BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn: TOÁN; Khối: D
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 + 3x2 -1.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng-1.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình 4 cos 5x cos 3x + 2(8sin x-1) cos x = 5.
2
2
2. Giải hệ phương trình⎪ 2
⎧2 2 x + y = 3- 2 x - y
⎨ (x, y Î ).
Câu III (1,0 điểm)
1
⎩⎪x- 2xy - y2 = 2
Tính tích phân I = ò 2x -1 dx.
0 x +1
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc
với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45o. Tính
theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
Câu V (1,0 điểm)
Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y£ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức A = 1 + 1⋅
x
xy
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; - 2; 3), B(-1; 0; 1) và mặt phẳng
(P): x + y + z + 4 = 0.
1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P).
2. Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng AB , có tâm thuộc đường thẳng AB và (S)
6
tiếp xúc với (P).
Câu VII.a (1,0 điểm)
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2- 3i)z + (4 + i) z = - (1+ 3i)2. Tìm phần thực và phần ảo
của z.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x = y-1 = z và mặt phẳng
(P): 2x- y + 2z - 2 = 0.
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P).
-2
1
1
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (P).
Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải phương trình z2 - (1+ i)z + 6 + 3i = 0 trên tập hợp các số phức.
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn: TOÁN; Khối D
(Đáp án - thang điểm gồm 03 trang)
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
I 1. (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ¼
(2,0 điểm) • Tập xác định: D = .
• Chiều biến thiên: y ' = 3x2 + 6x; y ' = 0⇔⎡
x=0
0,25
⎣⎢x = -2.
- Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ¥;- 2) và (0; + ¥). - Hàm số nghịch biến trên khoảng (- 2; 0).
• Cực trị:
- Hàm số đạt cực đại tại x = -2 và yC§ = y(- 2) = 3.
- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và yCT = y(0) = -1.
• Giới hạn: lim y = -¥; lim y = +¥.
0,25
x®-¥
• Bảng biến thiên:
x®+¥
x -¥
y'
y
+
-2
0
3
-
0
0+
+¥
+¥
0,25
• Đồ thị:
-¥
y
-1
3
0,25
O
-2 x
-1
2. (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến ¼Tung độ tiếp điểm là: y(-1) = 1.
Hệ số góc của tiếp tuyến là: k = y '(-1) = -3
Phương trình tiếp tuyến là: y-1 = k(x +1)
⇔ y = -3x - 2.
0,25
0,25 0,25
0,25
II 1. (1,0 điểm) Giải phương trình¼
(2,0 điểm) Phương trình đã cho tương đương với: 2cos 4x + 8sin 2x- 5 = 0 0,25
⇔4sin2 2x- 8sin 2x + 3 = 0 0,25
• sin 2x = 3 : vô nghiệm. 0,25
2
⎡ p
• sin 2x =
1⇔ ⎢x = 12 + kp (k Î ). ⎢
0,25
2
⎢x = 5p + kp
⎣⎢
12
Trang 1/3
Câu
2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình⎪ 2
Đáp án
Điểm
⎧2 2x + y = 3 - 2x - y (1)
⎨
⎩⎪x - 2xy - y2 = 2
( 2)
Điều kiện: 2x + y ³ 0. Đặt t = 2x + y , t ³ 0. Phương trình (1) trở thành: t2 + 2t - 3 = 0 0,25
⇔⎡t =1
⎣⎢t = -3 (lo¹i).
Với t = 1, ta có y = 1- 2x. Thay vào (2) ta được x2 + 2x - 3 = 0⇔ ⎡
x =1
0,25
III
(1,0 điểm)
Với x = 1 ta được y = -1, với x = -3 ta được y = 7. Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) là (1;-1) và (-3;7).
(1,0 điểm) Tính tích phân¼
⎣⎢x = -3.
0,25
0,25
1 1 1
I = ⎛ 2 - 3⎞ dx = 2 dx - 3 dx
ò
0
⎜
⎝
x +1⎟⎠
ò
0
ò
0
x +1
0,25
= 2x 1 - 3ln x +1 1
0
= 2- 3ln 2.
0
0,50
0,25
IV (1,0 điểm) Tính thể tích khối chóp¼
(1,0 điểm)
S
A D
I
45o
B C
Gọi I là trung điểm AB. Ta có SA = SB⇒ SI⊥ AB. Mà (SAB)⊥ ( ABCD), suy ra SI⊥ ( ABCD). 0,25
Góc giữa SC và (ABCD) bằng SCI và bằng 45O, suy ra SI = IC = IB2 + BC2 = a 5⋅
2
0,25
Thể tích khối chóp S.ABCD là V = 1 SI.SABCD
3
3
0,25
V
= a 5 (đơn vị thể tích).
6
(1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ¼
0,25
(1,0 điểm)
Ta có A = 1 + 1³ 1 + 2
0,25
x
xy x x + y
³ 2. 1⋅ 2 =
4
³
8
= 8³ 8.
0,50
x x+ y 2 x( x + y ) 2 x + ( x + y ) 3 x + y
VI.a
(2,0 điểm)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1 . Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 8.
4
1. (1,0 điểm) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc ¼
Hình chiếu vuông góc A' của A trên (P) thuộc đường thẳng đi qua A và nhận u = (1; 1; 1) làm
vectơ chỉ phương.
Tọa độ A' có dạng A'(1 + t;- 2 + t; 3 + t).
Ta có: A'Î (P)⇔ 3t + 6 = 0⇔ t = -2.
Vậy A'(-1;- 4;1).
Trang 2/3
0,25
0,25
0,25 0,25
0,25
Câu Đáp án Điểm
2. (1,0 điểm) Viết phương trình mặt cầu¼
Ta có AB = (- 2; 2;- 2) = -2(1;-1; 1). Bán kính mặt cầu là R = AB = 3⋅ 0,25
6 3
Tâm I của mặt cầu thuộc đường thẳng AB nên tọa độ I có dạng I (1 + t;-2 - t;3 + t). 0,25
Ta có: d (I ,(P)) = AB⇔
t+6
= 3⇔⎡ t = -5
0,25
6
3
3
⎢t = -7. ⎣
• t = -5⇒ I (- 4;3;- 2). Mặt cầu (S) có phương trình là (x + 4)2 + ( y - 3)2 + (z + 2)2 = 1⋅
3
0,25
• t = -7⇒ I (- 6;5;- 4). Mặt cầu (S) có phương trình là (x + 6) 2 + ( y- 5)2 + (z + 4)2 = 1⋅
3
VII.a
(1,0 điểm)
(1,0 điểm) Tìm phần thực và phần ảo ¼
Gọi z = a + bi (aÎ , b Î ). Đẳng thức đã cho trở thành 6a + 4b - 2(a + b)i = 8 - 6i
0,50
⇔⎧ 6a + 4b = 8
⎧a = -2
⎨2a + 2b = 6⇔⎨b = 5. 0,25
⎩ ⎩
VI.b
(2,0 điểm)
Vậy z có phần thực bằng - 2, phần ảo bằng 5.
1. (1,0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng ¼
d có vectơ chỉ phương a = (- 2; 1; 1), (P) có vectơ pháp tuyến n = (2;-1;2).
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P). Ta có A(0;1;0)Îd nên (Q) đi qua A và [a , n ]
là vectơ pháp tuyến của (Q).
⎛ 1 1 1-2 -2 1⎞
0,25
0,25
0,25
Ta có [a , n ] = ⎜
⎜ -1 2 ; 2 2 ; 2 -1⎟ = 3(1; 2; 0). ⎟
0,25
⎝
⎠
Phương trình mặt phẳng (Q) là x + 2 y- 2 = 0.
2. (1,0 điểm)Tìm tọa độ điểm M ¼
MÎ d nên tọa độ điểm M có dạng M (-2t;1+ t;t).
Ta có MO = d (M ,(P))⇔ 4t2 + (t +1)2 + t2 = t +1
⇔ 5t2 = 0⇔ t = 0.
Do đó M (0;1;0).
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
VII.b
(1,0 điểm)
(1,0 điểm) Giải phương trình ¼
Phương trình có biệt thứcD = (1 + i)2 - 4(6 + 3i) = -24 -10i
= (1- 5i)2
Phương trình có hai nghiệm là z = 1- 2i và z = 3i.
------------- Hết -------------
0,25
0,50
0,25
Bạn đang đọc truyện trên: Truyen2U.Pro