1. Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số

ĐỊNH LÍ 1

Nếu hai hàm số và có đạo hàm trên J thì hàm số và cũng có đạo hàm trên J,

a) ;

b) .

Ghi chú. Các công thức có thể viết gọn là và

Chứng minh

a) Tại mỗi điểm ,ta có

*

* .

Vậy .

b) Kết luận này được chứng minh tương tự

Nhận xét

Có thể mở rộng định lí trên cho tổng hay hiệu của nhiều hàm số : Nếu các hàm số có đạo hàm trên J thì trên J ta có

.

Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của hàm số trên khoảng .

Giải

Trên khoảng ta có

Vậy

a) Tính nếu .

b) Cho hai hàm số và . Biết rằng hai hàm số này có đạo hàm trên R. Chứng minh rằng với mọi x thuộc R,ta có .

2. Đạo hàm của tích hai hàm số

Định lí 1 có thể nói gọn là : Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số bằng tổng (hay hiệu) các đạo hàm của hai hàm số đó.

Liệu điều tương tự có xảy ra đối với tích của hai hàm số hay không?

Định lí sau sẽ trả lời câu hỏi đó.

ĐỊNH LÍ 2

Nếu hai hàm số và có đạo hàm trên J

thì hàm số cũng có đạo hàm trên J,và ;

Đặc biệt,nếu k là hằng số thì

Ghi chú. Các công thức trên có thể viết gọn là và

Chứng minh

Đặt . Ta sẽ tìm đạo hàm của f tại một điểm x tùy ý thuộc J.

Khi biến số nhận số gia =u(x + \Delta x)-u(x) \Rightarrow u(x + \Delta x)=u(x) + \Delta u [/ct]

Tương tự, do nên

Ta sẽ sử dụng các đẳng thức trên để tính đạo hàm của hàm số f.

* .

* .

Để ý rằng

,

.

Ta có kết quả: .

Khi (hằng số) thì nên ta có .

Cách tính đạo hàm như sau đúng hay sai,tại sao?

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số trong mỗi trường hợp sau :

a) ;

b) .

Giải

a)

b) .

a) Chứng minh rằng nếu các hàm số u,v và w có đạo hàm trên J

thì hàm số f xác định bởi (với mọi ) cũng có đạo hàm trên J và

.

b) Áp dụng ,tính đạo hàm của hàm số tại điểm .

3. Đạo hàm của thương hai hàm số

Sử dụng định nghĩa,ta cũng chứng minh được định lí về đạo hàm của thương hai hàm số

ĐỊNH LÍ 3.

Nếu hai hàm cố và có đạo hàm trên J và với mọi thì hàm số cũng có đạo hàm trên J và

Ghi chú. Công thức trên có thể viết gọn là

Chứng minh hệ quả dưới đây

HỆ QUẢ

a) Trên ta có

b) Nếu hàm số có đạo hàm trên J và với mọi x thuộc J thì trên J ta có

Ghi chú. Công thức thứ 2 trong hệ quả trên có thể viết gọn là .

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số ,nếu :

a) (a là hằng số)

b) .

Giải

a) Áp dụng định lí thứ 3 (ở đây và ),ta có

.

b) Áp dụng hệ quả của định lí 3 (ở đây ),ta có

Chọn kết quả đúng trong các kết quả cho sau đây

Đạo hàm của hàm số bằng

(A) ;

(B) ;

(C) ;

(D)

4. Đạo hàm của hàm số hợp

a) Khái niệm của hàm số hợp

Ví dụ 4. Cho hai hàm số và ,trong đó và .

Nếu trong , ta thay biến số u bởi u(x) thì được

Đặt .Rõ ràng là một hàm số biến số x.

Ta gọi g là hàm số hợp của hàm số f qua hàm số trung gian u.

Một cách tổng quát, ta có khái niệm hàm số hợp như sau (ở đây ta chỉ xét các hàm số được cho bởi biểu thức)

Cho hai hàm số và .

Thay thế biến u trong biểu thức f(u) bởi biểu thức u(x),ta được biểu thức với biến x.

Khi đó,hàm số với được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và u; hàm số u gọi là hàm số trung gian.

Trong định nghĩa trên,tập xác định của hàm số hợp là tập các giá trị của x sao cho biểu thức có nghĩa

CHo và .Hãy tìm hàm số hợp và tập xác định của nó.

b) Các tính đạo hàm của hàm số hợp

ĐỊNH LÍ 4

a) Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm và hàm số có đạo hàm tại điểm

thì hàm số hợp có đạo hàm tại điểm và .

b) Nếu giả thiết trong phần a) được thỏa mãn đối với mọi điểm x thuộc J

thì hàm số hợp có đạo hàm trên J và .

Ghi chú. Công thức thứ hai trong định lí trên còn được viết gọn là

Ví dụ 5. Đối với hàm số được nêu trong ví dụ 4, ta tính đạo hàm của nó như sau:

Ta có .

Do và .

Vậy .

Tổng quát ta xét hàm số (với và ).

Có thể xem hàm số này là hàm số hợp của hàm số và hàm số trung gian .

Do đó nếu hàm số có đạo hàm trên J thì ta áp dụng định lí 4 để tính đạo hàm của hàm số hợp

(còn viết là ) như sau :

.

Ghi chú . Công thức nêu trong hệ quả q được viết gọn là

Tương tự,ta xét hàm số .

a) Tìm hàm số f sao cho hàm số là hàm số hơp của hàm số f và hàm số trung gian .

b) Chứng minh rằng nếu hàm số có đạo hàm trên J và với mọi thì hàm số cũng có đạo hàm trên J và

HỆ QUẢ 2

Nếu hàm số có đạo hàm trên J và với mọi

thì hàm số có đạo hàm trên J,và

Ghi chú. Công thức nêu trong hệ quả 2 được viết gọn là

Ví dụ 6 .

GHI NHỚ

a) Đạo hàm của một hàm số thường gặp (ở đây )

b) Các quy tắc tính đạo hàm (ở đây (ở đây )

c) Đạo hàm của hàm số hợp (ở đây ):