II. PHƯƠNG PH�P T�NH T�CH PH�N

1.Phương pháp phân tích

Tích phân ò f (x) dx có thể được tính bằng cách phân tích hàm số f(x) thành tổng của các hàm đơn giản hơn hay dễ tính tích phân hơn :

f(x) = f1(x) + f2(x) +�+fn(x)

Và áp dụng công thức :

    Ví dụ:

1)

2)

3) Tính

Với n ³ 2:

Nhờ hệ thức này ta có thể tính In với n tùy ý.

2. Phương pháp đổi biến

    Phương pháp đổi biến trong t�ch ph�n bất định c� 2 dạng sau đ�y :

    Dạng 1: Giả sử biểu thức dưới dấu tích phân có dạng:

F(u(x)) . u�(x)dx

Trong đ� u(x) là một hàm số khả vi. Khi ấy ta có thể đổi biến bằng c�ch đặt u=u(x),và có:

    Dạng 2: Đặt x = j (+) , trong đ� j (t) là một hàm khả vi, đơn điệu đối với biến t, ta c� :

    Ví dụ:

1) Tính:

Đặt: u = x2 + 1, du = 2xdx

2) , với u = sinx

3) Tính:

Đặt u = x2, du = 2xdx hay xdx =

4) Tính

Đặt u = ex. Ta c� : du = exdx, và:

5) Tính

Đặt u = cos2x Ta có:

du = -2cos x sinx dx = -sin 2xdx

Suy ra:

6) Tính

Đặt: x = sint ;

Û t = arcsin x, ( -1 £ x £ 1)

Ta có: dx = cost dt

Suy ra

Mà

và t = arcsin x

Nên:

3.Phương pháp tích phân từng phần

Giả sử u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục u�= u�(x) và v�= v�(x) :

Ta biết:

(u.v)�= u�v+u.v�

hay u.v�= (uv)�-v.u�

Từ đ� suy ra c�ng thức:

Công thức này được gọi là công thức tích phân từng phần , và còn được viết dưới dạng :

Công thức tích phân từng phần thường được áp dụng trong trường hợp hàm dưới dấu tích phân có dạng f(x) = u.v� mà hàm g = v.u� có tích phân dễ tính hơn.

Trong một số bài toán, sau khi áp dụng công thức tích phân từng phần ở vế phải lại xuất hiện tích phân đã cho ban đầu với hệ số kh�c, tức là :

Khi đ� ta t�nh được :

    Ví dụ:

1)T�nh

Đặt     u = ln x

v�= x

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có :

2) Tính

Đặt u = arctg x

v�= x ,

Þ

Ta có :

Suy ra :

3) Tính

Đặt     u = sinx u� = cos x

v�= ex ; v = ex

Þ

Để t�nh: ta đặt:

u1 = cos x u�1= -sinx

v�1= exv1 = ex

Suy ra:

Vậy:

Suy ra:

4) Tính (a > 0)

Đặt   

v� = 1  v = x

Suy ra:

Ta có:

Do đ�:

Suy ra

Vậy:

5) Tính

Đặt ;

v�=1 v = x

Suy ra :

Ta có:

Suy ra:

6) Tìm công thức truy hồi để t�nh t�ch ph�n

(a>0)

Ta có:

Với n ³ 1, đặt:

v� = 1 v = x

Suy ra:

Ta có:

Suy ra:

Vậy: