Tìm mômen quán tích của hình lãng trụ đều sáu cạnh, biết mỗi cạnh là a

Bài này cũng đơn giản nếu ta sử dụng kết quả moment quán tính của một khối tam giác có ba cạnh là a,b,c, khối lượng m đối với trục vuông góc với mặt phẳng tam giác và đi qua khối tâm của nó là I=m36(a2+b2+c2).

Chia hình lặng trụ lục giác đều thành 6 hình lăng trụ tam giác đều, khối lượng mỗi lặng trụ là m6.

Moment quán tính của mỗi lăng trụ đối với trục của nó là

I1=m6a212.

Sử dụng định lý Steiner - Huygens để tìm moment quán tính đối với 1 trục trùng với một cạnh của lăng trụ là

I2=I1+m6(33)2=m65a212.

Do moment quán tính có tính cộng cho nên moment quán tính của lăng trụ lục giác đều là tổng của 6 lăng trụ tam giác đều đối với cùng một trục

I0=6.I2=5ma212.

Còn việc tìm moment quán tính của một hình tam giác đồng chất khối lượng m có ba cạnh lần lượt là a,b,c đối với trục đi qua trọng tâm và vuông góc với mặt phẳng tam giác thì xin dành cho các bác nhé.

Gợi ý: Có thể tiếp tục chia ra các tam giác nhỏ và sử dụng sự đồng dạng

VD:Một vật trượt không vận tốc đầu từ đỉnh 1 bán cầu bán kính R. Xác định thời gian từ lúc vật bắt đầu chuyển động cho đến khi rời khỏi bán cầu.

Giải lại xem thế nào nhé :

Ta có phương trình sau :a''=gRsina ;

Đặt : u=dadt

suy ra :dudt=duda⋅dadt=u⋅duda

Thế vào phương trình trên ta được :u⋅duda=Msina ( M=gR ) .

hay :u⋅du=Msina⋅da

Lấy tích phân phương trình này : u2=2Mcosa

hay :u=2Mcosa

suy ra :dadt=2Mcosa

dt=da2Mcosa

suy ra :t=∫0ada2Mcosa ( trong đó a=arcos(23) ).

Cái này nhờ mấy em lớp 12 giải giùm !

Cách 2:

Dùng bảo toàn năng lượng có ngay

12mv2=mgR(1-cos(α))

Tức là

v=2gR(1-cos(α))

So sánh với công thức u của bác, thấy khác nhau rồi

Chỉ cần dùng công thức

v=2gR(1-cos(α))=4gR.sin(α2)

cho phương trình Newton

dvdt=gsin(α)

có ngay

dt=gR.cos(α2)gsin(α).dα

hay đơn giản

dt=12.Rg.1sin(α2).dα

Lấy tích phân theo alpha từ 0 đến arcos(2/3) sẽ được t.

VD:

1. Tìm tọa độ khối tâm của bản đồng chất hình tròn x^2 +y^2 <= a^2, nếu mật độ khối lượng của nó tại điểm M(x,y)tỷ lệ với khoảng cách từ M đến điểm A(a,0)?

2. Tính mômen quán tính đối với trục quay qua tâm của bản hình vuông cạnh a, nếu mật độ khối lượng của bản tại mỗi điềm tỉ lệ với khoảng cách từ điểm này đến một trong những đỉnh hình vuông và bằng m0 tại tâm hình vuông?