System:

Ein System ist eine mathematische Abbildung H, die einem Signal (Eingangssignal, Systemanregung) ein anderes Signal (Ausgangssignal, Systemantwort) zuordnet.

Unterschied: diskret System: Differenzengleichung/ kontinuierlich System: Differentialgleichung

Die Beschreibung des Systemverhaltens gibt an, wie die Eingangs- und Ausgangssignale miteinander in Beziehung stehen.

Ein kontinuierliches System ist eine Abbildung H, die einem zeitkontinuierlichen Eingangssignal ein zeitkontinuierliches Ausgangssignal zuordnet: y(t) =H{x(t)} x(t)->y(t)

Ein diskretes System ist eine Abbildung H, die einem zeitdiskreten Eingangssignal ein zeitdiskretes Ausgangssignal zuordnet: y(k) =H{x[k]} x[k]->y[k]

Systemeigenschaften: Für kontinuierliche und diskrete Systeme betrachten wir 5 wichtige Systemeigenschaften: 1. Linearität 2. Zeitinvarianz 3. Kausalität 4. Stabilität 5. Dynamik

Die Systemeigenschaft Linearität setzt sich aus zwei Eigenschaften zusammen: 1. Homogenität / Verstärkungsprinzip // 2. Additivität / Superpositionsprinzip

1. Homogenität / Verstärkungsprinzip Ein System x (t) ⟶ y (t) ist homogen, wenn die Multiplikation des Eingangssignals mit einem beliebigen reellen oder komplexen Faktor a zum gleichen multiplikativen Faktor am Systemausgang führt. a . x (t) = x1 (t) ⟶ y1 (t) = a . y (t)

Bedeutung: Die Verstärkung des Eingangssignals eines homogenen Systems resultiert in eine gleich große Verstärkung der Systemantwort.

2. Additivität / Superpositionsprinzip: Ein System x (t) ⟶ y (t) mit additiv zerlegbarem Eingangssignal x (t) = x1 (t) + x2 (t) + ⋯ + xn(t) ist additiv, wenn die Teile des Eingangssignals getrennt verarbeitet und die einzelnen Systemantworten addiert werden können.

Bedeutung: Ist die Systemantwort auf zwei Signale bekannt, so ist auch die Systemantwort auf die Summe der Signale bekannt. Komplizierte Signale können in einfachere Signale zerlegt und getrennt verarbeitet werden.

=>Die Linearität eines Systems ist gegeben, wenn sowohl Homogenität als auch Additivität vorliegen: x (t) = a1 . x1 (t) + a2 . x2 (t) -> y (t) = a1 . y1 (t) + a2 . y2 (t). Ein System ist linear, wenn die Antwort auf eine Linearkombination von Eingangssignalen gleich der entsprechenden Linearkombination der einzelnen Systemantworten ist.

Bedeutung: Ist die Systemantwort für zwei oder mehr Signale bekannt, so ist sie auch für jede beliebige Linearkombination (= gewichtete Summe) dieser Signale bekannt.//

Ein System x (t) ⟶ y (t) ist zeitinvariant, wenn eine zeitliche Verschiebung des Eingangssignals x(t) um eine beliebige Konstante τ zur Systemantwort y(t) führt, die ebenfalls um τ verschoben ist: x(t−τ) ⟶ y (t – τ)

Die Systemantwort ist unabhängig vom Anregungszeitpunkt.

Systemeigenschaften ändern sich nicht mit der Zeit.

Ein System ist (asymptotisch) stabil, wenn es nach einer Anregung mit endlicher Energie wieder seinen Ausgangszustand erreicht.

Es ist grenzstabil, wenn es nach Anregung mit endlicher Energie zu einem konstanten Ausgangswert konvergiert.

Es ist instabil, wenn es auf eine Anregung mit endlicher Energie mit divergierendem Ausgangssignal reagiert.