Giả sử f(x) liên tục trên [a,b] và f(a), f(b) trái dấu (đoạn [a,b] không cần phải là khoảng phân ly). Như vậy trong khoảng này phải có một nghiệm α. Ta sẽ tìm nghiệm này bằng cách chia đôi khoảng [a,b], chọn khoảng con chứa nghiệm, rồi chia đôi tiếp khoảng con chứa nghiệm này cho đến khi tìm thấy nghiệm hoặc khoảng con đã đủ nhỏ để bảo đảm rằng mọi giá trị trong khoảng đó đều có thể xem là xấp xỉ nghiệm. Cụ thể trước hết ta đặt a0 = a, b0 =b và cho trước một giá trị ε > 0 đủ nhỏ để dùng làm điều kiện xấp xỉ nghiệm và dừng quá trình tính toán. Sau đó ta thực hiện các bước sau:

- Bước 0: đặt x0=(a0+b0):2

Vì f(a0)f(b0)<0, do đó một trong 2 trường hợp sau xảy ra:

a. f(x0) = 0. Ta có x0 là nghiệm và kết thúc.

b. f(x0) ≠ 0. Nếu f(a)f(x0)<0 thì nghiệm sẽ ở trong khoảng [a, x0] do đó ta đặt

a1 = a0 , b1 = x0

Nếu f(x0)f(b)<0 thì nghiệm sẽ ở trong khoảng [x0,b] do đó ta đặt

a1 = x0 , b1 = b

Vì nghiệm α ∈[a1,b1], ta có | x0- α| ≤ | b1-a1|=(b-a)/2

Chuyển sang bước 1.

- Bước 1: Đặt x1 =(a1+b1)/2

Vì f(a1)f(b1)<0, do đó một trong 2 trường hợp sau xảy ra:

a. f(x1) = 0. Ta có nghiệm là x1 và kết thúc.

b. f(x1) ≠ 0.

Nếu f(a1)f(x1)<0 thì nghiệm sẽ ở trong khoảng [a1, x1] do đó ta đặt

a2 = a1 , b2 = x1

Nếu f(x1)f(b1 )<0 thì nghiệm sẽ ở trong khoảng [x1,b1] do đó ta đặt

a2 = x1 , b2 = b1

Vì nghiệm α ∈[a2,b2], ta có | x1- α| ≤ | b2-a2| =(b-a) / (2^2)

Chuyển sang bước 2.

. . .

- Bước n: Đặt xn = (an+bn)/2

Vì f(an)f(bn)<0, do đó một trong 2 trường hợp sau xảy ra:

a. f(xn) = 0. Ta có nghiệm là xn và kết thúc.

b. f(xn) ≠ 0.

Nếu f(an)f(xn)<0 thì nghiệm sẽ ở trong khoảng [an, xn] do đó ta đặt

an+1 = an , bn+1 = xn

Nếu f(xn)f(bn )<0 thì nghiệm sẽ ở trong khoảng [xn,bn] do đó ta đặt

an+1 = xn , bn+1 = bn

Vì nghiệm α ∈[an+1,bn+1], ta có | xn - α| ≤ | bn+1-an+1| = (b-a) / 2^(n+1)

Ta kiểm tra xem nếu (b-a) / 2^(n+1) ≤ ε thì kết thúc, nếu không thì

Chuyển sang bước n+1.

***đánh giá saiu số:

Tóm lại xuất phát từ a0 = a và b0 = b, cho n = 0,1,2,...

-nếu ta lấy nghiệm gần đúng là xn = an hoặc xn = bn thì sai số là

|xn - α| ≤ (b-a) / 2^n

-Còn nếu ta lấy nghiệm gần đúng là (an+ bn)/2 thì sai số là |xn - α| ≤ (b-a) / 2^(n+1)