Nguyên hàm-Tích phân

 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

Phương pháp đổi biến số:

Bài toán : Tính

Nếu

Hàm có đạo hàm liên tục trên đoạn

Hàm hợp được xác định trên .

,

thì

Ví dụ:  Tính tích phân sau:

a)

Hướng dẫn giải:

a)

 Đặt

Đổi cận:

          ====

Đặt

 Đổi cận:

                 ==

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:

a)

Hướng dẫn giải:   a)

Đặt ,

Đổi cận:

                ==

 Đặt

Ta có

==.

Chú ý:

Trong thực tế chúng ta thường gặp những dạng tích phân trên dưới dạng tổng quát.

Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng  và

(Trong đó a là hằng số dương) mà không có cách biến đổi nào khác thì ta biến đỏi sang dạng lượng giác để làm mất căn thức , Cụ thể :

Với: đặt   

                 hoặc ,

Với đặt

               hoặc

Với đặt

               hoặc ;

Bài tập vận dụng:

Tính các tích phân sau:

a)             b) 

c)                 d)

d)

Đáp án: a); b) ;c) ; d)   ;e)

Phương pháp tích phân từng phần

Nếu và có đạo hàm liên tục trên đoạn thì:

=-

hay

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

Hướng dẫn :

 Đặt :

 =-

 =-=

 Chú ý : Có ba dạng tích phân thường áp dụng tích phân từng phần.

Nếu tính tích phân mà là các đa thức còn là một trong các hàm số

Đặt :

Nếu tính tích phân mà là các đa thức còn là hàm số

Đặt :

Nếu tính tích phân hoặc

Đặt :

Hoặc đặt :

Trong trường hợp này ta phải tích tích phân hai lần sau đó trở lại tích phân ban đầu.Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.