1. Bất đẳng thức

a) Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

+ Tính chất 1 (tính chất bắc cầu): a > b và b > c ⇔ a > c

+ Tính chất 2 (liên hệ giữa thứ tự và phép cộng): a > b ⇔ a + c > b + c (cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số ta được bất đẳng thức cùng chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho).

Hệ quả (Quy tắc chuyển vế): a > b + c ⇔ a - c > b

c) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Định lý: Với mọi số thực a và b ta có:

|a + b| ≤ |a| + |b|

||a| - |b|| ≤ |a - b|

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0.

d) Một số bất đẳng thức khác

+) x² ≥ 0 ∀x ∈ R

+) [a] + [b] ≤ [a + b]

Trong đó [x] gọi là phần nguyên của số x, là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x:

[x] ≤ x < [x] + 1

+) (a2 + b2)(x² + y²) ≥ (ax + by)² ∀a, b, x, y ∈ R.

c) Dấu của đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 3. Bắt đầu ô bên phải cùng dấu với hệ số a của số mũ cao nhất, qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi dấu.

|A| < |B| ⇔ A2 < B2 ⇔ A2 - B2 < 0 ⇔ (A - B)(A + B) < 0

|A| ≤ |B| ⇔ A2 ≤ B2 ⇔ A2 - B2 ≤ 0

4) Các công thức về phương trình và bất phương trình chứa dấu căn bậc hai:

Hoặc:

1. Bất phương trình và hệ bất phương trình

Các phép biến đổi bất phương trình:

a) Phép cộng: Nếu f(x) xác định trên D thì P(x) < Q(x) ⇔ P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)

b) Phép nhân:

* Nếu f(x) > 0, ∀x ∈ D thì P(x) < Q(x) ⇔ P(x).f(x) < Q(x).f(x)

* Nếu f(x) < 0, ∀x ∈ D thì P(x) < Q(x) ⇔ P(x).f(x) > Q(x).f(x)

c) Phép bình phương: Nếu P(x) ≥0 và Q(x) ≥0, ∀x ∈ D thì P(x) < Q(x) ⇔P²(x)<Q²(x)

2. Dấu của nhị thức bậc nhất

a) Dấu nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b

3. Phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

a. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax + by ≤c (1) (a2+b2≠0)

Bước 1: Trong mp Oxy, vẽ đường thẳng (Δ): ax + by =c

Bước 2: Lấy Mo(xo;yo)∉(Δ)
(thường lấy Mo≡O)

Bước 3: Tính axo + byo và so sánh axo + byo và c.

Bước 4: Kết luận

Nếu axo + byo < c thì nửa mp bờ (Δ) chứa Mo là miền nghiệm của ax + by ≤c

Nếu axo + byo > c thì nửa mp bờ (Δ) không chứa Mo là miền nghiệm của ax + by ≤c

b. Bỏ bờ miền nghiệm của bpt (1) ta được miền nghiệm của bpt  ax + by < c. Miền nghiệm của các bpt ax + by ≥c
và ax + by >c
được xác định tương tự.

c. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn:

Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.

Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bpt trong hệ trên cùng một mp tọa độ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bpt đã cho.

4. Dấu của tam thức bậc hai

a. Định lí về dấu của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx  + c,a≠0, Δ= b2 – 4ac

* Nếu
Δ< 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a (a..f(x)>0), ∀x∈R

* Nếu
Δ= 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a(a..f(x)>0), ∀x≠−b2a

* Nếu Δ> 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2;
f(x) trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2.

(Với x1, x2 là hai nghiệm của f(x) và x1< x2)

Bảng xét dấu: f(x) = ax2  + bx  + c, a≠0, Δ= b2– 4ac > 0

iii) ax² +bx +c ≥0, ∀x ⇔{a>0Δ≤0iv) ax²+bx +c ≤0, ∀x ⇔
{a<0Δ≤0

5. Bất phương trình bậc hai

a. Định nghĩa:

Bất phương trình bậc 2 là bpt có dạng f(x) > 0 (Hoặc f(x)
≥
0, f(x) < 0, f(x)
≤
0), trong đó f(x) là một tam thức bậc hai. ( f(x) = ax² + bx + c, a
≠
0 )

b. Cách giải:

Để giải bất pt bậc hai, ta áp dụng định lí vầ dấu tam thức bậc hai

Bước 1: Đặt vế trái bằng f(x), rồi xét dấu f(x)

Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu và chiều của bpt để kết luận nghiệm của bpt