Bài toán rùa và thỏ.

Con thỏ chấp con rùa 1 đoạn đường dài n (met). khi mà 2 con cùng xuất phát: con thỏ đi được 1 đoạn đường a (met) còn con rùa đi được 1 đoạn là b (met) a>b. giả sử khi a = n thì con rùa cũng đi được một đoạn ra xa con thỏ 1 đoạn b. Cứ như vậy con thỏ sẽ không bao giờ đuổi được con rùa đúng không?

Giải:

Gọi vận tốc thỏ là V, vận tốc rùa là v, khoảng cách rùa chấp thỏ là S0.

Thời gian thỏ chạy hết quãng đường S0 là:

t0=S0V

Trong thời gian t0 đó rùa bò thêm được một đoạn S1 là:

S1=vt0=S0vV

Để chạy hết quãng đường S1 thỏ mất thời gian t1:

t1=S1V=S0VvV

Trong thời gian t1 rùa lại bò thêm được một tí là S2:

S2=vt1=S0(vV)2

Thỏ lại cần thời gian t2 để vượt qua quãng đường này

t2=S2V=S0V(vV)2

...

cứ thế đến vô cùng

...

Quãng đường mà thỏ bắt kịp rùa là:

S=S0+S1+S2+...=S0(1+x+x2+x3+...)=S0∑nxn

trong đó x=vV<1 và n chạy tù 0 đến vô cùng. Tổng của chuỗi xn hội tụ về 11-x nên ta có:

S=S0vV-v

Tương tự, thời gian thỏ gặp rùa là:

t=t0+t1+t2+...=S0V(1+x+x2+...)=ac{S0}{V-v}.

Kết quả giống hệt tính theo kiểu vật lý!

Đây còn gọi là nghịch lý thợ sơn.

Giả sử có 1 chiếc "kèn" được tạo ra bằng cách trên. Anh ta không bao giờ sơn được hết bề mặt ngoài của chiếc kèn, nhưng lại có thể sơn hết mặt trong bằng cách đổ sơn vào bên trong (lượng sơn cần thiết là pi)

Cho đồ thị y=1/x, miền từ x=1 => x= vô cực. Xoay đồ thị này quanh trục x. Tính diện tích xung quanh và thể tích.

Diện tích xung quanh = 2pi int (1/x) from 1 to infinity = infinity

Thể tích = pi int (1/x^2) from 1 to infinity = pi

Chiếc "kèn" này có thể tích hữu hạn, nhưng lại có diện tích xung quanh là vô hạn. Điều này đồng nghĩa với việc ta không bao giờ sơn được chiếc kèn này, nhưng lại có đủ vật liệu để chế tạo nó.