Cho hàm chi phí: AVC = a + bQ + cQ2 và có được bảng dữ liệu thu được từ việc ước lượng phương trình này:

DEPENDENT VARIABLE:

Q

R-SQUARE

F-RATIO

P-VALUE ON F

OBSERVATIONS:

9

0.9382

45.527

0.0002

VARIABLE

PARAMETER

ESTIMATE

STANDARD ERROR

T-RATIO

P-VALUE

Intercept

44.473

6.487

6.856

0.0005

Q

-0.143

0.0482

-2.967

0.0254

Q2

0.000362

0.000079

4.582

0.0037

Sau khi đã ước lượng được các tham số, nhà quản lý ước lượng rằng các hệ số được ước lượng có dấu theo đúng yêu cầu về lý thuyết là: , và . Để ước lượng khi nào các hệ số này có ý nghĩa thống kê thì phải kiểm tra giá trị p , và độ tin cậy cho mỗi tham số được ước lượng có thể chấp nhận ở mức thấp (tất cả hệ số t có mức ý nghĩa lớn hơn 5%).

Do đó, hàm chi phí biến đổi bình quân được ước lượng cho tập đoàn Rockford là:  

Như đã được nhấn mạnh ở trên, phương trình chi phí cận biên và phương trình tổng chi phí biến đổi có thể dễ dàng được ước lượng từ các tham số được ước lượng của AVC, và phân tích hồi quy là không cần thiết. Trong trường hợp này,

và    

MỐI QUAN HỆ GIỮA HÀM CHI PHÍ VÀ HÀM SẢN XUẤT THỰC NGHIỆM

Hàm sản xuất bậc 3

Trong chương này, dạng hàm sản xuất bậc 3 đã được giới thiệu là: Q = aK3L3 + bK2L2

Dạng hàm này là thích hợp nhất cho việc ứng dụng phân tích hàm sản xuất trong ngắn hạn, hơn là ứng dụng trong dài hạn. Khi vốn được cố định (), hàm sản xuất ngắn hạn bậc 3 là:

trong đóvà . Phần phụ lục này giới thiệu những tính chất toán học của hàm chi phí ngắn hạn bậc ba.

Sử dụng đầu vào lao động

Để sản xuất ra sản phẩm, cần phải có một số dương lượng lao động

Q = A(0)3 + B(0)2 = 0

Sản phẩm cận biên

Hàm sản phẩm cận biên của lao động là: dQ/dL = QL = 3AL2 + 2BL

Độ dốc của đường sản phẩm cận biên là: d2Q/dL2 = QLL = 6AL + 2B

Sản phẩm cận biên của lao động ban đầu tăng lên, sau đó lại giảm xuống, QLL đầu tiên phải là số dương, sau đó phải là số âm (do có nhiều lao động được sử dụng hơn) khi A âm và B dương. Các điều kiện khác trong hàm sản xuất ngắn hạn bậc 3:

A < 0 và B > 0

Sản phẩm cận biên của lao động tiến tới giá trị cực đại tại Lm đơn vị lao động. Điều này xảy ra khi . Xác định giá trị Lm khi QLL = 0 ta được: Lm = -B/3A

Sản phẩm bình quân

Hàm Sản phẩm bình quân của lao động là: AP = Q/L = AL2 + BL

Sản phẩm bình quân của lao động tiến tới giá trị cực đại tại La đơn vị lao động. Điều này xảy ra khi dAP/dL = 2AL + B = 0. Ta tìm được: La = -B/2A

Hàm chi phí bậc ba

Hàm chi phí bậc ba có dạng: TVC = aQ + bQ2 + cQ3

ta tìm được các hàm chi phí bình quân và chi phí cận biên có dạng đặc trưng hình chữ U đã được minh họa ở chương 8. Nếu AVC = TVC/Q,

AVC = a + bQ + cQ2

độ dốc của đường chi phí biến đổi bình quân là:

dAVC/dQ = b + 2cQ

Chi phí biến đổi bình quân đạt giá trị nhỏ nhất khi dAVC/dQ = 0, xảy ra khi Q = -b/2c. Để đảm bảo là chi phí biến đổi bình quân là nhỏ nhất, chúng ta xác định đạo hàm cấp 2:

phải là số dương, vì vậy c phải có giá trị dương.

Khi Q = 0, AVC = a, phải có giá trị dương. Vì đường chi phí biến đổi bình quân có vùng chiều dốc xuống cho nên b phải là số âm. Như vậy, các tham số của phương trình bậc ba có điều kiện về dấu là: a > 0, b < 0, và c > 0

Hàm chi phí cận biên là:

Hàm sản xuất Cobb - Douglas

Trong chương này, chúng ta đã sử dụng dạng bậc ba để ước lượng hàm chi phí. Trong phần phụ lục này, chúng tôi sẽ giới thiệu cho bạn thấy một dạng phi hồi quy tuyến tính khác của hàm sản xuất được sử dụng rộng rãi trong hoạt động kinh tế ứng dụng. Chúng ta sẽ mô tả các tính chất toán học của hàm sản xuất Cobb - Douglas trong cả ngắn hạn và dài hạn và giải thích xem làm thế nào để ước lượng các tham số sử dụng phân tích hồi quy. Để giúp bạn phân biệt giữa dạng Cobb - Douglas và dạng bậc ba, chúng ta sẽ sử dụng chữ cái Hy lạp để biểu thị các tham số của các hàm Cobb - Douglas.

Hàm sản xuất Cobb - Douglas dài hạn:  

Sử dụng đầu vào:

Để sản xuất ra sản phẩm, thì cần phải sử dụng cả hai đầu vào:

Sản phẩm cận biên

Sản phẩm cận biên của vốn và lao động là:

Và

Với sản phẩm cận biên dương,  và  phải dương. Tính đạo hàm cấp 2 ta được:

Và

Từ công thức trên, nếu sản phẩm cận biên giảm (ví dụ: QKK < 0 và QLL < 0),  và  phải nhỏ hơn 1.

Tỷ lệ thay thế kỹ thuật cận biên

Trong chương 9, MRTS của L cho K là . Theo dạng hàm Cobb - Douglas thì:

Chú ý rằng MRTS là không thay đổi theo sản lượng,

Do vậy, hàm sản xuất Cobb - Douglas là hàm đồng nhất - hàm sản xuất có dạng đường tuyến tính và việc thay đổi mức sản lượng không ảnh tới việc sử dụng các đầu vào liên quan. Hơn nữa, MRTS chỉ ra rằng hàm sản xuất Cobb - Douglas được miêu tả như là các đường đồng lượng cong lồi. Lấy đạo hàm của MRTS tương ứng với L ta được:

Do đó, MRTS giảm khi vốn được thay thế bởi lao động, các đuờng đồng lượng có dạng cong lồi.

Độ co dãn của sản lượng

Độ co dãn của sản lượng được xác định là: và

Sử dụng hàm Cobb-Douglas, và

Hệ số của phương trình

Bắt đầu với hàm sản xuất, Q(K,L). Giả định rằng mức sử dụng của cả hai yếu tố đấu vào tăng cùng tỷ lệ (), có nghĩa là,. Tham số của hàm là ():

Lấy đạo hàm của hàm sản xuất: dQ = QKdK + QLL và viết lại thành:

VÌ K và L đều tăng cùng tỷ lệ, nên . Do đó:

Khi chúng ta sử dụng phương trình này, hệ số phương trình là:

Với hàm sản xuất Cobb-Douglas, ta có: