10.Chứng tỏ rằng mọi dãy (n² + 1) số thực phân biệt đều có chứa một dãy con ít nhất n+1 số hạng hoặc tăng hoặc giảm. 10. Ta xác định (n² + 1) số b1, b2, ..., b(n² + 1) như sau: số b(i) là ĐỘ DÀI của dãy con TĂNG DÀI NHẤT của dãy đã cho mà phần tử đầu tiên là a(i). Dễ thấy là nếu với i nào đó ta có b(i) ≥ n + 1 thì có nghĩa là trong dãy đã cho có ít nhất 1 dãy con tăng - bắt đầu từ a(i), có độ lớn ≥ n + 1 (đ.p.c.m). Ta xét th là với mọi i số b(i) ≤ n.Ta có (n² + 1) số b1, b2, ..., b(n² + 1) mà chúng chỉ có thể lấy nhiều nhất n giá trị khác nhau từ 1 tới n, vậy có ít nhất (n + 1) số có cùng giá trị, tức tồn tại i1 a(i2) > ... > a(i(n+1)) . Ta cm bằng phản chứng. Giả sử tồn tại j (1 ≤ j ≤ n) sao cho trong dãy kể trên có a(i(j)) b(i(j+1)). Vậy giả thiết sai và ta có , tức tồn tại dãy con giảm có (n + 1) phần tử.

11.Cho S là tập gồm n+1 phần tử trong 2n số tự nhiên đầu tiên. Chứng tỏ rằng S chứa 2 số nguyên mà một số là bội của số kia.

11. Gọi các phần tử của S là 1 ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a(n) ≤ a(n+1) ≤ 2n. Mỗi số a(i) có thể biểu diễn dưới dạng a(i) = 2^m(i) * k(i), với 1 ≤ i ≤ n + 1 (k(i) chính là ước số lẻ lớn nhất của a(i)). k(i) chỉ có thể lấy n giá trị khác nhau là 1, 3, ..., 2n - 1 mà có n + 1 số vậy tồn tại i a(j) chia hết cho a(i).

15.Chứng tỏ rằng trong n+1 số nguyên dương không vượt quá 2n thì có hai số nguyên tố cùng nhau.

15. Tôi thêm đk là các số khác nhau từng đôi một, vì vd. a1 = a2 = ... = a(n+1) = 2 thì dĩ nhiên 2 số bất kỳ có ước chung lớn nhất = 2 nên không thể nguyên tố cùng nhau được. Cho dãy 1 ≤ a1 tồn tại 1 ≤ i ≤ n sao cho a(i + 1) - a(i) = 1 => a(i) và a(i + 1) là 2 số tự nhiên liên tiếp nên nguyên tố cùng nhau.

1.Trong mặt phẳng Oxy lấy ngẫu nhiên 5 điểm tọa độ nguyên. Chứng tỏ rằng có ít nhất một trung điểm của các đoạn nối chúng có tọa độ nguyên.2.Trong mặt phẳng cho 6 điểm phân biệt nối nhau từng đôi một bởi các đoạn thẳng màu xanh hoặc đỏ. Chứng tỏ rằng có 3 điểm nối nhau bởi các đoạn thẳng cùng màu. 3.Trong mặt phẳng cho 17 điểm phân biệt nối nhau từng đôi một bởi các đoạn thẳng màu xanh, hoặc đỏ, hoặc vàng.Chứng tỏ rằng có 3 điểm nối nhau bởi các đoạn thẳng cùng màu. 4.Một thùng chứa 10 quả bóng màu xanh và 10 quả bóng màu đỏ. Phải lấy ngẫu nhiên ít nhất bao nhiêu quả bóng để bảo đảm có 3 quả bóng cùng màu. 5.Cho X={0..10}. Chứng tỏ rằng nếu S là một tập con gồm 7 phần tử của X thì có 2 phần tử của S có tổng bằng 10. 6.Một bữa tiệc có ít nhất hai người. Chứng minh rằng có ít nhất 2 người có cùng số người quen. 7.Xét một trận đấu n người, mỗi người đấu với mỗi người khác và mỗi người thắng ít nhất một lần. Chứng tỏ rằng có ít nhất 2 người có cùng số lần thắng. 8.Nếu 10 điểm được chọn ngẫu nhiên bên trong một tam giác đều có độ dài cạnh 3 đơn vị, chứng tỏ rằng có ít nhất 1 cặp điểm bên trong đường tròn đơn vị. 9.Cho tam giác đều ABC với độ dài cạnh là 1.Phải lấy ngẫu nhiên trong tam giác ABC ít nhất bao nhiêu điểm để bảo đảm có hai điểm cách nhau không quá 1. 12.Chứng tỏ rằng số hữu tỉ là một số thập phân vô hạn tuần hoàn. 13.Chứng tỏ rằng trong n+1 số nguyên có ít nhất hai số đồng dư n. 14.Cần ít nhất bao nhiêu cặp số nguyên (a,b) để chắc chắn có hai cặp (a1,b1) và (a2,b2) mà a1=a2(mod5) và b1=b2(mod5). 16.Chứng tỏ rằng trong dãy n số nguyên thì có một hay nhiều số liên tiếp có tổng chia hết n. 17.Có bao nhiêu cách sắp n người ngồi vào bàn tròn xoay.

Tối hôm qua chép đề mất gãy móng tay, móng chân, Còn bài 10,11,15,18 để up lên sau!

Gợi ý: 1) 5 điểm nên có ít nhất 3 điểm có tung độ cùng tính chất chẳn lẻ ( chia 2 nhóm: tung độ chẳn và lẽ, có ít nhất 1 nhóm chứa không ít hơn 3 điểm, 3 điểm đó thỏa mãn ) trong 3 điểm đó có ít nhất 2 điểm có hoành độ cùng tính chất chẳn lẽ. vậy ta có 2 điểm mà tung độ và hoành độ cùng tính chất chẳn lẽ, trung điểm 2 điểm này tất nhiên có tọa độ nguyên!

bài 1 xong nhé!

2) xét 1 điểm A bất kì trong 6 điểm, từ điểm này có 5 đoạn thẳng , nên phải có ít nhất 3 đoạn thẳng cùng màu AB,AC,AD. giả sử 3 đoạn này có màu đỏ chẳng hạn. khi đó *nếu 1 trong 3 đoạn BC,CD,DB có màu đỏ thì ta có tam giác cùng màu đỏ ( với 2 trong 3 đoạn kia) *nếu cả 3 đoạn BC,CD,DB đều xanh thì ta có tam giác màu xanh

xong bài 2

bài 3)

lấy 1 điểm A từ 17 điểm, từ A có 16 đoạn thẳng tô bằng 3 màu nên có ít nhất 6 đoạn cùng màu. giả sử màu đỏ. 6 điểm ở đầu kia nếu có 2 điểm nối bằng màu đỏ nữa thì rỏ ràng tạo thành tam giác màu đỏ. còn không thì 6 điểm này được nối với nhau bằng 2 màu còn lại ( xanh, vàng ) theo bài 2 thì tồn tại 3 điểm nối với nhau cùng màu. vậy bài 3 được chứng minh

bài 4) đáp số: 5 quả. chứng minh: nếu lấy 5 quả thì tồn tại 3 quả cùng màu tất nhiên nếu lấy 4 quả thì trường hợp 2 xanh 2 đỏ không thỏa mãn, vậy phải lấy ít nhất 5 quả, lấy

bài 5) chia {0..10} thành 6 tập {0,10} {1,9} {2,8} {3,7} {4,6} {5} vậy nếu lấy 7 phần tử thì có ít nhất 1 tập đc lấy cả 2 phần tử vì nếu mỗi tập lấy ko quá 1 thì tất cả không quá 6 phần tử (

bài 6) giả sử có n người (n>=2)

*nếu có người ko quen ai, thì ko thể có người quen n-1 người quen do vậy số người quen từ 0 đến n-2 có n-1 số mà có n người vậy có 2 người cùng số người quen *nếu ko có ai ko quen ai cả: thì số người quen chỉ có thể từ 1 đến n-1 tương tự, có n-1 số mà có n người vậy có 2 người cùng số người quen.

bài 7) tương tự bài trên số trận thắng chỉ có thể từ 1 đến n-1 , mà có n người thi đấu, nên có 2 người có cùng số trận thắng như nhau

bài 8) chia tam giác làm 9 phần bằng các đoạn thẳng song song và cách các cạnh 1 và 2 các tam giác như vậy có cạnh bằng 1 có 10 điểm nên có ít nhất 2 điểm thuộc 1 tam giác nào đó, tất nhiên khoảng cách của chúng bé hơn 1 ( chú ý rằng khoảng cách 2 điểm trong tam giác bé hơn hoặc bằng max{3 cạnh} )

bài 9) nhầm đề hay sao ấy, tam giác cạnh 1 thì 2 điểm bất kì trong tam giác sẽ có khoảng cách không quá 1 đáp số 2. Nếu không quá 0.5 thì đáp án là 5, lý luận như bài 8, chia làm 4 phần.

bài 10) bài 11) bài 12) số hữu tỉ thì hửu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn xét trường hợp vô hạn, dương ( số âm có dạng tương tự ) : m/n=x+m'/n (m' ta xét phép chia. m' chia cho n cần thêm số 0 ở sau. chia được số dư, thêm 0 chia tiếp ... nhận thấy rằng số các số dư là hửu hạn (1->n-1, bằng 0 là chia hết , dừng) nên sau n bước ít nhất phép chia lặp lại và ta có số thập phân vô hạn tuần hoàn chu kì không quá n.

bài 13) có n+1 số trong khi chỉ có n số dư từ 0 đến n-1 nên có 2 số có số dư bằng nhau ( đồng dư )

bài 14) ít nhất 26 cặp. thật vậy 25 cặp sau (a,b), a=0..4,b=0..4 không có 2 cặp nào mà a1=a2,a1=b2(mod5) vì nếu vậy thì a1=a2,b1=b2 (đồng dư mà =0..4 thì bằng nhau )=> mâu thuẩn giờ chứng minh nếu 26 cặp thì thỏa mãn: xếp 26 cặp này vào 25 nhóm mà khi chia cho 5 các phần tử có số dư là (a,b), a,b=0..4 thì có ít nhất 2 cặp cùng nhóm, 2 cặp này tất nhiên thỏa mãn.

bài 16) xét n tổng a1+a2+a3+...+an a1+a2+..+a(n-1) ... a1+a2 a1 có ít nhất 2 tổng cùng số dư khi chia cho n hiệu của chúng chia hết cho n hiệu đó là tổng của các số liên tiếp

bài 17) bài này sao diricle nhỉ nếu chỉ tính vị trí tương đối giửa các người thì cố định người thứ nhất, và có (n-1)! các sắp xếp các người còn lại đáp số: (n-1)!