Câu 1 (3 điểm): Quá trình thiết kế là gì? Theo TCVN 3819-83 tài liệu thiết kế là gì? Phân loại tài liệu thiết kế theo TCVN.

- Thiết kế là quá trình sáng tạo ra một sản phẩm hoặc một hệ thống sản phẩm (hoặc một quy trình công nghệ), thoả mãn một tập hợp các yêu cầu đã đặt ra, bằng việc sử dụng bất kỳ nguồn lực nào sẵn có, miễn sao cuối cùng đạt đ¬ợc lợi ích hoặc tổng chi phí nằm trong giới hạn cho phép. Đó là một quá trình đa giải pháp và th¬ờng tạo thành một chu trình lặp.

- Tài liệu thiết kế (còn gọi là hồ sơ thiết kế) bao gồm các loại bản vẽ và các tài liệu bằng chữ, xác định thành phần và cấu tạo sản phẩm với nội dung cần thiết để chế tạo, kiểm tra, nghiệm thu, sử dụng và sửa chữa.

• Phân loại tài liệu thiết kế: (TCVN 3819:1983)

• Theo nội dung, TLTK đ¬ợc chia ra các dạng chính sau đây:

1. Bản vẽ chi tiết: Gồm các hình biểu diễn và các số liệu cần thiết để chế tạo và kiểm tra

2. Bản vẽ lắp: Gồm các hình biểu diễn của đơn vị lắp và các số liệu cần thiết để lắp ráp và kiểm tra

3. Bản vẽ chung: Gồm hình biểu diễn xác định kết cấu sản phẩm, sự t¬ơng tác giữa các bộ phận và mô tả nguyên lý làm việc.

4. Bản vẽ nguyên lý: Xác định hình dạng hình học (đ¬ờng bao) sản phẩm và toạ độ phân bố các bộ phận của nó.

5. Bản vẽ choán chỗ: Gồm hình biểu diễn đơn giản (đ¬ờng bao) và những kích th¬ớc giới hạn, kích th¬ớc lắp đặt và lắp nối.

• Theo nội dung,TLTK đ¬ợc chia ra các dạng chính sau:

1. Bản vẽ lắp đặt: Gồm hình biểu diễn đơn giản (đ¬ờng bao) và các số liệu cần thiết để lắp đặt nó vào vị trí vận hành.

2. Sơ đồ: Biểu diễn các bộ phận của sản phẩm và sự liên hệ giữa chúng bằng các ký hiệu quy ¬ớc đơn giản.

3. Bảng kê: Tài liệu xác định các thành phần của một đơn vị lắp, hoặc tổ hợp.

4. Bản thuýet minh: là tài liệu mô tả cấu tạo, nguyên lý làm việc, và cơ sở của các giải pháp kỹ thuật, kinh tế-kỹ thuật đã đ¬ợc chấp nhận.

5. Điều kiện kỹ thuật: Là tài liệu ghi các yêu cầu về cách chế tạo, kiểm tra, nghiệm thu và cung cấp sản phẩm.

6. Ngoài ra cón có các bảng tính toán, tài liệu h¬ớng dẫn sử dụng và sửa chữa.

• Theo ph¬ng pháp lập và đặc điểm sử dụng, bản vẽ đ¬ợc phân loại:

1. Bản gốc là tài liệu lập trên vật liệu bất kỳ, dùng để lập ra bản chính.

2. Bản chính là tài liệu lập trên vật liệu bất kỳcó chữ ký thật, dùng để lập ra các bản sao, bản in nhiều lần.

3. Bản sao là tài liệu lập đ¬ợc tạo ra từ bản chính, (có thể can, chụp lại bản gốc để tạo ra bản sao).

4. Bản in là tài liệu đ¬ợc tạo ra từ bản chính hoặc bản sao và đ¬ợc trực tiếp dùng trong sản xuất.

Câu 2 (2 điểm): Hãy nêu nhược điểm chính của quá trình thiết kế theo cách truyền thống. Phân tích.

*Quá trình thiết kế theo ph¬ơng pháp truyền thống:

1- Nhận rõ vấn đề => 2- Nêu ra các ý t¬ởng=> 3- Tinh sửa=> 4- Phân tích=> 5- Quyết định=> 6- Thực hiện

=>Ta thấy quá trình thiết kế theo ph¬ơng pháp truyền thống th¬ờng có 6 giai đoạn kế tiếp nhau.

=>Đây là cách tiếp cận tuyến tính nghĩa là thực hiện xong giai đoạn thứ i mới có thể chuyển sang giai đoạn thứ (i +1) do đó không thể tiến hành đồng thời các giai đoạn và hạn chế khả năng cùng hợp tác làm việc giữa các thành viên trong đội thiết kế.

* Nhược điểm:

1. Rất dễ nhầm lẫn khi tính toán

2. Rất tốn thời gian thiết kế

3. Độ chính xác thấp

4. Phải chế tạo mẫu thực

5. Khi phải chỉnh sửa rất tốn công sức, tiền bạc

6. Phải thiết kế theo một trình tự bắt buộc

7. Vô cùng khó khăn khi phải tính toán các thuộc tính vật lý đối với vật thể phức tạp ( Thể tích, khối l¬ợng, mô men quán tính...)

8. Tìm kiếm,l¬u trữ thông tin rất lâu

*Phân tích:

 Trong từng giai đoạn, ng¬ời thiết kế th¬ờng phải thực hiện một số công việc bằng tay (theo cách thủ công) sau đây:

1. Vẽ các bản vẽ kỹ thuật (vẽ phác hoạ, vẽ tinh)

2. Chỉnh sửa các bản vẽ  Vẽ lại các bản vẽ

3. Vẽ hình chiếu trục đo hoặc hình chiếu phối cảnh

4. Giải các bài toán ký thuật khác nhau theo một trình tự tính toán xác định, và th¬ờng lặp đi lặp lại nhiều lần

5. Vẽ các loại đồ thị, biểu đồ theo các số liệu đo đ¬ợc khi thí nghiệm, hoặc do kết quả tính toán

6. Tra cứu các thông số, hệ số, bảng tính

7. Chế tạo khuôn mẫu, mô hình thu nhỏ...

8. Viết tài liệu thuyết minh, tài liệu h¬ớng dẫn sửa chữa, sử dụng...

• Nêu đc vai trò, ứng dụng của máy tính để chỉ ra nhược điểm đó.

Câu 3 (3 điểm): Các giai đoạn chính của quá trình thiết kế là gì? Lấy ví dụ minh hoạ từ chuyên ngành của đồng chí.

a. Các giai đoạn chính của qt thiết kế.

Theo cách truyền thống, ng¬ười ta th¬ường chia quá trình thiết kế thành 6 giai đoạn nh¬ư hình bên. (1- Nhận rõ vấn đề => 2- Nêu ra các ý t¬ởng=> 3- Tinh sửa=> 4- Phân tích=> 5- Quyết định chọn 1 p/án tk=> 6- Hoàn thiện tài liệu tk=>TK các quy trình công nghệ)

• Thực hiện tốt giai đoạn tr¬ớc, sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho giai đoạn sau

• QTTK là một quá trình lặp, tiệm cận dần tới thiết kế tối ¬ưu theo một hàm mục tiêu đã xác định

• Kết thúc quá trình thiết kế sẽ tạo ra bộ tài liệu thiết kế

• Sau đó chuyển cho bộ phận thiết kế quy trình công nghệ để đư¬a vào chế tạo.

• Ph¬ương pháp truyền thống này năng suất thấp. Hiện nay nếu ứng dụng công nghệ CAD/CAM hiệu quả cao hơn nhiều

b. Ví dụ:

Câu 4 (2 điểm): Máy tính được sử dụng trong các giai đoạn của quá trình thiết kế như thế nào? Cho ví dụ minh hoạ.

+ Sau khi nhân nhu cầu của khách hàng, tại quá trình đặt nhiệm vị tk, tại đây trên cơ sở của máy tính, ng ta tra cứu các thông số KT để từ đó xác định các nvụ cần làm.

+ Mẫu thiết kế được sử dụng trong giai đoạn tk sơ bộ, trên cơ sr các mẫu có sẵn, ng thiết kế dựa vào đó để chọn lựa cho phù hợp hay chỉnh sửa theo đúng yêu cầu để tk sơ bộ đc diễn ra nhanh chóng.

+ Sau khi đã tk sơ bộ xong, chúng đc mô hình hóa ở dạng 3D, các chi tiết lắp ghép được tổng hợp lại - đây là quá trình tổng hợp.

+ Để xác định được tính chất, đặc trưng của sp, máy tính đc trợ giúp để tinh toán như sức bền, khả năng làm việc, từ đó tối ưu về thiết kế. (Sd trongquá trình phân tích, tối ưu hóa.)

+ Trên cơ sở dữ liệu đã có, ng thiết kế sẽ hoàn thành và xuất ra tài liệu thiết kế. (ứng dụng trong quá trình hoàn thiện tk).

Câu 5 (3 điểm): Nêu các chức năng cơ bản của CAD. Minh họa (tóm tắt, bằng lời) các chức năng đó bằng các phần mềm AutoCAD.

* CAD là gì?

CAD là viết tắt của Computer Aided Design (Thiết kế có máy tính trợ giúp)

CAD trợ giúp thiết kế từ giai đoạn đoạn đề xuất ý t¬ởng cho đến giai đoạn ra mô hình chi tiết

* Phần mềm CAD là phần mềm ứng dụng có các chức năng cơ bản sau:

1. Thiết kế & mô phỏng hình học 3 chiều (3D) các vật thể có hình dáng phức tạp

2. Giao tiếp đ¬ợc với các thiết bị đo, quét toạ độ 3D, thực hiện nhanh chóngcác chức năng mô phỏng hình học từ dữ liệu số (Digitized Data)

3. Phân tích và liên kết dữ liệu: Tạo mặt phân khuôn, tách khuôn, quản lý kết cấu lắp ghép...

4. Tạo bản vẽ và ghi kích th¬ớc tự động: Có khả năng liên kết các bản vẽ 3D với 2D và ng¬ợc lại

5. Liên kết với các ch¬ơng trình tính toán, thực hiện các chức năng phân tích kỹ thuật CAE: Tính biến dạng, ứng suất, mô phỏng dòng chảy, tr¬ờng ứng suất, áp suất, nhiệt độ...dựa trên ph¬ơng pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method)

6. Nội suy hình học, biên dịch các kiểu đ¬ờng chạy dao chính xác cho CAM

7. Giao tiếp dữ liệu theo các định dạng đồ hoạ chuẩn: DXF, IGES, VDA, PTC

8. Xuất dữ liệu đồ hoạ d¬ới dạng tệp *.STL để giao tiếp với các thiết bị tạo mẫu nhanh (Rapid Prototyping) theo công nghệ tạo hình lập thể StereoLitography Apparatus (SLA)

Câu 6 (3 điểm): Quá trình thiết kế truyền thống có thể chia thành mấy giai đoạn? Hãy phân tích nhiệm vụ chính của từng giai đoạn?

*Quá trình thiết kế theo ph¬ơng pháp truyền thống gồm 6 giai đoạn:

1- Nhận rõ vấn đề => 2- Nêu ra các ý t¬ởng=> 3- Tinh sửa=> 4- Phân tích=> 5- Quyết định=> 6- Thực hiện

*Nhiệm vụ chính trong tong giai đoạn:

*Giai đoạn 1: xác định rõ nhiệm vụ thiết kế

Phải tìm hiểu để nhận rõ các nguyên nhân, phân biệt cái nào là chủ yếu, cái nào là thứ yếu, ảnh h¬ởng của chúng?... Ьa ra nhiệm vụ và yêu cầu chính cho thiết kế.

*Giai đoạn 2: các ý t¬ưởng thiết kế sơ bộ

- Từng thành viên (hoặc nhóm nhỏ) nghiên cứu đề xuất ý t¬ởng, giải pháp riêng của mình

- Cần có nhiều cách để tìm kiếm, thu thập thông tin nhằm đề ra các giải pháp hợp lý

- Không nên phủ nhận những ý t¬ởng, giải pháp lạ.

- Mỗi ý t¬ởng phải có các bản vẽ phác (bản vẽ sơ đồ , bản vẽ lắp thể hiện kết cấu và nguyên lý, đồ thị, bảng số liệu, bản vẽ dạng hình chiếu trục đo, mô hình..) kèm theo một số kích th¬ớc quan trọng, thuyết minh rõ nguyên lý, mức độ đáp ứng các yêu cầu về chức năng, các thông số, đặc tính đã nêu ở giai đoạn 1. Đánh giá ¬u nh¬ợc điểm của giải pháp, mức độ dễ dàng trong sản xuất, xác định chủng loại vật liệu, sơ bộ xác định chi phí sản xuất ....

- Cá nhân hoặc nhóm phải chuẩn bị thật tốt để trình bầy giải pháp thiết kế

- Tổ chức hội nghị để các thành viên (hoặc nhóm) trình bầy thiết kế của mình. Trao đổi, đặt câu hỏi phản biện cho từng thiết kế để chỉnh sửa tiếp

*Giai đoạn 3: tinh sửa

• Trong giai đoạn này cá nhân hoặc nhóm thiết kế cần chọn lấy 1-2 ph¬ơng án thiết kế trong số nhiều ph¬ơng án đã nêu ra và tiến hành:

- Vẽ lại tất cả các bản vẽ theo đúng kích th¬ớc đã thiết kế với tỷ lệ tiêu chuẩn

- Xác định và kiểm tra lại các yêu cầu đã đề ra ở giai đoạn 1:Quan hệ hình học, kích th¬ớc, khối l¬ợng, động học và động lực học,... Sơ bộ đánh giá khả năng công nghệ chế tạo, chi phí và thị tr¬ờng tiêu thụ.

- Chuẩn bị tốt cho buổi trình bày bảo vệ ph¬ơng án thiết kế

*Giai đoạn 4 : phân tích thiết kế

Đây là giai đoạn thiết kế chi tiết, rất tốn công sức, phải giải nhiều bài toán khác nhau thuộc nhiều lĩnh vực. (Ví dụ khi thiết kế cầu phải tính toán, phân tích , so sánh các chỉ tiêu về: kích th¬ớc, tải trọng, ứng suất, vật t¬ tiêu hao, chức năng, kinh phí....)

*Giai đoạn 5 : quyết định chọn 1 thiết kế

1. Tổ chức hội nghị phân tích để chọn lấy 1 bản thiết kế tốt nhất.

2. Từng các nhân (hoặc nhóm) thuyết trình tỷ mỉ

3. Tập thể thiết kế và ng¬ời có thẩm quyền trao đổi phân tích và quyết định dựa trên điểm cho từng tiêu chí.

* Giai đoạn 6 : hoàn thiện tài liệu thiết kế

Sau khi chính thức quyết định chọn một bản thiết kế, toàn đội thiết kế tập trung chỉnh sửa lần cuối trên cơ sở xem xét các ý kiến bổ sung, góp ý tại hội nghị lần cuối.

Câu 7 (2 điểm): Trong AutoCAD có những loại toạ độ 3D nào ? Cách nhập dữ liệu cho từng trường hợp cụ thể ?

 Hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc: Chiều của các trục trong hệ toạ độ Đề-Các có thể tuân theo quy tắc bàn tay phải hoặc theo quy tắc bàn tay trái, tuy nhiên quy tắc bàn tay phải thường được sử dụng nhiều hơn.

• Để biểu diễn các đối tượng hình học (điểm, đoạn thẳng, hình phẳng, khối đặc..) trong không gian đồng nhất chúng ta cũng sử dụng cách biểu diễn dưới dạng ma trận như đã nêu ở chương 3. Ví dụ biểu diễn tứ diện OABC (xem hình vẽ)

 Ngoài tọa độ Đề-Các, tuỳ theo các bài toán cụ thể người ta còn sử dụng hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu:

 Tọa độ trụ:Có 3 tham số tọa độ:

Bán kính R; Góc quay j (phuy) ( góc XOY)và cao độ Z (// với trục Oz)

Trong AutoCAD nhập dữ liệu là: R < j ,Z

 Toạ độ cầu: Có 3 tham số tọa độ:

Bán kính R; Góc quay j(phuy) và Góc quay q (tê ta)

(góc Trong AutoCAD nhập dữ liệu là: R < j < q

 Nếu là toạ độ tương đối phải thêm chữ @ ở trước.

 Ví dụ @R < j ,Z

@ R < j < q

Câu 8 (2 điểm): Phép biến đổi là gì ? Tính chất của nó ?

 Phép biến đổi là một ánh xạ từ một không gian R vào chính không gian đó, biến một điểm P thành một điểm P', biến một đường thẳng b thành một đường thẳng b'. một đối tượng S thành đối tượng S' . Ở đây ký hiệu phép biến đổi là T (Transformation), Còn P', S' gọi là ảnh của P và S

 Có thể biểu diễn phép biến đổi dưới dạng hàm như sau:

P' = T(P) hay: X' = F(X, Y)

Y' = G(X, Y)

X , Y là tọa độ của điểm P (P là vị trí ban đầu)

X' , Y' là toạ độ của điểm P' (P' là vị trí sau khi biến đổi)

F(X, Y) và G(X,Y) là các hàm của X và Y

Khi các hàm F(X,Y) và G(X,Y) có dạng tuyến tính:

F(x, y) = ax + cy + e

G(x, y) = bx + dy + f

=>thì đó là phép biến đổi Affine

*Một phép biến đổi Affine luôn có 4 tính chất:

- Bảo toàn tính thẳng

- Bảo toàn tỷ lệ

- Bảo toàn tính song song

- Kết hợp và phân rã được

*Bảo toàn tính thẳng

GT d là đường thẳng

d' = T(d)

KL d' vẫn là đường thẳng

* Bảo toàn tỷ lệ

GT A, B, C là 3 điểm thẳng hàng

A' = T(A)

B' = T(B)

C' = T(C)

KL A':B':C' = A:B:C

* Bảo toàn tính song song

GT d1 // d2

d1' = T(d1)

d2' = T(d2)

KL d1' // d2'

* Kết hợp và phân rã được

+Kết hợp:

Nếu T1, T2 là các phép biến đổi afine, với các ma trận tương ứng là M1 & M2

 Thì T1 + T2 = T cũng là phép biến đổi affine

 Và M1 x M2 = M là ma trận của phép biến đổi T

+Phân rã:

 Mọi phép biến đổi affine bất kỳ đều có thể phân rã thành một chuỗi các phép biến đổi cơ bản nối tiếp nhau: T = T1 + T2 + T3 + ....+ Tn

 Ma trận chung sẽ là: M = M1. M2. M3 ..... Mn

Câu 9 (2 điểm): So sánh các mô hình: WireFrame, Surface và Solid trong các phần mềm CAD

Trong CAD 3D th¬ờng dùng 3 loại mô hình sau đây:

1. Mô hình khung dây (Wireframe model)

2. Mô hình mặt (Surface model)

3. Mô hình khối rắn (Solid model)

1- Mô hình khung dây

Chỉ gồm các cạnh là những đoạn thẳng hoặc cong, các mặt không đ¬ợc tạo ra mà chỉ có các đ¬ờng biên. Mô hình này không thể tính đ¬ợc diện tích các mặt, không tính đ¬ợc thể tích và khối l¬ợng, không thể tô bóng (Shade & Render), toàn bộ các đối t¬ợng của mô hình đều đ¬ợc nhìn thấy, không xác định đ¬ợc cạnh khuất. Tuy nhiên dễ dàng truy bắt các điểm cuối (end point), điểm giữa (midle point) của các cạnh, và đỡ tốn bộ nhớ hơn (hiển thị nhanh hơn)

2- Mô hình mặt

Biểu diễn đối t¬ợng tốt hơn mô hình khung dây vì các cạnh của mô hình tạo thành các mặt (Faces), có thể coi nh¬ mô hình khung dây đ¬ợc phủ một lớp "da" xung quanh. Mô hình mặt có thể tích nh¬ng không có khối l¬ợng vì chỉ có lớp bề mặt còn bên trong rỗng. Mô hình này có thể che các cạnh và mặt khuất và có thể tô bóng.

3- Mô hình khối rắn

Biểu diễn đối t¬ợng hoàn chỉnh nhất và tốt nhất, bao gồm các cạnh, các mặt và phần vật chất bên trong. Ta có thể cắt mô hình loại này để thấy rõ cấu tạo bên trong, gán vật liệu, chọn nguồn chiếu sáng để tô bóng. Có thể tính đ¬ợc thể tích, khối l¬ợng và các đặc tr¬ng vật lý khác nh¬ toạ độ trọng tâm, mô men quán tính các loại..Có thể áp dụng các phép toan của đại số Boole (cộng, trừ, giao) để tạo ra các chi tiết có cấu tạo phức tạp từ những khối đơn giản.

Câu 10 (3 điểm): CAD là gì? Các chức năng chính của một phần mềm CAD? Hãy nêu tên của một số phần mềm CAD hiện hiện nay.

*CAD là viết tắt của Computer Aided Design (Thiết kế có máy tính trợ giúp)

CAD trợ giúp thiết kế từ giai đoạn đề xuất ý t¬ởng cho đến giai đoạn ra mô hình chi tiết

*Hệ thống CAD cho phép:

1. Thiết lập các bản vẽ 2D dễ dàng, nhanh chóng và dễ chỉnh sửa

2. Trực tiếp thiết kế các mô hình 3D (mô hình chi tiết độc lập cũng nh¬ mô hình lắp ráp) và chuyển sang bản vẽ 2D (bản vẽ chi tiết, bản vẽ lắp) nhanh chóng và thuận lợi theo các tiêu chuẩn bản vẽ của các quốc gia khác nhau

3. Xuất các tập tin ra nhiều định dạng khác nhau, tạo điều kiện thuận lợi cho việc trao đổi thông tin giữa các phần mềm thiết kế, chế tạo.

4. Dễ dàng cập nhật thông tin về sản phẩm

5. Mô phỏng đ¬ợc các đặc tính của sản phẩm tr¬ớc khi chế tạo

6. Quản lý dữ liệu một cách hệ thống

7. Từ cơ sở dữ liệu của CAD có thể chuyển sang CAM (chế tạo có sự trợ giúp của máy tính)

*Hiện nay có hàng trăm phần mềm CAD dùng cho nhiều lĩnh vực kỹ thuật khác nhau ví dụ:

-Solid Works, Solid Edges (thiết kế 3D, Analysis)

-Inventor (thiết kế 3D, Mô phỏng tháo lắp..)

-Pro/Engineer (Phần mềm CAD/CAM)

-Cimatron (Phần mềm CAD/CAM) ....

Và các phần mềm phân tích kỹ thuật:

-Ansys

-Nastran....

Câu 11 (2 điểm): Ưu nhược điểm của công nghệ CAD/CAM so với công nghệ truyền thống trong gia công tạo hình chi tiết ?

*CAD/CAM = Computer Aided Design & Computer Aided Manufacturing = Thiết kế và chế tạo có máy tính trợ giúp

Lập bảng 2 cột: 1 bên là CN truyền thống, 1 bên là CAD/CAM với ND sau:

*Ưu điểm của CAD/CAM:

 Mô hình hoá hình học thay cho tạo mẫu thực

 Có thể thử nghiệm sản phẩm tr¬ớc khi chế tạo

 Tạo bản vẽ tự động từ mô hình 3D

 Kiểm tra kích th¬ớc trực tiếp trong khi gia công

 Dễ lựa chọn chế độ gia công thích hợp

 Bề mặt gia công chính xác hơn

 Hầu nh¬ không bị nhầm lẫn

 Thời gian thiết kế và chế tạo rút ngắn rất nhiều

 Nhanh chóng đ¬a sản phẩm ra thị tr¬ờng

*Nhược điểm của CN Truyền Thống

 Phải chế tạo mẫu chép hình

 Không thể thử nghiệm sản phẩm tr¬ớc khi chế tạo

 Phải vẽ các bản vẽ bằng tay

 Rất khó kiểm tra kích th¬ớc trực tiếp trong khi gia công

 Khó lựa chọn chế độ gia công thích hợp

 Bề mặt gia công khó đạt chính xác

 Hay bị nhầm lẫn do làm thủ công

 Thời gian thiết kế và chế tạo th¬ờng khá dài

 Chậm đ¬a sản phẩm ra thị tr¬ờng

Câu 12 (2 điểm): Vẽ hình diễn giải để tìm ra ma trận của phép quay <Rotation> quanh

gốc tọa độ trong Cad 2D

 Dùng để thay đổi hướng của các đối tượng với tâm quay là gốc toạ độ. Góc quay a > 0 nếu quay ngược chiều kim đồng hồ (và ngược lại là góc âm)

 Các toạ độ cũ của đối tượng là:

 X = R cos j Y = R sin j

 Các toạ độ mới của đối tượng là:

 X' = R cos (j + a) Y' = R sin (j + a)

X' = X cos a - Y sin a

Y' = X sin a + Ycos a

Dưới dạng ma trận

(x' y' 1) = (x y 1)*

Cos sin 0

-sin cos 0

0 0 1

Câu 13 (2 điểm): Vẽ hình diễn giải để tìm ra ma trận của phép quay 3D quanh trục OY

một góc α. Cách xác định góc âm, dương của góc quay?

*Bài toán

Hãy quay điểm P(x,y,z) quanh trục Y một góc a >0 về vị trí P'(x', y, z')

*Giải

Chiếu điểm P và P' xuống mặt phẳng XOZ ta được P1 và P'1

Toạ độ cũ của P viết lại dưới dạng:

X = R sinj ; Y ; Z = R cos j

• Các toạ độ mới của đối tượng là:

• X' = R sin (j + a) ;Y' = Y ; Z' = R cos (j + a)

X' = X cos a + Z sin a

Y' = Y

Z' = -X sin a + Z cos a

• Dưới dạng ma trận:

(x' y' z' 1) = ( x y z 1)*

Cos 0 -sin 0

0 1 0 0

Sin 0 cos 0

0 0 0 1

*Xác định góc quay âm, dương:

 Khi quay điểm P quanh một trục đi qua 2 điểm A, B thì điểm đầu A là gốc của vectơ điểm cuối B sẽ là ngọn của vectơ.

 Nếu nhìn từ ngọn của vectơ tới gốc vectơ mà thấy đối tượng quay ngược chiều kim

đồng hồ thì góc quay là góc dương. Ngược lại sẽ là góc quay âm.

Câu 14 (2 điểm): Diễn giải để thu được ma trận của phép biến đổi tỷ lệ 3D. Biện luận

trong các trường hợp |Sx| = |Sy| = |Sz| = 1 sẽ biến thành các phép biến đổi nào ?

• Phép biến đổi tỷ lệ 3D tương tự như trong 2D, chỉ thêm toạ độ Z

• Vì là phép biến đổi vật thể rắn cho nên chỉ cần tìm ma trận biến đổi cho một điểm trên vật thể là đủ.

• Xét điểm A(x,y,z) sau khi biến đổi tỷ lệ sẽ là A'(x', y', Z'), trong đó:

x' = x.Sx y' = y.Sy và z' = z.Sz

Sx ; Sy Sz là các hệ số tỷ lệ theo phương X ; Y và Z

• Biểu diễn dưới dạng ma trận ta có:

(x' y' z' 1) = (x y z 1)*

Sx 0 0 0

0 Sy 0 0

0 0 Sz 0

0 0 0 1

• Trong các phần mềm CAD (Ví dụ AutoCAD) thường sử dụng phương pháp biến đổi tỷ lệ đồng dạng, với tâm biến đổi là một điểm bất kỳ do ta chọn gọi là điểm chuẩn (Base Point); nghĩa là các hệ số tỷ lệ theo 3 trục OX; OY; OZ đều bằng nhau.

• Khi Sx = Sy = Sz < 1 à Sau khi biến đổi kích thước vật thể sẽ bị thu nhỏ.

• Ngược lại nếu Sx = Sy = Sz >1 Vật thể sẽ được phóng to.

• Khi Sx ¹ Sy ¹ Sz à Sau khi biến đổi , vật thể sẽ bi biến dạng.

Khi Sx = Sy = Sz = ±1 à ???

Câu 15 (2 điểm): Vẽ hình diễn giải để tìm ra ma trận của phép biến đổi 2D sau:

a) Phép biến đổi tịnh tiến.

b) Phép đối xứng qua trục OX.

Giải

a) Phép biến đổi tịnh tiến.

 Dùng để thay đổi vị trí của các đối tượng từ vị trí này sang vị trí khác với:

 Độ dịch chuyển theo trục X là tx

 Độ dịch chuyển theo trục Y là ty

 Rõ ràng các toạ độ mới là:

 X' = X + tx Y' = Y + ty

Viết dưới dạng ma trận là

(x' y' 1) = (x y 1)*

(1 0 0 ; 0 1 0 ; tx ty 1)

b) Phép đối xứng qua trục OX.

Chỉ có toạ độ Y đổi dấu do đó ma trận của phép biến đổi sẽ là:

(x' y' 1) = (x y 1)*( 1 0 0; 0 -1 0; 0 0 1)

Câu 16 (2 điểm): Vẽ hình diễn giải để tìm ra ma trận của phép quay 3D quanh trục OZ

một góc α. Cách xác định góc âm, dương của góc quay?

Bài toán

• Cho điểm P trong không gian 3 chiều.

Hãy quay P(x,y) quanh Oz

một góc a > 0 về vị trí mới P'(x', y')

Cách giải

• Chiếu P và P' xuống mặt phẳng xOy được điểm P1 và P'1

Các toạ độ cũ của đối tượng là:

• X = R cos j ; Y = R sin j ; Z

• Các toạ độ mới của đối tượng là:

X' = R cos (j + a) ;Y' = R sin (j + a);

Còn Z' = Z

X' = X cos a - Y sin a

Y' = X sin a + Ycos a

Z' = Z

Dưới dạng ma trận:

(x' y' z' 1) = (x y z 1)*(cos sin 0 0; -sin cos 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1)