos hay sin theo thời gian.

2. Phương trình dao động điều hòa

♦ Phương trình li độ:

- Phương trình dao động :

Các đại lượng đặc trưng cho dao động điều hòa :

         + x : li độ dao động hay độ lệch khỏi vị trí cân bằng. Đơn vị tính (cm, m..) 

         + A : Biên độ dao động hay li độ cực đại. Đơn vị tính (cm, m..) 

         + ω : tần số góc của dao động , đại lượng trung gian cho phép xác định chu kỳ và tần số dao động. Đơn vị tính (rad/s). 

         + φ : pha ban đầu của dao động (t = 0), giúp xác định trạng thái dao động của vật ở thời điểm ban đầu. Đơn vị tính (rad)

         +  (ωt + φ) : pha dao động tại thời điểm t, giúp xác định trạng thái dao động của vật ở thời điểm bất kỳ t. Đơn vị tính (rad)

* Chú ý : Biên độ dao động A luôn là hằng số dương.

♦ Phương trình vận tốc

Phương trình vận tốc :

Nhận xét :

- Vận tốc nhanh pha hơn li độ góc:  

-   luôn cùng chiều với chiều chuyển động (vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, theo chiều âm thì v < 0).

♦ Phương trình gia tốc

Phương trình gia tốc:

Nhận xét :

- Gia tốc nhanh pha hơn vận tốc góc  , nhanh pha hơn li độ góc π.

-  luôn hướng về vị trí cân bằng.

♦ Phương trình liên hệ giữa x, A, v và ω độc lập với thời gian:

Ta có :

* Chú ý :

Khi vật ở VTCB : x = 0; |v|max = ωA; |a|min = 0

Khi vật ở biên : x = ±A; |v|min = 0; |a|max = ω2A

3. Các đại lượng trong dao động cơ

♦ Chu kì dao động T(s):

Là khoảng thời gian ngắn nhất để vật thực hiện được một dao động toàn phần, hay là khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái dao động được lặp lại như cũ. Nếu trong khoảng thời gian Δt vật thực hiện được N dao động thì ta có: Δt = N.T

♦ Tần số dao động f(Hz):

 Là số lần dao động trong một đơn vị thời gian, nó là đại lượng nghịch đảo của chu kỳ dao động.

♦ Mối quan hệ giữa chu kì, tần số và tần số góc:

Biểu thức:

4. Năng lượng trong dao động cơ:

                                                Cơ năng = Động năng + Thế năng.

♦ Động năng:                      

♦ Thế năng :                      

♦ Định luật bảo toàn cơ năng: W = Wđ + Wt = = Wđmax = Wtmax = const

Trong quá trình dao động thì động năng và thế năng có sự biến đổi qua lại, động năng tăng thì thế năng giảm và ngược lại nhưng tổng của chúng là cơ năng (năng lượng toàn phần) luôn được bảo toàn.

* Chú ý :

- Dao động điều hoà có tần số góc là ω, tần số f, chu kỳ T. Thì động năng và thế năng biến thiên với tần số góc 2ω, tần số 2f, chu kỳ T/2

- Động năng và thế năng trung bình trong thời gian nT/2 ( nЄN*) là: 

5. Một số dao động có phương trình đặc biệt:

• x = a ± Acos(ωt + φ) với a = const.

Các tham số của phương trình :

- Biên độ là A, tần số góc là ω, pha ban đầu φ

- x là toạ độ, x0 = Acos(ωt + φ) là li độ.

- Toạ độ vị trí cân bằng x = a, toạ độ vị trí biên x = a ± A

 - Vận tốc v = x’ = x0’, gia tốc a = v’ = x” = x0”

- Hệ thức độc lập: a = -ω2x0 ;

• x = a ± Acos2(ωt + φ)

Sử dụng công thức hạ bậc lượng giác ta có:

x = a ± Acos2(ωt + φ) =

→ Biên độ dao động là A/2; tần số góc 2ω, pha ban đầu 2φ.

6. Cách lập phương trình dao động điều hòa

Gọi phương trình dao động là x = Acos(ωt + φ) (cm).  Để viết phương trình dao động chúng ta cần tìm ba đại lượng A, ω, φ

- Tìm ω từ các công thức:

- Tìm A, φ từ điều kiện ban đầu.

* Chú ý :

- Với thể loại bài toán lập phương trình thì chúng ta cần xác định gốc thời gian (t = 0), nếu đề bài không yêu cầu thì để cho đơn giản hóa bài toán chúng ta chọn gốc thời gian lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.

- Khi thả nhẹ thì ta hiểu là vận tốc ban đầu v0 = 0, còn nếu cho vận tốc ban đầu v0 ≠ 0 thì chúng ta áp dụng hệ thức liên hệ để tìm các thông số khác.

7. Ví dụ điển hình:

Ví dụ 1:

Một vật dao động điều hòa với phương trình :

a. Tính biên độ dao động, tần số góc, pha ban đầu, chu kỳ, tần số dao động.

b. Lập phương trình vận tốc và phương trình gia tốc.

c. Li độ, vận tốc và gia tốc của vật tại thời điểm t = 4s; t = 4,2s.

d. Giá trị cực đại của li độ, vận tốc và gia tốc.

Hướng dẫn giải:

Đây là một bài toán rất cơ bản về dao động điều hòa. Để làm tốt chúng ta chỉ cần nhớ các đặc trưng cơ bản nhất của dao động điều hòa.

a. Đối chiếu với phương trình dao động điều hòa tổng quát   ta tìm được các đại lượng :

- Biên độ dao động A = 4cm

- Tần số góc:               

- pha ban đầu:               

- Chu kỳ dao động:      

- Tần số dao động:       

b. Phương trình vận tốc:

Phương trình gia tốc: 

c. Tại thời điểm t = 4s:

Tại thời điểm t = 4,2s:

d. Li độ cực đại:  xmax = A = 4cm

Vận tốc cực đại:

Gia tốc cực đại:

Ví dụ 2:

Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 2s và biên độ dao động là 2cm. Viết phương trình dao động trong các trường hợp sau:

a. khi t = 0 thì vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.

b. khi t = 0 thì vật qua vị trí có li độ x = - 1cm theo chiều dương.

Hướng dẫn giải:

Gọi phương trình dao động điều hòa của vật là:

Tần số góc dao động:

a. Khi t = 0 ta có:

Tần số góc dao động:

Vậy phương trình dao động của vật là:

b. Khi t = 0 ta có:

Vậy phương trình dao động của vật là:

Ví dụ 3:

Một vật dao động điều hòa có phương trình: . Vận tốc của vật khi vật qua vị trí có li độ x = 3cm là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải :

Đây là dạng bài toán mà cho biết 3 trong 4 đại lượng x, v, A và ω. Để giải quyết đơn giản chúng ta sử dụng hệ thức liên hệ. Áp dụng hệ thức liên hệ giữa x, v, A và ω ta có:

Ví dụ 4:

Một vật dao động điều hòa với phương trình: . Tìm những thời điểm mà vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm.

Hướng dẫn giải :

Đối với những dạng bài tập tìm thời điểm (thời gian t) thì chúng ta chỉ cần quan tâm đến li độ và chiều chuyển động ở thời điểm đó rồi giải phương trình lượng giác tìm t. Cụ thể với bài toán này thì thời gian t mà vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm thỏa mãn hệ phương trình:

8. Bài tập tương tự luyện tập:

Bài 1: Một vật dao động điều hòa có phương trình: x = 2cos(10πt + π/4 ) (cm)

a) Hãy cho biết biên độ, tần số, chu kì và pha ban đầu của dao động.

b) Tính li độ, vận tốc, gia tốc của vật ở các thời điểm t = 0 và t = 0,5s.

Bài 2: Hệ dao động đều hoà gồm quả cầu và lò xo. Gia tốc cực đại và vận tốc cực đại của quả cầu lần lượt là : amax = 18m/s2 và vmax = 3m/s . Xác định tần số và biên độ dao động của hệ.

Bài 3: Một vật dao động với biên độ 3cm, chu kì 0,5s. Tại thời điểm t = 0, hòn bi đi qua vị trí cân bằng.

a) Viết phương trình dao động của vật.

b) Hòn bi có li độ x = 1,5cm; x = 3cm vào những thời điểm nào?

Bài 4: Một chất điểm dao động điều hòa dọc theo trục x với biên độ 10 cm và chu kì 2s. Lấy gốc tọa độ là vị trí cân bằng. Viết phương trình dao động trong các trường hợp:

a) Chọn gốc thời gian lúc chất điểm qua vị trí cân bằng theo chiều dương.

b) Chọn gốc thời gian lúc chất điểm có li độ cực đại theo chiều âm.

c) Chọn gốc thời gian lúc chất điểm có li độ x = +5 cm và đi theo chiều dương.

Bài 5: Viết phương trình dao động của một chất điểm dao động điều hòa trong các trường hợp sau:

a) Tần số f = 0,5 Hz, lúc t = 0 chất điểm có li độ x = cm, đi theo chiều dương và có tốc độ cm/s.

b) Lúc t = 0, chất điểm có li độ x = 4 cm và v = 0. Vận tốc của chất điểm có giá trị cực đại là 8π cm/s.

Biên soạn Thầy Đặng Việt Hùng - BK Hà Nội