SÁCH BÀI GIẢNG
VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG A2
(Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa)
Lưu hành nội bộ
HÀ NỘI - 2005
===== =====
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
BÀI GIẢNG
VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG A2
Biên soạn : TS. VÕ THỊ THANH HÀ
ThS. HOÀNG THỊ LAN HƯƠNG
Hiệu đính: TS. LÊ THỊ MINH THANH Lời nói đầu
LỜI NÓI ĐẦU
Tập VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG (A2) này là tập hai của bộ sách hướng dẫn học tập môn
Vật lí đại cương cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa của Học viện Công nghệ Bưu chính
Viễn thông, đã được biên soạn theo chương trình cải cách giáo dục do Bộ Giáo dục và Đào
tạo thông qua (1990).
Bộ sách gồm hai tập:
Tập I: VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG (A1) bao gồm các phần CƠ, NHIỆT, ĐIỆN, TỪ do
Ts. Vũ Văn Nhơn, Ts. Võ Đinh Châu và Ks. Bùi Xuân Hải biên soạn.
Tập II: VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG (A2) bao gồm các phần QUANG HỌC, THUYẾT
TƯƠNG ĐỐI HẸP, CƠ HỌC LƯỢNG TỬ VÀ VẬT LÍ NGUYÊN TỬ do Ts. Võ Thị
Thanh Hà và ThS. Hoàng Thị Lan Hương biên soạn.
Tập sách Vật lí đại cương A2 gồm 8 chương:
- Chương I: Dao động điện từ
- Chương II: Giao thoa ánh sáng
- Chương III: Nhiễu xạ ánh sáng
- Chương IV: Phân cực ánh sáng
- Chương V: Thuyết tương đối hẹp
- Chương VI: Quang học lượng tử
- Chương VII: Cơ học lượng tử
- Chương VIII: Vật lí nguyên tử.
Trong mỗi chương đều có:
1. Mục đích, yêu cầu giúp sinh viên nắm được trọng tâm của chương.
2. Tóm tắt nội dung giúp sinh viên nắm bắt được vấn đề đặt ra, hướng giải quyết và
những kết quả chính cần nắm vững.
3. Câu hỏi lí thuyết giúp sinh viên tự kiểm tra phần đọc và hiểu của mình.
4. Bài tập giúp sinh viên tự kiểm tra khả năng vận dụng kiến thức lí thuyết để giải
quyết những bài toán cụ thể.
Phân công biên soạn tập VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG (A2) như sau:
Võ Thị Thanh Hà biên soạn lí thuyết các chương II, III, IV, V, VI, VII, VIII.
Hoàng Thị Lan Hương biên soạn lí thuyết chương I và bài tập của tất cả các
chương. 1
3Lời nói đầu
Tập VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG (A2) này mới in lần đầu, nên không tránh khỏi những
thiếu sót. Chúng tôi xin chân thành cám ơn sự đóng góp quí báu của bạn đọc cho quyển
sách này.
Hà Nội, ngày 1 tháng 11 năm 2005
NHÓM TÁC GIẢ
4Chương 1: Dao động điện từ
CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ
Dao động điện từ là sự biến thiên tuần hoàn theo thời gian của các đại lượng điện và
từ, cụ thể như điện tích q trên các bản tụ điện, cường độ dòng điện i trong một mạch điện
xoay chiều, hiệu điện thế giữa hai đầu một cuộn dây hay sự biến thiên tuần hoàn của điện
trường, từ trường trong không gian v.v... Tuỳ theo cấu tạo của mạch điện, dao động điện
từ trong mạch chia ra: dao động điện từ điều hoà, dao động điện từ tắt dần và dao động
điện từ cưỡng bức.
I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU
1. Nắm được dao động điện từ điều hoà, dao dộng điện từ tắt dần, dao động điện từ
cưỡng bức, hiện tượng cộng hưởng.
2. Nắm được phương pháp tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương và cùng tần số,
hai dao động điều hoà cùng tần số và có phương vuông góc.
II. NỘI DUNG:
§1. DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ ĐIỀU HOÀ
1. Mạch dao động điện từ LC
Xét một mạch điện gồm một tụ điện có điện dung C, một cuộn dây có hệ số tự
cảm L. Bỏ qua điện trở trong mạch. Trước hết, tụ điện C được bộ nguồn tích điện đến
điện tích Q0, hiệu điện thế U0. Sau đó, ta bỏ bộ nguồn đi và đóng khoá của mạch dao
động. Trong mạch có biến thiên tuần hoàn theo thời gian của cường độ dòng điện i, điện
tích q trên bản tụ điện, hiệu điện thế giữa hai bản tụ, năng lượng điện trường của tụ
điện, năng lượng từ trường của ống dây ...
Các dao động điện từ này có dạng hình sin
với tần số và biên độ dao động không đổi.
Do đó, các dao động này được gọi là các dao
động điện từ điều hoà. Mặt khác trong mạch chỉ
có mặt các yếu tố riêng của mạch như tụ điện C
và cuộn cảm L, nên các dao động điện từ này
được gọi là các dao động điện từ riêng.
0 ω
Hình 1-1. Mạch dao động điện từ
riêng
5Chương 1: Dao động điện từ
Ta xét chi tiết hơn quá trình dao động của mạch trong một chu kỳ T. Tại thời điểm
t = 0, điện tích của tụ là , hiệu điện thế giữa hai bản là 0 Q C /QU 00 = , năng lượng
điện trường của tụ điện có giá trị cực đại bằng:
C2
Q E
2
0
maxe = (1-1)
Cho tụ phóng điện qua cuộn cảm L. Dòng điện do tụ phóng ra tăng đột ngột từ
không, dòng điện biến đổi này làm cho từ thông gửi qua cuộn cảm L tăng dần. Trong
cuộn cảm L có một dòng điện tự cảm ngược chiều với dòng điện do tụ C phóng ra, nên
dòng điện tổng hợp trong mạch tăng dần, điện tích trên hai bản tụ giảm dần. Lúc này
năng lượng điện trường của tụ điện Ee= giảm dần, còn năng lượng từ trường
trong lòng ống dây E
C 2/q2
m = tăng dần. Như vậy, có sự chuyển hoá dần từ năng
lượng điện trường sang năng lượng từ trường.
2/Li
2
Hình 1-2. Quá trình tạo thành dao động điện từ riêng
Khi tụ C phóng hết điện tích, năng lượng điện trường Ee = 0, dòng điện trong
mạch đạt giá trị cực đại I0, năng lượng từ trường trong ống dây đạt giá trị cực đại
, đó là thời điểm t = T/4. Sau đó dòng điện do tụ phóng ra bắt đầu
giảm và trong cuộn dây lại xuất hiện một dòng điện tự cảm cùng chiều với dòng điện do
tụ phóng ra . Vì vậy dòng điện trong mạch giảm dần từ giá trị I
() 2/LI E 2
0 maxm =
0 về không, quá trình này
xảy ra trong khoảng từ t = T/4 đến t = T/2. Trong quá trình biến đổi này cuộn L đóng
vai trò của nguồn nạp điện cho tụ C nhưng theo chiều ngược lại, điện tích của tụ lại tăng
dần từ giá trị không đến giá trị cực đại Q0. Về mặt năng lượng thì năng lượng điện
trường tăng dần, còn năng lượng từ trường giảm dần. Như vậy có sự chuyển hoá từ
năng lượng từ trường thành năng lượng điện trường, giai đoạn này kết thúc tại thời điểm
t = T/2, lúc này cuộn cảm đã giải phóng hết năng lượng và điện tích trên hai bản tụ lại
đạt giá trị cực đại Q0 nhưng đổi dấu ở hai bản, năng lượng điện trường lại đạt giá trị cực
đại . Tới đây, kết thúc quá trình dao động trong một nửa chu kỳ đầu. () C2/QE 2
0maxe =
Tụ C phóng điện vào cuộn cảm theo chiều ngược với nửa chu kỳ đầu, cuộn cảm lại
6Chương 1: Dao động điện từ
được tích năng lượng rồi lại giải phóng năng lượng, tụ C lại được tích điện và đến cuối
chu kỳ (t = T) tụ C được tích điện với dấu điện tích trên các bản như tại thời điểm ban
đầu, mạch dao động điện từ trở lại trạng thái dao động ban đầu. Một dao động điện từ
toàn phần đã được hoàn thành. Dưới đây ta thiết lập phương trình mô tả dao động điện
từ trên.
2. Phương trình dao động điện từ điều hoà
ng mạch, nên năng lượng điện từ của mạch
không
Vì không có sự mất mát năng lượng tro
đổi:
EE me constE + = = (1-2)
Thay
C2
q
E
2
e = và
2
Li
E
2
m = vào (1-2), ta được:
const
2
Li
C2
q 22
=+ (1-3)
Lấy đạo hàm cả hai vế của (1-3) theo thời gian rồi thay idt/dq = , ta thu được:
0
dt
Ldi q
C
=+ (1-4)
Lấy đạo hàm cả hai vế của (1-4) theo thời gian rồi thay dq/dt =i, ta được:
0i
LC
1id2
dt
2
=+ (1-5)
Đặt
2
0
LC
1
ω= , ta được:
0i
dt
id 2
0 2
2
=ω+ (1-6)
Đó là phương trình vi phân cấp hai thuần nhất có hệ số không đổi. Nghiệm tổng quát
của (1-6) có dạng:
( ) ϕ + ω = tcosIi 00 (1-7)
trong đó I0 là biên độ của cường độ dòng điện, ϕ dao đ là pha ban đầu của ộng, 0 ω là tần
số góc riêng của dao động:
LC
1
0 =ω (1-8)
7Chương 1: Dao động điện từ
Từ đó tìm được chu kỳ dao động riêng
T0 của dao động điện từ điều hoà:
LC2
2
T
0
0 π=
ω
= (1-9)
Cuối cùng ta nhận xét rằng điện tích
của tụ điện, hiệu điện thế giữa hai bản
tụ…. cũng biến thiên với thời gian theo
những phương trình có dạng tương tự
như (1-7).
Hình 1-3. Đường biểu diễn dao động
điều hoà
§2. DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ TẮT DẦN
1. Mạch dao động điện từ RLC
Trong mạch dao động bây giờ có thêm một điện
trở R tượng trưng cho điện trở của toàn mạch (hình
1-4). Ta cũng tiến hành nạp điện cho tụ C, sau đó cho tụ
điện phóng điện qua điện trở R và ống dây L. Tương tự
như đã trình bày ở bài dao động điện từ điều hoà, ở đây
cũng xuất hiện các quá trình chuyển hoá giữa năng
lượng điện trường của tụ điện và năng lượng từ trường
của ống dây. Nhưng do có sự toả nhiệt trên điện trở R,
nên các dao động của các đại lượng như i, q, u,... không
còn dạng hình sin nữa, các biên độ của chúng không
còn là các đại lượng không đổi như trong trường hợp
Hình 1-4. Mạch dao động điện
từ tắt dần
dao động điện từ điều hoà, mà giảm dần theo thời gian. Do đó, loại dao động này được
gọi là dao động điện từ tắt dần. Mạch dao động RLC trên được gọi là mạch dao động
điện từ tắt dần.
2. Phương trình dao động điện từ tắt dần
Do trong mạch có điện trở R, nên trong thời gian dt phần năng lượng toả nhiệt
trên điện trở Ri
2
dt bằng độ giảm năng lượng điện từ -dE của mạch. Theo định luật bảo
toàn và chuyển hoá năng lượng, ta có:
dtRidE 2
=− (1-10)
Thay
2
Li
C2
q
E
22
+= vào (1-10), ta có:
8Chương 1: Dao động điện từ
dtRi
2
Li
C2
q
d 2
22
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+− (1-11)
Chia cả hai vế của phương trình (1-11) cho dt, sau đó lấy đạo hàm theo thời gian và
thay dq/dt = i, ta thu được:
Ri
dt
di
L
C
q
−=+ (1-12)
Lấy đạo hàm cả hai vế của (1-12) theo thời gian và thay dq/dt = i, ta thu được:
0i
LC
1
dt
di
L
R
dt
id
2
2
=++ (1-13)
Đặt
2
0
LC
1
,2
L
R ω=β= , ta thu được phương trình:
0i
dt
di
2
dt
id 2
0 2
2
=ω+β+ (1-14)
Đó là phương trình vi phân cấp hai thuần nhất có hệ số không đổi. Với điều kiện hệ số
tắt đủ nhỏ sao cho ω0 > β hay
2
L2
R
LC
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
> thì nghiệm tổng quát của phương trình
(1-14) có dạng:
( ϕ+ω = β− tcoseIi
0 ) (1-15)
trong đó I0, ϕ là hằng số tích phân phụ thuộc vào điều kiện ban đầu, còn ω là tần số góc
của dao động điên từ tắt dần và có giá trị:
0
2
L2
R
LC
1
ω< ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=ω (1-16)
Chu kỳ của dao động điện từ tắt dần:
22
0
2
2
L2
R
LC
1
2 2
T
β−ω
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
ω
= (1-17)
Như vậy, chu kỳ dao động tắt dần lớn hơn chu kỳ dao động riêng trong mạch.
Đại lượng là biên độ của dao động tắt dần. Nó giảm dần với thời gian theo qui
luật hàm mũ. Tính chất tắt dần của dao động điện từ được đặc trưng bằng một đại lượng
gọi là lượng giảm lôga, ký hiệu bằng chữ
0eI
β−
δ : lượng giảm lôga có giá trị bằng lôga tự
nhiên của tỷ số giữa hai trị số liên tiếp của biên độ dao động cách nhau một khoảng thời
gian bằng một chu kỳ dao động T. Theo định nghĩa ta có:
9Chương 1: Dao động điện từ
T
eI
eI
ln
Tt
0
0
β= =δ
+β−
β−
(1-18)
trong đó , rõ ràng là nếu R càng
lớn thì β càng lớn và dao động tắt càng
nhanh. Điều đó phù hợp với thực tế.
L2/R =β
Chú ý: trong mạch dao động RLC ghép nối
tiếp, ta chỉ có hiện tượng dao động điện từ
khi:
C
L
2Rhay
L2
R
LC
1
2
< ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Trị số
C
L
2R0 = được gọi là điện trở tới
hạn của mạch. Nếu R ≥ R0 trong mạch
không có dao động.
Hình 1-5. Đường biểu diễn dao động
điện từ tắt dần
§3. DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ CƯỠNG BỨC
1.Hiện tượng:
Để duy trì dao động điện từ trong mạch dao
động RLC, người ta phải cung cấp năng lượng cho
mạch điện để bù lại phần năng lượng đã bị tổn hao
trên điện trở R. Muốn vậy, cần mắc thêm vào mạch
một nguồn điện xoay chiều có suất điện động biến
thiên tuần hoàn theo thời gian với tần số gócΩ và
biên độ E0: E= E0sinΩt
Lúc đầu dao động trong mạch là chồng chất của
Hình 1-6. Mạch dao động điện
từ cưỡng bức
hai dao động: dao động tắt dần với tần số góc ω và dao động cưỡng bức với tần số góc
Ω. Giai đoạn quá độ này xảy ra rất ngắn, sau đó dao động tắt dần không còn nữa và
trong mạch chỉ còn dao động điện từ không tắt có tần số góc bằng tần số góc Ω của
nguồn điện. Đó là dao động điện từ cưỡng bức.
2. Phương trình dao động điện từ cưỡng bức
Trong thời gian dt, nguồn điện cung cấp cho mạch một năng lượng bằng Eidt.
Phần năng lượng này dùng để bù đắp vào phần năng lượng toả nhiệt Joule - Lenx và
10Chương 1: Dao động điện từ
tăng năng lượng điện từ trong mạch. Theo định luật bảo toàn và chuyển hoá năng lượng,
ta có : (1-19) idtdtRidE 2 E =+
idtdtRi
2
Li
C2
q
d 2
22
E =+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+ (1-20)
Thực hiện phép lấy vi phân và thay E= E0sinΩt ta được:
C
q
Ri
dt
di
L 0 Ω=++ E (1-21)
Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian của (1-21), thay dq/dt = i, ta đươc:
tcos
C
dt
di
R
dt
id
L 0 2
2
ΩΩ=++ E (1-22)
đặt
2
0
LC
1
,2
L
R ω=β= , ta thu được phương trình:
tcos
L
dt
di
2
dt
id 0 2
0 2
2
Ω Ω =ω+β+
E
(1-23)
Phương trình vi phân (1-23) có nghiệm là tổng của hai nghiệm:
- Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất. Đó chính là nghiệm của
phương trình dao động điện từ tắt dần.
- Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất. Nghiệm này biểu diễn một
dao động điện từ không tắt do tác dụng của nguồn điện. Nghiệm này có dạng:
( ) Φ + Ω = tcosIi 0 (1-24)
trong đó Ω là tần số góc của nguồn điện kích thích, I0 là biên độ, Φ là pha ban đầu của
dao động, được xác định bằng:
R
C
1
L
gcot,
C
1
LR
I
2
2
0
0
Ω
−Ω
−=Φ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Ω
−Ω+
=
E
Đặt
2
2
C
1
LRZ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Ω
−Ω+= và gọi là tổng trở
của mạch dao động, và LZL Ω=
C
1
ZC Ω
= lần
lượt là cảm kháng và dung kháng của mạch dao
động.
Hình 1-7. Đường biểu diễn dao
động điện từ cưỡng bức
11Chương 1: Dao động điện từ
3. Hiện tượng cộng hưởng
Công thức trên chứng tỏ biên độ I0 của dòng điện cưỡng bức phụ thuộc vào giá trị
tần số góc của nguồn xoay chiều kích thích. Đặc biệt với một điện trở R nhất định, biên
độ I0 đạt giá trị cực đại khi tần số góc Ω có giá trị sao cho tổng trở Z của mạch dao động
cực tiểu, giá trị đó của Ω phải thoả mãn điều kiện:
LC
1
hay0
C
1
L =Ω=
Ω
−Ω (1-25)
ta thấy giá trị này của Ω đúng bằng tần số góc của mạch dao động riêng:
0ch ω= Ω (1-26)
Hiện tượng biên độ dòng điện của mạch dao
động điện từ cưỡng bức đạt giá trị cực đại
được gọi là hiện tượng cộng hưởng điện. Vậy
hiện tượng cộng hưởng điện xảy ra khi tần số
góc của nguồn xoay chiều kích thích có giá trị
bằng tần số góc riêng của mạch dao động.
Giá trị Ωch của nguồn xoay chiều kích
thích được gọi là tần số cộng hưởng. Đường
biểu diễn (1-8) cho ta thấy rõ sự biến thiên của
biên độ dòng điện I0 của mạch dao động cưỡng
Hình1-8. Đường biểu diễn cộng
hưởng điện
bức theo tần số góc Ω của nguồn xoay chiều kích thích.
Trong thực tế, muốn xảy ra cộng hưởng điện, ta dùng hai phương pháp sau:
- Hoặc thay đổi tần số góc Ω của nguồn kích thích sao cho nó bằng tần số góc
riêng ω0 của mạch dao động.
- Hoặc thay đổi hệ số tự cảm L và điện dung C của mạch dao động sao cho tần
số góc riêng ω0 đúng bằng tần số góc Ω của nguồn kích thích.
Hiện tượng cộng hưởng điện được ứng dụng rất rộng rãi trong kỹ thuật vô tuyến
điện, thí dụ trong việc thu sóng điện từ ( mạch chọn sóng).
§4. SỰ TỔNG HỢP DAO ĐỘNG
1.Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương và cùng tần số
Giả sử có một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương
và cùng tần số:
)tcos(Ax 1011 ϕ + ω= (1-27)
)tcos(Ax 2022 ϕ + ω = (1-28)
12Chương 1: Dao động điện từ
Hai dao động này cùng phương Ox và cùng tần số góc ω0, nhưng khác biên độ và pha
ban đầu. Dao động tổng hợp của chất điểm bằng tổng của hai dao động thành phần
( ) ϕ ω + = += tAxxx 0 21 cos (1-29)
Có thể tìm dạng của x bằng phương pháp cộng lượng giác. Nhưng để thuận tiện, ta dùng
phương pháp giản đồ Fresnel.
Vẽ hai véc tơ
21 MO,MO
cùng đặt tại điểm O, có độ lớn bằng biên độ A1, A2 của
hai dao động . Ở thời điểm t = 0, chúng hợp với trục Ox các góc ϕ1 và ϕ2 là pha ban đầu.
Khi đó tổng hợp của 21 MO,MO
là một véc tơ
21 MOMOMO
+= (1-30)
đườn véc tơ trùng với g chéo của hình bình hành OM1MM2, có độ lớn bằng A và
ục
MO
hợp với tr Ox một góc ϕ và được xác định bởi hệ thức:
() 1221
22
2211
221 1 sinA ϕ
21 cosAA2AAA ϕ−ϕ ++= ,
cosAcosA
sinA tg
ϕ+ϕ
ϕ+
=ϕ (1.31)
Hình 1-9. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số.
Hai véc tơ 1 MO
và 2 MO
quay xung quanh điểm O theo chiều dương với cùng vận
tốc góc không đổ g tầ góc 0 i bằn n số ω . Ở thời điểm t, hai véc tơ này sẽ hợp với trục Ox
các góc (ω0t + ϕ1) và (ω0t + ϕ2) ng bằng pha dao động x đú 1 và x2. Hình chiếu trên
phương Ox của hai véc tơ 1 MO
và 2 MO
có giá trị bằng:
( ) xt hc =ϕ+ω= 11011ox cosAMO (1-32)
( ) 22022ox xtcosAMOhc =ϕ+ω=
(1-33)
13Chương 1: Dao động điện từ
Vì hai véc tơ 1 MO
và 2 MO
quay theo chiều dương với cùng vận tốc góc , nên hình
bình hành OM
0 ω
1MM2 giữ nguyên dạng khi nó quay quanh điểm O. Do đó, ở thời điểm t,
véc tơ tổng hợp vẫn có độ lớn bằng A và hợp với trục Ox một góc (ω MO
0t + ϕ). Hình
chiếu trên phương Ox của véc tơ tổng hợp MO
có trị số bằng:
( ) xtcosAMOhc 0 ox =ϕ+ω=
(1-34)
về h Mặt khác theo định lý ình chiếu, ta có:
2ox1ox ox MOhc MOhcMOhc
= + (1-35)
Như vậy, tổng hợp hai dao động điều hoà x1 và x2
cũng
- Nế
cùng phương, cùng tần số góc
là một dao động điều hoà x có cùng phương và cùng tần số góc ω0 với các dao
động thành phần, còn biên độ A và pha ban đầu ϕ của nó được xác định bởi (1-31) . Hệ
thức (1-31) cho thấy biên độ A của dao động tổng hợp x phụ thuộc vào hiệu pha
)( 21 ϕ−ϕ của hai dao động thành phần x1 và x2:
u π = ϕ−ϕ k2)( 12 , với ,2,1,0k ( ) 1 cos 12 = ϕ − ϕ ,...3 ± ± ± = , thì và biên độ A
đạt cực đại:
max21 AAAA = += (1-36)
Trong trường hợp này, hai dao động x1 và x2 cùng phương, cùng chiều và được gọi là
hai dao động cùng pha.
- Nếu , thì ( ) 1 cos 12 −= ϕ − ϕ π+= ϕ − ϕ )1k2( , vớ )( 12 i ,... 3,2,1,0k ± ± ± = và
biên đ ực tiểu: ộ A đạt c
A min21 AAA =−= (1-37)
Trong trường hợp này, hai dao động x1và x2
động điều hoà có phương vuông góc và cùng tần số góc
có phương
vuông
cùng phương ngược chiều và gọi là hai dao
động ngược pha.
2. Tổng hợp hai dao
Giả sử một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hoà x và y
góc và cùng tần số góc 0 ω :
() 101 tcosAx ϕ + ω =→ 1010
1
sintsincostcos
A
x
ϕω−ϕω= (1.38)
() 202 tcosAy ϕ + ω =→
2020
2
sintsincostcos
A
y
ϕω−ϕω= (1-39)
14Chương 1: Dao động điện từ
Lần lượt nhân (1-38) và (1-39) với
2 cosϕ và
1 cosϕ − ,
rồi cộng vế với vế:
( 1201
2
2
1
sintsincos
A
y
cos
A
x
ϕ−ϕω=ϕ−ϕ ) (1-40)
Tương tự, lần lượt nhân (1-38) và (1-39) với 2 sin ϕ và
, rồi cộng vế với vế: 1 sin ϕ−
( 1201
2
2
1
sintcossin
A
y
A
x
ϕ−ϕω=ϕ−ϕ )
Hình 1-10. Hai dao động điều
Bình phương hai vế (1-40) , (1-41) rồi cộng vế với vế:
(1-41)
hoà vuông góc
()() 12
2
12
21
2
2
22
xy2yx
2
1
sin cos
AA AA
ϕ−ϕ=ϕ−ϕ −+ (1-42)
Phương trình (1-42) chứng tỏ quĩ đạo chuyển động tổng hợp của hai dao động điều hoà
có phương vuông góc và có cùng tần số góc là một đường elip. Dạng của elip này phụ
thuộc vào giá trị của hiệu pha () 12 ϕ − ϕ của hai dao động thành phần x và y.
- Nếu π=ϕ−ϕ k2)( 12 ,...3,2,1,0 k ± ± ± = , thì (1-42) trở thành: , với
0
A
y
A
x
hay0
AA
xy 2
A
y
A
x
21 21
2
2
2
2
1
2
=− =−+ (1-43)
Phương trình (1-43) chứng tỏ chất
- Nếu
Hình 1-11. Quĩ đạo của chất điểm
khi φ2 – φ1 =2kπ
điểm dao động theo đường thẳng nằm
trong cung phần tư I và III, đi qua vị
trí cân bằng bền của chất điểm tại gốc
O và trùng với đường chéo của hình
chữ nhật có hai cạnh bằng 1 A2 và
2 A2 .
π += ϕ − ϕ ) , vớ 1k2()( 12 i ,... 3,2,1,0k ± ± ± = , thì (1-42) trở thành:
0
A
y
A
x
hay0
AA
xy2
A
y
A
x
21 21
2
2
2
2
1
2
=+ =++ (1-44)
15Chương 1: Dao động điện từ
Hình 1-12. Quĩ đạo của chất điểm
khi φ2 – φ1 =(2k+1)π
Phương trình (1-44) chứng tỏ chất
điểm dao động theo đường thẳng nằm
trong cung phần tư II và IV, đi qua vị
trí cân bằng bền của chất điểm tại gốc
O và trùng với đường chéo của hình
chữ nhật có hai cạnh bằng và
.
1 A2
2 A2
- Nếu
2
)1k2()( 12
+=ϕ−ϕ , với ,...3,2,1,0k ± ± ± = , thì (1-42) trở thành:
1
A
y
A
x
2
2
2
2
1
2
=+ (1-45)
Hình 1-13: Quĩ đạo của chất điểm khi Quĩ đạo của chất điểm khi
φ2-φ1=(2k+1)π/2 φ2-φ1=(2k+1)π/2 và A1=A2
Phương trình (1-45) chứng tỏ chất điểm dao động trên một quĩ đạo êlip dạng chính tắc
có hai bán trục là và Đặc biệt nếu AAA 1 A 2 A . 21 = = thì (1-45) trở thành:
222
Ayx =+ (1-46)
Trong trường hợp này, quĩ đạo của chất điểm là đường tròn có tâm tại gốc toạ O và bán
kính bằng A.
- Nếu )( 12 ϕ − ϕ có các giá trị khác với các giá trị nêu trên thì chất điểm sẽ
chuyển động trên những quĩ đạo êlip xiên.
16Chương 1: Dao động điện từ
φ2– φ1 = 0 0 < φ2 - φ1 < π/2 2 – φ1=π/2
π/2 < φ2 – φ1 < π
φ2 – φ1 = 3π/2 3π/2 < φ – φ1 <2π φ2 – φ1 =2π
Như vậy: Tổng hợp hai dao động điều hoà có phương vuông góc với nhau và cùng
dạng elip (trong những trường hợp riêng là một dao động
điều hoà).
φ
φ2 – φ1 = π π < φ2 - φ1 <3π/2
2
Hình 1.14. Các dạng quĩ đạo của chất điểm khi φ2 – φ1= 0 ÷ 2π và A1 = A2
tần số góc là một dao động có
III. TÓM TẮT NỘI DUNG
1. Dao động điện từ điều hoà: Mạch dao động chỉ có L và C ( R = 0), các đại lượng điện
và từ tham gia dao động theo qui luật điều hoà hình sin ( hoặc cosin) của thời gian với
tần số riêng ω0, biên độ dao động không đổi.
17Chương 1: Dao động điện từ
2. Dao động điện từ tắt dần: Trong mạch dao động LC có thêm điện trở R, do đó có sự
hao tốn năng lượng do toả nhiệt Joule – Lenx, biên độ dao động trong trường hợp này
giảm theo qui luật hàm mũ, chu kỳ dao động T lớn hơn chu kỳ dao động riêng T0.
3. Dao động điện từ cưỡng bức: Trong mạch dao động RLC mắc thêm một nguồn điện
kích thích có tần số Ω để cung cấp tuần hoàn phần năng lượng bị mất do toả nhiệt. Dao
động điện từ sẽ được duy trì với tần số góc Ω của nguồn kích thích. Một hiện tượng
ồn kích thích bằng tần số
góc ri
ực đại. Tần số Ω đó được gọi là tần số cộng hưởng Ωch = ω0. Hiện
tượng cộng hưởng có rất nhi ứng dụng trong khoa à trong ngành
vô tuyến điện.
4. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương, cùng
gia đồng thời hai dao ng điều hoà cùng phương
và cùng tần số:
quan trọng trong trường hợp này là khi tần số góc Ω của ngu
êng ω0 của mạch dao động thì có hiện tượng cộng hưởng xảy ra. Khi đó, biên độ
của dòng điện sẽ c
ều học kỹ thuật, nhất l
tần số
Giả sử có một chất điểm tham độ
) tcos(Ax 1011 ϕ + ω =
202 ) x2 tcos(A ω + ϕ =
Dao đ ợp có dạ xx 0 2 ộng tổng h x 1 ng: ) tcos(A + = ω + ϕ =
Trong đó: () 1221
2
2
2
1 cosAA2AAA ϕ−ϕ ++= ,
2211 cosAcosA ϕ+ϕ
- Nếu π=
11 sinA tg
+ϕ
=ϕ 22 sinA ϕ
ϕ − ϕ k2)( 12 , i vớ ,... 3,2,1,0k ± ± ± = , thì max21 AAAA = + =
- Nếu +=ϕ−ϕ )1k2()( 12 ,... 3 , với ,2,1,0k ± ± ± = , thì π min 21 AAA −= A =
5. Tổ oà cùng tần số có phư
điều hoà x và y có phương
vuông góc và cùng tần số góc
ng hợp hai dao động điều h ơng vuông góc:
Giả sử một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động
0 ω :
( ) 101 tcosAx ϕ + ω =
( ) 20 2 cA tosy ω + ϕ =
P hợp của chất điểm:
hương trình quĩ đạo chuyển động tổng
()( ) 1 ϕ− 2
2
12
21
2
2
2
2
1
2
sin cos
AA
xy2
A
y
A
x
ϕ=ϕ−ϕ −+
π= ϕ − ϕ k2)( 12 , với k ,... 3,2,1,0 - Nếu = ± ± ± , thì phương trình quĩ đạo
chuyển động tổng hợp của chất điểm:
18Chương 1: Dao động điện từ
0
A
y
A
x
hay0
AA
xy2
A
y
A
x
21 21
2
2
2
2
1
2
=− =−+
,...3,2,1,0k ± ± ± = , với , thì phương trình quĩ - Nếu π + =ϕ−ϕ )1k2()( 12
đạo chuyển động tổng hợp của chất điểm:
0
A
y
A
x
hay0
A 1 A
xy
AA 21 2
2
2
2
1
=+ =++
- Nếu
2y x 2 2
2
)1k2()( 12
+=ϕ−ϕ , với ,... 3,2,1,0k ± ± ± = , thì phương trình quĩ
chất điểm: đạo chuyển động tổng hợp của
1
yx 22
=+
AA 2
2
2
1
IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT
1.Thiết lập phương trình dao động điện từ điều hoà riêng không tắt cho dòng điện:
() ϕ +ω= tcosIi 00 .
2. Viết biểu thức tần số và chu kỳ của dao động riêng không tắt.
3. Mô tả mạch dao động điện từ tắt dần. Thiết lập biểu thức của dòng điện trong mạch
Khi nào xảy ra hiện tượng cộng hưởng?
7. Viết phương trình dao động tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phương, cùng
iên độ dao động tổng hợp đạt giá trị cực đại và cực tiểu?
V. BÀ
Thí d hoà gồm một cuộn dây thuần cảm có hệ số
-6
F, tụ được tích điện tới hiệu
ực đại U0= 120V. Tính:
dao động điện từ tắt dần.
4. Viết biểu thức tần số và chu kỳ của mạch dao động điện từ tắt dần. So sánh chu kỳ
dao động tắt dần với chu kỳ dao động riêng.
5. Mô tả mạch dao động điện từ cưỡng bức. Thiết lập biểu thức của dòng điện trong
mạch dao động điện từ cưỡng bức. Nêu ý nghĩa của các đại lượng có trong biểu thức.
6. Hiện tượng cộng hưởng là gì?
tần số. Khi nào thì b
8. Viết phương trình dao động tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng tần số có
phương vuông góc với nhau. Với điều kiện nào thì dao động tổng hợp có dạng đường
thẳng, elip vuông, đường tròn?
I TẬP
ụ 1: Một mạch dao động điện từ điều
-2
H và một tụ điện có điện dung C = 2.10 tự cảm L = 5.10
điện thế c
19Chương 1: Dao động điện từ
1. Tần số dao động của mạch.
ượng điện từ của mạch.
3. Dòng điện cực đại trong mạch.
Bài giải
2. Năng l
1. Tần số dao động của mạch:
500
10.2.10.5.14,3.2
1
LC2
11
f ===
T 62
=
π −−
Hz
2. Năng lượng dao động của mạch: J014,0)120.(10.2
2
1
CU
2
1
E 26 2
0 = == −
3. Dòng điện cực đại trong mạch:
A76,0
10.5
)120.(10.2
L
ILI
2
CU
2
E 0 00 =⇒==
CU 11
2
26 2
0 22
= =
−
−
Thí d C = 7μF, cuộn dây
có hệ
. Chu kỳ dao động điện từ trong mạch.
ường độ dòng điện tron
ế giữa hai b
Bài giải
ng điện từ trong ch là dao động điện từ tắt dần.
ện tích trên hai bản tụ:
Khi t cos 0 , nhưng theo giả thiết
ụ 2: Một mạch dao động điện từ gồm một tụ điện có điện dung
số tự cảm L = 0,23H và điện trở R = 40Ω. Ban đầu điện tích trên hai bản tụ Q0 =
5,6.10-4
C. Tìm:
1
2. Lượng giảm lôga của mạch dao động điện từ tương ứng.
3. Phương trình biến thiên theo thời gian của c g mạch
và hiệu điện th ản tụ điện.
1.Vì điện trở R = 40Ω ≠ 0 nên dao độ mạ
() ϕ+ω = β− tcoseQq t
0 Phương trình dao động của đi
= 0 thì = Qq ϕ 0 Qq = nên φ = 0 → phương trình dao
động của điện tích trên hai bản tụ:
t cos eQq t
0 ω = β−
Chu kỳ dao động của mạch:
s10.8
23,0.2
40
2
⎞⎛
10.7.23,0 L2LC ⎠⎝ ⎠⎝
2. Lượng giảm lôga c
1
14,3.2
R1
2
T 3
6
2
−
−
=
⎟⎜ −
=
⎟
⎞
⎜
⎛
−
=
ủa dao động điện từ trong mạch:
7,0
23,0.2
10.8.40
L2
RT
T
3
= ==β=δ
−
20Chương 1: Dao động điện từ
3.Phương trình biến thiên theo thời gian của cường độ dòng điện và hiệu điện thế giữa
hai bản tụ điện: () s/rad250
T
2
π=
=ω , () At250sine44,0
dt
dq
t87
π −== −
() Vt250cose80
C
q
u t87
π == −
Bài tậ
ạch dao động điện từ điều hoà gồm một tụ điện có điện dung C = 2μF và một
cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L = 0,5H. Tụ được tích đến hiệu điện thế cực đại U0=
100V
1. Năng lượng điện từ của mạch.
Dòng điện cực đại trong mạch.
Đáp số
p tự giải
1. Một m
.Tìm:
2.
1. J10)100.(10.2.
2
1
CU
2
1
E 226 2
0
− − = ==
A2,0
5,0
)100.(10.2
L
ILI
2
CU
2
E 0
0
2
0
2
0 =→== 2.
CU 1 26 2
= =
−
2. Mộ một tụ điện có điện dung C = 0,25μF và
một cu Điện tích cực đại trên hai bản tụ
Tìm:
1. Chu kỳ, tần số dao động của mạch.
lượng điện từ của mạc
3. Dòng điện cực đại trong mạch.
1
t mạch dao động điện từ điều hoà gồm
ộn dây thuần cảm có độ tự cảm L = 1,015H.
Q0= 2,5μC.
2. Năng h.
Đáp số: 1. s10.16,3LC2T =π= ,
3 − Hz 316
T
f ==
1
A10.5
LC
Q
I
3
2
0
0
− == J10.5,12
C
Q
2
1
E 6
2
0 − == , 3. 2.
3. Mộ ộn dây thuần cảm có hệ số tự cảm
L = 1
t mạch dao động điện từ điều hoà gồm một cu
H và một tụ điện có điện tích trên hai bản tụ biến thiên điều hoà theo phương trình
(C) t400cos
10.5
q =
5
−
.
. Tìm điện dung của tụ.
2. Tìm năng lượng điện từ của mạch.
1
21Chương 1: Dao động điện từ
3. Viết phương trình biến thiên theo thời gian của cường độ dòng điện trong
mạch.
Đáp số: 1. F
6,1
10
L
1
C
LC
1 6
2
0
0
−
=
ω
=⇒=ω , 2. J10.2
C
Q
2
1
E 4
2
0 − ==
3. (A) t400 sin10.2
dt
2
−==
dq
π −
4. Một ừ điều hoà gồm tụ điện có điện dung C = 6,3.10-7
F và một
dây thu o thời gian
của cườ
mạch dao động điện t
ần cảm có hệ số tự cảm L. Phương trình biểu diễn sự biến thiên the
( ) At400 ng độ dòng điện trong mạch sin02,0i π − = . Tìm:
.Chu kỳ, tần số dao động.
ố tự cảm L.
3. Năng lượng điện trường cực đại và năng lượng từ trường cực đại.
4. Hiệu điện thế cực đại trên hai bản tụ.
Đáp s
1
2. Hệ s
ố
Hz200
T
1
f,s10.5
2
T 3
1.
0 ω
== =
= ; 2.
− H1
C 0 ω
3.
1
L 2
==
,J10.97,1
2
CU E 4
2
0
− J10.97,1
2
LI 4
2
0 −
ax) == E (max)m ==
5. Mộ hoà gồm tụ điện có điện dung C = 9.10-7
F và cuộn
dây th
ệ số tự cảm L.
ết phương trình biến thiên của cườ ộ dòng điện trong ch theo
thời gian.
4. Tìm năng lượng điện từ của mạch.
Đáp s
4. () V2,25U0 =
t mạch dao động điện từ điều
uần cảm có hệ số tự cảm L. Hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện biến thiên điều hoà
theo phương trình () Vt10cos50u 4
π = .
1.Tìm chu kỳ và tần số dao động.
2. Tìm h
3. Vi ng đ mạ
ố
1. Hz10.5
1
f,s10.2
2
T 3 4
0
== =
ω T
= − ; 2. H10
1
L 3 − ==
C 2
0 ω
3. J10.11,0
2
CU E 2
2
0 − == () At10sin4,1
dt
du 4
Ci π −== ; 4.
22Chương 1: Dao động điện từ
6. Một
10-2
H và điện trở R = 2Ω.
ần số dao động ch.
2. Sau thời gian một chu kỳ hiệu điện thế giữa hai cốt của tụ điện giảm đi bao
mạch dao động gồm tụ điện có điện dung C = 0,4.10-6
F, một cuộn dây có hệ số
tự cảm L =
1. Tìm chu kỳ và t của mạ
nhiêu lần.
Đáp số: 1.T = 4.10-4
s, Hz2500
T
1
f == ; 2. 04,1
U
U
Tt
=
+
7. Một mạch dao động gồm tụ điện có điện dung C = 1,1.10-9
F, cuộn dây có độ tự cảm
ượng giảm lôga δ = 0,005. Tìm thời gian để năng lượng điện từ trong L = 5.10-5
H và l
mạch giảm đi 99% .Coi gần đúng chu kỳ dao động của mạch LC2T π= .
Đáp số: Năng lượng dao động tại thời điểm t là Et, năng lượng dao động tại thời điểm
t + ∆t là Et + ∆t.
Sau thời gian ∆t năng lượng giảm 99%, nghĩa là còn lại 1%
,
C2 C2
eQ(
E,
)eQ(
E
2tt
0
2t
0
Δ+β−
Δ+
β−
= = 100
E tt Δ+
8. Một mạch dao động điện từ gồm tụ điện có điện dung
Et
=
C = 0,2.10-6
một cuộn dây có
độ tự c ở R.Tìm:
1. Lượng giảm lôga, biết hiệu điện thế trên hai bản tụ giảm đi 3 lần sau 10-3
s.
Coi gần đúng chu kỳ dao động của mạch theo công thức
, s 10.8,6t
3 − =Δ
F,
ảm L = 5,07.10-3
H và điện tr
LC2T π= .
iện trở R của mạch.
Đáp số: 1.
2. Đ
22,0
10 t 3 −
3ln10.2 U
U lnT
,)s(10.2LC2T
4
1
0
4
= =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=δ =π=
−
−
2. Ω=
δ
= 1,11
T
L2
R
9. Một mạch dao động điện từ điều hoà gồm một cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm
H và một tụ điện. Mạch dao động cộng hưởng với bước sóng λ = 750m. Tìm
điện dung của tụ điện. Cho c= 3.108
m/s.
Đáp số:
L = 3.10-5
F10.52,0
Lc4
CLC2
c
T 8
22
2
− =
λ
=⇒π=
λ
=
23Chương 2: Giao thoa ánh sáng
CHƯƠNG II: GIAO THOA ÁNH SÁNG
I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU
1. Nắm được một số khái niệm như quang lộ, cường độ sáng, hàm sóng ánh sáng, định lí
Malus và nguyên lí Huygens là những cơ sở của quang học sóng.
2. Nắm được định nghĩa và điều kiện để có giao thoa ánh sáng.
3. Khảo sát hiện tượng giao thoa ánh sáng (điều kiện cực đại, cực tiểu giao thoa, vị trí vân
sáng, vân tối) trong thí nghiệm Young, giao thoa gây bởi bản mỏng (nêm không khí, hệ vân
tròn Newton).
4. Ứng dụng hiện tượng giao thoa trong đo lường, kiểm tra độ phẳng, độ cong của các vật,
khử phản xạ...
II. NỘI DUNG
§1. CƠ SỞ CỦA QUANG HỌC SÓNG
Quang học sóng nghiên cứu các hiện tượng giao thoa, nhiễu xạ, phân cực... dựa trên
bản chất sóng điện từ của ánh sáng. Người đầu tiên đề ra thuyết sóng ánh sáng là nhà vật lí
người Hà Lan Christian Huygens năm 1687. Theo Huygens, ánh sáng là sóng đàn hồi
truyền trong một môi trường đặc biệt gọi là “ête vũ trụ” lấp đầy không gian. Thuyết sóng
ánh sáng đã giải thích được các hiện tượng của quang hình học như phản xạ, khúc xạ ánh
sáng. Vào đầu thế kỉ thứ 19, dựa vào thuyết sóng ánh sáng Fresnel đã giải thích các hiện
tượng giao thoa, nhiễu xạ ánh sáng. Nhưng khi hiện tượng phân cực ánh sáng được phát
hiện thì quan niệm về sóng đàn hồi trong “ête vũ trụ” đã bộc lộ rõ những thiếu sót. Hiện
tượng phân cực ánh sáng chứng tỏ sóng ánh sáng là sóng ngang và như chúng ta đã biết,
sóng đàn hồi ngang chỉ có thể truyền trong môi trường chất rắn. Đến năm 1865, dựa vào
những nghiên cứu lí thuyết của mình về trường điện từ và sóng điện từ, Maxwell đã nêu lên
thuyết điện từ về sóng ánh sáng. Trong tiết này chúng ta sẽ nghiên cứu về một số những
khái niệm cơ bản của sóng ánh sáng và các nguyên lí như nguyên lí chồng chất các sóng,
nguyên lí Huygens là cơ sở của quang học sóng.
1. Một số khái niệm cơ bản về sóng
Sóng là quá trình truyền pha của dao động. Dựa vào cách truyền sóng, người ta chia
sóng thành hai loại: sóng ngang và sóng dọc.
Sóng ngang là sóng mà phương dao động của các phần tử vuông góc với phương truyền
sóng.
24Chương 2: Giao thoa ánh sáng
Sóng dọc là sóng mà phương dao động của các phần tử trùng với phương truyền sóng.
Không gian có sóng truyền qua được gọi là trường sóng. Mặt sóng là qũi tích những
điểm dao động cùng pha trong trường sóng. Giới hạn giữa phần môi trường mà sóng đã
truyền qua và chưa truyền tới gọi là mặt đầu sóng. Nếu sóng có mặt đầu sóng là mặt cầu thì
được gọi là sóng cầu và nếu mặt đầu sóng là mặt phẳng thì được gọi là sóng phẳng. Đối
với môi trường đồng chất và đẳng hướng, nguồn sóng nằm ở tâm của mặt sóng cầu, tia sóng
(phương truyền sóng) vuông góc với mặt đầu sóng (hình 2-1). Nếu nguồn sóng ở rất xa
phần môi trường mà ta khảo sát thì mặt sóng là những mặt phẳng song song, các tia sóng là
những đường thẳng song song với nhau và vuông góc với các mặt sóng (hình 2-2).
Hình 2-1. Sóng cầu Hình 2-2. Sóng phẳng
2. Thuyết điện từ về ánh sáng của Maxwell
Ánh sáng là sóng điện từ, nghĩa là trường điện từ biến thiên theo thời gian truyền đi
trong không gian. Sóng ánh sáng là sóng ngang, bởi vì trong sóng điện từ vectơ cường độ
điện trường E và vectơ cảm ứng từ B luôn dao động vuông góc với phương truyền sóng.
Khi ánh sáng truyền đến mắt, vectơ cường độ điện trường tác dụng lên võng mạc gây nên
cảm giác sáng. Do đó vectơ cường độ điện trường trong sóng ánh sáng gọi là vectơ sáng.
Người ta biểu diễn sóng ánh sáng bằng dao động của vectơ sáng E vuông góc với phương
truyền sóng.
Mỗi sóng ánh sáng có bước sóng
0 λ xác định gây nên cảm giác sáng về một màu sắc
xác định và gọi là ánh sáng đơn sắc. Tập hợp các ánh sáng đơn sắc có bước sóng nằm
trong khoảng từ 0,4
0 λ
m μ đến 0,76 m μ tạo thành ánh sáng trắng.
3. Quang lộ
Xét hai điểm A, B trong một môi trường đồng tính chiết suất n, cách nhau một đoạn
bằng d. Thời gian ánh sáng đi từ A đến B là
v
d
t = , trong đó v là vận tốc ánh sáng trong
môi trường.
Định nghĩa: Quang lộ giữa hai điểm A, B là đoạn đường ánh sáng truyền được trong chân
không với cùng khoảng thời gian t cần thiết để sóng ánh sáng đi được đoạn đường d trong
môi trường chiết suất n.
25Chương 2: Giao thoa ánh sáng
ndd
v
c
ctL === (2-1)
Chiết suất n = c/ với c là vận tốc ánh sáng trong chân không. v
Như vậy khi ánh sáng truyền trong môi trường chất, với việc sử dụng khái niệm
quang lộ chúng ta đã chuyển quãng đường ánh sáng đi được trong môi trường chiết suất n
sang quãng đường tương ứng trong chân không và do đó ta có thể sử dụng vận tốc truyền
của ánh sáng trong chân không là c thay cho vận tốc v truyền trong môi trường.
Nếu ánh sáng truyền qua nhiều môi trường chiết suất n1, n2, n3 ... với các quãng
đường tương ứng d1, d2, d3 ... thì quang lộ sẽ là
dnL ∑ = (2-2a)
Nếu ánh sáng truyền trong môi trường mà chiết suất thay đổi liên tục thì ta chia đoạn
đường AB thành các đoạn nhỏ ds để coi chiết suất không thay đổi trên mỗi đoạn nhỏ đó và
quang lộ sẽ là
∫ =
B
A
ndsL (2-2b)
4. Định lí Malus về quang lộ
a. Mặt trực giao là mặt vuông góc với các tia của một chùm sáng.
Hình 2-3. Mặt trực giao
Theo định nghĩa nếu chùm sáng là đồng qui thì mặt trực giao là các mặt cầu đồng
tâm, còn nếu là chùm sáng song song thì mặt trực giao là các mặt phẳng song song.
b. Định lí Malus: Quang lộ của các tia sáng giữa hai mặt trực giao của một chùm sáng thì
bằng nhau.
5. Hàm sóng ánh sáng
Xét sóng ánh sáng phẳng đơn sắc truyền theo phương y với vận tốc v trong môi
trường chiết suất n. Giả sử tại O phương trình của dao động sáng là:
tcosA)O(x ω = (2-3)
thì tại điểm M cách O một đoạn d, phương trình dao động sáng là:
26Chương 2: Giao thoa ánh sáng
L2
tcos(A)
c
L
T
2
tcos(A
c
L
t(cosA)t(cosA)M(x
λ
−ω=
−ω=
−ω=τ−ω=
(2-4)
trong đó là thời gian ánh sáng truyền từ O đến M, L là
quang lộ trên đoạn đường OM,
τ
λ là bước sóng ánh sáng
trong chân không, A là biên độ dao động và
λ
=ϕ
L2
là
pha ban đầu. Phương trình (2-4) được gọi là hàm sóng ánh
sáng.
Hình 2-4
6. Cường độ sáng
Cường độ sáng đặc trưng cho độ sáng tại mỗi điểm trong không gian có sóng ánh
sáng truyền qua.
Định nghĩa: Cường độ sáng tại một điểm là đại lượng có trị số bằng năng lượng trung bình
của sóng ánh sáng truyền qua một đơn vị diện tích đặt vuông góc với phương truyền sáng
trong một đơn vị thời gian.
Vì mật độ năng lượng của sóng điện từ tỉ lệ thuận với bình phương biên độ của véctơ
cường độ điện trường nên cường độ sáng tại một điểm tỉ lệ với bình phương biên độ dao
động sáng tại điểm đó:
I = kA2
k: Hệ số tỉ lệ. Khi nghiên cứu các hiện tượng giao thoa, nhiễu xạ đặc trưng cho tính chất
sóng của ánh sáng, người ta chỉ cần so sánh cường độ sáng tại các điểm khác nhau mà
không cần tính cụ thể giá trị của cường độ sáng, do đó qui ước lấy k = 1:
I = A2
(2-5)
7. Nguyên lí chồng chất các sóng
Khi có hai hay nhiều sóng ánh sáng truyền tới giao nhau tại một điểm nào đó trong
không gian thì sự tổng hợp của các sóng tuân theo nguyên lí chồng chất các sóng. Nguyên lí
này được phát biểu như sau:
“Khi hai hay nhiều sóng ánh sáng gặp nhau thì từng sóng riêng biệt không bị các
sóng khác làm cho nhiễu loạn. Sau khi gặp nhau, các sóng ánh sáng vẫn truyền đi như cũ,
còn tại những điểm gặp nhau dao động sáng bằng tổng các dao động sáng thành phần”.
8. Nguyên lí Huygens
Nguyên lí Huygens được phát biểu như sau: " Mỗi điểm trong không gian nhận được
sóng sáng từ nguồn sáng thực S truyền đến đều trở thành nguồn sáng thứ cấp phát sóng
sáng về phía trước nó".
Nguyên lí Huygens được mô tả đơn giản trên hình 2-5 như sau: Sóng phẳng được
phát ra từ nguồn sáng ở vô cùng tới mặt AB, tất cả các điểm trên mặt sóng AB đều trở thành
27Chương 2: Giao thoa ánh sáng
nguồn thứ cấp và lại phát sóng cầu về phía trước, bao hình CD của tất cả các sóng cầu này
lại trở thành mặt sóng.
Hình 2-5
§2. GIAO THOA ÁNH SÁNG
1. Định nghĩa:
Hiện tượng giao thoa ánh sáng là hiện tượng gặp nhau của hai hay nhiều sóng ánh
sáng kết hợp, kết quả là trong trường giao thoa sẽ xuất hiện những vân sáng và những vân
tối xen kẽ nhau.
Hình 2-6. Thí nghiệm giao thoa khe Young (Yâng)
Điều kiện giao thoa: hiện tượng giao thoa chỉ xảy ra đối với sóng ánh sáng kết hợp.
Sóng ánh sáng kết hợp là những sóng có hiệu pha không thay đổi theo thời gian.
Nguyên tắc tạo ra hai sóng ánh sáng kết hợp là từ một sóng duy nhất tách ra thành hai sóng
riêng biệt. Dụng cụ để tạo ra các sóng ánh sáng kết hợp: ví dụ khe Young (hình 2-6), gương
Fresnel.
2. Khảo sát hiện tượng giao thoa
a. Điều kiện cực đại, cực tiểu giao thoa
Xét hai nguồn sóng ánh sáng đơn sắc kết hợp S1 và S2. Phương trình dao động sáng
của chúng tại vị trí của S1 và S2 là:
28Chương 2: Giao thoa ánh sáng
tcosA)S(x 11 ω =
tcosA)S(x 22 ω =
Tại M ta nhận được hai dao động sáng:
L2
tcos(Ax 1
11
λ
−ω=
L2
tcos(Ax 2
22
λ
−ω=
L1 và L2 là quang lộ trên đoạn đường r1 và r2.
Vì khoảng cách S1S2 nhỏ hơn rất nhiều so với khoảng cách từ mặt phẳng của hai khe
đến màn quan sát nên ta coi đây là trường hợp tổng hợp của hai dao động cùng phương,
cùng tần số. Ta biết rằng biên độ dao động sáng tổng hợp tại M phụ thuộc vào hiệu pha của
hai dao động
)LL(
2
21 −
λ
=ϕΔ
Nếu hai dao động cùng pha, hiệu pha π = ϕ Δ k2 , thì biên độ dao động sáng tổng hợp
tại M sẽ có giá trị cực đại và cường độ sáng tại điểm M là cực đại. Như vậy điều kiện cực
đại giao thoa là:
π=−
λ
=ϕΔ k2)LL(
2
21 (2-6)
λ = −⇒ kLL 21 với ...2,1,0k ± ± = (2-7)
Nếu hai dao động ngược pha, hiệu pha π + = ϕ Δ )1k2( , thì biên độ dao động sáng
tổng hợp tại M sẽ có giá trị cực tiểu và do đó cường độ sáng cực tiểu. Như vậy điều kiện
cực tiểu giao thoa là:
π+=−
λ
=ϕΔ )1k2()LL(
2
21 (2-8)
2
)1k2(LL 21
λ
+=−⇒ với ...2,1,0k ± ± = (2-9)
b. Vị trí của vân giao thoa
Hệ thống khe Young như hình vẽ, được
đặt trong không khí. Xét điểm M trên màn E,
điểm M cách điểm O một khoảng là y. Từ S2 kẻ
S2H S ⊥ 1M. Vì S1S2 = rất nhỏ và khoảng
cách D từ khe đến màn E lớn nên S
l
1H≈ r1-r2 =
sin l α ≈ l tgα và
D
y
rr 21
l
=− (2-10)
Hình 2-7. Vị trí của vân giao thoa
29Chương 2: Giao thoa ánh sáng
Trong không khí nên L1-L2 = r1-r2. Từ điều kiện cực đại, cực tiểu giao thoa ta dễ dàng
tính được vị trí các vân sáng và vân tối.
Vị trí các vân sáng (cực đại giao thoa):
λ==− k
D
y.
21
l
l
D kys
λ
= với ...2,1,0k ± ± = (2-11)
Vị trí các vân tối (cực tiểu giao thoa):
2
)1k2(
D
y
21
λ
+==−
l
l 2
D )1k2(yt
λ
+= với ...2,1,0k ± ± = (2-12)
Từ các công thức (2-11) và (2-12) ta thấy ảnh giao thoa trên màn E có các đặc điểm:
- Với k = 0 thì ys = 0, tức là gốc O trùng với vân cực đại giao thoa. Vân này được gọi
là vân cực đại giữa.
- Các vân cực đại giao thoa ứng với ...2,1k ± ± = và các vân cực tiểu giao thoa nằm
xen kẽ cách đều nhau cả hai phía đối với vân cực đại giữa. Đối với vân sáng, bậc giao thoa
trùng với k . Đối với vân tối, khi k > 0 bậc giao thoa trùng với 1k + , khi k < 0 bậc giao
thoa trùng với k .
- Khoảng cách giữa hai vân sáng kế tiếp:
lll
DD k
D )1k(yyi k1k
λ
=
λ
−
λ
+=−= + (2-13)
Tương tự, khoảng cách giữa hai vân tối kế tiếp cũng là i và i được gọi là khoảng vân.
Các vân giao thoa là các đoạn thẳng nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
hình vẽ, do đó nếu dịch chuyển đồng thời S1 và S2 theo phương vuông góc với mặt phẳng
hình vẽ thì hệ thống vân chỉ trượt trên mình nó và không thay đổi gì. Do đó ta có thể thay
hai nguồn sáng điểm S1 và S2 bằng hai nguồn sáng khe đặt vuông góc với mặt phẳng hình
vẽ để cho hình ảnh giao thoa rõ nét hơn.
c. Hệ vân giao thoa khi dùng ánh sáng trắng
Nếu nguồn sáng S1 và S2 phát ánh sáng trắng gồm mọi ánh sáng đơn sắc có bước
sóng , thì mỗi ánh sáng đơn sắc sẽ cho một hệ vân giao thoa có màu sắc
riêng và độ rộng i khác nhau. Tại gốc tọa độ O, mọi ánh sáng đơn sắc đều cho cực đại, nên
vân cực đại giữa là một vân sáng trắng, hai mép viền màu (trong tím, ngoài đỏ). Những vân
cực đại khác ứng với cùng một giá trị của k là những vân có màu sắc khác nhau nằm chồng
lên nhau tạo thành những vân sáng nhiều màu sắc. Các vân này càng bị nhòe dần khi xa vân
sáng trắng ở trung tâm.
m76,04,0 μ÷=λ
30Chương 2: Giao thoa ánh sáng
§3. GIAO THOA GÂY BỞI BẢN MỎNG
Khi nhìn vào màng xà phòng, váng dầu trên mặt nước, ta thấy màu sắc rất đẹp, màu
sắc đó được tạo nên bởi sự giao thoa của các tia phản xạ trên hai mặt của bản mỏng. Trước
khi đi vào nghiên cứu về giao thoa gây bởi bản mỏng chúng ta xem xét hiện tượng giao thoa
do phản xạ.
1. Giao thoa do phản xạ
Để nghiên cứu hiện tượng giao thoa do phản xạ Lloyd đã làm thí nghiệm sau: Gương
G được bôi đen đằng sau, chiết suất của thủy tinh lớn hơn chiết suất của không khí ntt > nkk.
Nguồn sáng S rộng và cách xa. Màn E được đặt vuông góc với gương. Một điểm M trên
màn E sẽ nhận được hai tia sáng từ S gửi đến. Tia truyền trực tiếp SM và tia SIM phản xạ
trên gương, sau đó đến M. Hai tia này giao thoa với nhau.
Hình 2-8. Thí nghiệm của Lloyd
Theo lí thuyết: nếu λ = − = − kLLrr 2121 thì điểm M sáng, nếu
2
)1k2(LLrr 2121
λ
+=−=− thì điểm M sẽ tối. Tuy nhiên thực nghiệm lại thấy rằng:
những điểm lí thuyết dự đoán là sáng thì kết quả lại là tối và ngược lại, những điểm lí thuyết
dự đoán là tối thì lại là sáng. Vậy hiệu pha dao động của hai tia sáng trong trường hợp này
không phải là )LL(
2
21 −
λ
=ϕΔ mà phải là π+−
λ
=ϕΔ )LL(
2
21 . Để thêm một
lượng thì pha dao động của một trong hai tia phải thay đổi một lượng π . Vì tia SM truyền
trực tiếp từ nguồn đến điểm M, nên chỉ có tia phản xạ trên gương mới thay đổi, cụ thể là
pha dao động của nó sau khi phản xạ sẽ thay đổi một lượng
ϕΔ
π . Tương đương với việc pha
thay đổi một lượng là thì quang lộ của nó sẽ thay đổi một lượng là: π
11 L
2
λ
=ϕ ⇒
1 11 L
2
L
2
' ′
λ
=π+
λ
=ϕ
2
LL 11
λ
+= ′ (2-14)
Trong đó
1 ϕ và L1 là pha và quang lộ khi chưa tính đến sự thay đổi pha do phản xạ, còn
và là pha và quang lộ của tia sáng khi có tính đến sự phản xạ trên thủy tinh là môi
'
1 ϕ
'
1 L
31Chương 2: Giao thoa ánh sáng
trường chiết quang hơn môi trường ánh sáng tới. Trong trường hợp phản xạ trên môi trường
có chiết suất nhỏ hơn chiết suất môi trường ánh sáng tới, ví dụ ta cho ánh sáng truyền trong
môi trường thủy tinh đến mặt phân cách giữa thủy tinh và không khí rồi phản xạ lại, khi đó
pha dao động và quang lộ của tia phản xạ không có gì thay đổi.
Kết luận: Khi phản xạ trên môi trường chiết quang hơn môi trường ánh sáng tới, pha dao
động của ánh sáng thay đổi một lượng π , điều đó cũng tương đương với việc coi tia phản
xạ dài thêm một đoạn
2
λ
.
2. Giao thoa gây bởi nêm không khí
Nêm không khí là một lớp không
khí hình nêm giới hạn bởi hai bản thuỷ
tinh phẳng G1, G2 có độ dày không đáng
kể, đặt nghiêng với nhau một góc nhỏ α.
Chiếu chùm tia sáng đơn sắc song song,
vuông góc với mặt G2 . Tia sáng từ nguồn
S đi vào bản thuỷ tinh G1 tới M chia làm
hai: Một tia phản xạ đi ra ngoài (tia R1),
một tia đi tiếp vào nêm không khí, đến K
trên G2 và phản xạ tại đó rồi đi ra ngoài
(tia R2). Tại M có sự gặp nhau của hai tia
phản xạ nói trên và chúng giao thoa với
Hình 2-9. Nêm không khí
nhau. Trên mặt G1 ta nhận được vân giao thoa. Tia R2 (là tia phản xạ trên mặt G2) phải đi
thêm một đoạn 2d so với tia R1 (là tia phản xạ trên mặt G1) và vì tia R2 phản xạ trên mặt
trên của G2 (thủy tinh) chiết quang hơn môi trường ánh sáng đến (không khí) nên quang lộ
của tia này dài thêm một đoạn là . Còn tia R 2/ λ 1 phản xạ trên mặt dưới của G1 thì không
thay đổi pha vì đây là phản xạ trên môi trường không khí, kém chiết quang hơn môi trường
ánh sáng tới (môi trường thủy tinh). Hiệu quang lộ của hai tia là:
2
d2LL 12
λ
+=− (2-15)
d là bề dày của lớp không khí tại M. Các điểm tối thoả mãn điều kiện:
2
)1k2(
2
d2LL 12
λ
+=
λ
+=−
Do đó:
2
kdt
λ
= với k = 0,1,2... (2-16)
Tập hợp các điểm có cùng bề dày d của lớp không khí là một đoạn thẳng song song với
cạnh nêm. Tại cạnh nêm d = 0, ta có một vân tối.
Các điểm sáng thoả mãn điều kiện:
32Chương 2: Giao thoa ánh sáng
λ=
λ
+=− k
2
d2LL 12
Do đó:
4
)1k2(ds
λ
−= với k =1,2,3... (2-17)
Vân sáng cũng là những đoạn thẳng song song với cạnh nêm và nằm xen kẽ với vân tối.
3. Vân tròn Newton
Hệ cho vân tròn Newton gồm một thấu kính phẳng - lồi đặt tiếp xúc với một bản thủy
tinh phẳng (hình 2-10). Lớp không khí giữa thấu kính và bản thủy tinh là bản mỏng có bề
dày thay đổi. Chiếu một chùm tia sáng đơn sắc song song vuông góc với bản thủy tinh. Các
tia sáng phản xạ ở mặt trên và mặt dưới của bản mỏng này sẽ giao thoa với nhau, tạo thành
các vân giao thoa có cùng độ dày, định xứ ở mặt cong của thấu kính phẳng- lồi.
Giống như nêm không khí, cực tiểu vân giao thoa (vân tối) nằm tại vị trí ứng với bề
dày của lớp không khí:
2
kdt
λ
= với k = 0,1,2... (2-18)
và cực đại vân giao thoa (vân sáng) nằm tại vị trí ứng với bề dày lớp không khí:
4
)1k2(ds
λ
−= với k = 1,2,3... (2-19)
Hình 2-10. Vân tròn Newton
Do tính chất đối xứng của bản mỏng nên các vân giao thoa là những vòng tròn đồng
tâm gọi là vân tròn Newton.
Ta tính bán kính của vân thứ k:
33Chương 2: Giao thoa ánh sáng
2
k
22
k )dR(Rr −−=
trong đó R là bán kính cong của thấu kính, dk là bề dày của lớp không khí tại vân thứ k. Vì
Rdk << do đó:
k
2
k Rd2r ≈
Nếu vân thứ k đó là vân tối, ta có
2
kdt
λ
= , do đó:
k.Rrk λ= (2-20)
Như vậy bán kính của các vân tối tỉ lệ với căn bậc hai của các số nguyên liên tiếp.
§4. ỨNG DỤNG HIỆN TƯỢNG GIAO THOA
1. Kiểm tra các mặt kính phẳng và lồi
Để kiểm tra độ phẳng của một tấm kính hoặc độ cong của một mặt cầu lồi người ta
đặt chúng trên một tấm thủy tinh có độ phẳng chuẩn để tạo ra một bản mỏng hình nêm hoặc
một hệ cho vân tròn Newton. Nếu tấm kính không thật phẳng hoặc mặt cầu không cong đều
thì các vân giao thoa sẽ không thành những đường song song cách đều hoặc không phải là
những vân tròn đồng tâm mà bị méo mó tại những chỗ bị lỗi.
2. Khử phản xạ các mặt kính
Khi một chùm sáng rọi vào mặt thấu kính
hay lăng kính thì một phần ánh sáng sẽ bị phản xạ
trở lại. Ánh sáng phản xạ này sẽ làm ảnh bị mờ.
Để khử phản xạ, người ta phủ lên thủy tinh một
màng mỏng trong suốt, có chiều dày d và chiết
suất n. Khi chiếu chùm tia sáng song song theo
phương vuông góc với màng mỏng thì có sự giao
thoa của hai tia phản xạ, tia thứ nhất phản xạ trên
mặt giới hạn giữa màng mỏng-thủy tinh và tia thứ
Hình 2-11. Khử ánh sáng phản xạ
hai phản xạ trên mặt phân cách giữa không khí-màng mỏng. Chiết suất n và bề dày d của
màng được chọn sao cho hai tia phản xạ ngược pha nhau. Gọi nkk và ntt là chiết suất của
không khí và chiết suất của thủy tinh thì
tt kk nnn < < . Hiệu quang lộ của hai tia phản xạ
thỏa mãn điều kiện cực tiểu giao thoa:
2
)1k2(nd2
22
nd2L
λ
+==
λ
−
λ
+=Δ
suy ra:
n4
)1k2(d
λ
+= (2-21)
λ là bước sóng ánh sáng trong chân không. Độ dày nhỏ nhất của màng mỏng là:
34Chương 2: Giao thoa ánh sáng
n4
dmin
λ
= (2-22)
Ta thấy không thể khử đồng thời mọi ánh sáng phản xạ có bước sóng khác nhau.
Trong thực tế thường chọn bề dày d thỏa mãn điều kiện (2-22) ứng với ánh sáng màu xanh
lục là ánh sáng nhạy nhất với mắt người. m55,0 μ=λ
3. Giao thoa kế Rayleigh (Rêlây)
Giao thoa kế Rayleigh là dụng cụ dùng để đo chiết suất (hay nồng độ) của chất lỏng
và chất khí với độ chính xác cao. Mô hình của giao thoa kế Rayleigh được trình bày trên
hình 2-12.
Ánh sáng đơn sắc từ nguồn S sau khi qua thấu kính hội tụ L1 và hai khe S1, S2 bị tách
thành hai chùm tia song song. Hai chùm đó sẽ giao thoa với nhau trên mặt phẳng tiêu của
thấu kính hội tụ L2. Nhờ thị kính L ta có thể quan sát được hệ thống vân giao thoa đó.
Hình 2-12. Giao thoa kế Rayleigh
Trên đường đi của hai chùm tia ban đầu ta đặt hai ống chiều dài d đựng cùng một chất
lỏng chiết suất no đã biết. Ghi hệ thống vân giao thoa trên màn quan sát. Sau đó thay chất
lỏng trong một ống bằng chất lỏng cần nghiên cứu. Vì chiết suất của chất lỏng đựng trong
hai ống bây giờ khác nhau nên hiệu quang lộ của hai chùm tia bị thay đổi một lượng
d)nn(LLL o 21 − = − =Δ (2-23)
n là chiết suất của chất lỏng cần đo. Kết quả là hệ thống vân giao thoa bị dịch chuyển. Đếm
số vân giao thoa bị dịch chuyển ta có thể tính được chiết suất của chất lỏng. Ta biết rằng khi
hiệu quang lộ thay đổi một bước sóng thì hệ thống vân dịch chuyển một khoảng vân. Do đó
nếu hệ thống vân giao thoa dịch chuyển m khoảng vân thì hiệu quang lộ sẽ thay đổi một
khoảng bằng:
λ = − =Δ md)nn(L o (2-24)
Từ đó suy ra chiết suất của chất lỏng cần đo là:
d
m n +
λ
= (2-25)
Ta cũng có thể đo chiết suất một chất khí bằng cách sử dụng giao thoa kế Rayleigh,
so sánh chất khí đó với một chất khí có chiết suất biết trước.
35Chương 2: Giao thoa ánh sáng
4. Giao thoa kế Michelson (Maikenxơn)
Giao thoa kế Michelson dùng để đo độ dài các
vật với độ chính xác cao. Hình 2-13 trình bày mô
hình của giao thoa kế Michelson .Ánh sáng từ
nguồn S chiếu tới bản bán mạ P (được tráng một lớp
bạc rất mỏng) dưới góc 45o
. Tại đây ánh sáng bị tách
thành hai tia: tia phản xạ truyền đến gương G1 và tia
khúc xạ truyền đến gương G2. Sau khi phản xạ trên
hai gương G1 và G2 các tia sáng truyền ngược trở lại,
đi qua bản P và tới giao thoa với nhau ở kính quan
sát. Vì tia thứ nhất chỉ đi qua bản P một lần còn tia
thứ hai đi qua P ba lần nên hiệu quang lộ của hai tia
lớn, vân giao thoa quan sát được là những vân bậc
cao, nên nhìn không rõ nét. Để khắc phục điều này
Hình 2-13. Giao thoa kế Michelson
người ta đặt bản P’ giống hệt P nhưng không tráng bạc trên đường đi của tia thứ nhất.
Nếu ta dịch chuyển gương G2 song song với chính nó dọc theo tia sáng một đoạn
bằng nửa bước sóng thì hiệu quang lộ của hai tia sẽ thay đổi một bước sóng, kết quả hệ vân
giao thoa sẽ thay đổi một khoảng vân. Vậy muốn đo chiều dài của một vật ta dịch chuyển
gương G2 từ đầu này đến đầu kia của vật và đếm số vân dịch chuyển. Nếu hệ thống vân dịch
chuyển m khoảng vân thì chiều dài của vật cần đo là:
2
m λ
= l (2-26)
Giao thoa kế Michelson dùng để đo chiều dài với độ chính xác rất cao, tới phần trăm
micrômet (10-8
m).
III. TÓM TẮT NỘI DUNG
1. Giao thoa ánh sáng của khe Young
* Giao thoa ánh sáng là hiện tượng gặp nhau của hai hay nhiều sóng ánh sáng kết
hợp. Kết quả là trong trường giao thoa sẽ xuất hiện những vân sáng và những vân tối xen kẽ
nhau.
* Sóng ánh sáng kết hợp là những sóng có cùng phương dao động và hiệu pha không
thay đổi theo thời gian.
* Điều kiện cực đại giao thoa là:
....2,1,0k ,kLL 21 ± ± = λ=−
Điều kiện cực tiểu giao thoa là:
....2,1,0k,
2
)1k2(LL 21 ±±=
λ
+=−
* Vị trí các vân sáng (cực đại giao thoa):
36Chương 2: Giao thoa ánh sáng
....2,1,0k ,
D kys ±±=
λ
=
l
Vị trí các vân tối (cực tiểu giao thoa):
....2,1,0k,
2
D )1k2(yt
±±=
λ
+=
l
Khoảng cách giữa hai vân sáng (hoặc vân tối) kế tiếp:
l
D i
λ
=
2. Giao thoa gây bởi bản mỏng
* Giao thoa do phản xạ: Khi phản xạ trên môi trường chiết quang hơn môi trường ánh
sáng tới, quang lộ của tia phản xạ dài thêm một đoạn λ/2.
* Giao thoa của nêm không khí: Nêm không khí là một lớp không khí hình nêm giới
hạn bởi hai bản thuỷ tinh phẳng G1, G2 có độ dày không đáng kể, đặt nghiêng với nhau một
góc nhỏ . Do sự giao thoa của các tia phản xạ ở mặt trên và mặt dưới của nêm, ta thu
được các vân thoa ở ngay mặt trên của nêm. Cực tiểu vân giao thoa (vân tối) nằm tại vị trí
ứng với bề dày của lớp không khí:
α
2
kdt
λ
= , k =0,1,2...
Tập hợp các điểm có cùng bề dày d của lớp không khí là một đoạn thẳng song song với
cạnh nêm. Tại cạnh nêm d = 0 ta có một vân tối.
Cực đại vân giao thoa (vân sáng) nằm tại vị trí ứng với bề dày lớp không khí:
4
)1k2(ds
λ
−= k =1,2,3...
Vân sáng cũng là những đoạn thẳng song song với cạnh nêm và nằm xen kẽ với vân tối.
* Vân tròn Newton: Hệ cho vân tròn Newton gồm một thấu kính phẳng - lồi đặt tiếp
xúc với một bản thủy tinh phẳng. Lớp không khí giữa thấu kính và bản thủy tinh là bản
mỏng có bề dày thay đổi.
Giống như nêm không khí, cực tiểu vân giao thoa (vân tối) nằm tại vị trí ứng với bề
dày của lớp không khí:
2
kdt
λ
= , k = 0,1,2...
và cực đại vân giao thoa (vân sáng) nằm tại vị trí ứng với bề dày lớp không khí
4
)1k2(ds
λ
−= , k = 1,2,3...
Do tính chất đối xứng của bản mỏng nên các vân giao thoa là những vòng tròn đồng
tâm gọi là vân tròn Newton.
Bán kính của vân tối thứ k:
37Chương 2: Giao thoa ánh sáng
k.Rrk λ=
Sự giao thoa cho bởi các bản mỏng có rất nhiều ứng dụng trong việc kiểm tra độ
phẳng và độ cong của các thấu kính. Người ta dùng giao thoa kế Milchelson để đo độ dài
của một vật, phép đo đạt độ chính xác tới 10-8
m.
IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT
1. Nêu định nghĩa hiện tượng giao thoa ánh sáng, điều kiện giao thoa ánh sáng. Thế nào là
sóng ánh sáng kết hợp ?
2. Tìm điều kiện cực đại, cực tiểu giao thoa. Xác định vị trí các vân giao thoa cực đại và cực
tiểu, bề rộng của các vân giao thoa.
3. Mô tả hiện tượng giao thoa khi dùng ánh sáng trắng.
4. Trình bày hiện tượng giao thoa gây bởi nêm không khí và ứng dụng.
5. Trình bày hiện tượng giao thoa cho bởi hệ vân tròn Newton và ứng dụng.
6. Mô tả và nêu ứng dụng của giao thoa kế Rayleigh.
7. Mô tả và nêu ứng dụng của giao thoa kế Milchelson.
V. BÀI TẬP
Thí dụ 1: Hai khe Young cách nhau một khoảng = 1mm, được chiếu bằng ánh sáng
đơn sắc có bước sóng λ = 0,6μm. Màn quan sát được đặt cách mặt phẳng chứa hai khe
một đoạn D=2m.
l
1.Tìm khoảng vân giao thoa.
2. Xác định vị trí của ba vân sáng đầu tiên ( coi vân sáng trung tâm là vân sáng
bậc không).
3. Xác định độ dịch của hệ vân giao thoa trên màn quan sát nếu trước một trong hai
khe đặt một bản mỏng song song, trong suốt có bề dày e =2μm, chiết suất n = 1,5.
Bài giải
1. Khoảng vân giao thoa: m10.2,1
10
2.10.6,0D i
3
3
6
−
−
−
= =
λ
=
l
2. Vị trí của vân sáng được xác định bởi công thức:
...3,2,1,0k,
Dk
ys ±±±=
λ
=
l
m10.2,1
10
2.10.6,0D y 3
3
6
s1
−
−
−
= =
λ
=
l
, m10.4,2
D2
y 3
s2
− =
λ
=
l
m10.6,3
D3
y 3
s3
− =
λ
=
l
38Chương 2: Giao thoa ánh sáng
3. Độ dịch chuyển của hệ vân:
Khi đặt bản mỏng trong suốt
trước một trong hai khe, hiệu quang
lộ giữa các tia sáng từ hai khe đến
một điểm trên màn thay đổi. Muốn
biết hệ vân dịch chuyển như thế
nào, ta phải tính hiệu quang lộ của
hai tia sáng tại một điểm trên màn.
Từ hình vẽ ta có hiệu quang lộ
( ) [] ( ) ( )e1nrrrneerLL 212 121 − + − = − + − =−
Mà
D
y
rr 21
l ′
=− , do đó e)1n(
D
y
LL 21 −+
=−
l
Vị trí vân sáng được xác định bởi điều kiện:
ll
l eD1nDk
yke1n
D
y
LL s
21
−
−
λ
= ′ →λ=−+
=−
Vị trí vân tối được xác định bởi điều kiện:
ll l
l eD1n
2
D 1k2y
2
D 1k2e1n
D
y
LL t
21
−
−
λ
+= ′ → λ
+=−+
=−
Mặt khác:
l l
D1k2
y,
Dk
y t s
λ +
=
λ
=
Hệ vân dịch chuyển một khoảng: m10.2
10
2.5,0.10.2D).1n(e
y 3
3
6
−
−
−
= =
−
=Δ
l
Thí dụ 2: Một chùm sáng song song có bước sóng λ = 0,6μm chiếu vuông góc với mặt
nêm không khí. Tìm góc nghiêng của nêm. Cho biết độ rộng của 10 khoảng vân kế tiếp ở
mặt trên của nêm bằng b = 10mm.
Bài giải:
Hiệu quang lộ hai tia:
2
1k2
2
d2L
λ
+=
λ
+=Δ
Độ dày của nêm không khí tại vị trí vân tối
thứ k:
...3,2,1,0k,
2
k
dk =
λ
=
Độ dày của nêm không khí tại vị trí vân tối thứ k+10:
39Chương 2: Giao thoa ánh sáng
2
10k
d 10k
λ+
= +
rad10.3
5
2
k
2
10k
II
dd
sin 4
21
k10k − + =
λ
=
λ
−
λ
+
=
−
=α≈α
Thí dụ 3: Một chùm sáng đơn sắc song song chiếu vuông góc với mặt phẳng của bản mỏng
không khí nằm giữa bản thuỷ tinh phẳng đặt tiếp xúc với mặt cong của thấu kính phẳng -
lồi. Bán kính của mặt lồi thấu kính là R = 6,4m. Quan sát hệ vân tròn Newton trong chùm
sáng phản xạ, người ta đo được bán kính của hai vân tối kế tiếp lần lượt là 4,0mm và
4,38mm. Xác định bước sóng của chùm sáng chiếu tới và số thứ tự của các vân nói trên.
Bài giải: Bán kính của hai vân tối kế tiếp thứ k và k + 1 trong hệ vân tròn Newton được xác
định bởi công thức:
( ) λ+=λ= + R1kr,kRr 1k k
Bước sóng chùm ánh sáng chiếu tới:
() ( ) m10.497,0
4,6
10.410.38,4
R
6
2 3 2 3 2
k
2
1k −
− −
+ =
−
=
−
=λ
Số thứ tự của vân tối thứ k:
( ) 5
10.497,0.4,6
10.4
R
k
6
2 3 2
k = =
λ
= −
−
Số thứ tự của vân tối kế tiếp là 6.
Bài tập tự giải
1. Hai khe Young cách nhau một khoảng = 1mm, được chiếu bằng ánh sáng đơn sắc, hệ
vân giao thoa quan sát được trên màn có khoảng vân i = 1,5mm. Khoảng cách từ màn quan
sát đến mặt phẳng chứa hai khe D = 3m. Tìm:
l
1. Bước sóng của ánh sáng chiếu tới.
2. Vị trí của vân sáng thứ ba và vân tối thứ tư.
Đáp số
1. m10.5,0
D
iD i
6 − ==λ⇒ λ
=
l
l
2. m10.5,4
D3
y 3
s3
− =
λ
=
l
, m10.25,5
2
D)1k2(
y 3
t 4
− =
λ +
=
l
2. Hai khe Young cách nhau một khoảng = 1mm, được chiếu bằng ánh sáng đơn sắc
có bước sóng chưa biết. Màn quan sát được đặt cách mặt phẳng chứa hai khe một đoạn
D = 2m. Khoảng cách từ vân sáng thứ nhất đến vân sáng thứ bảy là 7,2mm. Tìm:
l
1. Bước sóng của ánh sáng chiếu tới.
40Chương 2: Giao thoa ánh sáng
2. Vị trí của vân tối thứ ba và vân sáng thứ tư.
3. Độ dịch chuyển của hệ vân giao thoa trên màn quan sát, nếu đặt trước một trong
hai khe một bản mỏng song song, trong suốt, chiết suất n =1,5, bề dày e = 0,02mm.
Đáp số: Khoảng cách từ vân sáng thứ nhất đến vân sáng thứ bảy là 6i m10.2,1i
3 − =→
1. m10.6,0
D
iD i
6 − ==λ⇒ λ
=
l
l
,
2. mm8,4i4y,mm3
2
D)1k2(
y 4 s 3t
== =
λ+
=
l
3. m02,0
10
2.5,0.10.02,0D).1n(e
y
3
3
= =
−
=Δ −
−
l
3. Hai khe Young cách nhau một khoảng = 2mm, được chiếu bằng ánh sáng đơn sắc
có bước sóng λ = 0,6μm. Màn quan sát được đặt cách mặt phẳng chứa hai khe một đoạn
D = 1m.
l
1. Tìm vị trí vân sáng thứ tư và vân tối thứ năm.
2. Đặt trước một trong hai khe một bản mỏng song song, trong suốt, chiết suất n =
1,5, hệ vân giao thoa trên màn quan sát dịch một khoảng 2mm. Tìm bề dày của bản mỏng.
Đáp số
1. m10.2,1
D4
y 3
s4
− =
λ
=
l
, m10.35,1
2
D)1k2(
y 3
t5
− =
λ +
=
l
2. m10.8
D).1n(
.y
D).1n(e
y 6 − =
−
Δ
=⇒ −
=Δ
l
l
4. Hai khe Young cách nhau một khoảng = 1mm, được chiếu bằng ánh sáng đơn sắc
bước sóng λ = 0,5μm. Màn quan sát được đặt cách mặt phẳng chứa hai khe một đoạn D
= 2m.
l
1. Tìm khoảng vân giao thoa.
2. Đặt trước một trong hai khe một bản mỏng song song, trong suốt, bề dày e = 12μm,
hệ vân giao thoa trên màn quan sát dịch một khoảng 6mm. Tìm chiết suất của bản mỏng.
Đáp số
1. m10
10
2.10.5,0D i
3
3
6
−
−
−
= =
λ
=
l
,
2. 25,1
eD
eD.y
D).1n(e
y =
+ Δ
=⇒ −
=Δ
l
l
5. Hai khe Young cách nhau một khoảng = 1mm, được chiếu bằng ánh sáng đơn sắc
có bước sóng chưa biết. Khi hệ thống đặt trong không khí cho khoảng cách giữa hai vân
sáng liên tiếp i = 0,6mm. Màn quan sát được đặt cách mặt phẳng chứa hai khe D = 1m.
l
41Chương 2: Giao thoa ánh sáng
1. Tìm bước sóng của ánh sáng chiếu tới.
2. Nếu đổ vào khoảng giữa màn quan sát và mặt phẳng chứa hai khe một chất lỏng thì
khoảng cách giữa hai vân sáng liên tiếp i
= 0,45mm. Tìm chiết suất của chất lỏng.
Đáp số
1. m10.6,0
D
iD i
6 − ==λ⇒ λ
=
l
l
, 2.
3
4
i =
=⇒= ′
6. Một chùm ánh sáng đơn sắc song song có bước sóng λ = 0,5μm chiếu vuông góc với một
mặt của nêm không khí. Quan sát trong ánh sáng phản xạ, người ta đo được độ rộng của
mỗi vân giao thoa bằng i = 0,5mm.
1. Xác định góc nghiêng của nêm.
2. Chiếu đồng thời vào mặt nêm không khí hai chùm tia sáng đơn sắc có bước sóng
lần lượt là m6,0,m5,0 2 1 μ =λ μ =λ . Tìm vị trí tại đó các vân tối cho bởi hai chùm sáng
nói trên trùng nhau. Coi cạnh của bản mỏng nêm không khí là vân tối bậc không.
Đáp số
1. Độ dày của nêm không khí tại vị trí vân tối bậc k là:
2
k
dk
λ
=
Độ rộng của một vân giao thoa: rad10.5,0
i22
dd
3 k1k − + =
λ
=α→ α
λ
=
α
−
=
2. Gọi x là khoảng cách từ cạnh nêm đến vân tối thứ k trên mặt nêm. Vì bản nêm có góc
nghiêng rất nhỏ nên:
x
d
sin k =α≈α
Vị trí của vân tối thứ k: ki
2
k
x =
α
λ
=
Vị trí tại đó các vân tối của hai chùm sáng đơn sắc λ1 và λ2 trùng nhau:
12
2211
k
6
5
k
2
k
2
k
=→ α
λ
=
α
λ
k1 0 6 12 18…
k2 0 5 10 15…
x1=x2 (mm) 0 3,0 6,0 9,0…
7. Một bản mỏng nêm thuỷ tinh có góc nghiêng 2′ = α và chiết suất n = 1,52. Chiếu một
chùm sáng đơn sắc song song vuông góc với một mặt của bản. Xác định bước sóng của
chùm sáng đơn sắc nếu khoảng cách giữa hai vân tối kế tiếp bằng i = 0,3mm.
Đáp số:
Các vân tối thoả mãn điều kiện cực tiểu giao thoa:
42Chương 2: Giao thoa ánh sáng
2
1k2
2
nd2L
λ
+=
λ
−=Δ
Độ dày của bản nêm tại vị trí vân tối thứ k: ()
n2
1kdk
λ
+= . Gọi x là khoảng cách từ cạnh
nêm đến vị trí vân tối thứ k trên mặt nêm. Vì góc nghiêng của nêm rất nhỏ nên coi gần
đúng:
x
d
sin =α≈α
Độ rộng của mỗi vân giao thoa:
m529,0in2
n2
dd
xxi
k1k
k1k μ=α=λ→ α
λ
=
α
−
=−= +
+
8. Xét một hệ thống cho vân tròn Newton. Xác định bề dày của lớp không khí ở đó ta quan
sát thấy vân sáng đầu tiên, biết rằng ánh sáng tới có bước sóng λ = 0,6μm.
Đáp số: () m15,0
4
d..3,2,1k,
4
1k2d 1 s s μ=
λ
=→=
λ
−=
9. Cho một chùm sáng đơn sắc song song bước sóng λ = 0,6μm, chiếu vuông góc với mặt
phẳng của bản mỏng không khí nằm giữa bản thuỷ tinh phẳng đặt tiếp xúc với mặt cong của
một thấu kính phẳng - lồi. Tìm bề dày của lớp không khí tại vị trí vân tối thứ tư của chùm
tia phản xạ. Coi tâm của hệ vân tròn Newton là vân số 0.
Đáp số: m2,1
2
4
d...,2,1,0k,
2
k
d 4 t t
μ=
λ
=→ =
λ
=
10. Cho một chùm sáng đơn sắc song song chiếu vuông góc với mặt phẳng của bản mỏng
không khí nằm giữa bản thuỷ tinh phẳng đặt tiếp xúc với mặt cong của một thấu kính phẳng
- lồi. Bán kính mặt lồi thấu kính là R = 8,6m. Quan sát hệ vân tròn Newton qua chùm sáng
phản xạ và đo được bán kính vân tối thứ tư là r4 = 4,5mm. Xác định bước sóng của chùm
sáng đơn sắc. Coi tâm của hệ vân tròn Newton là vân số 0.
Đáp số: m589,0
R 4
R4r...3,2,1,0k,kRr
2
4
4 k μ==λ→λ=→ =λ=
11. Cho một chùm sáng đơn sắc song song chiếu vuông góc với mặt phẳng của bản mỏng
không khí nằm giữa bản thuỷ tinh phẳng đặt tiếp xúc với mặt cong của một thấu kính phẳng
- lồi. Bán kính mặt lồi thấu kính là R = 15m. Quan sát hệ vân tròn Newton qua chùm sáng
phản xạ và đo được khoảng cách giữa vân tối thứ tư và vân tối thứ hai mươi lăm bằng 9mm.
Xác định bước sóng của chùm sáng đơn sắc. Coi tâm của hệ vân tròn Newton là vân số 0.
Đáp số
m10.6,0
425R
R)425(rrkRr
6
2
2
425
425 k
− =
−
−
=λ→λ−=−→λ=
12. Người ta dùng giao thoa kế Michelson để đo độ dãn nở dài của một vật. Ánh sáng đơn
sắc dùng trong thí nghiệm có bước sóng λ = 0,6.10-6
m. Khi dịch chuyển gương di động từ vị
43Chương 2: Giao thoa ánh sáng
trí ban đầu (ứng với lúc vật chưa bị nung nóng) đến vị trí cuối (ứng với lúc sau khi vật đã bị
nung nóng), người ta quan sát thấy có 5 vạch dịch chuyển trong kính quan sát. Hỏi sau khi
dãn nở vật đã dài thêm bao nhiêu?
Đáp số: Khi dịch chuyển gương một khoảng λ/2 thì hiệu quang lộ thay đổi λ và có một vân
dịch chuyển. Vậy sau khi nung nóng vật dãn nở thêm ∆ , số vân dịch chuyển là m, nên: l
cm10.5,1
2
.m 5 − =
λ
=Δl
13.Trong thí nghiệm dùng giao thoa kế Michelson, khi dịch chuyển gương di động một
khoảng 0,161mm, người ta quan sát thấy hình giao thoa dịch đi 500 vân. Tìm bước sóng của
ánh sáng dùng trong thí nghiệm.
Đáp số: m644,0
.2
μ=
Δ
=λ
l
44Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng
CHƯƠNG III: NHIỄU XẠ ÁNH SÁNG
I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU
1. Nắm được nguyên lí Huygens – Fresnel và phương pháp đới cầu Fresnel để tính biên độ
dao động sáng tổng hợp tại một điểm nào đó.
2. Vận dụng phương pháp đới cầu Fresnel để xét nhiễu xạ qua một lỗ tròn nhỏ, một đĩa tròn
nhỏ và một khe hẹp.
3. Nắm được nhiễu xạ qua cách tử, nhiễu xạ trên tinh thể.
II. NỘI DUNG
§1. NHIỄU XẠ ÁNH SÁNG CỦA SÓNG CẦU
1. Hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng
Ánh sáng từ nguồn S truyền qua một lỗ
tròn nhỏ trên màn P. Sau P đặt màn quan sát E,
trên màn E ta nhận được hình tròn sáng đường
kính B’D’ đồng dạng với lỗ tròn BD. Theo định
luật truyền thẳng của ánh sáng, nếu thu nhỏ lỗ
tròn P thì hình tròn sáng trên màn E nhỏ lại.
Thực nghiệm chứng tỏ rằng khi thu nhỏ lỗ tròn
đến một mức nào đó thì trên màn E xuất hiện
những vân tròn sáng tối xen kẽ nhau. Trong vùng
tối hình học (ngoài B’D’) ta cũng nhận được
Hình 3-1: Hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng
vân sáng và trong vùng sáng hình học (vùng B’D’) cũng có vân tối. Tại C có thể nhận được
điểm tối hay sáng phụ thuộc vào kích thước của lỗ tròn và khoảng cách từ màn E đến màn
P. Như vậy ánh sáng khi đi qua lỗ tròn đã bị lệch khỏi phương truyền thẳng.
Định nghĩa: Hiện tượng tia sáng bị lệch khỏi phương truyền thẳng khi đi gần các chướng
ngại vật có kích thước nhỏ được gọi là hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng.
Chướng ngại vật có thể là mép biên hay vật cản hoặc một lỗ tròn có kích thước cùng cỡ
bước sóng của ánh sáng chiếu tới.
Hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng có thể giải thích dựa vào nguyên lí Huygens-Fresnel. Nguyên
lí đó được phát biểu như sau.
Nguyên lí Huygens - Fresnel
45Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng
- Mỗi điểm trong không gian được sóng ánh sáng từ nguồn thực gửi đến đều trở
thành nguồn sáng thứ cấp phát sóng ánh sáng về phía trước.
- Biên độ và pha của nguồn thứ cấp là biên độ và pha do nguồn thực gây ra tại vị trí
của nguồn thứ cấp.
Theo nguyên lí Huygens–Fresnel, khi ánh sáng chiếu đến lỗ tròn, các điểm trên lỗ tròn
đều trở thành nguồn thứ cấp phát sóng cầu thứ cấp. Bao hình của các mặt sóng cầu thứ cấp là
mặt sóng. Ở mép của lỗ tròn mặt sóng bị uốn cong và tia sóng luôn vuông góc với mặt sóng,
do đó ở mép biên các tia sóng bị đổi phương so với phương của sóng tới (hình 3-2)
Hình 3-2. Giải thích định tính hiện tượng nhiễu xạ
Mỗi nguồn sáng thứ cấp trên mặt lỗ tròn BD có biên độ và pha dao động đúng bằng
biên độ và pha dao động do nguồn sáng S gây ra tại điểm đó. Dao động sáng tại mỗi điểm
trên màn ảnh E sẽ bằng tổng các dao động sáng do những nguồn sáng thứ cấp trên lỗ tròn
BD gây ra tại điểm đó. Từ biểu thức của hàm sóng, dựa vào nguyên lí Huygens-Fresnel
người ta có thể tìm được biểu thức định lượng của dao động sáng tại một điểm M trên màn
hình E, nhưng việc tính toán khá phức tạp vì phải tính tích phân. Fresnel đã đưa ra một
phương pháp tính đơn giản gọi là phương pháp đới cầu Fresnel.
2. Phương pháp đới cầu Fresnel
Hình 3-3
46Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng
Xét nguồn sáng điểm S phát ánh sáng đơn sắc và điểm được chiếu sáng M. Lấy S làm
tâm dựng mặt cầu Σ bao quanh S, bán kính R < SM. Đặt MB = b. Lấy M làm tâm vẽ các
mặt cầu có bán kính lần lượt là b, ...,, 210 ΣΣΣ
2
λ
+ ,
2
2b
λ
+ ... , trong đó là bước sóng
do nguồn S phát ra. Các mặt cầu
λ
...,, 210 Σ Σ Σ chia mặt cầu Σ thành các đới gọi là đới cầu
Fresnel. Với cách dựng như vậy, người ta chứng minh được rằng diện tích các đới cầu bằng
nhau và bằng:
λ
+
=Δ
b R
Rb
S ( 3-1)
Bán kính
k r của đới cầu thứ k bằng:
k
bR
Rb
rk
+
λ
= với k = 1, 2, 3... (3-2)
Theo nguyên lí Huygens, mỗi đới cầu trở thành nguồn sáng thứ cấp phát ánh sáng tới
điểm M. Gọi ak là biên độ dao động sáng do đới cầu thứ k gây ra tại M. Khi k tăng, các đới
cầu càng xa điểm M và góc nghiêng θ tăng (hình 3-3), do đó ak giảm: a1 > a2 > a3 ... Khi k
khá lớn thì 0ak ≈ .
Vì khoảng cách từ đới cầu đến điểm M và góc nghiêng θ tăng rất chậm nên ak giảm
chậm, ta có thể coi ak do đới cầu thứ k gây ra là trung bình cộng của ak-1 và ak+1:
)aa(
2
1
a 1k1kk +− += (3-3)
Khoảng cách của hai đới cầu kế tiếp tới điểm M khác nhau 2/ λ . Các đới cầu đều
nằm trên mặt sóng Σ, nghĩa là pha dao động của tất cả các điểm trên mọi đới cầu đều như
nhau. Kết quả, hiệu pha của hai dao động sáng do hai đới cầu kế tiếp gây ra tại M là:
π=
λ
λ
=−
λ
=ϕΔ
2
.
2
)LL(
2
21 (3-4)
Như vậy hai dao động sáng đó ngược pha nhau nên chúng sẽ khử lẫn nhau. Vì M ở
khá xa mặt Σ, ta coi các dao động sáng do các đới cầu gây ra tại M cùng phương, do đó dao
động sáng tổng hợp do các đới gây ra tại M sẽ là:
a = a1 - a2 + a3 - a4+... (3-5)
Sau đây chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đới cầu Fresnel để khảo sát hiện tượng
nhiễu xạ của ánh sáng qua lỗ tròn, đĩa tròn và qua khe hẹp.
3. Nhiễu xạ qua lỗ tròn
Xét nguồn sáng điểm S, phát ánh sáng đơn sắc qua lỗ tròn AB trên màn chắn P đến
điểm M, S và M nằm trên trục của lỗ tròn. Lấy S làm tâm dựng mặt cầu Σ tựa vào lỗ tròn
AB. Lấy M làm tâm vẽ các đới cầu Fresnel trên mặt Σ. Giả sử lỗ chứa n đới cầu. Biên độ
dao động sáng tổng hợp tại M là:
47Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng
n4321 a...aaaaa ± +−+−=
Hình 3-4. Nhiễu xạ qua lỗ tròn
Ta có thể viết:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−≈−
++ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+=
−
2
a
a
2
a
2
a
...
2
a
a
2
a
2
a
a
2
a
2
a
a
1n
5
4
33
2
11
Vì các biểu thức trong dấu ngoặc bằng không, nên:
2
a
2
a
a
n1
±= (3-6)
Lấy dấu + nếu đới n là lẻ và dấu - nếu đới n là chẵn. Ta xét các trường hợp sau:
* Khi không có màn chắn P hoặc kích thước lỗ tròn rất lớn: 0a,n n ≈ ∞ → nên cường độ
sáng tại M:
4
a
aI
2
1 2
0 == (3-7)
* Nếu lỗ chứa số lẻ đới cầu
2
a
2
a
a n1 +=
2
n1
2
a
2
a
I ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+= (3-8)
I > I0, điểm M sáng hơn khi không có màn P. Đặc biệt nếu lỗ chứa một đới cầu
1
11 a
2
a
2
a
a =+= và (3-9)
0
2
1 I4aI ==
Cường độ sáng gấp 4 lần so với khi không có lỗ tròn, như vậy điểm M rất sáng.
* Nếu lỗ chứa số chẵn đới cầu
2
a
2
a
a n1 −= (3-10)
48Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng
2
n1
2
a
2
a
I ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= (3-11)
I < I0, điểm M tối hơn khi không có lỗ tròn. Nếu lỗ tròn chứa hai đới cầu thì
0
2
a
2
a
a 21 ≈−= , do đó I = 0, điểm M tối nhất.
Tóm lại điểm M có thể sáng hơn hoặc tối hơn so với khi không có lỗ tròn tùy theo
kích thước của lỗ và vị trí của màn quan sát.
4. Nhiễu xạ qua một đĩa tròn
Giữa nguồn sáng S và điểm M có một đĩa tròn
chắn sáng bán kính ro. Giả sử đĩa che khuất m đới cầu
Fresnel đầu tiên. Biên độ dao động tại M là:
....aaaa 3m2m1m − +−= +++
...
2
a
a
2
a
2
a
a 3m
2m
1m1m + ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+= +
+
+ +
Hình 3-5. Nhiễu xạ qua một đĩa tròn
Vì các biểu thức ở trong ngoặc có thể coi bằng không, do đó:
2
a
a 1m+ = (3-12)
Nếu đĩa chỉ che ít đới cầu thì am+1 không khác a1 là mấy, do đó cường độ sáng tại M
cũng giống như trường hợp không có chướng ngại vật giữa S và M. Trong trường hợp đĩa
che nhiều đới cầu thì am+1 0 ≈ do đó cường độ sáng tại M bằng không.
§2. NHIỄU XẠ ÁNH SÁNG CỦA SÓNG PHẲNG
1. Nhiễu xạ của sóng phẳng qua một khe hẹp
Để tạo ra chùm sáng song song, người ta đặt nguồn sáng S tại tiêu điểm của thấu kính
hội tụ Lo. Chiếu chùm sáng đơn sắc song song bước sóng λ vào khe hẹp có bề rộng b (hình
3-6). Sau khi đi qua khe hẹp, tia sáng sẽ bị nhiễu xạ theo nhiều phương. Tách các tia nhiễu
xạ theo một phương nào đó chúng sẽ gặp nhau ở vô cùng. Muốn quan sát ảnh nhiễu xạ
chúng ta sử dụng thấu kính hội tụ L, chùm tia nhiễu xạ sẽ hội tụ tại điểm M trên mặt phẳng
tiêu của thấu kính hội tụ L. Với các giá trị
ϕ
ϕ khác nhau chùm nhiễu xạ sẽ hội tụ tại các
điểm khác nhau. Tùy theo giá trị của ϕ điểm M có thể sáng hoặc tối. Những điểm sáng tối
này nằm dọc trên đường thẳng vuông góc với chiều dài khe hẹp và được gọi là các cực đại
và cực tiểu nhiễu xạ.
49Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng
Hình 3-6. Nhiễu xạ qua một khe hẹp
Vì ánh sáng gửi đến khe là sóng phẳng nên mặt phẳng khe là mặt sóng, các sóng thứ
cấp trên mặt phẳng khe dao động cùng pha. Xét các tia nhiễu xạ theo phương =0, chúng
hội tụ tại điểm F. Mặt phẳng khe và mặt quan sát là hai mặt trực giao do đó theo định lí
Malus, các tia sáng gửi từ mặt phẳng khe tới điểm F có quang lộ bằng nhau và dao động
cùng pha nên chúng tăng cường nhau. Điểm F rất sáng và được gọi là cực đại giữa.
ϕ
Xét trường hợp 0 ≠ ϕ . Áp dụng ý tưởng của phương pháp đới cầu Fresnel ta vẽ các
mặt phẳng vuông góc với chùm tia nhiễu xạ và cách đều nhau một khoảng
/2, chúng sẽ chia mặt khe thành các dải sáng nằm song song với bề rộng của khe hẹp. Bề
rộng của mỗi dải là
,...,, 210 ΣΣΣ
λ
ϕ
λ
=
sin2
l và số dải trên khe sẽ là:
λ
ϕ
==
sinb2b
N
l
(3-13)
Theo nguyên lí Huygens, những dải này là nguồn sáng thứ cấp dao động cùng pha (vì
nằm trên cùng một mặt sóng) và phát ánh sáng đến điểm M. Vì quang lộ của hai tia sáng từ
hai dải kế tiếp đến điểm M khác nhau λ /2 nên dao động sáng do hai dải kế tiếp gửi tới M
ngược pha nhau và chúng sẽ khử nhau. Kết quả là nếu khe chứa số chẵn dải (N = 2k) thì
dao động sáng do từng cặp dải kế tiếp gây ra tại M sẽ khử lẫn nhau và điểm M sẽ tối và là
cực tiểu nhiễu xạ. Điều kiện điểm M tối là:
k2
sinb2
N =
λ
ϕ
=
hay
ksin
λ
=ϕ với ...3,2,1k ± ± ± = (3-14)
Nếu khe chứa một số lẻ dải (N = 2k+1) thì dao động sáng do từng cặp dải kế tiếp gửi
tới điểm M sẽ khử lẫn nhau, còn dao động sáng do dải cuối cùng gửi tới thì không bị khử.
Kết quả điểm M sẽ sáng và được gọi là cực đại nhiễu xạ bậc k. Cường độ sáng của các cực
đại này nhỏ hơn rất nhiều so với cực đại giữa. Điều kiện điểm M sáng là:
50Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng
1k2
sinb2
N +=
λ
ϕ
=
hay
b 2
)1k2(sin
λ
+=ϕ với ...3,2,1k ± ± = (3-15)
Tóm lại ta có các điều kiện cực đại, cực tiểu nhiễu xạ qua một khe hẹp như sau:
- Cực đại giữa (k=0) : 0sin = ϕ
- Cực tiểu nhiễu xạ : ,...
3,
2,
λ
±
λ
±
λ
±=ϕ
- Cực đại nhiễu xạ : ...,
b 2
5,
b 2
3sin
λ
±
λ
±=ϕ
Đồ thị phân bố cường độ sáng trên màn quan sát cho bởi hình 3-7.
Hình 3-7. Hình nhiễu xạ của sóng phẳng qua một khe hẹp
Nhận xét thấy các cực đại nhiễu xạ bậc k = 1,2,3...nằm xen giữa các cực tiểu nhiễu xạ
và phân bố đối xứng ở hai bên cực đại giữa. Cực đại giữa có bề rộng gấp đôi các cực đại
khác. Theo tính toán lí thuyết, cường độ sáng của các cực đại nhiễu xạ tuân theo hệ thức sau
I0 : I1 : I2 : I3 : ....= 1 : 0,045 : 0,016 : 0,008 : ...
2. Nhiễu xạ của sóng phẳng truyền qua cách tử phẳng
Cách tử phẳng là một hệ nhiều khe hẹp giống nhau có độ rộng b, nằm song song cách đều
trên cùng một mặt phẳng. Khoảng cách d giữa hai khe kế tiếp được gọi là chu kì của cách
tử.
Số khe hẹp trên một đơn vị chiều dài:
d
1
n =
51Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng
Xét một cách tử phẳng có N khe hẹp. Bề
rộng của một khe là b, chu kì của cách tử là d.
Chiếu chùm sáng đơn sắc song song bước sóng λ
vuông góc với mặt cách tử. Vì các khe có thể coi
là nguồn kết hợp, do đó ngoài hiện tượng nhiễu xạ
gây bởi một khe còn có hiện tượng giao thoa gây
bởi các khe. Do đó ảnh nhiễu xạ qua cách tử sẽ
phức tạp hơn nhiều so với ảnh nhiễu xạ qua một
khe hẹp. Ta sẽ khảo sát ảnh nhiễu xạ qua cách tử:
Hình 3-8. Nhiễu xạ qua cách tử
- Tất cả N khe hẹp đều cho cực tiểu nhiễu xạ tại những điểm trên màn ảnh thỏa mãn điều
kiện:
ksin
λ
=ϕ với k = ±1,±2,±3... (3-16)
Những cực tiểu này được gọi là cực tiểu chính.
- Xét phân bố cường độ sáng giữa hai cực tiểu chính:
Hiệu quang lộ của hai tia sáng xuất phát từ hai khe kế tiếp đến điểm M là
. Nếu hiệu quang lộ đó bằng số nguyên lần bước sóng ϕ=− sindLL 21
λ = ϕ =− msindLL 21 thì dao động sáng do hai tia đó gây ra tại M cùng pha và tăng
cường lẫn nhau. Kết quả điểm M sáng. Các điểm đó được gọi là cực đại chính. Vị trí các
cực đại chính là:
d
λ
=ϕ với m = 0, ±1, ±2, ±3.... (3-17)
Số nguyên m là bậc của cực đại chính. Cực đại chính giữa (m = 0) nằm tại tiêu điểm F của
thấu kính. Vì d > b nên giữa hai cực tiểu chính có thể có nhiều cực đại chính. Ví dụ: k = 1
và d/b = 3 . Do
k
d
m λ
<
λ
nên 3
d
km =< , nghĩa là m = 0, ±1, ±2. Như vậy giữa hai
cực tiểu chính có 5 cực đại chính.
Hình 3-9 Ảnh nhiễu xạ qua ba khe hẹp
52Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng
- Xét phân bố cường độ sáng giữa hai cực đại chính:
Tại điểm chính giữa hai cực đại chính kế tiếp, góc nhiễu xạ thỏa mãn điều kiện:
d 2
)1m2(sin
λ
+=ϕ với m = 0,±1,±2...
Tại các điểm này, hiệu quang lộ của hai tia gửi từ hai khe kế tiếp có giá trị là:
2
)1m2(sind
λ
+=ϕ . Đây là điều kiện cực tiểu giao thoa, hai tia đó sẽ khử lẫn nhau. Tuy
nhiên điểm chính giữa đó chưa chắc đã tối. Để minh họa cụ thể ta xét hai trường hợp đơn
giản sau:
+ Nếu số khe hẹp N = 2 (số chẵn) thì các dao động sáng do hai khe hẹp gửi tới sẽ
khử nhau hoàn toàn và điểm chính giữa đó sẽ tối. Điểm tối đó được gọi là cực tiểu phụ.
+ Nếu số khe hẹp N = 3 (số lẻ) thì các dao động sáng do hai khe hẹp gửi tới sẽ khử
nhau, còn dao động sáng do khe thứ ba gây ra không bị khử. Kết quả là giữa hai cực đại
chính là một cực đại. Cực đại này có cường độ khá nhỏ, nên được gọi là cực đại phụ. Rõ
ràng giữa cực đại phụ này và hai cực đại chính hai bên phải có hai cực tiểu phụ.
Người ta chứng minh được rằng, nếu cách tử có N khe hẹp thì giữa hai cực đại chính
sẽ có N-1 cực tiểu phụ và N-2 cực đại phụ. Hình 3-9 biểu diễn ảnh nhiễu xạ qua ba khe hẹp.
Cách tử phẳng có thể dùng để đo bước sóng ánh sáng, ứng dụng trong máy đơn sắc...
Từ công thức (3-17) nếu ta biết được chu kì của cách tử, bằng cách đo góc ϕ ứng với cực
đại chính bậc m ta có thể xác định được bước sóng ánh sáng.
3. Nhiễu xạ trên tinh thể
Các nguyên tử (phân tử hay ion) cấu tạo
nên vật rắn tinh thể được sắp xếp theo một cấu
trúc tuần hoàn gọi là mạng tinh thể, trong đó vị
trí của các nguyên tử (phân tử hay ion) gọi là nút
mạng. Khoảng cách giữa các nút mạng, đặc trưng
cho tính tuần hoàn, được gọi là chu kì của mạng
tinh thể. Chiếu lên tinh thể một chùm tia
Rơnghen, mỗi nút mạng trở thành tâm nhiễu xạ
và mạng tinh thể đóng vai trò như một cách tử
với chu kì là chu kì của mạng tinh thể. Chùm tia
Hình 3-10. Nhiễu xạ trên tinh thể
Rơnghen sẽ nhiễu xạ theo nhiều phương, tuy nhiên chỉ theo phương phản xạ gương
(phương mà góc phản xạ bằng góc tới), cường độ của tia nhiễu xạ đủ lớn để ta có thể quan
sát được ảnh nhiễu xạ. Những tia nhiễu xạ này sẽ giao thoa với nhau và cho cực đại nhiễu
xạ nếu hai tia nhiễu xạ kế tiếp có hiệu quang lộ bằng số nguyên lần bước sóng
Δ λ = ϕ = ksind2L
hay
53Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng
d 2
ksin
λ
=ϕ (3-18)
d là khoảng cách giữa hai mặt phẳng nguyên tử của vật rắn tinh thể (chu kì mạng tinh thể).
Công thức (3-18) gọi là công thức Vulf-Bragg. Đây là công thức cơ bản để phân tích cấu
trúc của vật rắn tinh thể bằng tia Rơnghen. Nếu biết bước sóng của tia Rơnghen và đo góc
ta có thể xác định được chu kì d của mạng tinh thể. ϕ
III. TÓM TẮT NỘI DUNG
1. Hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng
* Định nghĩa: Hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng là hiện tượng tia sáng bị lệch khỏi
phương truyền thẳng khi đi qua các chướng ngại vật có kích thước nhỏ như lỗ tròn, khe hẹp,
đĩa tròn...
* Nguyên lí Huygens - Fresnel:
- Mỗi điểm trong không gian được sóng ánh sáng từ nguồn thực gửi đến đều trở
thành nguồn sáng thứ cấp phát sóng ánh sáng về phía trước.
- Biên độ và pha của nguồn thứ cấp là biên độ và pha do nguồn thực gây ra tại vị
trí của nguồn thứ cấp.
2. Phương pháp đới cầu Fresnel
Diện tích các đới cầu bằng nhau và bằng:
λ
+
=Δ
b R
Rb
S
Bán kính
k r của đới cầu thứ k bằng:
k
bR
Rb
rk
+
λ
= k=1,2,3...
trong đó R là bán kính của mặt sóng bao quanh nguồn sáng điểm S
b là khoảng cách từ điểm được chiếu sáng M tới đới cầu thứ nhất.
λ là bước sóng do nguồn S phát ra.
3. Nhiễu xạ sóng cầu qua lỗ tròn
Áp dụng phương pháp đới cầu Fresnel, ta tính được biên độ của ánh sáng tổng hợp tại
M, cách nguồn S một khoảng R+b:
2
a
2
a
a n1 ±=
Lấy dấu + nếu n là lẻ và dấu - nếu n là chẵn. Ta xét các trường hợp sau:
* Khi không có màn chắn P hoặc lỗ tròn rất lớn: 0a,n n ≈ ∞ → nên cường độ
sáng tại M:
54Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng
4
a
aI
2
1 2
0 ==
* Nếu lỗ chứa số lẻ đới cầu:
2
a
2
a
a n1 +=
2
n1
2
a
2
a
I ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
I > I0, điểm M sáng hơn khi không có màn P. Đặc biệt nếu lỗ chứa một đới cầu
1
11 a
2
a
2
a
a =+= và
0
2
1 I4aI ==
Cường độ sáng gấp 4 lần so với khi không có lỗ tròn, như vậy điểm M rất sáng.
* Nếu lỗ chứa số chẵn đới cầu
2
a
2
a
a n1 −=
2
n1
2
a
2
a
I ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
I < I0, điểm M tối hơn khi không có lỗ tròn. Nếu lỗ tròn chứa hai đới cầu thì
0
2
a
2
a
a 21 ≈−= , do đó I = 0, điểm M tối nhất.
Tóm lại điểm M có thể sáng hơn hoặc tối hơn so với khi không có lỗ tròn tuỳ theo
kích thước của lỗ và vị trí của màn quan sát.
4. Nhiễu xạ của sóng phẳng qua một khe hẹp
Áp dụng phương pháp đới cầu Fresnel ta tính toán được biên độ dao động sáng tổng
hợp tại một điểm M trên màn quan sát. Kết quả ta có các điều kiện cực đại, cực tiểu nhiễu
xạ qua một khe hẹp như sau:
- Cực đại giữa (k=0) : 0sin = ϕ
- Cực tiểu nhiễu xạ : ,...
3,
2,
λ
±
λ
±
λ
±=ϕ
- Cực đại nhiễu xạ : ...,
b 2
5,
b 2
3sin
λ
±
λ
±=ϕ
Trên đồ thị phân bố cường độ sáng ta thấy cực đại giữa rất sáng, các cực đại nhiễu xạ
bậc k=1,2,3...nằm xen giữa các cực tiểu nhiễu xạ và phân bố đối xứng ở hai bên cực đại
giữa. Cực đại giữa có bề rộng gấp đôi các cực đại khác. Theo tính toán lí thuyết, cường độ
sáng của các cực đại nhiễu xạ tuân theo hệ thức sau:
I0 : I1 : I2 : I3 : ....= 1 : 0,045 : 0,016 : 0,008 : ...
5. Nhiễu xạ qua nhiều khe – Cách tử
55Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng
Cách tử phẳng là một hệ nhiều khe hẹp giống nhau có độ rộng b, nằm song song cách
đều trên cùng một mặt phẳng. Khoảng cách d giữa hai khe kế tiếp được gọi là chu kì của
cách tử. Người ta có thể chế tạo được các cách tử dài 10cm, trên mỗi mm có từ 500 – 1200
vạch. Các cách tử này có thể sử dụng để xác định bước sóng ánh sáng đơn sắc, xác định
thành phần cấu tạo của các chất và dùng trong máy quang phổ...
Đối với vật rắn tinh thể, mạng tinh thể đóng vai trò một cách tử không gian ba chiều.
Sự nhiễu xạ của các tia X trên các nút mạng cho ta kết quả:
λ=ϕ ksind2
d là khoảng cách giữa hai nút mạng, gọi là hằng số mạng. Đây là công thức Vulf-Bragg,
được dùng để xác định cấu trúc của vật rắn tinh thể.
IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT
1. Nêu định nghĩa hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng. Dùng nguyên lí Huygens giải thích định
tính hiện tượng nhiễu xạ.
2. Phát biểu nguyên lí Huygens-Fresnel.
3. Trình bày phương pháp đới cầu Fresnel.
4. Giải thích hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng qua lỗ tròn nhỏ. Xét các trường hợp lỗ tròn chứa
một số lẻ đới cầu, một số chẵn đới cầu, đặc biệt chứa một đới cầu và hai đới cầu.
5. Mô tả hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng qua một khe hẹp. Tìm điều kiện cực đại, cực tiểu
nhiễu xạ. Vẽ ảnh nhiễu xạ của sóng phẳng qua một khe hẹp.
6. Định nghĩa cách tử phẳng và nêu ứng dụng của cách tử.
7. Trình bày nhiễu xạ của tia X trên tinh thể. Công thức Vulf- Bragg. Nêu ứng dụng của
hiện tượng nhiễu xạ tia X.
V. BÀI TẬP
Thí dụ 1: Một nguồn sáng điểm chiếu ánh sáng đơn sắc bước sóng λ = 0,5μm vào một lỗ
tròn có bán kính r = 0,5mm. Khoảng cách từ nguồn sáng đến lỗ tròn R = 1m.Tìm khoảng
cách từ lỗ tròn đến màn quan sát để tâm nhiễu xạ là tối nhất.
Đáp số: Để tâm của hình nhiễu xạ là tối nhất thì lỗ tròn chỉ chứa 2 đới cầu Fresnel, bán kính
của lỗ tròn bằng bán kính của đới cầu thứ 2
3
1
10.25,010.5,0.2
10.25,0
rR2
Rr
bR
Rb2
6 6
6
2
2
2
2
2 =
−
=
−λ
=⇒=
+
λ
=
− −
−
Thí dụ 2: Một chùm tia sáng đơn sắc có bước sóng λ = 0,5μm được chiếu vuông góc với
một khe hẹp chữ nhật có bề rộng b = 0,1mm, ngay sau khe hẹp đặt một thấu kính hội tụ.
Tìm bề rộng của vân cực đại giữa trên màn quan sát đặt tại mặt phẳng tiêu của thấu kính và
cách thấu kính D = 1m.
56Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng
Bài giải: Bề rộng của vân cực đại giữa là
khoảng cách giữa hai cực tiểu nhiễu xạ đầu
tiên ở hai bên cực đại giữa. Độ lớn của góc
nhiễu xạ φ ứng với các cực tiểu nhiễu xạ đó
là:
λ
=ϕ .
Từ hình vẽ ta thấy
cm1
10.1,0
10.5,0.1.2
D2
sinD2Dtg2
3
6
= =
λ
=→
ϕ≈ϕ=
−
−
l
l
Thí dụ 3: Cho một chùm tia sáng đơn sắc song song có bước sóng λ = 0,5μm, chiếu vông
góc với mặt của một cách tử phẳng truyền qua. Ở sát phía sau của cách tử người ta đặt một
thấu kính hội tụ có tiêu cự f = 50cm. Khi đó trên màn quan sát đặt tại mặt phẳng tiêu của
thấu kính, hai vạch quang phổ bậc nhất cách nhau một khoảng a = 10,1cm. Xác định:
1. Chu kỳ cách tử và số khe trên 1cm chiều dài của cách tử.
2. Số vạch cực đại chính trong quang phổ nhiễu xạ.
Bài giải
1.Vị trí các cực đại chính trong quang phổ
nhiễu xạ xác định bởi công thức:
...3,2,1,0m,
d
m sin ±±±=
λ
=ϕ
Do vậy vị trí hai vạch cực đại chính của
quang phổ bậc nhất ứng với góc lệch φ1
bằng:
d
sin 1
λ
=ϕ , vì φ1 rất nhỏ nên
.
11 sintg ϕ≈ϕ
Từ hình vẽ, ta có
f2
L
OF
FM tg 1
1 ==ϕ
So sánh
1
tgϕ với
1
sin ϕ ta có chu kỳ cách tử:
m95,4
10.1,10
10.5,0.10.50.2
L
f2
d
2
62
μ= =
λ
= −
−−
Số khe trên 1cm chiều dài của cách tử: cm/khe2020
d
1
n ==
2. Từ công thức:
d
λ
=ϕ , mà 9,9
10.5,0
10.95,4d
m1sin
6
6
= =
λ
〈→〈ϕ −
−
57Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng
Vì m nguyên nên có thể lấy các giá trị: 0, 1,2 ,3 ,4, 5, 6, 7, 8, 9.
Do đó các vạch cực đại chính tối đa trong quang phổ nhiễu xạ của cách tử bằng:
Nmax = 2.9 + 1 = 19 vạch.
Bài tập tự giải
1. Chiếu ánh sáng đơn sắc bước sóng λ = 0,5μm vào một lỗ tròn bán kính chưa biết. Nguồn
sáng điểm đặt cách lỗ tròn 2m, sau lỗ tròn 2m đặt màn quan sát. Hỏi bán kính của lỗ tròn
bằng bao nhiêu để tâm của hình nhiễu xạ là tối nhất.
Đáp số: Để tâm của hình nhiễu xạ là tối nhất thì lỗ tròn chỉ chứa 2 đới cầu Fresnel:
m10
4
10.5,0.2.2.2
bR
kRb
3
6
−
−
= =
+
λ
=
2. Một màn ảnh được đặt cách nguồn sáng điểm đơn sắc bước sóng λ = 0,5μm một khoảng
2m. Chính giữa màn ảnh và nguồn sáng đặt một lỗ tròn đường kính 0,2cm. Tìm số đới cầu
Fresnel mà lỗ tròn chứa được.
Đáp số: Bán kính của lỗ tròn bằng bán kính của đới cầu thứ k
4
Rb
)bR(r
k
bR
kRb
2
=
λ
+
=⇒ +
λ
=
3. Một nguồn sáng điểm chiếu ánh sáng đơn sắc bước sóng λ = 0,5μm vào một lỗ tròn có
bán kính r = 1mm. Khoảng cách từ nguồn sáng đến lỗ tròn R= 1m. Tìm khoảng cách từ lỗ
tròn đến màn quan sát để lỗ tròn chứa ba đới Fresnel.
Đáp số: Để lỗ tròn chỉ chứa ba đới cầu Fresnel có nghĩa là bán kính của lỗ tròn bằng bán
kính của đới cầu thứ ba: m2
1010.5,0.3
10
rR3
Rr
bR
Rb3
66
6
2
3
2
3
3 =
−
=
−λ
=⇒ +
λ
= −−
−
4. Đặt một màn quan sát cách một nguồn sáng điểm phát ra ánh sáng đơn sắc bước sóng
λ = 0,6μm một khoảng x. Chính giữa khoảng x đặt một đĩa tròn nhỏ chắn sáng đường kính
1mm. Hỏi x bằng bao nhiêu để điểm M0 trên màn quan sát có độ sáng gần giống như chưa
đặt đĩa tròn, biết điểm M0 và nguồn sáng đều nằm trên trục của đĩa tròn.
Đáp số: Muốn cường độ sáng tại M0 gần giống như khi chưa có đĩa tròn thì đĩa tròn chỉ
chắn một đới cầu Fresnel:
m67,1
10.6,0
)10.5,0.(4
2R x;
r2
RbR ;
bR
Rb
6
23 2
1 = ==
λ
=⇒=
+
λ
=
−
−
5. Một chùm tia sáng đơn sắc song song bước sóng λ = 0,589μm chiếu thẳng góc với một
khe hẹp có bề rộng b = 2μm. Hỏi những cực tiểu nhiễu xạ được quan sát dưới những góc
nhiễu xạ bằng bao nhiêu? (so với phương ban đầu)
Đáp số: Áp dụng công thức:
58Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng
1sin,
k
sin 〈ϕ
λ
=ϕ 0
3
0
2
0
1 62,536,817 =ϕ ′ =ϕ ′ =ϕ→
6. Chiếu một chùm tia sáng đơn sắc song song vuông góc với một khe hẹp. Bước sóng ánh
sáng bằng
6
1
bề rộng của khe hẹp. Hỏi cực tiểu nhiễu xạ thứ ba được quan sát dưới góc
lệch bằng bao nhiêu?
Đáp số: φ = 300
7. Một chùm tia sáng được rọi vuông góc với một cách tử. Biết rằng góc nhiễu xạ đối với
vạch quang phổ λ1 = 0,65μm trong quang phổ bậc hai bằng φ1 = 450
. Xác định góc nhiễu
xạ ứng với vạch quang phổ λ2 = 0,5μm trong quang phổ bậc ba.
Đáp số:
0454
2
sin3
sinn3nmsin,n2nmsin 0
2
1
12
2 22221111 ′ =ϕ→ λ
ϕλ
=ϕ→λ=λ=ϕλ=λ=ϕ
8. Cho một chùm tia sáng đơn sắc song song có bước sóng λ = 0,7μm chiếu vuông góc với
mặt của một cách tử truyền qua. Trên mặt phẳng tiêu của thấu kính hội tụ đặt ở sát phía sau
cách tử, người ta quan sát thấy vạch quang phổ bậc ba lệch . Xác định: 63480 ′ =ϕ
1. Chu kỳ cách tử và số khe trên 1cm chiều dài của cách tử.
2. Số cực đại chính nằm trong khoảng giữa hai cực tiểu chính bậc nhất trong ảnh
nhiễu xạ. Cho biết mỗi khe của cách tử có độ rộng b = 0,7μm, 75,06348sin 0
= ′
Đáp số:
1.Góc nhiễu xạ ứng với các cực đại chính được xác định bởi công thức:
cm10.8,2
m d
d
m sin 4 − =
ϕ
λ
=→ λ
=ϕ
Số khe trên 1cm chiều dài của cách tử: cm/khe3571
d
1
n ≈=
2. Góc nhiễu xạ ứng với cực tiểu chính trong ảnh nhiễu xạ được xác định bởi công thức:
k
λ
=ϕ , số cực đại chính nằm giữa hai cực tiểu chính bậc nhất phải thoả mãn điều kiện:
4
dk
k
d
=〈→ λ
〈
λ
. Vậy giữa hai cực tiểu chính bậc nhất có 7 cực đại chính.
9. Cho một cách tử phẳng có chu kỳ cách tử d = 2μm. Sau cách tử đặt một thấu kính hội tụ,
trên màn quan sát đặt tại mặt phẳng tiêu của thấu kính người ta quan sát thấy khoảng cách
giữa hai quang phổ bậc nhất ứng với bước sóng λ1 = 0,4044μm và λ2 = 0,4047μm bằng
0,1mm. Xác định tiêu cự của thấu kính.
Đáp số:
59Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng
Góc nhiễu xạ ứng với cực đại:
d
λ
=ϕ
Vị trí cực đại ứng với góc nhiễu xạ:
ϕ== tg.fMFy
d
sin,
d
,mm1,0yy,
yy
f
1
1
2
2
12
12
12
λ
=ϕ
λ
=ϕ
=−
ϕ−ϕ
−
=→
m65,0f =→
10. Một chùm ánh sáng trắng song song chiếu vuông góc vào mặt một cách tử phẳng. Cho
biết trên mỗi milimet chiều dài của cách tử có n = 50 khe. Phía sau cách tử đặt một thấu
kính hội tụ. Xác định hiệu số các góc nhiễu xạ ứng với vạch đỏ có bước sóng λ1 = 0,76μm
nằm ở cuối quang phổ bậc nhất và vạch tím có bước sóng λ2 = 0,4μm nằm ở đầu quang phổ
bậc hai.
Đáp số: mm02,0
1
d ==
Góc nhiễu xạ ở cuối quang phổ bậc nhất ứng với ánh sáng đỏ:
112 038,0
10.02,0
10.76,0
d
sin 0
1 3
6
1
1 ′ =ϕ→= =
λ
=ϕ −
−
Góc nhiễu xạ ở đầu quang phổ bậc hai ứng với ánh sáng tím:
812 04,0
10.02,0
10.4,0.2
d
2
sin 0
2 3
6
2
2 ′ =ϕ→= =
λ
=ϕ −
−
Hiệu số của các góc nhiễu xạ: 7 12 ′ = ϕ − ϕ = ϕ Δ
11. Cho một chùm tia sáng đơn sắc song song chiếu vuông góc vào mặt của một cách tử
phẳng có chu kỳ d = 2μm. Xác định bậc lớn nhất của các vạch cực đại trong quang phổ
nhiễu xạ cho bởi cách tử đối với ánh sáng đỏ có bước sóng λ1 = 0,7μm và đối với ánh sáng
tím có bước sóng λ2 = 0,42μm.
Đáp số:
λ
ϕ
=→ λ
=ϕ
sin.d
d
msin , mà sin 1 〈 ϕ , nên
λ
〈
d
Đối với ánh sáng đỏ: () 2m86,2
d
m max1
1
1 = →=
λ
〈
Đối với ánh sáng tím: () 4 m76,4
d
m max2
2
2 = →=
λ
〈
60Chương 4: Phân cực ánh sáng
CHƯƠNG IV: PHÂN CỰC ÁNH SÁNG
Trong hai chương trước chúng ta đã nghiên cứu hiện tượng giao thoa và hiện tượng
nhiễu xạ ánh sáng chỉ dựa vào bản chất sóng của ánh sáng mà không cần phân biệt sóng ánh
sáng là sóng ngang hay sóng dọc. Trong chương này chúng ta sẽ chứng minh ánh sáng là
sóng ngang qua hiện tượng phân cực ánh sáng. Ta đã biết sóng điện từ là sóng ngang, là
sóng có các vectơ cường độ điện trường và vectơ cường độ từ trường dao động vuông góc
với phương truyền sóng. Chỉ có sóng ngang mới có thể thể hiện tính phân cực cho nên
nghiên cứu sự phân cực của ánh sáng chúng ta một lần nữa khẳng định bản chất sóng điện
từ của ánh sáng.
I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU
1. Nắm được sự phân cực ánh sáng thể hiện ánh sáng là sóng ngang. Phân biệt ánh sáng tự
nhiên và ánh sáng phân cực (một phần, toàn phần). Thiết lập định luật Malus.
2. Nắm được sự phân cực ánh sáng do phản xạ, khúc xạ, phân cực do lưỡng chiết tự nhiên.
3. Nắm được ứng dụng của hiện tượng quay mặt phẳng phân cực để xác định nồng độ của
các chất hoạt quang trong phân cực kế (đường kế).
II. NỘI DUNG
§1. ÁNH SÁNG PHÂN CỰC
1. Ánh sáng tự nhiên và ánh sáng phân cực
(a)
Tia sáng
E E
Δ1
Tia sáng
E1
Hình 4-1. Ánh sáng tự nhiên (a) và ánh sáng phân cực thẳng (b)
61Chương 4: Phân cực ánh sáng
Ánh sáng do một nguồn sáng phát ra là tập hợp của vô số các đoàn sóng nối tiếp
nhau. Trong mỗi đoàn sóng, vectơ cường độ điện trường E luôn dao động theo một phương
xác định vuông góc với tia sáng. Nhưng do tính hỗn loạn của chuyển động bên trong mỗi
nguyên tử nên vectơ E trong các đoàn sóng do một nguyên tử phát ra có thể dao động theo
các phương khác nhau vuông góc với tia sáng. Mặt khác nguồn sáng bao gồm nhiều
nguyên tử, do đó phương dao động của vectơ E trong các đoàn sóng do các nguyên tử phát
ra cũng thay đổi hỗn loạn và phân bố đều xung quanh tia sáng. Ánh sáng có vectơ cường độ
điện trường dao động đều đặn theo mọi phương vuông góc tia sáng được gọi là ánh sáng tự
nhiên. Hình 4-1a biểu diễn ánh sáng tự nhiên, trong mặt phẳng vuông góc với tia sáng các
vectơ E có trị số bằng nhau và phân bố đều đặn xung quanh tia sáng.
Ánh sáng tự nhiên khi đi qua môi trường bất đẳng hướng về mặt quang học (ví dụ bản
tinh thể Tuamalin), trong những điều kiện nhất định nào đó do tác dụng của môi trường nên
vectơ Echỉ dao động theo một phương xác định. Ánh sáng có vectơ E chỉ dao động theo
một phương xác định được gọi là ánh sáng phân cực thẳng hay ánh sáng phân cực toàn
phần. Hình 4-1b biểu diễn ánh sáng phân cực toàn phần
1 E . Hiện tượng ánh sáng tự nhiên
biến thành ánh sáng phân cực gọi là hiện tượng phân cực ánh sáng. Mặt phẳng chứa tia sáng
và phương dao động của E được gọi là mặt phẳng dao động, còn mặt phẳng chứa tia sáng
và vuông góc với mặt phẳng dao động gọi là mặt phẳng phân cực.
Với định nghĩa ánh sáng phân cực toàn phần thì mỗi đoàn sóng do nguyên tử phát ra
là một ánh sáng phân cực toàn phần. Như vậy ánh sáng tự nhiên do các nguyên tử của một
nguồn sáng phát ra là tập hợp của vô số ánh sáng phân cực toàn phần, dao động đều đặn
theo tất cả mọi phương vuông góc với tia sáng.
Trong một số trường hợp do tác dụng của môi trường lên ánh sáng truyền qua nó,
vectơ cường độ điện trường vẫn dao động theo tất cả các phương vuông góc với tia sáng
nhưng có phương dao động yếu, có phương dao động mạnh. Ánh sáng này được gọi là ánh
sáng phân cực một phần.
2. Định luật Malus về phân cực ánh sáng
Thực nghiệm chứng tỏ rằng, bản tinh thể Tuamalin (hợp chất silicôbôrat aluminium)
với chiều dày 1mm có thể biến ánh sáng tự nhiên thành ánh sáng phân cực thẳng. Nguyên
nhân của hiện tượng này là do tính hấp thụ ánh sáng không đều theo các phương khác nhau
trong tinh thể (gọi là tính hấp thụ dị hướng). Trong bản Tuamalin có một phương đặc biệt
gọi là quang trục của tinh thể (kí hiệu là ) Δ . Theo phương quang trục, ánh sáng không bị
hấp thụ và truyền tự do qua bản tinh thể, còn theo phương vuông góc với quang trục, ánh
sáng bị hấp thụ hoàn toàn. Khi ta chiếu một chùm tia sáng tự nhiên vuông góc với mặt
ABCD của bản tinh thể tuamalin có quang trục song song cạnh AB, vì ánh sáng là sóng
ngang nên tia sáng sau bản tuamalin có vectơ sáng E song song với quang trục của bản
(hình 4-1b). Dưới đây ta sẽ xét kĩ hơn về sự truyền ánh sáng qua bản tuamalin.
62Chương 4: Phân cực ánh sáng
Xét ánh sáng tự nhiên truyền tới bản tuamalin T1, bất kì vectơ sáng E nào của ánh
sáng tự nhiên cũng đều có thể phân tích thành hai thành phần: 1x E vuông góc với quang
trục và
1 Δ 1y E song song với quang trục . Khi đó
1 Δ
2
y1
2
x1
2
EEE += (4-1)
Do ánh sáng tự nhiên có E phân bố đều đặn xung quanh tia sáng nên ta có thể lấy
trung bình:
22
y1
2
x1 E
2
1
EE == (4-2)
Do tính hấp thụ dị hướng của bản tinh thể tuamalin, thành phần 1x E vuông góc với
quang trục bị hấp thụ hoàn toàn, còn thành phần 1y E song song với quang trục được truyền
hoàn toàn qua bản tuamalin T1, ánh sáng tự nhiên đã biến thành ánh sáng phân cực toàn
phần có vectơ sáng y11 EE = song song với quang trục
1 Δ (hình 4-2) và cường độ sáng I1
sau bản T1 bằng:
0
22
y1
2
11 I
2
1
E
2
1
EEI ==== (4-3)
trong đó
2
0 EI = là cường độ của ánh sáng tự nhiên truyền tới bản T1.
Lấy một bản tuamalin T2 có quang trục
2 Δ đặt sau T1. Gọi α là góc giữa quang trục
và . Vectơ sáng
1 Δ 2 Δ 1 E sau bản tuamalin T1 sẽ được phân tích thành hai thành phần:
α= cosEE 1
,
2 song song với quang trục và
2 Δ
α= sinEE 1
,,
2 vuông góc với . Thành phần
2 Δ
,
2 E sẽ truyền
qua bản T2, còn thành phần
,,
2 E sẽ bị hấp thụ hoàn toàn. Như
vậy sau bản T2 ta cũng nhận được ánh sáng phân cực toàn
phần có vectơ sáng
,
22 EE = và cường độ sáng I2 bằng
α=α== 2
1
22
1
2
2 2 cosIcosEEI (4-4)
I1 là cường độ sáng sau bản tuamalin T1. Như vậy nếu giữ cố
định bản T1 và quay bản T2 xung quanh tia sáng thì I2 sẽ thay
đổi. Khi hai quang trục song song với nhau, 0 = α thì I2 sẽ
Hình 4-2
đạt giá trị cực đại và bằng I1. Còn lúc hai quang trục vuông góc với nhau,
2
=α thì I2 sẽ
bằng 0. T1 được gọi là kính phân cực, T2 được gọi là kính phân tích (hình 4-3)
Công thức (4-4) biểu diễn một định luật gọi là định luật Malus.
63Chương 4: Phân cực ánh sáng
Định luật Malus: Khi cho một chùm tia sáng tự nhiên truyền qua hai bản tuamalin có
quang trục hợp với nhau một góc α thì cường độ sáng nhận được tỉ lệ với cos
2
α.
Do tính đối xứng của ánh sáng tự nhiên xung quanh phương truyền nên nếu ta quay
bản tuamalin xung quanh tia sáng thì ở vị trí nào cũng có ánh sáng truyền qua. Còn khi tia
sáng chiếu đến bản tuamalin là ánh sáng phân cực thì khi quay bản tuamalin cường độ sáng
sau bản sẽ thay đổi. Như vậy bản tuamalin có thể giúp ta phân biệt được chùm sáng tự
nhiên và chùm sáng phân cực.
Hình 4-3
3. Sự phân cực ánh sáng do phản xạ và khúc xạ
Thực nghiệm chứng tỏ rằng khi cho một tia sáng tự nhiên chiếu tới mặt phân cách
giữa hai môi trường dưới góc tới thì tia phản xạ và tia khúc xạ đều là ánh sáng phân
cực một phần. Vectơ cường độ điện trường của tia phản xạ có biên độ dao động lớn nhất
theo phương vuông góc với mặt phẳng tới, còn vectơ cường độ điện trường của tia khúc xạ
có biên độ dao động lớn nhất theo phương nằm trong mặt phẳng tới (hình 4-4) . Khi thay
đổi góc tới i thì mức độ phân cực của tia phản xạ và tia khúc xạ cũng thay đổi. Khi góc tới i
thỏa mãn điều kiện:
0i ≠
tg iB = n21 (4-5)
thì tia phản xạ sẽ phân cực toàn phần,
1
2
21
n = là chiết suất tỉ đối của môi
trường hai đối với môi trường một, iB được
gọi là góc tới Brewster hay góc phân cực
toàn phần. Ví dụ khi phản xạ từ không khí
trên thủy tinh thì iB = 57o
. Tia khúc xạ không
bao giờ là ánh sáng phân cực toàn phần,
nhưng khi i = iB thì tia khúc xạ cũng bị phân
cực mạnh nhất.
Hình 4-4: Phân cực do phản xạ
và khúc xạ
64Chương 4: Phân cực ánh sáng
§2. PHÂN CỰC DO LƯỠNG CHIẾT
Thực nghiệm chứng tỏ rằng một số tinh thể như băng lan, thạch anh... có tính chất
đặc biệt là nếu chiếu một tia sáng đến tinh thể thì nói chung ta sẽ được hai tia. Hiện
tượng này gọi là hiện tượng lưỡng chiết. Nguyên nhân là do tính bất đẳng hướng của tinh
thể về mặt quang học (tức là tính chất quang của tinh thể ở các hướng khác nhau thì sẽ
khác nhau). Để nghiên cứu hiện tượng lưỡng chiết chúng ta xét tinh thể băng lan.
Tinh thể băng lan là dạng kết tinh của
canxi cacbônat (CaCO3). Mỗi hạt tinh thể băng
lan có dạng một khối sáu mặt hình thoi (hình
4-5), trong đó đường thẳng nối hai đỉnh A và A1
gọi là quang trục của tinh thể. Một tia sáng truyền
vào tinh thể băng lan theo phương song song với
quang trục sẽ không bị tách thành hai tia khúc xạ.
Chiếu một tia sáng tự nhiên vuông góc với mặt
Hình 4-5 Tinh thể băng lan
ABCD của tinh thể. Thực nghiệm chứng tỏ rằng tia này sẽ bị tách thành hai tia khúc xạ
(hình 4-6):
- Tia truyền thẳng không bị lệch khỏi phương truyền gọi là tia thường (kí hiệu là tia
o). Tia này tuân theo định luật khúc xạ ánh sáng. Tia thường phân cực toàn phần, có vectơ
sáng E vuông góc với một mặt phẳng đặc biệt gọi là mặt phẳng chính của tia đó (mặt
phẳng chứa tia thường và quang trục).
- Tia lệch khỏi phương truyền gọi là tia bất thường (kí hiệu là tia e). Tia này không
tuân theo định luật khúc xạ ánh sáng. Tia bất thường phân cực toàn phần, có vectơ sáng E
nằm trong mặt phẳng chính của nó (mặt phẳng chứa quang trục và tia bất thường).
Khi ló ra khỏi tinh thể, hai tia thường và tia bất thường chỉ khác nhau về phương phân
cực. Chiết suất của tinh thể băng lan đối với tia thường luôn không đổi và bằng no=1,659.
Chiết suất ne của tinh thể băng lan đối với tia bất thường phụ thuộc vào phương
truyền của nó trong tinh thể và thay đổi từ 1,659 (theo phương quang trục) đến 1,486 (theo
phương vuông góc với quang trục). Như vậy đối với tinh thể băng lan ta có:
ne ≤ no (4-6)
Vì chiết suất n = c/v, với c là vận tốc ánh sáng trong chân không và v là vận tốc ánh sáng
trong môi trường, do đó:
ve ≥ vo (4-7)
nghĩa là trong tinh thể băng lan, vận tốc của tia bất thường nói chung lớn hơn vận tốc của
tia thường.
Tinh thể băng lan, thạch anh, tuamalin... là những tinh thể đơn trục. Trong tự nhiên
còn có tinh thể lưỡng trục, đó là những tinh thể có hai quang trục theo hai hướng khác nhau.
Một tia sáng tự nhiên truyền qua tinh thể lưỡng trục cũng bị tách thành hai tia khúc xạ
nhưng cả hai tia này đều là những tia bất thường.
65Chương 4: Phân cực ánh sáng
Hình 4-6. Tính lưỡng chiết của tinh thể
§3. KÍNH PHÂN CỰC
Người ta sử dụng các tinh thể lưỡng chiết để chế tạo kính phân cực. Kính phân cực là
những dụng cụ có thể biến ánh sáng tự nhiên thành ánh sáng phân cực, ví dụ như bản
tuamalin, bản pôlarôit, lăng kính nicôn...
1. Bản pôlarôit
Một số tinh thể lưỡng chiết có tính hấp thụ dị hướng mạnh đối với một trong hai tia
thường và bất thường. Ví dụ bản tinh thể tuamalin dày hơn 1mm hầu như hấp thụ hoàn toàn
tia thường và chỉ cho tia bất thường truyền qua nó. Vì vậy bản tuamalin có thể dùng làm
kính phân cực.
Trong những năm gần đây người ta đã chế tạo những kính phân cực làm bằng
xenluylôit, trên có phủ một lớp tinh thể định hướng sunfat-iôt-kinin có tính hấp thụ dị
hướng mạnh. Những bản này gọi là bản pôlarôit. Bản pôlarôit dày khoảng 0,1 mm có thể
hấp thụ hoàn toàn tia thường và tạo ra ánh sáng phân cực toàn phần sau khi đi ra khỏi bản.
Bản pôlarôit tương đối rẻ nên được sử dụng nhiều trong ngành vận tải. Để khắc phục
hiện tượng người lái xe ôtô bị loá mắt do ánh sáng từ các đèn pha của các ôtô khác chạy
ngược chiều gây ra, người ta dán các bản pôlarôit lên mặt kính đèn pha ôtô và kính chắn gió
phía trước người lái ôtô sao cho quang trục của các bản song song và cùng nghiêng 45o
với phương ngang. Khi hai ôtô chạy ngược chiều tới gặp nhau thì các bản pôlarôit trên hai
ôtô này có quang trục bắt chéo nhau. Như vậy ánh sáng phân cực phát ra từ đèn pha của ôtô
thứ nhất chạy tới không thể truyền qua kính chắn gió của ôtô thứ hai chạy ngược chiều để
chiếu vào mắt người lái xe. Trong khi đó người lái xe thứ hai vẫn có thể nhìn thấy ánh sáng
phân cực phát ra từ đèn pha của xe mình chiếu sang các vật ở phía trước, vì ánh sáng phân
cực này sau khi phản xạ trên các vật vẫn giữ nguyên phương dao động song song với quang
trục của kính chắn gió trước mặt người lái xe.
2. Lăng kính Nicol (Nicôn)
Lăng kính Nicol (gọi tắt là nicôn) là một khối tinh thể băng lan được cắt theo mặt chéo
thành hai nửa và dán lại với nhau bằng một lớp nhựa canađa trong suốt có chiết suất n= 1,550.
66Chương 4: Phân cực ánh sáng
Tia sáng tự nhiên SI chiếu vào mặt AC của nicôn theo phương song song với mặt đáy
CA' bị tách thành hai: tia thường và tia bất thường. Chiết suất của tinh thể đối với tia thường
no=1,659, còn chiết suất của tinh thể đối với tia bất thường ne phụ thuộc vào hướng, nó thay
đổi từ 1,486 đến 1,659. Vì no > ne nên tia thường bị khúc xạ mạnh hơn tia bất thường. Chiết
suất của tinh thể đối với tia thường lớn hơn chiết suất của lớp nhựa và hình dạng, kích thước
của nicôn được chọn sao cho tia thường khi đến lớp nhựa canađa bị phản xạ toàn phần và
sau đó bị hấp thụ trên lớp sơn đen của mặt đáy CA'. Còn tia bất thường (ne < n) truyền qua
lớp nhựa canađa và ló ra khỏi nicôn theo phương song song với tia tới SI.
Hình 4-7. Lăng kính Nicol
Như vậy, nicôn đã biến ánh sáng tự nhiên (hoặc phân cực một phần) truyền qua nó thành
ánh sáng phân cực toàn phần có mặt phẳng dao động trùng với mặt phẳng chính của nicôn.
Nếu cho một chùm sáng tự nhiên qua hệ hai nicôn N1 và N2 thì cường độ sáng I2 ở
phía sau bản nicôn N2 cũng được xác định theo định luật Malus (công thức 4-4), vớiα là
góc giữa hai mặt phẳng chính của nicôn N1 và N2.
Khi hai nicôn N1 và N2 đặt ở vị trí song song, ứng với α = 0, cường độ sáng sau
nicôn N2 đạt cực đại I2 = Imax (sáng nhất). Khi hai nicôn đặt ở vị trí bắt chéo, ứng với
=π/2, cường độ sáng sau nicôn N α 2 đạt cực tiểu I2 = Imin (tối nhất).
Hình 4-8. a) Hai nicôn song song b) Hai nicôn bắt chéo
67Chương 4: Phân cực ánh sáng
§4. ÁNH SÁNG PHÂN CỰC ELIP
Trong các tiết trước chúng ta đã nghiên cứu ánh sáng phân cực thẳng, đó là ánh sáng
có vectơ sáng E dao động theo một phương xác định, tức là E dao động trên đường thẳng.
Thực nghiệm chỉ ra rằng ta có thể tạo ra ánh sáng phân cực trong đó đầu mút vectơ
sáng E chuyển động trên một đường elip (hay đường tròn), ánh sáng phân cực này được
gọi là ánh sáng phân cực elip hay phân cực tròn.
Xét bản tinh thể T có quang trục Δ và độ dày d. Chiếu vuông góc với mặt trước của
bản tinh thể một tia sáng phân cực toàn phần có vectơ sáng E hợp với quang trục một góc
α. Khi vào bản tinh thể, tia sáng này bị tách thành hai: tia thường và tia bất thường. Tia
thường có vectơ sáng o E vuông góc với quang trục, còn tia bất thường có vectơ sáng e E
song song với quang trục và cả hai vectơ sáng đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với tia
sáng (hình 4-9).
Hình 4-9. Ánh sáng phân cực elip
Vectơ sáng tổng hợp của tia thường và tia bất thường tại điểm M sau bản tinh thể
bằng:
eo EEE += (4-8)
Ở trong bản tinh thể, hai tia này truyền đi với vận tốc khác nhau (do chiết suất của
tinh thể đối với hai tia khác nhau, ne ≠ no ) và khi ló ra khỏi bản chúng lại truyền đi với cùng
vận tốc. Do đó, hiệu quang lộ của tia thường và tia bất thường tại một điểm M sau bản
bằng:
d)n-n(L-LL eoeo = = Δ (4-9)
tương ứng với hiệu pha là
d)n-n(
2
)L -L(
2
λ
=
λ
=ϕΔ (4-10)
trong đó λ là bước sóng ánh sáng trong chân không.
68Chương 4: Phân cực ánh sáng
Các vectơ sáng o E và e E dao động theo hai phương vuông góc với nhau, do đó đầu
mút vectơ sáng tổng hợp sẽ chuyển động trên một đường elip xác định bởi phương trình:
ϕΔ=ϕΔ + 2
21
2
2
2
2
1
2
sincos
AA
xy2
-
A
y
A
x
(4-11)
với A1 và A2 lần lượt là biên độ và
eo - ϕ ϕ = ϕ Δ là hiệu pha dao động của hai vectơ sáng
o E và e E . Nếu trước khi vào bản tinh thể, ánh sáng phân cực toàn phần có biên độ là A thì
A1=A.sinα và A2=A.cosα .
Như vậy, ánh sáng phân cực thẳng sau khi truyền qua bản tinh thể sẽ biến thành ánh
sáng phân cực elip. Chúng ta sẽ xét một vài trường hợp riêng phụ thuộc vào độ dày d của
bản tinh thể.
1. Bản phần tư bước sóng
Bản phần tư bước sóng là bản tinh thể có độ dày d sao cho hiệu quang lộ của tia
thường và tia bất thường truyền qua bản bằng một số lẻ lần của phần tư bước sóng:
4
)1k2(d)n-n(L eo
λ
+= =Δ (4-12)
Khi đó hiệu pha của hai tia bằng:
2
)1k2(
+=ϕΔ (4-13)
và phương trình (4-11) sẽ thành:
1
A
y
A
x
2
2
2
2
1
2
=+ (4-14)
Hình
dạng chí
4-10a: Phân cực elip
nh tắc
Trong trường hợp này, đầu mút của vectơ sáng tổng hợp
Hình 4-10b: Phân cực tròn
E phía sau bản tinh thể
chuyể
(4-15)
n động trên một elip dạng chính tắc có hai bán trục là A1 và A2 được xác định bởi
phương trình (4-14) (hình 4-10a). Đặc biệt, nếu α = 45o
thì A1 = A2 = A0 và phương trình
(4-14) sẽ thành:
2
0
22
Ayx =+
69Chương 4: Phân cực ánh sáng
E Khi đó đầu mút của vectơ sáng tổng p hợ phía sau bản tinh thể ch n độ g
tròn tâm O, bán kính A được xác định bởi phương trình (4-15) (hình 4-10b).
g là bản tinh thể có độ dày d sao cho hiệu quang lộ của tia thường
qua bản bằng một số lẻ lần nửa bước sóng:
uyể ng trên đườn
0
Như vậy, sau khi truyền qua bản phần tư bước sóng, ánh sáng phân cực thẳng đã bị
biến đổi thành ánh sáng phân cực elip dạng chính tắc hoặc phân cực tròn.
2. Bản nửa bước sóng
Bản nửa bước són
và tia bất thường truyền
2
)1k2(d)n-n(L eo
λ
+= =Δ (4-16)
Khi đó hiệu pha của hai tia bằng:
(4-17)
và phư h (4-11) sẽ thàn
π+=ϕΔ )1k2(
ơng trìn h:
0
A
y
A
x
=+
21
(4-18)
Đây l g trình của ờ à phươn đư ng thẳng, mút vectơ sáng tổng
hợp E phía sau bản sẽ chuyển động trên đường thẳng nằm
trong góc phần tư thứ hai và thứ tư của hệ tọa độ Oxy (hình
quang trục một góc α . Trước khi vào bản tinh thể, mút vect
Hình 4-11
4-11), đường thẳng đó hợp với
ơ sáng của ánh sáng phân cực
g là bản tinh thể có độ dày d sao cho
hiệu quang lộ của tia thường và tia bất thường truyền qua bản
bằng m
khi đó pha của hai tia bằng:
(4-20)
và phư rình (4-11 ẽ thàn
thẳng dao động trên đường thẳng. Như vậy sau khi truyền qua bản nửa bước sóng ánh sáng
phân cực thẳng vẫn là ánh sáng phân cực thẳng, nhưng phương dao động đã quay đi một
góc 2α so với trước khi đi vào bản.
3. Bản một bước sóng
Bản một bước són
ột số nguyên lần bước sóng:
λ= =Δ kd)n-n(L eo (4-19)
hiệu
π=ϕΔ k2
ơng t ) s h:
Hình 4-12
0
A
y
-
x
A 21
= (4-21)
Đây là phương trình của đường thẳn ằm tro hần tư hứ nhấ và thứ a của
độ Oxy (hình 4-12), đường thẳng đó hợp với quang trục một góc α . Như vậy sau khi truyền
qua bản một bước sóng ánh sáng phân cực thẳng giữ nguyên không đổi.
g, n ng góc p t t b hệ tọa
70Chương 4: Phân cực ánh sáng
§5. LƯỠNG CHIẾT DO ĐIỆN TRƯỜNG
Một số chất lỏng như sulfua cácbon, benzôn... khi chịu tác dụng của điện trường thì
trở nên bất đẳng hướng về mặt quang học. Hiện tượng này được Kerr tìm ra năm 1875 và
gọi là hiệu ứng Kerr. S y trên hình 4-13. ơ đố thí nghiệm về hiệu ứng Kerr được trình bà
Hình 4-13. Thí nghiệm về hiệu ứng Kerr
Khi chưa có điện trường, các phân tử chất lỏng chuyển động nhiệt hỗn loạn nên chất
lỏng là đẳng hướng và không làm thay đổi phương của ánh sáng phân cực toàn phần sau
nicôn N1 truyền tới nó. Do đ thể truyền tiếp qua
nicôn N2 (bắt chéo với N1) và sau nicôn N2 sẽ hoàn toàn tối.
(4-22)
với k là
ó ánh sáng phân cực toàn phần này không
Khi chất lỏng chịu tác dụng của điện trường giữa hai bản cực của tụ điện, các phân
tử của nó trở thành các lưỡng cực điện nằm dọc theo phương của điện trường. Chất lỏng trở
thành môi trường bất đẳng hướng với quang trục là phương của điện trường. Trong trường
hợp này, chùm ánh sáng phân cực toàn phần sau nicôn N1 truyền tới chất lỏng bị tách thành
tia thường và tia bất thường. Tổng hợp của hai tia này sẽ là ánh sáng phân cực elip, có thể
truyền tiếp qua nicôn N2 (bắt chéo với N1), nên sau nicôn N2 sẽ sáng.
Thực nghiệm chứng tỏ với mỗi ánh sáng đơn sắc, hiệu số chiết suất no - ne của chất
lỏng (chịu tác dụng của điện trường) đối với tia thường và tia bất thường truyền trong nó có
độ lớn tỉ lệ với bình phương cường độ điện trường E tác dụng lên chất lỏng:
2
eo kEnn =−
hệ số tỉ lệ phụ thuộc vào bản chất của chất lỏng. Hiệu pha giữa hai dao động của tia
thường và tia bất thường sau khi đi qua lớp chất lỏng có bề dày d sẽ là:
dBE2dkE
2 2π
d)ne π= n(
2 2
λ
= −
λ
=ϕΔ
Thời gian để các phân tử định hướng theo phương của điện trườ i gian
các phân tử trở về trạng thái chuyển động hỗn loạn chỉ vào cỡ 10-10
s. Tín ủ
(4-23)
trong đó B = k/λ gọi là hằng số Kerr. Giá trị của B phụ thuộc nhiệt độ của chất lỏng và
bước sóng ánh sáng.
ng và thờ để
h chất này c a hiệu
ứng Kerr đã được ứng dụng để chế tạo van quang học dùng đóng ngắt ánh sáng rất nhanh
không có quán tính.
71Chương 4: Phân cực ánh sáng
§6. SỰ QUAY MẶT PHẲNG PHÂN CỰC
Một số tinh thể hoặc dung dịch có tác dụng làm quay mặt phẳng phân cực của chùm
ánh sáng phân cực toàn phần truyền qua chúng. Hiện tượng này gọi là hiện tượng quay mặt
phẳng phân cực. Các chất làm quay mặt phẳng phân cực của ánh sáng phân cực gọi là chất
hoạt quang, thí dụ như thạch anh, dung dịch đường...
Hiện tượng quay mặt phẳng phân cực được thể hiện như sau: Cho ánh sáng tự nhiên
đi qua kính phân cực T1 và kính phân tích T2 đặt vuông góc với nhau. Kết quả là ánh sáng
không đi qua được kính phân tích T2, sau bản T2 sẽ tối. Bây giờ nếu đặt giữa kính phân cực
T1 và kính phân tích T2 một bản tinh thể thạch anh có quang trục nằm dọc theo phương
truyền của tia sáng thì thấy ánh sáng
đi qua được kính phân tích T2, sau
bản T2 sẽ sáng. Muốn cho ánh sáng
không đi qua được ta phải quay kính
phân tích một góc ϕ. Điều đó chứng
tỏ dưới tác dụng của bản tinh thể ánh
sáng phân cực thẳng sau bản T1 đã bị
quay đi một góc ϕ (hình 4-14), hay ta
nói bản tinh thể đã làm quay mặt
phẳng phân cực một góc ϕ. Đó là hiện
tượng quay mặt phẳng phân cực.
Hình 4-14. Hiện tượng quay mặt phẳng phân cực
Thực nghiệm cho thấy góc quay ϕ của mặt phẳng phân cực tỷ lệ thuận với độ dày d
của bản tinh thể:
(4-24) d α=ϕ
α là hệ số quay, nó có giá trị phụ thuộc bản chất, nhiệt độ của chất rắn quang hoạt và bước
sóng λ của ánh sáng. Ví dụ đối với bản thạch anh ở 200
C: α = 21,7 độ/mm ứng với
λ = 0,589 μm; α = 48,9 độ/mm ứng với λ = 0,4047 μm.
Đối với các dung dịch, góc quay ϕ của mặt phẳng phân cực tỷ lệ với độ dày d của lớp
dung dịch có ánh sáng phân cực truyền qua và tỷ lệ với nồng độ c của dung dịch:
[] cd α=ϕ (4-25)
trong đó [α] được gọi là hệ số quay riêng, nó có giá trị phụ thuộc bản chất và nhiệt độ của
dung dịch hoạt quang, đồng thời phụ thuộc bước sóng λ của ánh sáng. Ví dụ đối với ánh
sáng vàng Na (λ = 0,589μm) ở 200
C, [α] của dung dịch đường là 66,50
cm2
/g.
Hiện tượng quay mặt phẳng phân cực được ứng dụng trong một dụng cụ gọi là đường
kế để xác định nồng độ đường trong dung dịch.
Ánh sáng từ bóng đèn S truyền qua kính lọc sắc F và kính phân cực P biến đổi thành
ánh sáng đơn sắc phân cực toàn phần. Quan sát trong ống ngắm O, đồng thời quay kính
phân tích A cho tới khi thị trường trong ống ngắm trở nên tối hoàn toàn. Khi đó kính phân
tích A nằm ở vị trí bắt chéo với kính phân cực P và mặt phẳng chính của chúng vuông góc
với nhau. Góc ϕ1 xác định vị trí của kính phân tích A đọc được trên thước đo góc K. Đặt
72Chương 4: Phân cực ánh sáng
ống thuỷ tinh H chứa đầy dung dịch hoạt quang cần nghiên cứu vào khoảng giữa hai kính A
và P, thị trường trong ống ngắm O lại sáng. Nguyên nhân là do dung dịch hoạt quang đã
làm mặt phẳng dao động của ánh sáng phân cực toàn phần truyền qua nó quay đi một góc ϕ
tới vị trí không vuông góc với mặt phẳng chính của kính phân tích A nữa. Bây giờ ta quay
kính phân tích A cho đến khi thị trường trong ống ngắm O tối hoàn toàn. Đọc góc ϕ2, xác
định vị trí này của kính phân tích A. Từ đó tìm ra được góc quay ϕ của mặt phẳng phân cực
ϕ = ϕ2 - ϕ1.
Hình 4-15. Mô hình của đường kế
Theo công thức (4-25), nếu biết độ dày d và hằng số quay riêng [ ] α của dung dịch hoạt
quang, ta dễ dàng xác định được nồng độ c của dung dịch :
[] []d.d.
c 12
α
ϕ − ϕ
=
α
ϕ
= (4-26)
III. TÓM TẮT NỘI DUNG
1. Sự phân cực ánh sáng
* Ánh sáng có vectơ cường độ điện trường dao động đều đặn theo mọi phương
vuông góc tia sáng được gọi là ánh sáng tự nhiên.
* Ánh sáng có vectơ cường độ điện trường chỉ dao động theo một phương xác định
được gọi là ánh sáng phân cực thẳng hay ánh sáng phân cực toàn phần.
* Ánh sáng có vectơ cường độ điện trường dao động theo tất cả các phương vuông
góc với tia sáng nhưng có phương dao động yếu, có phương dao động mạnh được gọi là ánh
sáng phân cực một phần.
* Mặt phẳng chứa tia sáng và phương dao động của E được gọi là mặt phẳng dao
động, còn mặt phẳng chứa tia sáng và vuông góc với mặt phẳng dao động gọi là mặt phẳng
phân cực.
* Trong bản Tuamalin có một phương đặc biệt gọi là quang trục của tinh thể (kí hiệu
là . Theo phương quang trục, ánh sáng không bị hấp thụ, mà truyền qua hoàn toàn còn
theo phương vuông góc với quang trục, ánh sáng bị hấp thụ hoàn toàn.
) Δ
* Định luật Malus: Khi cho một chùm tia sáng tự nhiên truyền qua hai bản tuamalin
có quang trục hợp với nhau một góc α thì cường độ sáng nhận được tỉ lệ với cos
2
α.
73Chương 4: Phân cực ánh sáng
α= 2
12 cosII
2. Sự phân cực do phản xạ, khúc xạ:
Thực nghiệm chứng tỏ rằng khi cho một tia sáng tự nhiên chiếu tới mặt phân cách
giữa hai môi trường dưới góc tới thì tia phản xạ và tia khúc xạ đều là ánh sáng phân
cực một phần. Vectơ cường độ điện trường của tia phản xạ có biên độ dao động lớn nhất
theo phương vuông góc với mặt phẳng tới, còn vectơ cường độ điện trường của tia khúc xạ
có biên độ dao động lớn nhất theo phương nằm trong mặt phẳng tới. Khi thay đổi góc tới i
thì mức độ phân cực của tia phản xạ và tia khúc xạ cũng thay đổi. Khi góc tới i thỏa mãn
điều kiện:
0i ≠
tg iB = n21
thì tia phản xạ sẽ phân cực toàn phần, n21 là chiết suất tỉ đối của môi trường hai đối với môi
trường một, iB được gọi là góc tới Brewster. Tia khúc xạ không bao giờ là ánh sáng phân
cực toàn phần, nhưng khi i = iB thì tia khúc xạ cũng bị phân cực mạnh nhất.
3. Sự phân cực do lưỡng chiết
Thực nghiệm chứng tỏ rằng một số tinh thể như băng lan, thạch anh... có tính chất đặc
biệt là nếu chiếu một tia sáng đến tinh thể thì nói chung ta sẽ thu được hai tia. Hiện tượng
này gọi là hiện tượng lưỡng chiết. Nguyên nhân là do tính bất đẳng hướng của tinh thể về
mặt quang học (tức là tính chất quang của tinh thể ở các hướng khác nhau thì sẽ khác nhau).
Tia sáng khi chiếu vào tinh thể lưỡng chiết sẽ bị tách thành hai tia khúc xạ:
- Tia tuân theo định luật khúc xạ gọi là tia thường. Tia thường phân cực toàn phần, có
vectơ sáng E vuông góc với mặt phẳng chính của tia thường.
- Tia không theo định luật khúc xạ gọi là tia bất thường. Tia bất thường phân cực toàn
phần, có vectơ sáng E nằm trong mặt phẳng chính của nó.
Khi ló ra khỏi tinh thể, hai tia thường và tia bất thường chỉ khác nhau về phương phân
cực. Chiết suất của tinh thể băng lan đối với tia thường luôn không đổi và bằng no=1,659.
Chiết suất ne của tinh thể băng lan đối với tia bất thường phụ thuộc vào phương truyền của
nó trong tinh thể và thay đổi từ 1,659 (theo phương quang trục) đến 1,486 (theo phương
vuông góc với quang trục). Như vậy đối với tinh thể băng lan ta có:
ne ≤ no
Vì chiết suất n = c/v, với c là vận tốc ánh sáng trong chân không và v là vận tốc ánh sáng
trong môi trường, do đó:
ve ≥ vo
nghĩa là trong tinh thể băng lan, vận tốc của tia bất thường nói chung lớn hơn vận tốc của
tia thường.
Tinh thể băng lan, thạch anh, tuamalin... là những tinh thể đơn trục. Trong tự nhiên
còn có tinh thể lưỡng trục, đó là những tinh thể có hai quang trục theo hai hướng khác nhau.
Một tia sáng tự nhiên truyền qua tinh thể lưỡng trục cũng bị tách thành hai tia khúc xạ
nhưng cả hai tia này đều là những tia bất thường.
74Chương 4: Phân cực ánh sáng
Người ta sử dụng các tinh thể lưỡng chiết để chế tạo kính phân cực. Kính phân cực là
những dụng cụ có thể biến ánh sáng tự nhiên thành ánh sáng phân cực, ví dụ như bản
tuamalin, bản pôlarôit, lăng kính nicol...
Một số chất lỏng như sulfua cácbon, benzôn... khi chịu tác dụng của điện trường thì
trở nên bất đẳng hướng về mặt quang học (có tính lưỡng chiết). Hiệu ứng này gọi là hiệu
ứng Kerr và được ứng dụng để chế tạo van quang học
4. Ánh sáng phân cực elip
Ánh sáng phân cực trong đó đầu mút vectơ sáng E chuyển động trên một đường elip
(hay đường tròn) được gọi là ánh sáng phân cực elip (hay phân cực tròn) .
Chiếu vuông góc với mặt trước của bản tinh thể một tia sáng phân cực toàn phần có
vectơ sáng E hợp với quang trục một góc α. Khi vào bản tinh thể, tia sáng này bị tách thành
hai: tia thường và tia bất thường. Tia thường và tia bất thường là hai tia sáng kết hợp, chúng
giao thoa với nhau. Các vectơ sáng o E của tia thường và e E dao động theo hai phương
vuông góc với nhau, do đó đầu mút vectơ sáng tổng hợp sẽ chuyển động trên một đường
elip xác định bởi phương trình:
ϕΔ=ϕΔ + 2
21
2
2
2
2
1
2
sincos
AA
xy2
-
A
y
A
x
(1)
x, y là độ dời dao động, A1, A2 là biên độ dao động của o E và e E . Hiệu pha của các tia
thường và tia bất thường là
d)n-n(
2
)L -L(
2
λ
=
λ
=ϕΔ (2)
* Bản phần tư bước sóng
Bản phần tư bước sóng là bản tinh thể có độ dày d sao cho hiệu quang lộ của tia
thường và tia bất thường truyền qua bản bằng một số lẻ lần của phần tư bước sóng:
4
)1k2(d)n-n(L eo
λ
+= =Δ (3a)
Thay (3a) vào (2), sau đó vào (1) ta thu được phương trình của đường elip dạng chính tắc.
Do đó sau khi truyền qua bản phần tư bước sóng, ánh sáng phân cực thẳng đã bị biến đổi
thành ánh sáng phân cực elip dạng chính tắc hoặc phân cực tròn.
* Bản nửa bước sóng
Bản nửa bước sóng là bản tinh thể có độ dày d sao cho hiệu quang lộ của tia thường
và tia bất thường truyền qua bản bằng một số lẻ lần nửa bước sóng:
2
)1k2(d)n-n(L eo
λ
+= =Δ (3b)
Thay (3b) vào (2), sau đó vào (1) ta thu được phương trình của đường thẳng, quay một góc
2α. Do đó khi truyền qua bản nửa bước sóng ánh sáng phân cực thẳng vẫn là ánh sáng phân
cực thẳng, nhưng phương dao động đã quay đi một góc 2α so với trước khi đi vào bản.
75Chương 4: Phân cực ánh sáng
* Bản một bước sóng
Bản một bước sóng là bản tinh thể có độ dày d sao cho hiệu quang lộ của tia thường
và tia bất thường truyền qua bản bằng một số nguyên lần bước sóng:
λ = =Δ kd)n-n(L eo (3c)
Thay (3c) vào (2), sau đó vào (1) ta thu được phương trình của đường thẳng. Vậy sau khi
truyền qua bản một bước sóng ánh sáng phân cực thẳng giữ nguyên không đổi.
5. Sự quay mặt phẳng phân cực
Một số tinh thể hoặc dung dịch có tác dụng làm quay mặt phẳng phân cực của chùm
ánh sáng phân cực toàn phần truyền qua chúng. Hiện tượng này gọi là sự quay mặt phẳng
phân cực. Các chất làm quay mặt phẳng phân cực của ánh sáng phân cực gọi là chất hoạt
quang, thí dụ như thạch anh, dung dịch đường...
Thực nghiệm cho thấy góc quay ϕ của mặt phẳng phân cực tỷ lệ thuận với độ dày d
của bản tinh thể: d α=ϕ
α là hệ số quay, nó có giá trị phụ thuộc bản chất và nhiệt độ của chất rắn quang hoạt và
bước sóng λ của ánh sáng.
Đối với các dung dịch, góc quay ϕ của mặt phẳng phân cực tỷ lệ với độ dày d của
lớp dung dịch có ánh sáng phân cực truyền qua và tỷ lệ với nồng độ c của dung dịch:
[] cd α= ϕ
trong đó [α] được gọi là hệ số quay riêng, nó có giá trị phụ thuộc bản chất và nhiệt độ của
dung dịch hoạt quang, đồng thời phụ thuộc bước sóng λ của ánh sáng.
Hiện tượng quay mặt phẳng phân cực được ứng dụng trong một dụng cụ gọi là đường
kế để xác định nồng độ đường trong dung dịch.
IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT
1. Hiện tượng phân cực chứng tỏ bản chất gì của ánh sáng ? Ánh sáng là sóng ngang hay
sóng dọc ? Giải thích tại sao ?
2. Phân biệt ánh sáng tự nhiên và ánh sáng phân cực toàn phần, ánh sáng phân cực một
phần.
3. Phát biểu và viết biểu thức của định luật Malus.
4. Trình bày sự phân cực do phản xạ, khúc xạ.
5. Trình bày tính lưỡng chiết của tinh thể.
6. Nêu sự giống nhau và khác nhau của hai tia thường và bất thường khi đi qua tinh thể
băng lan.
7. Trình bày hiệu ứng Kerr.
8. Định nghĩa ánh sáng phân cực elip, phân cực tròn. Trình bày cách tạo ra ánh sáng phân
cực elip. Xét các trường hợp bề dày bản một phần tư bước sóng, bản nửa bước sóng và bản
một bước sóng.
76Chương 4: Phân cực ánh sáng
8. Nêu ứng dụng của hiện tượng quay mặt phẳng phân cực.
V. BÀI TẬP
Thí dụ 1: Hỏi góc nghiêng của mặt trời so với chân trời phải bằng bao nhiêu để những tia
sáng mặt trời phản chiếu trên mặt hồ bị phân cực toàn phần. Biết rằng chiết suất của nước
hồ n = 1,33.
Bài giải:
Theo định luật Brewster, muốn tia
sáng phản chiếu bị phân cực toàn phần thì
góc tới của nó phải bằng góc tới Brewster,
xác định bởi công thức:
553i33,1ntgi
0
B B ′ =→==
Do đó góc nghiêng của mặt trời so với đường chân trời: 5536i90 0
B
0 ′ =−=α
Thí dụ 2: Cho một chùm tia sáng phân cực thẳng có bước sóng trong chân không là
λ0 = 0,589μm chiếu vuông góc với quang trục của một bản tinh thể băng lan. Chiết suất của
tinh thể băng lan đối với tia thường và tia bất thường lần lượt bằng n0 = 1,658 và ne = 1,488.
Xác định bước sóng của tia thường và tia bất thường.
Bài giải: Bước sóng λ của ánh sáng truyền trong môi trường có chiết suất n liên hệ với bước
sóng λ0 của ánh sáng trong chân không:
0 λ
=λ
Bước sóng của tia thường trong tinh thể băng lan: m355,0
658,1
589,0
n0
0
μ==
λ
=λ
Bước sóng của tia bất thường trong tinh thể băng lan: m396,0
0
μ=
λ
=λ
Bài tập tự giải
1. Cho biết khi ánh sáng truyền từ một chất có chiết suất n ra ngoài không khí thì xảy ra
hiện tượng phản xạ toàn phần của ánh sáng ứng với góc giới hạn igh = 450
. Xác định góc tới
Brewster của chất này, môi trường chứa tia tới là không khí.
Đáp số: Góc giới hạn:
414,12n
2
1
kk
gh ==→==
3454i414,1
0
B
kk
B ′ =→==
77Chương 4: Phân cực ánh sáng
2. Ánh sáng tự nhiên truyền từ không khí tới chiếu vào một bản thuỷ tinh. Cho biết ánh sáng
phản xạ bị phân cực toàn phần khi góc khúc xạ r = 330
. Xác định chiết suất của bản thuỷ
tinh.
Đáp số:
Khi chùm phản xạ bị phân cực toàn phần thì góc tới i thoả mãn:
B
2
B
B
B
B
isin1
icos
−
==→==
Theo định luật khúc xạ ánh sáng: n
= , mà
0
B 33sin.nisinisin ==
56,1n
33sin.n1
33sin.n
2 0
0
≈→
−
=→
3. Xác định góc tới Brewster của một mặt thuỷ tinh có chiết suất n1 = 1,57 khi môi trường
ánh sáng tới là:
1. Không khí.
2. Nước có chiết suất n2 = 4/3.
Đáp số: 3449i,0357i
0
B
0
B ′ = ′ =
4. Một chùm tia sáng sau khi truyền qua một chất lỏng đựng trong một bình thuỷ tinh, phản
xạ trên đáy bình. Tia phản xạ bị phân cực toàn phần khi góc tới trên đáy bình bằng ,
chiết suất của bình thuỷ tinh n = 1,5. Tính:
73420 ′
1. Chiết suất của chất lỏng.
2. Góc tới trên đáy bình để chùm tia phản xạ trên đó phản xạ toàn phần.
Đáp số: n/
= 1,63, i = 660
56/
5. Cho một chùm tia sáng tự nhiên chiếu vào mặt của một bản thuỷ tinh nhúng trong chất
lỏng. Chiết suất của thuỷ tinh là n1 = 1,5. Cho biết chùm tia phản xạ trên mặt thuỷ tinh bị
phân cực toàn phần khi các tia phản xạ hợp với các tia tới một góc . Xác định chiết
suất n
0
97 =ϕ
2 của chất lỏng.
Đáp số:
2
1
B n
tgitgi ==
Theo điều kiện đầu bài: 33,1
2
97
2
2
0
1
2
2
1
B ==→=
ϕ
→ ϕ
== .
6. Một bản thạch anh được cắt song song với quang trục và có độ dày d = 1mm. Chiếu ánh
sáng đơn sắc có bước sóng λ = 0,6μm vuông góc với mặt bản. Tính hiệu quang lộ và hiệu
78Chương 4: Phân cực ánh sáng
pha của tia thường và tia bất thường truyền qua bản thạch anh, biết rằng chiết suất của bản
đối với tia thường và tia bất thường lần lượt bằng n0 = 1,544, ne = 1,535.
Đáp số: Hiệu quang lộ của tia thường và tia bất thường truyền qua bản thạch anh có giá trị
bằng: () mm009,0d.nnL e0 =−=Δ
Hiệu pha của tia thường và tia bất thường truyền qua bản thạch anh có giá trị bằng:
)rad(30L.
2
π=Δ
λ
=ϕΔ
7. Cho biết đối với ánh sáng đơn sắc có bước sóng λ = 0,545μm thì chiết suất của bản phần
tư bước sóng đối với tia thường và tia bất thường truyền trong bản có giá trị lần lượt bằng
n0 = 1,658 và ne = 1,488. Hỏi bản phần tư bước sóng có độ dày nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Đáp số: ()() ,...3,2,1,0k,
4
1k2dnnL e0 =
λ
+=−=Δ
Bản phần tư bước sóng có độ dày nhỏ nhất khi k = 0.
Vậy dmin = 800nm.
8. Một bản nửa bước sóng có độ dày nhỏ nhất bằng dmin = 1,732μm. Cho biết chiết suất của
bản đối với tia thường và tia bất thường lần lượt bằng n0 = 1,658 và ne = 1,488. Xác định
bước sóng của ánh sáng truyền tới bản này.
Đáp số: ()() ,...3,2,1,0k,
2
1k2d.nnL e0 =
λ
+=−=Δ
Bản nửa bước sóng có độ dày nhỏ nhất khi k = 0.
Vậy
() m589,0nnd.2
nn2
d e0min
e0
min μ=− =λ→ −
λ
=
9. Một bản tinh thể được cắt song song với quang trục và có độ dày d = 0,25mm. Người ta
dùng bản tinh thể này làm bản phần tư bước sóng đối với ánh sáng có bước sóng λ =
0,53μm. Xác định đối với những bước sóng nào trong vùng quang phổ thấy được, bản tinh
thể này cũng là bản phần tư bước sóng. Coi rằng hiệu số chiết suất của bản đối với tia bất
thường và tia thường không đổi và bằng ne – n0 = 0,009 ứng với mọi bước sóng trong vùng
quang phổ thấy được có giá trị từ 0,4μm đến 0,76μm.
Đáp số: ()( )
4
1k2dnnL 0e
λ
+=−=Δ
Bước sóng của ánh sáng truyền tới bản:
1 k 2
9
1 k 2
nnd4 oe
+
=
+
−
=λ , mà 0,4 ≤ λ ≤ 0,76, suy
ra 5,42 ≤ k ≤ 10,75, mà k nguyên nên k = 6, 7, 8,9, 10.
79Chương 4: Phân cực ánh sáng
m43,0
110.2
9
10k
m47,0
19.2
9
9k,m53,0
18.2
9
8k
m6,0
17.2
9
7k,m69,0
16.2
9
6k
μ=
+
=λ→=
μ=
+
=λ→=μ=
+
=λ→=
μ=
+
=λ→=μ=
+
=λ→=
Vậy bản tinh thể còn là bản phần tư bước sóng đối với các ánh sáng có bước sóng
trên.
10. Một bản thạch anh được cắt song song với quang trục của nó với độ dày không vượt quá
0,5mm. Xác định độ dày lớn nhất của bản thạch anh này để chùm ánh sáng phân cực phân
cực thẳng có bước sóng λ = 0,589μm sau khi truyền qua bản thoả mãn điều kiện sau:
1. Mặt phẳng phân cực bị quay đi một góc nào đó.
2. Trở thành ánh sáng phân cực tròn.
Cho biết hiệu số chiết suất của tia thường và tia bất thường đối với bản thạch anh
ne – n0 = 0,009.
Đáp số: 1. dmax = 0,49mm. 2.dmax = 0,47mm
11. Giữa hai kính nicôn song song người ta đặt một bản thạch anh có các mặt vuông góc với
quang trục. Khi bản thạch anh có độ dày d1 = 2mm thì mặt phẳng phân cực của ánh sáng
đơn sắc truyền qua nó bị quay đi một góc φ1 = 530
. Xác định độ dày d2 của bản thạch anh
này để ánh sáng đơn sắc không truyền qua được kính nicôn phân tích.
Đáp số: Khi truyền theo quang trục của thạch anh mặt phẳng phân cực của ánh sáng bị quay
một góc φ1: φ1 = α.d1
Để ánh sáng đơn sắc không truyền qua được kính phân tích thì bản thạch anh phải có
độ dày d2 sao cho mặt phẳng phân cực quay đi một góc φ2 = 900
, mà φ2 =α.d2
mm4,3d
d
d
2
1
2
1
2 =→ ϕ
ϕ
=→
80Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein
CHƯƠNG V: THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP EINSTEIN
Theo cơ học cổ điển (cơ học Newton) thì không gian, thời gian và vật chất không phụ
thuộc vào chuyển động; không gian và thời gian là tuyệt đối, kích thước và khối lượng của
vật là bất biến. Nhưng đến cuối thế kỉ 19 và đầu thế kỉ 20, khoa học kĩ thuật phát triển
mạnh, người ta gặp những vật chuyển động nhanh với vận tốc cỡ vận tốc ánh sáng trong
chân không (3.108
m/s), khi đó xuất hiện sự mâu thuẫn với các quan điểm của cơ học
Newton: Không gian, thời gian và khối lượng của vật khi chuyển động với vận tốc gần bằng
vận tốc ánh sáng thì phụ thuộc vào chuyển động. Năm 1905, Einstein mới 25 tuổi đã đề
xuất lí thuyết tương đối của mình. Lí thuyết tương đối được xem là một lí thuyết tuyệt đẹp
về không gian và thời gian. Lí thuyết đó đã đứng vững qua nhiều thử thách thực nghiệm
trong suốt 100 năm qua. Lí thuyết tương đối dựa trên hai nguyên lí: nguyên lí tương đối và
nguyên lí về sự bất biến của vận tốc ánh sáng.
I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU
1. Hiểu được ý nghĩa của nguyên lí tương đối Einstein, nguyên lí về tính bất biến của vận
tốc ánh sáng.
2. Hiểu và vận dụng được phép biến đổi Lorentz. Tính tương đối của không gian, thời gian.
3. Nắm được khối lượng, động lượng tương đối tính, hệ thức Einstein và ứng dụng.
II. NỘI DUNG
§1. CÁC TIÊN ĐỀ EINSTEIN
1. Nguyên lí tương đối:
“ Mọi định luật vật lí đều như nhau trong các hệ qui chiếu quán tính”.
Galileo đã thừa nhận rằng những định luật của cơ học hoàn toàn giống nhau trong
mọi hệ qui chiếu quán tính. Einstein đã mở rộng ý tưởng này cho toàn bộ các định luật vật lí
trong các lĩnh vực điện từ, quang học...
2. Nguyên lí về sự bất biến của vận tốc ánh sáng:
“Vận tốc ánh sáng trong chân không đều bằng nhau đối với mọi hệ quán tính. Nó có
giá trị bằng c = 3.108
m/s và là giá trị vận tốc cực đại trong tự nhiên”.
81Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein
§2. ĐỘNG HỌC TƯƠNG ĐỐI TÍNH – PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ
1. Sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galileo với thuyết tương đối Einstein
Xét hai hệ qui chiếu quán tính K và K'. Hệ K' chuyển động thẳng đều với vận tốc V
so với hệ K, dọc theo phương x. Theo phép biến đổi Galileo, thời gian diễn biến một quá
trình vật lí trong các hệ qui chiếu quán tính K và K’ đều như nhau: t = t’. Khoảng cách giữa
hai điểm 1 và 2 nào đó đo được trong hai hệ K và K’ đều bằng nhau:
12 12 xx xx ′ − ′ = ′ Δ = − =Δ l l
trong hệ K trong hệ K/
Vận tốc của chất điểm chuyển động trong hệ K bằng tổng các vận tốc của chất điểm
đó trong hệ K’ và vận tốc V của hệ K' đối với hệ K:
v 'v
V'vv + =
Tất cả các kết quả trên đây đều đúng đối với v << c. Nhưng chúng mâu thuẫn với lí
thuyết tương đối của Einstein. Theo thuyết tương đối: thời gian không có tính tuyệt đối,
khoảng thời gian diễn biến của một quá trình vật lí phụ thuộc vào các hệ qui chiếu. Đặc biệt
khái niệm đồng thời phụ thuộc vào hệ qui chiếu, tức là các hiện tượng xảy ra đồng thời ở
trong hệ qui chiếu quán tính này sẽ không xảy ra đồng thời ở trong hệ qui chiếu quán tính
khác. Để minh họa chúng ta xét ví dụ sau:
Hai hệ qui chiếu quán tính K và K’ với
các trục tọa độ x, y, z và x’, y’, z’. Hệ K’
chuyển động thẳng đều với vận tốc V so với
hệ K theo phương x. Từ một điểm A bất kì,
trên trục x’ có đặt một bóng đèn phát tín hiệu
sáng theo hai phía ngược nhau của trục x.
Đối với hệ K’ bóng đèn là đứng yên vì nó
cùng chuyển động với hệ K’. Trong hệ K’
các tín hiệu sáng sẽ tới các điểm B và C ở
cách đều A cùng một lúc. Nhưng trong hệ K,
điểm B chuyển động đến gặp tín hiệu sáng,
còn điểm C chuyển động ra xa khỏi tín hiệu
sáng, do đó trong hệ K tín hiệu sáng sẽ đến
điểm B sớm hơn đến điểm C. Như vậy trong
hệ K, các tín hiệu sáng tới điểm B và điểm C
không đồng thời.
Hình 5-1. Thí dụ minh họa khái niệm
đồng thời có tính tương đối
Định luật cộng vận tốc, hệ quả của nguyên lí tương đối Galileo cũng không áp dụng
được. Theo định luật này thì ánh sáng truyền đến B với vận tốc c +V > c, còn ánh sáng
truyền đến C với vận tốc c -V< c. Điều này mâu thuẫn với nguyên lí thứ 2 trong thuyết
tương đối Einstein.
82Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein
2. Phép biến đổi Lorentz
Lorentz tìm ra phép biến đổi các tọa độ không gian và thời gian khi chuyển từ hệ
quán tính này sang hệ quán tính khác, thỏa mãn các yêu cầu của thuyết tương đối Einstein.
Phép biến đổi này được gọi là phép biến đổi Lorentz. Phép biến đổi Lorentz dựa trên hai
tiên đề của Einstein.
Xét hai hệ qui chiếu quán tính K và K’. Tại t = 0, hai gốc O, O’ trùng nhau, K’ chuyển động thẳng đều so với
K với vận tốc V theo phương x. Theo thuyết tương đối thời gian không có tính chất tuyệt đối mà phụ thuộc vào hệ qui
chiếu, nghĩa là t ≠ t’.
Giả sử tọa độ x’ là hàm của x và t theo phương trình:
x’ = f(x,t) (5-1)
Để tìm dạng của phương trình trên ta hãy viết phương trình chuyển động của hai gốc tọa độ O và O’. Đối với hệ K,
gốc O’ chuyển động với vận tốc V. Ta có:
x = Vt hay x – Vt = 0 (5-2)
x là tọa độ của gốc O’ trong hệ K. Đối với hệ K’, gốc O’ đứng yên, do đó tọa độ x’ của nó sẽ là:
x’ = 0 (5-3)
Phương trình (5-1) cũng phải đúng đối với điểm O’, điều đó có nghĩa là khi ta thay x’ = 0 vào phương trình (5-1) thì
phải thu được phương trình (5-2), muốn vậy thì:
)Vtx('x − α = (5-4)
trong đó α là hằng số. Đối với hệ K’, gốc O chuyển động với vận tốc –V. Nhưng đối với hệ K, gốc O là đứng yên.
Lập luận tương tự như trên ta có
)'Vt'x(x + β = (5-5)
trong đó β là hằng số. Theo tiên đề thứ nhất của Einstein thì mọi hệ qui chiếu quán tính đều tương đương nhau, nghĩa
là từ (5-4) có thể suy ra (5-5) và ngược lại bằng cách thay V→-V, x ↔x’, t ↔ t’. Suy ra: . β=α
Theo tiên đề hai: x = ct → t = x/c
x’ = ct’ → t’ = x’/c
Thay t và t’ vào (5-4) và (5-5) ta có:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−α=
c
xV x'x , ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+α=
c
V'x
'xx
Nhân vế với vế của hai hệ thức trên, sau đó rút gọn ta nhận được:
2
2
c
V 1
1
−
=α
Thay α vào các công thức trên ta nhận được các công thức của phép biến đổi Lorentz.
Phép biến đổi Lorentz:
2
2
c
V 1
Vtx
'x
−
−
= ,
2
2
c
V 1
'Vt'x
x
−
+
= (5-6)
83Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein
và
2
2
2
c
V 1
x
c
V t
't
−
−
= ,
2
2
2
c
V 1
'x
c
V 't
−
+
= (5-7)
Vì hệ K’ chuyển động dọc theo trục x nên y = y’ và z = z’.
Từ kết quả trên ta nhận thấy nếu c → ∞ (tương tác tức thời) hay khi V ⁄c → 0 (sự
gần đúng cổ điển khi V << c) thì:
x’ = x –Vt, y’ = y, z’ = z, t’ = t
x = x’ +Vt, y = y’, z = z’, t = t’
nghĩa là chuyển về phép biến đổi Galileo.
Khi V > c, tọa độ x, t trở nên ảo, do đó không thể có các chuyển động với vận tốc
lớn hơn vận tốc ánh sáng.
§3. CÁC HỆ QUẢ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ
1. Khái niệm về tính đồng thời và quan hệ nhân quả
Giả sử trong hệ quán tính K có hai biến cố A1(x1, y1, z1, t1) và biến cố A2(x2, y2, z2,
t2) với . Chúng ta hãy tìm khoảng thời gian
21 xx ≠ 12 tt ′ − ′ giữa hai biến cố đó trong hệ K'
chuyển động đều đối với hệ K với vận tốc V dọc theo trục x. Từ các công thức biến đổi
Lorentz ta có
2
2
12 2 12
12
c
V 1
)xx(
c
V tt
't't
−
−−−
=− (5-8)
Từ (5-8) ta suy ra rằng những biến cố xảy ra đồng thời ở trong hệ K (t1 = t2) sẽ không
đồng thời trong hệ K’ vì , chỉ có một trường hợp ngoại lệ là khi hai biến cố xảy
ra đồng thời tại những điểm có cùng giá trị của x (y có thể khác nhau). Như vậy khái niệm
đồng thời là một khái niệm tương đối, hai biến cố xảy ra đồng thời ở trong một hệ qui chiếu
quán tính này nói chung có thể không đồng thời ở trong một hệ qui chiếu quán tính khác.
0't't 12 ≠−
Nhìn vào công thức (5-8) ta thấy giả sử trong hệ K: t2 - t1>0 (tức là biến cố A1 xảy ra
trước biến cố A2), nhưng trong hệ K’: t’2 - t’1 chưa chắc đã lớn hơn 0, nó phụ thuộc vào dấu
và độ lớn của )xx(
c
V
12 2
− . Như vậy trong hệ K’ thứ tự của các biến cố có thể bất kì.
Tuy nhiên điều này không được xét cho các biến cố có quan hệ nhân quả với nhau.
Mối quan hệ nhân quả là mối quan hệ có nguyên nhân và kết quả. Nguyên nhân bao giờ
cũng xảy ra trước, kết quả xảy ra sau. Như vậy: Thứ tự của các biến cố có quan hệ nhân
quả bao giờ cũng được đảm bảo trong mọi hệ qui chiếu quán tính. Thí dụ: viên đạn được
84Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein
bắn ra (nguyên nhân), viên đạn trúng đích (kết quả). Gọi A1(x1, t1) là biến cố viên đạn bắn
ra và A2(x2, t2) là biến cố viên đạn trúng đích. Trong hệ K: t2 > t1. Gọi u là vận tốc viên đạn
và giả sử x2 > x1, ta có x2 - x1 = u(t2-t1). Thay vào (5-8) ta có:
2
2
2 12
2
2
12 2 12
12
c
V 1
c
u.V 1)tt(
c
V 1
)tt(u.
c
V tt
't't
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
−
−−−
=− (5-9)
Ta luôn có u << c, do đó nếu t2 > t1 thì ta cũng có . Trong cả hai hệ K và K’
bao giờ biến cố viên đạn trúng đích cũng xảy ra sau biến cố viên đạn được bắn ra.
'
1
'
2 tt >
2. Sự co của độ dài (sự co ngắn Lorentz)
Xét hai hệ qui chiếu quán tính K và K'. Hệ K' chuyển động thẳng đều với vận tốc V
so với hệ K dọc theo trục x. Giả sử có một thanh đứng yên trong hệ K’ đặt dọc theo trục x’,
độ dài của nó trong hệ K’ bằng:
12o 'x'x − = l . Gọi là độ dài của thanh trong hệ K. Từ
phép biến đổi Lorentz ta có:
l
2
2
22
2
c
V 1
Vtx
'x
−
−
= ,
2
2
11
1
c
V 1
Vtx
'x
−
−
=
Ta phải xác định vị trí các đầu của thanh trong hệ K tại cùng một thời điểm: t2 = t1, do đó:
2
2
12
12
c
V 1
xx
'x'x
−
−
=− →
o 2
2
c
V 1 l ll <−= (5-10)
Hệ K' chuyển động so với hệ K, nếu ta đứng ở hệ K quan sát thì thấy thanh chuyển
động cùng hệ K'. Chiều dài của thanh ở hệ K nhỏ hơn chiều dài của nó ở trong hệ K'.
Vậy: “độ dài (dọc theo phương chuyển động) của thanh trong hệ qui chiếu mà thanh
chuyển động ngắn hơn độ dài của thanh ở trong hệ mà thanh đứng yên”.
Nói một cách khác khi vật chuyển động, kích thước của nó bị co ngắn theo phương
chuyển động.
Ví dụ: một vật có vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng V=260000 km/s thì
5,0
c
V 1
2
2
≈− khi đó = 0,5 , l o l kích thước của vật sẽ bị co ngắn đi một nửa. Nếu quan
sát một vật hình hộp vuông chuyển động với vận tốc lớn như vậy ta sẽ thấy nó có dạng một
hình hộp chữ nhật, còn một khối cầu sẽ có dạng hình elipxoit tròn xoay.
Như vậy kích thước của một vật sẽ khác nhau tuỳ thuộc vào chỗ ta quan sát nó ở
trong hệ đứng yên hay chuyển động. Điều đó nói lên rằng không gian có tính tương đối, nó
85Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein
phụ thuộc vào chuyển động. Khi vật chuyển động với vận tốc nhỏ (V << c), từ (5-10) ta có
, ta trở lại kết quả của cơ học cổ điển, không gian được coi là tuyệt đối, không phụ
thuộc vào chuyển động.
o ll =
3. Sự giãn của thời gian
Xét hai hệ qui chiếu quán tính K, K’. Hệ K’ chuyển động đều với vận tốc V so với hệ
K dọc theo trục x. Ta đặt một đồng hồ đứng yên trong hệ K’. Xét hai biến cố xảy ra tại cùng
một điểm A trong hệ K’. Khoảng thời gian giữa hai biến cố trong hệ K’ là .
Khoảng thời gian giữa hai biến cố trong hệ K là
12 't't't −=Δ
12 ttt − = Δ . Từ phép biến đổi Lorentz ta
có:
2
2
1 2 1
1
c
V 1
'x
c
V 't
−
+
= ,
2
2
2 2 2
2
c
V 1
'x
c
V 't
−
+
=
21 'x'x = →
2
2
12
12
c
V 1
't't
−
−
=−=Δ
hay t
c
V 1t't
2
2
Δ<−Δ=Δ (5-11)
Như vậy: “ Khoảng thời gian ∆t’ của một quá trình trong hệ K’ chuyển động bao giờ
cũng nhỏ hơn khoảng thời gian ∆t của quá trình đó xảy ra trong hệ K đứng yên.”
Ví dụ: nếu con tàu vũ trụ chuyển động với vận tốc V=260000 km/s thì ∆t’=0,5.∆t, tức
là nếu khoảng thời gian diễn ra một quá trình trên con tàu vũ trụ là 5 năm thì ở mặt đất lúc
đó thời gian đã trôi qua là 10 năm. Đặc biệt nếu nhà du hành vũ trụ ngồi trên con tàu chuyển
động với vận tốc rất gần với vận tốc ánh sáng V=299960 km/s trong 10 năm để đến một
hành tinh rất xa thì trên trái đất đã 1000 năm trôi qua và khi nhà du hành quay trở về trái
đất, người đó mới già thêm 20 tuổi, nhưng trên trái đất đã 2000 năm trôi qua. Có một điều
cần chú ý là để đạt được vận tốc lớn như vậy thì cần tốn rất nhiều năng lượng, mà hiện nay
con người chưa thể đạt được. Nhưng sự trôi chậm của thời gian do hiệu ứng của thuyết
tương đối thì đã được thực nghiệm xác nhận.
Như vậy khoảng thời gian có tính tương đối, nó phụ thuộc vào chuyển động. Trường
hợp vận tốc chuyển động rất nhỏ V << c, từ công thức (5-11) ta có t't Δ ≈ Δ , ta trở lại kết
quả của cơ học cổ điển, ở đây khoảng thời gian được coi là tuyệt đối, không phụ thuộc vào
chuyển động.
4. Phép biến đổi vận tốc
Giả sử v là vận tốc của chất điểm đối với hệ quán tính K, v' là vận tốc của cũng chất
điểm đó đối với hệ quán tính K'. Hệ K' chuyển động thẳng đều với vận tốc V đối với hệ K
86Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein
dọc theo phương x. Ta hãy tìm định luật tổng hợp vận tốc liên hệ giữa v và v'. Theo phép
biến đổi Lorentz:
2
2
2
dx
c
V dt
'dt
−
=
2
2
c
V 1
Vdtdx
'dx
−
−
= ,
c
V 1−
→
2
x
x
2
x
c
Vv
1
Vv
dx
c
V dt
Vdtdx
'dt
'dx
'v
−
−
=
−
−
= (5-12)
dy’ = dy →
2
x
2
2
y
2
2
2
y
c
Vv
1
c
V 1v
dx
c
V dt
c
V 1dy
'v
−
−
=
−
−
= (5-13)
dz’ = dz →
2
x
2
2
z
2
2
2
z
c
Vv
1
c
V 1v
dx
c
V dt
c
V 1dz
'v
−
−
=
−
−
= (5-14)
Các công th ểu diễn định lí tổng hợp vận tốc trong thuyết tươ
thì
ức trên bi ng đối. Nếu V/c << 1
Vv −= , 'v xx yy v'v = ,
zz v'v = như cơ học cổ điển.
Nếu cvx = → c
Vc
'v
2
x ==
c
1
Vc
−
−
ó chứ inh tính bất biế ủa vận tốc ánh sáng trong chân không đối với các hệ qui
1. Phương trình cơ bản của chuyển động chất điểm
Theo thuyết tương c gần bằng vận tốc ánh
sáng thì khối lượng của vật không phải là một hằng số, mà phụ thuộc vào vận tốc theo biểu
điều đ ng m n c
chiếu quán tính.
§ 4. ĐỘNG LỰC HỌC TƯƠNG ĐỐI
đối, khi một vật chuyển động với vận tố
thức:
2
2
v
m m = (5-15)
c
1−
87Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein
trong đó mo là khối lượng của chất điểm đó trong h mà nó
lượng nghỉ. Khối lượng có tính tương đối, nó phụ thuộ hệ qu
Như vậy, phương trình biểu diễn định luật II Newton
ệ đứng yên, được gọi là khối
c i chiếu.
dt
vd
mF = không thể mô tả
ng:
chuyển động của chất điểm với vận tốc lớn được. Để mô tả chuyển động cần có phương
trình khác tổng quát hơn. Theo thuyết tương đối phương trình đó có dạ
)vm(
dt
d
o a định luật II
Newton.
2. Động lượng và năng lượng
Độn
F = (5-16)
Khi cv << , m = m = const, phương trình (5-16) sẽ trở thành phương trình củ
g lượng của một vật bằng:
v
c
v
1
m vmp
2
2
−
== (5-17)
Khi ta thu được biểu thức cổ điển: cv << vmp o = .
Ta hãy tính năng lượng của vật. Theo định luật bảo toàn năng lượng, độ tăng năng
lượng của vật bằng công của ngoại lực tác dụng lên vật:
dsF dAdE ==
Để đơ ds , khi đó: F cùng phương với chuyển dời n giản ta giả sử ngoại lực
ds
c
v dt
FdsdE
2 ⎟
⎟
⎜
⎜ ==
1
vm d
2
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
−
Sau khi biến đổi ta được:
⎛
⎜
2/3
2
2
c
v
1
dvvm dE
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
= (5-18)
Mặt khác từ (5-15) ta có:
88Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein
2/3
2
2
2
c
v
1c
dvvm dm
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
= (5-19)
So sánh (5-18) và (5-19) ta rút ra:
2
=
hay
hân. Do m = 0 thì E = 0, ta rút ra C = 0. Vậy:
Hệ thức (5-20) được gọi là hệ thức Einstein.
ng là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính
của v
nghỉ của vật: đó là năng lượng lúc vật đứng yên.
Lúc chuyển động vật có thêm động năng E :
o Eđ
→ E
dE dmc
C mcE 2
+=
trong đó C là một hằng số tích p
2
mcE = (5-20
Ý nghĩa của hệ thức Einstein: Khối lượ
ật, năng lượng đặc trưng cho mức độ vận động của vật. Như vậy, hệ thức Einstein nối
liền hai tính chất của vật chất: quán tính và mức độ vận động. Hệ thức đó cho ta thấy rõ,
trong điều kiện nhất định, một vật có khối lượng nhất định thì cũng có năng lượng nhất định
tương ứng với khối lượng đó.
3. Các hệ quả
a. Năng lượng
2
ocmE =
đ
= 22
cmmc +
đ
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=−= 1
c
v
1
1
cmcmmc
2
2
2
2
2
(5-21)
Khi thì: cv <<
....
c
v
2
1
1
c
v
1
c
v
1
1
2
2 2/1
2
2
2
2
++≈
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
−
−
→Eđ
2
vm 1
c
v
2
1
1cm
2
2
2
2
o =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+≈
Đây là biểu thức động năng trong cơ học cổ điển.
b. Năng lượng và động lượng của vật
89Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein
2
2
2
o 2 m mcE == c
c
v
1−
Bình phương hai vế ta có:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−= 2
2
242
c
v
1Ecm
Thay và , ta có:
2
cp E + (5-22)
Đây là biểu thức liên hệ giữa năng lượng và ộ g lượng.
III. TÓM TẮT NỘI DUNG
Cơ học Newton chỉ ứng dụng cho các vật thể vĩ mô chuyển động với vận tốc rất nhỏ
so vớ
i: “ Mọi định luật vật lí đều như nhau trong các hệ qui chiếu
quán
yên lí về sự bất biến của vận tốc ánh sáng: “Vận tốc ánh sáng trong chân không
đều b
giữa các tọa độ không gian và thời gian trong hai hệ qui chiếu
quán t
2
mcE = mvp =
2
cm = 224
đ n
i vận tốc ánh sáng trong chân không. Các vật thể chuyển động với vận tốc lớn vào cỡ
vận tốc ánh sáng thì phải tuân theo thuyết tương đối hẹp Einstein.
1. Các tiên đề của Einstein
* Nguyên lí tương đố
tính”.
* Ngu
ằng nhau đối với mọi hệ quán tính. Nó có giá trị bằng c = 3.108
m/s và là giá trị vận
tốc cực đại trong tự nhiên”.
2. Phép biến đổi Lorentz
Đó là phép biến đổi
ính K và K’ chuyển động thẳng đều với nhau với vận tốc V (dọc theo trục x):
⎟
⎟
⎠
⎞⎛ V
⎜
⎜
⎝
−α===−α= x
c
t't;z'z;y'y);Vtx('x
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′ +α=== ′ +α= x
c
V 'tt;'zz;'yy);tV'x(x
2
2
2
c
V 1
1
−
=α trong đó:
Từ phép biến đổi Lorentz ta rút ra các hệ quả:
nó co ngắn theo phương chuyển động: * Khi vật chuyển động, kích thước của
o 2
2
V
c
1 l ll <−=
90Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein
* Đồng hồ chuyển động chạy chậm hơn đồng hồ đứng yên:
c
2
V 1t't
2
Δ<−Δ=Δ
* Đối với các biến cố không có quan hệ nhân quả với nhau, khái niệm đồng thời chỉ
có tính tương đối. Còn đối với các biến cố có quan hệ ả, thứ tự xảy các biến cố được
đảm bảo: nguyên nhân bao giờ cũng xảy ra trước kết quả xảy ra sau, điều này không phụ
thuộc
nhân qu
hệ qui chiếu.
3. Động lực học tương đối tính
Hệ thức Einstein: E = mc2
2
2
c
v
trong đó:
1−
m m =
ứng yên)
Năng lượng nghỉ của vật: Eo = moc2
mo là khối lượng nghỉ của vật (khi vật đ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
= 1
c/v1
1
cm 22
2
oo −= EE Động năng của vật: Eđ
2
o 2
2
2
o vm
2
1
1
c2
v
1cm =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+≈ Nếu v<<c, có thể tính gần đúng: Eđ
Ta tìm lại được biểu thức động năng trong cơ học cổ điển.
ượng:
1. Nêu giới hạn ứng dụng của cơ học Newton.
.
3. Viết công thức của phép biến đổi Lorentz.
ủa thời gian.
ự đồng thời giữa các biến cố không có quan hệ nhân quả
ề thời gian giữa các biến cố có
ỏ cơ học Newton là trường hợp giới hạn của thuyết tương đối Einstein khi v << c
Biểu thức liên hệ giữa năng lượng và động l
2242
2
cpcmE +=
IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT
2. Phát biểu hai tiên đề Einstein
4. Giải thích sự co ngắn của độ dài và sự giãn c
5. Phân tích tính tương đối của s
với nhau.
6. Dựa vào phép biến đổi Lorentz, chứng tỏ trật tự kế tiếp v
quan hệ nhân quả với nhau vẫn được tôn trọng.
7. Chứng t
hay coi c lớn vô cùng.
91Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein
8. Viết biểu thức chứng tỏ trong thuyết tương đối Einstein, khối lượng m của một vật tăng
lên khi chuyển động.
9. Từ công thức cộng vận tốc trong thuyết tương đối, tìm lại định luật cộng vận tốc trong cơ
học Newton.
10. Viết và nêu ý nghĩa của hệ thức Einstein về năng lượng.
11. Từ hệ thức E = mc2
, tìm lại biểu thức động năng của một vật chuyển động với vận tốc
V. BÀI TẬP
ển động phải có vận tốc bao nhiêu để người quan sát đứng ở hệ qui
đất thấy chiều dài của nó giảm đi 25%.
ông thức:
v<<c trong cơ học cổ điển.
Thí dụ 1: Vật chuy
chiếu gắn với trái
2
2
v
0
c
1−= ll , theo Bài giải: Chiều dài của vật chuyển động xác định theo c
đầu bài:
)s/km(198600v6615,075,01
c
v
75,0
c
v
175,0 25,0 2
2
2
0 0
0 =
−
l
ll
=→=−=→=−→=→ l
l
Thí dụ 2: Tìm vận tốc của hạt mêzôn để năng lượng toàn phần của nó lớn gấp 10 lần năng
ng nghỉ của nó. lượ
Bài giải: Theo thuyết tương đối:
995,0
c
v
10
c
v
1
1
E
E
c
v
1
E
c
v
1
cm E
2
0
= =
2
2 0
2
2
0
2
2
=→=
−
=→
− −
Suy ra vận tốc của hạt mêzôn là:
Bài tập tự giải
tốc bao nhiêu để kích thước của nó theo phương chuyển
i chiếu gắn với trái đất giảm đi 2 lần.
s/m10.985,2v 8
=
1. Vật chuyển động phải có vận
động trong hệ qu
s/m10.59,2v
2
v
1 8 0
2
2
0 =⇒=−=
l
ll Đáp số:
c
ượng của electrôn chuyển động bằng hai l ối lượng nghỉ của nó. Tìm vận tốc
chuyển động của electrôn.
2. Khối l ần kh
92Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein
Đáp số: s/m10.59,2vm2
c
v
1
m m 8
0
2
2
0
=⇒=
−
=
3. Khối lượng của vật tăng thêm bao nhiêu lần nếu vận tốc của nó tăng từ 0 đến 0,9 lần
vận tốc của ánh sáng.
Đáp số: 3,2
c
)c9,0(
1
1
c
v
1
1
c
v
1
2
2
2
2 0
2
2
0 =
−
=
−
=⇒
−
= lần
4. Hạt mêzôn trong các tia vũ trụ chuyển động với vận tốc bằng 0,95 lần vận tốc ánh sáng.
Hỏi khoảng thời gian theo đồng hồ người quan sát đứng trên trái đất ứng với khoảng “thời
gian sống” một giây của hạt mêzôn.
Đáp số: ∆t
= 3,2s.
5. Hạt electrôn phải chịu một hiệu điện thế tăng tốc U bằng bao nhiêu để vận tốc của nó
bằng 95% vận tốc ánh sáng.
Đáp số: Sau khi tăng tốc năng lượng của electrôn:
2
2
2
0 2
0
2
c
v
1
cm eUcmmc
−
=+= , mà
theo đầu bài V10.1,1U%95
c
v 6
=→=
6. Tìm hiệu điện thế tăng tốc U mà prôtôn vượt qua để cho kích thước của nó trong hệ qui
chiếu gắn với trái đất giảm đi hai lần. Cho mp = 1,67.10-27
kg.
Đáp số:
2
2
0
2
2
2
0 2
0
c
v
1,
c
v
1
cm eUcm −=
−
=+ ll , theo điều kiện đầu bài
V10.9U
2
1
c
v
1 8
2
2
0
=→=−=
l
l
7. Hỏi vận tốc của hạt phải bằng bao nhiêu để động năng của hạt bằng năng lượng nghỉ.
Đáp số: Eđ
2
2
2
0 2
0
c
v
1
cm cm
−
=+ , theo điều kiện đầu bài:
93Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein
Eđ s/m10.6,2v
100
6,86
c
v
cm2
c
v
1
cm cm 8 2
0
2
2
2
0 2
0 =→=→=
−
→=
8. Khối lượng của hạt electrôn chuyển động lớn gấp hai lần khối lượng của nó khi đứng
yên. Tìm động năng của hạt.
Đáp số: Eđ + , theo điều kiện đầu bài
22
0 mccm = 2
0
= → Eđ = 8,2.10-14
J
9. Để động năng của hạt bằng một nửa năng lượng nghỉ của nó thì vận tốc của hạt phải bằng
bao nhiêu?
Đáp số: Eđ s/m10.22,2v
3
2
c
v
1cm
2
1
1
c
v
1
1
cm 8
2
2
2
0
2
2
2
0 =→=−→ =
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
10. Khi năng lượng của vật biến thiên 4,19J thì khối lượng của vật biến thiên bao nhiêu?
Đáp số: kg10.65,4
c
E
m 17
2
− ≈
Δ
=Δ
94Chương 6: Quang học lượng tử
CHƯƠNG VI: QUANG HỌC LƯỢNG TỬ
Hiện tượng giao thoa, nhiễu xạ ánh sáng là những hiện tượng chứng tỏ bản chất sóng
của ánh sáng. Nhưng vào cuối thế kỉ 19, đầu thế kỉ 20 người ta đã phát hiện những hiện
tượng quang học mới như hiện tượng bức xạ nhiệt, hiệu ứng quang điện, hiệu ứng
Compton. Những hiện tượng này không thể giải thích được bằng thuyết sóng ánh sáng. Để
giải quyết những bế tắc trên, người ta phải dựa vào thuyết lượng tử của Planck và thuyết
phôtôn của Einstein, tức là phải dựa vào bản chất hạt của ánh sáng. Phần quang học nghiên
cứu ánh sáng dựa vào hai thuyết trên gọi là quang học lượng tử. Trong chương này chúng ta
sẽ nghiên cứu các hiện tượng bức xạ nhiệt, hiệu ứng quang điện, hiệu ứng Compton cùng
với thuyết lượng tử của Planck và thuyết phôtôn của Einstein.
I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU
1. Nắm được hiện tượng bức xạ nhiệt. Các định luật phát xạ của vật đen tuyệt đối. Sự bế tắc
của quang học sóng cổ điển trong việc giải thích sự bức xạ của vật đen tuyệt đối.
2. Nắm được thuyết lượng tử của Planck và thành công của nó trong việc giải thích các định
luật phát xạ của vật đen tuyệt đối.
3. Nắm được thuyết phôtôn của Einstein và giải thích các định luật quang điện.
4. Giải thích hiệu ứng Compton.
II. NỘI DUNG
§1. BỨC XẠ NHIỆT
1. Bức xạ nhiệt cân bằng
Bức xạ là hiện tượng các vật bị kích thích phát ra sóng điện từ. Có nhiều dạng bức
xạ khác nhau do những nguyên nhân khác nhau gây ra: ví dụ do tác dụng nhiệt (miếng sắt
nung đỏ, dây tóc bóng đèn cháy sáng), do tác dụng hóa học (phốt pho cháy sáng trong
không khí), do biến đổi năng lượng trong mạch dao động điện từ... Tuy nhiên phát bức xạ
do tác dụng nhiệt là phổ biến nhất và được gọi là bức xạ nhiệt.
Định nghĩa: Bức xạ nhiệt là hiện tượng sóng điện từ phát ra từ những vật bị kích thích bởi
tác dụng nhiệt.
Khi vật phát ra bức xạ, năng lượng của nó giảm và nhiệt độ của nó cũng giảm theo.
Ngược lại nếu vật hấp thụ bức xạ, năng lượng của nó tăng và nhiệt độ của nó tăng. Trong
trường hợp nếu phần năng lượng của vật bị mất đi do phát xạ bằng phần năng lượng vật thu
95Chương 6: Quang học lượng tử
được do hấp thụ, thì nhiệt độ của vật sẽ không đổi theo thời gian và bức xạ nhiệt của vật
cũng không đổi. Bức xạ nhiệt trong trường hợp này được gọi là bức xạ nhiệt cân bằng và
trạng thái này được gọi là trạng thái cân bằng nhiệt động.
2. Các đại lượng đặc trưng của bức xạ nhiệt cân bằng
a. Năng suất phát xạ toàn phần
Xét một vật đốt nóng được giữ ở nhiệt độ T không đổi
(hình 6-1). Diện tích dS của vật phát xạ trong một đơn vị thời
gian một năng lượng toàn phần
T dφ . Đại lượng
dS
d
R T
T
φ
= (6-1)
Hình 6-1
được gọi là năng suất phát xạ toàn phần của vật ở nhiệt độ T.
Định nghĩa: Năng suất phát xạ toàn phần của vật ở nhiệt độ T là một đại lượng có giá trị
bằng năng lượng bức xạ toàn phần do một đơn vị diện tích của vật đó phát ra trong một
đơn vị thời gian ở nhiệt độ T.
Đơn vị của năng suất phát xạ toàn phần RT trong hệ đơn vị SI là oát trên mét vuông
(W/m2
).
b. Hệ số phát xạ đơn sắc
Bức xạ toàn phần do vật phát ra ở nhiệt độ T nói chung bao gồm nhiều bức xạ đơn
sắc. Năng lượng bức xạ phân bố không đồng đều cho tất cả mọi bức xạ có bước sóng khác
nhau. Vì thế năng lượng phát xạ ứng với bước sóng thay đổi trong khoảng λ đến λ+dλ chỉ
là một vi phân của năng suất phát xạ toàn phần . Đại lượng
λ
= λ
d
dR r
T
T,
(6-2)
được gọi là hệ số phát xạ đơn sắc của vật ở nhiệt độ T ứng với bước sóng λ. Nó phụ thuộc
vào bản chất và nhiệt độ của vật và phụ thuộc bước sóng λ của bức xạ đơn sắc do vật phát
ra.
Đơn vị của hệ số phát xạ đơn sắc: W/m3
.
Bằng thực nghiệm ta có thể xác định được ứng với bức xạ đơn sắc bước sóng λ
của vật phát ra ở nhiệt độ T, từ đó ta sẽ xác định được năng suất phát xạ toàn phần
T,
rλ
λ== ∫∫
∞
λ drdRR
0
T,TT (6-3)
c. Hệ số hấp thụ đơn sắc
96Chương 6: Quang học lượng tử
Giả sử trong một đơn vị thời gian, chùm bức xạ đơn sắc có bước sóng nằm trong
khoảng từ λ đến λ+dλ gửi tới một đơn vị diện tích của vật một năng lượng d λ φ ưng vật
đó chỉ hấp thụ một phần năng lượng
'
d λ φ eo định nghĩa, tỉ số
T,
nh
. Th T,
T,
'
T,
T,
d
d
a
λ
λ
λ
φ
φ
= (6-4)
được gọi là hệ số hấp thụ đơn sắc của vật ở nhiệt độ T ứng với bước sóng λ. Nó phụ thuộc
vào bản chất và nhiệt độ của vật, phụ thuộc vào bước sóng λ của chùm bức xạ đơn sắc gửi
tới.
Thông thường vật không hấp thụ hoàn toàn năng lượng của chùm bức xạ gửi tới, do
đó . Những vật mà 1a T,
< λ 1a T,
= λ với mọi nhiệt độ T và mọi bước sóng λ được gọi là
vật đen tuyệt đối. Trong thực tế không có vật đen tuyệt đối mà chỉ có những vật có tính chất
gần với tính chất của vật đen tuyệt đối, ví dụ bồ hóng, than bạch kim...Để tạo ra vật đen
tuyệt đối người ta dùng một cái bình rỗng cách nhiệt, có khoét một lỗ nhỏ, mặt trong phủ
một lớp bồ hóng. Khi tia bức xạ lọt qua lỗ vào bình, nó sẽ bị phản xạ nhiều lần trên thành
bình, mỗi lần phản xạ năng lượng của nó lại bị bình hấp thụ một phần. Kết quả có thể coi là
tia bức xạ đã bị hấp thụ hoàn toàn.
3. Định luật Kirchhoff
Giả sử đặt hai vật có bản chất khác nhau trong một bình cách nhiệt. Các vật này sẽ
phát xạ và hấp thụ nhiệt. Sau một thời gian trạng thái cân bằng nhiệt động sẽ được thiết lập,
hai vật sẽ cùng ở một nhiệt độ T như trong bình. Ở trạng thái cân bằng thì hiển nhiên vật
nào phát xạ mạnh thì cũng phải hấp thụ bức xạ mạnh. Từ nhận xét đó Kirchhoff đã đưa ra
định luật mang tên ông như sau:
“Tỉ số giữa hệ số phát xạ đơn sắc
và hệ số hấp thụ đơn sắc của một vật bất
kì ở trạng thái bức xạ nhiệt cân bằng không
phụ thuộc vào bản chất của vật đó, mà chỉ phụ
thuộc vào nhiệt độ T của nó và bước sóng λ của
chùm bức xạ đơn sắc”.
T,
rλ
T,
aλ
Nghĩa là
T,
T,
T,
f
a
λ
λ
λ
= (6-5)
Hình 6-2. Đường đặc trưng phổ phát xạ
của vật đen tuyệt đối
trong đó là hàm số chung cho mọi vật nên được gọi là hàm phổ biến. Vì vật đen tuyệt
đối có hệ số hấp thụ đơn sắc bằng 1 nên hàm phổ biến chính là hệ số phát xạ đơn sắc của
vật đen tuyệt đối. Làm thí nghiệm với mô hình của vật đen tuyệt đối người ta xác định được
bằng thực nghiệm. Hình 6-2 là đồ thị của hàm phổ biến theo bước sóng λ ở nhiệt
T,
fλ
T,
fλ T,
fλ
97Chương 6: Quang học lượng tử
độ T. Đường cong này được gọi là đường đặc trưng phổ phát xạ của vật đen tuyệt đối. Năng
suất phát xạ toàn phần của vật đen tuyệt đối được xác định theo công thức (6-3) sẽ có trị số
bằng toàn bộ diện tích giới hạn bởi đường đặc trưng phổ phát xạ và trục hoành λ trên hình
6-2.
§2. CÁC ĐỊNH LUẬT PHÁT XẠ CỦA VẬT ĐEN TUYỆT ĐỐI
1. Định luật Stephan-Boltzmann
Hình 6-3 biểu diễn đường đặc trưng phổ
phát xạ của vật đen tuyệt đối ở các nhiệt độ
khác nhau. Ta nhận thấy khi nhiệt độ tăng,
diện tích giữa đường đặc trưng phổ phát xạ và
trục hoành λ cũng tăng theo. Như vậy năng
suất phát xạ toàn phần của vật đen tuyệt đối
phụ thuộc vào nhiệt độ của vật. Stephan (bằng
thực nghiệm) và Boltzmann (bằng lý thuyết)
đã tìm ra sự phụ thuộc này và đã thiết lập
được định luật Stephan-Boltzmann.
Hình 6-3
Định luật Stephan-Boltzmann: Năng suất phát xạ toàn phần của vật đen tuyệt đối tỉ lệ
thuận với lũy thừa bậc bốn của nhiệt độ tuyệt đối của vật đó:
4
T TR σ= (6-6)
trong đó σ được gọi là hằng số Stephan-Boltzmann, σ =5,6703.10-8
W/m2
K4
.
2. Định luật Wien
Nhìn trên hình 6-3 ta thấy rằng mỗi đường đặc trưng phổ phát xạ của vật đen tuyệt
đối ở một nhiệt độ T nhất định đều có một cực đại ứng với một giá trị xác định của bước
sóng được ký hiệu là λmax và khi nhiệt độ tăng thì bước sóng λmax giảm. Đối với vật đen
tuyệt đối thì những bức xạ có bước sóng lân cận giá trị của λmax là bức xạ mang nhiều năng
lượng nhất. Nghiên cứu mối quan hệ định lượng giữa bước sóng λmax và nhiệt độ T của vật
đen tuyệt đối, năm 1817 Wien đã tìm ra định luật mang tên ông.
Định luật Wien: Đối với vật đen tuyệt đối, bước sóng λmax của chùm bức xạ đơn sắc mang
nhiều năng lượng nhất tỷ lệ nghịch với nhiệt độ tuyệt đối của vật đó.
T
max =λ (6-7)
b = 2,898.10-3
m.K và được gọi là hằng số Wien.
98Chương 6: Quang học lượng tử
3. Sự khủng hoảng ở vùng tử ngoại
Xuất phát từ quan niệm của vật lí cổ điển coi các nguyên tử và phân tử phát xạ hoặc
hấp thụ năng lượng một cách liên tục, Rayleigh-Jeans đã tìm được một công thức xác định
hệ số phát xạ đơn sắc của vật đen tuyệt đối như sau:
kT
c
2
f
2
2
T,
πν
= ν (6-8)
trong đó k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ tuyệt đối, ν là tần số của bức xạ đơn sắc (tần
số và bước sóng liên hệ với nhau qua công thức ν = c/λ).
Theo công thức (6-8), tỉ lệ với lũy thừa bậc 2 của ν, nên sẽ tăng rất nhanh
khi ν tăng (tức λ giảm). Công thức này chỉ phù hợp với thực nghiệm ở vùng tần số nhỏ
(bước sóng lớn), còn ở vùng tần số lớn (bước sóng nhỏ), tức là vùng sóng tử ngoại, nó sai
lệch rất nhiều. Bế tắc này tồn tại suốt trong khoảng thời gian dài cuối thế kỷ 19 và được gọi
là sự khủng hoảng ở vùng tử ngoại.
T,
fν T,
fν
Mặt khác, từ công thức (6-8) ta có thể tính được năng suất phát xạ toàn phần của một
vật đen tuyệt đối ở nhiệt độ T:
∞=νν
=ν= ∫ ∫
∞ ∞
ν d
c
kT2
dfR
0
2
2
0
T,T (6-9)
Năng lượng phát xạ toàn phần của vật ở một nhiệt độ T nhất định lại bằng vô cùng.
Điều này là sai. Sở dĩ có kết quả vô lí đó là do quan niệm vật lí cổ điển về sự phát xạ và hấp
thụ năng lượng bức xạ một cách liên tục. Để giải quyết những bế tắc trên, Planck đã phủ
định lí thuyết cổ điển về bức xạ và đề ra một lí thuyết mới gọi là thuyết lượng tử năng
lượng.
§3. THUYẾT LƯỢNG TỬ PLANCK VÀ THUYẾT PHÔTÔN EINSTEIN
1. Thuyết lượng tử năng lượng của Planck
Phát biểu: Các nguyên tử và phân tử phát xạ hay hấp thụ năng lượng của bức xạ điện
từ một cách gián đoạn, nghĩa là phần năng lượng phát xạ hay hấp thụ luôn là bội số nguyên
của một lượng năng lượng nhỏ xác định gọi là lượng tử năng lượng hay quantum năng
lượng. Một lượng tử năng lượng của bức xạ điện từ đơn sắc tần số ν, bước sóng λ là:
λ
=ν=ε
hc
h (6-10)
trong đó h là hằng số Planck, h = 6,625.10-34
Js, c là vận tốc ánh sáng trong chân không.
Xuất phát từ thuyết lượng tử, Planck đã tìm ra công thức của hàm phổ biến, tức là hệ
số phát xạ đơn sắc của vật đen tuyệt đối như sau:
1e
h
c
2
f
kT/h2
2
T,
−
νπν
= ν ν (6-11)
99Chương 6: Quang học lượng tử
trong đó k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ tuyệt đối. Công thức này được gọi là công
thức Planck.
2. Thành công của thuyết lượng tử năng lượng
* Công thức Planck cho phép ta vẽ được đường đặc trưng phổ phát xạ của vật đen tuyệt đối
phù hợp với kết quả thực nghiệm ở mọi vùng nhiệt độ và mọi vùng tần số khác nhau.
* Từ công thức Planck ta có thể suy được công thức của Rayleigh và Jeans và các công thức
thể hiện các định luật của vật đen tuyệt đối. Trong miền tần số nhỏ sao cho thì kTh <<ν
kT
h
1e
kT/h ν
≈− ν
. Do đó công thức Planck sẽ thành: kT
c
2
f
2
2
T,
πν
= ν , ta lại thu được
công thức của Rayleigh và Jeans.
* Từ công thức Planck ta tìm được định luật Stephan-Boltzmann:
Năng suất phát xạ toàn phần của vật đen tuyệt đối tại một nhiệt độ T nào đó bằng:
∞
ν
∞
ν ν
−
νπν
=ν=
0
kT/h2
2
0
T,T d
1e
h
c
2
dfR (6-12)
Đặt x = hν/kT ta được
15 hc
Tk2
1e
dxx
hc
Tk2
R
4
32
44
0
x
3
32
44
T
=
−
= ∫
∞
Cuối cùng ta được trong đó
4
T TR σ= σ =5,6703.10-8
W/m2
.K4
. Đây chính là định luật
Stephan-Boltzmann.
* Từ công thức Planck ta tìm được định luật Wien
Nếu ta lấy đạo hàm của fν,T theo ν và cho nó triệt tiêu rồi tìm νmax (hay λmax) tại các nhiệt độ
khác nhau, kết quả thu được là
3-
max 10.8978,2T =λ mK. Đây chính là định luật Wien.
3. Thuyết phôtôn của Einstein
Thuyết lượng tử của Planck đã nêu lên quan điểm hiện đại về năng lượng: năng lượng
điện từ phát xạ hay hấp thụ có những giá trị gián đoạn, chúng luôn là bội nguyên của lượng
tử năng lượng ε. Ta nói rằng năng lượng điện từ phát xạ hay hấp thụ bị lượng tử hoá.
Nhưng thuyết lượng tử của Planck chưa nêu được bản chất gián đoạn của bức xạ điện từ.
Năm 1905, Einstein dựa trên thuyết lượng tử về năng lượng của Planck đã đưa ra thuyết
lượng tử ánh sáng (hay thuyết phôtôn).
Nội dung thuyết phôtôn của Einstein:
a. Bức xạ điện từ gồm vô số những hạt rất nhỏ gọi là lượng tử ánh sáng hay phôtôn.
b. Với mỗi bức xạ điện từ đơn sắc nhất định, các phôtôn đều giống nhau và mang một
năng lượng xác định bằng
100Chương 6: Quang học lượng tử
λ
=ν= ε
hc
h (6-13)
c. Trong mọi môi trường (và cả trong chân không) các phôtôn được truyền đi với
cùng vận tốc c = 3.108
m/s.
d. Khi một vật phát xạ hay hấp thụ bức xạ điện từ có nghĩa là vật đó phát xạ hay hấp
thụ các phôtôn.
e. Cường độ của chùm bức xạ tỉ lệ với số phôtôn phát ra từ nguồn trong một đơn vị
thời gian.
Thuyết phôtôn của Einstein đã giải thích được các hiện tượng thể hiện bản chất hạt
của ánh sáng như hiện tượng quang điện, hiệu ứng Compton.
4. Động lực học phôtôn
Năng lượng của phôtôn ứng với một bức xạ điện từ đơn sắc tần số ν là
(6-14) ν= ε h
Khối lượng của phôtôn
λ
=
ν
=
ε
=
c
h
c
h
c
m 22
(6-15)
Theo thuyết tương đối
2
2
c
v
-1
m m = , do đó
2
2
c
v
-1mm =
Vận tốc của phôtôn bằng c, do đó phôtôn có khối lượng nghỉ bằng 0
Động lượng của phôtôn
λ
=
ν
==
h
c
h
mcp (6-16)
Như vậy động lượng của phôtôn tỉ lệ thuận với tần số và tỉ lệ nghịch với bước sóng của bức
xạ điện từ.
§4. HIỆN TƯỢNG QUANG ĐIỆN
1. Định nghĩa:
Hiệu ứng bắn ra các electrôn từ một tấm kim loại khi rọi vào tấm kim loại đó một bức
xạ điện từ thích hợp được gọi là hiện tượng quang điện. Các electrôn bắn ra được gọi là
các quang electrôn.
Để nghiên cứu hiện tượng quang điện người ta đã làm thí nghiệm với tế bào quang
điện như sau:
101Chương 6: Quang học lượng tử
Tế bào quang điện gồm một bình chân
không có hai bản cực làm bằng kim loại: bản
cực dương anốt A và bản cực âm catốt K. Catốt
làm bằng kim loại ta cần nghiên cứu. Tế bào
quang điện được mắc như hình vẽ. Nhờ biến trở
ta có thể thay đổi hiệu điện thế U giữa A và K
về độ lớn và chiều.
Khi D đến vị trí C: UAK = 0
Khi D bên phải C: A+ , K-, UAK > 0
Khi D bên trái C: A- , K+, UAK < 0
Khi rọi chùm bức xạ điện từ đơn sắc bước sóng
thích hợp vào catốt K, chùm ánh sáng này λ
Hình 6-4. Thí nghiệm quang điện
sẽ giải phóng các electrôn khỏi mặt bản cực âm K. Dưới tác dụng của điện trường giữa A và
K, các quang electrôn sẽ chuyển động về cực dương anốt, tạo ra trong mạch dòng quang
điện. Điện thế G đo cường độ dòng quang điện còn vôn kế V sẽ đo hiệu điện thế UAK giữa
A và K. Thay đổi UAK ta được đồ thị dòng quang điện như hình 6-5.
* UAK > 0: Khi UAK tăng thì I tăng theo, khi UAK đạt đến một giá trị nào đó cường độ
dòng quang điện sẽ không tăng nữa và đạt giá trị Ibh, được gọi là cường độ dòng quang điện
bão hòa.
* Khi UAK= 0 cường độ dòng quang điện
vẫn có giá trị . Điều đó chứng tỏ quang
electrôn bắn ra đã có sẵn một động năng ban
đầu.
0I ≠
* Để triệt tiêu dòng quang điện ta phải
đặt lên A-K một hiệu điện thế ngược Uc sao cho
công cản của điện trường ít nhất phải bằng
động năng ban đầu cực đại của các electrôn bị
bứt khỏi bản K, nghĩa là:
Hình 6-5. Đồ thị I-V
2
maxoc mv
2
1
eU = (6-17)
Uc được gọi là hiệu điện thế cản.
2. Các định luật quang điện và giải thích
Từ các kết quả thí nghiệm người ta đã tìm ra ba định luật sau đây gọi là ba định luật
quang điện. Các định luật này chỉ có thể giải thích được dựa vào thuyết phôtôn của Einstein.
a. Phương trình Einstein
Khi có một chùm ánh sáng thích hợp rọi đến catốt, các electrôn tự do trong kim loại
hấp thụ phôtôn. Mỗi electrôn hấp thụ một phôtôn và sẽ nhận được một năng lượng bằng
h . Năng lượng này một phần chuyển thành công thoát A ν th electrôn ra khỏi kim loại, phần
102Chương 6: Quang học lượng tử
còn lại chuyển thành động năng ban đầu của quang electrôn. Động năng ban đầu càng lớn
khi electrôn càng ở gần mặt ngoài kim loại, vì đối với các electrôn ở sâu trong kim loại, một
phần năng lượng mà nó hấp thụ được của phôtôn sẽ bị tiêu hao trong quá trình chuyển động
từ trong ra mặt ngoài kim loại. Như vậy động năng ban đầu sẽ cực đại đối với các electrôn ở
sát mặt ngoài kim loại. Theo định luật bảo toàn năng lượng, Einstein đã đưa ra phương trình
cho hiệu ứng quang điện
2
mv
Ah
2
maxo
th +=ν (6-18)
Phương trình này được gọi là phương trình Einstein.
b. Định luật về giới hạn quang điện
Phát biểu: Đối với mỗi kim loại xác định, hiện tượng quang điện chỉ xảy ra khi bước sóng
λ (hay tần số ) của chùm bức xạ điện từ rọi tới nhỏ hơn (lớn hơn) một giá trị xác định ν o λ
( o ν ),
o λ gọi là giới hạn quang điện của kim loại đó.
Giới hạn quang điện phụ thuộc vào bản chất của kim loại làm catốt. Định luật này
nói lên điều kiện cần để có thể xảy ra hiện tượng quang điện. Ở đây cần nhấn mạnh rằng,
nếu chùm sáng tới có bước sóng
o λ
o λ > λ thì dù cường độ sáng rất mạnh, nó cũng không thể
gây ra hiện tượng quang điện.
Giải thích: Trong phương trình Einstein (6-15), vì
2
mv2
maxo > 0 và đặt nên oth hA ν=
o hh ν>ν ⇒ o ν > ν
hchc
λ
λ
⇒ o λ < λ
Nghĩa là chùm ánh sáng gây ra hiệu ứng quang điện phải có bước sóng λ nhỏ hơn một
giá trị xác định λo = hc/Ath ( o λ <λ ). λo chính là giới hạn quang điện và rõ ràng nó chỉ phụ
thuộc vào công thoát Ath, tức là phụ thuộc vào bản chất kim loại làm catốt.
c. Định luật về dòng quang điện bão hoà
Phát biểu: Cường độ dòng quang điện bão hoà tỉ lệ với cường độ của chùm bức xạ rọi tới.
Giải thích: Cường độ dòng quang điện tỉ lệ với số quang electrôn thoát ra khỏi catốt đến
anốt trong một đơn vị thời gian. Dòng quang điện trở nên bão hoà khi số quang electrôn
thoát khỏi catốt đến anốt trong đơn vị thời gian là không đổi. Số quang electrôn thoát ra
khỏi catốt tỉ lệ với số phôtôn bị hấp thụ. Số phôtôn bị hấp thụ lại tỉ lệ với cường độ của
chùm bức xạ. Do đó cường độ dòng quang điện bão hoà tỉ lệ thuận với cường độ chùm bức
xạ rọi tới.
Ne ~ Nph , Nph ~ Iph N ⇒ e ~ Iph
Ibh ~ Ne I ⇒ bh ~ Iph
103Chương 6: Quang học lượng tử
d. Định luật về động năng ban đầu cực đại của quang electrôn
Phát biểu: Động năng ban đầu cực đại của quang electrôn không phụ thuộc vào cường độ
chùm bức xạ rọi tới mà chỉ phụ thuộc vào tần số của chùm bức xạ đó.
Giải thích:
2
maxoo
2
maxo th mv
2
1
hmv
2
1
Ah +ν= +=ν
)-(hmv
2
1
2
maxo νν=
)-(heU o c νν=
Ta thấy rõ động năng ban đầu cực đại của quang electrôn chỉ phụ thuộc vào tần số
của chùm bức xạ điện từ, mà không phụ thuộc vào cường độ của bức xạ đó.
Thuyết phôtôn đã giải thích được tất cả các định luật quang điện, nó đã đưa ra một
quan niệm mới về bản chất ánh sáng. Theo Einstein, mỗi phôtôn có một năng lượng ε = hν.
Tính chất hạt thể hiện ở năng lượng ε gián đoạn. Tính chất sóng thể hiện ở tần số ν (và bước
sóng λ) của ánh sáng. Như vậy ánh sáng vừa có tính sóng, vừa có tính hạt. Ta nói rằng ánh
sáng có lưỡng tính sóng-hạt.
§5. HIỆU ỨNG COMPTON
Hiệu ứng Compton là một trong những hiệu ứng thể hiện bản chất hạt của các bức
xạ điện từ, đồng thời nó chứng minh sự tồn tại động lượng của các hạt phôtôn.
1. Hiệu ứng Compton
Thí nghiệm Compton: Cho một chùm tia X bước sóng λ chiếu vào graphit hay
paraphin...Khi đi qua các chất này tia X bị tán xạ theo nhiều phương. Trong phổ tán xạ,
ngoài vạch có bước sóng bằng bước sóng λ của chùm tia X chiếu tới còn có những vạch
ứng với bước sóng > λ′ λ (Hình 6-6). Thực nghiệm chứng tỏ rằng bước sóng λ không phụ
thuộc cấu tạo của các chất được tia X rọi đến mà chỉ phụ thuộc vào góc tán xạ . Độ tăng
của bước sóng
θ
λ λ=λΔ -' được xác định bởi biểu thức:
2
sin2 2
c
θ
λ=λΔ (6-19)
trong đó =2,426.10 c λ -12
m là một hằng số chung cho mọi chất, được gọi là bước sóng
Compton.
Theo lí thuyết sóng thì khi tia X truyền đến thanh graphít nó làm cho các hạt mang
điện trong thanh (ở đây là electrôn) dao động cưỡng bức với cùng tần số của tia X, do đó
các bức xạ tán xạ về mọi phương phải có cùng tần số với bức xạ tới. Như vậy lí thuyết sóng
điện từ cổ điển không giải thích được hiện tượng Compton.
104Chương 6: Quang học lượng tử
Hình 6-6. Thí nghiệm Compton Hình 6-7. Va chạm đàn hồi giữa
phôtôn và electrôn
2. Giải thích bằng thuyết lượng tử ánh sáng
Chúng ta có thể coi hiện tượng tán xạ tia X như
một va chạm hoàn toàn đàn hồi giữa một phôtôn và
một electrôn trong chất mà tia X chiếu tới (Hình 6-7).
Trong phổ tán xạ, những vạch có bước sóng bằng
bước sóng của tia X chiếu tới tương ứng với sự tán xạ
của tia X lên các electrôn ở sâu trong nguyên tử, các
electrôn này liên kết mạnh với hạt nhân, còn vạch có
bước sóng λ > tương ứng với sự tán xạ tia X lên ′ λ
Hình 6-8
các electrôn liên kết yếu với hạt nhân. Năng lượng liên kết của các electrôn này rất nhỏ so
với năng lượng của chùm tia X chiếu tới, do đó các electrôn đó có thể coi như tự do. Vì đây
là va chạm đàn hồi giữa phôtôn và electrôn tự do nên ta sẽ áp dụng hai định luật bảo toàn
năng lượng và bảo toàn động lượng cho hệ kín “tia X - e-
". Giả thiết trước va chạm electrôn
(e-
) đứng yên. Tia X có năng lượng lớn, khi tán xạ trên electrôn tự do tia X sẽ truyền năng
lượng cho electrôn nên sau va chạm vận tốc của electrôn rất lớn, do đó ta phải áp dụng hiệu
ứng tương đối tính trong trường hợp này. Chúng ta xét động lượng, năng lượng của hạt
phôtôn và electrôn trước và sau va chạm:
Trước va chạm: e-
đứng yên : Năng lượng :
2
ocm
Động lượng : 0
Phôtôn : Năng lượng : ν = hE
Động lượng :
λ
=
ν
==
h
c
h
mcp
Sau va chạm: Phôtôn tán xạ: Năng lượng : ν′ = h' E
Động lượng :
λ′
=
ν′
= ′
h
c
h
105Chương 6: Quang học lượng tử
e-
: Năng lượng :
22
2
2
o mcc
c
v
-1
m =
Động lượng : mvv
c
v
-1
2
2
e = =
(mo là khối lượng nghỉ của e-
Theo định luật bảo toàn năng lượng và động lượng:
2 2
o mchcmh +ν′ =+ν (6-20)
e ppp + ′ = (6-21)
Gọi θ là góc giữa p và 'p (hình 6-8). Sau khi biến đổi các biểu thức (6-20) và (6-21) và sử
dụng công thức liên hệ giữa năng lượng và động lượng trong cơ học tương đối tính (5-22),
cuối cùng ta được:
2
sin'h2)cos-1('h)'-(cm 2 2
θ
νν=θνν=νν (6-22)
Thay
λ
=ν
c
vào biểu thức trên ta được:
2
sin2
2
cm
h
2-'
2
c
2
θ
λ=
θ
=λλ (6-23)
trong đó
12
c
-
10.426,2
cm
h
==λ m là hằng số chung cho mọi chất, gọi là bước sóng
Compton. Đại lượng λλ=λ Δ -' là độ biến thiên của bước sóng trong tán xạ, nó chỉ phụ
thuộc vào góc tán xạ mà không phụ thuộc vào vật liệu làm bia.
Khi phôtôn vào sâu trong nguyên tử và va chạm với các electrôn liên kết mạnh với
hạt nhân, ta phải coi va chạm này là va chạm của phôtôn với nguyên tử (chứ không phải với
electrôn), công thức (6-23) vẫn đúng nhưng phải thay khối lượng của electrôn bằng khối
lượng của nguyên tử, nó lớn hơn nhiều lần so với khối lượng của electrôn. Do đó hầu như
không có sự thay đổi bước sóng. Như vậy trong bức xạ tán xạ có mặt những phôtôn với
bước sóng không đổi.
Qua hiệu ứng Compton người ta chứng minh được hạt phôtôn có động lượng p= h / λ.
Động lượng là một đặc trưng của hạt. Như vậy tính chất hạt của ánh sáng đã được xác
nhận trọn vẹn khi dựa vào thuyết phôtôn giải thích thành công hiệu ứng Compton.
III. TÓM TẮT NỘI DUNG
1. Hiện tượng bức xạ nhiệt
106Chương 6: Quang học lượng tử
* Sóng điện từ do các vật phát ra gọi chung là bức xạ. Dạng bức xạ do các nguyên tử và
phân tử bị kích thích bởi tác dụng nhiệt được gọi là bức xạ nhiệt. Nếu phần năng lượng của
vật bị mất đi do phát xạ bằng phần năng lượng vật thu được do hấp thụ thì bức xạ nhiệt
không đổi và được gọi là bức xạ nhiệt cân bằng.
* Các đại lượng đặc trưng cho bức xạ nhiệt :
- Năng suất phát xạ toàn phần của vật ở nhiệt độ T:
dS
d
R T
T
φ
=
là năng lượng do diện tích dS của vật phát xạ trong một đơn vị thời gian.
T dφ
- Hệ số phát xạ đơn sắc ở nhiệt độ T, ứng với bước sóng λ:
λ
= λ
d
dR r
T
T,
- Hệ số hấp thụ đơn sắc ở nhiệt độ T, ứng với bước sóng λ:
T,
'
T,
T,
d
d
a
λ
λ
λ
φ
φ
=
là năng lượng của bức xạ tới,
T,
d λ φ T,
'd λ φ là năng lượng vật hấp thụ.
Thực tế vật không hấp thụ hoàn toàn bức xạ tới nên aλ,T < 1. Vật có aλ,T =1 với mọi nhiệt độ
T và mọi bước sóng λ gọi là vật đen tuyệt đối.
* Định luật Kirchhoff: Tỉ số của hệ số phát xạ đơn sắc và hệ số hấp thụ đơn sắc của một vật
ở trạng thái cân bằng nhiệt không phụ thuộc vào bản chất của vật mà chỉ phụ thuộc vào
nhiệt độ và bước sóng của chùm bức xạ, nghĩa là
T,
T,
T,
f
a
λ
λ
λ
= , trong đó fλ,T là hàm số
chung cho mọi vật, nên được gọi là hàm phổ biến. Đối với vật đen tuyệt đối: rλ,T = fλ,T
Năng suất phát xạ toàn phần của vật đen tuyệt đối bằng λ== ∫∫
∞
λ dfdRR
0
T,TT
* Các định luật phát xạ của vật đen tuyệt đối
- Stephan-Boltzmann đã thiết lập được định luật liên hệ giữa RT và nhiệt độ T của vật:
. Hằng số σ được gọi là hằng số Stephan-Boltzmann.
4
T TR σ=
- Wien tìm được định luật liên hệ giữa bước sóng λm của chùm bức xạ mang nhiều
năng lượng nhất (fλ,T lớn nhất) với nhiệt độ tuyệt đối T của vật đó:
T
m =λ , trong
đó b được gọi là hằng số Wien.
* Dựa vào quan niệm cổ điển coi các nguyên tử và phân tử phát xạ và hấp thụ năng lượng
một cách liên tục, Rayleigh-Jeans đã tìm được một công thức xác định hệ số phát xạ đơn
sắc của vật đen tuyệt đối: kT
c
2
f
2
2
T,
πν
= ν
Nhưng công thức này gặp hai khó khăn chủ yếu:
107Chương 6: Quang học lượng tử
- Công thức này chỉ phù hợp với thực nghiệm ở vùng tần số nhỏ (bước sóng dài),
còn ở vùng tần số lớn (bước sóng ngắn), tức là vùng sóng tử ngoại, nó sai lệch rất
nhiều. Bế tắc này được gọi là sự khủng hoảng ở vùng tử ngoại.
- Từ công thức này ta có thể tính được năng suất phát xạ toàn phần của một vật đen
tuyệt đối ở nhiệt độ T: ∞=νν
=ν= ∫ ∫
∞ ∞
ν d
c
kT2
dfR
0
2
2
0
T,T
Năng lượng phát xạ toàn phần của vật ở một nhiệt độ T nhất định lại bằng vô cùng.
Sở dĩ có kết quả vô lí đó là do quan niệm vật lí cổ điển về sự phát xạ và hấp thụ năng
lượng bức xạ một cách liên tục. Để giải quyết những bế tắc trên Planck đã phủ định lí
thuyết cổ điển về bức xạ và đề ra một lí thuyết mới gọi là thuyết lượng tử năng lượng.
* Thuyết lượng tử của Planck: các nguyên tử và phân tử phát xạ hay hấp thụ năng
lượng một cách gián đoạn λ = ν = ε /hch
.
Xuất phát từ thuyết lượng tử, Planck đã tìm ra công thức của hàm phổ biến, tức là hệ
số phát xạ đơn sắc của vật đen tuyệt đối:
1e
h
c
2
f
kT/h2
2
T,
−
νπν
= ν ν
Công thức của Planck đã khắc phục được khó khăn ở vùng tử ngoại, đường đặc trưng
phổ phát xạ của vật đen tuyệt đối tính từ công thức này phù hợp với kết quả thực nghiệm ở
mọi vùng nhiệt độ, mọi vùng tần số khác nhau. Từ công thức Planck ta có thể tìm lại được
các công thức Stephan-Boltzmann và công thức Wien.
2. Hiệu ứng quang điện
Đó là hiệu ứng bắn ra các electrôn từ một tấm kim loại khi rọi vào tấm kim loại đó
một bức xạ điện từ thích hợp.
Người ta tìm được ba định luật quang điện:
* Định luật về giới hạn quang điện: Hiện tượng quang điện chỉ xảy ra khi bước sóng λ
của ánh sáng tới phải thỏa mãn:
λ < λo hoặc ν > νo
λo, νo tùy thuộc vào từng kim loại và được gọi là giới hạn quang điện của kim loại đó.
* Định luật về dòng quang điện bão hòa: Cường độ dòng quang điện bão hòa tỷ lệ với
cường độ ánh sáng chiếu tới kim loại.
* Định luật về động năng ban đầu cực đại: Động năng ban đầu cực đại của các quang
electron không phụ thuộc vào cường độ ánh sáng chiếu tới mà chỉ phụ thuộc bước sóng của
ánh sáng chiếu tới và bản chất kim loại.
Để giải thích ba định luật trên, Einstein đã đưa ra thuyết phôtôn. Thuyết này cho rằng
ánh sáng bao gồm những hạt phôtôn. Mỗi phôtôn mang năng lượng λ= ν = ε /hch , chuyển
động với vận tốc c=3.108
m/s. Cường độ của chùm sáng tỉ lệ với số phôtôn do nguồn sáng
phát ra trong một đơn vị thời gian.
108Chương 6: Quang học lượng tử
Như vậy ánh sáng vừa có tính chất sóng vừa có tính chất hạt.
3. Hiệu ứng Compton
Chùm ánh sáng (chùm hạt phôtôn) sau khi tán xạ lên các hạt electrôn tự do thì bước
sóng λ của nó tăng lên
2
sin2 2
c
θ
λ=λΔ
Thực nghiệm đã xác định được độ tăng bước sóng Δλ này. Độ tăng bước sóng không
phụ thuộc vật liệu làm bia mà chỉ phụ thuộc vào góc tán xạ. Để giải thích hiệu ứng
Compton, người ta đã dựa trên hai định luật bảo toàn: bảo toàn năng lượng (vì va chạm đàn
hồi) và bảo toàn động lượng (vì là hệ kín gồm hạt phôtôn và hạt electrôn). Qua hiệu ứng
này người ta chứng minh được hạt phôtôn có động lượng p = mc = hν / c = h / λ.
Động lượng là một đặc trưng của hạt. Như vậy tính chất hạt của ánh sáng đã được
xác nhận trọn vẹn khi dựa vào thuyết phôtôn giải thích thành công hiệu ứng Compton.
IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT
1. Định nghĩa bức xạ nhiệt cân bằng.
2. Viết biểu thức và nêu ý nghĩa của các đại lượng: năng suất phát xạ toàn phần, hệ số phát
xạ đơn sắc, hệ số hấp thụ đơn sắc của bức xạ nhiệt cân bằng ở nhiệt độ T.
3. Định nghĩa vật đen tuyệt đối.
4. Phát biểu định luật Kirchhoff. Nêu ý nghĩa của hàm phổ biến. Vẽ đồ thị đường đặc trưng
phổ phát xạ của vật đen tuyệt đối.
5. Phát biểu các định luật phát xạ của vật đen tuyệt đối .
6. Nêu quan niệm cổ điển về bản chất của bức xạ. Viết công thức của Rayleigh-Jeans. Nêu
những khó khăn mà công thức đó gặp phải đối với hiện tượng bức xạ nhiệt.
7. Phát biểu thuyết lượng tử của Planck. Viết công thức Planck. Nêu những thành công của
thuyết lượng tử.
8. Định nghĩa hiện tượng quang điện. Phát biểu ba định luật quang điện.
9. Phát biểu thuyết phôtôn của Einstein. Vận dụng thuyết phôtôn để giải thích ba định luật
quang điện.
10. Trình bày nội dung hiệu ứng Compton. Trong hiệu ứng này, chùm tia X tán xạ lên
electrôn tự do hay liên kết ?
11. Giải thích hiệu ứng Compton.
12. Tại sao coi hiệu ứng Compton là một bằng chứng thực nghiệm xác nhận trọn vẹn tính
hạt của ánh sáng.
109Chương 6: Quang học lượng tử
IV. BÀI TẬP
Thí dụ 1: Hỏi nhiệt độ của lò nung bằng bao nhiêu cho biết mỗi giây lò phát ra một năng
lượng bằng 8,28 calo qua một lỗ nhỏ có kích thước bằng 6,1cm2
. Coi bức xạ được phát ra từ
một vật đen tuyệt đối.
Bài giải: Năng suất phát xạ toàn phần của vật đen tuyệt đối: , R là năng suất do
một đơn vị diện tích phát ra trong một đơn vị thời gian, nên R liên hệ với công suất phát xạ
là: P = R.S
4
TR σ=
)K(1004
10.1,6.10.67,5
18,4.28,8
S.
P
T 4
48
4 = =
σ
=→ −−
Thí dụ 2: Công thoát của kim loại dùng làm catốt của tế bào quang điện A = 5eV. Tìm:
1. Giới hạn quang điện của tấm kim loại đó.
2. Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electrôn khi catôt được chiếu bằng ánh
sáng đơn sắc bước sóng λ = 0,2μm.
3. Hiệu điện thế hãm để không có một electrôn nào đến được anôt.
Bài giải
1. Giới hạn quang điện của catốt: m10.48,2
10.6,1.5
10.3.10.625,6
A
ch 7
19
834
0
−
−
−
= ==λ
2. Vận tốc ban đầu cực đại của các electrôn:
s/m10.65,010.6,1.5
10.2,0
10.3.10.625,6
10.1,9
2
v
A ch
2
vvm
2
1
A ch
6 19
6
834
31 max0
max0
2
max0 e
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
λ
=→ +=
λ
−
−
−
−
3. Hiệu điện thế hãm:
V 2,1
10.6,1
1
10.6,1.5
10.2,0
10.3.10.625,6
1
)A hc
(UeUA hc
19
19
6
834
hh =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− =−
λ
=→+=
λ −
−
−
−
Thí dụ 3: Phôtôn mang năng lượng 0,15MeV đến tán xạ trên electrôn tự do. Sau khi tán xạ
bước sóng của chùm phôtôn tán xạ tăng thêm ∆λ = 0,015A0
. Xác định bước sóng của
phôtôn và góc tán xạ của phôtôn.
Bài giải: m10.28,8
10.6,1.15,0
10.3.10.625,6hc hc 12
13
834
−
−
−
= =
ε
=λ→ λ
=ε
3367 556,0
2
sin31,0
22
2
sin2 0
c
2 2
c ′ =θ→=
θ
→=
λ
λ Δ
=
θ
→ θ
λ=λΔ
110Chương 6: Quang học lượng tử
Bài tập tự giải
1. Tìm công suất bức xạ của một lò nung, cho biết nhiệt độ của lò bằng t = 7270
C, diện tích
của cửa lò bằng 250cm2
. Coi lò là vật đen tuyệt đối.
Đáp số: )W(5,1417STP 4
=σ=
2.Vật đen tuyệt đối có dạng một quả cầu đường kính d = 10cm ở nhiệt độ T không đổi. Tìm
nhiệt độ T, cho biết công suất bức xạ ở nhiệt độ đã cho bằng 12kcalo/phút.
Đáp số: )W(836
60
18,4.10.12
P
3
= = , )K(828
2
d
4.
P
T
4
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
πσ
=
3. Nhiệt độ của sợi dây tóc vonfram của bóng đèn điện luôn biến đổi vì được đốt nóng bằng
dòng điện xoay chiều. Hiệu số giữa nhiệt độ cao nhất và thấp nhất bằng 800
, nhiệt độ trung
bình bằng 2300K. Hỏi công suất bức xạ biến đổi bao nhiêu lần, coi dây tóc bóng đèn là vật
đen tuyệt đối.
Đáp số: K2260 T,K2340 TK2300
2
TT
,K80TT min max
min max
min max = =→=
+
=−
15,1
T
T
P
P
4
max
max
= ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
4. Nhiệt độ của vật đen tuyệt đối tăng từ 1000 K đến 3000 K. Hỏi:
1. Năng suất phát xạ toàn phần của nó tăng bao nhiêu lần?
2. Bước sóng ứng với năng suất phát xạ cực đại thay đổi bao nhiêu lần?
Đáp số: 1. 81
T
T
R
R 4
1
2
1
2 = ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= lần ,
2. 3
T
T
1
2
2m
1m ==
λ
λ
lần
5. Một vật đen tuyệt đối ở nhiệt độ T1 = 2900 K. Do vật bị nguội đi nên bước sóng ứng với
năng suất phát xạ cực đại thay đổi ∆λ = 9μm. Hỏi vật lạnh đến nhiệt độ bằng bao nhiêu?
Đáp số: )K(290
bT
bT
T
T
1
T
1
T
,
T
1
1
2
12 2
2m
1
1m =
+λΔ
=→ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=λΔ→=λ=λ
6. Tìm giới hạn quang điện đối với các kim loại có công thoát 2,4eV, 2,3eV, 2eV.
Đáp số: m10.18,5
A
ch 7
1
01
− ==λ , m10.4,5
A
ch 7
2
02
− ==λ ,
m10.21,6
A
ch 7
3
03
− ==λ
111Chương 6: Quang học lượng tử
7. Giới hạn quang điện của kim loại dùng làm catốt của tế bào quang điện λ0 = 0,5μm. Tìm:
1. Công thoát của electrôn khỏi tấm kim loại đó.
2. Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electrôn khi catôt được chiếu bằng ánh
sáng đơn sắc bước sóng λ = 0,25μm.
Đáp số: 1. J10.75,39
10.5,0
10.3.10.625,6ch
A
A
ch 20
6
834
0
0
−
−
−
= =
λ
=→=λ
2. s/m10.93,0A ch
2
vvm
2
1
A ch
6
max0
2
max0 e = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
λ
=→ +=
λ
8. Chiếu một bức xạ điện từ đơn sắc bước sóng λ = 0,41μm lên một kim loại dùng làm catôt
của tế bào quang điện thì có hiện tượng quang điện xảy ra. Nếu dùng một hiệu điện thế hãm
0,76V thì các quang electrôn bắn ra đều bị giữ lại.Tìm:
1. Công thoát của electrôn đối với kim loại đó.
2. Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electrôn khi bắn ra khỏi catôt.
Đáp số: 1. J10.32,36eU hc
AeUA hc 20
h h
− =−
λ
=→+=
λ
2.
s/m10.52,0
10.1,9
76,0.10.6,1.2
eU2
veU
2
vm 6
31
19
h
max0h
2
max0e
= ==→= −
−
9. Công thoát của kim loại dùng làm catốt của tế bào quang điện A= 2,48eV. Tìm:
1. Giới hạn quan điện của tấm kim loại đó.
2.Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electrôn khi catôt được chiếu bằng ánh sáng
đơn sắc bước sóng λ = 0,36μm.
3. Hiệu điện thế hãm để không có một electrôn nào đến được anôt.
Đáp số: 1. m10.5,0
10.6,1.48,2
10.3.10.625,6
A
ch 6
19
834
0
−
−
−
= ==λ
2. s/m10.584,0A hc
2
vvm
2
1
A hc 6
max0
2
max0e = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
λ
=→ +=
λ
3. V 97,0UeUA hc
hh ==→+=
λ
10. Khi chiếu một chùm ánh sáng có bước sóng λ = 0,234μm vào một kim loại dùng làm
catốt của tế bào quang điện thì có hiện tượng quang điện xảy ra. Biết tần số giới hạn của
catôt ν0= 6.1014
Hz. Tìm:
1. Công thoát của electrôn đối với kim loại đó.
2. Hiệu điện thế hãm để không có một electrôn nào đến được anôt.
112Chương 6: Quang học lượng tử
3. Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electrôn.
Đáp số: 1. , J10.75,39hA 20
0
− =ν=
2. V83,2
1
)A hc
(UeUA hc
hh =−
λ
=⇒+=
λ
3. s/m10
eU2
veUvm
2
1 6
h
max0h
2
max0e ==→=
11. Khi chiếu một chùm ánh sáng vào một kim loại dùng làm catốt của tế bào quang điện
thì có hiện tượng quang điện xảy ra. Nếu dùng một hiệu điện thế hãm 3V thì các quang
electrôn bắn ra đều bị giữ lại. Biết tần số giới hạn của catôt ν0= 6.1014
Hz. Tìm:
1. Công thoát của electrôn đối với tấm kim loại đó.
2. Tần số của ánh sáng chiếu tới.
3. Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electrôn khi bắn ra từ catôt.
Đáp số: 1. A = hν0 = 39,75.10-20
J,
2. z10.25,13
h
eUA eUA h =ν ,
14 h
h Η =
+
=ν→+
3. () s/m10A-h
2
v 6
max0 =ν=
12. Công thoát của kim loại dùng làm catốt của tế bào quang điện A = 2,15eV. Tìm:
1. Giới hạn quang điện của tấm kim loại đó.
2. Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electrôn khi catôt được chiếu bằng ánh
sáng đơn sắc bước sóng λ = 0,489μm.
3. Hiệu điện thế hãm để không có một electrôn nào đến được anôt.
Đáp số: 1. m10.578,0
10.6,1.15,2
10.3.10.625,6
A
ch 6
19
834
0
−
−
−
= ==λ
2. s/m10.37,0A hc
2
vvm
2
1
A hc 6
max0
2
max0e = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
λ
=→ +=
λ
3. V0,39
1
)A hc
(UeUA hc
hh =−
λ
=→+=
λ
13. Tìm động lượng, khối lượng của phôtôn có tần số ν = 5.1014
Hz.
Đáp số: g.m/sk10.1,1
10.3
10.5.10.625,6
c
hh
p 27
8
1434
−
−
= =
ν
=
λ
=
gk10.7,3
10.9
10.5.10.625,6
c
h
m 36
16
1434
2
− = =
ν
=
113Chương 6: Quang học lượng tử
14. Tìm năng lượng và động lượng của phôtôn ứng với bước sóng λ = 0,6μm.
Đáp số: J10.3,3
10.6,0
10.3.10.625,6hc 19
6
834
−
−
−
= =
λ
=ε
g.m/sk10.1,1
10.6,0
10.625,6h
p 27
6
34
−
−
−
= =
λ
=
15. Tìm năng lượng và động lượng của phôtôn ứng với bước sóng λ = 10-12
m.
Đáp số: J10.88,19
10
10.3.10.625,6hc 14
12
834
−
−
−
= =
λ
=ε
g.m/sk10.62,6
10
10.625,6h
p 22
12
34
−
−
−
= =
λ
=
16. Phôtôn có năng lượng 250keV bay đến va chạm với một electrôn đứng yên và tán xạ
Compton theo góc 1200
. Xác định năng lượng của phôtôn tán xạ.
Đáp số: m10.5
hc 12 − =
ε
=λ , m10.64,8
2
sin2 12 2
c
− =λ′ → θ
λ=λ−λ′
Năng lượng của phôtôn tán xạ: J10.3,2
10.64,8
10.3.10.625,6hc 14
12
834
−
−
−
= =
λ′
=ε′
17. Phôtôn ban đầu có năng lượng 0,8MeV tán xạ trên một electrôn tự do và thành phôtôn
ứng với bức xạ có bước sóng bằng bước sóng Compton. Tính:
1. Góc tán xạ.
2. Năng lượng của phôtôn tán xạ.
Đáp số: 1. m10.553,1 10.6,1.8,0
hc 12 13 − − =λ→ =
λ
,
1150
2
sin2 0 2
c ′ =θ→ θ
λ=λ−λ′
2. MeV2,0J10.19,8
hc 14
= =
λ′
=ε′
−
18. Tính năng lượng và động lượng của phôtôn tán xạ khi phôtôn có bước sóng ban đầu
λ = 0,05.10-10
m đến va chạm vào electrôn tự do và tán xạ theo góc 600
, 900
.
Đáp số: 1.Bước sóng của phôtôn tán xạ:
m10.213,625,0.10.426,2.210.5
2
sin2 12 12 12 2
c
− − − = +=λ′ → θ
λ=λ−λ′
Năng lượng của phôtôn tán xạ: J10.2,3
10.213,6
10.3.10.625,6hc 14
12
834
−
−
−
= =
λ′
=ε′
114Chương 6: Quang học lượng tử
Động lượng của phôtôn tán xạ: s/kgm10
10.213,6
10.625,6h
p 22
12
34
−
−
−
= =
λ′
= ′
2. Bước sóng của phôtôn tán xạ:
m10.426,7
2
2
.10.426,2.210.5
2
sin2 12
2
12 12 2
c
− − − = ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=λ′ → θ
λ=λ−λ′
Năng lượng của phôtôn tán xạ: J10.68,2
10.426,7
10.3.10.625,6hc 14
12
834
−
−
−
= =
λ′
=ε′
Động lượng của phôtôn tán xạ: s/kgm10.89,0
10.426,7
10.625,6h
p 22
12
34
−
−
−
= =
λ′
= ′
19. Trong hiện tượng tán xạ Compton, bức xạ Rơngen có bước sóng λ đến tán xạ trên
electrôn tự do. Tìm bước sóng đó, cho biết động năng cực đại của electron bắn ra bằng
0,19MeV.
Đáp số: Động năng của electrôn: Eđ
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=−= 1
c
v
1
1
cmcmcm
2
2
2
e0
2
e0
2
Theo định luật bảo toàn năng lượng: Eđ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
λΔ+λ
−
λ
=
λ′
−
λ
=
11
hc
hchc
,
2
sin2 2
c
θ
λ=λΔ , động năng cực đại khi 1
2
sin2
=
θ
. Do đó
0
đ
2
0
e0
A037,01
E
cm2
1
cm
h
=
⎟ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎜
⎝
⎛
−+ =λ
20. Tìm động lượng của electrôn khi có phôtôn bước sóng λ = 0,05A0
đến va chạm và tán
xạ theo góc θ = 900.
Lúc đầu electrôn đứng yên.
Đáp số: Theo định luật bảo toàn động lượng: pppppp ee ′ − = ′ → ′ + ′ =
s/m.kg10.6,1
hh
pppp 22
2
2
2
2
222
− ≈
λ′
+
λ
=→ ′ += ′ →
115Chương 7: Cơ học lượng tử
CHƯƠNG VII: CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Cơ học lượng tử là môn cơ học nghiên cứu sự vận động của vật chất trong thế giới
của các phân tử, nguyên tử (kích thước 10-9
- 10-10
m, gọi là thế giới vi mô, các hạt trong đó
gọi là vi hạt). Cơ học lượng tử cung cấp cho ta kiến thức để hiểu các hiện tượng xảy ra
trong nguyên tử, hạt nhân, vật rắn...
I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU
1. Nắm được giả thuyết de Broglie về lưỡng tính sóng - hạt của vi hạt. Từ đó đi đến biểu
thức của hàm sóng ψ và phương trình Schrodinger.
2. Hiểu và vận dụng được hệ thức bất định Heisenberg.
3. Hiểu và vận dụng phương trình Schrodinger để giải một số bài toán cơ học lượng tử đơn
giản như hạt trong giếng thế, hiệu ứng đường ngầm, dao động tử điều hòa lượng tử.
II. NỘI DUNG
§1. LƯỠNG TÍNH SÓNG HẠT CỦA VI HẠT
1. Lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng
Như chương trước chúng ta thấy ánh sáng vừa có tính sóng vừa có tính hạt: hiện
tượng giao thoa, nhiễu xạ thể hiện tính chất sóng, còn hiệu ứng quang điện, hiệu ứng
Compton thể hiện tính chất hạt của ánh
sáng. Lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng
được Einstein nêu trong thuyết phôtôn:
ánh sáng được cấu tạo bởi các hạt
phôtôn, mỗi hạt mang năng lượng
và động lượng ν= hE
λ
=
h
p . Ta thấy
các đại lượng đặc trưng cho tính chất
hạt (E,p) và các đại lượng đặc trưng
cho tính chất sóng ( λ ν, ) liên hệ trực
tiếp với nhau. Chúng ta sẽ thiết
Hình 7-1. Sự truyền sóng phẳng ánh sáng
lập hàm sóng cho hạt phôtôn.
Xét chùm ánh sáng đơn sắc, song song. Mặt sóng là các mặt phẳng vuông góc với
phương truyền sóng. Nếu dao động sáng tại O là
116Chương 7: Cơ học lượng tử
t2cosA)t(x πν= (7-1)
thì biểu thức dao động sáng tại mọi điểm trên mặt sóng đi qua điểm M cách mặt sóng đi qua
O một đoạn d là:
d2
-tcos(A
d
-t(2cosA)
c
d
-t(2cosA)
c
d
-t(x
λ
ω=
λ
νπ=πν=
(7-2)
trong đó c là vận tốc ánh sáng trong chân không, λ là bước sóng ánh sáng trong chân
không:
ν
==λ
c
cT , với T là chu kì , ν là tần số của sóng ánh sáng. Từ hình 7-1 ta có:
n.rcosrd =α= (7-3)
n : vectơ pháp tuyến đơn vị. Thay (7-3) vào (7-2) ta nhận được:
n.r
t(2cosA)
c
d
t(x
λ
−νπ=− (7-4)
Đó là hàm sóng phẳng đơn sắc. Sử dụng kí hiệu ψ cho hàm sóng và biểu diễn nó dưới
dạng hàm phức ta có
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
λ
−νπ−ψ=ψ n.r
ti2exp o (7-5)
Nếu thay
h
E
=ν ,
λ
=
h
p và
=
2
h
h vào (7-5) ta được:
() ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−ψ=ψ rpEt
exp o
h
(7-6)
2. Giả thuyết de Broglie (Đơbrơi)
Trên cơ sở lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng, de Broglie đã suy ra lưỡng tính sóng hạt
cho electrôn và các vi hạt khác.
Giả thuyết de Broglie:
Một vi hạt tự do có năng lượng, động lượng xác định tương ứng với một sóng phẳng
đơn sắc. Năng lượng của vi hạt liên hệ với tần số dao động của sóng tương ứng thông qua
hệ thức: hay . Động lượng của vi hạt liên hệ với bước sóng của sóng tương
ứng theo hệ thức:
ν= hE ω= h E
λ
=
h
p hay kp h = .
k là vectơ sóng, có phương, chiều là phương, chiều truyền sóng, có độ lớn
λ
=
2
k . Sóng
de Broglie là sóng vật chất, sóng của các vi hạt.
117Chương 7: Cơ học lượng tử
3. Thực nghiệm xác nhận tính chất sóng của các hạt vi mô
a. Nhiễu xạ của electrôn qua khe hẹp:
Cho chùm electrôn đi qua một khe hẹp. Trên màn huỳnh quang ta thu được hình ảnh
nhiễu xạ giống như hiện tượng nhiễu xạ của ánh sáng qua một khe hẹp. Nếu ta cho từng
electrôn riêng biệt đi qua khe trong một thời gian dài để số electrôn đi qua khe đủ lớn, ta
vẫn thu được hình ảnh nhiễu xạ trên màn huỳnh quang. Điều này chứng tỏ mỗi hạt electrôn
riêng lẻ đều có tính chất sóng.
Hình 7-2. Nhiễu xạ của electrôn qua một khe hẹp
b. Nhiễu xạ của electrôn trên tinh thể
Thí nghiệm của Davisson và Germer quan sát được hiện tượng nhiễu xạ của electrôn
trên mặt tinh thể Ni (hình 7-3). Khi cho một chùm electrôn bắn vào mặt tinh thể Ni, chùm e-
sẽ tán xạ trên mặt tinh thể Ni dưới các góc khác nhau. Trên màn hình ta thu được các vân
nhiễu xạ. Hiện tượng xảy ra giống hệt hiện tượng nhiễu xạ của tia X trên mặt tinh thể Ni.
Tinh thể Ni như một cách tử nhiễu xạ. Hiện tượng electrôn nhiễu xạ trên cách tử chứng tỏ
bản chất sóng của chúng. Thay Ni bằng các tinh thể khác, tất cả các thí nghiệm đều xác
nhận chùm electrôn gây hiện tượng nhiễu xạ trên tinh thể. Các vi hạt khác như nơtrôn,
prôtôn cũng gây hiện tượng nhiễu xạ trên tinh thể.
Các kết quả thí nghiệm trên
đều xác nhận tính chất sóng của vi
hạt và do đó chứng minh sự đúng đắn
của giả thuyết de Broglie.
Cuối cùng, ta phải nhấn mạnh
về nội dung giới hạn của giả thiết de
Broglie. Bước sóng de Broglie tỉ lệ
nghịch với khối lượng của hạt:
Hinh 7-3. Nhiễu xạ của electrôn trên tinh thể
mv
h
h
==λ
118Chương 7: Cơ học lượng tử
do đó đối với những hạt thông thường mà khối lượng rất lớn, thậm chí là vô cùng lớn so với
khối lượng của electrôn chẳng hạn thì bước sóng de Broglie tương ứng có giá trị vô cùng bé
và không còn ý nghĩa để mô tả tính chất sóng nữa. Như vậy, khái niệm lưỡng tính sóng hạt
thực sự chỉ thể hiện ở các hạt vi mô mà thôi và sóng de Broglie có bản chất đặc thù lượng
tử, nó không tương tự với sóng thực trong vật lí cổ điển như sóng nước hay sóng điện từ...
§2. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG
Do có lưỡng tính sóng hạt nên qui luật vận động của vi hạt trong thế giới vi mô khác
với qui luật vận động của hạt trong thế giới vĩ mô. Một trong những điểm khác biệt đó là hệ
thức bất định Heisenberg. Để tìm hệ thức đó chúng ta xét hiện tượng nhiễu xạ của chùm vi
hạt qua một khe hẹp có bề rộng b.
Sau khi qua khe hạt sẽ bị
nhiễu xạ theo nhiều phương khác
nhau, tuỳ theo góc nhiễu xạ ϕ , mật
độ hạt nhiễu xạ trên màn sẽ cực đại
hoặc cực tiểu. Xét tọa độ của hạt
theo phương x, nằm trong mặt
phẳng khe và song song với bề
rộng khe. Tọa độ x của hạt trong
khe sẽ có giá trị trong khoảng từ 0
đến b ( ). Nói cách khác,
vị trí của hạt trong khe được xác
định với độ bất định .
bx0 ≤≤
bx ≈Δ
Hình 7-4
Sau khi hạt qua khe, hạt bị nhiễu xạ, phương động lượng p thay đổi. Hình chiếu của
p theo phương x sẽ có giá trị thay đổi trong khoảng ϕ ≤ ≤ sinpp0 x , nghĩa là sau khi đi
qua khe, hạt có thể rơi vào cực đại giữa hoặc cực đại phụ và được xác định với một độ
bất định nào đó. Xét trường hợp hạt rơi vào cực đại giữa
x p
1 x sinpp ϕ ≈ Δ , là góc ứng với
cực tiểu thứ nhất:
1 ϕ
sin 1
λ
=ϕ . Do đó ta có:
λ = ϕ ≈ Δ Δ .psinp.bp.x 1 x
Theo giả thuyết de Broglie
λ
=
h
p . Thay vào biểu thức trên ta nhận được hệ thức bất
định Heisenberg:
hp.x x ≈ Δ Δ
Lý luận tương tự: hp.y y ≈ Δ Δ (7-7)
hp.z z ≈ Δ Δ
119Chương 7: Cơ học lượng tử
Hệ thức bất định Heisenberg là một trong những định luật cơ bản của cơ học lượng
tử. Hệ thức này chứng tỏ vị trí và động lượng của hạt không được xác định chính xác một
cách đồng thời. Vị trí của hạt càng xác định thì động lượng của hạt càng bất định và ngược
lại.
Ví dụ: Trong nguyên tử e-
chuyển động trong phạm vi 10-10
m. Do đó độ bất định về
vận tốc là:
s/m10.7
10.10.9
10.625,6
xm
h
v 6
1031
34
x
x = =
Δ
≈
Δ
=Δ −−
−
Ta thấy khá lớn cho nên e x v Δ -
không có vận tốc xác định, nghĩa là e-
không chuyển
động theo một quĩ đạo xác định trong nguyên tử. Điều này chứng tỏ rằng trong thế giới vi
mô khái niệm quĩ đạo không có ý nghĩa.
Ta xét hạt trong thế giới vĩ mô khối lượng của hạt m = 10-15
kg, độ bất định về vị trí
. Do đó độ bất định về vận tốc là m10x 8 − =Δ
s/m10.6,6
10.10
10.625,6
x.m
h
v 11
815
34
x
−
−−
−
= =
Δ
≈Δ
Như vậy đối với hạt vĩ mô và x Δ x v Δ đều nhỏ, nghĩa là vị trí và vận tốc có thể được
xác định chính xác đồng thời.
Theo cơ học cổ điển, nếu biết được toạ độ và động lượng của hạt ở thời điểm ban đầu
thì ta có thể xác định được trạng thái của hạt ở các thời điểm sau. Nhưng theo cơ học lượng
tử thì toạ độ và động lượng của vi hạt không thể xác định được đồng thời, do đó ta chỉ có
thể đoán nhận khả năng vi hạt ở một trạng thái nhất định. Nói cách khác vi hạt chỉ có thể ở
một trạng thái với một xác suất nào đó. Do đó qui luật vận động của vi hạt tuân theo qui
luật thống kê.
Ngoài hệ thức bất định về vị trí và động lượng, trong cơ học lượng tử người ta còn
tìm được hệ thức bất định giữa năng lượng và thời gian:
(7-8) ht.E ≈ΔΔ
Ý nghĩa của hệ thức bất định giữa năng lượng và thời gian: nếu năng lượng của hệ ở
một trạng thái nào đó càng bất định thì thời gian để hệ tồn tại ở trạng thái đó càng ngắn và
ngược lại, nếu năng lượng của hệ ở một trạng thái nào đó càng xác định thì thời gian tồn tại
của hệ ở trạng thái đó càng dài. Như vậy trạng thái có năng lượng bất định là trạng thái
không bền, còn trạng thái có năng lượng xác định là trạng thái bền.
§3. HÀM SÓNG
1. Hàm sóng:
Do lưỡng tính sóng hạt của vi hạt ta không thể xác định đồng thời được tọa độ và
động lượng của vi hạt. Để xác định trạng thái của vi hạt, ta phải dùng một khái niệm mới đó
là hàm sóng.
120Chương 7: Cơ học lượng tử
Theo giả thuyết de Broglie chuyển động của hạt tự do (tức là hạt không chịu một tác
dụng nào của ngoại lực) được mô tả bởi hàm sóng tương tự như sóng ánh sáng phẳng đơn
sắc
( ) ( ) [ ] rktiexprpEt
exp o o −ω−ψ= ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−ψ=ψ
h
(7-9)
Trong đó kp;E hh =ω= và là biên độ được xác định bởi:
* 2 2
o ψψ=ψ=ψ (7-10)
*
ψ là liên hợp phức của . ψ
Nếu hạt vi mô chuyển động trong trường thế, thì hàm sóng của nó là một hàm phức
tạp của toạ độ r và thời gian t
)t,z,y,x()t,r( ψ=ψ
2. Ý nghĩa thống kê của hàm sóng
Xét chùm hạt phôtôn truyền trong
không gian. Xung quanh điểm M lấy thể
tích bất kì (hình 7-5) V Δ
*Theo quan điểm sóng: Cường độ
sáng tại M tỉ lệ với bình phương biên độ
dao động sáng tại M: I ~
2
Hình 7-5. Chùm hạt phôtôn truyền qua
thể tích ΔV
*Theo quan điểm hạt: Cường độ sáng tại M tỉ lệ với năng lượng các hạt trong đơn vị
thể tích bao quanh M, nghĩa là tỉ lệ với số hạt trong đơn vị thể tích đó.Từ đây ta thấy rằng
số hạt trong đơn vị thể tích tỉ lệ với . Số hạt trong đơn vị thể tích càng nhiều thì khả
năng tìm thấy hạt trong đó càng lớn. Vì vậy có thể nói bình phương biên độ sóng
2
2
ψ tại
M đặc trưng cho khả năng tìm thấy hạt trong đơn vị thể tích bao quanh M . Do đó
2
ψ là
mật độ xác suất tìm hạt và xác suất tìm thấy hạt trong toàn không gian là dV 2
V
∫ ψ . Khi tìm
hạt trong toàn không gian, chúng ta chắc chắn tìm thấy hạt. Do đó xác suất tìm hạt trong
toàn không gian là 1:
1dV 2
V
= ∫ ψ (7-11)
Đây chính là điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng.
Tóm lại:
121Chương 7: Cơ học lượng tử
- Để mô tả trạng thái của vi hạt người ta dùng hàm sóng ψ .
-
2
ψ biểu diễn mật độ xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái đó.
- không mô tả một sóng thực trong không gian. Hàm sóng mang tính chất thống
kê, nó liên quan đến xác suất tìm hạt.
3. Điều kiện của hàm sóng
- Hàm sóng phải hữu hạn. Điều này được suy ra từ điều kiện chuẩn hoá, hàm sóng
phải hữu hạn thì tích phân mới hữu hạn.
- Hàm sóng phải đơn trị, vì theo lí thuyết xác suất: mỗi trạng thái chỉ có một giá trị
xác suất tìm hạt.
- Hàm sóng phải liên tục, vì xác suất
2
ψ không thể thay đổi nhảy vọt.
- Đạo hàm bậc nhất của hàm sóng phải liên tục.
§4. PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
Hàm sóng de Broglie mô tả chuyển động của vi hạt tự do có năng lượng và động
lượng xác định:
( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−ψ= ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−ψ=ψ Et
exp)r(rpEt
exp)t,r( o
h h
(7-12)
trong đó
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ψ=ψ rp
exp)r( o
h
(7-13)
là phần phụ thuộc vào tọa độ của hàm sóng. Ta có thể biểu diễn )r( ψ trong hệ tọa độ Đề
các như sau:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++ ψ=ψ )zpypxp(
exp)r( zyx o
h
(7-14)
Lấy đạo hàm , ta được: x/ ∂ψ∂
x
x ψ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∂
ψ∂
h
Lấy đạo hàm bậc hai của ψ theo x:
x 2
2
x 2
x 2
2
2
2
ψ−=ψ=
∂
ψ∂
h h
(7-15)
Ta cũng thu được kết quả tương tự cho các biến y và z.
Theo định nghĩa của toán tử Laplace Δ trong hệ toạ độ Đề các :
122Chương 7: Cơ học lượng tử
zyx
2
2
2
2
2
2
ψ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=ψΔ (7-16)
ta được:
2
2
2
2
z
2
y
2
x
ψ−=ψ
++
−=ψΔ
h h
(7-17)
Gọi Eđ là động năng của hạt, ta viết được:
Eđ
m 2
2
mv 22
== hay p2
=2mEđ
Thay p2
vào (7-17) và chuyển sang vế trái ta thu được:
0)r(E
m2
)r( d 2
=ψ+ψΔ
h
(7-18)
Phương trình (7-18) được gọi là phương trình Schrodinger cho vi hạt chuyển động tự do.
Mở rộng phương trình cho vi hạt không tự do, nghĩa là vi hạt chuyển động trong một trường
lực có thế năng U không phụ thuộc thời gian. Năng lượng của vi hạt E = Eđ + U. Thay
Eđ = E - U vào (7-18) ta được:
[ ] 0)r()r(UE
m2
2
=ψ−+ψΔ
h
(7-19)
Biết dạng cụ thể của U( r ), giải phương trình Schrodinger ta tìm được )r( ψ và E,
nghĩa là xác định được trạng thái và năng lượng của vi hạt. Ta giới hạn chỉ xét hệ là kín hay
đặt trong trường ngoài không biến thiên theo thời gian. Năng lượng của hệ khi đó không đổi
và trạng thái của hệ được gọi là trạng thái dừng. Phương trình (7-19) được gọi là phương
trình Schrodinger cho trạng thái dừng.
Cho đến nay ta vẫn xét hạt chuyển động với vận tốc v << c, do đó phương trình (7-9)
mô tả chuyển động của vi hạt phi tương đối tính, có khối lượng nghỉ khác không. Phương
trình Schrodinger mô tả sự vận động của vi hạt, nó có vai trò tương tự như phương trình của
các định luật Newton trong cơ học cổ điển. Một điểm cần chú ý là, phương trình
Schrodinger không được chứng minh hay rút ra từ đâu. Nó được xây dựng trên cơ sở hàm
sóng phẳng đơn sắc của ánh sáng và giả thuyết sóng-hạt de Broglie, do đó được coi như một
tiên đề. Việc mở rộng phương trình Schrodiger cho hạt tự do sang trường hợp hạt chuyển
động trong trường thế cũng được coi là một sự tiên đề hóa. Dưới đây là những ứng dụng
phương trình Schrodinger trong những bài toán cụ thể như hạt trong giếng thế, hiệu ứng
đường ngầm...
123Chương 7: Cơ học lượng tử
§5. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
1. Hạt trong giếng thế năng
Trong những bài toán thực tế, ta thường
gặp những trường hợp hạt chỉ chuyển động
trong một phạm vi giới hạn bởi một hàng rào
thế năng có chiều cao khá lớn, ví dụ như
electrôn trong mạng tinh thể hay nuclôn trong
hạt nhân bền, khi đó ta nói rằng hạt ở trong
giếng thế năng.
Ta hãy xét trường hợp hạt nằm trong
Hình 7-6. Giếng thế năng
giếng thế năng có thành cao vô hạn và chuyển động theo một phương x bên trong giếng thế
(hình 7-6). Thế năng U được xác định theo điều kiện:
⎩
⎨
⎧
≥≤ ∞
<<
=
ax,0xkhi
ax0khi0
U
Như vậy bên trong giếng thế hạt chuyển động tự do và không thể vượt ra ngoài giếng.
Phương trình Schrodinger của hạt trong giếng thế (U = 0) một chiều (chiều x) có dạng:
0
mE2
dx
d
22
2
=ψ+
h
(7-20)
Đặt
2
2 mE2
k
h
= , ta có:
0k
dx
d 2
2
2
=ψ+
ψ (7-21)
Nghiệm của phương trình (7-21) có dạng
kxcosBkxsinA)x( + = ψ (7-22)
A, B là những hằng số được xác định từ điều kiện của hàm sóng. Theo đầu bài thì hạt chỉ ở
trong giếng thế, do đó xác suất tìm hạt tại vùng ngoài giếng thế bằng không và hàm sóng
trong các vùng đó cũng bằng 0. Từ điều kiện liên tục của hàm sóng ta suy ra:
Thay điều kiện này vào (7-22) ta có ,0)0( =ψ 0)a( =ψ
0B)0sin(A)0( = + = ψ → B = 0
và 0)kasin(A)a( = = ψ
B = 0 nên A phải khác 0 (vì nếu A = 0 thì ψ luôn bằng 0 là một nghiệm tầm thường). Do
đó ta có:
π == nsin0kasin với n = 1,2,...
Từ đó rút ra:
124Chương 7: Cơ học lượng tử
a
k
= (7-23)
Như vậy ta có một dãy nghiệm hàm sóng có dạng:
x
a
sinA)x( n
=ψ (7-24)
thỏa mãn điều kiện biên của miền. Hằng số A được xác định từ điều kiện chuẩn hóa (7-11)
của hàm sóng. Vì hạt không thể ra khỏi giếng nên xác suất tìm thấy hạt trong giếng là chắc
chắn:
1dx)x(
a
0
2
=ψ ∫
Tính giá trị tích phân:
1
2
aA dx)x
a
n2
cos1(
2
A xdx
a
sinA
2 a
0
2
2
a
0
2
==
−=
Ta tìm được:
a
2
A =
Như vậy hàm sóng được xác định hoàn toàn:
x
a
a
2
)x( n
=ψ (7-25)
Năng lượng của hạt trong giếng thế cũng được tìm thấy khi ta thay biểu thức (7-23) vào
2
2 mE2
k
h
= :
2
2
22
ma2
E
h π
= (7-26)
Từ các kết quả trên ta rút ra một số kết luận sau:
a. Mỗi trạng thái của hạt ứng với một hàm sóng )x( n ψ
b. Năng lượng của hạt trong giếng phụ thuộc vào số nguyên n, nghĩa là biến thiên gián
đoạn. Ta nói rằng năng lượng đã bị lượng tử hóa.
Với n = 1 ta có mức năng lượng cực tiểu 0
ma2
E 2
22
1 ≠
=
h
ứng với hàm sóng
x
a
a
2
1
=ψ , mô tả trạng thái chuyển động cơ bản của hạt. Hàm sóng khác
không tại mọi điểm trong giếng, chỉ có thể bằng 0 tại các vị trí biên (Hình 7-7).
)x( 1 ψ
125Chương 7: Cơ học lượng tử
Khoảng cách giữa hai mức năng lượng kế tiếp nhau ứng với các số nguyên n và n+1
bằng:
)1n2(
ma2
EEE 2
22
n1nn +
=−=Δ +
h
(7-27)
n E Δ càng lớn khi a và m càng nhỏ. Điều đó có nghĩa là trong phạm vi thế giới vi
mô, sự lượng tử hóa càng thể hiện rõ rệt. Cụ thể, nếu xét hạt electrôn m = 9,1.10-31
kg, a ~
5.10-10
m thì ∆E ~ 1eV, khoảng cách giữa En+1 và En tương đối lớn, năng lượng bị lượng tử
hóa. Nhưng nếu xét một phân tử có m ~10-26
kg chuyển động trong miền a ~ 10cm thì
khoảng cách giữa các mức năng lượng ΔE~ 10-20
eV khá nhỏ. Trong trường hợp này có thể
coi năng lượng của phân tử biến thiên liên tục.
c. Mật độ xác suất tìm hạt trong giếng:
x
a
a
2
)x(
2 2
=ψ (7-28)
Mật độ xác suất cực đại khi: 1x
a
sin ±= ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
. Do đó xác suất tìm thấy hạt lớn nhất
tại:
n2
a
)1m2(x += < a m = 0,1....
Hình 7-7. Hạt trong giếng thế năng một chiều, cao vô hạn
Ví dụ: Khi n = 1, xác suất tìm thấy hạt ở điểm
2
a
x = là lớn nhất. Khi n = 2 xác suất
tìm thấy hạt ở điểm
4
a
x = và
4
a3
x = là lớn nhất...
Mật độ xác suất cực tiểu khi: 0x
a
sin . Do đó xác suất tìm thấy hạt nhỏ nhất tại = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
ma
x = < a
126Chương 7: Cơ học lượng tử
Kết quả được biểu diễn trên hình 7-7.
2. Hiệu ứng đường ngầm
Ta xét hạt mang năng lượng E, chuyển động theo phương x từ trái sang phải đập vào
hàng rào thế năng như hình 7-8. Theo quan điểm của cơ học cổ điển, nếu E < Uo hạt không
thể vượt qua hàng rào. Theo quan điểm của cơ học lượng tử ta sẽ thấy hạt vẫn có khả năng
xuyên qua hàng rào thế năng. Hiện tượng xuyên qua hàng rào thế năng như vậy được gọi là
hiệu ứng đường ngầm.
Chúng ta sẽ nghiên cứu trường hợp hàng rào thế năng dạng đơn giản như hình 7-8:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<<
≤
=
ax0
ax0U
0x0
U o (7-29)
Phương trình Schrodiger đối với các miền
như sau:
Miền I: 0k
dx
d
1
2
1 2
1
2
=ψ+
ψ với
2
2
1
mE2
k
h
=
Hình 7-8. Hàng rào thế hình chữ nhật
Miền II: 0k
dx
d
2
2
2 2
2
2
=ψ−
ψ với )EU(
m2
k 0 2
2
2 −=
h
(7-30)
Miền III: 0k
dx
d
3
2
1 2
3
2
=ψ+
Trong miền I có cả sóng tới và sóng phản xạ. Nghiệm ψ1 trong miền này có dạng:
xik
1
xik
11
1 1 eBeA)x(
−
+=ψ (7-31)
Số hạng thứ nhất của vế phải biểu diễn sóng tới truyền từ trái sang phải. Số hạng thứ hai của
vế phải biểu diễn sóng phản xạ trên mặt hàng rào thế năng, truyền ngược trở lại từ phải
sang trái.
Nghiệm tổng quát trong miền II là:
xk
2
xk
22
2 2 eBeA)x( + =ψ −
(7-32)
Nghiệm tổng quát trong miền III có dạng:
)ax(ik
3
)ax(ik
33
1 1 eB eA)x(
−− −
+ =ψ (7-33)
Số hạng thứ nhất của phương trình (7-33) biểu diễn sóng xuyên qua hàng rào và truyền từ
trái sang phải. Số hạng thứ hai biểu diễn sóng phản xạ từ vô cực về, nhưng sóng này không
có, nên ta có thể cho B3 = 0.
127Chương 7: Cơ học lượng tử
Hệ số truyền qua hàng rào D được định nghĩa là tỷ số giữa số hạt xuyên qua được
hàng rào và số hạt đi tới hàng rào. Và số hạt lại tỷ lệ với bình phương của biên độ sóng.
Biên độ sóng tới hàng rào là A1 và biên độ sóng xuyên qua hàng rào là A3, do đó ta có
2
1
2
3
A
A
D = (7-34)
Hệ số phản xạ R được định nghĩa là tỷ số giữa số hạt phản xạ và số hạt đi tới hàng
rào, do đó ta có:
2
1
2
1
A
B
R = (7-35)
trong đó B1 là biên độ sóng phản xạ trên mặt hàng rào. Do điều kiện bảo toàn số hạt, ta phải
có
2
1
2
1
2
3 ABA =+ , do đó:
D + R = 1 (7-36)
Để tính được hệ số D và R ta phải tính được các biên độ sóng. Muốn vậy ta dựa vào
điều kiện liên tục của hàm sóng và đạo hàm của nó tại các vị trí biên (x = 0 và x = a). Từ
các điều kiện biên:
)a()a(
)a()a(
)0()0(
)0()0(
32
32
21
21
ψ′ =ψ′
ψ=ψ
ψ′ =ψ′
ψ= ψ
(7-37)
ta rút ra các hệ thức sau
2211 BABA + =+ (7-38)
)BA(k)BA(ik 222111 − − = − (7-39)
3
ak
2
ak
2 AeBeA 2 2 =+ −
(7-40)
31
ak
2
ak
22 Aik)eBeA(k 2 2 = − − −
(7-41)
Từ (7-40) và (7-41) ta có thể biểu thị A2, B2 qua A3:
ak
3 2
2 eA
2
in1
A −
= (7-42)
ak
3 2
2 eA
2
in1
B − +
= (7-43)
Trong đó:
EU
E
k
k
02
1
−
==
128Chương 7: Cơ học lượng tử
Vì in1− = in1+ , nên ta suy ra
22 BA >> . Do đó, có thể đặt B2=0. Từ (7-38) và (7-39)
ta rút ra được A1 theo A2, sau đó sử dụng (7-42) ta tính được:
ak
3 1
2 eA
n2
2
in1
A ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
= (7-44)
Từ đây ta thu được hệ số truyền qua:
ak2
22
2
2
1
2
3 2 e
)n1(
n16
A
A
D −
+
== (7-45)
Nếu
2 2
2
n1
n16
+
vào cỡ 1 (U0 vào cỡ 10E) thì có thể viết:
ak2 2 eD −
≈
hay ()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
− −≈ EUm a
D 0 2
2
exp
h
(7-46)
Từ (7-46) ta nhận thấy rằng, ngay khi năng lượng E của hạt nhỏ hơn thế năng của rào
(E<U0) thì D vẫn luôn luôn khác không, nghĩa là vẫn có hạt xuyên qua rào. Nếu D lớn, hạt
xuyên qua rào nhiều và ngược lại, nhưng luôn khác 0.
Ví dụ hạt electrôn m = 9,1.10-31
kg. Nếu U0-E ~ 1,3.10-31
J, ta có được sự phụ thuộc
của D vào bề rộng của hàng rào thế năng theo bảng sau:
a[m] 10-10
1,5.10-10
2.10-10
5.10-10
D 0,1 0,03 0,008 5.10-7
Hệ số D có giá trị đáng kể khi a nhỏ, nghĩa là hiệu ứng đường ngầm chỉ xảy ra rõ rệt
trong kích thước vi mô. Hiệu ứng đường ngầm là một hiện tượng thể hiện rõ tính chất sóng
của vi hạt, điều này không thể có đối với hạt vĩ mô.
Hiệu ứng đường ngầm cho phép ta giải thích nhiều hiện tượng gặp trong tự nhiên. Ví
dụ hiện tượng phát electrôn lạnh, hiệu ứng phân rã hạt α...
Hiện tượng phát electrôn lạnh:
electrôn muốn thoát ra khỏi kim loại cần
có đủ năng lượng thắng công cản, vượt
qua hàng rào thế năng Uo, như vậy ta cần
phải nung nóng kim loại. Tuy nhiên, vì có
hiệu ứng đường ngầm, nên ngay ở nhiệt
độ thường, dù E < Uo, vẫn có khả năng
electrôn thoát ra ngoài kim loại. Hiện
tượng này được gọi là hiện tượng phát
electrôn lạnh.
Hiện tượng phân rã α cũng được
Hình 7-9. Hiện tượng phân rã α
129Chương 7: Cơ học lượng tử
giải thích tương tự. Hạt nhân nguyên tử gồm có các hạt prôtôn (p) và nơtrôn (n). Trong hạt
nhân các hạt p và n tương tác với nhau bằng lực hạt nhân, cho nên có thể xem như chúng
nằm trong giếng thế năng. Hạt α gồm hai hạt p và hai hạt n, mặc dù năng lượng của hạt α
nhỏ hơn độ cao rào thế nhưng do hiệu ứng đường ngầm, hạt p và n của hạt α vẫn có thể bay
ra khỏi hạt nhân, hiện tượng này gọi là hiện tượng phân rã α (hình 7-9).
3. Dao động tử điều hòa lượng tử
Một vi hạt thực hiện dao động nhỏ điều hòa xung quanh vị trí cân bằng là một ví dụ
về dao động tử điều hòa lượng tử. Dao động của nguyên tử trong phân tử, dao động của các
iôn xung quanh nút mạng tinh thể... đều là những ví dụ về dao động tử điều hòa. Dao động
tử điều hòa là một hiện tượng rất quan trọng của vật lí nói chung và cơ học lượng tử nói
riêng.
Ta xét vi hạt dao động (một chiều) trong trường thế năng. Trong phần dao động ta đã
biết thế năng của dao động điều hòa một chiều bằng:
2
xm kx
2
1
U
22
2 ω == (7-47)
trong đó m là khối lượng của vi hạt, ω là tần số góc của dao động. Phương trình
Schrodinger cho dao động tử điều hòa có dạng:
0
2
xm E
m2
dx
d 22
22
2
=ψ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ω −+
h
(7-48)
Cơ học lượng tử đã giải phương trình (7-48) và tìm được biểu thức năng lượng của
dao động tử điều hòa
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ω=
2
1
nEn h với n = 0,1,2... (7-49)
Ta thấy năng lượng của dao động tử chỉ lấy những giá trị gián đoạn, có nghĩa rằng năng
lượng của dao động tử đã bị lượng tử hóa. Năng lượng thấp nhất của dao động tử điều hòa
ứng với n = 0.
2
Eo
ω =
h
Năng lượng này được gọi là năng lượng “không”. Năng lượng “không” liên quan đến
dao động “không” của dao động tử, nghĩa là khi T = 0K, dao động tử vẫn dao động. Điều
này đã được thực nghiệm xác nhận trong thí nghiệm tán xạ tia X. Tia X bị tán xạ là do các
dao động nguyên tử trong mạng tinh thể gây ra. Theo cơ học cổ điển, khi nhiệt độ càng
giảm, biên độ dao động của các nguyên tử giảm đến không, do đó sự tán xạ của ánh sáng
phải biến mất. Nhưng thực nghiệm chứng tỏ, khi nhiệt độ giảm, cường độ tán xạ tiến tới
một giá trị giới hạn nào đó. Điều đó có nghĩa rằng, ngay cả khi T→ 0, sự tán xạ ánh sáng
vẫn xảy ra và các nguyên tử trong mạng tinh thể vẫn dao động, tương ứng với một năng
lượng Eo nào đó. Như vậy thực nghiệm đã xác nhận sự đúng đắn của cơ học lượng tử.
130Chương 7: Cơ học lượng tử
Sự tồn tại của năng lượng “không” cũng phù hợp với hệ thức bất định Heisenberg.
Thực vậy, nếu mức năng lượng thấp nhất của dao động tử bằng 0, như thế có nghĩa là hạt
đứng yên và vận tốc và tọa độ của vi hạt được xác định đồng thời (đều bằng 0), điều này
mâu thuẫn với hệ thức bất định. Sự tồn tại của mức năng lượng “không” của dao động tử
điều hòa là một trong những biểu hiện đặc trưng nhất của lưỡng tính sóng-hạt của vi hạt.
III. TÓM TẮT NỘI DUNG
1. Lưỡng tính sóng hạt của vi hạt
Trên cơ sở lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng, de Broglie đã mở rộng ra cho các vi hạt.
Theo giả thuyết này, mọi vi hạt tự do có năng lượng xác định, động lượng xác định tương
đương với sóng phẳng đơn sắc. Lưỡng tính sóng hạt của các vi hạt được biểu diễn bằng các
hệ thức:
E = hν và p = mv = h /λ.
Ngoài ra, theo thuyết tương đối Einstein, mọi hạt vật chất có khối lượng m đều mang
năng lượng bằng E = mc2
trong đó
22
c/v1
−
=
mo là khối lượng nghỉ của hạt (khi v = 0).
2. Hàm sóng
Hàm sóng của vi hạt tự do có dạng của hàm sóng phẳng:
( ) ( ) [ ] rktiexprpEt
exp o o −ω−ψ= ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−ψ=ψ
h
trong đó ћ = h/2π gọi là hằng số Planck rút gọn và λπ= /2k được gọi là số sóng.
Hàm sóng ψ không những mô tả những tính chất của hệ tại một thời điểm nào đó, mà
nó còn xác định được động thái của hệ ở những thời điểm tiếp theo. Hàm sóng có ý nghĩa
thống kê.
2
ψ là mật độ xác suất tìm thấy hạt tại một điểm nào đó đối với một trạng thái
lượng tử đang xét. Như vậy, hàm sóng ψ không mô tả một sóng thực, mà mô tả sóng xác
suất. Do đó hàm sóng phải thỏa mãn ba điều kiện: hàm sóng phải liên tục, hữu hạn và đơn
trị. Điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng là 1dV 2
V
= ∫ ψ
3. Nguyên lí bất định Heisenberg
Nguyên lí này thu được từ lưỡng tính sóng hạt của vi hạt, được biểu diễn qua hệ thức
dưới đây khi xét vị trí x và động lượng p của vi hạt
hp.x x ≈ Δ Δ
Nếu ∆x càng nhỏ (vị trí càng xác định) thì ∆px càng lớn (động lượng càng bất định)
và ngược lại. Như vậy đối với vi hạt, vị trí và động lượng không được xác định chính xác
131Chương 7: Cơ học lượng tử
đồng thời. Do đó, trong thế giới vi mô khái niệm quĩ đạo không có ý nghĩa. Nếu ta biết
được vị trí x ở thời điểm t, thì đến thời điểm t + dt ta chỉ có thể xác định vị trí hạt với một
xác suất nào đó thôi. Đối với các vi hạt khái niệm quĩ đạo được thay thế bằng khái niệm xác
suất tìm thấy hạt tại một vị trí nào đó ở trạng thái lượng tử đang xét.
Ngoài hệ thức giữa vị trí và động lượng, vi hạt còn tuân theo hệ thức bất định cho
năng lượng
ht.E ≈ ΔΔ
Ý nghĩa của hệ thức bất định giữa năng lượng và thời gian: nếu năng lượng của hệ ở
một trạng thái nào đó càng bất định thì thời gian để hệ tồn tại ở trạng thái đó càng ngắn và
ngược lại, nếu năng lượng của hệ ở một trạng thái nào đó càng xác định thì thời gian tồn tại
của hệ ở trạng thái đó càng dài.
4. Phương trình Schrodinger và ứng dụng
Từ biểu thức của hàm sóng, Schrodiger đã đưa ra phương trình cơ bản của cơ học
lượng tử mang tên ông cho vi hạt.
Đối với vi hạt tự do: 0)r(E
m2
)r( d 2
=ψ+ψΔ
h
Đối với vi hạt trong trường thế [ ] 0)r()r(UE
m2
2
=ψ−+ψΔ
h
Cần chú ý rằng các phương trình Schrodinger thu được trên cơ sở của giả thuyết de
Broglie, thuyết lượng tử của Planck và thuyết phôtôn của Einstein, do đó cũng được coi là
các tiên đề.
Hệ thức bất định Heisenberg và phương trình Schrodinger là những nguyên lí cơ bản
của cơ học lượng tử.
Ứng dụng của phương trình Schrodinger:
- Phương trình Schrodinger được áp dụng để giải một số bài toán đơn giản của cơ học
lượng tử như tìm năng lượng và hàm sóng của vi hạt khối lượng m trong giếng thế năng, có
bề rộng a và thành cao vô hạn. Kết quả ta có năng lượng của vi hạt trong giếng thế bị lượng
tử hóa:
2
2
22
ma2
E
h π
=
Mỗi giá trị của năng lượng En tương ứng với một trạng thái lượng tử
x
a
a
2
)x( n
=ψ
Từ đây ta tìm được xác suất tìm thấy hạt tại các điểm khác nhau trong giếng ứng với
mỗi trạng thái lượng tử.
- Vận dụng phương trình Schrodinger, ta xét chuyển động của vi hạt qua hàng rào thế
Uo. Từ đó phát hiện hiệu ứng đường ngầm. Đó là hiệu ứng một vi hạt có năng lượng E < Uo
132Chương 7: Cơ học lượng tử
vẫn có xác suất vượt qua được rào thế Uo. Đây là hiệu ứng thuần túy lượng tử, vì trong cơ
học cổ điển một hạt có năng lượng E < Uo thì không thể vượt qua được hàng rào thế năng.
- Một ứng dụng nữa hay gặp của cơ học lượng tử là dao động tử điều hòa. Đó là một
vi hạt thực hiện các dao động nhỏ bậc nhất quanh vị trí cân bằng. Chuyển động nhiệt của
mạng tinh thể cũng được biểu diễn dưới dạng tập hợp của các dao động tử điều hòa tuyến
tính. Thay biểu thức thế năng U của dao động tử điều hòa vào phương trình Schrodinger, ta
tìm được các mức năng lượng của dao động tử:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ω=
2
1
nEn h
Nếu n = 0, ta tìm được mức năng lượng thấp nhất của dao động tử
2
Eo
ω =
h
. Eo
được gọi là “năng lượng không”. Kết quả này đã được thực nghiệm xác nhận. Nó nói lên
rằng các nguyên tử của mạng tinh thể không bao giờ đứng yên. Suy rộng ra, sự vận động
của vật chất không bao giờ bị tiêu diệt. Đó là cơ sở khoa học của triết học duy vật biện
chứng.
IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT
1. Phát biểu giả thuyết de Broglie về lưỡng tính sóng hạt của vi hạt.
2. Viết biểu thức hàm sóng cho vi hạt và nêu ý nghĩa của các đại lượng có trong biểu thức
đó.
3. Viết phương trình Schrodinger cho vi hạt tự do và vi hạt chuyển động trong trường lực
thế. Nêu ý nghĩa các đại lượng có trong phương trình.
4. Hãy nêu bản chẩt và ý nghĩa thống kê của hàm sóng. Các điều kiện của hàm sóng.
5. Phát biểu và nêu ý nghĩa của hệ thức bất định Heisenberg cho vị trí và động lượng.
6. Phát biểu và nêu ý nghĩa của hệ thức bất định cho năng lượng.
7. Phân tích tại sao trong cơ học lượng tử khái niệm quĩ đạo của vi hạt không còn có ý
nghĩa. Khái niệm quĩ đạo của vi hạt được thay thế bằng khái niệm gì ?
8. Hãy tìm biểu thức của hàm sóng và năng lượng của vi hạt trong giếng thế năng một
chiều, có chiều cao vô cùng.
9. Định nghĩa dao động tử điều hòa lượng tử. Viết phương trình Schrodinger và biểu thức
năng lượng của dao động tử điều hòa. Từ đó rút ra biểu thức của “năng lượng không”, nêu ý
nghĩa của biểu thức này.
V. BÀI TẬP
Thí dụ 1: Electrôn chuyển động tương đối tính với vận tốc 2.108
m/s. Tìm:
1. Bước sóng de Broglie của electrôn.
2. Động lượng của electrôn.
133Chương 7: Cơ học lượng tử
Bài giải
1. ¸p dụng cơ học tương đối tính:
m10.72,2
vm
c
v
-1h
c
v
-1
vm
h 12
0e
2
2
2
2
e0 − = =λ⇒ ==λ
2. Động lượng của electrôn: s/m.kg10.44,2
h
p 22 − =
λ
=
Thí dụ 2: Động năng của electrôn trong nguyên tử hiđrô có giá trị vào cỡ 10eV. Dùng hệ
thức bất định hãy đánh giá kích thước nhỏ nhất của nguyên tử.
Bài giải: Theo hệ thức bất định Heisenberg: hp.x x ≈ Δ Δ
Giả sử kích thước của nguyên tử bằng , vậy vị trí của electrôn theo phương x xác
định bởi:
l
2
x0
l
≤≤ , nghĩa là
2
x
l
≈Δ
Từ hệ thức bất định:
x
x
h2
hp
2 Δ
≈→≈Δ→ l
l
Mặt khác ppx ≤ Δ mà
đ eEm2p = , trong đó Eđ là động năng.
Vậy giá trị nhỏ nhất của kích thước nguyên tử: m10.24,1
Em2
h2 10
đ e
− = = l
Bài tập tự giải
1. Electrôn phải có vận tốc bằng bao nhiêu để động năng của nó bằng năng lượng của
phôtôn có bước sóng λ = 5200A0
.
Đáp số: s/m10.2,9
hc2
v
hc
2
vm 5
2
=
λ
=→ λ
=
2. Tìm vận tốc của electrôn để động lượng của nó bằng động lượng của phôtôn có bước
sóng λ = 5200A0
.
Đáp số: s/m1400
m.
h
v
h
vmp
e =
λ
=→ λ
==
3. Tìm động lượng của electrôn chuyển động với vận tốc c8,0v =
Đáp số: ¸p dụng cơ học tương đối tính:
134Chương 7: Cơ học lượng tử
s/m.kg10.64,3
c
v
1
vm mvp 22
2
2
0 − =
−
==
4. Tìm bước sóng de Broglie của:
1. Electrôn được tăng tốc bởi hiệu điện thế 1V, 100V, 1000V.
2. Electrôn đang chuyển động tương đối tính với vận tốc 108
m/s.
Đáp số:
1. m10.25,12
10.6,1.10.1,9.2
10.625,6
eU2m
h
2
vm eU ;
vm
h 10
19 31
34
1e
1
2
−
−−
−
= = =λ→= =λ
m10.338,0
eUm2
h
,m10.225,1
eUm2
h 10
3e
3
10
2e
2
− − = =λ = =λ
2. m10.69,0
vm
c
v
-1h
c
v
-1
vm
h 11
0e
2
2
2
2
e0 − = =λ→ ==λ
5. Xác định bước sóng de Broglie của electrôn có động năng
1. Eđ = 100eV.
2. Eđ= 3MeV
Đáp số:
1. Năng lượng nghỉ của electrôn E0 = 0,51MeV
Khi Eđ = 100eV nhỏ hơn rất nhiều so với năng lượng nghỉ của electrôn, do đó áp dụng cơ
học phi tương đối tính:
Eđ m10.23,1
10.1,9.10.6,1.2
10.625,6
2
vm 10
31 17
34 2
e −
− −
−
= =λ→=
2. Khi Eđ = 3MeV lớn hơn năng lượng nghỉ của electrôn, do đó áp dụng cơ học tương đối
tính:
2
0
2
2
0
1
vm
c
v
1
vm p
β−
=
−
= , Eđ
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
β−
= 1
1
1
cm
2
2
0
m10.62,0
h
cm2
E
1Em2p 10
2
0
đ
đ 0
− ==λ→ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+ =→
135Chương 7: Cơ học lượng tử
6. Electrôn có bước sóng de Broglie λ = 6.10-10
m. Tìm vận tốc chuyển động của electrôn.
Đáp số: s/m10.12,0
h
v
vm
h 7
=
λ
=→=λ
7. Electrôn không vận tốc ban đầu được gia tốc bởi một hiệu điện thế U. Tính U biết rằng
sau khi gia tốc hạt chuyển động ứng với bước sóng de Broglie 10-10
m.
Đáp số: V150
e2m
h
U
2
vm eU ;
vm
h
2
2 2
=
λ
=⇒= =λ
8. Một hạt mang điện được gia tốc bởi hiệu điện thế U = 200V, có bước sóng de Broglie
λ = 0,0202.10-8
m và điện tích về trị số bằng điện tích của electrôn. Tìm khối lượng của hạt
đó.
Đáp số: ,
mE2
h
đ
=λ Eđ kg10.67,1
eU2
h
meU
2
mv 27
2
2 2
− =
λ
=→==
9. Electrôn có động năng Eđ = 15eV, chuyển động trong một giọt kim loại kích thước
d = 10-6
m. Xác định độ bất định về vận tốc của hạt đó.
Đáp số: %06,0
E.d.m2
h2
d.v.m
h2
v
v
d.m
h2
x.m
h
v
đ
= ==
Δ
→=
Δ
=Δ
10. Hạt vi mô có độ bất định về động lượng bằng 1% động lượng của nó. Xác định tỷ số
giữa bước sóng de Broglie và độ bất định về toạ độ của hạt.
Đáp số: 100
x
h
,
h100
h
x%,1
=
λ
Δ
→=λ=
Δ
=Δ=
Δ
11. Viết phương trình Schrodinger đối với hạt vi mô:
1. Chuyển động một chiều trong trường thế
2
kx
U
2
=
2. Chuyển động trong trường tĩnh điện Coulomb
r4
Ze
U
0
2
πε
−=
Đáp số: 1. 0
2
kx
E
m2
dx
d 2
22
2
=ψ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
h
, 2. 0
r4
Ze
E
m2
0
2
2
=ψ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
πε
++ψΔ
h
12. Dòng hạt có năng lượng E xác định chuyển động theo phương x từ trái sang phải đến
gặp một hàng rào thế năng xác định bởi:
⎩
⎨
⎧
〈〉
≤
=
EU,0xkhiU
0xkhi0
U
0 0
Xác định hệ số phản xạ và hệ số truyền qua hàng rào thế đối với electrôn đó.
136Chương 7: Cơ học lượng tử
Đáp số:
Giải phương trình Schrodinger ở hai miền
I và II. Trong miền I hàm sóng ( ) x 1 ψ thoả
mãn: 0E
m2
dx
d
1 2
2
1
2
=ψ+
h
Đặt
2
2
kE
m2
=
h
, nghiệm của phương
trình: () ikx ikx
1 BeAex − +=ψ
Số hạng Aeikx
mô tả sóng truyền từ trái sang phải (sóng tới), số hạng Be-ikx
mô tả sóng
truyền từ phải sang trái (sóng phản xạ trong miền I).
Trong miền II, hàm sóng thoả mãn: () x 2 ψ () 0UE
m2
dx
d
20 2
2
2
2
=ψ−+
h
Đặt ()
2
1 0 2
kUE
m2
=−
h
, phương trình có nghiệm tổng quát: .
Trong miền II chỉ có sóng truyền từ trái sang phải nên D = 0. Vậy .
xikxik
2
1 1 DeCe
−
+=ψ
xik
2
1 Ce =ψ
Để tìm A, B, C ta viết điều kiện liên tục của hàm sóng và của đạo hàm cấp 1 của hàm sóng:
dx
0d
dx
0d
,00 2 1
21
ψ =
ψ ψ=ψ
Ta được: ()
1
1
1
1
kk
kk
A
B ,
k
k
BA
BA CkBAk,CBA
+
−
==
−
+
→=−=+
Hệ số phản xạ:
2
0
0
2
1
1 2
1
1
2
2
E
U 11
E
U 11
k
k
1
k
k
1
kk
kk
A
B
R
⎟ ⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
−−
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
= ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
==
Hệ số truyền qua:
2
1
1
2
1
1
kk
kk4
kk
kk
1R1D
+
= ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
−=−=
137Chương 8: Vật lý nguyên tử
CHƯƠNG VIII: VẬT LÍ NGUYÊN TỬ
Năm 1911 dựa trên kết quả thí nghiệm về sự tán xạ của các hạt α qua lá kim loại
mỏng, Rutherford đã đưa ra mẫu hành tinh nguyên tử. Theo mẫu này, nguyên tử gồm một
hạt nhân mang gần như toàn bộ khối lượng nguyên tử nằm ở tâm, xoay quanh có các
electrôn chuyển động. Hạt nhân tích điện dương, điện tích âm của các electrôn có giá trị
bằng giá trị điện tích dương của hạt nhân. Nhưng theo thuyết điện từ cổ điển, khi electrôn
chuyển động có gia tốc xung quanh hạt nhân tất yếu sẽ phải bức xạ năng lượng và cuối cùng
sẽ rơi vào hạt nhân. Như vậy nguyên tử sẽ không tồn tại. Đó là một khó khăn mà mẫu
nguyên tử của Rutherford gặp phải. Thêm vào đó, khi nghiên cứu quang phổ phát sáng của
nguyên tử Hiđrô, người ta thu được quang phổ vạch. Các sự kiện đó vật lí cổ điển không thể
giải thích được.
Dựa trên những thành công của lí thuyết lượng tử của Planck và Einstein, năm 1913
Bohr đã đề ra một lí thuyết mới về cấu trúc nguyên tử, khắc phục những mâu thuẫn của mẫu
hành tinh nguyên tử của Rutherford. Tuy nhiên, bên cạnh những thành công rõ rệt, thuyết
Bohr cũng bộc lộ những thiếu sót và hạn chế không sao khắc phục nổi. Thuyết Bohr được
vận dụng thành công để giải thích qui luật của quang phổ nguyên tử Hiđrô, nhưng nhiều đặc
trưng quan trọng khác của phổ và đối với những nguyên tử có nhiều electrôn thì lí thuyết
của Bohr không thể giải quyết được. Đó chính là tiền đề cho sự ra đời của cơ học lượng tử,
nền tảng của một lí thuyết hoàn toàn mới có khả năng giải quyết đúng đắn và chính xác mọi
hiện tượng và quy luật của thế giới vi mô và Bohr đã trở thành một trong những người đã
đặt nền móng cho môn cơ học mới đó khi ông bắc nhịp cầu giữa hai thế giới vật lí: thế giới
vĩ mô và thế giới vi mô.
Trong chương này chúng ta sẽ vận dụng những kết quả của cơ học lượng tử để nghiên
cứu phổ và đặc tính của các nguyên tử.
I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU
1. Vận dụng cơ học lượng tử để nghiên cứu những tính chất của nguyên tử hiđrô và các
nguyên tử kim loại kiềm. Từ đó rút ra những kết luận cơ bản.
2. Giải thích được hiệu ứng Zeeman.
3. Hiểu được khái niệm spin của electrôn và vai trò của nó trong việc tách vạch quang phổ.
4. Giải thích được qui luật phân bố các electrôn trong bảng tuần hoàn Mendeleev.
138Chương 8: Vật lý nguyên tử
II. NỘI DUNG
§1. NGUYÊN TỬ HIĐRÔ
1. Chuyển động của electrôn trong nguyên tử hiđrô
Nguyên tử Hiđrô gồm có hạt nhân mang
điện tích +e và một electrôn mang điện tích -e. Hạt
nhân được coi là đứng yên, còn electrôn quay
xung quanh. Ta lấy hạt nhân làm gốc O của hệ toạ
độ và r là khoảng cách từ electrôn đến hạt nhân
(hình 8-1). Tương tác giữa hạt nhân và electrôn là
tương tác Coulomb (Culông). Thế năng tương tác
là:
r4
U
2
πε
−=
Hình 8-1
Do đó phương trình Schrodinger có dạng:
0
r4
E
m2
2
2
=ψ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
πε
++ψΔ
h
(8-1)
Vì bài toán có tính đối xứng cầu, để thuận tiện ta giải nó trong hệ toạ độ cầu với ba biến là r,
θ, φ. Hàm sóng trong hệ tọa độ cầu sẽ là ( ) ϕ θ ψ = ψ ,,r . Biến đổi từ hệ toạ độ Đề các sang
hệ toạ độ cầu (hình 8-1) ta có: ,cossinrx ϕ θ = ,sinsinry ϕ θ = θ = cosrz .
Toán tử Laplace trong hệ toạ độ cầu:
2
2
22 2
2
2
1
1
1
ϕ∂
ψ∂
θ
+ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
θ∂
ψ∂
θ
θ∂
∂
θ
+ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
ψ∂
∂
∂
=ψΔ (8-2)
Thay (8-2) vào (8-1) ta có phương trình Schrodinger trong toạ độ cầu:
0
r4
E
m2
1
1
1
2
2
2
2
22 2
2
2
=ψ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
πε
++
ϕ∂
ψ∂
θ
+ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
θ∂
ψ∂
θ
θ∂
∂
θ
+ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
ψ∂
∂
∂
h
(8-3)
Phương trình này được giải bằng phương pháp phân li biến số. Ta đặt :
),(Y)r(R),,r( ϕ θ =ϕθψ
trong đó hàm xuyên tâm R(r) chỉ phụ thuộc độ lớn của r, còn hàm Y(θ,φ) phụ thuộc vào các
góc θ,φ. Giải phương trình Schrodinger người ta nhận được biểu thức của năng lượng và
hàm sóng.
Biểu thức năng lượng của electrôn trong nguyên tử Hiđrô:
139Chương 8: Vật lý nguyên tử
222
4
2 n
Rh
)4(2
1
E −=
πε
−=
h
(8-4)
R là hằng số Rydberg (Rittbe), R = 3,27.1015
-1
, đã được
thực nghiệm kiểm chứng, n có giá
trị nguyên dương, được gọi là số lượng tử chính.
Hàm xuyên tâm R(r) = Rn l phụ thuộc hai số lượng tử n, l . Số nguyên được gọi là
số lượng tử quỹ đạo. Hàm Y(θ,φ) phụ thuộc vào hai số lượng tử và m. Số nguyên m được
gọi là số lượng tử từ. Như vậy hàm sóng của electrôn có dạng :
l
l
m,,n l ψ=ψ (r,θ,φ) = Rn l (r)Ylm(θ,φ) (8-5)
trong đó số lượng tử chính n lấy các giá trị n = 1, 2, 3...
số lượng tử quỹ đạo lấy các giá trị = 0, 1, 2,..., n-1 l
số lượng tử từ m lấy các giá trị m = 0, ±1, ±2,...,± l .
Dạng của Rn l và Ylm rất phức tạp. Dưới đây, ta nêu một số dạng cụ thể của các hàm
đó:
=
4
1
Y 0,0 θ
= cos
4
3
Y 0,1
ϕ θ
= i
1,1 esin
8
3
Y
ϕ−
− θ
−= i
1,1 esin
8
3
Y
a/r2/3
0,1 ea2R −− =
a2/r 2/3
0,2 e)
a
2(a
8
1
R − − − = ....
trong đó m10.53,0
4
a
10
2
2
o − =
πε
=
h
, a bằng bán kính Bohr.
Từ các kết quả trên ta thu được một số kết luận sau đây.
2. Các kết luận
a. Năng lượng của electrôn trong nguyên tử hiđrô chỉ phụ thuộc vào số nguyên n (công
thức 8-4). Ứng với mỗi số nguyên n có một mức năng lượng, như vậy năng lượng biến thiên
gián đoạn, ta nói năng lượng bị lượng tử hoá. En luôn âm, khi ∞ → n . Năng lượng
tăng theo n.
0E →
Mức năng lượng thấp nhất E1 ứng với n = 1 được gọi là mức năng lượng cơ bản. Các
mức năng lượng lần lượt tăng theo thứ tự E2 < E3 < E4 ... Sơ đồ các mức năng lượng trong
nguyên tử hiđrô được biểu diễn trong hình 8-2. Càng lên cao, các mức năng lượng càng
xích lại và khi n → ∞ năng lượng biến thiên liên tục. Trong vật lí nguyên tử người ta kí hiệu
E1: mức K, E2 : mức L, E3 : mức M...
b. Năng lượng ion hoá của nguyên tử Hiđrô
Đó là năng lượng cần thiết để electrôn bứt ra khỏi nguyên tử, có nghĩa là electrôn sẽ
chuyển từ mức năng lượng cơ bản E1 sang mức năng lượng E∞:
140Chương 8: Vật lý nguyên tử
eV5,13)Rh(0EEE 1 = − − = − = ∞
Giá trị này cũng phù hợp với thực nghiệm.
c. Giải thích cấu tạo vạch của quang phổ
Hiđrô
Khi không có kích thích bên ngoài electrôn
bao giờ cũng ở trạng thái cơ bản (ứng với
mức E1). Dưới tác dụng của kích thích,
electrôn nhận năng lượng chuyển lên trạng
thái kích thích ứng với mức năng lượng En
cao hơn. Electrôn chỉ ở trạng thái này trong
thời gian rất ngắn (~10-8
s), sau đó trở về
mức năng lượng En’ thấp hơn. Trong quá
trình chuyển mức từ En→En’ electrôn bức xạ
năng lượng dưới dạng sóng điện từ, nghĩa là
phát ra phôtôn năng lượng . Theo định
luật bảo toàn năng lượng:
ν h
Hình 8-2: Sơ đồ phổ hiđrô: a. Dãy Lyman,
b. Dãy Balmer, c. Dãy Paschen
22 'nn'nn
'n
Rh
Rh
EEh +−=−=ν (8-6)
hay
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
−=ν
22 'nn
1
'n
1
R (8-7)
Đây chính là tần số của vạch quang phổ được phát ra.
Khi n’=1 ta có:
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
−=ν
22 1n
1
1
1
R n = 2,3,4...
Các vạch quang phổ tuân theo công thức này hợp thành một dãy có bước sóng trong vùng
tử ngoại, gọi là dãy Lyman.
Khi n’= 2, n = 3,4,5... ta có các vạch nằm trong dãy Balmer, có bước sóng trong vùng nhìn
thấy:
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
−=ν
22 2n
1
2
1
R
Khi n’= 3, n = 4,5,6... ta có các vạch nằm trong dãy Paschen, có bước sóng trong vùng hồng
ngoại:
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
−=ν
22 3n
1
3
1
R
Tiếp đến là dãy Bracket, Pfund trong vùng hồng ngoại. Sơ đồ các dãy được cho trên
hình 8-2.
141Chương 8: Vật lý nguyên tử
d. Trạng thái lượng tử của electrôn
Trạng thái của electrôn được mô tả bởi hàm sóng:
),(Y)r(R),,r( mn mn ϕ θ =ϕθψ ll l (8-8)
trong đó n: số lượng tử chính, n = 1, 2...
l : số lượng tử quĩ đạo, l = 0, 1, 2...(n-1).
m: số lượng tử từ, m = 0, l ± ± ± ,...,2,1 .
Hàm sóng phụ thuộc vào các số lượng tử n, , m. Do đó, nếu ít nhất một trong ba chỉ
số n, , m khác nhau ta đã có một trạng thái lượng tử khác. Ta thấy ứng với mỗi giá trị của
n, l có n giá trị khác nhau và ứng với mỗi giá trị của ta có 2 l +1 giá trị khác nhau của m,
do đó với mỗi giá trị của n ta có số trạng thái lượng tử bằng:
l
l
l
[]
∑ =
−+
=+
−
=
1n
0
2
2
n)1n2(1
)12(
l
l (8-9)
Như vậy ứng với một số lượng tử n, tức là với mỗi mức năng lượng En,, ta có n2
trạng
thái lượng tử khác nhau.
mnl ψ
Ví dụ:
n m Số trạng thái l
1 0 0 1
100 ψ
2 0 0 4
200 ψ
1 -1
121− ψ
0
210 ψ
1
211 ψ
Năng lượng E1 (mức năng lượng thấp nhất) có một trạng thái lượng tử. Trạng thái
lượng tử ở mức E1 được gọi là trạng thái cơ bản. En có n2
trạng thái lượng tử, ta nói En suy
biến bậc n2
. Các trạng thái lượng tử ở các mức năng lượng lớn hơn E1 được gọi là trạng thái
kích thích.
Trạng thái lượng tử được kí hiệu theo các số lượng tử, cụ thể bằng nx, n là số lượng
tử chính, còn x tùy thuộc vào số lượng tử quĩ đạo l như sau:
l 0 1 2 3
x s p d f
Ví dụ: trạng thái 2s là trạng thái có n = 2 và l = 0.
e. Xác suất tìm electrôn trong thể tích dV ở một trạng thái nào đó
Vì
2
mnl ψ là mật độ xác suất, nên xác suất tồn tại của electrôn trong thể tích dV ở
tọa độ cầu là:
142Chương 8: Vật lý nguyên tử
ϕθθ = ψ ddsindrrYRdV 2 2
2
mn ll l (8-10)
trong đó phần chỉ phụ thuộc khoảng cách r, biểu diễn xác suất tìm electrôn tại
một điểm cách hạt nhân một khoảng r, còn
drrR 22
nl
ϕθθ ddsinY 2
m l biểu diễn xác suất tìm
electrôn theo các góc (θ,φ).
Ta xét trạng thái cơ bản (n = 1). Khi n = 1, = 0, hàm xuyên tâm ở trạng thái cơ
bản là R
l
1,0. Xác suất cần tìm w1,0 bằng
2a/r2322
0,10,1 rea4rRw −− ==
Hình 8-3 biểu diễn sự phụ thuộc của w1,0 theo r. Để tìm bán kính r ứng với xác suất
cực đại ta lấy đạo hàm của w1,0 theo r, rồi cho đạo hàm bằng 0. Kết quả ta tìm được w1,0 có
cực trị tại r=0 và r = a. Giá trị r = 0 bị loại, vì hạt electrôn không thể rơi vào hạt nhân. Vậy
xác suất cực đại ứng với bán kính r = a = 0,53.10-10
m. Khoảng cách này đúng bằng bán
kính của nguyên tử hiđrô theo quan niệm cổ điển. Từ kết quả trên ta đi đến kết luận:
electrôn trong nguyên tử không chuyển động theo một quĩ đạo nhất định mà bao quanh hạt
nhân như “đám mây”, đám mây này dày đặc nhất ở khoảng cách ứng với xác suất cực đại.
Kết quả này phù hợp với lưỡng tính sóng hạt của vi hạt.
Electrôn cũng phân bố theo góc. Ở trạng thái s ( =0, m = 0) xác suất tìm thấy
electrôn:
l
===
4
1
Yww 2
0,000m l
không phụ thuộc góc, như vậy phân bố có tính đối xứng cầu. Hình 8-4 biểu diễn phân bố
xác suất phụ thuộc góc ứng với các trạng thái s, p.
Hình 8-3: Sự phụ thuộc r của xác suất
tìm hạt ở trạng thái cơ bản
l
Hình 8-4: Phân bố electrôn theo góc đối với
trạng thái s ( l =0) và p ( =1) l
143Chương 8: Vật lý nguyên tử
§2. NGUYÊN TỬ KIM LOẠI KIỀM
1. Năng lượng của electrôn hóa trị trong nguyên tử kim loại kiềm
Các nguyên tử kim loại kiềm (Li, Na, K,...) hóa trị một. Trong mẫu vỏ nguyên tử, lớp
ngoài cùng của các nguyên tử này chỉ có một electrôn hóa trị, liên kết yếu với hạt nhân. Nếu
kim loại kiềm có Z electrôn thì (Z-1) electrôn ở các lớp trong và hạt nhân tạo thành lõi
nguyên tử có điện tích +e, còn electrôn hóa trị điện tích -e chuyển động trong trường
Coulomb gây bởi lõi nguyên tử, giống như chuyển động của electrôn trong nguyên tử hiđrô.
Do đó các tính chất hóa học của kim loại kiềm về cơ bản giống tính chất của nguyên tử
hiđrô. Các nguyên tử kim loại kiềm là những nguyên tử đồng dạng hiđrô, tuy nhiên không
giống hoàn toàn. Trong nguyên tử kim loại kiềm, ngoài năng lượng tương tác giữa hạt nhân
và electrôn hóa trị, còn có năng lượng phụ gây ra bởi tương tác giữa electrôn hóa trị với các
electrôn khác. Do đó năng lượng của electrôn hóa trị trong nguyên tử kim loại kiềm có khác
chút ít so với năng lượng của electrôn trong nguyên tử hiđrô.
Hình 8-5. Mẫu vỏ nguyên tử của các kim loại kiềm
Khi tính thêm tương tác này, cơ học lượng tử đã đưa ra biểu thức năng lượng của
electrôn hóa trị đối với kim loại kiềm:
22
4
2 n
)4(2
1
E
h l
l
πεΔ+
−= (8-11)
trong đó là số hiệu chính phụ thuộc vào số lượng tử quĩ đạo . Số hiệu chính này có
giá trị khác nhau ứng với các trạng thái khác nhau. Bảng 1 sẽ cho các giá trị của số hiệu
chính cho một số nguyên tố kim loại kiềm ở các trạng thái khác nhau.
l Δ l
Bảng 1
Z
Nguyên tố
kim loại kiềm
s Δ Δp Δd Δf
3
11
19
37
55
Li
Na
K
Rb
Cs
-0,412
-1,373
-2,230
-3,195
-4,131
-0,041
-0,883
-1,776
-2,711
-3,649
-0,002
-0.010
-0,146
-1,233
-2,448
-0,000
-0,001
-0,007
-0,012
-0,022
144Chương 8: Vật lý nguyên tử
Như vậy, năng lượng của electrôn hóa trị của kim loại kiềm phụ thuộc vào số lượng
tử chính n và số lượng tử quĩ đạo . Sự phụ thuộc của mức năng lượng vào l là sự khác
biệt giữa nguyên tử kim loại kiềm và nguyên tử hiđrô. Trong Vật lí nguyên tử mức năng
lượng được kí hiệu bằng nX, n là số lượng tử chính, còn X tùy thuộc vào số lượng tử như
sau: = 0 1 2 3
l
l
l
X = S P D F
Ví dụ: mức 2D là mức năng lượng ứng với n = 2, = 2. Bảng 2 đưa ra các mức năng lượng
cho các lớp K, L, M.
l
Bảng 2
n l Trạng thái Mức năng lượng Lớp
1 0 1s 1S K
2
0
1
2s
2p
2S
2P
L
3
0
1
2
3s
3p
3d
3S
3P
3D
M
2. Quang phổ của nguyên tử kim loại kiềm
Tương tự như nguyên tử hiđrô,
khi có kích thích bên ngoài, electrôn
hóa trị chuyển từ trạng thái ứng với
mức năng lượng thấp lên trạng thái ứng
với mức năng lượng cao hơn. Nhưng
electrôn ở trạng thái kích thích này
không lâu (10-8
s), nó lại chuyển về
trạng thái ứng với mức năng lượng thấp
hơn và phát ra phôtôn có năng lượng
hν. Việc chuyển mức năng lượng phải
tuân theo qui tắc lựa chọn:
1 ±=Δl (8-12)
Ví dụ, nguyên tử Li gồm 3
electrôn: 2 electrôn ở gần hạt nhân
chiếm mức năng lượng 1S, còn electrôn
hóa trị khi chưa bị kích thích chiếm
mức năng lượng 2S (n = 2, l = 0). Đó
là mức thấp nhất của nó.
Hình 8-6. Sơ đồ quang phổ của Li
a. Dãy chính b. Dãy phụ II
c. Dãy phụ I d. Dãy cơ bản
145Chương 8: Vật lý nguyên tử
Theo qui tắc lựa chọn, electrôn hoá trị ở mức cao chuyển về mức:
- 2S ( = 0), thì mức cao hơn chỉ có thể là mức nP ( l = 1, n = 2,3,4...) l
- 2P ( = 1), thì mức cao hơn chỉ có thể là mức nS ( = 0, n = 3,4...) hay mức nD
( =2, n = 3,4...)
l l
l
Tần số của bức xạ điện từ phát ra tuân theo công thức:
hν = 2S – nP các vạch này tạo thành dãy chính
hν = 2P – nS các vạch này tạo thành dãy phụ II
hν = 2P – nD các vạch này tạo thành dãy phụ I
hν = 3D – nF các vạch này tạo thành dãy cơ bản
Các kết quả này đã được tìm thấy từ trước bằng thực nghiệm. Từ lí thuyết người ta
còn tìm thấy dãy hν = 3D – nP và sau đó được thực nghiệm xác nhận. Sơ đồ các vạch quang
phổ của Li được biểu diễn trên hình 8-6.
§3. MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG VẦ MÔMEN TỪ CỦA ELECTRÔN
1. Mômen động lượng quĩ đạo
Tương tự như trong cơ học cổ điển, electrôn chuyển động quanh hạt nhân nên có
mômen động lượng L. Nhưng vì electrôn quay quanh hạt nhân không theo quĩ đạo xác
định, do đó ở mỗi trạng thái vectơ L không có hướng xác định. Tuy nhiên, vectơ mômen
động lượng lại có giá trị xác định. Cơ học lượng tử đã chứng minh rằng giá trị của nó bằng
hll )1(L += (8-13)
trong đó được gọi là số lượng tử quĩ đạo ( = 0,1,2,...,n-1). Như vậy số lượng tử quĩ đạo
liên quan đến mômen động lượng quĩ đạo.
l l
3 khả năng định hướng của L
5 khả năng định hướng của L
Hình 8-7. Sự lượng tử hoá không gian của L .
146Chương 8: Vật lý nguyên tử
Cơ học lượng tử còn chứng minh rằng hình chiếu của mômen động lượng quĩ đạo L
lên một phương z bất kì luôn được xác định theo hệ thức:
h mLz = (8-14)
trong đó m là số nguyên gọi là số lượng tử từ, có các trị số l ±±± ± = ,...,3,2,1,0m , nghĩa là
với mỗi trị số cho trước của có 2 l + 1 trị số của m. l
Ví dụ: Khi l = 1, m = 0, ±1 thì h 2L = và L có 3 sự định hướng sao cho hình chiếu của
nó trên z (kí hiệu ) có các giá trị: , , (hình 8-7).
z L 0L0
z = h = 1
z L h −= −1
z L
Khi l = 2, m = 0, ±1, ±2 thì L = h 6 và L có 5 sự định hướng sao cho hình chiếu
của nó trên z có các giá trị: , , , , (hình 8-7). 0L0
z = h = 1
z L h −= −1
z L h 2L2
z = h 2L 2
z −= −
2. Mômen từ
Electrôn quay quanh hạt nhân tạo thành một dòng
điện i, có chiều ngược với chiều chuyển động của
electrôn. Dòng điện này có mômen từ Si =μ , trong đó S
là vectơ diện tích. Theo cơ học cổ điển, electrôn chuyển
động trên đường tròn bán kính r với tần số f, ta có cường
độ dòng điện và độ lớn của mômen từ sẽ bằng efi =
2
refSi π==μ
Mômen động lượng quĩ đạo:
Hình 8-8.
L = mevr = meωr
2
= me2πfr
2
.
Do đó ta thấy mômen từ tỉ lệ với mômen động lượng quĩ đạo. Electrôn mang điện tích
âm, sử dụng qui tắc bàn tay phải ta thấy vectơ mômen động lượng quĩ đạo và vectơ mômen
từ cùng phương vuông góc với mặt phẳng quĩ đạo nhưng ngược chiều nhau, do đó:
L
m2
−=μ (8-15)
Tính toán theo cơ học lượng tử ta cũng nhận được biểu thức (8-15). Vì Lkhông có
hướng xác định, do đó μ cũng không có hướng xác định. Hình chiếu của mômen từ lên
phương z bất kì bằng:
z
z L
m2
−=μ (8-16)
Thay (8-14) vào (8-16) ta được:
B
z m
m2
m μ−=−=μ
h
(8-17)
147Chương 8: Vật lý nguyên tử
với
223
B Am10
m2
e − ==μ
h
gọi là manhêtôn Bohr.
Như vậy: Hình chiếu mômen từ của electrôn quay quanh hạt nhân lên một phương z
bất kì bao giờ cũng bằng số nguyên lần manhêtôn Bohr, nghĩa là bị lượng tử hóa. Thường
người ta chọn phương z bất kì là phương của từ trường ngoài B , do đó số nguyên m được
gọi là số lượng tử từ.
Cơ học lượng tử cũng chứng minh được rằng khi electrôn chuyển trạng thái thì sự
biến đổi của m phải tuân theo qui tắc lựa chọn:
1,0m ±= Δ (8-18)
Hiện tượng lượng tử hóa mômen từ được xác nhận trong thí nghiệm về hiện tượng
Zeeman mà chúng ta sẽ xét dưới đây.
3. Hiện tượng Zeeman
Thí nghiệm: Đặt nguồn khí hiđrô phát sáng vào giữa hai cực của nam châm điện
(hình 8-9). Nếu quan sát các bức xạ phát ra theo phương vuông góc với vectơ từ trường B
thì thấy mỗi vạch quang phổ của nguyên tử hiđrô bị tách thành ba vạch sít nhau. Hiện tượng
tách vạch quang phổ khi nguyên tử phát sáng đặt trong từ trường được gọi là hiện tượng
Zeeman.
Hiện tượng Zeeman được giải thích như sau: Vì
electrôn có mômen từ μ nên khi nguyên tử hiđrô được
đặt trong từ trường B , mômen từ có khuynh hướng sắp
xếp theo phương song song với B do đó electrôn có thêm
năng lượng phụ:
BE μ−=Δ (8-19)
Chọn phương z là phương của từ trường B , ta có
BmBE B z μ = μ −=Δ
Như vậy khi nguyên tử hiđrô đặt trong từ trường,
năng lượng E’ của electrôn còn phụ thuộc vào số lượng tử
từ m:
Hình 8-9. Hiệu ứng Zeeman
E BmE'
B μ+ = (8-20)
trong đó E là năng lượng của electrôn khi nguyên tử hiđrô không đặt trong từ trường. Nếu
electrôn dịch chuyển từ trạng thái ứng với năng lượng sang trạng thái ứng với năng
lượng thấp hơn thì nó sẽ phát ra bức xạ điện từ. Tần số vạch quang phổ bằng:
'
2 E
'
1 E
h
B)mm(
h
EE
h
EE
'
B1212
'
1
'
2 μ−
+
−
=
−
=ν (8-21)
148Chương 8: Vật lý nguyên tử
Số hạng thứ nhất ν=
−
h
EE 12 là tần số của vạch quang phổ hiđrô khi nguyên tử hiđrô
không đặt trong từ trường, do đó:
h
B)mm(
'
B12 μ−
+ν=ν (8-22)
Theo qui tắc lựa chọn đối với số lượng tử m: 1,0m ± = Δ , ta thấy tần số có thể có
ba giá trị:
' ν
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
μ
+ν
ν
μ
−ν
=ν
h
B
h
B
'
B
B
(8-23)
Nghĩa là một vạch quang phổ (khi không có từ trường) được tách thành ba vạch quang phổ
(khi có từ trường), trong đó vạch giữa trùng với vạch cũ.
§4. SPIN CỦA ELECTRÔN
1. Sự tồn tại spin của electrôn
Lí thuyết cơ học lượng tử đã giải quyết khá trọn vẹn bài toán cấu trúc nguyên tử hiđrô
như đã trình bày ở trên. Trạng thái lượng tử của electrôn được mô tả bởi ba số lượng tử n,
, m. Tuy nhiên có nhiều sự kiện thực nghiệm khác chứng tỏ việc mô tả trạng thái lượng tử
như trên là chưa đủ. Ở đây chúng ta xét hai hiện tượng: sự tách vạch quang phổ của kim
loại kiềm và thí nghiệm Einstein – de Haas.
l
a. Sự tách vạch quang phổ kim loại kiềm:
Nhờ có những máy quang phổ có năng suất phân giải cao, người ta phát hiện thấy các
vạch quang phổ không phải là vạch đơn mà là vạch gồm rất nhiều vạch nhỏ nét hợp thành.
Ví dụ vạch vàng của nguyên tử Na được cấu tạo bởi hai vạch sít nhau có bước sóng 5890 Å
và 5896 Å. Vạch như vậy được gọi là vạch kép đôi. Theo hiệu ứng Zeeman, sự tách một
vạch thành ba vạch chỉ xảy ra khi có từ trường ngoài, còn vạch kép đôi trong quang phổ
kim loại kiềm quan sát thấy ngay cả khi không có từ trường ngoài. Sự tách vạch như vậy
chứng tỏ rằng mức năng lượng của nguyên tử kim loại kiềm không chỉ phụ thuộc vào hai số
lượng tử n và l , mà còn phụ thuộc vào một đại lượng nào đó nữa đã làm thay đổi chút ít
năng lượng của mức. Đại lượng này có độ lớn rất nhỏ. Có thể đoán nhận rằng electrôn phải
có thêm một bậc tự do nữa ảnh hưởng đến quá trình bức xạ. Nếu kí hiệu số lượng tử tương
ứng với bậc tự do này là s, gọi là spin, thì mức năng lượng sẽ phải phụ thuộc vào ba số
lượng tử n, l , s.
b. Thí nghiệm Einstein và de Haas
Einstein và de Haas đã làm thí nghiệm sau. Treo một thanh sắt từ vào một sợi dây
thạch anh. Thanh sắt sẽ được từ hóa nhờ dòng điện chạy qua cuộn dây bao quanh thanh
149Chương 8: Vật lý nguyên tử
(hình
8-10). Khi chưa có dòng điện chạy trong cuộn dây, các vectơ mômen từ của các
nguyên tử sắt từ đã được định hướng một cách ngẫu nhiên, do đó tác dụng từ của chúng bị
triệt tiêu ở tất cả mọi điểm bên ngoài thanh sắt. Khi có dòng điện chạy qua cuộn dây, các
vectơ mômen từ nguyên tử sẽ sắp xếp thẳng hàng theo hướng của từ trường ngoài làm cho
các mômen động lượng nguyên tử cũng xếp thẳng hàng nhưng theo hướng ngược lại. Vì
thanh sắt được cô lập với bên ngoài (hệ kín) nên mômen động lượng được bảo toàn và cả
thanh sắt phải quay đi.
Nếu dòng điện thay đổi, mômen từ cũng thay đổi,
do đó mômen động lượ L cũng thay đổi. Dây treo sẽ bị
xoắn lại. Đo góc xoắn này ta có thể xác định được L và
kiểm nghiệm tỉ số μ/ L. Đố với electrôn tỉ số này phải âm
vì điện tích của electrôn là –e. Điều đó đã được thực
nghiệm xác nhận, sự từ hóa của sắt từ gây bởi chuyển
động của electrôn. Nhưng thí nghiệm lại cho kết quả của tỉ
số μ/ L không bằng –e/2m
Hình 8-10
uận là n ng quanh
gia chuyển động riêng liên quan tới sự vận động nội tại của
electr
e như công thức (8-15) mà bằng
–e/ me. Nếu thừa nhận sự từ hóa chất sắt từ không phải do
chuyển động quĩ đạo của electrôn mà do spin electrôn thì
người ta nhận được tỉ số μ / L phải bằng –e/me, phù hợp
với kết quả thực nghiệm.
Từ các kết quả thực nghiệm trên, người ta đi đến kết l
hạt nhân, electrôn còn tham
goài chuyển độ
ôn, chuyển động này được đặc trưng bởi mômen cơ riêng, gọi là spin, kí hiệu S . Cơ
học lượng tử đã chứng minh rằng, tương tự như mômen động lượng quĩ đạo L , mômen cơ
riêng S cũng lấy những giá trị gián đoạn:
h )1s(sS += (8-24)
trong đó s = , gọi là số lượng tử spin, do đó S =
2
1
h
2
3
.
y
công thức (8-13). Chỉ khác là spin có một giá trị
duy nhất, trong khi mômen động lượng quĩ đạo có
thể nhận nhiều giá trị khác nhau. Vì số lượng tử
spin bằng 1/2 nên thường gọi tắt spin của electrôn
bằng 1/2 hoặc electrôn có spin bán nguyên. Hình
chiếu của mômen spin
Ta thấ công thức (8-24) có dạng giống
S theo phương z bất kì
bằng :
2
mS sz
h
h ±== (8-25)
Hình 8-11. Sự lượng tử hóa
không gian của spin
150Chương 8: Vật lý nguyên tử
trong g tử hình chiếu spin), nó chỉ có hai giá
a mômen spin. Chú ý rằng spin là một
ển nó hoàn toàn không có.
đó ms gọi là số lượng tử từ riêng (hay số lượn
trị ± 1/2. Hình 8-11 trình bày hai sự định hướng củ
khái niệm thuần túy lượng tử, trong trường hợp cổ đi
Ứng với mômen động lượng quĩ đạo μ L , electrôn có mômen từ quĩ đạo . Tương tự,
s μ S , electrôn có mômen từ riêng . Theo thí nghiệm Einstein- ứng với mômen cơ riêng spin
de Haas:
S
s −=μ
và hình chi ủa mômen từ riêng trên tr ếu c ục z :
B
z
sz
m2
S
μ==−=μ m
h
m (8-26)
2. Trạng thái và năng lượng của electrôn trong nguyên tử
Do có mômen spin nên mômen động l ợng toàn phần ư J của electrôn bằng:
SLJ += (8-27)
Cơ học lượng tử đã chứng minh được giá trị của J bằng:
h )1j(jJ += (8-28)
ởi: trong đó j là số lượng tử toàn phần được xác định b
2
1
j ±= l
ụ thuộc vào bốn số lượng
là khác nhau, nếu ít nhất một
trong đ i mỗi số
lượng t
2
trạng thái lượng tử khác nhau. N u kể đến spin thì do m :
±1/2 n v ố lượ tử chính n , có 2n2
t ng thái lượng khác nhau:
0
n)12(2 =+ ∑
(8-29)
Do có xét đến spin nên trạng thái lượng tử của electrôn ph
tử: n, l , m, ms hay n, l , m, j. Hai trạng thái lượng tử được coi
bốn số lượng tử n, l , m, ms khác nhau. Trên đây ta ã tính được: ứng vớ
ử chính có n ế s có 2 giá trị
ên ứng ới s ng rạ tử
1n
2
2 (8-30)
−
= l
l
i trong quang
phổ của kim loại kiềm. Các electrôn chuyển động quanh hạt nhân tạo ra một từ trường đặc
trưng bởi mômen từ quĩ đạo của các electrôn. Mômen từ spin của electrôn tư ừ
trường đó, tương tác này được gọi là tương tác spin-quĩ đạo. Do tương tác này, sẽ có một
năng l
ằng 0. Khoảng
Sự có mặt mômen từ spin của electrôn cho phép giải thích vạch kép đô
ơng tác với t
ượng phụ bổ sung vào biểu thức năng lượng của electrôn. Năng lượng phụ này phụ
thuộc vào sự định hướng của mômen spin và như vậy năng lượng còn phụ thuộc vào số
lượng tử toàn phần j. Nói cách khác, năng lượng toàn phần của electrôn phụ thuộc vào ba số
lượng tử n, l , và j: En l j. Từ (8-29) ta nhận thấy mỗi mức năng lượng xác định tách thành
hai mức j = l -1/2 và j = l +1/2, trừ mức S, chỉ có một mức, vì khi đó l b
151Chương 8: Vật lý nguyên tử
cách giữa hai mức năng lượng này rẩt nhỏ. Cấu trúc như vậy gọi là cấu trúc tế vi của các
mức năng lượng.
j
Trong vật lí nguyên tử, trạng thái của electrôn được kí hiệu bằng nxj, mức năng lượng
của electrôn kí hiệu bằng n j
2
X , trong đó n là số lượng tử chính, X = S, P, D, F... tùy thuộc
l = 0, 1, 2, 3,... Chỉ số 2 ở phía trên bên trái chữ X chỉ cấu tạo bội kép của mức năng lượng.
Bảng 3 nêu các trạng thái lượng tử và mức năng lượng khả dĩ của electrôn hóa trị trong
nguyên tử hiđrô và kim loại kiềm.
Bảng 3
n l Trạng thái của electrôn hóa trị Mức năng lượng
1 0 1/2 1s1/2 1
2
S1/2
2 0
1 1/2
3/2
2p
1/2 2s1/2 2
2
S1/2
1/2
2p3/2
2 P 2
1/2
2
2
P3/2
3 0
1
1/2
1/2
3/2
3s
2
3/2
5/2
3p3/2
3d3/2
3
2
P3/2
3
2
D3/2
1/2
3p1/2
3
2
S1/2
3 P 2
1/2
3
2
D5/2 3d5/2
3. u tạo b ủa vạ g phổ
Trên c ở cấu trúc tế vi của mức
năng lượng ta có thể gi ích được cấu
tạo bội của vạch quang .
Do năng lượng c lectrôn trong
nguyên tử ph huộc v a số lượng tử
n, , j, nên kh uyển từ mức
năng lượng c o sang ăng lượng
thấp hơn, ngoài qui tắc chọn đối với
, electrôn còn phải tuân theo qui tắc
lựa chọn đối với j:
Cấ ội c ch quan
ơ s
ải th
phổ
ủa e
ụ t
i electrôn ch
ào b
l
a mức n
lựa
l
Hình 8-1
a. Vạch quang phổ khi c ến spin
b. Vạch kép khi có xét đế
2.
hưa xét đ
n spin.
1,0j ±= Δ (8-31)
Cụ thể, ta xét sự tách vạch của quang phổ kim loại kiềm. Khi chưa xét đến spin, vạch
đơn có tần số ứng với chuyển mức:
hν = 2S – 3P
Khi xét đến spin, ta có vạch kép:
hν1 = 2
2
S1/2 – 3
2
P1/2 (Δ = 1, Δj = 0) l
152Chương 8: Vật lý nguyên tử
hν2 = 2
2
S1/2 – 3
2
P3/2 (Δ = 1, Δj = 1)
TUẦN HOÀN MENDELEEV
g nên hệ thống tuần hoàn của các nguyên tố hóa
c khi cơ học lượng tử ra đời. Hệ thống tuần hoàn
hóa họ cơ bản của các nguyên tố, đồng thời cũng
n tố mà hiện được.
ử, chún
el
electrôn trong bảng tuần hoàn dựa trên hai nguyên lí: nguyên lí cực
tiểu năng lượng và nguyên lí loại t
Nguy
thái bền.
Nguyên lí loại trừ Pa thái lượng tử xác định bởi 4 số lượng tử n, , m, ms
chỉ có
Cấu hình electrôn là s cá ạng thái với các số
lượng tử n, khác nha
Khi chưa để ý đế m có n2
trạng thái lượng tử.
Khi để ý đến spin thì với mỗi trị số của n ta có thể có 2n2
trạng thái lượng tử. Theo nguyên
lí loại trừ Pauli th lượng tử chính
n tạo thành lớp của nguyên tử. Các lớp của nguyên tử được kí hiệu bằng những chữ K, L,
M... t
l
§5. BẢNG HỆ THỐNG
Năm 1869, Mendeleev đã xây dựn
học và đã thiết lập nên bảng tuần hoàn trướ
này cho phép rút ra các tính chất vật lí và
giúp Mendeleev tiên đoán ra nhiều nguyê
Dựa trên cơ sở của cơ học lượng t
ectrôn trong bảng hệ thống tuần hoàn.
Sự phân bố các
c
về sau thực nghiệm mới phát
g ta có thể giải thích qui luật phân bố các
rừ Pauli.
ên lí cực tiểu năng lượng: Mọi hệ vật lí đều có xu hướng chiếm trạng thái có năng
lượng cực tiểu. Trạng thái đó là trạng
uli: Mỗi trạng l
tối đa một electrôn.
ự phân bố c electrôn trong nguyên tử theo các tr
u. l
n spin của electrôn thì với ỗi trị số của n
ì sẽ có tối đa 2n2
electrôn. Tập hợp các electrôn có cùng số
heo bảng sau:
Số lượng tử n 1 2 3 4 5
Kí hiệu lớp K L M N O
Số e-
tối đa 2 8 18 32 50
Theo nguyên lí cực tiểu năng lượng, các electrôn bao giờ cũng có khuynh hướng chiếm
mức n
h lớp con ứng với các giá trị khác nhau của . Mỗi lớp con có
ớp con:
ăng lượng thấp nhất (n nhỏ nhất).
Ví dụ: Nguyên tử H có 1 electrôn ở lớp K
Nguyên tử He có 2 electrôn ở lớp K (đủ số electrôn)
Nguyên tử Li có 2 electrôn ở lớp K và 1 electrôn ở lớp L,...
Mỗi lớp lại chia thàn l
2(2 l +1) electrôn.
Ví dụ: Lớp L (n = 2) có 2 l
- Lớp con S ( l = 0) có tối đa 2 (2 l + 1) = 2 electrôn,
- Lớp con P ( l =1) có tối đa 6 electrôn.
Lớp M (n = 3) có 3 lớp con:
153Chương 8: Vật lý nguyên tử
- Lớp con S có tối đa 2 electrôn,
- Lớp con P có tối đa 6 electrôn,
Lớp con D có tối đa 10 ctrôn.
ng phân bố e trôn đối với t vài nguyê .
- ele
Bảng 4 là bả lec mộ n tố
Bảng 4
K L M Lớp
Nguyên tố Lớp con
1S 2S 2P 3S 3P 3D
H 1
He 2
Li
Be
B
2
2
1
2
C 2
N 2 2 3
O 2 2
F 2
Ne 2 2
Na 2 2
Mg
P
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
4
5
6
6
6
6
6
6
6
1
2
2
2
2
2
2
1
2
3
Al
2
2
2
2
Si 2 2 6
S
Cl
Ar
2
2
2 2 6 2
4
5
6
Dựa theo bảng tuần hoàn Mendeleev, ta viết được cấu hình electrôn cho các ngu ên
tử. Ví dụ:
C : 1s 2p2
F : 1 2
2p5
N : 1s 2p3
Ne : 1 s
2
2p6
O : 1s
2
2p4
Al : 1s
2
2p6
3s
2
Ví dụ đ với Neon (Ne) c electrô trạng t 1s, 2 el trôn ở tr thái 2s, 6
electrôn ở trạ ư vậy c electrô đã lấp đ ớp con. Đối vớ Cacbon (C)
các electrôn c ấp kín hết các con vì con P ể chứa tối đa 6 electrôn, trong
khi đó lớp con P ở C mới chỉ có 2 electrôn.
2 2
2s s 2s
2
2
2s
2
2
2
2
2s
2
2s 3p1
ối ó 2 n ở hái ec ạng
ng thái 2p. Nh , cá n ầy các l i
hưa l lớp lớp có th
y
154Chương 8: Vật lý nguyên tử
III. TÓM T ỘI DUNG
1. Nguyên tử rô
Chúng ta nghiên cứu chuy động c electrôn ong ngu n tử hiđ trên cơ sở
phương trình Schrodinger, phương trình cơ b của cơ h lượng tử
ẮT N
hiđ
ển ủa tr yê rô
ản ọc
0)U E(
m2
2
ψ−+ψΔ
h
electrôn và hàm sóng của nó. Giải phương trình Schrodinger trong hệ tọa độ cầu,
ta thu ận sau:
a. Nă n tr g ngu n, gọi là số
lượng
=
đó U là thế năng tương tác giữa hạt nhân và electrôn. Bài toán đặt ra là tìm năng
lượng của
được một số kết lu
ng lượng của electrô on yên tử hiđrô phụ thuộc vào số nguyên
tử chính:
2 n
Rh
E −=
trong đó R là hằng số Rydberg. Ta nói rằng năng lượng đã bị lượng tử hóa.
b. Năng lượng ion hóa là năng lượng cần thiết để bứt electrôn ra khỏi nguyên tử
RhEEE 1 eV5,13 = = − = ∞
ngoài, electrôn ở trạng thái năng lượng thấp nhất, gọi là
ái bền. Khi có kích thích bên ngoài, electrôn thu thêm năng
ức năng lượng cao hơn gọi là mức kích thích. Nhưng electrôn chỉ ở
-8
c. Khi không có kích thích bên
trạng thái cơ bản. Đó là trạng th
lượng và nhảy lên m
trạng thái này trong một thời gian ngắn (10 s), sau đó trở về trạng thái năng lượng En thấp
hơn và phát ra bức xạ điện từ mang năng lượng hν, nghĩa là phát ra vạch quang phổ có tần
số ν:
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
−=ν
22 'nn
1
'n
1
R
Với n’ =1, n = 2,3,4... ta được dãy Lyman nằm trong vùng tử ngoại.
Với n’ =2, n = 3,4...... ta được dãy Balmer trong vùng ánh sáng nhìn thấy.
ố lượng tử n, tức là với m i mức năng lượng En, ta có n2
trạng thái lượng
chưa xét đến spin, ta nói E ến bậc n2
.
trong đó n là số lượng tử chính, là số lượng tử quĩ o và m là số lượng tử từ.
H. Từ đây người ta hình dung electrôn chuyển động quanh hạt nhân nguyên tử H nh một
đám mây. Đám mây này dày đặc nhất ở khoảng cách ứng với xác suất tồn tại electrôn cực
Với n’ = 3, n = 4,5..... ta được dãy Paschen nằm trong vùng hồng ngoại....
d. Ứng với một s ỗ
tử khác nhau khi n suy bi
e. Hàm sóng của electrôn trong nguyên tử H
ψn lm(r,θ,φ) = Rn l (r)Ylm(θ,φ)
đạ l
Từ biểu thức của hàm sóng ta tìm được xác suất tìm thấy electrôn theo khoảng cách
và theo góc θ, φ ứng với các trạng thái lượng tử khác nhau.
Tính toán cho thấy xác suất tìm electrôn trong nguyên tử H tại khoảng cách tính từ
tâm r = a = 0,53Ǻ có giá trị lớn nhất. Giá trị này trùng với bán kính cổ điển của nguyên tử
ư
155Chương 8: Vật lý nguyên tử
đại. Khái niệm quĩ đạo được thay thế bằng khái niệm xác suất tìm hạt. Nguyên nhân là do
lưỡng tính sóng hạt của electrôn.
2. Nguyên tử kim loại kiềm
Nguyên tử kim loại kiềm hóa trị mộ và khá dễ dàng bị iôn hóa. Chúng có một
electr iệu dụng tạo bởi
lõi ng hóa học của kim
loại k óa trị phụ
thuộc
ôn ở vòng ngoài cùng, electrôn này chuyển động trong trường thế h
uyên tử (gồm hạt nhân và (Z-1) electrôn ở các vòng trong). Tính chất
iềm về cơ bản giống của nguyên tử H, nhưng năng lượng của electrôn h
thêm cả vào số lượng tử l :
2 n
Rh
E l
Δ+
−=
l
Trong vật lí nguy ử ượ đ í hiệu bằng nx, còn mức năng lượng
là nX, n là số lượng tử ợng tử quĩ đạo:
p d
S n = 4,5, 6... và Δ = -1
o và mômen từ
ên t trang thái l ng tử ược k
chính, còn x và X tùy thuộc số lư
l = 0 1 2
x = s
X = S P D
Sự chuyển mức năng lượng tuân theo qui tắc: Δl = ±1
Ví dụ đối với Na, tần số bức xạ tuân theo các công thức:
hν = 3S – nP n = 4,5, 6... và Δl = 1
hν = 3P – n l
3. Mômen động lượng quĩ đạ
Electrôn quay quanh hạt nhân không theo quĩ đạo xác định, do đó ở mỗi trạng thái
vectơ L không có hướng xác định, nhưng có độ lớn xác định: hll )1(L += và hình
chiếu của mômen động lượng quĩ đạo L lên một phương z bất kì luôn được xác định theo
hệ thức: h mLz = , trong đó m là số nguyên gọi là số lượng tử từ, có các trị số
±= 1,0m , nghĩa là với mỗi tr số cho trước của có 2 + 1 trị số của m.
Electrôn quay quanh hạt nhân tạo thành dòng điện, giữa mômen từ và mômen động lượng
quĩ đạ
l ±±± ,...,3,2, ị l l
o có mối liên hệ
L
−=μ
m2 e
và hình chiếu lên phương z bất kì:
Bz
z =μ m L
m2
μ−=−
trạng thái thì m phải tuân theo qui
tắc lựa chọn: Δm = 0,±
e B m2/eh =μ là manhêtôn Bohr. Khi electrôn chuyển
1.
156Chương 8: Vật lý nguyên tử
4. Hiệu ứng Zeeman:
ên tử phát sáng đặt trong từ trường được
gọi là
thêm năng lượn
Hiện tượng tách vạch quang phổ khi nguy
hiện tượng Zeeman.
Giải thích: Khi nguyên tử H đặt trong từ trường ngoài, electrôn có g phụ
BmBE B z μ = μ −=Δ
Năng lượng E lectrôn lúc này còn phụ thuộc vào số lượng tử từ m:
BmE'E B
’ của e
μ +=
Khi electrôn chuyển trạng thái, tần số vạch quang phổ phát ra bằng:
h
B)mm(
h
EE
h
EE
'
B1212
'
1
'
2 μ−
+
−
=
−
=ν
có thể có ba giá trị tương ứng với sự tạo thành ba vạch
quang phổ.
5. Spin:
Ngoài chuyển động quay quanh hạt nhân electrôn còn tham gia thêm chuyển động do
vận động nội tạ
m2 – m1 = Δm = 0, ±1, do đó ν’ sẽ
i, được đặc trưng bởi spin, kí hiệu S . Độ lớn của S và hình chiếu của nó lên
phương z được xác định theo các hệ thức:
h )1s(sS += và h sz mS =
trong đ
trị ±1/2.
ựa
vào khái niệm spin, người ta giải thích được vạch kép đôi của quang phổ Na và cấu tạo bội
của các vạch quang phổ.
mômen động lượng toàn phần
ó s là số lượng tử spin (s=1/2), còn ms là số lượng tử hình chiếu spin. Khác với số
lượng tử từ ms chỉ lấy hai giá
Spin là đại lượng thuần túy lượng tử, nó không có sự tương đương cổ điển. D
6. Trạng thái và năng lượng của electrôn trong nguyên tử
J của electrôn bằng: SLJ += Do có spin nên
J bằng: h )1j(jJ += với giá trị của
trong số ng tử toàn phần được xác định bởi:
2
1
j ±= l đó j là lượ
ms hay n, , m, j. Hai trạng thái lượng tử được coi là khác nhau nếu ít nhất một
ố lượng tử n, , m, m khác nhau. Trên đây ta đã tính được: ứng với mỗi số
lượng
Do có xét đến spin nên trạng thái lượng tử của electrôn phụ thuộc vào bốn số lượng
tử: n, , m, l
trong bốn s
l
l s
tử chính có n2
trạng thái lượng tử khác nhau. Nếu kể đến spin thì do ms có 2 giá trị :
±1/2 nên ứng với số lượng tử chính n , có 2n2
trạng thái lượng tử khác nhau:
2
1n
0
n2)12(2 =+ ∑
= l
l
−
157Chương 8: Vật lý nguyên tử
Sự có mặt mômen từ spin của electrôn cho phép giải thích vạch kép đôi trong quang
phổ của kim loại kiềm. Các electrôn chuyển động quanh hạt nhân tạo ra một từ trường đặc
trưng b
ểu thức năng lượng của electrôn. Năng lượng phụ này phụ
lượng còn phụ thuộc vào số
a electrôn phụ thuộc vào ba số
lượng n j = -1/2 và
m ỉ có một mức năng
lượng này rẩt nhỏ. Cấu trúc như vậy gọi là cấu trúc tế vi của các mức năng lượng.
lượng
phải tuân theo qui tắc lựa chọn: Δ = ±1 và Δj = 0, ±1
ật phân bố các
electrôn trong bảng hệ thống tuần hoàn. Sự phân bố các electrôn trong bảng tuần hoàn dựa
trên hai nguyên lí: nguyên lí cực tiểu nă
electrôn là sự phân bố theo các trạng thái với các số lượng lượng tử n, khác nhau.
.
í dụ cấu
hình electrôn c
-
trong việc nghiên cứu nguyên tử Hiđrô về:
ởi mômen từ quĩ đạo của các electrôn. Mômen từ spin của electrôn tương tác với từ
trường đó, tương tác này được gọi là tương tác spin-quĩ đạo. Do tương tác này, sẽ có một
năng lượng phụ bổ sung vào bi
thuộc vào sự định hướng của mômen spin và như vậy năng
lượng tử toàn phần j. Nói cách khác, năng lượng toàn phần củ
tử n, l và j: En l j. Mỗi mức năng lượng xác đị h tách thành hai mức l
j = l +1/2, trừ ức S ch , vì khi đó l = 0. Khoảng cách giữa hai mức
Khi chuyển từ múc năng lượng cao sang mức năng thấp, các số lượng tử l , j
l
Dựa vào các qui tắc lựa chọn trên, ta giải thích được các vạch kép đôi và bội ba khi có
xét đến spin.
7. Giải thích bảng tuần hoàn Mendeleev
Dựa trên cơ sở của cơ học lượng tử, chúng ta có thể giải thích qui lu
ng lượng và nguyên lí loại trừ Pauli. Cấu hình
l
Tập hợp các electrôn có cùng số lượng tử chính n tạo thành lớp của nguyên tử. Ví dụ :
Lớp K ứng với n = 1, lớp L ứng với n = 2... Số electrôn tối đa có trong một lớp bằng 2n2
(theo nguyên lí Pauli). Năng lượng lớp K nhỏ hơn lớp L. Các electrôn sẽ lấp đầy lớp K
trước rồi mới đến lớp L.
Mỗi lớp lại chia nhỏ thành những lớp con với l khác nhau. Tập hợp các electrôn có
cùng giá trị l tạo thành một lớp con. Trong mỗi lớp con có tối đa 2(2 l +1) electrôn. Ví dụ:
Lớp con S ( l = 0) có tối đa 2(0 + 1) = 2e-
-
Lớp con P ( l = 1) có tối đa 2(2 + 1) = 6e ..
Dựa vào bảng Mendeleev, ta viết được cấu hình electrôn trong nguyên tử. V
2 2 2 - - -
ủa nguyên tử C: 1s 2s 2p (có 2e ở lớp 1S, 2e ở lớp 2S và 2e ở lớp 2P, các
e chưa xếp kín lớp con P, vì lớp con này có thể chứa tối đa 6e).
IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT
1. Hãy nêu các kết luận của cơ học lượng tử
a. Năng lượng của electrôn trong nguyên tử Hiđrô.
b. Cấu tạo vạch của quang phổ Hiđrô.
c. Độ suy biến của mức En.
158Chương 8: Vật lý nguyên tử
2. Nêu sự khác nhau giữa nguyên tử Hiđrô và nguyên tử kim loại kiềm về mặt cấu tạo. Viết
biểu thức năng lượng của electrôn hóa trị trong nguyên tử Hiđrô và nguyên tử kim loại
kiềm.
c ắ
vạch ch ạ
4. Viế
Nêu sự khác nhau giữa hai công thức đó.
3. Viết qui tắ lựa chọn đối với số lượng tử quĩ đạo l . Vận dụng qui t c này để viết các dãy
ính và dãy v ch phụ của nguyên tử Li.
L của t biểu thức mômen động lượng quĩ đạo electrôn quanh hạt nhân và hình chiếu
Lz của
5. Viết biểu thức mômen từ
nó lên phương z. Nêu ý nghĩa của các đại lượng trong các công thức đó. Viết qui tắc
lựa chọn cho m. Biểu diễn bằng sơ đồ các đại lượng L và Lz trong các trường hợp l =1 và
l =2.
μ của electrôn quay quanh hạt nhân và hình chiếu của nó theo
7. Trì a spin electrôn.
8. Viế n và hình chiếu của nó trên phương z. Từ đó
dựa v aas, viết biểu thức của mômen từ
phương z.
6. Trình bày và giải thích hiện tượng Zeeman.
nh bày những sự kiện thực nghiệm nói lên sự tồn tại củ
t biểu thức xác định mômen spin electrô
s μ ào thí nghiệm Einstein và de H và biểu diễn hình
chiếu của
s μ qua manhêtôn Bohr.
9. Hãy chứng tỏ rằng, nếu xét đến spin thì ứng với mức năng lượng En của electrôn trong
nguyên tử H, có thể có 2n2
trạng thái lượng tử khác nhau ít nhất ở một trong bốn số lượng
h
V. BÀI TẬP
đrô.
y Paschen:
tử n, l , m, sz.
10. Định nghĩa cấu hình electrôn.
11. Sự phân bố các electrôn trong bảng tuần hoàn Mendeleev tuân theo những nguyên lí
nào?
12. Viết cấu hình electrôn cho các nguyên tố O, Al... Giải thích cách viết và nêu ý ng ĩa.
Thí dụ 1: Xác định bước sóng của vạch quang phổ thứ hai, thứ ba trong dãy Paschen trong
quang phổ hi
Bài giải: Bước sóng của vạch thứ hai trong dã
m10.3,1
5
1
3
1
R
6
22
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
ν
=λ
Bước sóng của vạc
cc −
h thứ ba trong dãy Paschen:
m10.1,1
11
R
cc 6 − =
⎟
⎞
⎜
⎛
−
=
ν
=λ
63 22 ⎟
⎠
⎜
⎝
159Chương 8: Vật lý nguyên tử
Thí dụ 2: Tìm số bổ chính Rydberg đối với số hạng 3P của nguyên tử Na, biết rằng thế kích
thích đối với trạng thái thứ nhất bằng 2,1V và năng lượng liên kết của electrôn hoá trị ở
trạng thái 3S bằng 5,14eV.
Bài giải:
Theo đề bài:
eV04,3
3
Rh
eV1,2
3
Rh
3
Rh
,eV14,5
3
Rh
2 2 2 2
=
Δ+
→=
Δ+
−
Δ+
=
Δ+
Bài tậ
1. Xác định động năng, thế năng và năng lượng của electrôn trong nguyên tử hiđrô chuyển
động trên quĩ đạo Bohr thứ nhất. Cho bán kính quĩ đạo Bohr thứ nhất r1= 0,53.10-10
m.
Đáp s
Thay R và h ta tìm được: 88,0 p −=Δ
p tự giải
ố:
() J10.47,43
10.53,0
10.6,110.9
ke
E 19
10
1
−
−
−= −=−=
E
J10.66,
1
10.625,6.10.27,3
h
2 19 9 2
19
34 15
2
−
−
−
−= −=
t = 21,81 J
bước sóng lớn nhất và nhỏ nhất trong dãy Paschen trong quang phổ hiđrô.
21
R E −=
đ = E – E
2. Xác định
Đáp số:
m10.83,0
1
3
1
R
6
22
min =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∞
−
=λ
c
m10.88,1
4
1
3
1
R
c
1
3
1
c 6
22
max
22
−
− =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=λ→
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=λ
3. Xác định bước sóng của vạch quang phổ thứ hai, thứ ba trong dãy Balmer trong quang
phổ hiđrô.
Đ ớc sóng của vạch thứ hai trong dãy Balmer:
R
áp số: Bư
m10.49,0
4
1
22
⎝
1
R
c 6
2
42
− =
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎛
−
=λ
Bước sóng của vạch thứ ba trong dãy Balmer:
m10.437,0
5
1
2
1
R
c 6
22
52
− =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=λ
160Chương 8: Vật lý nguyên tử
4. Xác định bước sóng của vạch quang phổ thứ hai và thứ ba trong dãy Lyman trong quang
phổ hiđrô.
Đáp số: Bước sóng của thứ hai trong dãy Lyman:
m10.103,0
3
1
1
1
R
c 6
22
31
− =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=λ
Bước sóng của vạch quang phổ thứ ba trong dãy Lyman:
m10.98,0
4
11
R
41
⎟
⎞
⎜
⎛
−
1
c 7
22
− =
⎟
⎠
⎜
⎝
=λ
5. Electrôn trong nguyên tử hiđrô chuyển từ mức năng lượng thứ ba về mức năng lượng thứ
nhất. Xác định bước sóng của bức xạ điện từ do nó phát ra.
Đáp s m10.03,1
9
1
1R
c
1
hR E ;
hR E ;
hc
EE =λ→−=−==− ố:
3
7
1 2 3 13
− =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
λ
6. Xác định bước sóng lớn nhất và nhỏ nhất trong dãy Lyman trong quang phổ hiđrô.
Đáp số:
m10.92,0
1
1 22
⎠⎝ ∞
1
R
c
m10.22,1
2
1
1
1
c
n1
c
7
7
22 22
−
−
=
⎟ ⎟
⎞
⎜ ⎜
⎛
−
=λ
=
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
−
=λ→
⎟
⎠
⎜
⎝
=λ
7. Xác ớn nhất và giá trị nhỏ nhất của năng lượng phôtôn phát ra trong quang
phổ tử uyên tử hiđrô (dãy Lyman).
Đáp số:
R 11
R
max
⎜
⎛
⎟
⎞
⎜
⎛
−
định giá trị l
ngoại của ng
)eV(5,13
1 21 2 22
⎠⎝
8. Xác định các giá trị khả dĩ của mômen động lượng quĩ đạ
1
.Rhh),eV(2,10
11
Rhh max min ==ν = ⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎛
−=ν
o của electrôn trong nguyên tử
hiđrô bị kích thích, cho biết năng lượng kích thích bằng E = 12eV.
Mômen động lượng quĩ đạo của electrôn: ()hll 1L += Đáp số: , trong đó
, do đó cần tìm n. Năng lượng electrôn ở trạng thái n : 1n,...,2,1,0 − = l
2 n
Rh
E −= , năng
thích E = 12eV chính là năng lượng mà electrôn hấp thụ để nhảy từ trạng thái cơ lượng kích
161Chương 8: Vật lý nguyên tử
12
1
Rh
Rh
2
= ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−→ bản lên trạng thái En → En – E1 = 12eV → n = 3. Vậy , do
đó: L
2,1,0 = l
h h,2 = 0, 6
9. Phôtôn có năng lượng 16,5eV làm bật electrôn ra khỏi nguyên tử đang ở trạng thái cơ
bản. Tính vận tốc của electrôn khi bật ra khỏi nguyên tử.
Đáp số: Động năng của electrôn khi bật ra khỏi nguyên tử:
s/m10v)eV(35, 135,16Eh
2
vm 6
1
2
−=−ν= =→=
lượng liên kết của electrôn hoá trị trong nguyên tử Liti ạng thái 2s bằng
5,59eV, ở trạng thái 2p bằng 3,54eV. Tính các số bổ chính Rydberg đối với các số hạng
10. Năng ở tr
quang phổ s và p của liti.
Đáp số:
04,0,41, p −=Δ
11. Tìm bước só thái 3S → 2
0 eV54,3
2
,eV39,5
2
s 2
2
−=Δ→ =
Δ+
=
Δ+
ng của các bức xạ phát ra khi nguyên tử Li chuyển trạng S cho
biết các số bổ chính Rydberg đối với nguyên tử Li: 04,0,41,0 p s
Rh Rh
− = Δ − = Δ
Đáp số: Không có sự chuyển mức trực ti ạm qui tắc l ự
chuyển trạng thái được thực hiện như sa
→
ếp từ 3S đến 2S vì vi ph ựa chọn. S
u:
1.3S 2P, phát ra ra bức xạ 0,82μm.
. Tìm bước sóng của các bức xạ
2.2P → 2S, phát ra bức xạ 0,68μm
12. Nguyên tử Na chuyển từ trạng thái năng lượng 4S → 3S
phát ra. Cho số bổ chính Rydberg đối với Na bằng 1 s 9,0,37, − = Δ Δ = −
Đáp số: 1. 4S → 3P, λ = 5890A0
, 2. 3P → 3S, λ = 11400A0
13. B ạch cộng hưởng của nguyên tử kali ứng với sự chuy ời 4P → 4S
0 0
ước sóng của v ển d
bằng 7665A . Bước sóng giới hạn của dãy chính bằng 2858A . Tìm số bổ chính Rydberg Δs
và Δp đối với kali.
Đáp số:
() () 10 2
2
s 10.7665
c
4
R
4
R −
−
=
Δ+Δ+
mà
915,1,23,2
c R
p s −=Δ−=Δ→ =
à giá trị hình chiếu củ men động
10.2858 4 10 2
s Δ+ −
14. Tính độ lớn của mô men động lượng quĩ đạo v a mô
lượng quĩ đạo của electrôn trong nguyên tử ở trạng thái f.
162Chương 8: Vật lý nguyên tử
Đáp số: Trạng thái f ứng với 3 = l . Các giá trị của m = 0, ±1, ±2, ±3. Gía trị hình chiếu
mômen động lượng quĩ đạo LZ = 0, hhh 3,2, ± ± ± . Độ lớn mômen động lượng quĩ đạo:
() hhll 321L =+=
15. Nguyên tử hiđrô ở trạng thái cơ bản hấp thụ phôtôn mang năng lượng 10,2eV và nhảy
i cơ bản s có
lên trạng thái kích thích n. Tìm độ biến thiên mômen động lượng quĩ đạo của electrôn, biết
trạng thái kích thích của electrôn ở trạng thái p.
Đáp số: Trạng thá 0 = l , trạng thái kích thích p có . Từ công thức 1 = l
() h hll 2L1L =Δ→+=
163Phụ lục
PHỤ LỤC
MỘT SỐ HẰNG SỐ VẬT LÝ CƠ BẢN
Hằng số
Ký hiệu Gía trị
Vận tốc ánh sáng trong chân không
Điện tích nguyên tố
Khối lượng electrôn
Khối lượng prôtôn
Khối lượng nơtrôn
Hằng số Placnk
Bước sóng Compton của electrôn
Hằng số Avogadro
Hằng số Boltzman
Hằng số Stephan – Boltzman
Hằng số Wien
Hằng số Rydberg
Bán kính Bohr
Manhêtôn Bohr
c
h
λc
NA
k
σ
R
rB
μB
3.108
1,6.10-19
C
9,11.10-31
kg = 5,49.10-4
u
1,67.10-27
kg = 1,0073u
1,68.10-27
kg = 1,0087u
6,625.10-34
J.s
2,426.10-12
6,023.1023
mol
-1
1,38.10-23
J/K
5,67.10-8
W/m2
K4
2,868.10-3
m.K
3,29.1015
-1
0,529.10-10
9,27.10-24
J/T
164Tài liệu tham khảo
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Vật lí đại cương, tập I, II, III - Lương Duyên Bình, Ngô Phú An, Lê Băng Sương và
Nguyễn Hữu Tăng. Nhà xuất bản Giáo dục - 2003.
2. Cơ sở Vật lí, Tập VI - Halliday, Resnick, Walker. Nhà xuất bản Giáo dục 1998.
3. Vật lí đại cương, tập I, II, III - Đặng Quang Khang và Nguyễn Xuân Chi. Nhà xuất
bản Đại học Bách khoa Hà Nội - 2001.
4. Bài tập Vật lí Đại cương tập I, II, III - Lương Duyên Bình. Nhà xuất bản Giáo dục -
1999.
165Mục lục
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU .......................................................................................................................3
Chương I: DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ ......................................................................................5
I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU................................................................................................5
II. NỘI DUNG:...................................................................................................................5
§1. DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ ĐIỀU HOÀ.......................................................................5
§2. DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ TẮT DẦN .......................................................................8
§3. DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ CƯỠNG BỨC................................................................10
§4. SỰ TỔNG HỢP DAO ĐỘNG...............................................................................12
III. TÓM TẮT NỘI DUNG..............................................................................................17
IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT..............................................................................................19
V. BÀI TẬP......................................................................................................................19
Chương II: GIAO THOA ÁNH SÁNG.............................................................................24
I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU..............................................................................................24
II. NỘI DUNG..................................................................................................................24
§1. CƠ SỞ CỦA QUANG HỌC SÓNG .....................................................................24
§2. GIAO THOA ÁNH SÁNG ...................................................................................28
§3. GIAO THOA GÂY BỞI BẢN MỎNG.................................................................31
§4. ỨNG DỤNG HIỆN TƯỢNG GIAO THOA.........................................................34
III. TÓM TẮT NỘI DUNG..............................................................................................36
IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT..............................................................................................38
V. BÀI TẬP......................................................................................................................38
Chương III: NHIỄU XẠ ÁNH SÁNG...............................................................................45
I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU..............................................................................................45
II. NỘI DUNG..................................................................................................................45
§1. NHIỄU XẠ ÁNH SÁNG CỦA SÓNG CẦU........................................................45
§2. NHIỄU XẠ ÁNH SÁNG CỦA SÓNG PHẲNG ..................................................49
III. TÓM TẮT NỘI DUNG..............................................................................................54
IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT..............................................................................................56
V. BÀI TẬP......................................................................................................................56
Chương IV: PHÂN CỰC ÁNH SÁNG..............................................................................61
I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU..............................................................................................61
166Mục lục
II. NỘI DUNG................................................................................................................. 61
§1. ÁNH SÁNG PHÂN CỰC .................................................................................... 61
§2. PHÂN CỰC DO LƯỠNG CHIẾT ....................................................................... 65
§3. KÍNH PHÂN CỰC............................................................................................... 66
§4. ÁNH SÁNG PHÂN CỰC ELIP........................................................................... 68
§5. SỰ QUAY MẶT PHẲNG PHÂN CỰC .............................................................. 71
III. TÓM TẮT NỘI DUNG............................................................................................. 73
IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT............................................................................................. 76
V. BÀI TẬP..................................................................................................................... 77
Chương V: THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP EINSTEIN ................................................... 81
I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU............................................................................................. 81
II. NỘI DUNG................................................................................................................. 81
§1. CÁC TIÊN ĐỀ EINSTEIN.................................................................................. 81
§2. ĐỘNG HỌC TƯƠNG ĐỐI TÍNH – PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ.................... 82
§3. CÁC HỆ QUẢ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ ............................................ 84
§ 4. ĐỘNG LỰC HỌC TƯƠNG ĐỐI........................................................................ 87
III. TÓM TẮT NỘI DUNG............................................................................................. 90
IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT............................................................................................. 91
V. BÀI TẬP..................................................................................................................... 92
Chương VI: QUANG HỌC LƯỢNG TỬ......................................................................... 95
I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU............................................................................................. 95
II. NỘI DUNG................................................................................................................. 95
§1. BỨC XẠ NHIỆT.................................................................................................. 95
§2. CÁC ĐỊNH LUẬT PHÁT XẠ CỦA VẬT ĐEN TUYỆT ĐỐI ........................... 98
§3. THUYẾT LƯỢNG TỬ PLANCK VÀ THUYẾT PHÔTÔN EINSTEIN............ 99
§4. HIỆN TƯỢNG QUANG ĐIỆN.......................................................................... 101
§5. HIỆU ỨNG COMPTON .................................................................................... 104
III. TÓM TẮT NỘI DUNG........................................................................................... 106
IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT........................................................................................... 109
IV. BÀI TẬP ................................................................................................................. 110
Chương VII: CƠ HỌC LƯỢNG TỬ.............................................................................. 116
I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU........................................................................................... 116
II. NỘI DUNG............................................................................................................... 116
§1. LƯỠNG TÍNH SÓNG HẠT CỦA VI HẠT....................................................... 116
§2. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG............................................................. 119
§3. HÀM SÓNG....................................................................................................... 120
167Mục lục
§4. PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER..................................................................122
§5. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER..................................124
III. TÓM TẮT NỘI DUNG............................................................................................131
IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT............................................................................................133
V. BÀI TẬP....................................................................................................................133
Chương VIII: VẬT LÍ NGUYÊN TỬ .............................................................................138
I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU............................................................................................138
II. NỘI DUNG................................................................................................................139
§1. NGUYÊN TỬ HIĐRÔ........................................................................................139
§2. NGUYÊN TỬ KIM LOẠI KIỀM.......................................................................144
§3. MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG VẦ MÔMEN TỪ CỦA ELECTRÔN.....................146
§4. SPIN CỦA ELECTRÔN.....................................................................................149
§5. BẢNG HỆ THỐNG TUẦN HOÀN MENĐÊLEEV ..........................................153
III. TÓM TẮT NỘI DUNG............................................................................................155
IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT............................................................................................158
V. BÀI TẬP....................................................................................................................159
PHỤ LỤC...........................................................................................................................164
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................165
MỤC LỤC..........................................................................................................................166
168
Bạn đang đọc truyện trên: Truyen2U.Pro